Aula Avançada - A Lei de Gauss - 02

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A LEI DE GAUSS
FLUXO DO CAMPO ELÉTRICO
Vamos iniciar por uma idéia simples e intuitiva. Quem ouve rádio no
verão em Porto Alegre está a todo momento sendo informado que passam
tantos carros por minuto no posto da Polícia Federal da auto-estrada. Quanto
maior o número de carros por minuto, maior o fluxo. Pronto, já introduzimos
o conceito de fluxo. Da mesma forma, o proprietário de uma loja mede a sua
clientela pela quantidade de gente que passa pela porta de entrada, em
determinado intervalo de tempo.
Qualquer que seja o caso, veremos facilmente que o fluxo depende da
quantidade daquilo que flui e da área através da qual passa o "fluido".
Portanto, quanto maior o número de clientes ou quanto maior a porta de
entrada, maior será o fluxo de clientes para o interior da loja.
Essa noção intuitiva está na origem daquilo que podemos denominar
fluxo do campo elétrico (E). Numa primeira abordagem, podemos dizer
que Fluxo de campo elétrico = intensidade de campo elétrico X área
perpendicular ao campo.
Logo veremos que essa definição é muito simplificada, e tem pouco valor
operacional, porque em geral o valor de E varia ao longo da superfície, e nem
sempre esta é perpendicular ao campo. Podemos melhorar a definição,
dividindo a superfície em elementos tão pequenos quanto possível, de modo
que E seja constante nessa área infinitesimal. A esta área associamos um
vetor
, cuja direção é perpendicular à área e cujo módulo é igual à área.
Podemos manter a idéia intuitiva definindo fluxo infinitesimal.
Assim, o fluxo através de determinada área S é dado pela integral de
superfície.
No caso de uma superfície fechada, o vetor área é convencionalmente
dirigido de dentro para fora. O fluxo através de uma superfície fechada é assim
representado
A LEI DE GAUSS
A arte no uso da lei de Gauss reside na boa escolha da superfície
Gaussiana.
Não esqueça, siga a simetria da distribuição de cargas!
Demonstre o que está sendo dito ao lado, sobre a aproximação de plano
infinito.
Demonstre como um cilindro finito pode ser considerado infinito.
Seja uma carga Q. Imagine uma superfície qualquer, fechada, envolvendo
esta carga. A lei de Gauss estabelece que
A lei de Gauss é válida para qualquer situação, com campo uniforme, ou
não, e para qualquer tipo de superfície fechada, também denominada
superfície Gaussiana. Todavia, para ser operacionalmente útil ela deve ser
usada apenas em determinadas circunstâncias. Uma circunstância favorável
ocorre quando a superfície Gaussiana é tal que o produto escalar entre o
campo e o vetor superfície é facilmente obtido.
Isso é sempre possível quando a distribuição de cargas apresenta alta
simetria. Existem três tipos de simetrias que facilitam o uso da lei de Gauss



Simetria planar;
Simetria cilíndrica ou axial;
Simetria esférica.
A simetria planar aplica-se no caso de uma distribuição de cargas num
plano infinito, ou no caso em que se possa fazer a aproximação de plano
infinito. Por exemplo, um plano finito pode ser considerado infinito, se o
campo elétrico for calculado num ponto muito próximo do plano. Isto é, se a
distância do plano ao ponto for muito menor do que as dimensões do plano.
A simetria cilíndrica, ou axial, aplica-se no caso de uma distribuição
linear infinita. Existem dois casos clássicos:
Linha infinita de cargas;
Cargas distribuídas num cilindro infinito.
De modo análogo ao caso anterior, um cilindro finito pode ser considerado
infinito em determinadas circunstâncias.
Existem dois casos típicos de simetria esférica:
Carga puntiforme;
Distribuição esférica de cargas.
Veremos mais adiante como usar a lei de Gauss para calcular o campo
devido a cada uma dessas distribuições.
LEI DE GLAUSS & LEI DE COULOMB
A lei de Gauss e a lei de Coulomb são formas diferentes de abordar o mesmo
problema. Portanto, o cálculo do campo elétrico para determinada distribuição
de carga fornece o mesmo resultado, quer seja realizado através de uma ou
outra lei.
