Exemplos do Capítulo 6

Exemplos do Capítulo 6
Exemplo 6.1. Campo eléctrico devido a uma carga pontual.
Calcule o campo e1étrico devido a uma carga pontual isolada q , utilizando a lei de
Gauss.
Solução
Uma carga única é a distribuição de carga mais simples possível e usaremos este
exemplo familiar para mostrar a técnica de obtenção do campo eléctrico com a lei de
Gauss. Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio centrada na carga pontual,
como indicado na Figura 1.

Figura 1. A carga pontual q está no centro da superfície esférica gaussiana e E é

paralelo a dA em todos os pontos da superfície.
O campo eléctrico de uma carga pontual positiva é radial para fora por simetria e,


portanto, é normal à superfície em todo ponto. Consequentemente, E é paralelo a dA
 
em todo ponto sobre a superfície e, então, E  dA = E dA e a lei de Gauss fornece
 
q
 E   E dA   EdA 
0
Por simetria, E é constante em toda parte sobre a superfície, então pode ser removido da
integral. Consequentemente
q
2
 EdA  E  E  E 4r   0
onde usamos o fato de que a área da superfície de uma esfera é 4r 2 . Agora, obtemos o
campo eléctrico:
q
q
E
 ke 2
2
4r
r
que é o campo eléctrico de uma carga pontual que desenvolvemos a partir da lei de
Coulomb anteriormente no Capítulo 5.
1
Exemplo 6.2. Distribuição de carga com simetria esférica.
Uma esfera sólida isolante de raio a tem uma densidade volumétrica de carga uniforme
 e uma carga positiva total Q. Calcule a magnitude do campo eléctrico num ponto
dentro da esfera.
Solução
Seleccionamos uma superfície gaussiana esférica que tem raio r < a, concêntrica com a
esfera isolada (Figura 2). Chamamos o volume dessa esfera menor V'. Para aplicar a lei
de Gauss nessa situação, é importante reconhecer que a carga qint no interior da
superfície gaussiana de volume V' é menor do que Q. Para calcular qint usamos o facto
de que qint = V':
Figura 2. Esfera isolante, uniformemente carregada, de raio a e carga total Q. A
magnitude do campo eléctrico no interior da esfera é provocada apenas pelas cargas no
interior da superfície gaussiana (círculo tracejado) e é dada por keQr / a 3 .
Por simetria, a magnitude do campo eléctrico é constante em toda parte sobre a
superfície gaussiana esférica e o campo é normal à superfície em cada ponto - as
condições (1) e (2) são satisfeitas. Consequentemente, a lei de Gauss na região r < a
fornece
A solução para E é
2
interior da esfera é provocada apenas pelas cargas no interior da superfície gaussiana
(círculo tracejado) e é dada por
e
O campo será
Este resultado mostra que E  0 quando r  0.
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