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Matemática do Ensino Básico: Abordagem Crítica
Monitor: Sílvio César Otero
Quinta Lista de Exercícios – Geometria Plana - Demonstrações
1. Seja ABC um triângulo tal que AB  AC , demonstre que Bˆ  Cˆ .
2. Seja AB um segmento qualquer, demonstre que:
a) Existe um ponto M entre A e B, tal que AM  MB
b) M é único.
3. Demonstre que num triângulo qualquer ao maior lado opõe-se o maior ângulo.
4. Demonstre que num triângulo qualquer ao maior ângulo opõe-se o maior lado.
5. (Desigualdade Triangular) Demonstre que em todo triângulo cada lado é menor que
a soma da medida dos outros lados.
6. Prove que se duas retas paralelas interceptam uma transversal, então os ângulos
alternos (ou correspondentes) são congruentes.
7. Mostre que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180° e conclua que num
triângulo eqüilátero cada ângulo mede 60°.
8. Deduza a fórmula para se obter a soma dos ângulos internos de um polígono
qualquer.
9. Mostre que a soma dos ângulos externos de qualquer polígono é 360°.
10. Mostre que os ângulos opostos dum paralelogramo são congruentes.
11. Prove que num paralelogramo os lados opostos são congruentes.
12. Seja ABCD um paralelogramo. Mostre que as diagonais AC e BD se interceptam
num ponto M tal que M é o ponto médio das diagonais.
13. Demonstre que a mediana relativa à base dum triângulo isósceles é também
bissetriz.
14. Prove que as bissetrizes de dois ângulos consecutivos dum paralelogramo cortam-se
num ângulo reto.
15. Prove que as bissetrizes dos ângulos agudos dum triângulo retângulo formam um
ângulo que independe dos valores desses ângulos agudos.
16. (Teorema de Tales) Mostre que se duas retas são transversais de um feixe de retas
paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão
entre os segmentos correspondentes da outra.
17. (Teorema da Bissetriz Interna) Mostre que uma bissetriz interna dum triângulo
divide o lado oposto em segmentos aditivos proporcionais aos lados adjacentes.
18. (Teorema da Bissetriz Externa) Mostre que se a bissetriz de um ângulo externo
dum triângulo intercepta a reta que contém o lado oposto, então ela divide este lado
oposto externamente em segmentos subtrativos proporcionais aos lados adjacentes.
19. Mostre que:
a) Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são
semelhantes.
b) Se dois lados dum triângulo são proporcionais aos homólogos do outro triângulo e os
ângulos compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes.
c) Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes.
20. Demonstre que:
a) Se duas cordas de uma mesma circunferência se interceptam, então o produto das
medidas das duas partes de uma é igual ao produto das medidas das duas partes da
outra.
b) Se por um ponto (P) exterior a uma circunferência, conduzirmos dois segmentos
secantes ( PA e PC ), então o produto das medidas do primeiro ( PA ) pela sua parte
exterior ( PB ) é igual ao produto das medidas do segundo ( PC ) pela sua parte exterior
( PD ).
bc
bc
 ma 
2
2
21. (Teorema de Pitágoras) Mostre se ABC é um triângulo retângulo, então a soma
dos quadrados do catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
22. Sejam quatro pontos A, B, C, D dispostos sobre uma mesma reta, nessa ordem e tal
que os segmentos AC e BD sejam congruentes. Demonstre que os segmentos AB e
CD são congruentes e que os segmentos BC e AD têm o mesmo ponto médio.
23. Se m a é a mediana relativa ao lado a de um triângulo de lados a, b e c, então:
24. Prove que a soma das medianas dum triângulo é menor que o perímetro e maior que
o semi-perímetro.
25. As bissetrizes externas dum triângulo ABC formam um triângulo MNP. Prove que
o ângulo MNˆ P que se opõe a lado BC do triângulo ABC é o complemento da metade do
ângulo  desse triângulo.