Produtos Caixa André Ottenbreit Maschio Rodrigues - IME-USP

Produtos Caixa
André Ottenbreit Maschio Rodrigues
Dissertação apresentada
ao
Instituto de Matemática e Estatística
da
Universidade de São Paulo
para
obtenção do título
de
Mestre em Ciências
Programa: Matemática
Orientador: Prof.a Dr.a Lúcia Renato Junqueira
Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio
financeiro da CAPES e CNPq
São Paulo, julho de 2014
Produtos Caixa
Esta é a versão original da dissertação elaborada pelo
candidato (André Ottenbreit Maschio Rodrigues), tal como
submetida à Comissão Julgadora.
Agradecimentos
Gostaria de agradecer primeiramente aos meus pais por todo o apoio e
compreensão, sempre me incentivando e me permitindo avançar em meus
estudos.
Agradeço a minha orientadora, Profa Lúcia Renato Junqueira, pela paciência e todo o apoio e atenção.
Agradeço a todos os meus amigos e colegas do IME-USP por me acompanharem por tantos momentos desde a graduação até o mestrado.
Agradeço aos meus companheiro de república, com quem eu compartilhei
um teto e tantas lembranças durante os últimos anos.
Agradeço a todos os professores do IME-USP que me ensinaram praticamente tudo o que sei sobre Matemática, em especial à professora Iryna
Kashuba pelo apoio durante a iniciação científica.
Agradeço a todos os colegas e professores do Grupo de Topologia, tanto
os do IME quanto os do ICMC em São Carlos e da UFBA em Salvador.
Agradeço à CAPES e à CNPq pelo apoio financeiro durante a produção
deste trabalho.
Agradeço em especial a Profa Ofélia Teresa Alas, Santi Spadaro, e Gabriel
Zanetti Nunes Fernandes pelas contribuições a este trabalho.
i
Resumo
RODRIGUES, A. O. M. Produtos Caixa. 2014. Dissertação (Mestrado) Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo,
2014.
Este trabalho tem como objetivo apresentar uma coletânea de resultados
sobre produtos caixa de espaços topológicos. Com o intuito de comparação
com o produto de Tychonoff, apresentamos propriedades do produto caixa relacionadas a espaços discretamente gerados e ao espaço C (X). Em seguida
apresentamos alguns resultados relativos ao problema da paracompacidade
de produtos caixa, o qual é a principal questão envolvendo este tipo de produto. Por fim, utilizamos o produto caixa para construir dois exemplos de
espaços normais cujos produtos não são normais.
Palavras-chave: produto caixa, paracompacidade, espaço de Dowker, espaços C -discretos, pequenos cardinais.
ii
Abstract
RODRIGUES, A. O. M. Box Products. 2010. 120 f. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo,
São Paulo, 2010.
The aim of this work is to present a selection of results about box products
of topological spaces. In order to compare this product with the Tychonoff
product, we present properties of the box products related to discretely generated spaces and to the space C (X). Then we present results on the
problem of paracompactness of the box products, wich is the main question
regarding this kind of product. At last, we use the box products to create
examples of normal spaces whose products are not normal.
Keywords: box product, paracompactness, Dowker space, C -discrete spaces, small cardinals.
iii
Sumário
Introdução
1
1 Preliminares
1.1 Teoria dos Conjuntos . . . . .
1.1.1 Filtros e Ultrafiltros .
1.1.2 Ordens . . . . . . . . .
1.2 Topologia Geral . . . . . . . .
1.2.1 Axiomas de separação
1.2.2 Espaços dispersos . . .
1.2.3 Funções cardinais . . .
1.2.4 Paracompacidade . . .
1.2.5 Espaços κ-metrizáveis
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5
5
6
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8
10
10
13
16
2 Comparações com o produto de Tychonoff
2.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Propriedades básicas . . . . . . . . . . . . .
2.3 Espaços discretamente gerados . . . . . . .
2.4 O espaço de funções contínuas . . . . . . . .
2.4.1 Cardinais mensuráveis . . . . . . . .
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3 Paracompacidade de produtos caixa
3.1 O produto nabla . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 A uma equivalência da Hipótese do Contínuo .
3.3 Pequenos cardinais . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Produtos de ordinais . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 O caso não enumerável . . . . . . . . . . . . . .
3.6 O problema dos produtos caixa nos dias de hoje
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4 Aplicações
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4.1 Espaço de Dowker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Um produto não normal de espaços κ-metrizáveis . . . . . . . 74
iv
A Uniformidades e o produto caixa uniforme
78
A.1 Uniformidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
A.2 Topologia induzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
A.3 Produtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Referências Bibliográficas
91
Índice Remissivo
96
v
Introdução
Em diversas áreas da matemática, como por exemplo a álgebra, costumase utilizar o conceito de produto cartesiano como ferramenta para criar novos
objetos a partir dos já construídos. Podemos citar as somas diretas e produtos diretos de anéis, módulos, corpos, espaços vetoriais, enfim, praticamente
qualquer estrutura algébrica. Inclusive, tal conceito é generalizado na Teoria
de Categorias pelo produto categorial.
Já na topologia, também utilizamos o produto cartesiano de maneira
semelhante. Dados dois espaços topológicos, podemos equipar o produto
cartesiano desses espaços com a topologia gerada pelos produtos cartesianos
dos abertos das topologias em questão. Da mesma maneira, podemos por
indução estender essa definição para um produto de uma quantidade finita
de espaços topológicos. Tal definição satisfaz uma série de boas propriedades
que permitem tal conceito ser facilmente utilizado com diversos outros conceitos da topologia. Contudo, quando trabalhamos com um produto de uma
quantidade infinita de espaços topológicos, surgem algumas dificuldades.
A maneira mais natural de se estender tal conceito de produto topológico
para infinitos fatores seria a de usar a mesma ideia de equipar o produto cartesiano dos espaços topológicos com a topologia gerada por todos os produtos
cartesianos de abertos de cada um dos espaços em questão. Temos assim o
produto caixa. Tal nome se dá pelo fato de seus abertos básicos poderem ser
interpretados como "retângulos"abertos. Contudo, tal topologia não satisfaz
algumas das propriedades que satisfazia no caso de finitos fatores. Por isso,
os topólogos passaram a usar o produto gerado pelas projeções, conhecido
como produto de Tychonoff , como produto topológico usual, já que este
ainda mantinha todas essas propriedades. Inclusive, o produto de Tychonoff
coincide com o produto categorial na categoria dos espaços topológicos.
Apesar de não possuir as mesmas qualidades que o produto d Tychonoff,
o produto caixa serve como ferramenta para construir contra-exemplos. Um
dos principais exemplos desta funcionalidade dos produtos caixa é o Espaço
de Dowker construído por M. E. Rudin (seção 4.1).
Em termos de axiomas de separação, o produto caixa se comporta da
mesma maneira que o produto de Tychonoff até a propriedade T3 1 . No
2
entanto, a diferença entre tais produtos se evidencia quando estudamos as
propriedades de cobertura. Enquanto o produto de Tychonoff preserva a
1
compacidade (Teorema de Tychonoff), o produto caixa em geral não é compacto. Porém, se observarmos a paracompacidade ao invés da compacidade,
veremos que existem diversas condições sob as quais o produto caixa são
paracompactos. Tal problema se tornou o principal foco de estudos relacionados ao produto caixa.
Inicialmente, na década 1940, Tietze propôs a pergunta:" ω R é normal?"Já na década de 1950, Arthur Stone questionou se o produto caixa
enumerável de espaços metrizáveis é normal. Em [Rud72], M. E. Rudin
apresentou uma resposta positiva para a pergunta de Stone. Mais precisamente, ela demonstrou que tal produto era paracompacto. Este resultado
motivou o estudo da paracompacidade dos produtos caixa.
Durante as décadas de 1970 e 1980, foram obtidos diversos resultados
parciais para esta questão sob diferentes hipóteses, como por exemplo a
Hipótese do Contínuo e algumas hipóteses sobre pequenos cardinais. Em
[Wil84], Scott Williams propõe o uso do conceito de uniformidades como
ferramenta para estudar a paracompacidade dos produtos caixa. Isto levou,
posteriormente, à criação do produto caixa uniforme, o qual apresenta a
mesma questão relativa à sua paracompacidade.
Além de [Wil84], podemos também citar [vD80] e [Roi11] como principais referências sobre a paracompacidade de produtos caixa, reunindo os
principais resultados obtidos em cada período.
O objetivo principal deste texto é apresentar um panorama sobre os principais resultados a respeito dos produtos caixa. O foco principal é o problema
da paracompacidade, no entanto estudaremos outras propriedades deste produto a fim de compará-lo com o produto de Tychonoff, além de apresentar
algumas aplicações.
A seguir detalhamos o modo como o presente trabalho está organizado.
No primeiro capítulo apresentamos conceitos de Teoria dos Conjuntos e
Topologia Geral que utilizaremos ao longo do texto, além de fixar as notações
utilizadas.
O segundo capítulo reúne resultados sobre o produto caixa em perspectiva com o produto de Tychonoff. Estudamos propriedades básicas como
projeções, axiomas de separação, peso e caráter, conexidade, compacidade,
preservação do fecho e convergência de sequências.
Em seguida, ainda no segundo capítulo exploramos alguns resultados
sobre espaços discretamente gerados (propriedade introduzida por Tkachuk e
Wilson em [DTTW02]). Este é um exemplo de propriedade que "se comporta
bem"com o produto caixa, mas o mesmo não acontece com o produto de
Tychonoff, ao contrário do que acontece com diversas outras propriedades.
No final do capítulo, estudamos o espaço das funções contínuas de um
espaço topológico X em R. Analogamente ao espaço Cp (X), podemos utilizar o produto caixa para definir o espaço C (X), o qual foi introduzido
por Tamariz-Mascarúa e Villegas-Rodríguez em [TV02]. Diferentemente de
Cp (X), em diversos casos o espaço C (X) pode ser discreto. Estudamos
2
propriedades do espaço X que tornam o espaço Cbox(X) discreto. Tais
propriedades estão relacionadas com o conceito de quase-ω-resolvibilidade.
Estudamos também um pouco de como essas propriedades se comportam
em modelos de ZFC sem cardinais mensuráveis.
No terceiro capítulo apresentamos alguns resultados para o problema da
paracompacidade do produto caixa. Apresentamos uma das principais ferramentas utilizadas para o estudo desta questão, o produto nabla. Tal produto
nos permite estudar os produtos caixa a menos de um número finito de coordenadas. Utilizando esta ferramenta, apresentamos uma equivalência da
Hipótese do Contínuo envolvendo produtos caixa e o grau de Lindelöf. Estudamos também resultados obtidos com outras hipóteses de consistência mais
fracas, envolvendo os chamados pequenos cardinais. Apresentamos também
um pouco do caso em que os fatores do produto caixa são ordinais. Por
fim, mostramos um pouco dos resultados conhecidos para produtos de uma
quantidade não enumerável de fatores, além de citar algumas questões ainda
em aberto.
No quarto capítulo, apresentamos duas aplicações do produto caixa na
questão de espaços normais cujos produtos não são normais. Primeiramente
apresentamos o espaço de Dowker construído por M. E. Rudin em [Rud71].
Este consiste de um espaço normal cujo produto com o intervalo real unitário não é normal. Em seguida, apresentamos um exemplo de dois espaços
κ-metrizáveis cujo produto não é normal, o qual foi construído por J. E.
Vaughan em [Vau75].
Por fim, no apêndice A apresentamos as definições e alguns resultados
básicos sobre uniformidades, a fim de ilustrar sua utilização como ferramenta
para o produto caixa.
3
Capítulo 1
Preliminares
Neste capitulo introduziremos os conceitos básicos, definições e notações
que utilizaremos por todo o texto. Trabalharemos sempre assumindo os
axiomas de ZFC.
Começamos introduzindo algumas notações e conceitos básicos.
Notação. Denotaremos por
• ω = ω0 o conjunto N dos números naturais;
• N∗ = N \ {0} o conjunto dos números naturais não nulos;
• ℵ0 a cardinalidade do conjunto dos números naturais ω;
• R o conjunto dos números reais, equipado com a topologia usual;
• R∗+ o conjunto dos números reais positivos;
• I o intervalo unitário real {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1};
• c = 2ℵ0 = |R| a cardinalidade do conjunto dos números reais;
• Bd (x, r) = {m ∈ M : d(x, m) < r} a bola aberta de centro x e raio
r ∈ R+ em um espaço métrico (M, d);
• Br (x) = Bd (x, r), quando a métrica d estiver subentendida;
• Ac o complementar de um conjunto A ⊂ X, ou seja, Ac = X \ A;
• C o fecho de um conjunto C em um espaço topológico;
• dom(f ) o domínio de uma função f ;
• P(X) = {S : S ⊂ X} o conjunto das partes de X;
• [X]κ = {S ∈ P(X) : |S| = κ} o conjunto das partes de tamanho κ.
[X]<κ , [X]≤κ são definidos da mesma maneira.
4
1.1
Teoria dos Conjuntos
A menos de noção contrária, todos os resultados e definições nesta seção
podem ser encontrados em [Jec03] ou [Kun11].
1.1.1
Filtros e Ultrafiltros
Definição 1.1.1. Seja X um conjunto. Dizemos que F ⊂ P(X) é um filtro
sobre X se F satisfaz as seguintes condições:
• ∅ 6∈ F
• A, B ∈ F ⇒ A ∩ B ∈ F
• A ∈ F, A ⊂ B ⇒ B ∈ F
Se, além disso, F for maximal (no sentido em que, dado um filtro F0 sobre
X, se F ⊂ F0 , então F = F0 ), chamamos F de ultrafiltro sobre X.
Do mesmo modo que com os espaços topológicos, podemos definir o conceito de base de filtro.
Definição 1.1.2. Um conjunto não vazio B ⊂ P(X) é denominado base de
filtro se
• ∅ 6∈ B
• ∀A, B ∈ B, ∃C ∈ B, C ⊂ A ∩ B
Dada uma base de filtro B, definimos o filtro gerado por B por
F = {C ∈ P(X) : ∃B ∈ B, B ⊂ C} .
Dado um filtro F, dizemos que B ⊂ F é uma base para F se B satisfaz
as condições acima e F é o filtro gerado por B.
Definição 1.1.3. Seja F um filtro sobre X, dizemos que F é um filtro principal se F é existe algum conjunto C ⊂ X tal que F é gerado por {C}. Caso
contrário, dizemos que F é um filtro livre.
Um dos principais conceitos relacionados aos filtros são o ultrafiltros.
Definição 1.1.4. Seja X um conjunto, F um filtro sobre X e κ um cardinal
infinito. Dizemos que F é um filtro κ-completo se qualquer intersecção de
menos que κ elementos de F é um elemento de F.
Proposição 1.1.5. Seja F um filtro sobre X. Então F é um ultrafiltro
sobre X se e somente se para todo subconjunto A ⊂ X temos ou A ∈ U ou
X \ A ∈ U.
5
Demonstração. Por um lado, suponha que para todo A ⊂ X vale que ou A
ou seu complementar pertence a F. Seja F0 um filtro sobre X tal que F ⊂ F0 ,
e suponha que exista C ∈ F0 tal que C 6∈ F. Então temos que X \ C ∈ F , e
portanto X \ C ∈ F0 , o que contradiz o fato de que F0 é um filtro. Portanto,
F é um ultrafiltro.
Por outro lado, suponha que F é um ultrafiltro. Seja A ⊂ X tal que
X − A 6∈ F. Note que o conjunto B = F ∪ {A} é uma base de filtro. De
fato, dado C ∈ F temos C ∩ A = ∅, pois caso contrário teríamos C ⊂ X − A
e consequentemente X − A ∈ F. Considere então F0 o filtro gerado por B.
Temos que A ∈ F0 e que F ⊂ F0 . Como F é um ultrafiltro, temos que F = F0
e , portanto, A ∈ F0 , como gostaríamos.
1.1.2
Ordens
Ainda referente a definições básicas e notações, trataremos nesta seção
de conceitos referentes a ordens.
Definição 1.1.6. Uma ordem1 em um conjunto X é uma relação binária
reflexiva, anti-simétrica e transitiva. Se, além disso, todo par de elementos
do conjunto for comparável pela ordem, então chamaremos tal ordem de ordem linear. Por fim, se todo subconjunto de X possuir mínimo, então temos
uma boa ordem.
Notação. Seja X um conjunto equipado de uma ordem ≤. Denotaremos por
< a ordem estrita induzida por ≤, ou seja, < é a relação definida binária
por a < b ⇔ a ≤ b e a 6= b.
Denotaremos intervalos abertos e fechados usando colchetes, como a seguir:
• [a, b] = {x ∈ X : a ≤ x ≤ b}
• ]a, b[= {x ∈ X : a < x < b}
• ] − ∞, b] = {x ∈ X : x ≤ b}
• ]a, ∞[= {x ∈ X : a < x}
Definição 1.1.7. Dado um conjunto α, dizemos que α é um ordinal se α é
transitivo (isto é, ∀x ∈ α, x ⊂ α) e bem ordenado pela relação de pertinência
∈. Dados dois cardinais α e β, dizemos que α < β se e somente se α ∈ β.
Dado um ordinal κ, dizemos que κ é um cardinal se para todo ordinal α < κ
não existe uma bijeção entre α e κ.
Quando nos referirmos a propriedades topológicas de ordinais, os consideramos com a topologia da ordem.
1
conhecido também por ordem parcial
6
Definição 1.1.8. Seja X um conjunto munido de uma ordem ≤. Chamamos
de topologia da ordem a topologia τ≤ sobre o conjunto X gerada por todos
os intervalos abertos da ordem ≤.
Além dos conjuntos bem ordenados, utilizaremos também o conceito de
árvore.
Definição 1.1.9 (Árvores).
• Um conjunto parcialmente ordenado (T, ≤) é chamado árvore se, para
todo t ∈ T , o conjunto t↓ = {y ∈ T : y ≤ t} é bem ordenado.
• Dado t ∈ T , definimos a altura de t por ht(t) = α, onde α é o único
ordinal tal que t↓ possui tipo de ordem α, isto é, existe uma bijeção
crescente entre t↓ e α.
• Definimos a a altura de T por ht(T ) = sup {ht(t) : t ∈ T }.
• Dado α um ordinal, definimos o α-ésimo nível de T como o conjunto
{t ∈ T : ht(t) = α}.
• Um ramo de uma árvore (T, ≤) é uma cadeia maximal em T , isto é,
subconjunto C ⊂ T tal que todo par de elementos de T é comparável e
para qualquer t ∈ T \ C existe um elemento t0 ∈ C tal que t e t0 não
são comparáveis.
Para definições e resultados sobre ordinais e cardinais, consulte [HJ99]. A
menos de menção contrária, quando o texto se referir a ordinais como espaço
topológico está implícito se tratar da topologia da ordem. Outro conceito
importante sobre ordem a ser utilizado é o de cofinalidade.
Definição 1.1.10. Seja X um conjunto equipado com uma ordem ≤. Dizemos que um conjunto B ⊂ A é cofinal em A se ∀a ∈ A, ∃b ∈ B, a ≤ b
Definição 1.1.11. Dado um conjunto C, definimos a cofinalidade de C por:
cf(C) = min {|B| : B ⊂ C é cofinal em C}
Definição 1.1.12. Um cardinal κ é dito regular se cf(κ) = κ. Se κ não é
regular, dizemos que κ é singular.
Além de ℵ0 , qualquer cardinal sucessor (isto é, da forma ℵα+1 para algum
ordinal α) é regular.
1.2
Topologia Geral
A menos de noção contrária, todos os resultados e definições nesta seção
podem ser encontrados em [Eng89] ou [Kel75].
7
Definição 1.2.1. Seja C um subconjunto de um espaço topológico X. Dizemos que C é
• Gδ se pode ser escrito como interseção enumerável de conjuntos abertos.
• Fσ se pode ser escrito como união enumerável de conjuntos fechados.
1.2.1
Axiomas de separação
Definiremos nesta seção os axiomas de separação T0 , T1 , T2 , T3 , T3 1 , T4 .
2
Em todos os casos, teremos X um espaço topológico.
Definição 1.2.2. Dizemos que X satisfaz o axioma T0 ou que X é um
espaço T0 se para cada par não ordenado de pontos de X existe um aberto
que contém um ponto e não contém o outro.
Definição 1.2.3. Dizemos que X satisfaz o axioma T1 ou que X é um
espaço T1 se, dados x, y ∈ X distintos, existe uma vizinhança de x que não
contém y.
Definição 1.2.4. Dizemos que X satisfaz o axioma T2 ou que X é um
espaço T2 se, dados x, y ∈ X distintos, existem abertos U, V disjuntos tais
que x ∈ U e y ∈ V . Também chamamos um espaço T2 de espaço Hausdorff
Definição 1.2.5. Dizemos que X satisfaz o axioma T3 ou que X é um
espaço T3 se, dado um fechado F ⊂ X e um ponto x ∈
6 F , temos abertos
U, V ⊂ X disjuntos tais que x ∈ U e F ⊂ V . Se X é um espaço T1 e T3 ,
chamamos X de espaço regular.
Proposição 1.2.6. Um espaço topológico X é T3 se e somente se dado um
ponto x ∈ X e uma vizinhança V de x, existe uma outra vizinhança U de x
satisfazendo x ∈ U ⊂ U ⊂ V .
Utilizaremos uma aplicação da regularidade que envolve a seguinte definição.
Definição 1.2.7.
• Um espaço topológico com a propriedade de que a interseção enumerável de abertos é aberto é chamado de P-espaço.
• Um espaço topológico é dito zero dimensional se possui uma base formada por abertos-fechados.
Proposição 1.2.8. Se X é um P-espaço satisfazendo o axioma T3 , então
X é zero-dimensional.
8
Demonstração. Dados x ∈ X e U ⊂ X aberto tal que x ∈ U , como X é
T3 , existe aberto V0 tal que x ∈ V0 ⊂ V0 ⊂ U . Podemos então construir
uma sequência de abertos (Vn )n∈ω tal
T que paraTcada n ∈ ω temos x ∈
Vn+1 ⊂ Vn+1 ⊂ Vn . Assim, temos n∈ω Vn = n∈ω Vn . Tal conjunto é
um aberto-fechado, pois X é P-espaço. Assim, construímos uma base de
abertos-fechados para X.
Definição 1.2.9. Dizemos que X satisfaz o axioma T3 1 ou que X é um
2
espaço T3 1 se, dado um fechado F ⊂ X e um ponto x 6∈ F , existe uma
2
função contínua f : X −→ I tal que f (x) = 0 e f (y) = 1 para qualquer
y ∈ F . Se X é simultaneamente T1 e T3 1 , dizemos que X é de Tychonoff
2
ou completamente regular.
Definição 1.2.10. Dizemos que X satisfaz o axioma T4 ou que X é um
espaço T4 se, dados dois fechados disjuntos F1 e F2 , existem dois abertos
disjuntos U, V tais que F1 ⊂ U e F2 ⊂ V . Se X é um espaço T1 e T4 ,
chamamos X de espaço normal.
Ao longo do texto, utilizaremos dois tipos mais fortes de normalidade: a
coletiva e a monótona.
Definição 1.2.11. Sejam X um espaço topológico e A ⊂ P(X) uma família
de subconjuntos de X. Dizemos que:
• A é uma família discreta se todo ponto x ∈ X possui uma vizinhança
Vx que intercepta no máximo 1 elemento de A.
• X é coletivamente normal se, dada uma família discreta de fechados
{Fi ⊂ X : i ∈ I}, existe uma família de abertos dois a dois disjuntos
{Ai ⊂ X : i ∈ I} tal que ∀i ∈ I, Fi ⊂ Ai .
Definição 1.2.12. Um espaço topológico T1 (X, τ ) é dito monotonamente
normal se para todo par (x, A), com x ∈ A ∈ τ , existe um aberto µ(x, A)
satisfazendo:
1. x ∈ µ(x, A) ⊂ A
2. se µ(x, A) ∩ µ(y, B) 6= ∅, então x ∈ B ou y ∈ A
Diferentemente da normalidade, esta propriedade é hereditária, o que é
facilmente verificável graças a sua caracterização essencialmente local. Para
justificar o nome da propriedade, note que todo espaço monotonamente normal é, em particular, normal: dados
S dois fechados disjuntos
S F, G ⊂ X, estes
são separados pelos abertos U = p∈F µ(p, X \ G) e V = q∈G µ(q, X \ F ),
respectivamente. A contrapositiva do item 2 da definição garante que U e V
são disjuntos.
9
1.2.2
Espaços dispersos
Uma propriedade topológica dos conjuntos bem ordenados é que os mesmos são dispersos. Por esta razão, utilizaremos o conceito de espaço disperso
para estudar o produto caixa de ordinais na seção 3.4.
Definição 1.2.13. Seja X um espaço topológico. Dizemos que X é disperso
se para todo A ⊂ X, A 6= ∅, existe um ponto isolado em A.
Note que todo conjunto bem ordenado equipado com a topologia da
ordem é disperso. De fato, dado X conjunto bem ordenado e dado Y ⊂ X,
temos que p = min Y é ponto isolado de Y , visto que existe o intervalo aberto
]0, p + 1[ de extremos 0 = min X e o sucessor de p. Em particular, temos
que todo ordinal é disperso.
Podemos caracterizar a dispersão de um espaço topológico pela sequência de Cantor-Bendixon. Dado um espaço topológico X qualquer, podemos definir a seguinte sequência de subespaços: Começamos com X (0) =
X.
X (α) construído para algum
ordinal α, definimos X (α+1) =
Supondo
(α)
(α)
x∈X
: x não é isolado em X
. Se θ é um ordinal limite, definimos
T
(θ)
(α)
X = α<θ X . Por indução, dado qualquer ordinal α podemos ver que
X (α) é fechado em X e que dado Y ⊂ X temos Y (α) ⊂ X (α) .
Proposição 1.2.14. Um espaço topológico X é disperso se e somente se
existe algum ordinal α tal que X (α) = ∅.
Demonstração. Suponha X disperso. Para qualquer ordinal α temos X (α) ⊂
X. Portanto, se X (α) 6= ∅, então o mesmo um ponto isolado, de maneira que
α X (α+1) X (α) . Assim, a cada iteração da sequência de Cantor-Bendixon,
retira-se algum ponto, de maneira que X (κ) = ∅ para κ > |X|+ .
Suponhamos agora que exista um ordinal α tal que X (α) = ∅. Dado
Y ⊂ X não vazio, temos que Y (α) ⊂ X (α) = ∅. Disso, concluímos que Y
possuí algum ponto isolado pois, caso o contrário, teríamos Y = Y (0) =
Y (1) = . . . = Y (α) , o que é um absurdo.
Observação 1.2.15. Se além de disperso, X for também compacto, temos
que o menor ordinal α é tal que X (α) = ∅ é um ordinal sucessor , isto é,
α = β+1. Além disso, temos que X (β) é finito. De fato, se α é ordinal limite,
ou se X (β) fosse infinito, teríamos uma quantidade infinita de pontos isolados
em algum subespaço fechado de X, o que é impossível. Denominamos tal β
por rank de X, e denotamos por β = rank(X).
1.2.3
Funções cardinais
Chamamos de função cardinal uma "função"que a associa a cada espaço
topológico um cardinal, de maneira que espaços homeomorfos são levados
10
ao mesmo cardinal. Tecnicamente, uma função cardinal não pode ser uma
função no sentido de teoria dos conjuntos, pois o seu domínio, caso existisse,
seria equipotente ao conjunto de todos os conjuntos, o qual não existe. Por
essa razão, trabalharemos com funções cardinais apenas como notação.
Seguem alguns exemplos clássicos de funções cardinais, os quais serão
usados neste texto para facilitar a notação. Mais informações sobre essas
funções podem ser encontradas em [Hod84].
Definição 1.2.16. Seja X um espaço topológico. Denominamos por grau de
Lindelöf de X (e denotamos L(X)) o menor cardinal κ tal que toda cobertura
aberta de X possui uma subcobertura de tamanho κ.
Definição 1.2.17. Seja X um espaço topológico. Definimos o peso de X
por
w(X) = min {|B| : B é base de X}
Se w(X) = ℵ0 , dizemos que X satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade, ou também que X é segundo enumerável.
Definição 1.2.18. Seja X um espaço topológico. Definimos a densidade de
X por
d(X) = min {|D| : D é denso em X}
Se d(X) = ℵ0 , dizemos que X satisfaz o terceiro axioma da enumerabilidade,
ou também que X é separável.
Definição 1.2.19. Seja X um espaço topológico, e C ⊂ P(X). Dizemos
que C é uma família celular se é composta por abertos dois a dois disjuntos.
Definimos então c(X) = sup {|C| : C ⊂ P(X) é uma família celular} como
a celularidade de X. Se c(x) = ℵ0 , dizemos que X satisfaz a condição de
cadeia enumerável (ccc)2 .
Definição 1.2.20. Seja X um espaço topológico, e seja x ∈ X. Definimos o
caráter do ponto x por χ(x, X) = min {|Bx | : Bx é uma base local para x}.
Definimos então o caráter do espaço X por χ(X) = supx∈X χ(x, X). Se
χ(X) = ℵ0 , dizemos que X satisfaz o primeiro axioma da enumerabilidade,
ou também que X é primeiro enumerável.
O caráter é o exemplo de uma função cardinal local, isto é, uma função
que é construída a partir de uma função definida em cada ponto do espaço.
Utilizaremos o seguinte teorema para majorar a cardinalidade de espaços
Hausdorff.
Teorema 1.2.21 (Arhangelskii). Seja X um espaço Hausdorff. Então
|X| ≤ 2L(X)χ(X) .
2
Do inglês, contable chain condition
11
Demonstração. Ao invés da construção original de Arhangelskii, utilizaremos
a versão de R. Pol [Pol74].
Fixemos κ = L(X)χ(X). Para cada x ∈ X, fixemos Vx = {Vx,λ : λ < κ}
uma base local para x. Vamos construir indutivamente uma sequência crescente (Fα )α<κ+ de fechados em X satisfazendo:
(1) ∀α < κ+ , |Fα | ≤ 2κ ;
hS n
oi≤κ
S
(2) para 0 < α < κ+ , dado qualquer U ∈
Vx : x ∈ β<α Fβ
,
temos
[
X \ U 6= ∅ =⇒ Fα \ U 6= ∅.
Começamos definindo F0 = {p} para algum p ∈ X qualquer. Fixado
α < κ+ , suponhamos Fβ construído para cada β < α. Definimos então



n
o
[
[
[
V=
Vx : x ∈
Fβ e V ∗ = X \ U : U ∈ [V]≤κ .


β<α
Como |V| ≤ 2κ , temos |V ∗ | ≤= (2κ )κ = 2κ . Escolhemos então um
ponto de cada elemento de V ∗ e obtemos um conjunto E tal que |E| ≤ 2κ .
Definimos
[
Fα = E ∪
Fβ .
β<α
Por construção, temos que Fα satisfaz (2). Vamos mostrar que Fα satisfaz
(1). Para cada x ∈ Fα e cada λ < κ, escolhemos


[
ax,λ ∈ Vx,λ ∩ E ∪
Fβ 
β<α
qualquer.
que a sequência (ax,λ )λ<κ converge para x. Definimos Φ :
Note
κ
S
Fα −→ E ∪ β<α Fβ a função que associa cada ponto x ∈ Fα à sequência
(ax,λ )λ<κ acima construída. Como X é Hausdorff, temos que cada sequência
de pontos de X converge para um único ponto, de modo que Φ é injetora.
Portanto, |Fα | ≤ (2κ )κ , como gostaríamos.
S
Uma vez construída a sequência (Fα )α<κ+ , definimos F = α<κ+ Fα .
Vamos mostrar que X = F . Primeiramente, vamos mostrar que F é fechado.
Seja a ∈ F . Para cada λ < κ, fixemos um ponto aλ ∈ Va,λ ∩F qualquer. Note
que a sequência (aλ )λ<κ converge para a. Como (Fα )α<κ+ é crescente e κ+ é
um cardinal regular, podemos encontrar α < κ+ tal que {aλ : λ < κ} ⊂ Fα .
Logo a ∈ Fα = Fα ⊂ F .
Suponhamos agora, por absurdo, que exista y ∈ X \ F . Para cada
x ∈ F , podemos encontrar Vx ∈ Vx tal que y 6∈ Vx . Temos que a família
12
{Vx : x ∈ F } cobre F . Como F é fechado, temos que L(F ) ≤ κ, e portanto,
podemos encontrar F 0 ∈ [F ]≤κ tal que a família U = {Vx : x ∈ F 0 } também
cobre F . Novamente pelo fato de que κ é regular, temos que existe algum
hS n
oi≤κ
S
γ < κ+ tal que F 0 ⊂ Fγ . Note que U ∈
Vx : x ∈ β<γ Fβ
e
S
S
y ∈ X \ U. Por 2, temos que Fγ \ U 6= ∅, o que contradiz o fato de que
U cobre F . Logo, X = F , como queríamos.
