Conjuntos

Conjuntos
Notação:
‚ Representamos os conjuntos por letras maiúsculas: A, B , C , ….
‚ Representamos os elementos dos conjuntos por letras mnúsculas: a, b, c, ….
‚ Representamos colecções de conjuntos (ou seja, conjuntos cujos elementos são
também conjuntos) por letras caligráficas: B , P , T , U , V , ….
Definição 1. Dizemos que dois conjuntos X e Y têm a mesma cardinalidade (ou que
são isomorfos) se existir uma função bijectiva f : X Ñ Y . Dizemos que um conjunto é
numerável se tiver a mesma cardinalidade que N. Dizemos que um conjunto é contável se
for finito ou numerável.
Exemplo 1. O conjunto Z dos números inteiros é numerável.
Algumas propriedades dos conjuntos contáveis:
(1) O produto de conjuntos contáveis é contável.
(2) A união dum número contável de conjuntos contáveis é contável.
Se não tivermos informação extra sobre os elementos dos conjuntos, nada distingue
dois conjuntos com a mesma cardinalidade: para distinguir N de Z precisamos, ou da
sua estrutura algébrica (soma e multiplicação), ou da sua relação de ordem.
Definição 2. Dizemos que uma relação ''ă'' num conjunto X é uma relação de ordem
se:
(1) A relação x ă x é falsa para qualquer x P X .
(2) Se x ă y e y ă z então x ă z (transitividade).
Dizemos que uma relação de ordem é total se dados x, y P X , ou x ă y ou y ă x ou
x = y . Caso contrário, dizemos que ordem é parcial. Um conjunto com uma ordem
total é também chamado de cadeia.
Repare que nunca podemos ter simultaneamente x ă y e y ă x pois nesse caso,
pela transitividade, teríamos também x ă x.
Exemplo 2. A inclusão estrita de conjuntos é uma ordem parcial na colecção P(X) dos
subconjuntos de X .
Dados a, b P X , definimos os intervalos ]a, b[, [a, b[, ]a, b] e [a, b] do mesmo modo
que em R. Por exemplo, ]a, b[ = tx P X : a ă x ă bu.
Exercícios.
(1) Dado um conjunto X , verifique que a inclusão estrita é uma relação de ordem parcial na colecção P dos subconjuntos de X .
1
2
(2) Exercício 11, página 29 (um sucessor de a é um elemento b ą a tal que o intervalo
]a, b[ é vazio).
(3) Um conjunto bem ordenado é um conjunto com uma ordem total tal que qualquer
subconjunto não vazio A Ă X tem mínimo. Como exemplo temos o conjunto dos
números naturais N.
(a) Mostre que R não é bem ordenado.
(b) Mostre que qualquer subconjunto dum conjunto bem ordenado é também bem
ordenado.
(c) Mostre que o conjunto tk ´ (1/n) : k, n P Nu Ă R é bem ordenado.
(d) Mostre que, se X é bem ordenado, qualquer a P X tem um sucessor, isto é, um
elemento b ą a tal que o intervalo ]a, b[ é vazio.
(e) Se X é bem ordenado, será que qualquer elemento a P X tem um predecessor?
(f) Seja SΩ um conjunto não contável com a propriedade que, para qualquer a P
SΩ , o conjunto tx P SΩ : x ă au é contável (a existência deste conjunto não é
trivial). Mostre que qualquer subconjunto A Ă SΩ contável é majorado.
(4) Dados conjuntos ordenados X e Y , introduzimos a chamada ordem do dicionário no
produto X ˆ Y do seguinte modo: (x1 , y1 ) ă (x2 , y2 ) se x1 ă x2 ou x1 = x2 e
y1 ă y2 .
(a) Verifique que se trata duma relação de ordem.
(b) Considere o conjunto [0, 1] ˆ [0, 1] com a ordem do dicionário. Esboce os intervalos abertos que contém o ponto (1/2, 1/2).
(c) Considere o conjunto X = N ˆ [0, 1[ com a ordem do dicionário. Construa
uma função bijectiva f : X Ñ [0, +8[ que preserva as relações de ordem.
(d) Considere o conjunto X = [0, 1[ ˆ N com a ordem do dicionário. Mostre que
qualquer a P X tem um sucessor.
(e) Mostre que, se X e Y são bem ordenados, então X ˆ Y é também bem ordenado.
(f) Página 29, exercício 15.
Espaços métricos
Para definir continuidade em Rn usamos a nocção de distância: a distância entre
dois pontos x, y P Rn é definida por d(x, y) = }x ´ y}. Mais geralmente, dado um
conjunto X , dizemos que uma função d : X ˆ X Ñ [0, +8[ é uma distãncia se
(1) d(x, y) = 0 se e só se x = y ;
(2) Para quaisquer x, y P X temos d(x, y) = d(y, x);
(3) Para quaisquer x, y, z P X temos d(x, y) + d(y, z) ě d(x, z).
3
Chamamos espaço métrico a um conjunto X munido duma distância d. A definição
de continuidade em Rn pode ser directamente generalizada para quaisquer espaços
métricos:
Definição 3. Sejam (X, dX ), (Y, dY ) espaços métricos. Uma função f : X Ñ Y diz-se
contínua num ponto a P X se
(
)
@ D @ dX (x, a) ă δ ñ dY f (x), f (a) ă ε
εą0 δą0 xPX
A função f diz-se contínua se for contínua em todos os pontos a P X .