Então, quando e por que usar uma ou outra lei? Como regra, o uso de uma
ou outra lei é determinado pelas seguintes circunstâncias:
 Distribuição de cargas com alta simetria - Lei de Gauss
 Distribuição de cargas com baixa simetria - Lei de Coulomb
CAMPO DE UMA CARGA PUNTIFORME
Por argumentos de simetria, é fácil chegar à
conclusão de que o campo de uma carga puntiforme
deve ter simetria esférica. Isto é, o valor do campo é
o mesmo para qualquer ponto sobre uma esfera. Mais
do que isso, o campo deve ser normal a esta esfera.
Portanto, a melhor Gaussiana para calcular o campo
a uma distância r de uma carga puntiforme é uma
esfera de raio r.
Em qualquer ponto sobre a Gaussiana, o produto escalar será simplesmente
EdS. Então, tendo em conta que E é constante, teremos
A integral fechada sobre a superfície corresponde à área da esfera, 4pr 2.
Portanto, o campo de uma carga puntiforme, q, a uma distância r, é dado por
Como era de se esperar, a expressão (3.5) é igual à expressão (2.3), obtida
com o uso da lei de Coulomb.
DISTRIBUIÇÃO ESFERICAMENTE SIMÉTRICA
Um condutor em equilíbrio eletrostático sempre apresentará campo nulo em
seu interior Grosso modo, num material não-condutor a carga fica onde a
colocamos.
No caso de uma distribuição de cargas com simetria esférica, convém
distinguir algumas situações. Em primeiro lugar, dependendo do material o
tratamento será bem diferente.
Material condutor - Já sabemos que quando certa quantidade de carga elétrica
é colocada num material condutor, ela se distribuirá de modo a manter o
campo nulo no interior do material. Numa esfera a carga ficará uniformemente
distribuída na sua superfície. Portanto, para um material condutor não há
diferença entre uma esfera e uma casca esférica. Em ambos os casos, a carga
elétrica se distribuirá uniformemente na superfície externa.
Material dielétrico - Quando o material é não-condutor, a situação é bem
diferente. A carga não se distribui como no caso do condutor; grosso modo,
ela fica onde a colocamos. Para esse tipo de material não é suficiente
conhecermos a quantidade de carga, há que se saber a forma como ela está
sendo distribuída. Isto é, necessitamos conhecer a densidade de carga no
interior do material. Portanto, em termos de cálculo de campo elétrico e uso
da lei de Gauss, uma esfera dielétrica pode ser bastante diferente de uma
casca esférica.
ESFERA CONDUTORA
Já vimos acima que no caso de material condutor,
pouco importa se temos uma esfera maciça, oca ou se
temos uma simples casca esférica; qualquer que seja
o objeto, o campo interno sempre será nulo.
De modo análogo ao caso da carga puntiforme,
argumentos de simetria nos levam à conclusão de que
o campo de uma esfera condutora tem simetria
esférica, de modo que a melhor Gaussiana será uma
esfera concêntrica com a distribuição de cargas. O campo é igual ao de uma
carga
puntiforme,
dado
na
eq.
(3.5).
Portanto, uma esfera condutora de raio R comporta-se, para pontos
externos, r>R, como se toda sua carga estivesse concentrada no seu centro.
ESFERA DIELÉTRICA
Vamos considerar o caso em que a distribuição de cargas é uniforme. Isto
é, a densidade r, dada em C/m3, é constante. Poderíamos ter uma distribuição
mais complexa, na qual a densidade variasse com a distância ao centro.
Região I - r > Raio da distribuição (R)
O cálculo é análogo ao do campo de uma carga puntiforme. O resultado
tem a mesma forma apresentada na eq. (3.5). Se a carga total, Q, for
conhecida, basta colocá-la no lugar de q. Se ao invés disso, conhecermos a
densidade, r, então a carga será dada pelo produto da densidade pelo volume
da esfera, Q=4pR3r/3, resultando
Região II - r < R
A carga que aparece na lei de Gauss
É aquela envolvida pela superfície Gaussiana, isto é, a carga no interior do
volume 4pr3/3. Se conhecemos a densidade de carga, teremos Q=4prr3/3. O
campo no interior da esfera será dado por
O variação do campo, em função do raio, é representada na figura abaixo.
DISTRIBUIÇÃO LINEAR INFINITA
A distribuição linear infinita ocorre quando as cargas
são distribuídas numa linha infinita, ou num cilindro infinito.
Em ambos os casos tem-se geralmente uma densidade
linear
uniforme,
l.