1.2.4
Paracompacidade
Definição 1.2.22. Sejam X um espaço topológico, U, V ⊂ P(X) famílias
de subconjuntos de X. Dizemos que:
• U é localmente finita se para todo x ∈ X existe uma vizinhança Ux
de x a qual é interceptada por no máximo umaTquantidade finita de
elementos de U (ou seja, o conjunto {U ∈ U : U Ux 6= ∅} é finito)
• U é σ-localmente finita se puder ser escrita como união enumerável de
famílias localmente finitas.
S
S
• V refina U se V = U e ∀V ∈ V, ∃UV ∈ U, V ⊂ UV .
Definição 1.2.23. Dizemos que X é paracompacto se toda cobertura aberta
admite um refinamento aberto localmente finito. Se toda cobertura aberta
admitir refinamento aberto dois-a-dois disjunto, dizemos que X é ultraparacompacto
É um resultado básico em topologia o fato de que todo espaço compacto
Hausdorff é normal. De maneira parecida, podemos enfraquecer a hipótese
de compacidade para paracompacidade e obter o mesmo resultado. Por este
motivo, os resultados sobre normalidade de produtos caixa estão muitas vezes
relacionados à paracompacidade.
Neste texto, trabalharemos na maioria das vezes com espaços regulares. Supondo que determinado espaço topológico é regular, obtemos várias equivalências para a paracompacidade de tal espaço. Algumas destas
equivalências estão demonstradas, por exemplo, em Engelking [Eng89] e em
Kelley [Kel75]. Porém apenas utilizaremos a seguinte equivalência:
Teorema 1.2.24 (Michael [Mic53]). Seja X um espaço topológico regular.
Então são equivalentes as afirmações:
i X é paracompacto
ii Toda cobertura aberta de X admite refinamento aberto σ-localmente finito
Demonstração. É fácil ver que i⇒ii , pois toda família localmente finita é,
em particular, σ-localmente finita. Para provar ii ⇒ i , seja C uma cobertura
13
S
aberta de X. Seja U = n∈ω Un um refinamento aberto de C tal que para
cada n ∈ ωS, Un é uma família localmente finita em X. Para cada n ∈ ω,
e cada x ∈ Un usamos a regularidade de X para escolher dois abertos
S Ux
e Vx tais que x ∈ Vx S
⊂ Vx ⊂ Ux ∈ Un . Definimos Vn = {Vx : x ∈ Un }.
Fixando m ∈ ω e y ∈ Um , definimos
!
[
[
Wm,y = Vy \
V
n<m
V ∈Vn
S
S
Note que Vn é localmente finita, portanto V ∈Vn V = Vn S
é fechado, e
assim Wm,y é aberto. Temos assim que W = {Wy : m ∈ ω, y ∈ Um } é um
refinamento aberto localmente finito de C, como queríamos.
Introduzimos agora uma ferramenta que usaremos diversas vezes para
constatar que um espaço é paracompacto. Basicamente, tal resultado é uma
generalização do resultado de que todo espaço regular Lindelöf é paracompacto. Para facilitar a notação, vamos introduzir a seguinte definição:
Definição 1.2.25. Seja κ um cardinal infinito. Dizemos que um espaço
topológico X é
• κ-Lindelöf se toda cobertura aberta de X admite uma subcobertura de
cardinalidade κ.
• um Pκ -espaço se qualquer intersecção de uma quantidade menor do que
κ de abertos é aberta. Alguns autores também utilizam a nomenclatura
κ-aberto.
Observação 1.2.26. Dizer que X é κ-Lindelöf significa L(X) ≤ κ. Note
também que por definição, todo espaço topológico é um Pℵ0 -espaço, e que
todo espaço κ-Lindelöf, com κ > ℵ0 é um P-espaço.
Lema 1.2.27. Seja X um espaço topológico regular. Se existe um cardinal
infinito κ tal que X é Pκ espaço κ-Lindelöf, então X é paracompacto.
Demonstração. Se κ = ℵ0 , temos o resultado tradicional de que todo espaço
de Lindelöf regular é paracompacto. Mais especificamente, ele é corolário
do teorema 1.2.24: se X é regular Lindelöf, dada uma cobertura aberta, sua
subcobertura enumerável é um refinamento σ-localmente finito, portanto X
é paracompacto.
Se κ > ℵ0 e X é um espaço nas condições do enunciado do teorema, então
X é em particular um P-espaço. Pela proposição 1.2.8, temos que X é zero
dimensional. Seja R uma cobertura aberta de X. Podemos então construir
um refinamento U de R formado por conjuntos abertos fechados. Como X
é um espaço κ-Lindelöf, temos uma subcobertura U0 de U, de cardinalidade
κ. Considerando κ como um ordinal, podemos indexar U0 por κ, isto é, U0 =
14
n
o
S
{Uα ∈ U : α < κ}. Temos R0 = Uα \ β<α Uβ : α < κ um refinamento
dois a dois disjunto de R, o qual é aberto pois X é Pκ espaço. Portanto, X
é de fato paracompacto.
O lema a seguir servirá de ferramenta para a demonstração do teorema 3.1.5. Tal lemamostra que a paracompacidade é preservada por funções
contínuas fechadas.
Lema 1.2.28. Seja F : X −→ Y uma função contínua fechada e sobrejetora
entre dois espaços topológicos regulares. Temos então:
1. Se X é paracompacto, então Y é também.
2. Se Y é paracompacto e a pré-imagem por F de cada ponto de Y for
Lindelöf , então X é paracompacto.
Demonstração. A demonstração do item 1 pode ser vista em [Mic56]. Para
o segundo item, seja U uma cobertura aberta de X. Para cada y ∈ Y ,
usando a hipótese de que F −1 ({y}) é Lindelöf,
obter uma famíS podemos
y
y
−1
lia {Un : n ∈ ω} ⊂ U tal que F ({y}) ⊂ n∈ω Un . Para cada y ∈ Y ,
definimos:
(
)
[
V y = z ∈ Y : F −1 ({z}) ⊂
Uny
n∈ω
Uny ,
temos que y ∈ V y . Notemos que o complementar
Pela escolha dos
y
de V pode ser escrito como:
S
y
Y \ V y = z ∈ Y : F −1 ({z}) 6⊂ n∈ω UnS
= z ∈ Y : ∃p ∈ F −1 ({z}) , p 6∈ n∈ω Uny
= F (X \ V y )
Assim, como F é fechada, podemos ver que V y é aberto. Usamos a
paracompacidade de Y para obter um refinamento W = {W y : y ∈ Y } da
cobertura aberta {V y : y ∈ Y } de tal forma que ∀y ∈ Y, W y ⊂ V y . Com
isso, definimos para cada n ∈ ω a família
Rn = Uny ∩ F −1 (W y ) : y ∈ Y .
S
Note que Rn é uma família localmente finita: para cada x ∈ Rn , seja
Ox a vizinhança aberta de F (x) que testemunha que W é localmente finita
(isto é, Ox intercepta apenas um número finito de elementos de W). Temos
F (x)
então que Un ∩ F −1 (Ox ) é uma testemunha de que Rn é localmente finito.
Concluímos que U tem um refinamento σ-localmente finito e portanto X é
paracompacto (teorema 1.2.24).
15
1.2.5
Espaços κ-metrizáveis
Outra maneira de verificar que um espaço é paracompacto é o conceito
de espaço κ-metrizável. Scott Williams define tal conceito no contexto uniformidades em [Wil84]. No entanto, utilizaremos a definição encontrada, por
exemplo, em [Roi11].
Definição 1.2.29. Seja κ um ordinal e X um espaço topológico. Dizemos
que X é κ-metrizável se cada ponto x ∈ X possui uma base local Bx =
{ux,α : α < κ} tal que, dados dois pontos distintos x, y ∈ X e dois ordinais
α ≤ β < κ, temos:
1. y ∈ ux,α ⇒ uy,β ⊂ ux,α
2. y 6∈ ux,α ⇒ uy,β ∩ ux,α = ∅
Note que, como este conceito é definido localmente, temos que κ-metrizabilidade
é hereditária.
Teorema 1.2.30. Se X é um espaço κ-metrizável para algum κ, então X é
hereditariamente ultraparacompacto.
Demonstração. Seja U uma cobertura aberta de um espaço κ-metrizável
X. Fixado x ∈ X, seja Ux uma base local como na definição 1.2.29. Seja
αx = min {β ∈ κ : ∃u ∈ U, ux,β ⊂ u}. Definimos então ux = ux,αx , e vamos
mostrar que U 0 = {ux : x ∈ X} é uma partição de X.
Sejam x, y ∈ X pontos distintos. Podemos supor αx ≤ αy . Vamos dividir
em dois casos:
Se y 6∈ ux , pelo item 2 da definição 1.2.29, então ux ∩ uy = ∅, como
gostaríamos.
Se y ∈ ux , pela contra-positiva do item 2, temos que x ∈ uy,αx . Logo, pelo
item 1 , ux ⊂ uy,αx . Por outro lado, y ∈ ux e o item 1 também implicam que
uy,αx ⊂ ux . Portanto, temos uy,αx = ux . De tal forma, pela definição de αy ,
concluímos que αy = αx , e portanto, ux = uy , também como gostaríamos.
Por fim, observe que a hereditariedade decorre de que a κ-metrizabilidade
é uma propriedade hereditária.
16
Capítulo 2
Comparações com o produto
de Tychonoff
Neste capítulo, apresentamos resultados sobre o produto caixa com o
propósito de compará-lo com o produto de Tychonoff. Começamos apresentando as definições de ambos os produtos, e verificando algumas propriedades
básicas.
Na seção seguinte, veremos como o produto caixa, diferentemente do produto de Tychonoff, pode ser utilizado construção de espaços discretamente
gerados.
Por fim, estudaremos o conjunto C(X) das funções contínuas de X em
R relativamente a dois espaços topológicos que este pode gerar: Cp (X) e
C (X), associados ao produto de Tychonoff e caixa, respectivamente. Na
mesma seção, veremos as relações entre o espaço C (X) e espaços quase-ωresolvíveis, além de sua relação com cardinais mensuráveis.
2.1
Definições
Começamos apresentando as definições dos produtos que utilizaremos
neste texto.
Definição
2.1.1.QSejam Xi espaços topológicos
para cada i ∈ I, e seja
Q
Q
X
.
Se
A
⊂
X
é
da
forma
A
=
A
,
como Ai ⊂ Xi para cada
i
i
i
i∈I
i∈I
i∈I
i ∈ I, chamamos de suporte de A o conjunto spt(A) = {i ∈ I : Ai 6= Xi }
Definição 2.1.2. Para cada i ∈ I, seja Xi um espaço topológico. Definimos
o produto de Tychonoff da família
Q {Xi : i ∈ I} como o espaço topológico
formado pelo produto cartesiano i∈I Xi equipado com a topologia gerada
pela seguinte família:
(
!
)
Y
Y
Vi : Vi é aberto em Xi e spt
Vi é finito
i∈I
i∈I
17
Nos referimos aos elementos desa família por abertos básicos. Denotaremos tal espaço topológico por Ti∈I Xi , e a topologia em questão por τT . No
caso em que existe um espaço X tal que ∀i ∈ I, Xi = X, denotamos TI X.
Definição 2.1.3. Para cada i ∈ I, seja Xi um espaço topológico. Definimos
o produto de caixa da famíliaQ{Xi : i ∈ I} como o espaço topológico formado pelo produto cartesiano i∈I Xi equipado com a topologia gerada pela
seguinte família:
(
)
Y
Vi : Vi é aberto em Xi
i∈I
Nos referimos a um elemento de tal família por aberto básico como no
produto de Tychonoff, ou também por caixa aberta. Da mesma forma, denominamos caixa fechada um produto qualquer de conjuntos fechados.
Denotaremos tal espaço topológico por i∈I Xi , e a topologia em questão
por τ . No caso em que existe um espaço X tal que ∀i ∈ I, Xi = X,
denotamos I X.
Note que todo aberto no produto de Tychonoff é em particular aberto no
produto caixa. Em outras palavras, dizemos que τ é uma topologia mais
fina do que a topologia τT .
Existe também um produto intermediário entre o de Tychonoff e o da
caixa, o κ-produto caixa.
Definição 2.1.4. Sejam I um conjunto infinito e Xi um espaço topológico
para cada i ∈ I. Seja κ um cardinal infinito. Definimos o κ-produto caixa
da família
Q {Xi : i ∈ I} como o espaço topológico formado pelo produto cartesiano i∈I Xi equipado com a topologia gerada pela seguinte família:
(
!
)
Y
Y
Vi : Vi é aberto em Xi e spt
Vi < κ
i∈I
i∈I
Novamente podemos nos referir a um elemento desta família por aberto
básico ou então por κ-caixa aberta.
Denotaremos tal espaço topológico por κi∈I Xi , e a topologia em questão
por τκ . No caso em que existe um espaço X tal que ∀i ∈ I, Xi = X,
denotamos κI X.
Note que tanto o produto de Tychonoff quanto o produto caixa são casos
particulares do κ-produto caixa quando κ = ℵ0 e κ > |I|, respectivamente.
2.2
Propriedades básicas
O produto de Tychonoff e o produto caixa compartilham várias propriedades básicas. Expomos aqui algumas delas.
18
Projeções Uma delas é o fato de que em ambos os produtos as projeções
são contínuas. Mais do que isso, o produto de Tychonoff é a topologia menos
fina com tal propriedade.
Por isso dizemos que a topologia de Tychonoff é a
Q
topologia em i∈I Xi induzida pela família de funções {πi : i ∈ I}, e desse
fato decorrem algumas das boas propriedades que justificam a escolha do
produto de Tychonoff como produto usual.
Proposição 2.2.1.
para cada i ∈ I, e consiQ Sejam Xi espaços topológicos
Q
dere Q
o conjunto i∈I Xi . A topologia em i∈I Xi induzida pelas projeções
πi : i∈I Xi −→ Xi é precisamente
a topologia do produto de Tychonoff.
Q
Logo, uma outra topologia em i∈I Xi torna as projeções contínuas se e
somente se for mais fina do que τT .
Q
Demonstração. Seja τ a topologia em i∈I Xi gerada pelas projeções, e
seja τi a topologia de Xi para cadaQi ∈ I. Fixemos j ∈ I. Seja V um
aberto em Xj . Note que πj−1 (V ) = i∈I Vi , onde Vj = V e Vi = Xi para
i 6= j. Portanto, para que πj seja contínua, precisamos que πj−1 (V ) ∈ τ .
Como queremos que todas as projeções sejam contínuas ao mesmo tempo,
precisamos que essa inclusão valha paratodo i ∈ I e para todo aberto de
τi . Logo τ é gerado pela pré-base B = πi−1 (V ) : i ∈ I, V ∈ τi , isto é, o
conjunto B 0 constituído de todas as intersecções finitas de elementos de B
é uma base para τ . Só que B0 nada mais é do que a base do produto de
Tychonoff.
Uma consequência da proposição 2.2.1
Q é que, dada uma família {Ai ⊂
Xi : i ∈ I}, oQproduto de Tychonoff
Q i∈I Ai coincide com a topologia de
subespaço de i∈I Ai herdada de i∈I Xi , pois a topologia de subespaço
nada mais é do que a topologia induzida pela função inclusão. Tal resultado
também vale para o produto caixa.
Axiomas de separação Outra característica em comum do produto caixa
e de Tychonoff é que ambos preservam a maioria dos axiomas de separação.
Em ambos os produtos são preservados os axiomas T0 , T1 , T2 , T3 , T3 1 , e a
2
demonstração para cada caso é semelhante. Como ambos os produtos são
casos particulares do κ-produto caixa, demonstraremos para tal caso geral.
Proposição 2.2.2. Seja Xi um espaço topológico Tn para cada i ∈ I, com
n = 0, 1, 2, 3, 3 21 . Então κi∈I Xi é um espaço topológico Tn para qualquer κ
infinito.
Demonstração. Para n = 0, 1, 2, 3, a demonstração é semelhante. Exibimos
então o caso n = 3, e paraQisto utilizaremos a equivalência de T3 apresentada
na
Q proposição Seja x ∈ i∈I Xi , e seja também um aberto básico V ⊂
i∈I Xi . Para cada i ∈ sptV , usamos o fato de Xi ser espaço topológico T3
para encontrar um aberto Ui ⊂ Xi tal que
Q xi ∈ Ui ⊂ Ui ⊂ Vi . Para i 6∈ sptV ,
definimos Ui = Xi . Assim, temos U = i∈I Ui aberto em κi∈I Xi .
19
Já o caso n = 3 12 é mais complicado e técnico. Como neste texto trabalharemos na maioria dos casos com produtos enumeráveis, exibimos a demonstração para o caso em que I = ω. Seja F ⊂ κi∈I Xi um conjunto
fechado,
Q e seja x0 ∈ κi∈I Xi \ F . Podemos escolher uma vizinhança básica
V = i∈I Vi de x0 tal que V ∩ F = ∅. Para cada i ∈ I, como Xi é T3 1 ,
2
construímos uma função contínua fi : Xi −→ I tal que fi (xi ) = 0 e f (y) = 1
para todo y ∈ Xi \ Vi (caso este seja não vazio). Definimos então a função
P
fi (xi )
f : κi∈I Xi −→ I definida por f (x) = 21 ∞
para cada x ∈ κi∈I Xi .
i=0 2i
P∞ fi (xi )
Para cada x ∈ κi∈I Xi , a série i=0 2i converge. Além disso, temos que
f (x0 ) = 0, além do
Pque 1para todo p ∈ F temos pi 6∈ Vi para cada i ∈ I,
portanto f (p) = 12 ∞
i=0 2i = 1. Logo κi∈I Xi satisfaz T3 1 .
2
Observação 2.2.3. Existe um truque [vD80] para o caso geral da preservação de espaços completamente regulares. Pode-se verificar que um espaço é
completamente regular se e somente se o mesmo é homeomorfo a um subesçao de um grupo topológico. A partir do produto direto de gruposmostramos
que o κ produto de grupos topológicos também é um grupo topológico. Outra
opção para o mesmo truque seria utilizar uniformidades ao invés de grupos topológicos. Trata-se de uma consequência direta do teorema A.2.5 e da
proposição A.3.4.
Notemos que, no entanto, a preservação não chega à normalidade, nem
mesmo no caso finito, onde o produto caixa e o de Tychonoff coincidem. O
exemplo mais famoso deste fato é a reta de Sorgenfrey, a qual é um espaço
normal cujo quadrado não preserva a normalidade. Veremos outros exemplos
de tal fato no capítulo 4. O problema da normalidade está relacionado com
o da paracompacidade, o qual será discutido no capítulo 3.
Fecho A última propriedade em comum entre os dois produtos que apresentaremos é o fato de que ambos preservam o fecho dos fatores. Além de
caracterizar o fecho nos produtos, tal propriedade garante que o produto
qualquer de espaços fechados é fechado, o que justifica a nomenclatura caixa
fechada (definição 2.1.3).
Proposição 2.2.4. Sejam κ um cardinal infinito e Ai ⊂ Xi para cada i ∈ I.
Temos então:
κi∈I Ai = κi∈I Ai
Demonstração. Para mostrar que κi∈I Ai ⊂ κi∈I Ai , vamos mostrar que
κi∈I Ai é fechado. Seja p ∈ κ − i∈I Xi tal que p 6∈ κi∈I Ai . Temos que
existe algum j ∈ I tal que pj 6∈ Aj , para o qual podemos encontrar
um
Q
aberto Vj tal que pj ∈ Vj ⊂ Xj \ Aj . Temos então que V = i∈I Vi , onde
Vi = Xi para todo i 6= j é uma vizinhança aberta de p que não intersecciona
κi∈I Ai , como gostaríamos.
20
Vamos agora mostrar
Q que κi∈I Ai ⊃ κi∈I Ai . Consideremos x ∈
κi∈I Ai . Seja V = i∈I Vi uma vizinhança aberta básica de x. Como
xi ∈QAi , podemos encontrar yi ∈ Vi ∩ Ai . Assim, temos y = (yi )i∈I ∈
V ∩ i∈I Ai , logo x ∈ κi∈I Ai , como queríamos.
Note que, além de demonstrar que o produtos de fechado é fechado, tal
demonstração também mostra que a recíproca de tal afirmação é verdadeira,
isto é, que se um produto de subespaços é fechado, então todos os fatores
são fechados. Outro corolário da proposição é o seguinte:
Corolário
Q 2.2.5. Seja Di um subespaço não vazio de Xi para cada i ∈ I.
Então i∈I Di é denso em κi∈I Xi se e somente se para cada i ∈ I, Di for
denso em Di .
Note também que a proposição 2.2.4 junto com a definição de produto
caixa garante que o produto caixa preserva a zero dimensionalidade, o que
não é verdade para o produto Tychonoff.
Veremos agora propriedades que distinguem os produtos.
Convergência de sequências Um argumento tradicional para se justificar a escolha do produto de Tychonoff ao invés do produto caixa como
produto usual de topologias é a convergência de sequências. Por exemplo,
considere o produto cartesiano de ω cópias da reta real R. É um resultado
básico e intuitivo de análise real que a sequência ( n1 )n∈ω converge para 0 em
R. Pode se pensar que esse resultado seja preservado com o seu análogo em
produto caixa, o que não acontece, como mostra o próximo exemplo:
Definição 2.2.6. Dados dois conjuntos X e I definimos a funçãob: X → X I
por x
b = (x)i∈I para todo x ∈ X.
1
Exemplo 2.2.7. A sequência d
em ω R não converge para b
0.
n
n∈ω
Este exemplo é um caso específico da próxima proposição, a qual mostra
que o produto caixa é muito mais pobre em termos de sequências convergentes.
Proposição 2.2.8. Seja X um espaço topológico T1 . Temos então que as
únicas sequências convergentes em ω X são as eventualmente constantes
(isto é, sequências para as quais existe n0 ∈ ω tal que ela é constante a partir
de n0 ).
Demonstração. Sejam (an )n∈ω uma sequência em ω X e a ∈ ω X com
a condição de que (an )n∈ω não é eventualmente constante igual a a, isto é,
para cada n ∈ ω existe n0 > n tal que an0 6= a.
Como X é T1 , para cada i ∈ ω tal que ai 6= a escolhemos Vi ⊂ X aberto
tal que a ∈ Vi e aQ
i 6∈ Vi . Já para i ∈ ω tal que ai = a, fixamos Vi = X. Assim,
temos que V = i∈ω Vi é uma vizinhança de a tal que {n ∈ ω : an 6∈ V } é
infinito. Portanto, temos que (an )n∈ω não converge para a.
21
Note que o suporte do aberto V da demonstração anterior era infinito,
portanto esse mesmo conjunto não seria aberto no produto de Tychonoff.
Bases As definições 2.1.2, 2.1.3 e 2.1.4 de produtos de espaços topológicos podem ser reescritas equivalentemente considerando apenas produtos de abertos básicos, fixadas bases quaisquer para cada um dos fatores
envolvidos. DeQtal forma, para qualquer cardinal infinito κ, temos que
w(κi∈I Xi ) ≤ i∈I w(Xi ). Podemos assim majorar o peso (e consequentemente a densidade e o grau de Lindelöff) de um produto através do peso dos
fatores, o que normalmente não é uma boa majoração.
Mais do que isso, como o produto caixa compreende uma quantidade
de abertos muito maior que o produto de Tychonoff, é natural que o peso
também seja maior no produto caixa. Podemos observar tal aumento nos
produtos de espaços que satisfaçam o primeiro e o segundo axioma da enumerabilidade (definições 1.2.17 e 1.2.20). Enquanto que o produto de Tychonoff enumerável preserva ambos os axiomas [Eng89],produtos caixa infinitos
normalmente não os satisfazem.
Proposição 2.2.9 (Rudin [Rud]). Seja Xi um espaço Hausdorff não discreto
para cada i ∈ ω. Então i∈I Xi não é primeiro enumerável.
Demonstração. Seja x ∈ i∈ω Xi um ponto tal que para todo i ∈ ω, xi não é
ponto
isolado
de Xi . SejaV uma base local de x, e suponha por absurdo V =
Q
Vn = i∈ω Vn,i : n ∈ ω , onde para todo (n, i) ∈ ω 2 temos Vn,i ⊂ Xi . Para
cada i ∈ ω, podemos supor a sequência (V
Qn,i )n∈ω estritamente decrescente
quanto à ordem ⊂. Temos então que V = i∈ω Vi,i é uma vizinhança aberta
de x que não contém nenhum elemento de V, contrariando o fato de que V
é uma base local de x. Logo |V| > ℵ0 , como queríamos.
Como anteriormente, o motivo de tal demonstração não funcionar com o
produto de Tychonoff é que, em tal caso, o conjunto V não seria aberto, tão
pouco vizinhança de x.
O seguinte corolário decorre do fato de que o caráter de um espaço ser
menor que o seu peso, visto que uma base de um espaço contém bases locais
para todos os seus pontos.
Corolário 2.2.10. Seja Xi um espaço Hausdorff não discreto para cada
i ∈ ω. Então i∈I Xi não é segundo enumerável.
Compacidade Uma das principais propriedades do produto de Tychonoff
é o teorema de Tychonoff, o qual é inclusive equivalente ao axioma da escolha.O teorema diz que o produto Tychonoff qualquer de espaços compactos é
compacto. Em contrapartida, tal resultado quase sempre é falso para produtos caixa. Mais do que isso, os produtos caixa em geral não são compactos,
o que é um dos grandes problemas para se trabalhar com eles.
22
Teorema 2.2.11 (Williams [Wil84]). Seja Xi um espaço Hausdorff e não
discreto para cada i ∈ I, |I| ≥ ℵ0 , então i∈I Xi não é localmente compacto.
Demonstração.
Para cada i ∈ I, sejam pi um ponto não isolado de Xi e
Q
G = i∈I Gi uma vizinhança básica de p = (pi )i∈I . Como pi não é isolado,
escolhemos xi ∈ Gi tal que xi 6= pi . Pela regularidade de Xi , podemos
construir abertos disjuntos Ui ,Q
Vi tais que pi ∈ Ui e xi ∈ Vi . A partir disso,
consideremos o conjunto A = i∈I {pi , xi } ⊂ G. A proposição garante que
A é fechado. Consideremos então a seguinte cobertura aberta de A:
(
)
Y
H=
Ki : ∀i ∈ I, Ki ∈ {Gi ∩ Ui , Gi ∩ Vi }
i∈I
Note que |H| = 2|I| > ℵ0 , além de que H é dois a dois disjunta. Temos assim que H é uma cobertura aberta de A que não admite subcobertura finita.
Então A não é compacto. Como A é fechado (proposição 2.2.4), G também
não é compacto. Concluímos que i∈I Xi não é localmente compacto.
Note que esta demonstração também garante que i∈I Xi não é separável.
De fato, como a família H é dois a dois disjunta, temos que d (i∈I Xi ) ≥
c (i∈I Xi ) ≥ |H| = 2|I| > ℵ0 .
A falta da compacidade nos produtos caixa levou à investigação da paracompacidade em tais produtos. O estudo desta propriedade se tornou o
principal tema relativos ao produto caixa, o qual veremos no capítulo 3.
Conexidade Inicialmente, mostraremos que o produto de Tychonoff se
comporta muito bem quanto à preservação da conexidade. Para isso, usaremos a demonstração por Engelking [Eng89]. Contudo, precisaremos antes
de alguns resultados básicos sobre conexidade.
Lema 2.2.12. Seja C ⊂TP(X) uma família
de subespaços conexos de um
S
espaço topológico X. Se C 6= ∅, então C é conexo.
Demonstração.
no enunciado. Suponha
A, B abertos em
S Sejam X e C comoS
T
X tais que C ⊂ A ∪ B e A ∩ B ∩ ( C). Fixemos p ∈ C. Suponhamos que
p ∈ A. Para cada C ∈ C, temos
S que p ∈ CS∩ A. Como C é conexo, temos
S
que C ⊂ A. Logo, temos que C ⊂ A e ( C) ∩ B = ∅, e portanto C é
conexo.
Lema 2.2.13. Seja X um espaço topológico. Se qualquer par de pontos de
X pode ser ligado por um conjunto conexo, isto é, dados x, y ∈ X existe um
conjunto conexo C ⊂ X tal que x, y ∈ C, então X é conexo.
Demonstração. Fixemos x ∈ X. Para cada y ∈ X, definimos Cy o T
conjunto
conexo S
que liga x e y, como no enunciado. Temos então que {x} = y∈X Cy
e X = y∈X Cy , portanto pelo lema 2.2.12, X é conexo.
23
Lema 2.2.14. Dado um espaço topológico X, se X contém um conjunto
denso conexo, então X é conexo
Demonstração. Seja D ⊂ X um denso conexo, e sejam A, B ⊂ X abertos tais
que A ∪ B = X e A ∩ B = ∅. Note que A ∪ B ⊃ D. Então, como D é conexo,
podemos supor, sem perda de generalidade, que D ⊂ A e B ∩ D = ∅. Como
D é denso, temos que a B ∩ D 6= ∅ a menos que B = ∅. Logo, concluímos
que de fato B = ∅ e A = X. Portanto, X é conexo.
Teorema 2.2.15. O produto de Tychonoff de espaços conexos não vazios é
conexo.
Demonstração. Primeiramente, vamos mostrar o caso finito. Sejam X e Y
espaços conexos não vazios. Dados (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) pontos quaisquer em
X × Y , este pode ser unido pelo conjunto (X × {y1 }) ∪ ({x2 } × Y ), o qual é
conexo pelo lema 2.2.12. Portanto, X × Y é conexo pelos lema 2.2.13. Por
indução, estendemos o resultado para qualquer produto finito.
Consideramos então o caso infinito. Seja Xi um espaço conexo não vazio
<ℵ0 o conjunto de todas as
para cada i ∈ I, I infinito. Definimos J = [I]
Q
partes finitas de I. Fixamos
também um x ∈ i∈I Xi qualquer. Para cada
Q
J ∈ J, definimos CJ = i∈I Ci , onde Ci = Xi para i ∈ J, e Ci = {xi } para
i ∈ IT
\ J. Do caso finito, temosSque CJ é conexo, para todo J ∈ J. Como
x ∈ J∈J CJ 6=S∅, temos que J∈J CQ
J é conexo pelo
Q lema 2.2.12. Além
disso, note que J∈J CJ é denso em i∈I Xi , logo i∈I Xi é conexo pelo
lema 2.2.14, como queríamos.
Já no caso do produto caixa, dificilmente obtemos produtos conexos.
Como tal produto possui muito mais conjuntos abertos do que o produto de
Tychonoff, basta adicionar um axioma de separação aos fatores para que o
produto seja desconexo.
Teorema 2.2.16 (Rudin [Rud]). Seja Xi um espaço regular para cada i ∈ ω.
Então dado x ∈ i∈ω Xi , o conjunto q(x) = {p ∈ i∈I Xi : |{i : xi 6= pi }| < ℵ0 }
é a componente conexa de i∈ω Xi à qual x pertence.
Demonstração. Seja p ∈ i∈ω Xi \ q(x). Para cada par (n, i) de números
naturais, escolhemos um aberto Un,i ⊂ Xi tal que xi ∈ Un,i , pi 6∈ Un,i
caso pi 6= xi , e Un,i ⊃ U(n+1),i (esta última condição é possível graças à
regularidade do espaço). Definimos então
Y = {y ∈ i∈ω Xi : ∃n, |{i : yi 6∈ Un,i }| ≥ ℵ0 }
Por construção, temos claramente que p ∈ Y , porém x 6∈ Y . Notemos
que Y é aberto. Fixado y ∈ Y , escolhemos algum n ∈ ω tal que S =
{i ∈ ω : yi 6∈ Un,i } seja infinito. Considere para cada i ∈ ω a vizinhança
aberta Vi de yi dada por Vi = Xi \ U(n+1),i para i ∈ S ou por Vi = Xi para
24
Q
i ∈ ω \ S. Como S é infinito, temos que y ∈ V = i∈ω Vi ⊂ Y , comprovando
que Y é de fato aberto.
Além disso, temos que Y é também fechado. Considere z ∈ i∈ω Xi \ Y .
Pela definição de Y , podemos encontrar para cada n ∈ ω o menor natural
kn ∈ ω tal que para todo i ≥ kn tenhamos z ∈ Un,i . Como para cada i ∈ ω
fixado escolhemos a sequência (Un,i )n∈ω de maneira decrescente, temos que
a sequência (kn )n∈ω é crescente.