A noção de continuidade pode ser expressa mais simplesmente em termos da noção
de aberto, que introduzimos agora.
Definição 4. Seja X um espaço métrico. Dados um ponto a P X e um número real
r ą 0, chamamos bola de raio r centrada em a ao conjunto dos pontos cuja distância
a a é inferior a r:
␣
(
B(a, r) = x P X : d(x, a) ă r
Dizemos que um conjunto A Ă X é aberto se, para qualquer a P A, existir um r ą 0
tal que B(a, r) Ă A.
Exemplo 3. As bolas são conjuntos abertos pois, se x P B(a, r), então a bola centrada
(
)
em x de raio r ´ d(x, a) está contida em B(a, r): se y P B x, r ´ d(x, a) então
d(y, x) ă r ´ d(x, a) logo, pela desigualdede triangular, d(y, a) ď d(y, x) + d(x, a) ă r,
e assim: y P B(a, r).
Dada uma função f : X Ñ Y e um conjunto A Ă Y , chamamos imagem inversa de
A por f , e representamos por f ´1 (A), o conjunto dos pontos x P X tais que f (x) P A.
Teorema 1. Sejam X , Y espaços métricos. Uma função f : X Ñ Y é contínua se e só se a
imagem inversa de qualquer aberto A Ă Y for um aberto em X .
Demonstração. Começamos por observar que a definição de continuidade num ponto
a P X pode ser expressa usando bolas em vez de distância:
(
)
@ D @ x P B(a, δ) ñ f (x) P B f (a), ε .
εą0 δą0 xPX
Por definição de imagem inversa dum conjunto, podemos também escrever
( (
))
@ D @ x P B(a, δ) ñ x P f ´1 B f (a), ε ,
εą0 δą0 xPX
o que é equivalente a
@
( (
))
D B(a, δ) Ă f ´1 B f (a), ε .
εą0 δą0
Dividimos a demonstração do teorema em duas partes:
4
(1) Assumimos primeiro que f é contínua. Dado um aberto A Ă Y queremos
mostrar que f ´1 (A) é aberto em X . Seja a P f ´1 (A). Então f (a) P A e,
(
)
como A é aberto, existe um ε ą 0 tal que B f (a), ε Ă A. Como f é contínua
(
)
em a, existe um δ ą 0 tal que B(a, δ) Ă f ´1 B(f (a), ε) Ă f ´1 (A). Assim,
f ´1 (A) é aberto, o que completa a demonstração.
(2) Reciprocamente, vamos assumir que a imagem inversa de qualquer aberto é
um aberto, e vamos mostrar que f é contínua em qualquer ponto a P X . Seja
ε ą 0. Então f (a) P B(f (a), ε) logo a P f ´1 (B(f (a), ε)) que é, por hipótese,
um aberto. Assim, existe um δ ą 0 tal que B(a, δ) Ă f ´1 (B(f (a), ε)), logo f
é contínua em a.
□
A continuidade duma função pode, portanto, ser expressa unicamente em termos
de abertos. Vamos agora analisar um exemplo. O círculo trigonométrico é o conjunto:
␣
(
S 1 = x P R2 : }x} = 1 Ă R2 .
Dados dois pontos x, y P S 1 , há duas maneiras naturais de definir a distância entre x e
y:
(1) Podemos definir d1 (x, y) = }x ´ y} (a distância entre x e y vistos como pontos
em R2 ).
(2) Pensando em termos de ângulos, podemos definir d2 (x, y) como o (menor) ângulo definido por x e por y , que é o comprimento do menor arco unindo x e
y.
Observemos contudo que, dado um ponto x P S 1 , as bolas centradas em x são exactamente as mesmas tanto para d1 como para d2 (o que varia é o raio das bolas); por
?
exemplo, tomando x = (1, 0): Bd1 (x, 2) = Bd2 (x, π/2) é a intersecção de S 1 com o
semiplano direito. Assim, os abertos são os mesmos com as distâncias d1 e d2 pelo que
a noção de continuidade duma função é a mesma com estas duas distâncias.
Exercícios.
(1) Dado um conjunto X , mostre que a função d : X ˆ X Ñ R definida por d(x, y) = 1
para x ‰ y e d(x, x) = 0 é uma distância, e descreva as bolas com esta distância.
(2) Seja X um espaço métrico, e considere um subconjunto A Ă X com a distância
induzida. Mostre que as bolas em A são a intersecção das bolas em X com A.
(3) Dados espaços métricos X , Y , definimos uma distância no produto X ˆ Y por
␣
(
(
)
d (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) = max dX (x1 , x2 ), dY (y1 , y2 )
(a) Mostre que d é uma distância.
(b) Mostre que qualquer bola em X ˆ Y é o produto duma bola em X com uma
bola em Y .
5
(4) Dado um espaço métrico (X, d), dizemos que uma sucessão (xn ) em X converge
para a P X se
@
D
@ n ą N ñ d(xn , a) ă ε .