Argumentos de simetria permitem concluir que o campo
apresenta simetria cilíndrica. Isto é, a
intensidade é a mesma em qualquer ponto da superfície lateral de um cilindro,
cujo eixo coincide com o eixo da distribuição da cargas, e a direção é
perpendicular
a
esta
superfície
lateral.
É óbvio que a superfície Gaussiana mais apropriada é o cilindro indicado na
figura ao lado. A integral fechada da lei de Gauss pode ser desdobrada,
transformando-se numa soma de integrais de superfície, ao longo das bases
do cilindro e ao longo da superfície lateral.
Em qualquer ponto das bases, os vetores E e dS são perpendiculares entre
si, de modo que as duas primeiras integrais são nulas. Na superfície lateral, o
campo é constante e tem a mesma direção do vetor dS. Portanto,
A carga no interior da Gaussiana é q=lh. Portanto, o campo criado por uma
distribuição linear infinita, a uma distância r do eixo da distribuição, é dado
por
PLANO INFINITO DE CARGAS
Vamos considerar uma distribuição infinita de cargas, com densidade
uniforme +s, conforme figura abaixo.
Por simetria conclui-se que o campo é perpendicular ao plano de cargas, e
que sua intensidade é constante ao longo de qualquer plano paralelo ao plano
de cargas. Portanto, o cilindro da figura acima é uma boa escolha como
superfície Gaussiana. De modo análogo ao procedimento adotado no caso da
simetria cilíndrica, a integral fechada pode ser desdobrada em integrais
abertas, ao longo das bases e da superfície lateral da Gaussiana.
Em qualquer ponto da superfície lateral, os vetores E e dS são mutuamente
perpendiculares, de modo que o produto escalar é nulo. Por outro lado, tanto
na base1, quanto na base2, E é constante e paralelo a dS, de modo que
A carga no interior da superfície Gaussiana é q=sA, resultando
EXERCÍCIOS
3.1 Uma rede de caçar borboleta está numa região onde
existe um campo elétrico uniforme, como ilustra a figura
3.1. A extremidade aberta é limitada por um aro de área A,
perpendicular ao campo. Calcule o fluxo de E através da
rede.
3.2 Uma linha infinita de cargas produz um campo de 3x104
N/C a uma distância de 3 m. Calcule a densidade linear de
carga.
R.: 5x10-6 C/m
3.3 A figura 3.2 mostra parte de dois longos e finos cilindros
concêntricos de raios a e b. Os cilindros possuem cargas
iguais e opostas, com densidade
linear l. Use a lei de Gauss para mostrar que: (a) E=0 para r<a e (b) entre os
cilindros
3.4 A figura 3.3 mostra um cilindro condutor muito longo, de
comprimento L, contendo uma carga +q e envolvido por uma fina casca
cilíndrica, também condutora e de comprimento L, contendo uma carga
–2q. Use a lei de Gauss para calcular: (a) o campo elétrico na região
externa à casca cilíndrica; (b) A distribuição de cargas na parte interna
e na parte externa da
casca cilíndrica; (c) o campo elétrico na região entre
os cilindros.
R:(a)E=(1/2pe0)(q/Lr), apontando de fora para o
centro do cilindro; (b)-q em cada superfície; (c)idem
ao ítem (a), apontando do centro do cilindro para fora.
3.5 Um cilindro infinitamente longo, de raio R,
contém uma carga uniformemente distribuída, com
densidade r. Mostre que a uma distância r do eixo do
cilindro (r<R),
3.6 A figura 3.4 mostra uma esfera com massa m e
carga q, suspensa no campo gravitacional da terra por
um fio de seda que faz um ângulo q com uma placa
não condutora infinita e uniformemente carregada.
Calcule
a
densidade
superficial
de
carga
da
placa,
s.
R: s=2mge0tgq/q
3.7 A figura 3.5 mostra duas placas infinitas com suas superfícies internas
carregadas com densidades superficiais de carga +s e -s. Determine o campo
elétrico: (a) na região à esquerda das placas; (b) na região entre as placas;
(c)
na
região
à
direita
das
placas.
R: E=0 fora do capacitor; E=s/e0 no interior do capacitor.
3.8 Uma fina casca esférica metálica de raio ra possui uma carga qa.
Concêntrica com esta casca, existe outra fina casca metálica de raio rb (rb>ra)
e carga qb. Calcule o campo elétrico nas regiões onde: (a) r<ra; (b) ra<r<rb;
(c) r>rb.
R: (a)E=0; (b)E=(1/4pe0r)(qa); (c)E=(1/4pe0r)(qa+qb)
...
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