A partir de tal sequência, podemos construir outra da seguinte maneira:
para cada i ≤ k0 , definimos ai = 0. Em seguida, para i ≥ k0 , se ai + 1 <
kai +1 , definimos ai+1 = ai . Caso contrário, definimos ai+1 = ai + 1. O
fato de (kn )n∈ω ser crescente garante que (ai )i∈ω também o é. Definimos
então Wi =QXi para i < k0 , e Wi = Uai ,i para i ≥ k0 . Temos assim que
z ∈ W =Q i∈ω Wi ⊂ i∈ω Xi \ Y . De fato, a sequência (kn )n∈ω garante
que z ∈ i∈ω Wi . Além disso, o fato de a sequência (ai )i∈ω garante que
Y ∩ W = ∅, pois para cada n ∈ ω, podemos encontrar in ∈ ω tal que
ain > n, de maneira que Wi = Uai ,i ⊂ Un,i para todo i > in . Portanto, Y é
fechado.
Como Y é uma vizinhança aberto-fechada de p a qual não contém x, então
p pertence a uma componente conexa distinta da de x, então concluímos que
a componente conexa à qual x pertence está contida em q(x).
Para finalizar, basta mostrar que o conjuntoSq(x) é conexo. Notemos que
tal conjunto nada mais é do que o conjunto J∈J CJ como construído na
demonstração do teorema 2.2.15,
com x fixado. Como demonstrado em tal
S
teorema, temos que q(x) = J∈J CJ é conexo.
Note que usaremos esse conjunto q(x) no próximo capítulo para construir
o produto nabla (definição 3.1.1). Inclusive, usaremos o mesmo argumento de
diagonal que usamos para provar que o conjunto Y é fechado para mostrar
que o produto nabla é um P-espaço (lema 3.1.4). Além disso, decorre também da demonstração que i∈ω Xi não é localmente conexo, pois qualquer
vizinhança básica de um ponto x contém um ponto y que não pertence a
q(x).
Com este resultado, para que o produto caixa de espaços regulares seja
não conexo, basta que não seja um produto trivial, no sentido de que uma
quantidade infinita de fatores tenha mais do que 1 ponto. Note que a demonstração do teorema 2.2.15
S não funciona para o produto caixa apenas
pelo fato de que o conjunto J∈J CJ não é denso em i∈I Xi .
2.3
Espaços discretamente gerados
Como vimos até agora, muitas das propriedades preservadas pelo produto de Tychonoff não são preservadas pelo produto caixa. Veremos agora
um exemplo de espaço que se comporta de maneira inversa: os espaços discretamente gerados, introduzidos por Tkachuk e Wilson em [DTTW02]. En25
quanto que o produto de Tychonoff de tais espaços não é necessariamente
discretamente gerado, podemos construir tais espaços utilizando o produto
caixa.
Definição 2.3.1. Dizemos que um espaço topológico X é discretamente gerado se dados A ⊂ X e x ∈ A, então existe um conjunto discreto D ⊂ A tal
que x ∈ D.
Proposição 2.3.2. Todo subespaço de um espaço discretamente gerado também é discretamente gerado.
Demonstração. Seja X um espaço discretamente gerado, e seja S ⊂ X. Seja
S
X
A ⊂ S, e seja p ∈ A . Note que p ∈ A , portanto existe um discreto D ⊂ A
X
em X tal que p ∈ D . Seja D0 = D ∩S. Note que D0 ⊂ A também é discreto
S
S
X
e D0 = D ∩ S, logo p ∈ D0 , do que se conclui que S é discretamente
gerado.
Para a demonstração do exemplo 2.3.5, precisaremos do conceito de espaços maximais e submaximais. Voltaremos a utilizar tal conceito na seção 2.4
Definição 2.3.3. Seja (X, τ ) um espaço denso-em-si-mesmo. X é dito:
• maximal quando τ é a maior topologia densa-em-si-mesma sobre X,
ou seja, dada qualquer topologia τ 0 sobre X com τ ( τ 0 , (X, τ 0 ) possui
algum ponto isolado.
• submaximal se todo subconjunto denso de X for aberto.
Apesar do nome, existem espaços topológicos maximais que não são submaximais. Considere um espaço topológico formado por 3 pontos distintos,
e cujo único aberto não trivial consiste do conjunto formado por 2 destes
pontos. Aliás, é possível encontrar exemplos como esse de espaços maximais não submaximais de qualquer cardinalidade.Contudo, basta a hipótese
do espaço ser T0 para que a maximalidade implique em submaximalidade
(proposição 2.3.4). Tal hipótese faz sentido, uma vez que todo espaço submaximal é T1 , pois o complementar de qualquer ponto não isolado é denso.
Proposição 2.3.4. Todo espaço maximal T0 é submaximal.
Demonstração. Seja (X, τ ) um espaço maximal T0 . Vejamos primeiro que
(X, τ ) é T1 . Dado um ponto p ∈ X, suponhamos que X \ {p} 6∈ τ . Como
(X, τ ) é maximal, se adicionarmos X \ {p} à topologia τ (ou seja, se considerarmos a topologia τ 0 gerada pela pré-base τ ∪ {X \ {p}}), teremos um
ponto isolado. Isto significa que existe algum ponto q ∈ X e um aberto
U ∈ τ tais que (X \ {p}) ∩ U = {q}. Temos então que U ⊂ {p, q}, pois se
existisse algum z ∈ U tal que z 6= p, q, então teríamos z ∈ (X \ {p}) ∩ U .
Como (X, τ ) não possui pontos isolados, concluímos que U = {p, q}. Como
26
(X, τ ) também é T0 , temos que existe um aberto W que contém apenas um
dos pontos p e q. Logo teríamos que |U ∩ W | = 1, o que contraria o fato de
que (X, τ ) é denso-em-si-mesmo. Portanto (X, τ ) é T1 , como queríamos.
Seja D ⊂ X um subconjunto denso. Suponha que D 6∈ τ . Procedendo
como no argumento anterior, obtemos que existe um aberto V ∈ τ e um
ponto x ∈ X tal que D ∩ V = {x}. Porém, como (X, τ ) é T1 , {x} é fechado,
logo V \ {x} é aberto. Temos assim que (V \ {x}) ∩ D = ∅, o que contraria a
hipótese de que D é denso. Logo (X, τ ) é submaximal, como queríamos.
O exemplo a seguir mostra como o produto de Tychonoff não "conversa
bem"com espaços discretamente gerados.
Exemplo 2.3.5 (Tkachuk,Wilson [DTTW02]). Considere o espaço 2 =
{0, 1} com a topologia discreta, e seja 2c com o produto Tychonoff. O espaço
2 é discretamente gerado, porém o espaço 2c não o é.
Demonstração. Vamos construir um subespaço de 2c o qual não é discretamente gerado, logo pela proposição 2.3.2, 2c também não o é. Van Douwen
construiu em [vD93] um exemplo de um espaço Hausdorff maximal (definição 2.3.3) de cardinalidade enumerável, utilizando o Lema de Zorn. Denominaremos tal espaço por V , e sua topologia, a qual é maximal, por τV . Seja
x ∈ V um ponto qualquer, e seja A = V \ {x}. Note que x não pode estar no
fecho de nenhum subconjunto discreto de A, pois todo subespaço discreto de
V é fechado. De fato, dado D ⊂ V discreto, temos que V \ D é denso, pois
se existisse um aberto não vazio U ⊂ D, este geraria algum ponto isolado,
e portanto V \ D é aberto, pela proposição 2.3.4. Concluímos então que V
não é discretamente gerado.
Podemos construir uma cópia homeomorfa a V em 2c . Para tal fim, notemos primeiramente que V é zero dimensional. De fato, como V é enumerável,
temos em particular que V é Lindelöf. Como V é Lindelöf e Hausdorff, temos
que V é Tychonoff. Sendo assim, dado qualquer aberto U ⊂ V e qualquer
ponto p ∈ U , temos uma função contínua f : V −→ I tal que f (p) = 0 e
f (y) = 1 para todo y ∈ V \ U . Porém , como V é enumerável, f não pode
ser sobrejetora. Podemos então escolher 0 < r < 1 tal que r não está na
imagem da função f . Temos então que o conjunto W = f −1 ([0, r[) ⊂ U
é um aberto graças à continuidade de f . Além disso, temos também que
f −1 (]r, 1]) = V \ W , portanto W é também fechado. O conjunto B formado
por todos os W assim construídos é uma base de V que testemunha a zero
dimensionalidade de V .
A partir de tal base B de abertos-fechados, vamos construir o subespaço
de 2c que procuramos. Como |P(V )| = c, existe uma bijeção ϕ : P(V ) −→ c.
Construiremos então uma função ψ : V −→ 2c definida para cada p ∈ V e
cada S ⊂ V por:
1 se p ∈ S ∈ B
ψϕ(S) (p) =
0 caso contrário
27
Note que o fato de que V é T1 garante a injetividade de ψ, pois para
cada ponto p ∈ V , ψ(p) é o único ponto na imagem de ψ que assume o valor
0 na coordenada ϕ(V \ {p}).
Q
Vamos mostrar que ψ é contínua. Dado j ∈ I, seja Vj (1) = i∈c Ai,j ,
onde Ai,j Q
= 2 = {0, 1} para i 6= j e Ai,j = {1} para i = j. Seja também
Vj (1) = i∈c Bi,j , onde Bi,j = 2 para i 6= j e Bi,j = {0}, para i = j.
Como estamos trabalhando com o produto de Tychonoff, temos que todos
os abertos de 2c são intersecções de uma quantidade finita de abertos do tipo
Vj (n), com j ∈ c, n ∈ {0, 1}. Caso ϕ−1 (j) 6∈ B, temos que ψ −1 (Vj (0)) = V
e ψ −1 (Vj (1)) = ∅, ambos abertos. Já no caso em que ϕ−1 (j) ∈ B, temos
que ψ −1 (Vj (1)) = ϕ−1 (j) e ψ −1 (Vj (0)) = V \ ϕ−1 (j), sendo que ambos são
abertos, pois B é formada por abertos-fechados.
Por fim, vamos mostrar que ψ é aberta sobre a sua imagem. Dado um
0
aberto
S A0 ⊂ V , pela definição de base, podemos encontrar B ⊂ B tal que
A = B . Temos então que
[ [
[
(ψ(B)) =
(ψ(V ) ∩ Vϕ(B) (1))
ψ(A) = ψ
B0 =
B∈B0
B∈B0
Logo ψ(A) é aberto em ψ(V ), como queríamos
Pela proposição 2.3.2, concluímos que 2c não é discretamente gerado.
Tal resultado ainda pode ser melhorado. Admitindo a existência de um
L-espaço, foi demonstrado em [DTTW02] que mesmo sem a hipótese do
contínuo o espaço 2ω1 não é discretamente gerado. Atualmente já temos um
exemplo de um L-espaço em ZFC [Moo06], portanto um produto de Tychonoff de ℵ1 espaços discretamente gerados já é o suficiente para se perder
tal propriedade. Como vimos, tal propriedade é hereditária, logo dado um
produto de Tychonoff de uma quantidade não enumerável de espaços topológicos quaisquer, basta encontrarmos em cada fator uma cópia isomorfa de
2 para que o produto não seja discretamente gerado.
Teorema 2.3.6 ( [TW12]). Para cada i ∈ I, seja Xi um espaço topológico
monotonamente normal (definição 1.2.12). Então o produto caixa i∈I Xi é
discretamente gerado.
Demonstração. Seja A ⊂ i∈I Xi , e seja z ∈ A. Para cada a ∈ A, vamos usar
a regularidade
de cada Xi , com i ∈ I, para construir uma vizinhança aberta
Q
U (a) = i∈I Ui (a) de a de maneira que, para todo i ∈ I tal que zi 6= ai ,
temos zi 6∈ Ui (a). Sejam também κ = χ(z, i∈I Xi ) e G = {Gα : α ∈ κ}
uma base local para z.
Por indução, vamos construir as sequências de pontos a(α) ∈ A e de
abertos básicos V (α) ⊂ i∈I Xi , ambas de comprimento menor ou igual a
κ. Começamos escolhendo algum a(0) ∈ A ∩ G0 , e então definimos V (0) =
U (a(0)). Fixemos então um α < κ e suponhamos a(β) e V (β) já construídos,
para todo β < α, satisfazendo as seguintes condições:
28
1. a(β) ∈ A ∩ Gβ
2. a(β) ∈ V (β) ⊂ U (aβ )
3. A família {Wb : β < α}, onde Wβ =
disjunta.
Q
i∈I
µ(ai (β), Vi (β)), é dois a dois
Para prosseguir, vamos precisar de uma consequência da condição 3. Note
que tal condição garante que o conjunto Dα = {a(β) : β < α} seja discreto.
Temos então:
[
z ∈ Dα ⇐⇒ z ∈
Wβ
β<α
S
Para provar tal afirmação, suponhamos que z ∈ β<α Wβ \ Dα . De z 6∈
Q
Dα , obtemos uma vizinhança aberta H = i∈I Hi de z tal que H ∩ Dα = ∅.
S
Q
Por outro lado, definindo
W
=
µ(z
,
H
),
z
∈
i
i
β<α Wβ garante que
i∈I
S
W intersecciona β<α Wβ , logo existe algum β < α tal que W ∩ Wβ 6= ∅.
Portanto, para todo i ∈ I, temos µ(zi , Hi ) ∩ µ(ai (β), Vi (β)) 6= ∅. Dado i ∈ I,
se zi = ai (β), então ai (β) ∈ Hi . Se, ao invés disso, tivermos ai (β) 6= xi , por
construção temos que zi 6∈ Ui (a(β)), logo z 6∈ Vi (β), pela condição 2. Como
Xi é monotonicamente normal, temos neste caso também que ai (β) ∈ Hi .
Logo a(β) ∈ H ∩Dα , o que é um absurdo. Isto conclui
um lado da afirmação,
S
enquanto que o outro vem do fato de que Dα ⊂ β<α Wβ .
Se por um acaso tivermos z ∈ Dα , não é necessário prosseguir com a
indução, pois o teorema já estaria provado. Suponhamos então que
S z 6∈ Dα .
Pela afirmação demonstrada no parágrafo anterior, temos que z 6∈ β<α Wβ .
S
Portanto, existe algum aberto básico E tal que z ∈ E e E ∩
W
β = ∅.
β<α
Definimos então a(α) como um ponto qualquer de E ∩ Gα ∩ A e V (α) tal
que a(α) ∈ V (α) ⊂ E ∩ U (a(α)). Temos então que para todo β < α + 1, as
condições de 1 a 3 são satisfeitas, concluindo a indução.
Se para todo α < κ tivermos z 6∈ Dα , consideramos D = {aα : α < κ}.
Novamente a condição 3 garante que D é discreto. Como {Gα : α < κ}
é uma base local de z, a condição 1 garante que z ∈ D, completando a
demonstração.
Corolário 2.3.7. O produto caixa de κ cópias da reta real R (ou seja, κ R)
é discretamente gerada, para qualquer cardinal κ.
2.4
O espaço de funções contínuas
Dados X, Y espaços topológicos, denotamos por C(X, Y ) o conjunto das
funções contínuas de X em Y . No caso em que Y = R, denotamos C(X, R)
por C(X).
29
Habitualmente, ao espaço C(X) é atribuída a topologia da convergência
pontual, ou seja, a topologia na qual uma sequência de funções (fn : X −→
R)n∈ω converge para uma função f : X −→ R se e somente se para cada
ponto x ∈ X, a sequência (fn (x))n∈ω converge para f (x). Tal topologia está
associada ao produto de Tychonoff.
Se, ao invés do produto de Tychonoff, utilizarmos o produto caixa, obteremos um outro espaço topológico completamente distinto. Distinto ao
ponto de que não precisamos de muitas hipóteses para que o espaço obtido
de tal maneira seja discreto.
Definição 2.4.1. Seja X um espaço topológico, e seja RX o conjunto de to
das as funções de X em R. Denotaremos C(X) = f ∈ RX : f é contínua .
Q
• Se equiparmos o conjunto RX = X R com a topologia de Tychonoff e
consideramos o conjunto C(X) com a topologia de subespaço, denotamos tal espaço topológico por Cp (X) (neste caso, p indica a convergência pontual, pois nesta topologia, o conceito de convergência equivale à
convergência pontual de funções).
Q
• Se, ao invés, equiparmos X R com a topologia da caixa, denotamos
por C (X) o espaço topológico formado por C(X) com a topologia
herdada por X R.
O espaço Cp (X) deu origem a toda uma área de estudos, a Cp teoria.
Como referência no assunto, citamos [Tka11]. Já o espaço C (X) difere
drasticamente de Cp (X), de maneira que o estudo sobre ele é muito menor,
e com diferentes objetivos. A primeira grande diferença é que, enquanto o
espaço Cp (X) costuma ser um subespaço denso de RX , o espaço C (X) é
sempre um subespaço fechado de RX .
Proposição 2.4.2. Seja X um espaço topológico completamente regular.
Considerando RX com a topologia de Tychonoff, Cp (X) é denso em RX .
Q
X
Demonstração. Seja U =
x∈X Ux 6= ∅ um aberto básico de R . Vamos construir uma função contínua f : X −→ R tal que f ∈ U . Como
estamos trabalhando com o produto de Tychonoff, existem finitos pontos
x1 , . . . , xn ∈ X tais que Ux = R para todo x ∈ X \ {xi : 1 ≤ i ≤ n}. Como
X é completamente regular, em particular X é Hausdorff. Portanto, podemos construir abertos V1 , . . . , Vn disjuntos tais que xi ∈ Vi para cada
1 ≤ i ≤ n. Fixemos então 1 ≤ i ≤ n. Primeiramente, escolhemos ri ∈ Uxi
qualquer. Em seguida, como X é completamente regular, podemos construir
uma função contínua fi : X −→ I tal que fi (xi ) = 1 e fi (y) = 0 para cada
y ∈ X \Vi . Aplicando o mesmo procedimento
Pn para cada 1 ≤ i ≤ n, definimos
a função f que procuramos por f (x) = i=1 ri fi (x).
Proposição 2.4.3. Seja X um espaço topológico qualquer. Então C (X) é
um subconjunto fechado de X R.
30
Demonstração. Considere f ∈ RX \ C(X). Então, existe um ponto x0 ∈ X
no qual f é descontínua. Por definição, existe então uma vizinhança U de
f (x0 ) tal que para cada vizinhança V de x0 existe um xV ∈ V tal que
f (xV ) 6∈ U . Desta forma, para cada V podemos encontrar uma vizinhança
aberta WV de f (xV ) tal que WV ∩ U = ∅. Definimos então Ux0 = U ,
UxV = WV para cada vizinhançaQaberta V de x0 , e Ux = R para os demais
x ∈ X. Dessa forma, temos f ∈ x∈X Ux ⊂ RX \ C(X).
Mais do que apenas ser sempre fechado, a principal característica do
espaço C (X) é a sua propensão a ser discreto.
Definição 2.4.4. Dizemos que um espaço topológico X é C -discreto se o
espaço C (X) for discreto.
Tal conceito foi introduzido por Tamariz-Mascarúa e Villegas-Rodríguez
em [TV02], onde são investigadas as relações entre os espaços C -discretos
e os espaços quase-ω-resolvíveis(definição 2.4.6, item 2.4.6). Além desta,
precisaremos de algumas outras definições.
Observação 2.4.5. A menos de menção contrária, todos os resultados e
definições até o final desta seção foram retirados de [TV02].
Definição 2.4.6.
• Seja κ um cardinal. Dizemos que um espaço topológico X é κ-resolvível
se X pode ser escrito como união disjunta de κ subconjuntos densos.
Dizemos que X é resolvível quando X for 2-resolvível.
• Dizemos que um espaço X é quase resolvível se X puder ser escrito
como união enumerável de conjuntos de interior vazio.
• Em particular, dizemos que X é quase-ω-resolvível se X for quase
resolvível e a família enumerável de conjuntos Sde interior vazio for
crescente em relação à inclusão, isto é, X = n∈ω Yn , e para cada
n ∈ ω, Yn ⊂ Yn+1 e Yn tem interior vazio.
Proposição 2.4.7. Um espaço topológico X é quase-ω-resolvível se e somente se existe uma partição P = {Xn : n ∈ ω} de X tal que cada aberto
não vazio de X intersecciona infinitos elementos de P .
S
Demonstração. Suponha X um espaço quase-ω-resolvível, e seja X = n∈ω Yn ,
como
nadefinição 2.4.6.
Então
n
o a partição que procuramos é P = {Y0 } ∪
S
Yn+1 \
: n ∈ ω . De fato, seja V 6= ∅ um aberto em X; se A
0≤i≤n Yi
interceptasse uma quantidade finita de elementos de P , teríamos A ⊂ Xm ,
para algum m suficientemente grande, o que contraria o fato de que Xm
tem interior vazio. Logo A intersecciona infinitos elementos de P , como
gostaríamos.
31
Por outro lado, seja P = {Xn : n ∈ ω} uma partição
S de X como no
enunciado
da
proposição.
Então
podemos
escrever
X
=
n∈ω Yn com Yn =
S
0≤i≤n Xi , satisfazendo as condições da definição 2.4.6. De fato, fixado
n ∈ ω, seja A ⊂ Yn um aberto. Supondo por absurdo A 6= ∅, então A
intersecciona infinitos elementos de P , o que contraria a hipótese de que
A ⊂ Yn . Portanto Yn tem interior vazio, como queríamos.
O resultado mais imediato sobre espaços C -discreto é que eles precisam
ao menos ser infinitos, como mostra a proposição a seguir.
Proposição 2.4.8. Um espaço finito não é C -discreto.
Demonstração. Seja X espaço topológico com |X| = n < ω. Consideremos
f : X −→ R a função
Q constante igual a 0. Seja V uma vizinhança de f em
X R do tipo V = i≤n Vi , com Vi =] − ai , ai [ para cada i ≤ n. Considere
min
a
i≤n i
g : X −→ R a função constante igual a
. Temos que g ∈ V ∩ C(X),
2
portanto f não é ponto isolado de C (X), como queríamos.
Outra condição necessária básica para um espaço X ser C -discreto é
que , caso X seja T1 , então X precisa ser denso-em-si-mesmo, isto é, não
possuir pontos isolados.
Proposição 2.4.9. Se X é um espaço topológico T1 e C -discreto, então X
é denso-em-si-mesmo.
Demonstração. Seja X um espaço topológico T1 com infinitos pontos, e suponha que x ∈ X seja um ponto isolado. Como X é T1 , o conjunto {x}
é aberto fechado. Assim, podemos escrever X = {x} ⊕ (X \ {x}), onde ⊕
indica a soma topológica1 . Podemos escrever de tal forma pois, como {x}
e X \ {x} são ambos abertos, em ambos os casos a topologia de subespaço
coincide com a restrição da topologia ao subconjunto.
Como X = {x} ⊕ (X \ {x}), então C (X) = C ({x}) ⊕ C (X \ {x}) =
R × C (X), o qual não é discreto.
Por outro lado, uma condição suficiente para um espaço com infinitos
pontos ser C -discreto é que as únicas funções contínuas de X em R sejam
as funções constantes.
Proposição 2.4.10. Seja X um espaço topológico, |X| ≥ ℵ0 . Se as únicas
funções contínuas de X em R forem as constantes, então X é C -discreto.
Demonstração. Fixemos f ∈ C(X), e seja r ∈ R o único valor na imagem
de f . Como X possui infinitos pontos, podemos escolher uma sequência
(xn )n∈ω de pontos distintos de X. Para cada n ∈ ω, definimos Axn =
1
Por soma topológica, entendemos a união disjunta equipada com a união das topologias.
32
]r − 1/n, r + 1/n[. Q
Para os demais x ∈ X, definimos Ax = R. Dessa forma,
temos que C(X) ∩ x∈X Ax = {f }, logo f é ponto isolado de C(X), como
queríamos.
Observação 2.4.11. Note que na proposição 2.4.9, a hipótese do espaço ser
T1 não pode ser diminuída. Considere um conjunto X com infinitos pontos,
e seja a ∈ X um ponto qualquer. Seja τ a topologia sobre X dada por
{A ⊂ X : a ∈ A}. Temos então que (X, τ ) é T0 , possui um ponto isolado
porém é C -discreto pela proposição 2.4.10.
O motivo para introduzirmos neste texto o conceito de quase-ω-resolvibilidade
é, como comentamos, sua íntima relação com o conceito de C -discrição.
Mais especificamente, o primeiro implica no segundo. Além disso, para espaços T3 1 , tais conceitos são equivalentes.
2
Teorema 2.4.12. Seja X um espaço quase-ω-resolvível. Então X é C discreto.
Demonstração. Seja P = {Xn : n ∈ ω} uma partição de X como na proposição 2.4.7. Fixemos algum f ∈ C(X). Para cada n ∈ ω e para cada
x ∈ XQ
n , definimos Gx =]f (x)−1/n, f (x)+1/n[. Temos então a caixa aberta
G = x∈X Gx . Pela construção, temos que f ∈ G. Vamos mostrar que
G∩C(X) = {f }. Seja g ∈ G∩C(X). Fixemos então x0 ∈ X e n0 ∈ ω. Como
f e g são contínuas em x0 , podemos encontrar V uma vizinhança aberta de
x0 em X que satisfaça simultaneamente f (V ) ⊂]f (x0 ) − 1/n0 , f (x0 ) + 1/n0 [
e g(V ) ⊂]g(x0 ) − 1/n0 , g(x0 ) + 1/n0 [. Como todo aberto não vazio de X
intersecciona infinitos elementos de P , podemos escolher m0 > n0 tal que
V ∩Xm0 6= ∅. Seja então y ∈ V ∩Xm0 , pela desigualdade triangular obtemos:
d (f (x0 ), g(x0 )) ≤ d (f (x0 ), f (y)) + d (f (y), g(x0 ))
≤ d (f (x0 ), f (y)) + d (f (y), g(y)) + d (g(y), g(x0 ))
≤ n10 + m10 + n10
≤ n30
Assim, variando n0 para cada x0 fixado, concluímos que f = g e, portanto, G ∩ C(X) = {f }, como queríamos.
Teorema 2.4.13. Seja X um espaço T3 1 . Então X é quase-ω-resolvível se
2
e somente se X é C -discreto.
Demonstração. Seja X um espaço T3 1 . Pelo teorema 2.4.12, falta apenas
2
mostrar que se X é C -discreto, então X é quase-ω-resolvível.
Supondo X
Q
C -discreto, podemos encontrar uma caixa aberta G = x∈X Gx tal que
G ∩ C(X) = {f }, onde f é a função constante igual a zero. Definimos então
uma função d : X −→ ω dada por d(x) = min {n ∈ ω : ] − 1/n, 1/n[⊂ Gx }
para cada x ∈ X.
33
A partir de d, definimos Yn = {x ∈ X : d(x) ≤ n + 1} para cada n ∈ ω.
Pela construção de d, é fácil ver que Yn ⊂ Yn+1 para cada n ∈ ω. Portanto,
para que X seja quase-ω-resolvível, basta mostrar que, para todo n ∈ ω, Yn
tem interior vazio.
Suponha que para algum n0 > 0 exista um aberto não vazio A tal que
A ⊂ Yn0 . Fixando x0 ∈ A, podemos construir uma função contínua g :
X −→ R tal que g(x0 ) = 2n1 0 e g(y) = 0 para todo y ∈ X \ A, pois X é T3 1 .
2
Temos que g 6= f , e vamos mostrar que g ∈ G.
Primeiramente, se x ∈ X \ A, temos h(x) = 0 ∈ Gx . Caso contrário,
temos x ∈i A ⊂ Yn0 , hlogo pela definição de Yn0 , temos d(x) ≤ n0 + 1 e,
portanto, n−1
, 1
⊂ Gx . Já pela construção de g temos que g(x) ≤
0 +1 n0 +1
1
2n0
≤ n01+1 , do que concluímos que g(x) ∈ Gx , como queríamos.
Temos então que g ∈ C(X) ∩ G, o que contraria a escolha de G. Logo Yn
tem conteúdo vazio para todo n ∈ ω, e portanto X é quase-ω-resolvível.
Estabelecida a relação entre a quase-ω-resolvibilidade e a C -discrição,
vamos estudar algumas propriedades para determinar se um espaço é quaseω-resolvível. Assim, a próxima proposição apresenta condições suficientes
para uma função sobrejetora f entre dois espaços topológicos refletir ou
preservar a quase-ω-resolvibilidade.
Proposição 2.4.14. Sejam X, Y espaços topológicos e f : X −→ Y sobrejetora.
1. Se Y for quase-ω-resolvível e a imagem por f de todo aberto não vazio
de X tiver interior não vazio, então X é quase-ω-resolvível.
2. Se X for quase-ω-resolvível e f for contínua e injetora, então Y é
quase-ω-resolvível.
A demonstração dos itens 1 e 2, consiste basicamente em verificar que a
pré-imagem e a imagem de uma partição quase-ω-resolvível , sob as respectivas hipóteses, também é uma partição quase-ω-resolvível, o que pode ser
feito diretamente da definição.
Definição 2.4.15. Um espaço topológico X é dito σ-discreto se X puder
ser escrito como união enumerável de subespaços discretos.
Proposição 2.4.16. Seja X um espaço denso-em-si-mesmo. Se X é T0 e
σ-discreto, então X é quase-ω-resolvível.
Demonstração.
Seja X como na hipótese. Então podemos escrever X =
S
n∈ω Xn , onde, para cada n ∈ ω, Xn é discreto e tais que Xn 6= Xm sempre
que n 6= m. Podemos supor isso, pois caso X fosse união finita de subespaços
discretos, como X é T0 , poderíamos construir um ponto isolado em X.
34
S Construímos então uma sequência Z = (Zn )n∈ω dada por Zn = Xn \
i<n Xi para cada n ∈ ω. Temos assim que cada Zn é um subespaço discreto de X. Além disso, temos que para cada n ∈ ω, existe um n0 > n tal
que Zn0 6= ∅, pois caso contrário, X seria escrito como união finita de subespaços discretos. Dessa forma, excluindo os elementos vazios da sequência,
obtemos uma subsequência Z 0 ⊂ Z, a qual forma uma partição de X como
na proposição 2.4.7. De fato, todo aberto não vazio de X intercepta infinitos
elementos de Z. Suponha que um aberto A ⊂ X intercepte finitos elementos
de Z. Como A é aberto, poderíamos escrever A como uma união finita de
subespaços discretos em A. Como A herda T0 de X, concluiríamos que existe
um ponto isolado de A. Porém como A é aberto, tal ponto também seria
ponto isolado de X, o que seria um absurdo.
Vamos introduzir agora alguns conceitos relacionados aos pontos isolados.
Definição 2.4.17. Seja (X, τ ) um espaço topológico. Definimos o caráter
de dispersão de (X, τ ) por ∆(X) = min {|U | : U ∈ τ \ {∅}}.
Note que esta função cardinal indica o quão longe um espaço está de
possuir pontos isolados.
O próximo lema é um pedaço de um resultado em [AST+ 00].
Lema 2.4.18 ( [AST+ 00]). Suponha que exista um espaço submaximal X
o qual não é σ-discreto. Então existe Y um espaço topológico de Baire não
resolvível denso-em-si-mesmo.
Demonstração. Seja X um espaço submaximal não σ-discreto. Definimos
S
S = {U ⊂ X : U é aberto não vazio e σ-discreto}, e consideramos Y = S.
Vamos
mostrar que Y é σ-discreto. Para cada U ∈ S, podemos escrever
S
U = n∈ω Un , com Un subespaço discreto de U para cada n ∈ ω. Como
cada U ∈ S é aberto, temos que Un é subespaço discreto também
segundo a
S
topologia deS
subespaço herdada de X, e da mesma forma de S. Definimos
então Sn = {Un : U ∈ S} para cada nS∈ ω. Temos então
S que para todo
n ∈ ω, Sn é um subconjunto discreto de S, e portanto S é σ-discreto.
Como X é submaximal, temos que qualquer conjunto de interior vazio
é discreto. De fato, seja F ⊂ X de interior vazio. Então para cada p ∈ F ,
temos que (X \ F ) ∪ {p} é denso, e portanto aberto em X. Dessa forma,
F é discreto. Como Y é aberto, sua fronteira ∂Y tem interior vazio, logo
discreta. Concluímos assim que Y é σ-discreto, como queríamos.
Definimos então Z = X \ Y . Temos que Z é aberto não vazio, e não
contém nenhum subconjunto aberto σ-discreto. Como Z é aberto, Z herda
de X a submaximalidade, sendo assim um espaço não resolvível e sem pontos
isolados.