εą0 N PN nPN
Mostre que uma sucessão xn converge para um ponto a P X se e só se, para qualquer
conjunto aberto U contento a, existir um N P N tal que xn P U para qualquer
n ą N.
(5) Seja X o conjunto das funções f : [0, 1] Ñ R integráveis à Riemann e seja Y Ă X
o subconjunto das funções ontínuas. Dados f, g P X definimos
ż1
d1 (f, g) =
|f (x) ´ g(x)| e d8 (f, g) = sup |f (x) ´ g(x)| .
0
xP[0,1]
(a) Mostre que d8 é uma distância.
(b) Mostre que d1 não é uma distância, mas que a restrição de d a Y ˆ Y é uma
distância.
(c) Mostre que a sucessão de funções (fn ) em Y definida por fn (x) = xn converge
para a função identicamente nula com a distância d1 , mas não com a distância
d8 .
(6) Seja X um espaço métrico, e seja (xn ) uma sucessão convergindo para um ponto
a P X . Mostre que para qualquer ε ą 0 existe um n P N tal que B(xn , 1/n) Ă
B(a, ε).
Espaços topológicos
Dar uma topologia num conjunto X é dizer quais dos subconjuntos de X são abertos.
Definição 5. Uma topologia num conjunto X é uma colecção T de subconjuntos de
X (os abertos) tal que:
(1) H, X P T .
(2) A união duma colecção de abertos tAα u Ă T é também um aberto.
(3) A intersecção dum número finito de abertos é também um aberto.
Chamamos espaço topológico ao par (X, T ).
Observação 1. Para mostrar que a propriedade (3) se verifica basta mostrar que a intersecção de dois abertos é um aberto: o caso dum número finito de abertos segue
facilmente por indução.
Exemplo 4. A colecção dos abertos num espaço métrico formam uma topologia em X .
Num espaço topológico, o que substitui a ideia de bola centrada num ponto é a
noção de vizinhança dum ponto:
6
Definição 6. Dizemos que um conjunto V Ă X é uma vizinhança dum ponto x P X
se V for aberto e x P V . Representamos a colecção das vizinhanças dum ponto x P X
por Vx .
As bolas B(x, r) são vizinhanças de x mas x tem muitas outras vizinhanças que não
são bolas. No entanto, qualquer vizinhança de x contém uma bola. As bolas formam
o que chamaremos uma base de vizinhanças:
Definição 7. Dizemos que uma colecção de vizinhanças Bx Ă Vx é uma base de
vizinhanças em x se para qualquer vizinhança U P Vx existir um B P Bx tal que
B Ă U.
Dado um conjunto A Ă X , um ponto x P X pode estar no interior de A, no seu
exterior ou na sua fronteira:
Definição 8. Dado um conjunto A Ă X e um ponto x P X , dizemos que:
(1) x é um ponto interior a A se existir uma vizinhança de x contida em A.
(2) x é um ponto exterior a A se existir uma vizinhança de x que não intersecta A.
(3) Dizemos que x é um ponto fronteiro de A se x não for nem interior nem exterior
a A.
(4) x é aderente a A se qualquer vizinhança de x intersectar A.
(5) x é um ponto de acumulação de A se qualquer vizinhança de x intersectar A ´ txu.
Chamamos interior, exterior, fronteira e aderência (ou fecho) de A respectivamente aos
conjuntos dos pontos interiores, exteriores, fronteiros e aderentes, e representamos estes
conjuntos por int A, ext A, fr A e A.
Observação 2.
(1) Para verificar que um ponto x é interior, exterior, fronteiro ou aderente a um
conjunto basta usar uma base de vizinhanças Bx .
(2) Todos os pontos interiores a A pertencem a A, e todos os pontos de A são
aderentes a A. Ou seja: int A Ă A Ă A.
(3) Temos A = X ´ ext A = int A Y fr A.
Note que todos os pontos interiores a A pertencem a A, e todos os pontos de A são
aderentes a A. Ou seja: int A Ă A Ă A.
Definição 9. Dizemos que um conjunto C Ă X é fechado se C contiver toda a sua
fronteira, ou seja, se A = A.
Algumas propriedades cuja demonstraçã o deixamos a cargo do leitor:
Teorema 2.
(1) Um conjunto A é aberto se e só se A = int A.
7
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
O interior dum conjunto A é a união de todos os abertos contidos em A.
int A é o maior conjunto aberto contido em A: se U é aberto e U Ă A então U Ă int A.
Um conjunto é fechado se e só se o seu complementar for aberto.
O fecho dum conjunto A é a intersecção de todos os fechados que contêm A.
A é o menor conjunto fechado que contem A: se F é fechado e A Ă F então A Ă F .
Exercícios.
(1) Seja X um conjunto. Mostre que as seguintes colecções de subconjuntos de X são
topologias em X :
(a) A colecção P de todos os subconjuntos de X (a chamada topologia discreta).
(b) A colecção tH, Xu (a chamada topologia indiscreta).
(c) A colecção dos subconjuntos de X cujo complementar é finito, mais o conjunto
vazio (a chamada topologia cofinita).
(d) A colecção dos subconjuntos de X cujo complementar é contável, mais o conjunto vazio (a chamada topologia cocontável).
(2) Determine a topologia induzida num conjunto X pela distância: d(x, y) = 1 se
x ‰ y e d(x, x) = 0.
(3) Mostre que as seguintes colecções de subconjuntos de R são topologias em R:
(a) A colecção dos subconjuntos A Ă R tais que 0 P A, mais o conjunto vazio.
(b) A colecção dos subconjuntos A Ă R tais que 0 R A, mais o conjunto R.
(c) A colecção dos subconjuntos A Ă R tais que, para qualquer x P A, existe um
ε ą 0 tal que [x, x + ε[Ă A.
(d) A colecção dos intervalos da forma ] ´ 8, a[, mais o conjunto vazio.
(4) Determine o interior e o fecho dos conjuntos [0, 1] e ]0, 1[ em cada uma das topologias do exercício 3.
(5) Demonstre as afirmações feitas na Observação 2.
(6) Demonstre o Teorema 2.
(7) Seja X um espaço topológico, A Ă X um subconjunto. Dizemos que um ponto
a P A é isolado se existir uma vizinhança U de a tal que U X A = tau. Mostre que
um ponto aderente ou é um ponto de acumulação ou é um ponto isolado.
(8) Mostre que a fronteira dum conjunto A Ă X é igual a A X X ´ A.
(9) Pag. 100, exercícios 4, 6, 7, 8, 19, 20.
(10) Por vezes define-se vizinhança do seguinte modo: V é uma vizinhança de a se e só
se existir um aberto A tal que a P A e A Ă V . Verifique que com esta nova definição
de vizinhança, a definição 8 não precisa de ser alterada.
Bases
Já falámos de bases de vizinhanças num ponto x P X . Falaremos agora de bases da
topologia:
8
Definição 10. Dado um espaço topológico (X, T ), uma colecção de abertos B dizse uma base da topologia se qualquer aberto puder ser escrito como uma união de
elementos de B .
Outra caracterização importante duma base é dada pelo próximo teorema.
Teorema 3. Uma colecção de abertos B é uma base se e só se, dado qualquer aberto A e qualquer
ponto x P A, existir um B P B tal que x P B Ă A.
Exemplo 5. Num espaço métrico, a colecção das bolas formam uma base da topologia.
Uma forma frequente de definir uma topologia num conjunto X é começar com
uma colecção B de subconjuntos de X e dizer que um conjunto U Ă X é aberto se
para qualquer x P U existir um B P B tal que x P B e B Ă U . Não é verdade, no
entanto, que a colecção de abertos assim definida forme sempre uma topologia em X !
Para garantir que obtemos uma topologia precisamos de impor algumas condições a
B:
Teorema 4. Seja X um conjunto, B uma colecção de subconjuntos de X tal que:
(1) Qualquer ponto x P X está contido num conjunto B P B ;
(2) Dados conjuntos B1 , B2 P B e um ponto x P B1 X B2 , existe um conjunto B3 P B tal
que x P B3 Ă B1 X B2 .
Então existe uma única topologia T em X tal que B é uma base de T .
Observação 3. As condições (1) e (2) são necessárias: (1) garante que X é aberto e (2)
garante que B1 X B2 é aberto.
Exemplo 6. Sejam X e Y espaços topológicos. Então a topologia produto em X ˆ Y é
a topologia gerada pela colecção de conjuntos da forma U ˆ V em que U Ă X é um
aberto em X e V Ă Y é um aberto em Y .
Dado um conjunto X , e duas topologias T1 , T2 em X , dizemos que a topologia T1
é mais fina que T2 se T2 Ă T1 . Para comparar duas topologias, basta usar bases pois,
se B2 é uma base de T2 e B2 Ă T1 , então T2 Ă T1 .
Exercícios.
(1) Encontre uma base, tão pequena quanto possível, para a topologia discreta.
(2) Seja X um espaço topológico.
(a) Mostre que, se B é uma base da topologia, para cada x P X a colecção tB P
B : x P Bu é uma base local das vizinhanças de x.
(b) Mostre que, se Bx for uma base local de vizinhanças de x, para cada x P X ,
Ť
então a união xPX Bx é uma base da topologia de X .
9
(3) Seja K = t1, 12 , 31 , 14 , . . .u Ă R e seja BK a colecção dos intervalos da forma ]a, b[,
com a, b P R, mais os conjuntos da forma ]a, b[ ´ K . Mostre que BK satisfaz as
condições do Teorema 4.
(4) Seja X um conjunto totalmente ordenado. A topologia da ordem é a topologia
gerada pela colecção dos intervalos ]a, b[, mais os intervalo da forma [min X, b[ (se
o mínimo existir), mais os intervalos da forma ]a, max X] (se o máximo existir).
(a) Verifique que esta colecção de conjuntos está nas condições do Teorema 4.
(b) Verifique que a topologia da ordem em R é a topologia usual em R (induzida
pela distância).
(c) Considere R ˆ R com a ordem do dicionário. Verifique que a colecção dos
intervalos da forma ](a, b), (a, c)[, com b ă c, é uma base da topologia da ordem.
(d) Verifique que a topologia da ordem em N é a topologia discreta.
(5) Sejam X1 , X2 espaços topológicos. Mostre que se B1 é uma base de X1 e B2 é uma
base de X2 , então a colecção de conjuntos da forma B1 ˆ B2 , em que Bi P Bi , é
uma base da topologia produto em X1 ˆ X2 .