Por fim, vamos mostrar que Z é de Baire. Seja (Un )n∈ω uma família de
abertos densos em Z. Então para cada n ∈ ω, temos que Z \Un é um fechado
35
discreto. Considere então o conjunto:
!
P =Z\
\
Un
=
[
(Z \ Un )
n∈ω
n∈ω
P é então T
σ-discreto e, portanto, não pode conter nenhum aberto não vazio.
Portanto, n∈ω Un é denso, como queríamos.
Lema 2.4.19. Se ZFC admite a existência de um espaço T0 maximal não
quase-ω-resolvível, então ZFC admite um espaço de Baire não resolvível
denso-em-si-mesmo.
Demonstração. Seja X um espaço T0 maximal que não seja quase-ω-resolvível.
Pela proposição 2.3.4, temos que X é submaximal. Temos então que X não
é σ-discreto, pois caso o fosse, pela proposição 2.4.16, teríamos X quase-ω
resolvível. Logo, pelo lema 2.4.18, concluímos a existência de um espaço
topológico de Baire não resolvível denso-em-si-mesmo.
Incluímos também alguns resultados que serão usados como ferramenta
para os resultados na próxima subseção.
Lema 2.4.20 (Hewitt [Hew43]). Todo espaço topológico denso-em-si-mesmo
pode ser escrito como a união disjunta de um subespaço resolvível e um
hereditariamente não resolvível.
Lema 2.4.21 (Foran,Liebnitz [FL91]). Se X é um espaço denso-em-simesmo, então são equivalentes:
1. X é quase resolvível.
2. Podemos escrever X = X1 ∪ X2 , de forma que:
• se X1 6= ∅, então X1 é um fechado, resolvível de interior vazio
S
• X2 é um aberto magro (ou seja, X2 = n∈ω Sn , tal que ∀n ∈
ω, int Sn = ∅)
3. Existe uma função f : X −→ ω tal que f seja descontínua em todos os
pontos de X.
A partir desses resultados, obtemos:
Corolário 2.4.22. Se X é um espaço de Baire não resolvível denso-em-simesmo, então X não é quase resolvível.
Demonstração. Se X é um espaço de Baire sem pontos isolados, então pelo
lema 2.4.20, X contém um subespaço Y aberto, não vazio e hereditariamente
não resolvível. Note que Y é de Baire. Se X é quase resolvível, então Y
também o é, porém isso implica, pelo lema 2.4.21 que Y é um conjunto
magro, o que é um absurdo.
36
2.4.1
Cardinais mensuráveis
Os espaços C -discretos estão também associados à existência de cardinais mensuráveis. Se assumirmos a existência deles, podemos construir contra exemplos para a volta do teorema 2.4.12. Por outro lado, se trabalharmos
em algum modelo de ZFC que não admita nenhum cardinal inacessível, então
podemos construir uma volta para a proposição 2.4.9.
Definição 2.4.23. Um cardinal não enumerável κ é dito mensurável se κ
admite um ultrafiltro livre κ-completo (definição 1.1.4).
Observação 2.4.24. Existe uma outra definição equivalente para o conceito
de cardinal mensurável envolvendo uma medida binária sobre o cardinal, o
que justifica a nomenclatura. Contudo, tal definição é irrelevante para este
contexto.
É possível demonstrar que os cardinais mensuráveis são fortemente inacessíveis. Este e outros resultados sobre cardinais mensuráveis podem ser
encontrados em [Jec03].
Exemplo 2.4.25. Suponha a existência de um cardinal mensurável κ. Então, existe X um espaço topológico T0 , Baire resolvível, C -discreto o qual
não é quase-ω-resolvível e tal que ∆(X) = κ.
Demonstração. Seja κ um cardinal mensurável. Escolhemos então U ⊂
P(κ) um ultrafiltro livre κ-completo, como na definição 2.4.23. Definimos X = κ ∪ {U}. Definimos também a topologia τ sobre X dada por
τ = {A ∈ P(X) : U ∈ A e A ∩ κ ∈ U} ∪ {∅}.
Primeiramente, note que κ e {U} são densos disjuntos de X, o qual é,
portanto, resolvível. Além disso, temos que se C ∈ U , então |C| = κ. De
fato, seja P ⊂ κ tal que |P | < κ. Como U é ultrafiltro, pela proposição
1.1.5, para cada p ∈ P temos que ou {p} ∈ U ou κ \ {p} ∈ U , do que
podemosTtirar que κ \ {p} ∈ U , pois U é livre. Note que podemos escrever
κ \ P = p∈P (κ \ {p}). Como U é κ-completo, temos que κ \ P ∈ U, logo
P 6∈ U. A partir disso, concluímos que ∆(X) = κ.
Vamos mostrar que X não é quase-ω-resolvível. SejamS (Yn )n∈ω uma
família crescente de conjuntos de interior vazio tal que X = n∈ω Yn . Escolhemos então n0 ∈ ω tal que U ∈ Yn0 e n1 ∈ ω tal que Yn1 ∩ κ ∈ U. Podemos
escolher tal n1 pois, caso ele não existisse, teríamos que κ \ Yn ∈ U para todo
n ∈ ω, pois U é ultrafiltro. Isso implicaria que ∅ ∈ U, pois U é κ-completo.
Escolhemos então algum k > n0 , n1 , e temos que Yk é aberto não vazio, logo
possui interior não vazio.
Considere f ∈ C(X) e x ∈ X. Como todo aberto de X contém o ponto
U, temos que f (U) ∈]f (x) − , f (x) + [ para todo > 0, do que se concluí
que f (x) = f (U). Portanto, da mesma maneira que na observação 2.4.11,
as únicas funções contínuas de X em R são as constantes, e portanto pela
proposição 2.4.10, X é C -discreto.
37
Por fim, temos que X é espaço de Baire: seja (Dn )n∈ω uma sequência
de
abertos
densos emTX. Para cada n ∈ ω, temos que U ∈ Dn , logo U ∈
T
n∈ω Dn , e portanto
n∈ω Dn é denso em X.
Exemplo 2.4.26. Suponha a existência de um cardinal mensurável κ. Então, existe X um espaço topológico T0 , Baire, submaximal, C -discreto o
qual não é quase resolvível e tal que ∆(X) = κ.
Demonstração. Seja κ um cardinal mensurável, e considere X como no exemplo anterior (exemplo 2.4.25). Diferentemente do item anterior, considere
sobre X a topologia θ = {A ∈ P(X) : A ∩ κ ∈ U} ∪ {∅}. Da mesma maneira que no item anterior, equipando X com tal topologia temos ∆(X) = κ.
Além disso, ainda temos também que X é Baire: dada (Dn )n∈ω sequência
de abertos densos em
U é
T X, temos que Dn ∩ κ ∈ U para cada n ∈ ω. Como
T
κ-completo, temos n∈ω (Dn ∩ κ) ∈ U. Como U é filtro, temos que n∈ω Dn
é denso em X.
Vamos mostrar que X é C -discreto pela proposição 2.4.10. Seja f :
X −→ R função contínua, e suponha que existam x, y ∈ X distintos tais
que f (x) 6= f (y). Como a reta real é Hausdorff, podemos achar dois aberto
disjuntos Vx e Vy contendo respectivamente f (x) e f (y). Como f é contínua,
temos que f −1 (Vx ) ∩ κ, f −1 (Vy ) ∩ κ ∈ U, o que é um absurdo, pois f −1 (Vx ) ∩
f −1 (Vy ) = ∅.
S
Também temos que X não é quase resolvível. Escrevendo X = n∈ω Un ,
da mesma maneira que no item anterior, conseguimos um n0 ∈ ω tal que
Un0 ∩ κ ∈ U. Logo Xn0 é aberto não vazio em X, e portanto possuí interior
não vazio.
Por fim, temos que X é submaximal, pois, como U é ultrafiltro, D ⊂ X
é denso se e somente se D ∩ κ ∈ U, e portanto todo denso é aberto.
Agora nosso objetivo consiste de construir a "volta"da proposição 2.4.9.
Para isso, vamos precisar de um resultado (lema 2.4.27) que estabelece consequências topológicas para a não existência de cardinais mensuráveis. O
caso em cardinalidade regular de tal resultado foi provado por Kunen, Szymansky e Tall em [KST86], baseados em um artigo sobre cardinais mensuráveis e ideais precipitados por Magidor [JMMP80].
Lema 2.4.27 (Kunen,Szymański,Tall [KST86]). Se V = L, então todo espaço denso-em-si-mesmo é quase resolvível.
Demonstração. Como comentamos, o caso para espaços de cardinalidade
regular deste teorema é a proposição 3.9 em [KST86]. Seja agora X um
espaço denso-em-si-mesmo tal que |X| = κ, onde κ é um cardinal singular.
Seja κ+ o cardinal sucessor de κ, o qual é regular. Considere o espaço
Z = ⊕λ∈κ (X × {λ}). Note que |Z| = κ × κ+ . Como X não possui pontos
isolados, Z também não os possui, e portanto , assumindo
S V = L, temos
que Z é quase resolvível. Podemos então escrever Z = n∈ω Jn , com cada
38
S
Jn de interior vazio. A partir disso, podemos escrever X = n∈ω Ln , onde
Ln = Jn ∩ (X × {0}). Desta forma, X quase resolvível, como queríamos.
Corolário 2.4.28. Se V = L, então todo espaço de Baire denso-em-simesmo é resolvível.
Demonstração. Consequência do lema 2.4.27 e do corolário 2.4.22.
Teorema 2.4.29. Assumindo ZFC e V = L, então todo espaço T0 densoem-si-mesmo é quase-ω-resolvível (em particular,C -discreto).
Demonstração. Supondo ZFC e V = L, temos que todo espaço topológico
T0 maximal é quase-ω-resolvível pelo corolário 2.4.28 e pela contra contrapositiva do lema 2.4.19.
Considere então um espaço topológico (X, τ ) denso-em-si-mesmo e T0 .
Podemos expandir τ para uma topologia τ 0 tal que τ ⊂ τ 0 e (X, τ 0 ) seja maximal. Sob as hipóteses, temos (X, τ 0 ) quase-ω-resolvível. Considere então
a função identidade Id : (X, τ 0 ) −→ (X, τ ). Tal função é bijetora e contínua,
logo pela proposição 2.4.14, temos que (X, τ ) também é quase-ω-resolvível,
como queríamos.
39
Capítulo 3
Paracompacidade de produtos
caixa
Como vimos no capítulo anterior, o produto caixa geralmente não é compacto (teorema 2.2.11). Sendo assim, a pergunta natural seria: "podemos
enfraquecer a compacidade a alguma outra propriedade que se comporte
bem com o produto caixa?". Esta pergunta levou ao estudo da preservação
da paracompacidade dos produtos caixa, o que levou a diversos resultados.
Desde então, a pergunta anterior mudou para "Sob quais condições sobre
seus fatores o produto caixa é paracompacto?", a qual virou o objeto central
no estudo dos produtos caixa.
Na seção 3.1 apresentamos o produto nabla, um produto auxiliar que
utilizaremos como ferramenta. Na seção 3.2 estudamos um resultado sob
a hipótese do contínuo, enquanto na seção 3.3 estudamos resultados sob
hipóteses menores. Em seguida, apresentamos alguns resultados relativos a
produtos de ordinais na seção 3.4. Por fim, apresentamos um panorama do
caso em que o produto é não enumerável na seção 3.5 e dos problemas em
aberto na área, na seção 3.6.
Como referências centrais neste tópico citamos [Wil84], [vD80] e [Roi11].
3.1
O produto nabla
Introduziremos nesta seção uma ferramenta importante para se trabalhar
com produtos caixa: o produto Nabla. Com ele, podemos trabalhar com o
produto caixa "a menos de um número finito de índices", como veremos
na definição a seguir. Uma de suas principais utilidades é o fato de que
o produto nabla de uma quantidade enumerável de espaços é um P-espaço
(lema 3.1.4). Tal propriedade é normalmente usada em conjunto com o Nabla
lemma (teorema 3.1.5), o qual demonstra, sob certas hipóteses, a equivalência
entre a paracompacidade no produto caixa e no produto Nabla.
40
Definição 3.1.1 (Produto nabla). Seja I um conjunto de índices. Para
cada i ∈ I, seja Xi um espaço topológico. Seja =∗ a relação de equivalência
em i∈I Xi dada por:
x =∗ y ⇐⇒ {i ∈ I : xi 6= yi } é finito
Definimos então o produto nabla dos espaços (Xi )i∈I pelo espaço topológico dado por
i∈I Xi
∇i∈I Xi =
=∗
equipado com a topologia quociente.
No caso do produto de espaços iguais, ou seja, ∀i ∈ I, Xi = X para algum
espaço topológico X, denotamos ∇i∈I Xi = ∇I X
Definimos também q : i∈I Xi −→ ∇i∈I Xi a projeção usual.
Observação 3.1.2. O conceito de produto nabla pode ser generalizado para
um filtro qualquer da seguinte maneira: dados uma família de espaços topológicos {Xi : i ∈ I} e um filtro F em I , podemos construir uma relação
de equivalência ∼
= definida por x ∼
= y ⇔ {i ∈ I : xi = yi } ∈ F. Podemos
então definir o produto nabla como acima, apenas substituindo a relação =∗
pela relação ∼
=. No entanto, como neste texto trabalharemos com produtos de
uma quantidade enumerável de espaços, o único filtro que nos interessará é
o filtro dos conjuntos cofinitos (isto é, cujo complementar é finito), por isso
usaremos apenas a definição 3.1.1.
Mostraremos agora algumas propriedades básicas do produto nabla.
Proposição 3.1.3. Seja (Xi )i∈ω uma família de espaços topológicos. Sejam
também duas famílias {Ai : i ∈ I} e {Bi : i ∈ I} tais que ∀i ∈ I, Ai , Bi ⊂
Xi . Então
Q
Q
1. q
i∈I Ai ⊂ q
i∈I Bi se e somente se {i ∈ I : Ai 6⊂ Bi } é finito .
2. se I = ω, então a projeção q : i∈ω Xi −→ ∇i∈I Xi é aberta.
Q
3. q
i∈I Ai é aberto (ou fechado) se e somente se o conjunto dos i ∈ I
tais que Ai não é aberto (ou fechado) é finito.
4. o produto nabla "comuta"com
a topologia de subespaço, isto é, ∇i∈I Ai
Q
é homeomorfo a q
A
i∈I i com a topologia de subespaço de ∇i∈I Xi ,
e tal homeomorfismo comuta com a projeção q
Demonstração.
Q
1. Suponhamos que {i ∈ I : Ai 6⊂ Bi } seja finito. Seja a ∈ i∈I Ai . Note
que {i ∈ I : ai 6∈ Bi } ⊂ {i
Q ∈ I : Ai 6⊂ Bi },Qo qual supomos
Q finito. Temos assim que q(a) ∈ q
i∈I Bi .
i∈I Bi , logo q
i∈I Ai ⊂ q
41
Vamos agora demonstrar a contra-positiva da recíproca.
SuponhaQ
mos {i ∈ I : Ai 6⊂ Bi } infinito. Podemos escolher a ∈ i∈I Ai tal que
ai ∈ Ai \ Bi sempre que Ai 6⊂ Bi .QTemosentão que {i ∈ I : ai 6∈ Bi }
é infinito, de modo que q(a) 6∈ q
i∈I Ai , como gostaríamos.
S
Q
Q
2. Notemos que q −1 q
= J∈[ω]<ℵ0 i∈ω C(i, J),
i∈ω Ai
Q onde C(i, J)
= Xi caso i ∈ J e C(i, J) = Ai caso i 6∈ J. Seja i∈I Ai aberto
em
Q i∈I Xi . Para cada i ∈ I, temos Ai aberto em Xi . Assim, cada
em i∈I
i∈ω C(i, J) é abertoQ
Xi , de modo que , pela definição de topologia quociente, q
A
i∈ω i é aberto em ∇i∈I Xi , como gostaríamos.
3. Suponhamos que
O = {i ∈ I : Ai não é aberto} seja finito.
Q o conjunto
Seja q(a) ∈ q
i∈I Ai . Para cada i 6∈ O tal que ai ∈ Ai , escolhemos
Vi aberto tal que ai ∈ VQ
i ⊂ Ai . Para os demais, definimos Vi = Xi ,
e chamamos então V = i∈I Vi . Pelo item anterior, temos
)
Qque q(V
é uma
aberta
de q(a). Pelo item 1, temos q
i∈I Vi ⊂
Q vizinhança
Q
q
A
,
logo
q
A
é
aberto.
i∈I i
i∈I i
Da
mesma
maneira,
suponhamos
que
o
conjunto
C = {i ∈ I : Ai não é fechado}
seja
finito.
Escolhemos
um
ponto
p∈
Q
A
.
Temos
que
p
∈
6
A
para
infinitos
i∈
i∈I Xi tal que q(p) 6∈ q
i
i
i∈I i
ω. Como C é finito, temos que H = ∩ {i ∈ I : pi 6∈ Ai e Ai é fechado}
é infinito. Para cada i ∈ H, podemos encontrar uma vizinhança aberta
Ui de pi tal que Ui ∩ Ai = ∅. Para i Q
∈ I \ H, definimos
Ui = Xi . AsQ
U
A
∩
q
sim, como H é infinito, temos que q
i
i∈I i = ∅, como
i∈I
gostaríamos.
Para a recíproca, suponhamos que O seja infinito. Então para cada i ∈
O, podemos encontrar ai ∈ Ai tal que ai não seja ponto interior de Ai .
Para os demais, podemos escolher ai ∈ Ai qualquer. VamosQmostrar
que q(a), onde a = (ai )i∈I , não é um ponto interior de q
i∈I Ai .
Pelo itemQ2, é suficiente
mostrar que qualquer vizinhança de q(a) da
V
,
com
V
forma q
i
i aberto
i∈I
Q em Xi para cada i ∈ I, contém um
ponto q(b) tal que q(b) 6∈ q
i∈I Ai . Seja q(V ) uma tal vizinhança
de q(p). Temos que ai 6∈ Vi para apenas finitas coordenadas. Podemos
então achar infinitas coordenadas i ∈ ω tais que ai ∈ Vi e ai não seja
ponto interior de Ai . Para tais coordenadas, escolhemos bi ∈ Vi \ Ai
qualquer. Para as demais coordenadas, definimos
bi = ai . Assim,
Q
definindo b = (bi )i∈ω , temos q(b) ∈ q(V ) \ q
A
i∈ω
Q i , portanto q(b)
testemunha
i∈ω Ai e, portanto,
que q(a) não é ponto interior de q
Q
q
A
não
é
aberto.
Para
o
caso
em
que
C
é
infinito,
procedemos
i
i∈ω
Q
da mesmaQ
maneira para encontrar um ponto q(a) ∈ q
i∈ω Ai tal que
q(a) 6∈ q
i∈ω Ai .
4. Vamos mostrar que a função identidade é um homeomorfismo considerando tais topologias. Seja V ⊂ ∇i∈I Ai aberto. Temos um aberto
42
V 0 ⊂ i∈I Ai tal que V = Q
q(V 0 ). Por sua vez, existe um aberto
Q U de
0
i∈I Xi tal que V = U ∩ i∈I Ai . Portanto V = q(U ) ∩ q
i∈I Ai ,
ou seja, V é aberto na topologia
de subespaço. Por outro lado, seja
Q
agora V um aberto de q
A
Então
i∈I i na topologia deQsubespaço.
existe U aberto em ∇i∈I Xi tal que V = U ∩ q
A
.
Por
sua
i∈I i
0
0
vez, U = q(U
algum aberto U ⊂ i∈I Xi . Temos então que
Q ), para
V = q U 0 ∩ i∈I Ai , completando a demonstração.
Note que uma aplicação importante do item 2 é que podemos obter uma
base para o produto nabla a partir da projeção de uma base de abertos do
produto caixa.
O próximo lema é uma das principais propriedades do produto nabla, e
como dissemos no começo da seção, será uma ferramenta importante para
estudar a paracompacidade dos produtos caixa. Note que a partir de agora
trabalharemos com produtos de uma quantidade enumerável de espaços.
Lema 3.1.4 (Rudin). Seja Xi um espaço topológico para cada i ∈ ω. Então
∇i∈ω Xi é um P-espaço.
Demonstração. ConsidereTuma família
{A(i, n)
⊂ Xi : i, n ∈ ω} de aberQ
tos.Vamos mostrar que n∈ω q
i∈ω A(i, n) é aberto. Note que podemos supor sem perda de generalidade que esta família é uma sequência
"decrescente em cada coordenada i", ou seja, uma sequência tal que vale
∀n ∈ ω, A(i, n + 1) ⊂ A(i, n) ⊂ Xi . Isto basta para provar o teorema, pois
pelo item 2 da proposição 3.1.3, a projeção de produtos caixa de abertos
forma uma base em ∇i∈ω Xi .
T
Q
Dado p ∈ i∈I Xi tal que q(p) ∈ n∈ω q
n)
, vamos construir
i∈ω A(i,
Q
uma função crescente fp : ω −→ ω tal que q(p) ∈ q
i∈ω A(i, fp (i)) . Esta
função funcionará como uma diagonal em um argumento
de diagonalizaQ
A(i,
n) , existe um
ção.Notemos que para cada n ∈ ω, como q(p) ∈ q
i∈ω
kn ∈ ω tal que para todo j ≥ kn temos pj ∈ A(j, n). Como (A(i, n))n∈ω
é decrescente, podemos supor (kn )n∈ω crescente. Vamos então construir fp
por recurção em i:

0
se i = 0

fp (j)
se i = j + 1 e i < kfp (j)+1
fp (i) =

fp (j) + 1 se i = j + 1 e i ≥ kfp (j)+1
Esta recursão garante que para todo i > 0 tenhamos kfp (i) ≤ i, de maneira que pi ∈ A(i, fp (i)). Como (kn )n∈ω é crescente, temos
Q também que f
não é eventualmente constante. Assim, temos que q(p)
∈
q
i∈ω A(i,
fp (i)) ,
Q
como queríamos. Como cada A(i, n) é aberto, q
i∈ω A(i, fp (i)) também
43
o é. Assim, basta então provarmos que
!
Y
\
q
A(i, fp (i)) ⊂
q
n∈ω
i∈ω
!
Y
A(i, n)
i∈ω
Q
Precisamos mostrar que ∀n ∈ ω, q
i∈ω A(i, fp (i)) ⊂ q
i∈ω A(i, n) .
Note que , como a sequência é decrescente em cada coordenada, vale para
cada n que fp (i) > n implica em A(i, fp (i)) ⊂ A(i, n). Assim, como fp é
crescente, temos que {i : A(i, fp (i)) 6⊂ A(i, n)} é finito, e portanto pelo item 1
deste lemma, temos a inclusão desejada, completando a demonstração.
Q
Note que a existência de tal função fp está relacionado ao fato de que
toda família enumerável de funções de ω em ω é limitada (no sentido da
definição 3.3.2). Veremos mais sobre isso na seção 3.3.
Apresentamos agora o Nabla Lemma, que será nossa principal ferramenta
para utilizarmos este produto. Esta versão do teorema, está em [Kun78].
Teorema 3.1.5 (Nabla Lemma). Para cada i ∈ ω, seja Xi um espaço topológico compacto. Temos então que i∈ω Xi é paracompacto se e somente se
∇i∈ω Xi é paracompacto.
Demonstração. Vamos
demonstrar
que
a
projeção
q : i∈ω Xi −→ ∇i∈ω Xi é uma função fechada para então utilizar o lema 1.2.28:
Seja F ⊂ i∈ω Xi fechado. Queremos mostrar que q(F ) é fechado em
∇i∈ω Xi , ou equivalentemente, mostrar que q −1 (q(F )) é fechado em i∈ω Xi .
Definindo a projeção π≥k : Si∈ω Xi = i<k Xi × k≥k Xi −→ k≥k Xi , po−1
(π≥k (F )). Usando a hipótese de que
demos escrever q −1 (q(F )) = k∈ω π≥k
para todo i ∈ ω Xi é compacto, vemos que para cada k ∈ ω, π≥k (F ) é
fechado.
De fato , seja v ∈ (k≥k Xi \ π≥k (F )). Como F é fechado em i∈ω Xi ,
podemos encontrar para cada u ∈ i<k Xi um aberto básico Uu × Vu , com
Uu ⊂ i<k Xi e Vu ⊂ k≥k Xi , tal que (u, v) ∈ Uu × Vu e (Uu × Vu ) ∩ F = ∅.
Assim, temos que {Uu : u ∈ i<k Xi } é uma cobertura aberta de i<k Xi , o
qual é compacto, pois o produto caixa de um número finito de termos coincide
com o produto de Tychonoff. Assim,
temos um conjunto finito deTpontos
S
Θ ⊂ i<k Xi tais que i<k Xi = u∈Θ Uu . Temos então que V = u∈Θ Vu
é uma vizinhança aberta de v. Além disso, para cada b ∈ π≥k (F ), existe
a ∈ i<k Xi tal que (a, b) ∈ F , contudo existe u ∈ Θ tal que a ∈ Uu . Como
(a, b) ∈ F , temos (a, b) 6∈ Uu × Vu , portanto b 6∈ V . Concluímos assim que
π≥k (F ) é fechado, como queríamos.
S
−1
Com, isso, vamos mostrar que o conjunto k∈ω π≥k
(π≥k (F )) é fechado.
Note que , pelas leis de De Morgan, podemos escrever o seu complementar
44
da seguinte maneira:
[
\
−1
−1
i∈ω Xi \
π≥k
(π≥k (F )) =
π≥k
(k≥k Xi \ π≥k (F ))
k∈ω
k∈ω
T
−1
Seja p ∈ k∈ω π≥k
(k≥k Xi \ π≥k (F )). Como mostramos que para cada
k ∈ ω, π≥k (F ) é fechado e π≥k é contínua,
então fixado k ∈ ω podemos escoQ
−1
k
k
lher uma vizinhança aberta V = i∈ω Vi de p contida em π≥k
(k≥k Xi \ π≥k (F ))
k aberto para todo i ≥ k e V k = X para todo i < k. Definimos
com ViT
i
i T
Q
Wi = k≤i Vik . Note que i∈ω Wi = k∈ω (V k ) e que tal aberto é uma
S
−1
vizinhança de p que não intersepta k∈ω π≥k
(π≥k (F )), o que conclui a demonstração de que q : i∈ω Xi −→ ∇i∈ω Xi é fechada.
Assim, podemos aplicar o lema 1.2.28. O item 1 garante um sentido da
demonstração, enquanto que o outro vem do item 2. Porém, para aplicar
o item 2, precisamos demonstrar que para cada p ∈ ∇i∈ω Xi , q −1 ({p}) é
Lindelöf:
FixemosSum representante z ∈ q −1 ({p}). Então q −1 ({p}) = {x ∈ i∈ω Xi :
x =∗ z} = j∈ω Lj , onde Lj = {x ∈ i∈ω Xi : ∀i ≥ j, xi = zi }. Como por
hipótese temos todos os Xi ’s compactos, temos que q −1 ({p}) é σ-compacto,
portanto Lindelöf, como queríamos.
3.2
A uma equivalência da Hipótese do Contínuo
Como mencionado anteriormente, o problema central relacionado aos produtos caixa diz respeito a encontrar condições sob as quais o produto caixa
enumerável de espaços topológicos preserva a paracompacidade. Assumindo
a Hipótese do Contínuo, o nabla lema nos fornece uma condição suficiente
para a paracompacidade de produtos caixa enumeráveis de espaços compactos regulares envolvendo o grau de Lindelöf (definição 1.2.16). No entanto,
tal condição é na verdade equivalente a CH, como veremos através do exemplo 3.2.2.
Teorema 3.2.1 (Kunen [Kun78]). Supondo a Hipótese do Contínuo (CH), se
para cada i ∈ ω, Xi é um espaço topológico compacto Hausdorff e L(i∈ω Xi ) ≤
c, então i∈ω Xi
Demonstração. Suponha L(i∈ω Xi ) ≤ c. Note que L(i∈ω Xi ) = L(∇i∈ω Xi ),
pois como a projeção q : i∈ω Xi −→ ∇i∈ω Xi é contínua e aberta, a cada cobertura aberta de i∈ω Xi podemos associar uma cobertura aberta de ∇i∈ω Xi
e vice-versa. Assumindo CH, temos L(∇i∈ω Xi ) ≤ ℵ1 . Pelo lema 3.1.4, temos que ∇i∈ω Xi é um Pℵ1 -espaço. Concluímos então, pelo lema 1.2.27, que
∇i∈ω Xi é paracompacto e portanto i∈ω Xi também o é, pelo Nabla Lemma
(teorema 3.1.5).
45
O teorema anterior é equivalente à Hipótese do Contínuo, como mostra
o seguinte exemplo.
Exemplo 3.2.2. Existe um espaço compacto X tal que w(X) = ℵ2 e ω X
não é normal.
A construção deste exemplo será independente da hipótese do contínuo.
Para mostrar que esse exemplo garante que a Hipótese do Contínuo é equivalente ao teorema 3.2.1, construímos o espaço descrito no exemplo e supomos
a negação da hipótese do contínuo (isto é, supomos válido ℵ2 ≤ c).
Temos assim:
ℵ0
= 2ℵo ×ℵ0 = 2ℵ0 = c
L( ω X) ≤ w( ω ) ≤ w(X)ℵ0 = ℵ2 ℵ0 ≤ cℵ0 = 2ℵ0
Assim, temos que X e ω X se encaixam nas hipóteses do teorema 3.2.1.
Todavia, ω X é Haussdorf, mas não é normal. Portanto ω X não é
paracompacto, sendo assim um contra-exemplo para o teorema em questão.
Para construir esse exemplo, precisaremos de mais alguns conceitos:
Definição 3.2.3. Dado um espaço topológico X, denotamos por Xδ o espaço
topológico formado pelo mesmo conjunto de pontos de X com a topologia
gerada por todos os conjuntos Gδ de X. Chamamos Xδ de Gδ -modificação
de X, ou topologia Gδ de X.
Lema 3.2.4. Dado um espaço topológico Hausdorff X, temos que Xδ é homeomorfo a um subespaço fechado de ω X. Da mesma forma, Xδ também
é homeomorfo a um subespaço fechado de ∇ ω X
Demonstração. Defino a função ϕ : Xδ −→ ∇ ω X dada por ϕ(x) = q(b
x) (b
como na definição 2.2.6). É fácil ver que ϕ é injetora, pois dados x, y ∈ Xδ
distintos, x
b e yb são diferentes em todas as coordenadas.
Consideremos a restrição de ϕ ao seu domínio (ou seja,
ϕ : Xδ −→ ϕ(Xδ ) ⊂ ∇ ω X ). Assim, temos ϕ bijetora.
Vamos mostrar que ϕ é contínua. Note que ϕ nada mais é do que a
composição da função b : X → ω X com a projeção q : ω X → ∇ ω X.
Como por definição temosQ
q contínua, então basta provar queb: X → ω X
é contínua. Seja A = q( i∈ω Ai ), onde para todo i T
∈ ω temos Ai ⊂ X
aberto. Note que a imagem inversa de A por x 7→ x
b é i∈ω Ai , o qual é um
conjunto Gδ em X e, portanto, é aberto em Xδ .
Agora vamos mostrar que ϕ é uma função aberta. Seja
T V um aberto
em Xδ . Podemos supor V um aberto básico escrever V = n∈ω Vn , com Vn
ω
c
aberto em X para cada n ∈ ω. Definimos então
Vn = (Vn ) para cada n ∈ ω.
cn é aberto em ω X, logo q V
cn é aberto em ∇ ω X. Como
Note que V
T
cn é aberto em ∇ ω X. Note que
∇ ω X é um P-espaço, temos que n∈ω q V
T
cn ∩ ϕ(Xδ ), logo ϕ é de fato um homeomorfismo.
ϕ(V ) =
q
V
n∈ω
46
b = {b
Note também que ϕ(Xδ ) é fechado em ∇ ω X. Seja X
x : x ∈ X}
ω
b Existem n, m ∈ ω tais que pn 6= pm . Como X
e fixe p ∈ ( X) \ X.
é Hausdorff, existem abertos disjuntos
Q U, V tais que pn ∈ U e pm ∈ V .
Considere então a caixa aberta W = i∈ω Wi definida por

 U se i = n
V se i = m
.
Wi =

X caso contrário
b é fechado
Note que W é uma vizinhança abertadep que comprova que X
b é fechado, pois q é uma função
em ω X. Assim, temos que ϕ(X) = q X
fechada.
Por fim, para mostrar o mesmo resultado relativo a ω X, vamos construir um homeomorfismo ψ : ∇ ω X → ψ(X) ⊂ ω X. Para cada Z ∈
∇ ω X, ψ escolhe um representante da classe Z, com a restrição de que se
b tal que x
existe x
b∈X
b ∈ Z, então definimos ψ(Z) = x
b. A função ψ com
tal restrição está bem definida pois como vimos na construção de ϕ, existe
b tal que x
no máximo um x
b∈X
b ∈ Z. Como as classes são disjuntas, temos
que ψ é injetora, logo bijetora. Note também que a inversa de ψ nada mais
é do que q. Como q é contínua e aberta, temos que ψ é um homeomorfismo.
Definimos então o homeomorfismo entre Xδ e um subespaço de ω X como
b o qual já vimos é fechado em
a composição ψ ◦ ϕ. Note que ψ ◦ ϕ(X) = X,
ω
X, completando a demonstração.
Q
Demonstração do exemplo 3.2.2. Definimos X = ω2 [0, 1] equipado com a
topologia produto usual (produto de Tychonoff). Temos que X é compacto, e
como [0, 1] possui base enumerável, temos que w(X) = ℵ2 . Pelo lema 3.2.4,
temos que Xδ é homeomorfo a um subespaço fechado de ω X. Como a
normalidade é preservada por subespaços fechados, basta provar que Xδ não
é normal.
Q
Como [0, 1]δ é discreto, segue que Xδ e ( ω2 [0, 1]δ )δ tem a mesma topologia.
Q
Considere Z subespaço de [0, 1]δ tal que |Z| = ℵ1 . Definimos Y = ω2 Z.
Como Yδ é subespaço fechado de Xδ , reduzimos novamente o problema a
provar que Yδ não é normal. Para tanto, vamos construir dois conjuntos
fechados que não satisfazem a condição de normalidade:
Primeiramente, indexamos Z = {zα : α ∈ ω1 }. Note que todo y ∈ Y é
uma função y : ω2 −→ Z, e Z é equipotente a ω1 . Pelo
princípio da casa dos
−1
pombos, existe um ordinal α ∈ ω1 tal que y (zα ) > 1. Assim, podemos
construir o conjunto C(0) dos y ∈ Y tais que y −1 (zα ) > 1 somente para
α = 0, e da mesma forma construímos C(1). Em outras palavras,
C(0) = y ∈ Y : ∀α ∈ ω1 , y −1 (zα ) > 1 ⇒ α = 0
47
C(1) = y ∈ Y : ∀α ∈ ω1 , y −1 (zα ) > 1 ⇒ α = 1
Note que as funções constantes z0 e z1 pertencem a C(0) e C(1) respectivamente, logo C(0), C(1) 6= ∅. Também é fácil ver que C(0) ∩ C(1) = ∅,
pois se existisse p ∈ C(0) ∩ C(1), teríamos que p é uma função injetora.
Temos ainda que esses conjuntos são fechados: dado y ∈ Y \ C(0), temos
β1 , β2Q∈ ω2 distintos tais que β1 , β2 6= 0 e y(β1 ) = y(β2 ). Considere o aberto
V = λ∈ω2 Vλ dado por:

 {y(β1 )} se λ = β1
{y(β1 )} se λ = β2
Vλ =
.

Z
caso contrário
O conjunto V testemunha que C(0) é fechado, e da mesma forma temos
C(1) também o é.
Suponhamos que exista um aberto G tal que C(0) ⊂ G ⊂ G ⊂ Yδ \ C(1).
Para Q
chegar ao absurdo, utilizaremos uma base U de Yδ tal que para todo
U = λ∈ω2 ∈ U e todo λ ∈ ω2 temos
• Uλ 6= Z ⇒ |Uλ | = 1;
• |spt(U )| = ℵ0 e ω1 ∩ spt(U ) é um ordinal infinito.
De fato, para satisfazer a primeira condição, usamos que [0, 1]δ é discreto.
Para a segunda, usamos que Yδ é P-espaço. Com U em mãos, para cada
α ∈ ω1 , vamos construir recursivamente um aberto Uα ∈ U, um ordinal
ηα < ω1 , uma função bijetora ϕα : ηα −→ spt(Uα ) e um ponto uα ∈ C(0)
que satisfaçam as condições:
1. ω1 ∩ spt(Uα ) = ηα
2. α < ηα < ω1
3. β < α ⇒ ηβ < ηα
4. β < α ⇒ ϕβ = ϕα β
5. uα ∈ Uα ⊂ G
6. ∀λ ∈ ω2 , uα (λ) =
zγ se ∃β < α, ∃γ ∈ ηα , ϕβ (γ) = λ
z0 caso contrário
Começamos construindo o caso α = 0. Definimos u0 como a constante
z0 . Escolhemos U0 ∈ U tal que u0 ∈ U0 . Fixamos η0 = ω1 ∩ spt(U0 ) como
no item 1. A segunda condição satisfeita pela base U garante que η0 seja
um ordinal e que exista uma bijeção ϕ0 : η0 −→ spt(U0 ), já que ambos os
conjuntos possuem cardinalidade ℵ0 .
48
Agora seja ν ∈ ω1 tal que para todo
S α < ν já estejam
S construídos
U
,
η
,
ϕ
e
u
.
Definimos
então
S
=
spt(U
),
θ
=
α
ν
α
ν
α<ν
α<ν ηα e ψν =
Sα α α
α<ν ϕα . O item 4 garante que essa colagem é válida e que ψν : θ −→ Sν é
uma função bijetora. Definimos também:
zγ se ∃γ < θν , ψν (γ) = λ
uν (λ) =
z0 caso contrário
Note que como ψν é bijetora , temos que uν ∈ C(0). Temos é fácil ver
que uν foi escolhido distinto dos uα anteriores, ou seja, uν 6∈ {uα : α < ν}.
Usando o fato de U ser base de Yδ , podemos escolher Uν ∈ U tal que uν ∈ Uν
e Sν ∪ (θν + ω) ⊂ spt(Uν ). Tal inclusão é possível pois Sν ∪ (θν + ω) é
enumerável, já que tanto Sν quanto θν são uniões enumeráveis de conjuntos
enumeráveis. Assim, definimos ην = ω1 ∩ spt(Uν ). Como spt(Uν ) \ Sν é
enumerável, podemos extender ψν a uma função ϕν : ην −→ spt(Uν ). Temos
então as sequências construídas satisfazendo os itens de 1 a 6.
S
S
Com as sequências prontas, definimos S = α∈ω1 spt(Uα ) e Φ = α∈ω1 ϕα .
Os itens 2, 3 e 4 garantem que Φ é de fato uma função bijetora. Assim, podemos construir um ponto x ∈ Yδ dado por:
x(λ) =
zγ se λ ∈ S e Φ(γ) = λ
z1 caso contrário
O fato de Φ ser bijetora garante que x ∈ C(1). Pela nossa suposição,
temos C(1) ∩ G = ∅, então existe V ∈ U tal que x ∈ V ⊂ Yδ \ G. Pela
construção de U, temos que S ∩ spt(V ) é um ordinal infinito enumerável,
logo existe o menor ordinal α tal que S ∩ spt(V ) ⊂ ω1 ∩ spt(Uα ). Pelos itens
1 e 2, temos que ω1 ⊂ S, e portanto S ∩ spt(V ) ⊂ spt(Uα ).
Para
Q chegar à contradição, vamos mostrar que Uα ∩ V 6= ∅. Denotemos
V = λ∈ω2 Vλ . Note que
Uα ∩ V =
Y
(Vλ ∩ (Uα )λ )
λ∈ω2
Portanto, basta provar que para cada λ ∈ ω2 temos Vλ ∩ (Uα )λ 6= ∅. Se
λ 6∈ spt(Uα ), temos (Uα )λ = Z, portanto ∅ =
6 Vλ ⊂ (Uα )λ . Da mesma forma,
se λ 6∈ spt(V ), temos Vλ = Z, portanto ∅ 6= (Uα )λ ⊂ Vλ . Caso contrário,
temos λ ∈ spt(Uα ) ∩ spt(V ). Neste caso, temos
Vλ = (Uα )λ = {x(λ)} = {uα (λ)}
Assim, em cada um dos casos, temos Vλ ∩ (Uα )λ 6= ∅, como gostaríamos.
49
3.3
Pequenos cardinais
Vimos uma condição para a paracompacidade de produtos caixa enumeráveis de espaços compactos sob a hipótese do contínuo. Agora veremos
algumas condições sob hipóteses mais fracas.
Se supormos a negação da hipótese do contínuo, podemos trabalhar com
cardais intermediários entre ℵ0 e c, aos quais é comum se referir por pequenos
cardinais. Neste texto, trabalharemos com dois desses cardinalidades.
Definição 3.3.1. Sejam f, g : ω −→ ω. Dizemos que:
• f ≤∗ g se {n ∈ ω : f (n) > g(n)} é finito;
• f <∗ g se f ≤∗ g e ¬(f =∗ g).
Definição 3.3.2. Seja W ⊂ ω ω uma família de funções de ω em ω. Dizemos
que W é:
• ilimitada se ∀f ∈ ω ω , ∃g ∈ W, g 6≤∗ f (caso contrário, W é dita limitada);
• dominante (sobre ω ω ) se ∀f ∈ ω ω , ∃g ∈ W, f ≤∗ g.
Com esses conceitos definimos dois cardinais:
• b = min {|W | : W é ilimitado} e
• d = min {|W | : W é dominante}
Outro conceito importante para a aritmética cardinal que usaremos é o
das escalas.
Definição 3.3.3. Uma λ-escala é uma sequência {fα ∈ ω ω : α < λ} dominante e estritamente crescente considerando a ordem ≤∗ .
Apresentamos então algumas propriedades dos cardinais b e d:
Proposição 3.3.4.
1. ℵ1 ≤ b ≤ d ≤ c.
2. b é um cardinal regular.
3. b = d se e somente se existe uma b-escala.
Demonstração.
1. Como d representa uma cardinalidade de um subconjunto de ω ω , temos que d ≤ |ω ω | = 2ℵ0 = c. Além disso, pela definição temos que toda família dominante é ilimitada, logo b ≤ d.
Por fim, vamos mostrar que nenhuma família enumerável é ilimitada,
e portanto ℵ1 ≤ b. Para isso, vamos usar o argumento da diagoω
nal. Seja {rP
n : n ∈ ω} ⊂ ω . Definimos então s : ω −→ ω dada
∗
por s(i) =
n<i rn (i). Assim, temos ∀n ∈ ω, rn ≤ s, e portanto
{rn : n ∈ ω} é uma família limitada, como queríamos.
50
2. Seja {rα ∈ ω ω : α < b} uma família ilimitada. Vamos construir recursivamente uma família {sα ∈ ω ω : α < b} ilimitada bem ordenada
pela ordem ≤∗ e de cumprimento b. Começamos com s0 = r0 . Dado
α < b, supomos rβ construído para todo β < α. Como a família
(rβ + sβ )β<α tem comprimento α < b, tal família é limitada, portanto podemos escolher sα como a função que limita tal família. Concluída a construção, temos que o fato de (rα )α<b ser ilimitada garante que (sα )α<b também o seja. Qualquer subconjunto cofinal de
S = {sα : α < b} também será ilimitado, portanto precisa ter cardinalidade b, logo cf(b) = cf(S) = b
3. Se existe uma b-escala, esta é uma família dominante de tamanho b,
logo pelo item 1 temos b = d. Por outro lado, se b = d, então existe uma
família dominante de tamanho b, a partir da qual podemos construir
uma b escala usando a recursão da demonstração do item 2.
Não trabalharemos com o Axioma de Martin (MA) neste texto, porém é
um resultado conhecido que MA implica b = c (para este e outros resultados
sobre MA, consultar [Jec03]). Note que a proposição 3.3.4 possui a seguinte
consequência direta: b = c implica que c é regular e que existe uma c-escala.
Por sua vez, a hipótese de que existe uma c-escala e c é regular implica que
d = c. , e portanto No entanto a reciproca não é verdadeira, uma vez que
d = c não implica necessariamente a existência de alguma λ-escala, pois d = c
junto com a inexistência de uma c-escala é consistente com ZFC [Hec74].
Teorema 3.3.5. Se Xi é primeiro-enumerável para todo i ∈ ω, então ∇i∈ω Xi
é b-aberto.
Demonstração.
Seja q(p) ∈ ∇i∈ω Xi . Sejam κ < b um ordinal e U α =
Q
α
uma vizinhança aberta básica de q(p) para cada α < k. Vamos
q
i∈ω Ui T
mostrar que α<κ U α é vizinhança de q(p).
n
o
Fixemos para cada n ∈ ω uma base local
Vij : j ∈ ω
de pi ∈ Xi
tal que ∀j ∈ ω, Vij+1 ⊂ Vij . Para cada α < κ, podemos construir uma
fα (i)
função fα : ω −→ ω tal que para
⊂ Uiα . Assim,
Qcada i ∈ ω temos Vi
fα (i)
temos para cada α < κ que q
⊂ Uα . Com isso, definimos
i∈ω Vi
ω
W = {fα : α < κ} ⊂ ω . Como |W | = κ < b, temos que a família W
de funções não é dominante. Então existe uma
−→ ω tal que
Q função g : ω T
g(i)
∗
∀f ∈ W, f ≤ g. Assim, temos que q(p) ∈ q
⊂ α<κ U α , pois
i∈ω Vi
para cada α < κ, vale
n
o
g(i)
i : Vi
6⊂ Uiα ⊂ {i : fα (i) < g(i)} ,
o qual é finito, o que conclui a demonstração.
51
Corolário 3.3.6. Se b = c , Xi é compacto, Hausdorff e primeiro enumerável para todo i ∈ ω, então i∈ω Xi é paracompacto.
Demonstração. Como cada Xi é compacto Hausdorff e primeiro enumerável,
pelo Teorema de Arhangelskii (teorema 1.2.21),temos que w(Xi ) ≤ |Xi | ≤
2ℵ0 = c. Note que
Y
L (∇i∈ω Xi ) ≤ w (∇i∈ω Xi ) = w (i∈ω Xi ) ≤
w(Xi ) ≤ cω = c
i∈ω
Aplicando o teorema 3.3.5 junto com o lema 1.2.27, obtemos que ∇i∈ω Xi é
paracompacto. Concluímos aplicando o nabla lema (teorema 3.1.5).
Podemos reduzir a hipótese do resultado anterior para d = c. A demonstração, por Judith Roitman [Roi79] utiliza a seguinte propriedade do
cardinal d (a versão que usaremos está em [Wil84], mas é equivalente à de
Roitman):
Lema 3.3.7. Sejam W ⊂ ω ω e A ⊂ [ω]ω tais que |A| + |W | < d. Então
para cada f ∈ W e cada A ∈ A, existe uma função g : ω −→ ω tal que o
conjunto {n ∈ A : f (n) < g(n)} é infinito.
ω
Demonstração. Para
Pkncada par (f, A) ∈ W × A, definimos a função fA ∈ ω
dada por fA (n) = i=0 f (i) para cada n ∈ ω, onde kn = min {j ∈ A : n < j}.
Definindo WA = {fA : f ∈ W, A ∈ A}, como |WA | < d, podemos encontrar uma g ∈ ω ω crescente tal que g 6≤∗ fA para todo fA ∈ WA . Como
para cada n ∈ ω temos que n ≤ i ≤ kn e fA (n) < g(n) implicam que
f (i) < g(n) < g(i), concluímos que g é de fato a função que procuramos.
Teorema 3.3.8. Se d = c , Xi é Lindelöff, regular e primeiro-enumerável
para todo i ∈ ω, então ∇i∈ω Xi é ultraparacompacto.
Demonstração. Inicialmente, da mesma maneira que no corolário 3.3.6, temos que |Xi | ≤ c para cada i ∈ ω, do que concluímos que |∇i∈ω Xi | ≤ c.
Portanto podemos escrever ∇i∈ω Xi = {xα : α < c}. Além disso, como cada
Xi é primeiro enumerável, para cada xi ∈ Xi temos uma base local decrescente {vxi ,n : n ∈ ω}. Dada um ponto x = (xi )i∈ω ∈ i∈ω Xi e uma função
f : ω −→ ω qualquer, denotaremos ux,f = ∇i∈ω vxi ,f (i) . Note que esta notação tem a seguinte propriedade: dados x, y ∈ ∇i∈ω Xi e f, g : ω −→ ω,
temos:
i ∈ ω : vx ,f (i) ∩ vy ,g(i) = ∅ ≥ ℵ0 ⇐⇒ ux,f ∩ uy,g = ∅
i
i
Seja U uma cobertura aberta de ∇i∈ω Xi . Vamos construir um refinamento U0 = {Uα : α < c} de U dois-a-dois disjunto (a menos de repetição). Como ∇i∈ω Xi é regular e P-espaço, escolhendo V ∈ U tal que
52
x0 ∈ V , podemos construir uma sequência estritamente crescente (pela orω
dem termo
T a termo, como definida na observação 4.1.4 {f0,n ∈ ω : n ∈ ω}
tal que
T n∈ω ux0 ,f0,n seja um aberto fechado contido em V . Definimos
U0 = n∈ω ux0 ,f0,n .
Para
S algum α < c, suponhamos Uβ já construído para todo β < α. Se
xα ∈ β<α Uβ , definimos Uα = Uβ , para algum β < α tal que xα ∈ Uβ .
Suponhamos agora o contrário. Para cada β < α, como Uβ é fechado e
∇i∈ω Xi é regular, podemos encontrar uma função gβ : ω −→ ω tal que Uβ ∩
uxα ,gβ = ∅. Como a sequência (fβ,n )n∈ω é crescente para β < α, podemos
encontrar um natural nβ tal que uxα ,gβ ∩ uxβ ,fβ,nβ = ∅. Pela propriedade que
citamos da notação utilizada, temos que o conjunto
o
n
Aβ = i ∈ ω : v(xα )i ,gβ (i) ∩ v(xβ )i ,fβ,n (i) = ∅
β
seja infinito. Pelo lema 3.3.7 junto com a hipótese que d = c, podemos
encontrar uma função h : ω −→ ω tal que para cada β < α o conjunto
{j ∈ Aβ : gβ (j) < h(j)} é infinito. Pela notação utilizada, temos que uxα ,h ∩
Uβ = ∅ para cada β < α. Escolhemos então V ∈ U tal que xα ∈ V e
construímos, da mesma maneira que anteriormente, uma sequência
crescente
T
ω
de funções {hn ∈ ω : n ∈ ω} tal que h0 = h e U = n∈ω uxα ,hn ⊂ V
seja um aberto-fechado. Definimos então Uα = U e assim concluímos a
construção por indução.
Corolário 3.3.9. Se d = c , Xi é compacto, regular e primeiro-enumerável
para todo i ∈ ω, então i∈ω Xi é paracompacto.
No caso intermediário b = d, o seguinte teorema de van Douwen [vD80]
nos mostra que uma hipótese suficiente para obter a paracompacidade de
produtos caixa enumerável é a metrizabilidade e compacidade dos fatores.
Teorema 3.3.10. O produto caixa de uma quantidade enumerável de espaços
metrizáveis compactos é paracompacto se b = d.
Este teorema é uma simples consequência do seguinte lema, demonstrado,
por exemplo, por Roitman em [Roi11]:
Lema 3.3.11. Suponha b = d. Então o produto nabla enumerável de espaços
metrizáveis compactos é b-metrizável.
Demonstração. Pelo item 3 da proposição 3.3.4, existe uma família {fα ∈ ω ω : α < b}
a qual é uma b-escala. Para cada q(x) ∈ ∇i∈ω Xi e cada α < b, definimos
\
1
uq(x),α =
∇i∈ω Bi xi , (n+f (i))
α
2
n∈ω
53
onde
Bi (xi , r) é a bola de centro xi e raio r em Xi . Temos então que Bq(x) =
uq(x),α : α < b é a base local de q(x) a qual testemunha que ∇i∈ω Xi é
um espaço b-metrizável.
Continuando com os teoremas sobre a paracompacidade de produtos
caixa utilizando hipóteses sobre pequenos cardinais, apresentamos um teorema de Scott Williams [Wil84], originalmente demonstrado através de uniformidades. No entanto, seguiremos a demonstração de Judith Roitman
em [Roi11], a qual utiliza submodelos elementares. Ambas as demonstrações se baseiam em construir uma base para ∇i∈ω Xi que testemunhe a ω1 metrizabilidade de tal espaço.
Teorema 3.3.12. Suponha d = ℵ1 . Se Xi é um espaço compacto Hausdorff
com w(Xi ) ≤ ℵ1 para cada i ∈ ω, então i∈ω Xi é paracompacto.
Demonstração. Vamos mostrar que ∇i∈ω Xi é ω1 -metrizável, de maneira que
os teoremas 3.1.5 e 1.2.30 completam a demonstração.
Primeiramente, usamos a hipótese w(Xi ) ≤ ℵ1 para selecionar uma base
Ci enumerável para cada i ∈ ω. Vamos construir, para cada i ∈ ω, uma
sequência crescente (Ci,α )α<ω1 de subconjuntos enumeráveis de Ci . Construiremos tal sequência de maneira que para cada
S α < ω1 , Ci,α seja base de um
subespaço Xi,α ⊂ Xi , de maneira que Xi = α<ω1 Xi,α .
Para construir (Ci,α )α<ω1 , vamos usar o conceito de submodelos elementares. Primeiramente, consideramos H(ω2 ) a coleção de todos os conjuntos
cujo fecho transitivo possui cardinalidade menor que ω2 . Pelo teorema de
Löwenheim–Skolem, podemos construir (Mα )α<ω1 uma sequência contínua
crescente de S
submodelos elementares enumeráveis de H(ω2 ), de maneira que
∀i ∈ ω, Ci ∈ α<ω1 Mα . Definimos então
S Ci,α = Ci ∩ Mα .
Para cada Ci,α , definimos Xi,α = Ci,α . Como (C
Si,α )α<ω1 é uma sequência
crescente,
(X
)
também
o
é.
C
∈
i,α α<ω1
i
α<ω1 Mα garante que
S
α<ω1 Xi,α = Xi .
Como Ci,α é uma base enumerável para Xi,α , temos que Xi,α é metrizável,
pelo teorema da metrização de Urysohn (veja, por exemplo, [Eng89]). Como
supomos d = b = ℵ1 , pelo lema 3.3.11, temos que ∇i∈ω Xi,α é ω1 -metrizável
para cada α ∈ ω1 . Podemos então construir para cada ponto x ∈ ∇i∈ω Xi,α
uma base Bα (x) = {U (x)γ,α : γ < ω1 } satisfazendo as condições da definição 1.2.29.
Para cada ponto x ∈ ∇i∈ω Xi , podemos então definir a base local




\
B(x) = U (x)α =
U (x)γ,β : Uγ,β ∈ Bβ (x), α < ω1 .


β,γ<α
Como ∇i∈ω Xi é P-espaço (lema 3.1.4), temos que os elementos de B(x) são
abertos. As propriedades de cada Bα (x) garantem que B(x) testemunhe que
∇i∈ω Xi é ω1 -metrizável, como queríamos.
54
Os resultados anteriores possuem em comum a hipótese de os fatores serem paracompactos. O seguinte resultado, por Lawrence em [Law88], mostra
que é possível obter resultados semelhantes sem tal hipótese.
Teorema 3.3.13 (Lawrence). Supondo b = d ou d = c, se Xi é um espaço
metrizável enumerável, então i∈ω Xi é ultraparacompacto.
A ideia da prova deste teorema consiste em usar a hipótese para ordenar
o produto nabla de maneira a formar uma árvore, a qual nos auxilie a refinar
uma cobertura aberta do produto caixa. Para tanto, Lawrence formulou a
Hipótese da Ordem (OH), a qual consiste na existência de tal ordenação
do produto nabla. Sua prova consistiu então em duas etapas: mostrar que
b = d ou d = c implicam em OH, e mostrar que OH implica que i∈ω Xi
é ultraparacompacto. Utilizaremos, contudo, uma versão modificada desta
demonstração, feita por Roitman em [Roi11], a qual utiliza a mesma ideia.
Definição 3.3.14 (Hipótese da Ordem). Seja Xi um espaço métrico enumerável para cada i ∈ ω. A Hipótese da Ordem (OH) é a seguinte afirmação:
existe uma ordem parcial sobre ∇i∈ω Xi satisfazendo:
• (∇i∈ω Xi , ) é uma árvore de altura ≤ d;
S ↑
•
p ⊂ i∈ω Xi é aberto para cada p ∈ ∇i∈ω Xi .
Como a OH e os teoremas que a envolvem não consideram a topologia
do produto nabla ∇i∈ω Xi , podemos utilizar ao invés um conjunto Y ⊂ X
=∗ -transversal, isto é, constituído precisamente por 1 representante de cada
classe de equivalência da relação =∗ .
Lema 3.3.15. b = d implica OH.
Demonstração. Começaremos pelo caso b = d. Como cada Xi é enumerável,
podemos ordenar Xi com a ordem de ω e i∈ω Xi com a ordem ≤∗ . Pela
proposição 3.3.4(item 3), temos uma b-escala (hα )α<b em i∈ω Xi .
Para cada α < b, definimos a função γα : ω −→ R+ definida por
γα (n) = inf {dn (a, b) : a ≤ b ≤ hα (n) + 1} .
A partir de cada γα , vamos construir, para cada α < b, uma espécie de
ω
quasi-métrica1 δα : (i∈ω Xi × i∈ω Xi ) −→ (R+ ) definida por:
(δα (x, y))i = δα,i (xi , yi ) =
1
dn (xi , yi )
γα (i)
isto é, uma métrica que não necessariamente satisfaz a simetria.
55
A partir dessa sequência, definimos para cada x ∈ i∈ω Xi e cada α < b
o conjunto
ux,α = {y ∈ i∈ω Xi : a sequência δα (x, y) converge para 0} .
Como (hα )α<b é uma b-escala, podemos definir αx para cada x ∈ i∈ω Xi
como o menor α < b tal que x ≤∗ hα . Definimos ux = ux,αx , e a partir
de tais
construiremos a ordem sobre ∇i∈ω Xi , de maneira que
S conjuntos,
↑
ux =
q(x) . Para tanto, definimos a ordem parcial em ∇i∈ω Xi por:
q(x) q(y) ⇐⇒ ux ⊃ uy
Para verificar que (∇i∈ω Xi , ) satisfaz OH, mostraremos que esta construção possuí as seguintes propriedades:
I) se x, y ∈ i∈ω Xi são tais que x =∗ y, então para cada α < b temos
ux,α = uy,α (consequentemente q(x) ⊂ ux,α para todo α < b);
II) se αx , αy ≤ α e q(x) 6= q(y), então ux,α ∩ uy,α = ∅;
III) se αx < αy , então ou ux ⊃ uy ou ux ∩ uy = ∅.
Para verificar (I), dados x =∗ y, temos que existe n0 ∈ ω tal que xi = yi
para todo i > n0 . Logo, dado z ∈ i∈ω Xi , temos que (δα (x, z))i = (δα (y, z))i
para todo i > n0 .
Para verificar (II), sejam αx , αy ≤ α com q(x) 6= q(y). Para todo
n ∈ ω, temos xn , yn < hα (n). Portanto temos dn (xn , yn ) ≥ γα (n), e assim δα (x, y)n ≥ 1. A desigualdade triangular garante que ux,α ∩ uy,α = ∅.
Para verificar (III), note que fixado x ∈ i∈ω Xi , temos ux,α ⊃ ux,β
sempre que α < β. O mesmo ocorre para y fixado. Portanto ou uy,αx = ux,αx
ou uy,αx ∩ ux,αx = ∅.
Vamos agora verificar que (∇i∈ω Xi , ) satisfaz a Hipótese da Ordem. A
propriedade (I) garante que a relação está bem definida. As propriedades
reflexiva e transitiva são satisfeitas por devido a ⊃ também satisfazê-las.
Já a propriedade antissimétrica é consequência de (II). Juntos, os itens (II)
e (III) mostram que (∇i∈ω Xi , ) é uma árvore, e que αx é altura de q(x).
Isto garante também que a altura de (∇i∈ω Xi , ) é menor ou igual a b.
Por fim, basta verificar que para qualquer x ∈ i∈ω Xi , ux é aberto. Seja
y ∈ ux . Para cada i ∈ ω,Qdefinimos i = (δαx (x, y))i e Vi = Bδαx ,i (yi , i ).
Vamos mostrar que V = i∈ω Vi ⊂ ux . Seja z ∈ V . Para cada i ∈ ω, pela
desigualdade triangular, temos:
(δαx (x, z))i ≤ (δαx (x, y))i + (δαx (y, z))i ≤ 2i
Como y ∈ ux , temos que a sequência (2i )i∈ω converge para 0, e portanto
z ∈ ux como gostaríamos.
56
Lema 3.3.16. A hipótese da ordem (OH) implica que o produto enumerável
de espaços metrizáveis enumeráveis é paracompacto.
Originalmente, Lawrence demonstrou tal resultado refinando cuidadosamente uma cobertura de i∈ω Xi em cada nível da árvore obtida por OH. No
entanto, posteriormente Wingers demonstra em [Win94] a seguinte generalização do teorema 3.3.13.
Teorema 3.3.17 (Wingers). Suponha d = c. Seja Xi um espaço σ-compacto,
zero dimensional, primeiro enumerável com |Xi | ≤ c para cada i ∈ ω. Então
i∈ω Xi é ultraparacompacto.
Além de cobrir o teorema 3.3.13 para o caso d = c, a demonstração de
Wingers nos fornece um método mais simples para demonstrar o lema 3.3.16.
Contudo, precisaremos de alguns outros resultados de [Win94].
Lema 3.3.18. Seja Xi um espaço primeiro enumerável para cada i ∈ ω.
Dada uma família U = {Uα S
: αS< β} de caixas fechadas de i∈ω Xi , com
β < d, temos que o conjunto { q(U ) : U ∈ U} é fechado.
S S
Demonstração. Seja x ∈ i∈ω Xi \ { q(U ) : U ∈ U}. Fixamos α < β e
definimos Sα = {i ∈ ω : xi 6∈ (Uα )i }.QNote que Sα é infinito. Construímos
então uma vizinhança aberta Vα = i∈ω (Vα )i de x definida por (Vα )i =
Xi \ (Uα )i para i ∈ Sα e (Vα )i = (Uα )i caso contrário.
Para cada i ∈ ω, seja {Bi,j : j ∈ ω} uma base local decrescente para x0 .
Para cada α < β, definimos uma função fα : ω −→ ω dada por fα (i) =
min {j ∈ ω : Bi,j ⊂ (Vα )i }. Pelo lema 3.3.7, podemos construir uma função
g : ω −→ ω tal que o conjunto {i ∈ Sα Q
: fα (i) ≤ g(i)} seja infinito para cada
α < β. Definimos a vizinhança V = i∈ω Bi,g(i) de x. Para S
cada α < β,
como o conjunto {i ∈ ω : Vi ∩ (Uα )i } é infinito, temos que V ∩ q(Uα ) = ∅,
como gostaríamos.
Q
Definição 3.3.19. Seja U = Uα = i∈ω Uα,i : ∀i ∈ ω, Uα,i ⊂ Xi e α < β
uma família qualquer de caixas (não necessariamente abertas) de i∈I Xi .
S
• Definimos U(x, n) = {U ∈ U : ∀i ≥ n, xi ∈ Ui } e U(x) = n∈ω U(x, n)
• Dizemos que U é uma família simples se para todo x ∈ i∈ω Xi e todo
n ∈ ω temos
[
U(x, n) é infinito =⇒ {y ∈ i∈ω Xi : ∀i ≥ n, yi = xi } ⊂
U
• Dizemos que U é uma família afunilada2 se β = ω e para todo j ∈
ω, ∀i ≥ j, Uj+1,i = Uj,i
2
Tapered family, no original.
57
• Dadas duas caixas U e V em i∈ω Xi , dizemos que U e V são fortemente disjuntas se {i ∈ ω : Ui ∩ Vi = ∅} for infinito.
Lema 3.3.20. Seja U uma família simples de caixas fechadas em i∈ω
S Xi ,
onde Xi é primeiro enumerável para todo i ∈ ω. Se |U| < d, então U é
fechado.
S
Demonstração. Seja x ∈ i∈ω Xi \ U. Vamos construir uma vizinhança V
de x satisfazendo as seguintes propriedades:
(i) ∀i ∈ ω, ∀U ∈ U(x, i + 1) \ U(x, i), Vi ∩ Ui = ∅
(ii) V é fortemente disjunto de cada elemento de U \ U(x).