(6) Verifique que a topologia produto em R ˆ R é a topologia usual induzida pela distância.
(7) Pag. 83, exercícios 4c, 6, 7, 8.
(8) Pag. 92, exercícios 4, 5, 9.
(9) Pag. 100, exercícios 3, 5, 9, 16a, 17.
Continuidade
Definição 11. Sejam (X1 , T1 ) e (X2 , T2 ) espaços topológicos. Uma função f : X Ñ
Y diz-se contínua se para qualquer conjunto aberto A em Y , a imagem inversa f ´1 (A)
for um aberto em X .
Se B for uma base da topologia em Y , para verificar que uma função f : X Ñ Y é
contínua basta verificar que f ´1 (B) é um aberto de X para qualquer B P B .
Definição 12. Dizemos que uma função f : X Ñ Y é contínua num ponto x P X se,
para qualquer vizinhança V de f (x) existir uma vizinhança U de x tal que f (U ) Ă V .
Teorema 5. Dada uma função f : X Ñ Y , são equivalentes:
(1)
(2)
(3)
(4)
f é contínua.
f é contínua em todos os pontos x P X .
Para qualquer conjunto A Ă X , temos f (A) Ă f (A).
A imagem inversa de qualquer fechado em Y é um fechado em X .
Demonstração. Vamos mostrar que 1 ñ 2 ñ 3 ñ 4 ñ 1.
1 ñ 2 Basta tomar U = f ´1 (V ).
10
2 ñ 3 Dado um x P A, queremos mostrar que f (x) P f (A). Seja V uma vizinhança
de f (x) e tomemos uma vizinhança U de x tal que f (U ) Ă V . Como x P A,
U X A ‰ H logo V X f (A) ‰ H o que mostra que f (x) P f (A).
3 ñ 4 Seja F Ă Y um fechado. Basta mostrar que f ´1 (F ) Ă f ´1 (F ), o que é
(
)
equivalente a f f ´1 (F ) Ă F . Como f (f ´1 (F )) Ă F , temos, usando (3),
(
)
f f ´1 (F ) Ă f (f ´1 (F )) Ă F = F,
o que termina a demonstração.
4 ñ 1 Basta passar ao complementar.
□
Teorema 6. Se f : Y Ñ X e g : X Ñ Y forem funções contínuas então f ˝g também é contínua.
Definição 13. Dizemos que uma função f : X Ñ Y é um homoemorfismo se f for
contínua, bijectiva, e a sua inversa f ´1 : Y Ñ X for também contínua. Dizemos então
que os espaços X e Y são homeomorfos.
Exemplo 7. A função f (x) = tan x é um homeomorfismo entre ] ´ π/2, π/2[ e R.
Uma propriedade topológica P é uma propriedade que é invariante por homeomorfismos; isto é, se X e Y forem espaços topológicos homeomorfos, então X tem a propriedade P se e só se Y a tiver. Por exemplo, a propriedade de ser limitado não é uma
propriedade topológica pois ] ´ π/2, π/2[ é limitado mas R não é, apesar dos espaços
serem homeomorfos.
Exercícios.
(1) Mostre que qualquer função constante é contínua.
(2) Mostre que a função f : [0, 2π[ Ñ S 1 dada por f (t) = (cos t, sin t) não é um homeomorfismo.
(3) Dizemos que um espaço topológico X é T 1 se os conjuntos com um só elemento
forem fechados. Mostre que esta é uma propriedade topológica.
(4) Dados espaços topológicos X , Y , Z e funções f : X Ñ Y g : X Ñ Z , mostre que a
(
)
função h : X Ñ Y ˆ Z definida por h(x) = f (x), g(x) é conínua sse f e g forem
ambas contínuas.
(5) Seja X um espaço métrico. Mostre que a distância d : X ˆ X Ñ R é uma função
contínua.
␣
(
(6) Seja X = ta, b, cu e considere as topologias T1 = H, tau, ta, bu, X e T2 =
␣
(
H, X, ta, cu, tcu . Mostre que os espaços topológicos (X, T1 ) e (X, T2 ) são homeomorfos.
(7) Sejam X , Y conjuntos ordenados com a topologia da ordem.
(a) Mostre que uma função f : X Ñ Y estritamente crescente é contínua e aberta
(se A Ă X é aberto então f (A) é também aberto).
11
(b) Mostre que N ˆ [0, 1[ com a topologia da ordem é homeomorfo a [1, +8[.
(8) Pag 111, exercícios 2, 3, 5, 7a, 10 a 12.
Subespaços
Dado um espaço topológico (X, TX ) e um conjunto Y Ă X , a topologia de X induz
uma topologia em Y :
Definição 14. Seja (X, T ) um espaço topológico. Dado um subconjunto Y Ă X ,
a topologia de subespaço em Y é a topologia cujos abertos são os conjuntos da forma
U X Y em que U é aberto em X .
Exemplo 8. A topologia de subespaço de R Ă R2 é a topologia usual.
Exemplo 9. Chamamos esfera de dimenção n ao subespaço S n = tx P Rn+1 : }x} =
1u Ă Rn+1 .
2
Exemplo 10. Identificando o conjunto das matrizes n ˆ n com Rn , podemos definir os
seguintes subespaços:
(1) GL(n, R) é o subespaço das matrizes de determinante não nulo.
(2) SL(n, R) é o subespaço das matrizes de determinante um.
(3) O(n) é o subespaço das matrizes ortogonais, ou seja, das matrizes A tais que
AAt = Id.
Multiplicação de matrizes dá a estes espaços topológicos a estrutura de grupo.
Os subespaços acimna são exemplos de grupos topológicos: um grupo topológico é
um grupo G com uma topologia tal que a função G ˆ G Ñ G dada por (g, h) ÞÑ gh e
a função G Ñ G dada por g ÞÑ g ´1 são funções contínuas.
Teorema 7. Os fechados em Y são precisamente os conjuntos da forma F X Y em que F é fechado
em X .
Demonstração. É uma consequência imediata da igualdade de conjuntos (X ´ U ) X Y =
Y ´ (U X Y ), para qualquer U aberto em X .
□
Teorema 8. Para qualquer A Ă Y temos AY = AX X Y .
Demonstração. Basta observar que o fecho de A é a intersecção de todos os fechados que
contém A e aplicar o teorema precedente.
□
Um conjunto aberto A num subespaço Y Ă X não é necessariamente aberto em
X : o intervalo ]0, 1[ é aberto em R Ă R2 , mas não é aberto em R2 .
Teorema 9. Seja X um espaço topológico, Y Ă X um subespaço.
(1) Se A Ă Y é aberto em Y e Y é aberto em X , então A é aberto em X .
12
(2) Se A Ă Y é fechado em Y e Y é fechado em X , então A é fechado em X .
Seja ı : Y Ñ X a inclusão. Então para qualquer U aberto em X temos ı´1 (U ) =
U X Y o que mostra de imediato que ı é contínua.
Teorema 10. Sejam X , Y espaços topológicos, Z Ă X um subespaço.
(1) Dada uma função contínua f : X Ñ Y , a restrição de f a Z é também contína.
(2) Uma função g : Y Ñ Z é contínua se e só se a função ı ˝ g : Y Ñ X for contínua (ou
seja, restringir ou expandir o conjunto de chegada não influencia a continuidade).
Demonstração. Para (1) basta observar que f |Z = f ˝ ı. Para (2), assumimos que ı ˝ g é
contínua; para mostrar que g é contínua, tomamos um aberto em Y : A X Y Ă Y , em
(
)
que A é aberto em X . Então g ´1 (A X Y ) = g ´1 ı´1 (A) = (ı ˝ g)´1 (A) é aberto. □
É frequentemente útil definir funções por ramos:
Teorema 11. Dados espaços topológicos X e Y , subconjuntos fechados A, B Ă X tais que
X = A Y B , e funções contínuas f : A Ñ Y e g : B Ñ Y tais que f (x) = g(x) para qualquer
x P A X B , então a função
$
&f (x) x P A
h(x) =
%g(x) x P B
é contínua.
A generalização da função inclusão ı : Y Ñ X é a noção de mergulho:
Definição 15. Dizemos que uma função injectiva f : Y Ñ X é um mergulho se a
função induzida f˜: Y Ñ f (Y ) for um homeomorfismo.
Repare que um mergulho é a composição dum homeomorfismo com uma inclusão.
Exercícios.
(1) Descreva a topologia de subespaço de Z Ă R, em que R tem a topologia usual.
(2) Considere o subespaço Y = [0, 1[ Y t2u Ă R. Indique justificando quais dos conjuntos t0u, ]0, 1[, [0, 1[, t2u e t0, 2u são abertos em Y e quais são fechados em Y .
(3) Seja X um espaço topológico, Y Ă X um subespaço. Mostre que, se B é uma base
de X , então a colecção de conjuntos tB X Y : B P Bu é uma base de Y .
(4) Seja X um espaço métrico. Dado um subconjunto Y Ă X , mostre que a topologia
de subespaço em Y coincide com a topologia da métrica.
(5) Sejam X , Y espaços topológicos, A Ă X e B Ă Y subespaços. Mostre que a
topologia produto A ˆ B é igual à topologia induzida como subespaço de X ˆ Y .
(6) Mostre que a topologia da ordem em [0, 1] Ă R coincide com a topologia de subespaço.
13
(7) Seja R2 com a topologia da ordem do dicionário. Compare a topologia de subespaço
de [0, 1]2 com a topologia da ordem em [0, 1]2 .
(8) Mostre o Teorema 9.
(9) Verdadeiro ou falso: dada uma função f : R Ñ R, a restrição f |[0,1] é contínua sse
f for contínua em todos os pontos x P [0, 1].
(10) Mostre que uma função f : X Ñ Y é contínua sse qualquer ponto x P X tiver uma
vizinhança U tal que f |U é contínua.
(11) Pag. 92, exercícios 1, 3, 8, 10.
(12) Pag. 100, exercício 2.
(13) Pag. 111, exercícios 4, 8, 9.
Quocientes
Podemos construir um círculo tomando o intervalo [0, 1] e identificando os ponto 0
e 1. Para melhor descrever o espaço assim obtido introduzimos a noção de relação de
equivalência:
Definição 16. Dizemos que uma relação „ num conjunto X é uma relação de equivalência se:
(1) x „ x para qualquer x P X .