Como U é simples, pela contra-positiva da definição de família simples,
temos que U(x, i) é finito para todo i ∈ ω. Fixado i ∈ ω, podemos então
escolher uma vizinhança aberta Vi0 de xi tal que para cada U ∈ U(x, i + 1) \
U(x, i) tenhamos Vi0 ∩ Ui = ∅, pois tais U são finitos
S S e satisfazem xi 6∈ Ui .
Note que pela definição de U(x), temos x 6∈ { q(U ) : U ∈ U \ U(x)}.
Tal conjunto é fechado (lema 3.3.18),Slogo
S podemos escolher uma vizinhança
básica aberta V 00 de x tal que V 00 ∩ { q(U ) : U ∈ U \ U(x)} = ∅. Temos
que V 00 é fortemente disjunto de cada U ∈ U \ U(x). De fato, suponha que
V 00 não seja fortemente disjunto de algum U ∈ U \ U(x). Dado p ∈ V 00 tal
que pi ∈ S
Vi00 ∩ Ui para todo i > n, para algum n ∈ ω, temos que q(p) ∈ q(U ),
logo p ∈ q(U ), o que é um absurdo.
Temos então que VS= V 0 ∩ V 00 é uma vizinhança de x que satisfaz
(i)
U , temos U(x, 0) = ∅, deSmaneira que U(x) =
S e (ii). Como x 6∈
Por (i), temos que V ∩ U (x)S= ∅, enquanto
i∈ω (U(x, i + 1) \ U(x, i)). S
que por (ii) temos que V ∩ (U \ U(x)) = ∅. Assim, V ∩ U = ∅, como
gostaríamos.
Temos agora ferramentas suficientes para demonstrar o lema 3.3.16.
Demonstração do lema 3.3.16. Suponhamos OH. Sejam Xi enumerável e metrizável para cada i ∈ ω, a ordem sobre ∇i∈ω Xi obtida por OH e up =
{q ∈ ∇i∈ω Xi : p q}. Seja W uma cobertura aberta de i∈ω Xi . Como
cada Xi é metrizável e enumerável, temos em particular que Xi é regular e primeiro enumerável, e portanto zero dimensional (proposição 1.2.8).
Portanto i∈ω Xi é zero dimensional. Podemos também escrever Xi =
{mi,j : j ∈ ω}.
Vamos construir um refinamento {Vy,n,l : y ∈ ∇i∈ω Xi , n ∈ ω, l < f (l)}
de W por indução na altura da árvore (∇i∈ω Xi , ). Para tanto, construiremos paralelamenteSuma função ilimitada ky : ω −→ ω para cada y ∈ ∇i∈ω Xi .
Definimos Vy,n = l<f (l) Vy,n,l e Vy = {Vy,n : n ∈ ω} e vamos escolher um
representante yb ∈ y. Queremos que, para cada y ∈ ∇i∈ω Xi , nossa construção
satisfaça as seguintes propriedades:
58
A. Vy =
S
{Vz : z ≺ y} é uma família simples.
B. se Vy 6= ∅, então Vy é uma família simples e afunilada.
S
S
C. se Vy 6= ∅, então y ⊂ Vy
Q
Q
D. se Vy 6= ∅, então yb ∈ Cy,n =
{m
:
j
≤
k
(n)}
×
{m
}
⊂
i,j
y
i,j
i<n
i≥n
S
Vy,n ⊂ uy .
E. ∀n ∈ ω, ky (n) ≥ n.
F. Para quaisquer z ∈ ∇i∈ω Xi e n ∈ ω tais que z y e Vn,z ∩ Vn,y 6= ∅,
temos kz (n) < ky (n).
S
G. se Vy 6= ∅, então yb 6∈ Vy .
H. Se Vy 6= ∅, então ∀i ∈ ω, ∀U ∈ Vy (b
y , i + 1) \ Vy (b
y , i), (Vy,0 )i ∩ Ui = ∅
I. Se Vy 6= ∅, então Vy,0 é fortemente disjunto dos elementos de Vy \ Vy (b
y ).
Sejam n ∈ ω e y ∈ ∇i∈ω Xi cuja altura é 0. Fixemos yb ∈ i∈ω Xi um
representante da classe y. Definimos ky (n) = j(b
y , n) + n para cada n ∈ ω,
onde j(x, l) é o número natural tal que xl = mj(x,l) .
Vamos construir Vy,n satisfazendo D. Para n = 0, como temos Cy,0 = S
{b
y },
0
0
podemos escolher um aberto fechado básico V tal que yb ∈ V ⊂ W ∩ uy
para algum W ∈ W. Definimos assim Vy,0 = V 0 . Para n > 0, note que Cy,n
é finito. Então para cada c ∈ C
Sy,n , podemos escolher um aberto fechado
básico V
c ∈ Vc ⊂ Wc ∩ uy para
cQtal que
algum Wc ∈ W. Definimos então
S
Q
0
Vy,n =
i<n c∈Cy,n (Vc )i ×
i≥n Vi .
Para cada n ∈ ω, como Cy,n é compacto, podemos escolher finitos pontos cl ∈ Cy,n , com l < f (n) para algum f (l) < ω, de
maneira que V
y,n ⊂
Q
S
Q
0
(Vc )i ×
l<f (n) Vcl . Definimos então Vy,n,l =
i≥n (Vc )i ∩ Vi . AsSi<n
sim, temos Vy,n,l ∈ W
Scl ∈ W e Vy,n = l<f (l) Vy,n,l . De fato, por um lado
já temos que Vy,n ⊃ l<f (n) Vy,n,l , uma vez que ∀i ∈ ω, ∀l < f (l), (Vy,n,l )i ⊂
(Vy,n )i . Por outro lado, seja x ∈ Vy,n . Como {Vcl : l < f (n)} cobre Vy,n ,
temos que existe x ∈ Vcl para algum l < f (n). Como ∀i ≥ n, xi ∈ V 0 , temos
que x ∈ Vy,n,l , como gostaríamos.
S Temos que a família Vy = {Vy,n : n ∈ ω} é afunilada e satisfaz y =
n∈ω Cy,n ⊂ Vy . Temos também que a mesma é simples. De fato, sejam
p ∈ i∈ω Xi e m ∈ ω, e suponha Vy (p, m) infinito. Seja q ∈ i∈ω Xi tal que
∀i ≥ m, qi = pi . Definimos a = max {j(q, i) : i < m}. Como ky é ilimitado,
podemos encontrar b ∈ ω tal que ky (b) > a. Em seguida, como supomos
Vy (p, m) infinito,
S existe algum c > b tal que Vy,c ∈ Vy (p, m). Temos que
q ∈ C(y, c) ⊂ Vy , e , portanto, Vy é de fato simples.
Agora fixemos y ∈ ∇i∈ω Xi cuja altura é 0 < α < d. Suponha kz e Vz
construídos para cada z ≺ y. O próximo passo na construção é puramente
59
técnico e não acrescenta muito conceitualmente, de modo que o omitiremos.
Detalhes da construção passo a passo estão na demonstração do Lema 13
em [Win94]. As condições G,H e I são utilizadas somente nesta afirmação.
Afirmação. Podemos construir uma função ky : ω −→ ω satisfazendo as
condições E e F.
S
S
Com ky construído, vamos escolher yb. Se y ⊂ z≺y ( Vy ), podemos
definir f (n) = 1 e Vy,n,0 = ∅ para todo n ∈ ω e escolher yb ∈ y um representante qualquer.
S
S Caso contrário, escolhemos um representante yb ∈ y
tal que yb 6∈ z≺y ( Vy ). Podemos construir, portanto, do mesmo modo
que na demonstração
S do lema 3.3.20, um aberto fechado básico V tal que
yb ∈ V ⊂ W ∩ n(uy ), para algum W ∈ W, de modoo que V é forteS
mente disjunto de U ∈ z≺y Vy : ∀n ∈ ω, ∃i ≥ n, xi 6∈ Ui . Definimos então Vy,0,0 = V e f (0) = 1, de maneira que Vy,0 = V . De tal forma, temos
satisfeitas as condições H e I. Para n > 0, construímos Vy,n e Vy,n,l como
anteriormente.
Novamente temos as condições B até D satisfeitas. Vamos mostrar agora
que a propriedade F implica a propriedade A.
Seja p ∈ i∈ω Xi e n ∈ ω. Suponhamos Vy (p, n) infinito. Definimos
J = {j ∈ ω : ∃z ≺ y, Vz,j ∈ Vy (p, n)}. Seja q ∈ i∈ω Xi tal que ∀i ≥ n, qi =
pi . Como anteriormente, definimos a = max {j(q, i) : i < m}. O objetivo é
encontrar algum V ∈ Vy tal que q ∈ V . Dividimos então a demonstração em
3 casos:
1. Suponha J infinito. Podemos encontrar j ∈ J tal que j > a. Seja z ≺ y
tal que Vz,j ∈ Vy (p, n). Pela condição E, temos que kz (j) ≥ j > a.
Temos então que q ∈ Vz,j , como gostaríamos.
2. Suponha J finito. Como supomos Vy (p, n) infinito, pelo princípio da
casa dos pombos, existe algum j0 ∈ J para o qual existem infinitos
z ≺ y tais que Vz,j0 ∈ Vy (p, n). Suponhamos j0 ≥ n. Denotemos
Z = {z ≺ y : Vz,j0 ∈ Vy (p, n)}. Seja r ∈ i∈ω Xi dado por ri = mi,0
para i < n e ri = pi para
T i ≥ n. Note que, para todo z ∈ Z, temos
r ∈ Cz,j0 ⊂ Vz,j0 , logo z∈Z Vz,j0 6= ∅. Pela condição F, temos que
a sequência (kz (j0 ))z∈Z ordenada por ≺ é crescente. Logo, podemos
encontrar z ∈ Z tal que kz (j0 ) > a. Temos então que q ∈ Vz,j0 , como
gostaríamos.
3. Suponhamos J finito e j0 < n. Pela condição B, para cada z ∈ Z,
temos que Vz é afunilada. Portanto, temos que ∀i ≥ n, (Vz,n )i =
(Vz,j0 )i , de maneira que xi ∈ (Vz,n )i . Desta maneira, Vz,n ∈ Vy (p, n)
para infinitos z ≺ y. Assim, podemos proceder como no item anterior,
apenas substituindo j0 por n, e encontrar z ≺ y tal que q ∈ Vz,n , como
gostaríamos.
60
Vamos então construir um refinamento U aberto dois a dois disjunto de
W. Definimos os elementos de U por
!
[
[
[
Uy,n,l = Vy,n,l \
Vy ∪
Vy,i ∪
Vy,n,i .
i<n
i<l
Como cada Vy cobre y, temos que
de fato cobre i∈ω Xi .
S tal refinamento
S
Note que a condição D garante que Vy ⊂ uy , portanto y q(x). Assim,
podemos bem ordenar Ax pela ordem lexicográfica, de maneira que o único
elemento de U ao qual x pertence é Vmin Ax . Por fim, o lema 3.3.20 garante
que cada Uy,n,l é aberto, completando a demonstração.
3.4
Produtos de ordinais
Uma das questões recorrentes sobre a paracompacidade dos produtos
caixa diz respeito ao produto caixa de ordinais. Sobre o assunto, podemos
citar [Rud74], [Wil77a] , [YW87] e [Wil77b]. A principal questão trata de
encontrar hipóteses que impliquem a paracompacidade de ω (ω + 1). Tal
questão motivou o estudo de produtos caixa de ordinais compactos.
Veremos um resultado introduzido por Kunen em [Kun78] que serve como
ferramenta para estudar a paracompacidade de produtos de ordinais. Para
isto, utilizaremos o conceito de espaço disperso. Com este resultado, temos
que CH é suficiente para que ω (ω + 1) seja paracompacto.
Teorema 3.4.1 (Kunen). Se para cada i ∈ ω, Xi é um espaço compacto
Hausdorff e disperso, então i∈ω Xi é c-Lindelöf.
Demonstração. Seja U uma cobertura aberta de i∈ω Xi . Vamos construir
um refinamento fechado de U de cardinalidade ≤ c. Para isso, vamos construir por indução uma árvore de comprimento ω1 de subconjuntos fechados
de i∈ω Xi .
S
Denotamos por T = c<ω1 = α<ω1 cα . Dados α ∈ c e t ∈ T , definimos a
composição tα ∈ T como a função parcial dada por dom(tα) = dom(t) + 1,
tαdom(t) = t e tα(dom(t)) = α.
Q
Para cada t ∈ T , vamos construir uma caixa fechada K(t) = i∈ω Ki (t)
satisfazendo:
S
1. K(t) = α<c K(tα)
T
2. se dom(t) for um ordinal limite, então K(t) = β<dom(t) K β
3. para cada α < c, K(tα) satisfaz uma e somente uma das seguintes
condições:
(a) ∃U ∈ U, K(tα) ⊂ U
61
(b) ∃n ∈ ω, rank(Kn (tα)) < rank(Kn (t))
Começamos definindo K(0) = i∈ω Xi , onde 0 representa a função nula.
Fixemos t ∈ T e suponhamos K(t) já construído. Para cada i ∈ ω, definimos
βi = rank(Ki (t)) e Yi = (Ki (t))(βi ) .
Q
Pela observação 1.2.15, temos que Yi é finito e não vazio. Note queQ
i∈ω Yi ≤
c. Como i∈ω Xi é regular, podemos encontrar para cada y ∈ i∈ω Yi um
Q
aberto V (y) = i∈ω Vi (y) tal que y ∈ V (y) ⊂ V (y) ⊂ U , para
Qalgum U ∈ U.
Definimos então as famílias V Q
de todos os V (y) para y ∈ i∈ω Yi e K de
todas as caixas fechadas K = i∈ω Ki que satisfazem uma e somente uma
das seguintes condições:
(i) ∃V ∈ V, K = V ∩ K(t)
S
S
∃V 0 ∈ [V]<ω , Yn ⊂ V ∈V 0 Vn e Kn = Kn (t) \ V ∈V 0 Vn
(ii) ∃n ∈ ω,
∀i 6= n, Ki = Ki (t)
Note que, como |V| ≤ |[V]<ω | c, temos que |K| ≤ c. Podemos então
escolher de maneira sobrejetiva um K(tα) ∈ K para cada α ∈ c. Note que
as caixas escolhidas na família K garantem a satisfação do item 3. De fato,
se K ∈ K satisfizer a condição (i), então K(tα) = K satisfaz a condição
(a). Se K 0 satisfaz a condição (ii), então temos (Kn0 )(βn ) = ∅, e portanto
rank(Kn0 ) < βn , do que se conclui que K(tα) = K 0 satisfaz a condição (b).
Por fim, para t ∈ T tal que dom(t) é um ordinal limite, definimos K(t)
como no item 2.
Já mostramos que a árvore construída satisfaz a condição 3 e 2. Falta
mostrar que satisfaz a condição 1. Seja p ∈ K(t) para algum t ∈ T , e suponha
que p não pertença a nenhuma caixa K ∈ K satisfazendo a condição ii. Então
para cada i ∈ ω, podemos encontrar qi ∈ Yi tal que para todoQV ∈ V temos
qi ∈ Vi ⇒ pi ∈ Vi , pois Vi é finito. Considere q = (qi )i∈ω ∈ i∈ω Yi . Logo
para todo V ∈ V, temos q ∈ V ⇒ p ∈ V , logo p ∈ V (q) ∩ K(t) ∈ K, como
gostaríamos.
Construída a árvore como desejamos, vamos mostrar que para qualquer
x ∈ i∈ω Xi , existe um t ∈ T e um aberto Ut ∈ U tal que p ∈ K(t) ⊂ Ut ,
os quais vão determinar a subcobertura desejada de U, dado que |T | ≤ c.
Fixado tal x ∈ i∈ω Xi , as condições 1 e 2 nos permitem construir uma
função f : ω1 ←→ c tal que para cada γ ∈ ω1 temos x ∈ K(f γ ). Dado
n ∈ ω, considere a sequência (βγ (n))γ∈ω1 dada por βγ (n) = rank(Kn (f γ ).
A condição 3 junto com a condição 2 garantem que (βγ (n))γ∈ω1 seja uma
sequência decrescente de ordinais e, portanto, eventualmente constante.
Para cada n ∈ ω, seja δn tal que (βγ (n))γ∈ω1 é constante para γ >
δn . Como cf(ω1 ) > ℵ0 , podemos encontrar δ = maxn∈ω δn . Fixamos t =
f δ . Como para todo n ∈ ω temos (βγ (n))γ∈ω1 constante para γ > δ, pela
condição 3 temos que existe Ut ∈ U tal que K(t) ⊂ Ut , como queríamos.
62
Como todo ordinal sucessor é compacto, junto com o lema 3.1.4 e o
teorema 3.1.5, temos o seguinte corolário:
Corolário 3.4.2. Supondo CH, o produto enumerável de ordinais sucessores
é paracompacto.
Outras hipóteses mais fracas também implicam na paracompacidade de
(ω + 1). Por exemplo, em [Wil77b], Williams demonstra que a existência
de uma λ escala é suficiente para o mesmo resultado.
ω
3.5
O caso não enumerável
A maioria dos resultados conhecidos sobre a paracompacidade de produtos caixa se referem a produtos de uma quantidade enumerável de espaços. Pouco se sabe sobre produtos de uma quantidade maior de fatores.
Em [RW90], Judith Roitman e Scott Williams apresentam, como diz o título
do artigo, alguns resultados sobre a paracompacidade de espaços relacionados a produtos caixa não enumeráveis, como por exemplo seus respectivos
produtos nabla.
Lembrando da observação 3.1.2, podemos generalizar o produto nabla
de maneira semelhante ao que se faz com o produto caixa ao se definir o
κ-produto caixa. Ao invés de usar o filtro dos cofinitos, usaremos o filtro dos
coenumeráveis. Podemos também, teoricamente, trabalhar com cardinalidades ainda maiores, visto que para qualquer cardinal infinito κ, o conjunto
Fκ = {J ∈ P(I) : |I \ J| < κ} é um filtro. Contudo, focaremos apenas no
caso dos coenumeráveis.
Definição 3.5.1. Seja Xi um espaço topológico para cada i ∈ I. Definimos
a seguinte relação ∼ de equivalência em i∈I Xi : Dados x, y ∈ i∈I Xi ,
definimos:
x ∼ y ⇐⇒ {i ∈ I : xi 6= yi } é enumerável.
Definimos então
i∈I Xi
∼
equipado com a topologia quociente. Definimos também a projeção usual
q ∗ : i∈I Xi −→ ∇∗i∈I Xi .
∇∗i∈I Xi =
A seguinte proposição estabelece condições para a projeção de caixas fechadas serem fechadas. Tal proposição servirá de ferramenta para os demais
resultados.
Proposição
3.5.2. Seja λ um ordinal. Para cada α < λ, seja Kα =
Q
i∈I Kα,i uma caixa fechada em i∈I Xi . Então:
S
1. se λ ≤ ω, então α<λ q (Kα ) é fechado em ∇i∈I Xi .
63
2. se λ ≤ ω1 , então
S
α<λ q
∗ (K )
α
é fechado em ∇∗i∈I Xi .
Demonstração.
Vamos provar ambos
os itens simultaneamente. Seja K =
S
S
∗ (K )). Seja y ∈ q
(K
)
(respectivamente
q
α
α
i∈I Xi tal que
α<λ
α<λ
∗
q(y) 6∈ K (respectivamente, q (y) 6∈ K). Para cada α ∈ λ, podemos encontrar Iα ⊂ I tal que |Iα | = λ e para qualquer i ∈ Iα , yi 6∈ Kα,i . Podemos
escolher tais Iα de maneira que sejamQdois a dois disjuntos. Podemos então
escolher uma vizinhança aberta V = i∈I Vi de y tal que para cada α ∈ λ e
cada i ∈ Iα temos Vi ∩ Kα,i = ∅.
Observação 3.5.3. Em [vD80], van Douwen usa uma demonstração similar
para demonstrar tal resultado para valores maiores que λ. Primeiramente,
ele define o produto nabla de maneira mais geral, semelhante à definição
3.5.1, porém criando uma relação de equivalência que associa pontos que
coincidem em menos que |I| coordenadas. Com tal definição, a proposição
anterior é válida para qualquer λ ≤ |I|.
Diferentemente do lema 3.1.4, se |I| > ℵ0 , não necessariamente temos
que ∇i∈I Xi é um P-espaço. Contudo, supondo a normalidade dos fatores,
temos que ∇i∈I Xi e ∇∗i∈I Xi são zero dimensionais.
Proposição 3.5.4. Sejam Xi espaços topológicos normais para cada i ∈ I.
Então os espaços ∇i∈I Xi e ∇∗i∈I Xi são zero dimensionais.
Q
Demonstração. Sejam x ∈ i∈I Xi e U = i∈I Vi uma vizinhança aberta
básica de x. Para cada i ∈ I, como Xi é normal, podemos construir uma
sequência (Vα,i )α∈ω de vizinhanças abertas de xi tal que, para cada α ∈ ω
temos:
xi ∈ Vα,i ⊂ Vα,i ⊂ Vα+1,i ⊂ Ui
Q
Definimos Vα = Si∈I Vα,i para cada αS∈ λ. Temos que Vα ⊂ Vα+1 .
Definimos então G = α∈ω q (Vα ) e G∗ = α∈ω q ∗ (Vα ). Temos então que
q(x) ∈ G ⊂ q(U ) e q ∗ (x) ∈ G∗ ⊂ q ∗ (U ). G e G∗ são claramente abertos,
enquanto que pela proposição 3.5.2, os mesmos também são fechados. Logo
∇i∈I Xi e ∇∗i∈I Xi são zero dimensionais, como gostaríamos
Com tais proposições, conseguimos o seguinte resultado:
Teorema 3.5.5. Assumindo 2ℵ1 = ℵ2 , se Xi é um espaço topológico com
|Xi | ≤ ℵ2 para cada i ∈ I, |I| = ω1 , então ∇∗i∈I Xi é ultraparacompacto.
Demonstração. Pela hipótese, temos que |i∈I Xi | ≤
escrever ∇∗i∈I Xi = {q ∗ (xα ) : α ∈ ω2 }. Seja U uma
∇∗i∈I Xi . Vamos construir um refinamento U 0 = {Uα
a dois disjunto, utilizando indução. Suponhamos que
tenha sido construído satisfazendo:
64
ω2 . Podemos então
cobertura aberta de
: α ∈ ω2 } de U dois
Uα0 = {Uβ : β < α}
1. todos os elementos de Uα0 são abertos-fechados e dois a dois disjuntos.
2. todo elemento de Uα0 está contido em algum elemento de U.
3. Uα0 cobre o conjunto {q ∗ (xβ ) : β < α}.
S
Se q ∗ (xα ) ∈ Uα0 , escolhemos Uα = Uξ , com ξ < α qualquer.
Caso
S
contrário, como |α| < ℵ2 , pela proposição 3.5.2, temos que Uα0 é fechado.
Logo, pela proposição 3.5.4, podemos
achar um aberto fechado que contém
S
q ∗ (xα ) e que não intersecciona Uα0 . Definimos então Uα como tal aberto,
o que completa a indução.
Observação 3.5.6. Note que para os fatores Xi satisfazerem as hipóteses do
teorema anterior, basta que sejam espaços de Lindelöff, Hausdorff e primeiro
enumeráveis, pois pelo Teorema de Arhangelskii (teorema 1.2.21)teríamos
|Xi | ≤ 2ω ≤ 2ω1
Observação 3.5.7. Novamente em [vD80], van Douwen generaliza este teorema para cardinalidades maiores. Utilizando sua definição de produto nabla
(observação 3.5.3), e usando como hipótese 2κ = κ+ , para κ = |I|, pode-se
generalizar o Teorema 3.5.5. Mais do que isso, com tal hipótese van Douwen
generaliza inclusive o Teorema 3.2.1.
3.6
O problema dos produtos caixa nos dias de hoje
A maioria dos resultados neste tópico foram obtidos entre o fim dos
anos 70 e começo dos anos 90. Depois disso, poucos resultados novos foram
obtidos. No entanto, recentemente o assunto está voltando à tona. Em
[Roi07] e [Roi09], Roitman estuda subespaços paracompactos de ω (ω + 1)
e ∇ ω (ω + 1).
Em [Roi11], Roitman cita as seguintes questões que ainda permanecem
abertas.
Problema 1. Sem hipóteses extra de consistência, é paracompacto o produto
i∈ω Xi supondo
• Xi compacto e disperso para todo i ∈ ω?
• Xi σ-compacto e primeiro enumerável para todo i ∈ ω?
• Xi compacto e primeiro enumerável para todo i ∈ ω?
• Xi compacto e metrizável para todo i ∈ ω?
• Xi = ω + 1 para todo i ∈ ω?
Problema 2. A paracompacidade implica a paracompacidade hereditária,
no caso dos produto nabla enumerável de espaços compactos primeiro enumeráveis?
65
Devido à relação entre produtos caixa e uniformidades explorada em
[Wil84], Williams introduziu nos simpósios de Praga de 2001 e 2006 o conceito de produto caixa uniforme. Tal produto, assim como o κ-produto caixa,
é um intermediário entre o produto de Tychonoff e o produto caixa. A definição de uniformidade e produto caixa uniforme podem ser encontradas no
apêndice. A pergunta principal continua a mesma que com o produto caixa:
sob quais hipóteses sobre X temos o produto caixa uniforme paracompacto?
Bell propõe resultados à questão em [Bel11] e [Bel14].
66
Capítulo 4
Aplicações
Como vimos no capítulo 2, o produto de dois espaços topológicos normais
não necessariamente é normal. A partir de tal fato, surge a pergunta: "Sob
quais condições o produto de espaços normais é ou não é normal?". Tal
questão gerou vários estudos em topologia, dos quais podemos citar [Prz84].
No âmbito de tal pergunta, através do produto caixa podemos construir
alguns exemplos de espaços normais cujo produto não é normal. Neste capítulo, apresentamos dois desses exemplos. Na seção 4.1, estudaremos o espaço
de Dowker construído por M. E. Rudin em [Rud71]. Na seção 4.2, apresentamos um exemplo construído por J. E. Vaughan [Vau75] de dois espaços
κ-metrizáveis cujo produto não é normal.
4.1
Espaço de Dowker
Definição 4.1.1. Um espaço topológico X é um espaço de Dowker se X é
normal, porém X × I não é normal.
Segundo Mary Ellen Rudin em [Rud84], o interesse por tal espaço nasceu
de um teorema de extensão homotópica da topologia algébrica. Tal teorema
tinha como hipótese que um determinado espaço topológico X fosse tal que
X × I fosse normal. Tal hipótese faz sentido em um teorema sobre homotopias, dado que uma homotopia em X é uma função contínua de X × I em
X. Dessa maneira, é natural perguntar se isso significa mais do que dizer
que X é normal. Então, Hugh Dokwer provou em seu artigo [Dow51] que
se X é normal, então X × I é normal se e somente se X é enumeravelmente
paracompacto (teorema 4.1.3).
Definição 4.1.2. Um espaço topológico X é dito enumeravelmente paracompacto se toda cobertura aberta enumerável de X possui um refinamento
aberto localmente finito.
Teorema 4.1.3 (Teorema de Dowker). Seja X um espaço normal. Então
são equivalentes:
67
• X é enumeravelmente paracompacto.
• X × I é normal.
• Dada uma sequência decrescente de fechados (Fn )n∈ω em X com interseção vazia, existe uma sequência de abertos (An )n∈ω de abertos em
X com interseção vazia tal que Fn ⊂ An para cada n ∈ ω.
Portanto, um espaço é de Dowker se e somente se ele é normal e não
satisfaz alguma (logo todas) das condições do teorema 4.1.3.
Em [Rud55], Rudin demonstra que a existência de uma reta de Souslin implica a existência de um espaço de Dowker. Nos anos 60, Solovay e
Tennenbaum [ST71] demonstraram que a existência de uma reta de Souslin
é independente de ZFC , do que se conclui o que a existência de um espaço de Dowker também o é. Posteriormente, Marry Ellen Rudin construiu
em [Rud71] um espaço de Dowker em ZFC sem nenhuma hipótese adicional,
utilizando o produto caixa. Para este espaço, usaremos o produto caixa com
a notação de ordem, como explicado na observação a seguir.
Observação 4.1.4. Para cada i ∈ I, seja Xi um conjunto equipado com
uma ordem ≤i e sua topologia da ordem τ≤i .
Q
As ordens ≤i induzem uma ordem sobre o produto i∈I Xi definida por
x ≤ y ⇔ ∀i ∈ I, xi ≤ yi
Q
para quaisquer x, y ∈ i∈I Xi .
Q
Da mesma maneira, também para quaisquer x, y ∈ i∈I Xi , definimos
x < y ⇔ ∀i ∈ I, xi < yi
Note que, neste caso , < não corresponde à versão estrita da ordem ≤.
Notemos que, com tal ordem, a topologia da ordemQτ≤ coincide com a
topologia da caixa τ . De fato, dados dos pontos f, g ∈ i∈IQ
Xi , o intervalo
aberto ]f, g[ na ordem < nada mais é do que a caixa aberta i∈I ]fi , gi [.
Exemplo 4.1.5 (O espaço de Dowker de M. E. Rudin). Seja F o espaço
topológico F = i∈N∗ (ωi + 1). Considere o subespaço
X = {x ∈ F : ∃k ∈ N∗ , ∀i ∈ N∗ , ω1 ≤ cf(xi ) < ωk }
Com a topologia de subespaço herdada de F , o espaço X é um espaço
de Dowker, como iremos demonstrar. X possui também outras propriedades
interessantes, apresentadas por Hart em [Har81] e [Har82]. Por exemplo,
Hart mostra que X é fortemente coletivamente normal e ortocompacto.
Mostraremos que o espaço X é coletivamente normal (definição 1.2.11),
utilizando a demonstração original de M. E. Rudin. Para tal fim, necessitamos do seguinte lema.
68
Lema 4.1.6. O espaço X do exemplo 4.1.5 é um P-espaço.
Demonstração.
Seja (Vn )n∈ω uma sequência de abertos de X. Fixemos x ∈
T
V
.
Para
cada
n ∈ ω, existe uma caixa aberta Bn tal que x ∈ Bn ⊂ Vn .
n
n∈ω
Como visto na observação 4.1.4, podemos escrever Bn =]gn , fn [∩X, com
gn , fn ∈ F e considerando a ordem ≤ sobre F . Definimos então g ∈ F dado
por gi = supn∈ω (gn )i . Note que g ≤ x. Contudo, para cada i ∈ N∗ , temos
cf(xi ) ≥ ω1 , pois x ∈ X e cf(gi ) ≤ ω, pois gi é limite de uma sequência de
comprimento ω. Portanto,
forma, definindo x0 = (xi + 1)i∈N∗ ,
T g < x. DestaT
0
temos que x ∈ (g, x ) ⊂ n∈ω Vn . Logo, n∈ω Vn é de fato aberto.
Teorema 4.1.7. O espaço X do exemplo 4.1.5 é coletivamente normal. Em
particular, X é normal.
Demonstração. Seja H =S{Hj ⊂ X : j ∈ J} uma família discreta de fechados. Definimos H = j∈J Hj . Dado C ⊂ X, definimos uma função
s : P(F ) −→ F definida por s(C)i = supx∈C xi para cada i ∈ N∗ . Note que
se A ⊂ B, temos s(A) ≤ s(B).
Para cada ordinal α < ω1 , vamos construir, por indução transfinita, uma
cobertura Jα de H por abertos disjuntos de X com a seguinte propriedade:
dados β < α < ω, podemos escolher um Uβ ∈ Jβ para cada Uα ∈ Jα de
forma que:
1. Uα ⊂ Uβ
2. |{j ∈ J : Uα ∩ Hj 6= ∅}| ≥ 2 =⇒ s(Uα ) 6= S(Uβ )
3. |{j ∈ J : Uβ ∩ Hj 6= ∅}| < 2 =⇒ Uα = Uβ
Primeiramente, definimos J0 = {X}. Em seguida, fixamos α < ω1 e
supomos Jβ construído para todo β < α. Vamos então construir Jα .
Começamos tratando do caso em que α é ordinal sucessor. Neste caso,
fixemos β tal que α = β + 1. Fixando U ∈ Jβ , vamos construir uma família
PU ⊂ P(U ) formada
S por abertos dois a dois disjuntos cobrindo U ∩ H de
maneira que Jα = U ∈Jβ PU satisfaça as condições 2 e 3 acima.
Se U intersecciona no máximo 1 elemento de H, temos que PU = {U }
satisfaz as condições que queremos. Portanto, suponhamos agora que U
intersecciona 2 ou mais elementos de H. Vamos dividir tal caso em duas
situações.