(2) x „ y se e só se y „ x.
(3) Se x „ y e y „ z então x „ z .
Voltando ao nosso exemplo, introduzimos a relação de equivalência no intervalo
[0, 1] definida por 0 „ 1 e x „ x para qualquer x P [0, 1]. Dada uma relação de
equivalência, o quociente é o conjunto obtido identificando pontos equivalentes:
Definição 17. Seja „ uma relação de equivalência num conjunto X . A classe de
equivalência dum ponto x P X é o conjunto [x] = ty P X : y „ xu dos pontos
equivalentes a x. Chamamos quociente, e representamos por X/„ , o conjunto das
classes de equivalência.
Observação 4. Dados x, y P X , ou [x] = [y] ou [x] X [y] = H pois, se z P [x] X [y], então
z „ x e z „ y logo qualquer elemento equivalente a x é também equivalente a y .
No nosso exemplo, as classes de equivalência são [x] = txu para x P ]0, 1[, e [0] =
[1] = t0, 1u. Assim [0, 1]/„ tem um ponto [x] para cada x P ]0, 1[ mais um ponto
[0] = [1].
Chamamos projecção à função f : X Ñ X/„ dada por f (x) = [x]. A projecção
p : [0, 1] Ñ [0, 1]/ „ é injectiva no intervalo ]0, 1[ e leva ambos os pontos 0, 1 para
o mesmo ponto [0] = [1] P [0, 1]/ „. Falta apenas ver que topologia introduzir em
[0, 1]/ „.
14
Definição 18. Dado um espaço topológico X com uma relação de equivalência „,
dizemos que um conjunto U Ă X/ „ é aberto sse p´1 (U ) for aberto em X . Chamamos
a X/ „ um espaço quociente.
A topologia em X/ „ pode ser convenientemente descrita em termos de conjuntos
saturados: dizemos que um conjunto A Ă X é saturado se para qualquer x P A, se
y „ x então y P A; há uma correspondência um para um entre os abertos em X/ „ e
os abertos saturados em X .
Tal como os mergulhos são uma generalização das inclusões, generalizando chegamos à noção de função quociente:
Definição 19. Dizemos que uma função sobrejectiva f : X Ñ Y é um quociente se
um conjunto A Ă Y for aberto em Y sse f ´1 (A) for aberto em X . Dizemos também
que Y tem a topologia quociente.
O próximo teorema diz-nos como construir funções com domínio um espaço quociente.
Teorema 12. Seja p : X Ñ Y um quociente, Z um espaço topológico. Dada uma função contínua
f : X Ñ Z constante nas fibras f ´1 (y), existe uma única função contínua f˜ : Y Ñ Z tal que
f = f˜ ˝ p.
Vamos agora ver alguns exemplos importantes de quocientes.
Exemplo 11. Dado um grupo G, um subgrupo H Ă G define uma relação de equivalência em G: g1 „ g2 se existir algum h P H tal que g1 = hg2 . Representamos
o quociente por G/H . Se G for um grupo topológico, G induz em G/H a topologia quociente. Chamamos a G/H um espaço homogéneo. Um exemplo simples mas
importante é R/Z.
Exemplo 12. Seja X um espaço topológico e seja G um grupo topológico. Uma acção de
G em X é uma função contínua f : G ˆ X Ñ X , que representamos por (g, x) ÞÑ gx,
tal que
(1) Para qualquer x P X , temos 1x = x.
(2) Dados x P X e g1 , g2 P G temos g1 (g2 x) = (g1 g2 )x.
Dizemos que x1 „ x2 se existir algum g P G tal que x1 = gx2 - Representamos o quociente por X/G. Por exemplo, o grupo Z/2 = t´1, 1u (onde a operação é o produto)
age na esfera S n Ă Rn+1 por multiplicação. Chamamos ao quociente Pn = S n /Z/2 o
espaço projectivo.
Exemplo 13. O quociente [0, 1]/„ obtido identificando 0 „ 1 é um exemplo dum procedimento mais geral: dado um espaço topológico X e um subconjunto A Ă X , dizemos
que x „ y se x = y ou se x, y P A. Representamos o quociente por X/A. Outro exemplo é o chamado cone num espaço X , obtido como o quociente X ˆ [0, 1]/X ˆ t0u.
15
Exercícios.
(1) Seja G = R ´ t0u o grupo multiplicativo e considere a acção de G em R por multiplicação. Descreva a topologia quociente em R/G.
(2) Mostre que [0, 1]/t0, 1u é homeomorfo a S 1 . Sugestão: considere a função f : [0, 1] Ñ
(
)
R2 dada por f (t) = cos(2πt), sin(2πt) . Defina a inversa por ramos.
(3) Mostre que R/Z é homeomorfo a [0, 1]/t0, 1u.
(4) Mostre que P1 é homeomorfo a S 1 . Sugestão: considere a função f : [0, 1] Ñ S 1
?
definida por f (x) = (x, 1 ´ x2 ). Defina a inversa por ramos.
(5) Pag. 28, exercício 4.
(6) Pag. 144, exercícios 1, 4.