Primeiramente, suponhamos que ∃j ∈ N∗ , cf(s(U )j ) = ω. Notemos que,
neste caso, não podemos ter cf(s(U )j ) < ω, pois cf(fj ) ≥ ω1 para todo
f ∈ U ⊂ X.
Seja (λn )n∈ω uma sequência crescente cofinal em s(U )j . A partir de tal
sequência, construímos uma sequência de abertos (Vn )n∈ω dada por V0 =
{x ∈ U : xj < λ0 + 1} e por Vn = {x ∈ U : λn−1 < xjQ< λn + 1} para n >
0. Note que cada Vn é de fato aberto, pois Vn = U ∩ i∈N∗ Ai , onde Aj =
69
(λn−1 , λn + 1) (ou Aj =] − ∞, λ0 + 1[ no caso n = 0) e Ai = Fi = ωi + 1 para
i 6= j. Note também que tais abertos são disjuntos e cobrem U . Além disso,
do modo como foram construídos, para cada n ∈ N∗ temos s(Vn )i < s(U )i .
Desta forma, PU = {Vn : n ∈ ω} satisfaz as condições que queremos.
Por fim, suponhamos a situação complementar, ou seja, suponhamos
que
S
∀n ∈ N∗ , cf(s(U )n ) > ω. Vamos dividir o aberto U em U = n∈N∗ Un ,
definindo para cada n ∈ N∗ :
Un = {x ∈ U : cf(xi ) ≤ ωn }
Vamos supor que para cada n ∈ N∗ , exista gn ∈ F com a seguinte
propriedade:
gn < s(U ) e o conjunto {x ∈ Un : gn < x} intersecciona no máximo 1 elemento de H.
Definimos então f ∈ F dado por fi = supn∈N∗ (gn )i . Como estamos
trabalhando com a situação em que ∀i ∈ N∗ , cf(s(U )i ) > ω, temos que
f < s(U ), pois toda coordenada de f é limite de uma sequência enumerável.
Com f assim construído, temos que o conjunto {x ∈ U : f < x} intersecciona no máximo 1 elemento de H. De fato, sejam h, k ∈ H∩{x ∈ U : f < x}.
Note que (Un )n∈N∗ é uma sequência crescente temos que h, k ∈ Um para algum m ∈ N∗ suficientemente grande. Além disso, temos que gm < h, k.
Logo, h, k ∈ {x ∈ Um : gm < x}. De tal forma, pela propriedade de gm ,
temos que h e k pertencem ao mesmo elemento de H.
A partir do f ∈ F construído no parágrafo anterior, para cada N ⊂ N∗
definimos:
VN = {x ∈ U : ∀n ∈ N, xn ≤ fn e ∀n ∈ N∗ \ N, xn > fn }
Definimos assim PU = {VN : N ⊂ N∗ }. Vamos mostrar que tal escolha
de PU satisfaz as condições desejadas. Se para algum N ⊂ N∗ tivermos
s(VN ) = s(U ), então N = ∅ e portanto, pela construção de f , temos que
V∅ = {x ∈ U : f < x}, o qual intersecciona no máximo 1 elemento
de H.
Q
Além disso, VN é aberto pois podemos escrever VN = U ∩ i∈N∗ Ni , onde
Ni =] − inf, fi + 1[ para i ∈ N e Ni =]fi , inf[ para i ∈ N∗ \ N .
Vamos agora demonstrar que existem gn ∈ F com tal propriedade. Fixemos n ∈ N∗ . Vamos supor que tal gn não exista, isto é, suponhamos
que:
[∗] Para todo f < s(U ) existem h, k ∈ Un tais que f < h, k e h e
k pertencem a elementos distintos de H.
Vamos particionar N∗ da seguinte maneira: para 1 < i ≤ n definimos
Mi = {j ∈ N∗ : cf(s(U )j ) = ωi } e também M = {j ∈ N∗ : cf(s(U
)j ) > ωn }.
S
∗
∗
A hipótese de que ∀n ∈ N , cf(s(U )n ) > ω garante que N = 1<i≤n Mi ∪M ,
70
sendo essa uma união disjunta. Com tal partição, para cada i ≤ n e para
cada j ∈ Mi , podemos escolher um conjunto {pj,σ : σ < ωi } ⊂ s(U )j cofinal
com (pj,σ )σ<ωi crescente.
Q
Considere também R = i≤n ωi . Temos que |R| = ωn . Portanto, existe
uma bijeção f : ωn −→ ωn × R. Fixemos então a sequência (rλ )λ∈ωn onde rλ
é a segunda coordenada de f (λ). Note que tal sequência possui a seguinte
propriedade: fixados r ∈ R e δ ∈ ωn , existe δ < γ < ωn tal que rγ = r.
De fato, escolha α ∈ ωn tal que para todo β ≤ δ não tenhamos α como a
primeira coordenada de f (β). Tal α existe pois, caso contrário, como f é
bijetora, teríamos q a restrição à δ da projeção na primeira coordenada de f
seria uma bijeção entre δ e ωn . Escolhemos então γ ∈ ω tal que f (γ) = (α, r).
Tal γ existe pois f é bijetora. Além disso, γ > δ pela construção de α. Por
definição, rγ = r, como queríamos.
Após escolher tais sequências, vamos construir indutivamente um trio
(fλ , hλ , kλ ) para cada λ ∈ ωn , com fλ ∈ F e hλ , kλ ∈ Un .
Primeiramente, definimos f0 dado por (f0 )j = pj,(r0 )i se j ∈ Mi (i ≤ n)
e (f0 )j = 0 se j ∈ M . Usamos então a hipótese [∗] para escolher h0 , k0 ∈ Un
pertencentes a elementos distintos de H e tais que f0 < h0 , k0 .
Então, seja λ ∈ ωn tal que hγ e kγ já foram construídos para cada γ < λ.
Definimos (fλ )j = pj,(rλ )i para j ∈ Mi (i ≤ n) e (fλ )j =
o
n
S
sup hj : h ∈ γ<λ {hγ , kγ } para j ∈ M . Note que fλ foi construído de
maneira que fλ < s(U ). Portanto, novamente pela hipótese [∗], podemos
escolher hλ , kλ ∈ Un pertencentes cada um a elementos distintos de H tais
que fλ < hλ , kλ .
Construída a sequência dos fλ , kλ , hλ , definimos g ∈ F dado por gj =
s(U )j para j ∈ N∗ \ M e gj = supλ<ωn (hλ )j para j ∈ M . Se j ∈ M , temos
cf(gj ) ≤ ωn . De fato, por construção, temos que (max {(hλ )j , (kλ )j })λ∈ωn é
uma sequência cofinal em gj de cumprimento ωn . Além disso, se j ∈ N∗ \ M ,
então cf(gj ) = cf(s(U )) > ω por hipótese. Portanto g ∈ X. Além disso,
como ∀λ ∈ ωn , kλ ∈ Un ⊂ U , temos g ≤ s(U ).
Q Lembrando que a família H é discreta, existe uma caixa aberta V =
i∈N∗ Vi tal que g ∈ V e V intersecciona no máximo 1 elemento de H.
Podemos supor sem perda de generalidade que, para cada i ∈ N∗ , Vi é um
intervalo aberto ]ai , bi [ com ai , bi ∈ ωi . Definimos assim a = (ai )i∈N∗ . Como
g ≤ s(U ), temos a < s(U ).
Para cada i ≤ n e j ∈ Mi , usamos o fato de que {pj,σ : σ ∈ ωi } é
cofinal em s(U )j para encontrar ωj tal que aj < pj,σj . Definimos µi =
sup σj : j ∈ Mi . Como Mi ⊂ N∗ é enumerável e cf(ωi ) = ωi > ω, temos
µi < ωi . Definimos então r ∈ R dado por ri = µi para cada i ≤ n. Já para
j ∈ M , como a < g, escolhemos σj tal que aj < (hσj )j . Definimos agora
σ = sup σj : j ∈ M .
Pela propriedade da sequência (rλ )λ∈ωn , podemos encontrar γ ∈]σ, ωn [
tal que r = rγ . Assim, se j ∈ M , temos aj < (hγ )j < gj , portanto (hγ )j ∈ Vj .
71
Por outro lado, se j ∈ Mi (i ≤ n), então
aj < pj,ri = pj,(rγ )i < (hγ )j ≤ s(U )j = gj
e portanto (hγ )j ∈ Vj . Assim, temos que hγ ∈ V , e da mesma maneira
mostramos que kγ ∈ V , o que é um absurdo, pois V intersecciona no máximo
1 elemento de H. Provamos assim a existência dos pontos gn , concluindo a
construção de PU .
S
Construído então PU , definimos Jα = U ∈Jβ PU
Para completar a construção de Jα , falta apenas o caso em que α é ordinal
limite. Neste caso, para cada β < α e cada x ∈ H definimos UT
x (β) como o
único elemento de Jβ ao qual x pertence. Definimos então Ux = β<α Ux (β).
Como α é enumerável, temos que Ux é aberto pelo lema 4.1.6. O fato de Jβ
ser disjunto para cada β < α garante que Jα também o seja. Além disso,
dado x ∈ H, se Ux intercepta 2 ou mais elementos de H, então Ux (β) e
Ux (β + 1) também o fazem, para algum β < α. Então temos s(Ux (α)) ≤
s(Ux (β + 1)) < s(Ux (β)), portanto Jα satisfaz a condição 2. Da mesma
forma, se Ux (β) para algum β < α, então Ux (β) = Ux (γ) para todo γ tal
que α < β < γ, logo Ux (α) = Ux , como queríamos.
Temos então construídas as famílias Jα para cada α < ω1 . Vamos mostrar, por fim, que a existência de tais famílias implicam que X é coletivamente
normal.
Fixemos x ∈ H. Para cada α ∈ ω1 , Jα cobre H com abertos disjuntos.
Logo, existe um único Uα ∈ Jα tal que x ∈ Uα . Pela propriedade (1)
da construção de Jα , temos que se α < βω1 , então Uβ < Uα e, portanto,
s(Uβ ) ≤ s(Uα ). Pela propriedade (2) da definição de Jα , temos que se Uβ
intersecciona mais do que 1 elemento de H, então s(Uβ ) < s(Uα ). Neste
caso, existe algum i ∈ ω tal que s(Uβ )i < s(Uα )i . Fixado tal n, note que
podemos "diminuir"s(Uα ) somente um número finito de vezes, pois toda
sequência decrescente de ordinais é eventualmente constante, como vimos
na demonstração do teorema 3.4.1. Sendo assim, podemos encontrar um
αx ∈ ω1 suficientemente grande tal que Uαx intersecciona no máximo 1
único elemento de H. Pela propriedade (3), temos que Uβ = Uαx para todo
αx ≤ β < ω 1 .
S
Definimos então Uj = x∈Hj Uαx para cada j ∈ J. Vamos mostrar
que a família de abertos {Uj : j ∈ J} separa os elementos de H como na
definição 1.2.11: Sejam x, y pertencentes a elementos distintos de H. Seja
α ∈ ω1 tal que α > max {αx , αy }, com αx , αy como definidos no parágrafo
anterior (de tal modo que x ∈ Uαx e y ∈ Uαy ). Temos então que Uαx , Uαy ∈
Jα , logo são disjuntos. Além disso, pela construção, temos que Uαx e Uαy só
interseccionam cada um somente 1 único elemento de H, como queríamos.
Teorema 4.1.8. Seja X o espaço construído no exemplo 4.1.5. Temos que
X × I não é normal.
72
Demonstração. Para cada n ∈ N∗ , defino Fn = {x ∈ X : ∀iT
≤ n, xi = ωi }.
Note que o ponto x = (wi )i∈N∗ não pertence a X, portanto n∈N∗ Fn = ∅.
Além disso, temos que Fn é fechado para todo n ∈ N∗ .
De fato, dado y ∈ An c , temos que existe
Q j ≤ n tal que yj 6= ωj .Assim
podemos considerar a caixa aberta V = i∈I (Vi ) dada por Vj = [0, ωj ) e
Vi = ωi para i 6= j . Temos então que y ∈ X ∩ V ⊂ An c .
Seja (An )n∈N∗ uma sequência
T de abertos tal que Fn ⊂ An ⊂ X para todo
∗
n ∈ N . Vamos mostrar que n∈N∗ An 6= ∅ e, portanto, pelo teorema 4.1.3,
X × I não pode ser normal.
Suponhamos que existam para cada n ∈ N∗ um ponto fn ∈ X tal que
∗
{h ∈ X : fn < h} ⊂ Un e (fT
n )i < ωi para cada i ∈ N . A partir de tais
pontos, vamos construir g ∈ n∈N∗ An . Fixamos g1 = ω1 . Para cada i > 1
encontramos um ordinal gi tal que (fn )i < gi < ωi para todo n > 1 e
também tenha cofinalidade cf(gi ) = ω1 . De fato existe um ordinal com tais
propriedades, pois construir uma sequência crescente de comprimento ωi de
ordinais arbitrariamente grandes mesmo limitada por ωi , com i > 1. Temos
então que g = (gi )i∈N∗ ∈ X. Para cada n ∈ N∗ , como fn < g, temos que
g ∈ Un , como queríamos.
Agora vamos provar que tais pontos fn existem. Para facilitar a notação, definimos Cj = x ∈ Fj : ∀i > j, xi < ωi para cada j ∈ N∗ . Seja
kn ∈ Cn qualquer. Note que como Fn ⊂ An e An é aberto, temos que
{x ∈ Cn : kn < x} ⊂ An . A partir de kn , vamos construir recursivamente
uma família de pontos {kj ∈ Cj : 1 ≤ j ≤ n} tais que {x ∈ Cj : kj < x} ⊂
An . De tal forma, obteremos o ponto fn que desejamos por fn = k1 .
Vamos construir kj supondo kj+1 já construído. Definimos h0 ∈ X dado
por (h0 )j = 0 e (h0 )i = (kj )i para cada i 6= j. Usando o lema de Zorn,
podemos construir uma sequência bem ordenada maximal (hα )α<λ ,para
algum ordinal λ, tal que para cada α < λ temos h < hα e hα ∈ Cj \ An .
Se λ = 0, não há mais o que demonstrar, logo trabalharemos com λ > 0.
Definimos h0 ∈ X dado por h0i = supα<λ (hα )i para cada i ∈ N∗ .
Como a sequência é maximal, temos que λ ≤ ωj . Vamos mostrar que
λ < ωj . Suponhamos que λ = ωj . Neste caso, teríamos h0 ∈ Cj+1 e kj+1 < h0
e portanto, como supomos kj+1 construída, h0 ∈ An . Como An é aberto,
existe um ponto h∗ ∈ F , h∗ < h0 , tal que o intervalo ]h∗ , h0 [⊂ An (veja a
observação 4.1.4). Porém, como h∗ < h0 , para cada i > j podemos encontrar
um ordinal αi < λ tal que h∗ < (hαi )i . Definindo α = supi>n αi , temos que
h∗ < hα < h0 . Logo hα ∈ An , o que contradiz kα ∈ Cj \ An . Portanto de
fato temos λ < ωj .
Por fim, definimos fj por (fj )i = h0i + ω1 para i > j e (fj )i = ωi para
i ≤ j. Temos então fj ∈ Cj e a maximalidade da sequência (hα )α<λ garante
que {x ∈ Cj : fj < x} ⊂ Un , o que completa a demonstração.
Uma desvantagem de se trabalhar com produtos é que os espaços com
73
eles construídos podem ter cardinalidades altas. Podemos, por exemplo,
verificar que o espaço X do exemplo 4.1.5 tem cardinalidade ℵω ℵ0 . Pode-se,
no entanto, a partir de tal exemplo construir espaços de Dowker de menor
cardinalidade. Shelah e Kojman em [KS98] aplicaram a teoria pcf para
construir um subespaço de X de cardinalidade ℵω+1 , o qual também é de
Dowker.
4.2
Um produto não normal de espaços κ-metrizáveis
Em [Nyi75], Peter Nyikos levantou a seguinte questão: o produto de um
espaço metrizável por um espaço κ-metrizável (definição 1.2.29), para algum
κ infinito qualquer, é normal? Como a definição de espaço κ-metrizável
é local, temos tais espaços são não apenas normais como hereditariamente
normais. A demonstração deste fato é basicamente a mesma de que todo
espaço metrizável é normal.
J. E. Vaughan mostrou em [Vau75] que a resposta à pergunta de Nyikos
é negativa, através do seguinte exemplo.
Exemplo 4.2.1. Seja D1 o espaço topológico formado por ω1 equipado com
a topologia discreta, e definimos D1 = D1ω como produto de Tychonoff.
Seja D1∗ = ω1 + 1 equipado com a topologia gerada pela seguinte base B =
{{α} : α < ω1 } ∪ {]β, ω1 ] : β < ω1 }. Definimos então B1 = ω D1∗ . Temos
então que D1 é metrizável, B1 é ω1 -metrizável, porém D1 ×B1 não é normal.
Além de responder a pergunta de Nyikos, o exemplo 4.2.1 também serve
de contra exemplo para uma conjectura, também de Vaughan. Em [Vau72],
é introduzido o conceito de espaço linearmente estratificável, além da conjectura de que o produto de dois espaços com tal propriedade seria paracompacto. Pela definição, pode-se ver que todo espaço ωµ -metrizável é em
particular ωµ -estratificável. Portanto o espaço B1 é ω1 -estratificável. Além
disso, sabe-se que todo espaço metrizável é estratificável, portanto D1 é estratificável. Como mostraremos que D1 × B1 não é normal, tal produto em
particular não é paracompacto, negando a conjectura.
Demonstração do exemplo 4.2.1. Primeiramente, como D1 é discreto, admite a métrica discreta. Logo D1 é metrizável, por ser um produto enumerável de espaços metrizáveis. Além disso, temos que B1 é ω1 -metrizável,
e construiremos as bases locais que o caracterizam como tal.
Para facilitar as próximas construções, vamos definir bases locais para
D1 e B1 . Dado um ponto x = (xi )i∈ω ∈ D1 e um natural n ∈ ω, definimos
n(x) = {y ∈ D1 : ∀i ≤ n, yi = xi }. Assim, {n(x) : n ∈ ω} é uma base local
para x. QConsidere agora q ∈ B1 e um ordinal α ∈ ω1 . Definimos então
α(q) = i∈ω Qi , onde Qi = {qi } sempre que qi < ω1 , e Qi =]α, ω1 ] para
todo i ∈ ω tal que qi = ω1 . Da mesma maneira, {α(q) : α < ω1 } é uma
74
base local para q, a qual também testemunha a ω1 -metrizabilidade de B1 .
Note que para que tal família seja base local de q precisamos do fato de que
cf(ω
Q 1 ) 6= ω. De fato, se existisse uma sequência (γn )n∈ω cofinal em ω1 , então
n∈ω ]γn , ω1 ] seria uma vizinhança aberta do ponto qω1 = (ω1 )n∈ω a qual
não contém nenhuma vizinhança do tipo α(qω1 ).
Vamos mostrar que D1 × B1 não é normal. Para isso, notemos que, como
conjuntos, temos D1 ⊂ B1 , apesar de a topologia de D1 não coincidir com a
topologia de subespaço de B1 . Definimos então:
H = {(x, x) ∈ D1 × B1 : x ∈ D1 }
e
K = D1 × (B1 \ D1 )
Vamos mostrar H e K são fechados disjuntos que não podem ser separados por abertos disjuntos. Primeiramente, K é claramente fechado. De
fato, o complementar de K é o quadrado D1 × D1 . Como H ⊂ D1 × D1 ,
temos H ∩ K = ∅. Também é fácil de ver que H é fechado: seja (x, y) 6∈ H.
Se y ∈ D1 , então existe algum k ∈ ω tal que xk 6= yk . Neste caso, temos
k(x) × {y} é uma vizinhança de (x, y) que não intersecciona H. No caso em
que y 6∈ D1 , existe algum n ∈ ω tal que yn = ω1 . Se escolhermos algum α
tal que xn < α < ω1 , temos que n(x) × α(y) também é uma vizinhança de
(x, y) que não intercepta H, como queríamos.
Agora, seja V um aberto qualquer tal que K ⊂ V . Vamos construir um
ponto (x, x) em H cujas vizinhanças sempre interseccionam V . Construiremos x = (xi )i∈ω coordenada a coordenada, por indução.
Começamos com os pontos p0 ∈ D1 e q0 ∈ B1 \ D1 dados por p0 =
(0, 0, . . .) e q0 = (ω1 , ω1 , . . .). Como (p0 , q0 ) ∈ K ⊂ V , podemos achar
(m0 , q0 ) ∈ ω×ω1 tal que m0 (p0 )×α0 (q0 ) ⊂ V , já que V é aberto. Escolhemos
então x0 tal que α0 < x0 < ω1 .
Agora fixemos k ∈ ω e suponhamos que xi foi construído para todo i ≤ k.
Definimos pk+1 = (x0 , x1 , . . . , xk , 0, 0, . . .) e qk+1 = (x0 , x1 , . . . , xk , ω1 , ω1 , . . .).
Temos que (pk+1 , qk+1 ) ∈ K ⊂ V . Da mesma maneira, podemos escolher
(mk+1 , αk+1 ) ∈ ω × ω1 de maneira que mk+1 (pk+1 ) × αk+1 (qk+1 ) ⊂ V . Escolhemos então xk+1 tal que max {αk+1 , xk } < xk+1 < ω1 . Concluímos assim
a construção de x.
Como a cada passo limitamos xn < ω1 , temos que de fato (x, x) ∈ H.
Seja k ∈ ω. Vamos mostrar que o ponto (pk+1 , x) pertence à intersecção
(k(x) × {x})∩(nk+1 (pk+1 ) × αk+1 (qk+1 )), logo qualquer vizinhança do ponto
(x, x) intersecciona V e, portanto, qualquer aberto U ⊃ H intersecciona V ,
concluindo o resultado.
Lembrando que pk+1 = (x0 , x1 , . . . , xk , 0, 0, . . .), temos pk+1 ∈ k(x).
Além disso, construímos x de maneira que a sequência (xn )n∈ω fosse crescente, logo temos que para cada n > k, αk+1 < xn , o que garante que
x ∈ αk+1 (qk+1 ).
Corolário 4.2.2. Seja B1 o espaço construído no exemplo 4.2.1. Então
75
para qualquer n ∈ ω temos que B1 n é homeomorfo a B1 , porém o produto
de Tychonoff B1 ω não é normal.
Este corolário responde uma questão por E. Michael em [Mic71]. Em tal
artigo, Michael deu um exemplo de um espaço Y tal que para todo n ∈ ω, Y n
é normal, porém Y ω não o é. Tal exemplo levou à pergunta sobre a existência
de um exemplo de espaço com a mesma propriedade, apenas substituindo
"normal"por "hereditariamente normal". Em [Mic71], Vaughan demonstra
que todo espaço ω1 -estratificável é hereditariamente paracompacto, e portanto, hereditariamente normal (resultado originalmente demonstrado para
espaços κ-metrizáveis por Juhász em [Juh65]). Portanto, o corolário 4.2.2
mostra que o espaço B1 é um exemplo de solução para a pergunta de Michael.
Demonstração. Primeiramente, notemos que na aritmética cardinal temos
ℵ0 × n = ℵ0 para qualquer n finito. Logo, temos uma bijeção natural entre
B1 = ω D1∗ e B1n . Além disso, como tal bijeção constitui apenas uma
reordenação de índices, temos que tal bijeção é um homeomorfismo.
Vamos mostrar agora que B1ω não é normal. Primeiramente, note que ω
é um subconjunto discreto fechado de D∗1 . Portanto, temos um subespaço
fechado discreto de cardinalidade 2ℵ0 em B. Dentro deste, podemos encontrar um subconjunto, também fechado e discreto, de cardinalidade ℵ1 . Em
outras palavras, podemos encontrar uma cópia homeomorfa de D1 em B1 , a
qual é fechada. Desta forma, obtemos uma cópia homeomorfa de D1 em B1ω ,
fechada. Semelhantemente ao parágrafro anterior, temos que B1ω é homeomorfo a B1ω × B1 . A partir de tal fato, encontramos uma cópia homeomorfa
de D1 × B1 fechada em B1ω × B1 . Como já mostramos que D1 × B1 não é
normal, concluímos que B1ω também não o é.
Note que na demonstração do exemplo 4.2.1, para construir a sequência
(xi )i∈ω precisamos do fato de que cf(ω1 ) 6= ω, porém o resultado pode ser
analogamente estendido para qualquer cardinalidade, como mostra o teorema 4.2.3. Para tal fim, generalizamos a construção de D1 e B1 a seguir:
Seja ωµ o µ-ésimo cardinal. Definimos então Dµ por ωµ equipado com
a topologia discreta. Chamaremos de Dµ o produto de Tychonoff Dµω Definimos também Dµ∗ = ωµ + 1 equipado com a topologia gerada pela base
B = {{α} : α < ωµ } ∪ {(β, ωµ ] : β < ωµ }, e assim definimos Bµ = ω Dµ∗ .
Teorema 4.2.3. O espaço Dµ × Bµ não é normal.
Demonstração. Nos casos em que cf(ωµ ) > ω, a demonstração é exatamente
a mesma que do exemplo 4.2.1. Nos demais casos, a demonstração é análoga
ao caso µ = 0, o qual foi demonstrado por Van Dowen em [vD75].
Vamos então mostrar que D0 × B0 não é normal. Como cf(ω) = ω, não
podemos usar para os pontos de B0 as mesmas bases locais do exemplo 4.2.1,
então construiremos outras da seguinte maneira.QPara cada Q
ponto y ∈ B0 ,
dados f : ω −→ ω e i ∈ ω, definimos U (y, f, i) = j≤n {yj } × j>n (f (j), ω].
76
Assim, temos que {U (y, f, n) : f ∈ ω ω } é uma base local para qualquer y
tal que yi < ω para todo i ≤ n.
Como ferramenta para este resultado, vamos mostrar que D0 , considerado como subconjunto de B0 , não é Fσ . Para cada n ∈ ω, seja Fn ⊂ D0 um
conjunto fechado em B0 . Por indução S
nas coordenadas, vamos construir um
ponto x = (xn )n∈ω ∈ D0 tal que x 6∈ n∈ω Fn , o que conclui que D0 não é
Fσ .
Começamos com x0 = 0. Fixamos então n ∈ ω e supomos xi construído para cada i ≤ n de maneira de que para cada i < n exista uma
função fi : ω −→ ω tal que U (xi , fi , i) ∩ Fi = ∅. Note que o ponto
yn = (x0 , x1 , . . . , xn , ω, ω, . . .) não pertence D0 . Logo yn 6∈ Fn , de onde
podemos escolher uma função fn : ω −→ ω tal que U (yn , fn , n) ∩ Fn = ∅.
Escolhemos então xn+1 ∈ ω tal que xn+1 > fi (n + 1) para todo i ≤ n, o que
completa a indução.
Sejam H, K ⊂ D0 × B0 fechados disjuntos análogos aos construídos no
exemplo 4.2.1. Supomanhos U, V abertos em D0 × B0 tais que H ⊂ U
e K ⊂ V . Para o próximo passo, vamos construir uma métrica d sobre
B0 . Note que essa métrica não pode ser compatível com B0 , pois se fosse,
teríamos D0 × B0 metrizável, logo normal. Tal métrica seria, na verdade,
compatível com o espaço (D0∗ )ω com o produto de Tychonoff, e portanto
∗
sua restrição a D0 é compatível com o mesmo. Para
cada
D0 , definimos a
distância di : D0∗ ×D0∗ −→ R+ dada por di (x, y) = x1 − y1 para cada x, y ∈ ω,
1
onde definimos
Definimos então a métrica d : B0 × B0 −→ R+ dada
Pω = 0.
−i
por d(x, y) = i∈ω 2 di (xi , yi ).
Usaremos d para dividir D0 em ω partes. Para cada n ∈ ω definimos
1
Pn = x ∈ D0 : S x,
× {x} ⊂ U
n
onde S(x, ) = {y S
∈ D0 : d(x, y) < } é a bola aberta da métrica d em D0 .
Temos que D0 = n∈ω Pn . Como demonstramos que D0 não pode ser Fσ ,
então existe algum k ∈ ω tal que Pn não é fechado. Portanto, existe algum
q ∈ Pk tal que q ∈ B0 \ D0 . Note que como a topologia do produto caixa
é mais fina do que a do de Tychonoff, então temos que q ∈ Pk com o fecho
relativo a topologia de D0 , com o produto de Tychonoff. Podemos então
1
escolher p ∈ D0 tal que d(p, q) < 2k
. Temos que (p, q) ∈ K ⊂ V , logo
podemos achar > 0 e uma vizinhança W de q tal que S(p, ) × W ⊂ V .
Como todo aberto no produto de Tychonoff é aberto no produto caixa,
temos que W ∩S(q, 1/2k) é vizinhança de q. De tal forma, podemos encontrar
r ∈ Pk tal que r ∈ W ∩ S(q, 1/2k). Desta forma, vamos mostrar que (p, r) ∈
U ∩ V , o que completa o resultado de que D0 × B0 não é normal. Note que
(r, r) ∈ H ⊂ U . Logo S(r, 1/k) × {r} ⊂ U , do que se concluí que (p, r) ∈ U ,
visto que, pela desigualdade triangular, temos d(p, r) < d(p, q) + d(q, r) < k1 .
Por outro lado, temos que (p, r) ∈ V , pois (p, r) ∈ S(p, ) × W ⊂ V .
77
Apêndice A
Uniformidades e o produto
caixa uniforme
Como citamos em diversas partes do texto, uma das principais ferramentas para se trabalhar com o problema da paracompacidade de produtos caixa
é o conceito de uniformidade.
O objetivo deste apêndice é fornecer uma leve introdução ao conceito de
uniformidades, apresentando definições e resultados básicos, além de ilustrar
a relação das uniformidades com produtos caixa e paracompacidade.
A.1
Uniformidades
O conceito de topologia tem origem nos espaços métricos, tendo inicialmente o objetivo de generalizar propriedades relacionadas ao conceito de
vizinhança, como por exemplo convergência de sequências e continuidade de
funções. De maneira semelhante, o conceito de uniformidade também se
originou nos espaços métricos, porém este expressa o conceito de proximidade por meio de relações , com as quais podemos generalizar a convergência
uniforme de sequência e as funções uniformemente contínuas.
Dado um espaço métrico (M, d), podemos descrever as bolas deste espaço
atravéz das relações Dε = {(x, y) ∈ M × M : d(x, y) < ε}, para cada
ε ∈ R+ . Assim, cada bola Bε (x0 ) em M corresponde à imagem do ponto x0
pela relação Dε .
Notação. Seja X um conjunto e D, C ⊂ X × X. Denotamos:
• a imagem de A ⊂ X pela relação D por
D[A] = {y ∈ X : ∃x ∈ A, (x, y) ∈ D} .
No caso em que A = {x}, escrevemos D[{x}] = D[x]
• a inversa de D por D−1 = {(y, x) ∈ X × X : (x, y) ∈ D}
78
• a composta de C com D por
C ◦ D = {(x, z) ∈ X × X : ∃y ∈ X, (x, y) ∈ C, (y, z) ∈ D}
• a diagonal de X por ∆ = {(x, x) : x ∈ X}
Esta notação de composição segue o sentido inverso à composição usual
de funções. No entanto, utilizaremos tal definição pois ela se comporta de
maneira mais natural com os pares ordenados.
Introduzimos então a definição de uniformidade.
Definição A.1.1. Seja X um conjunto. Dizemos que D ⊂ P(X × X) é uma
uniformidade sobre X se satisfaz:
1. D é filtro sobre X × X
T
2. ∆ ⊂ D
3. ∀D ∈ D, ∃C ∈ D, C ◦ C ⊂ D
4. ∀D ∈ D, ∃C ∈ D, C −1 ⊂ D
Um conjunto munido de uma uniformidade é chamado de espaço uniforme.
Observação A.1.2.
• Uma base de filtro com as propriedades de 2 a 4 é chamado base uniforme sobre X, uma vez que a filtro gerado por tal base é uma uniformidade sobre X.
• Em ambos os casos, omitiremos o "sobre X"quando estiver subentendido o conjunto ao qual nos referimos.
Exemplo A.1.3. Assim como no caso das topologias, dado um conjunto X
temos duas uniformidades triviais sobre X: A uniformidade discreta, dada
pelo filtro gerado pela diagonal (ou seja, a família {D ∈ X × X : ∆ ⊂ D}),
a qual é a maior uniformidade em X; e a uniformidade caótica, dada apenas
por {X × X}.
Exemplo A.1.4. Seja (M, d) um espaço métrico. A métrica d gera uma base
uniforme sobre M , dada por todos os conjuntos Dε = {(x, y) ∈ M × M :
d(x, y) < ε} para cada ε > 0.