Produtos
Chamamos n-tuplo em X a uma função x : t1, 2, . . . , nu Ñ X . É costume representar os valores da função por x(1) = x1 , . . . x(n) = xn . Um n-tuplo pode naturalmente
ser visto como um elemento (x1 . . . xn ) P X n . De maneira análoga, Uma sucessão
em X é uma função N Ñ X que representamos por (xk )kPN = (x1 , x2 , x3 , . . .), e que
ś
podemos ver como um elemento de 8
k=1 X = X ˆ X ˆ X ˆ ¨ ¨ ¨ . Generalizando,
dado um conjunto de índices J , um J -tuplo é uma função x : J Ñ X . Para cada α P J
chamamos coordenada α de x a x(α) = xα e representamos o J -tuplo por (xα )αPJ ,
ou simplesmente (xα ) se o conjunto de índices J estiver subentendido. Representamos
ś
o conjunto dos J -tuplos por αPJ X ou simplesmente por X J .
Uma função indexadora duma colecção de conjuntos C é uma função sobrejectiva f : J Ñ C . Escrevendo f (α) = Xα , representamos a colecção indexada por
tXα uαPJ . Dada uma colecção indexada de subconjuntos Xα Ă X , definimos o proś
duto αPJ Xα Ă X J como o conjunto dos J -tuplos (xα ) em X tais que xα P Xα para
qualquer α P J , ou seja, como o conjunto das funções x : J Ñ X tais que x(α) P Xα
para qualquer α P J .
Vamos agora considerar a questão de como definir uma topologia no produto. Para
ś
cada β P J temos a função projecção pβ : α Xα Ñ Xβ que leva um J -tuplo (xα ) na
sua coordenada β : xβ . Naturalmente queremos que cada pβ seja uma função contínua.
Definição 20. A topologia produto é a topologia menos fina para a qual as projecções
são funções contínuas.
Para qualquer β P J e qualquer conjunto aberto U Ă Xβ , o conjunto p´1
β (U ) deverá ser aberto. A topologia produto é a topologia gerada pelos conjuntos da forma
p´1
β (U ). Mas a colecção destes conjuntos não formam uma base. Precisamos do teorema seguinte:
16
Teorema 13. Seja X um conjunto, S uma colecção de subconjuntos de X . Então a colecção das
intersecções finitas de elementos de S :
␣
(
B = S1 X ¨ ¨ ¨ X Sk : S1 , . . . , Sk P S, k P N Y tXu
é uma base da topologia menos fina T para qual os elementos de S são abertos.
Demonstração. Basta verificar que B satisfaz as condições do Teorema 4.
□
Dizemos que a topologia T é gerada pela colecção S e dizemos que S é uma subbase da topologia. No caso da topologia produto temos a subbase
␣
(
S = pβ´1 (U ) : β P J e U Ă Xβ é aberto
ś
Teorema 14. Seja B a colecção dos produtos Uα tais que para cada α os conjuntos Uα Ă Xα
são abertos e Uα = Xα excepto para um número finito de índices α. Então B é uma base da topologia
produto.
Demonstração. A colecção B é a colecção das intersecções finitas de elementos de S .
□
Se cada Xα for um espaço métrico com distância dα , existe outra topologia imporś
ś
tante no produto Xα : dado um ponto x P Xα e um número real δ ą 0, definimos
as bolas
"
*
ź
B(x, δ) = y P
Xα : sup d(xα , yα ) ă δ .
α
ś
e dizemos que um conjunto A Ă Xα é aberto se para qualquer x P A, existir um
δ ą 0 tal que B(x, δ) Ă A. Chamamos a esta topologia a topologia uniforme.
Exercícios.
␣
(
(1) Seja X = ta, b, c, du. Descreva a topologia em X gerada pela subbase S = ta, bu, tb, cu .
(2) Dado um conjunto X , mostre que a colec cão dos conjuntos da forma X ´ txu,
com x P X , é uma subbase da topologia cofinita (ou seja, a topologia cofinita é a
topologia menos fina em que os pontos são conjuntos fechados).
(3) Mostre que a colecção dos intervalos abertos ilimitados em R é uma subbase da
topologia usual. Generalize este resultado para uma topologia da ordem arbitrária.
(4) Seja Y um espaço topológico, e seja S uma subbase de Y . Prove que uma função
f : X Ñ Y é contínua sse para cada S P S o conjunto f ´1 (S) for aberto em X .
(5) Sejam T1 , T2 duas topologias num conjunto X . Mostre que para mostrar que T2
é mais fina do que T1 basta verificar que os elementos duma subbase de T1 são
abertos em T2 .
(6) Mostre que a topologia uniforme é mais fina que a topologia produto.
␣
(
(7) Dada uma colecção de espaços métricos (Xα , dα ) , seja dα (x, y) = mintdα (x, y), 1u,
ś
e dados x, y P Xα , seja ρ(x, y) = supα dα (xα , yα ),
(a) Mostre que cada dα é uma distância em Xα .
(b) Mostre que ρ é uma distância.
17
(c) Mostre que a topologia induzida pela distância ρ é a topologia uniforme.
(8) Pag. 83, exercícios 4, 5.
(9) Pag. 118, exercícios 1 a 3, 7, 8.
(10) Pag. 127, exercícios 4, 5, 6.