Exemplo A.1.5. Dado um grupo topológico (G, ∗, τ ), existem 2 uniformidades compatíveis canônicas associadas a ele: uma "à direita"e outra "à
esquerda". A "à direita"é dada pelas relações do tipo
DN = (x, y) ∈ G : x ∗ y −1 ∈ G
onde N é uma vizinhança do elemento neutro do grupo G. A "à esquerda"é
construída analogamente, apenas invertendo a ordem da operação ∗.
79
O exemplo A.1.5 mostra a relação entre grupos topológicos e uniformidades, sobre a qual já comentamos na observação 2.2.3.
A partir das uniformidades é possível também definir o conceito de continuidade uniforme, o qual ajuda a justificar a nomenclatura.
Definição A.1.6. Sejam X e Y conjuntos munidos de uniformidades DX
e DY , respectivamente. Uma função f : X −→ Y é dita uniformemente
contínua se
∀DY ∈ DY , {(a, b) ∈ X × X : (f (a), f (b)) ∈ DY } ∈ DX
Note que, se X e Y são espaços métricos e DX e DY as uniformidades do exemplo A.1.4, a definição acima coincide com o conceito de função
uniformemente contínua em um espaço métrico. As funções uniformemente
contínuas desempenham para os espaços uniformes a mesma função que as
funções contínuas exercem para os espaços topológicos. De tal forma, elas
constituem os morfismos da categoria dos espaços uniformes.
A.2
Topologia induzida
Vamos agora construir a topologia de um espaço uniforme:
Definição A.2.1. Dado um espaço uniforme, definimos
τ (D) = {G ⊂ X : ∀x ∈ G, ∃D ∈ D, D[x] ⊂ G}
Note que, se fixarmos Dd como a uniformidade do exemplo A.1.4, temos
que τ (Dd ) nada mais é do que a topologia gerada pela métrica d. Da mesma
forma que em espaços métricos, temos que, dado um espaço uniforme (X, D),
o conjunto τ (D) é uma topologia sobre X. Chamamos-lo então de topologia
induzida por D. No caso em que D é uma base uniforme, por topologia
induzida por D nos referimos à topologia induzida pela uniformidade gerada
pela base D.
A seguinte proposição, em [Kel75], caracteriza interior e fecho na topologia induzida.
Proposição A.2.2 (Interior e fecho em uniformidades). Seja (X, D) um
espaço uniforme equipado com a topologia induzida por D. Dado A ⊂ X,
temos:
• o interior de A é {x ∈ A : ∃D ∈ D, D[x] ⊂ A}
• o fecho de A é
T
{D[A] : D ∈ D}
Demonstração.
80
• Definimos B = {x ∈ A : ∃D ∈ D, D[x] ⊂ A}. Seja O ⊂ A aberto
e p ∈ O. Como O é aberto, podemos encontrar um D ∈ D tal que
D[x] ⊂ O ⊂ A, de modo que p ∈ B e, portanto, O ⊂ B. Assim,
basta provar que B é aberto. Seja x ∈ B. Então existe D ∈ D tal que
D[x] ⊂ A. Seja C ∈ D tal que C ◦ C ⊂ D. Dado y ∈ C[x], temos
C[y] ⊂ (C ◦ C)[x] ⊂ D[x] ⊂ A. Assim, C[x] ⊂ B, logo B é de fato
aberto.
• Note que dado x ∈ X, {D[x] : D ∈ D} é um sistema fundamental de
vizinhanças de x. Então podemos dizer que x ∈ A se e somente se
para todo D ∈ D , D[x] intercepta A. Note que D[x] intersepta A
se e somente se x ∈ D−1 [A]. Contudo, para cada D ∈ D, temos que
D−1 ∈ D. Então x ∈ A se e somente se para todo D ∈ D, x ∈ D[A],
como queríamos.
Definição A.2.3. Seja (X, τ ) um espaço topológico. Uma uniformidade
(base uniforme) D sobre X é dita compatível com X se τ (D) = τ .
Proposição A.2.4. Seja (X, τ ) um espaço topológico e D uma uniformidade
compatível com X. São equivalentes:
1. X é Hausdorff
T
2. D = ∆
Neste caso, dizemos que D é Hausdorff.
Demonstração.
• (1) =⇒ (2): Para esta implicação, basta supor X espaço T1 (por simetria, pode-se diminuir a hipótese para T0 , mas a escrita fica desnecessariamente
carregada). Pela definição de uniformidade, temos que
T
T ∆⊂
D. Para completar a igualdade, suponha que exista (x, y) ∈ D tal
que x 6= y. Como X é T1 , escolhemos um aberto V tal que x ∈ V e
y 6∈ V . Como D é compatível com X, existe uma relação D ∈ D tal
que D[x] ⊂ V . Temos assim que y 6∈TD[x]. Portanto
T (x, y) 6∈ D, o que
contraría a hipótese de que (x, y) ∈ D. Logo, D = ∆
• (2) =⇒ (1): Seja x ∈ X. Defino Wx = {F ⊂ X : F é vizinhança fechada
de x}. Note que, como o conjunto de todos os D[x], com
T D ∈ D,Té um
sistema fundamental de vizinhanças de x, temos que Wx = Wx0 ,
onde Wx0 = {D[x]
T : D ∈ D}. Pela proposição A.2.2
T temos que, dado
D ∈ D, D[x] = {D0 [D [x]] : D0 ∈ D}. Seja y ∈ Wx0 , pela definição
e pelas propriedades já descritas, vale:
∀D, D0 ∈ D, ∃z ∈ D[x], y ∈ D0 [z]
81
ou seja,
∀D, D0 ∈ D, (x, y) ∈ D ◦ D0 .
(A.1)
T
Usemos agora a hipótese de que D = ∆. Suponhamos x 6= y. Temos
que ∃D ∈ D tal que (x, y) 6∈ D. Pela definição de uniformidade, existe
C ∈ D tal que C ◦ C ⊂ D. Logo
T (x, y) 6∈ C ◦ C, o que contraria (A.1),
logo x = y. Portanto, temos Wx = {x}, para cada x ∈ X, o que é
equivalente a "X é Hausdorff".
A maioria dos teoremas sobre produto caixa tem como hipótese que os
espaços em questão sejam regulares. Portanto, é de se esperar que os espaços
uniformizáveis sejam T3 . Mais do que isso, os espaços uniformizáveis são T3 1 ,
2
como mostra o próximo teorema. Utilizaremos a demonstração em [Per64].
Teorema A.2.5. Um espaço topológico X é T3 1 se e somente se for unifor2
mizável.
Demonstração. Seja (X, τ ) um espaço T3 1 . Vamos mostrar que X é unifor2
mizável. Para cada φ : X −→ I contínua e cada > 0, definimos
uφ, = {(x, y) ∈ X × X : |φ(x) − φ(y)| < } .
Seja
uφ, : ∈ R∗+ , φ ∈ C(X, I) .
Vamos mostrar que
T B =
U={ B : ∅=
6 B ∈ [B]<ω } é uma base uniforme compatível com X. Como
∆ ⊂ uφ, , temos que ∅ 6∈ U e portanto U é base de filtro e satisfaz também
a condição 2. Seja φ : X −→ I uma função contínua e > 0. Pela desigualdade triangular para números reais, temos que uφ, 2 ◦ uφ, 2 ⊂ uφ, , logo a
condição 3 é satisfeita. Além disso, como u−1
φ, = uφ, , a condição 4 também
é satisfeita.
Verifiquemos que U é compatível com (X, τ ). Seja A ∈ τ e a ∈ A. Como
X é T3 1 , podemos construir uma função contínua f : X −→ I tal que f (a) =
2
0 e f (y) = 1 para todo y ∈ X \ A. Temos então que uf,1 [a] ⊂ A, e portanto,
A ∈ τ (U). Seja agora B ∈ τ (U) e fixe b ∈ B. Podemos encontrar φ : X −→ I
contínua e > 0 tais que uφ, [b] ⊂ B. Como φ é contínua, podemos encontrar
um aberto V ∈ τ tal que x ∈ V ⊂ φ−1 (]φ(b) − , φ(b) + [) ⊂ uφ, [b] ⊂ B.
Desta forma, temos que B é aberto em X. Concluímos assim que (X, τ ) é
uniformizável.
Vamos agora verificar a reciproca. Seja (X, D) um espaço uniforme.
Vamos mostrar que (X, τ (D)) é T3 1 . Fixemos F ⊂ X fechado e z ∈ X \ F .
2
Podemos encontrar C ∈ D simétrico (isto é, C = C −1 ) tal que C[z] ∩ F = ∅.
Definimos então por indução uma sequência (un )n∈ω tal que u0 = C e, para
cada n ∈ ω, un é simétrico e temos un+1 ◦ un+1 ⊂ un .
82
Chamamos de racional diádico um número racional cuja transcrição em
base decimal possui comprimento
finito. Descreveremos um racional diáPK
−r
n
dico r ∈]0, 1] por r = n=1 2 , onde (rn )0<n≤K é uma sequência finita
crescente de naturais. Para cada tal r, definimos
vr = un1 ◦ un2 ◦ · · · ◦ unK−1 ◦ unK
Note que no caso particular em que r = 0, temos v1 = u0 . Definimos
v0 = ∆. Vamos mostrar que vr ⊂ vr0 para quaisquer r, r0 racionais diádicos
tais que 0 ≤ r ≤ r0 ≤ 1. Para tanto, vamos demonstrar a seguinte afirmação.
Afirmação. ∀n ∈ ω, ∀m ≤ 2n−1 , vm2−n ◦ un ⊂ v(m+1)2−n
Procedemos por indução em n. Para n = 0, temos v0 ◦ u0 = v0 ◦ ∆ =
v0 = v1 . Suponha a afirmação válida para n = k − 1 > 0. Consideramos
primeiro o caso em que m é par. Seja m = 2p, com p ∈ ω. Temos assim,
m2−n = (2p)2−n = p2−(n−1) e (m + 1)2−n = (2p + 1)2−n = p2−(n−1) + 2−n .
Seguindo a definição, temos
v(m+1)2−n = vp2−(n−1) +2−n = vp2−(n−1) ◦ un = vm2−n ◦ un ,
como gostaríamos.
Suponhamos agora que m seja um número ímpar. Seja m = 2p + 1.
Temos assim m2−n = p2−(n+1) + 2−n e (m + 1)2−n = (p + 1)2−(n−1) . Pela
hipótese de indução, temos:
vp2−(n−1) ◦ un−1 ⊂ v(p+1)2−(n−1
Usando o fato de que un ◦ un ⊂ un−1 , temos:
vm2−n ◦ un =
=
⊂
⊂
vp2−(n−1) +2−n ◦ un
vp2−(n−1) ◦ un ◦ un
vp2−(n−1) ◦ un−1
v(p+1)2−(n−1) = v(m+1)2−n
como gostaríamos, completando assim a demonstração da afirmação.
Sejam r e r0 racionais diádicos tais que 0 ≤ r ≤ r0 ≤ 1, vamos mostrar
que vr ⊂ vr0 . Podemos escrever tais frações em um denominador comum, de
maneira que r = a2−k e r = b2−k . Como todo un contém a diagonal ∆, pela
afirmação temos:
vr ⊂ va2−k ◦ uk ⊂ v(a+1)2−k ◦ uk ⊂ . . . ⊂ vb2−k ◦ uk = vr0
Vamos agora construir uma função φ : X −→ I definida por φ(z) = 0 e
por
φ(x) = sup {r : x 6∈ ur [z]}
83
para x 6= z. Por construção, como u0 [z] ⊂ X \ F , temos que, dado x ∈ F ,
x 6∈ u0 [z] = v1 [z], e portanto φ(x) = 1. Resta apenas demonstrar que
φ é contínua. Para isso, fixemos x ∈ X e > 0. Seja N ∈ ω tal que
2N > 2 . Vamos mostrar que uN [x] é uma vizinhança de x a qual testemunha
a continuidade de φ, isto é, φ(un [x]) ⊂]φ(x) − , φ(x) + [.
Seja y ∈ uN [x]. Temos (x, y) ∈ uN e, pela simetria de uN , temos
também (y, x) ∈ uN . Suponhamos que φ(x), φ(y) < 1. Assim, podemos escolher naturais m, m0 > 0 tais que m2−N > φ(x) ≥ (m − 1)2N
e m0 2−N > φ(y) ≥ (m0 − 1)2−N ( m2−N e m0 2−N são aproximações à
N -ésima "casa"da decomposição binária de φ(x) e φ(y), respectivamente).
Pela definição de φ, temos que x ∈ vm2−N [z] e y ∈ vm0 2−N [z], de maneira que
(z, x) ∈ vm2−N [z] e (z, y) ∈ vm0 2−N [z]. Usando a composição e a afirmação
já demonstrada, temos:
(z, y) ∈ vm2−N ◦ uN ⊂ v(m+1) 2−N e (z, x) ∈ vm0 2−N ◦ uN ⊂ v(m0 +1) 2−N .
Pela definição de φ, temos φ(y) < (m + 1)2−N e φ(x) < (m0 + 1)2−N .
Desta maneira, temos
|φ(x) − φ(y)| ≤ 2(2−N ) < 2
= .
2
No caso em que φ(x) = 1 ou φ(y) = 1, podemos encontrar r ∈]1 −
2−(N +1) , 1[ diádico tal que x ∈ vr [z] ou y ∈ vr [z], respectivamente. Utilizamos então a mesma aproximação da decomposição binária para r e procedemos da mesma maneira.
Concluímos assim que φ(un [x]) ⊂]φ(x) − , φ(x) + [ e, portanto, φ é
contínua, como gostaríamos.
Note que este resultado, junto com a proposição A.3.4, garante que o
produto caixa preserva a propriedade de Tychonoff (observação 2.2.3).
O conceito de completude também pode ser expresso em termos de uniformidades, através de filtros.
Definição A.2.6. Seja X um espaço topológico e D uma uniformidade compatível sobre X.
1. Um filtro F em X é dito D-Cauchy se vale
∀D ∈ D, ∃x ∈ X, D[x] ∈ F
2. D é dito completo se todo filtro D-Cauchy F converge em X (isto é,
existe um x ∈ X tal que todas as vizinhanças de x pertencem a F).
3. Um espaço topológico é dito topologicamente completo se ele possui
uma uniformidade completa compatível.
84
Outro conceito que pode ser definido para uniformidades é a κ-metrizabilidade
(definição 1.2.29).
Definição A.2.7. Seja κ um cardinal regular infinito. Um espaço X é dito
κ-metrizável se X possui uma base uniforme compatível D tal que (D, ⊂)
tenha tipo de ordem κ.
Em [Wil84], Scott Williams demonstra o teorema 1.2.30 para esta definição de κ-metrizabilidade. No mesmo artigo, novamente usando uniformidades, é apresentada uma versão mais completa do teorema 3.1.5, a qual
diminui a hipótese de compacidade para paracompacidade e compacidade
local.
Teorema A.2.8 (Nabla Lemma). Sejam Xi espaços topológicos T3 , paracompactos e localmente compactos para cada i ∈ I. Então, são equivalentes:
1. i∈I Xi é paracompacto.
2. ∇i∈I Xi é paracompacto.
3. ∇i∈I Ki é paracompacto, se para todo i ∈ I tivermos Ki subespaço
compacto de Xi .
Uma propriedade das uniformidades, a qual as tornam ferramentas para
se estudar produtos caixa, é o fato de que podemos definir paracompacidade
através de uniformidades.
Definição A.2.9. Sejam X um espaço topológico, A, B ⊂ P(X) famílias
de subconjuntos de X e D ⊂ X × X uma relação em X. Dizemos que D
refina A se tivermos que a família {D[x] : x ∈ X} refina A, ou seja, se
∀x ∈ X, ∃ax ∈ A, D[x] ⊂ ax .
Definição A.2.10. Dado um espaço topológico X e uma relação D ⊂ X×X,
dizemos que D é uma entourage se D for uma vizinhança da diagonal ∆ ⊂
X × X , ou seja, se existe um conjunto V ⊂ X × X aberto na topologia
produto tal que ∆ ⊂ V ⊂ D.
Observação A.2.11. Dado um espaço uniforme (X, D), se equiparmos X
com a topologia induzida por D, e em seguida munirmos X × X com a
topologia produto, temos que todos os elementos de D são entourages de X.
Por isso, muitos autores usam o termo entourage com o sentido de elemento
de uma uniformidade. A recíproca desta afirmação (ou seja, dado um espaço
topológico , o conjunto de todas as entourages forma uma uniformidade sobre
X) necessita da hipótese de que o espaço é paracompacto. Tal recíproca será
demonstrada no lema A.2.15.
Definição A.2.12. Dado um espaço topológico X, dizemos que uma cobertura aberta de X é impar se existe uma entourage que a refine.
85
Teorema A.2.13. Seja X um espaço topológico regular. Temos então:
X é paracompacto ⇐⇒ Toda cobertura aberta de X é impar.
Para provar essa equivalência, usaremos o seguinte conceito:
Definição A.2.14.
• Seja X um espaço topológico e A uma cobertura de X. Dado M ⊂ X,
definimos
o conjunto estrela de M por St(M, A)
=
S
{A ∈ A : A ∩ M 6= ∅}. No caso M = {x}, denotamos St({x}, A) =
St(x, A).
• Dada uma outra cobertura B de X, dizemos que B é refinamento
baricêntrico de A se para cada x ∈ X existe um A ∈ A tal que
St(x, B) ⊂ A.
Demonstração do teorema A.2.13.
• [⇐] Seja V uma cobertura aberta de X. Seja D uma entourage que
refina V. Para cada x ∈ X existe um aberto Wx tal que (x, x) ∈
Wx × Wx ⊂ D. Vou mostrar que W = {Wx : x ∈ X} é um refinamento baricêntrico de V. Como D refina V, então para cada
x ∈ X existe V ∈ V tal que D[x] ⊂ V Basta então mostrarmos que
∀x ∈ X, St(x, W) ⊂ D[x]. Seja p ∈ St(x, W). Existe y ∈ X tal que
{p, x} ⊂ Wy . Como Wy × Wy ⊂ D, então (x, p) ∈ D. Logo, p ∈ D[x],
como queríamos. Para concluir este lado da demonstração, observamos
que se toda cobertura aberta de um espaço tiver um refinamento baricêntrico então esse espaço é paracompacto (para este resultado, veja
por exemplo [Eng89] ou [Kel75]).
• [⇒] Suponha X paracompacto. Seja V cobertura aberta de X. Como
X é regular, podemos refinar V com uma cobertura aberta U cujos
fechos de seus elementos estejam contidos em elementos de V. Como
X é paracompacto, podemos refinar U por uma cobertura localmente
finita. Note que os fechos desse refinamento formam um refinamento
fechado localmente finito de V. Chamaremos tal refinamento de A.
Para cada A ∈ A, existe um VA ∈ V tal que A ⊂ VA . Definimos:
WA = (VA × VA ) ∪ ((X \ A) × (X \ A)).
Note que WA é aberto em X × X e que ∆ ⊂ WA . Além disso, temos
que se x ∈ A, então WA [x] = VA . Definimos então:
\
D = {WA : A ∈ A}.
Vamos mostrar que D é o refinamento ímpar de V que queremos. Para
cada x ∈ X, temos D[x] ⊂ WA [x] ⊂ VA ∈ V, logo D refina V. Falta
86
mostrar que D é entourage. Como ∀A ∈ A, ∆ ⊂ WA , então ∆ ⊂
T
A∈A WA . Agora, seja x ∈ X. Como A é localmente finita, existe Ox
vizinhança aberta de x que intercepta apenas uma quantidade finita
de elementos de A. Se A ∈ A é tal que A ∩ Ox = ∅, então Ox ⊂
X \ A, portanto
T Ox × Ox ⊂ WA . Assim, temos que (Ox × Ox ) ∩ D =
(Ox × Ox ) ∩ ( {WA : A ∩ Ox 6= ∅}) é uma interseção de abertos, logo
é uma vizinhança aberta de (x, x). Então D é de fato entourage, como
queríamos.
Apresentamos agora uma aplicação interessante dessa equivalência:
Lema A.2.15. Se X é um espaço paracompacto Hausdorff, então o conjunto
N de todas as entourages de X é uma uniformidade completa compatível com
X.
Demonstração. Pela definição de vizinhança, fica fácil ver que N é filtro em
X × X.
Seja D ∈ N . Para cada x ∈ X, podemos escolher Gx uma vizinhança de
x tal que Gx × Gx ⊂ D. Como X é paracompacto, pelo teorema A.2.13 ,
podemos refinar a cobertura {Gx : x ∈ X} de X por uma entourage E ∈ N .
Definimos C = E ∩ E −1 . Como E −1 ∈ N , então C ∈ N . Note que E ⊂ D,
pois ∀x ∈ X, E[x] ⊂ Gx ⊂ D[x]. Como C é simétrico, temos que C −1 ⊂ D.
Vamos mostrar agora que C ◦ C ⊂ D. Sejam (x, y), (y, z) ∈ C. Note que
x, y ∈ C[y]. Existe um w ∈ X tal que C[y] ⊂ Gw , já que C ⊂ E. Como
Gw × Gw ⊂ D, então (x, z) ∈ D. Logo, N é de fato uma uniformidade.
Vamos mostrar que N é compatível com X. Dado x ∈ X e D ∈ N , existe
um aberto V ⊂ X tal que (x, x) ∈ V ×V ⊂ D×D. Note que (V ×V )[x] = V ,
o qual é aberto, portanto temos x ∈ V ⊂ D[x], ou seja, D[x] é vizinhança
de x. Por outro lado, seja G ⊂ X uma vizinhança aberta de x. Definimos:
F = (G × G) ∪ ((X \ {x}) × (X \ {x}))
assim, como X é Haussdorf, temos que {x} é fechado, logo F é aberto. Como
∆ ⊂ F , temos que F ∈ N , e como F [x] ⊂ G, concluímos que N é compatível
com X.
Por fim, para provar que todo filtro N -Cauchy converge em X, vamos
demonstrar a contrapositiva. Seja F um filtro não convergente em X. Então,
para cada x ∈ X existe uma vizinhança aberta Gx tal que Gx 6∈ F. Como X
é paracompacto, pelo teorema A.2.13, existe D ∈ N que refina a cobertura
{Gx : x ∈ X}. Temos então que ∀X ∈ X, D[x] 6∈ F, logo F não é N Cauchy, como queríamos.
87
A.3
Produtos
A partir de uniformidades, podemos definir tanto o produto de Tychonoff
quanto o produto caixa [Bel11].
Definição A.3.1. Para cada i ∈ I, seja Xi munido de uma uniformidade
Di . Para cada j ∈ I e cada D ∈ Dj , definimos:
(
!
!
)
Y
Y
b = (x, y) ∈
D
XI ×
XI : (xj , yj ) ∈ D
i∈I
i∈I
o
n
b : j ∈ I, D ∈ Dj . Definimos o produto de Tychonoff das
Seja P = D
T
uniformidades (Di )i∈I por Ti∈I Di = { P : P ∈ [P]<ω , P 6= ∅}
Proposição A.3.2. Para cada i ∈ I, seja Xi um espaço topológico munido
de uma uniformidade compatível Di . Então
Ti∈I Di é uma base uniforme
Q
compatível com o produto de Tychonoff i∈I Xi
Demonstração.
Q Inicialmente, vamos verificar que Ti∈I Di é uma base uniforme sobre i∈I Xi . Note que Ti∈I Di é uma base de filtro. Seja ∆ a diaQ
b ∈ P satisfaz ∆ ⊂ D,
b de modo que ∆ ⊂ T P .
gonal de i∈I Xi . Qualquer D
Q
Portanto ∅ 6∈ Ti∈I Di . Por construção, temos que i∈I Xi é fechado para
intersecções finitas.
Já mostramos que Ti∈I Di satisfaz a condiçãon 2. Para verificar as condio
b n ∈ Din : 0 ≤ n < k ∈
ções 3 e 4, fixemos A ∈ Ti∈I Di . Definimos P = D
T
[P]<ω de maneira que A =
P . Para cada n < k, podemos encontrar Bn , Cn ∈ Din tais que Bn ◦ Bn ⊂ Dn e Cn −1 ⊂ Dn . Definindo
T
cn ∈ Ti∈I Di e C = T
c
B = n<k B
n<k Cn ∈ Ti∈I Di , temos B ◦ B ⊂ A e
C −1 ⊂ A, como gostaríamos.
Vamos Q
mostrar que tal base uniforme é compatível com o produto de
Tychonoff i∈I Xi
Q
Seja V um aberto básico de i∈I Xi tal que spt(V ) = 1. Vamos mostrar
que V é aberto na topologia induzida por Ti∈I Di . Seja p ∈ V , e seja j ∈ I
tal que Vj 6= Xj . Como Dj é compatível com Xj , podemos encontrar D ∈ Dj
tal que D[pj ] ⊂ Vj . Temos então que D[p] ⊂ V , portanto V ∈ τ (Ti∈I Di ),
como queríamos.
Considere agora U Q∈ τ (Ti∈I Di ). Vamos mostrar que U é aberto no
produto de Tychonoff i∈I Xi . Seja q n
∈ U . Podemos encontrar então
o P ∈
T
<ω
b n ∈ Din : 0 ≤ n < k < ω . Para
[P] tal que ( P ) [q] ⊂ U . Seja P = D
cada n < k, temos que Dn [qin ] ⊂ Uin é uma vizinhança de qin . Definindo
Win = Dn [qin ] para cada n < k e Wi = Xi para os demais i ∈ I, temos que
W ⊂ U é uma
Q vizinhança de q, o que garante que U é aberto no produto de
Tychonoff i∈I Xi .
88
Definição A.3.3. Para
Q cada i ∈ I, seja Xi munido de uma uniformidade
Di . Para cada D ∈ i∈I Di definimos:
(
!
)
!
Y
Y
D = i∈I Di = (x, y) ∈
XI ×
XI : ∀i ∈ I, (xi , yi ) ∈ Di
i∈I
i∈I
Definimos
então
caixa das uniformidades (Di )i∈I por i∈I Di =
Q o produto
D : D ∈ i∈I Di .
Proposição A.3.4. Seja Di uma uniformidade compatível com o espaço
topológico Xi para cada i ∈ I. Então i∈I Di é uma base uniforme compatível
com o produto caixa i∈I Xi .
Demonstração. Verifiquemos que i∈I Di é uma base uniforme. Note que
i∈I Di é uma base de filtro. De fato, temos ∅ 6∈ i∈I Di Q
pois, caso contrário,
teríamos ∅ ∈ Di para algum i ∈ I. Dados A, B ∈ i∈I Di , temos que
A ∩ B = i∈I (Ai ∩ Bi ) ∈ i∈I Di .
Q
Vamos
verificar que i∈I Di satisfaz a condição 2.Sejam D ∈ i∈I Di e
Q
x ∈ i∈I Xi . Temos que (xi , xi ) ∈ Di para todo i ∈ I, portanto (x, x) ∈ D.
Para verificar a condição 3, fixemos D ∈ i∈I Di . Para cada i ∈ I,
escolhemos Ci ∈ Di tal que Ci ◦ Ci ⊂ Di . Definindo C = (Ci )i∈I , temos que
C ◦ C ⊂ D. Da mesma forma, para verificar a condição 4, escolhemos
Ci ∈ Di para cada i ∈ I tal que Ci −1 ⊂ Di , e assim obtemos C = (Ci )i∈I
satisfazendo (C)−1 ⊂ D.
Vamos então mostrar que i∈I Di é compatível com i∈I Xi .
Seja V aberto básico de i∈I Xi e fixemos p ∈ V . Como para cada i ∈ I
temos Di compatível com Xi , temos um Di ∈ Di tal que pi ∈ Di [pi ]. Desta
maneira, definindo
D = (Di )i∈I , temos D ∈ i∈I Di , e também D[p] ⊂ V ,
Q
logo V ∈ τ
D
i .Q
i∈I
Seja agora U ∈ τ
mostrar que U é aberto em i∈I Xi .
i∈I Di . Vamos
Q
Seja q ∈ U . Então existe D ∈ i∈I Di tal que D[q] ⊂ U . Para cada
i ∈ I, temos que Di temos Di [qi ] uma vizinhança de qi , logo i∈I Di [qi ] =
D[q] ⊂ U é uma vizinhança de q. Assim, U é aberto em i∈I Xi , como
gostaríamos.
No caso específico do produto de ω fatores iguais, podemos através das
uniformidades construir um produto intermediário entre o produto de Tychonoff e o produto caixa. Tal produto é conhecido como produto caixa
uniforme.
Proposição A.3.5. Seja X um conjunto munido de uma uniformidade D.
Para cada D ∈ D, seja:
n
Yω Yω o
D = (x, y) ∈
X ×
X : ∀i ∈ ω, (xi , yi ) ∈ D
Qω
Então o conjunto D = D : D ∈ D é uma base uniforme sobre
X.
89
Qω
O conjunto D é chamado base uniforme constante. O conjunto
X
equipado com a topologia induzida por D é chamado de produto caixa uniforme.
Demonstração. Vamos mostrar que D é uma base de filtro. Temos que ∅ 6∈ D
pois, caso contrário, teríamos ∅ ∈ D. Temos também que, dados D, E ∈ D,
D ∩ E = D ∩ E ∈ D.
Q
Demostramos agora que D é base uniforme. Sejam x ∈ ω X e D ∈ D.
Como (xi , xi ) ∈ D para cada i ∈ ω, então (x, x) ∈ D, e assim D satisfaz a
condição 2.
Fixamos D ∈ D. Podemos escolher B, C ∈ D tais que B ◦ B ⊂ D e
C −1 ⊂ D. Assim, temos B ◦ B ⊂ D e C−1 ⊂ D, e portanto D satisfaz as
condições 3 e 4.
O produto caixa uniforme caracteriza um intermediário entre o produto
caixa e o produto de Tychonoff. Do mesmo modo que o produto caixa, a
principal questão levantada pelo produto caixa uniforme diz respeito à sua
paracompacidade. Bell apresenta resultados para esta questão em [Bel14]
e [Bel11].
90
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95
Índice Remissivo
1o axioma da enumerabilidade, 11
2o axioma da enumerabilidade, 11
3o axioma da enumerabilidade, 11
=∗ -transversal, 55
C(X), 30
C(X, Y ), C(X), 29
Cp (X), 30
Fσ , 8
Gδ , 8
Gδ -modificação, 46
Pκ -espaço, 14
T0 , 8
T1 , 8
T2 , 8
T3 , 8
T4 , 9
T3 1 , 9
2
C (X), 30
C -discreto, 31
κ-Lindelöf, 14
κ-Produto Caixa, 18
κ-caixa aberta, 18
κ-metrizável, 16, 85
κ-resolvível, 31
λ-escala, 50
σ-discreto, 34
árvore, 7
altura, 7
base de filtro, 5
caixa aberta, 18
caixa fechada, 18
caráter, 11
caráter de dispersão, 35
cardinal, 6
cardinal mensurável, 37
cardinal regular, 7
cardinal singular, 7
celularidade, 11
cofinalidade, 7
coletivamente normal, 9
completamente regular, 9
conjunto cofinal, 7
densidade, 11
denso-em-si-mesmo, 32
discretamente gerado, 26
disperso, 10
enumeravelmente paracompacto, 67
Espaço de Dowker, 67
espaço de Tychonoff, 9
espaço maximal, 26
espaço submaximal, 26
família afunilada, 57
família celular, 11
família discreta, 9
Família dominante, 50
Família ilimitada, 50
Família localmente finita, 13
família simples, 57
filtro, 5
filtro κ-completo, 5
filtro livre, 5
filtro principal, 5
fortemente disjuntas, 58
função cardinal, 10
96
função uniformemente contínua, 80
grau de Lindelöf, 11
Hausdorff, 8
Hipótese da Ordem, 55
monotonamente normal, 9
Nabla Lema, 85
Nabla Lemma, 44
normal, 9
ordem, 6
ordinal, 6
P-espaço, 8
paracompacto, 13
peso, 11
primeiro enumerável, 11
Produto Caixa, 18
produto caixa de uniformidades, 89
produto caixa uniforme, 90
Produto de Tychonoff, 17
produto de Tychonoff de uniformidades, 88
produto nabla, 41
quase resolvível, 31
quase-ω-resolvível, 31
rank, 10
regular, 8
resolvível, 31
segundo enumerável, 11
separável, 11
sequência de Cantor-Bendixon, 10
soma topológica, 32
spt, 17
suporte, 17
ultrafiltro, 5
ultraparacompacto, 13
zero dimensional, 8
97