xxiv olimpíada brasileira de matemática

XXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
SEGUNDA FASE – NÍVEL UNIVERSITÁRIO
OBSERVAÇÃO:
Os enunciados dos problemas 3 e 5 continham alguns erros1. Publicamos aqui as versões
corrigidas. Pedimos desculpas a todos pelos inconvenientes causados.
PROBLEMA 1:
Seja y = P(x) um polinômio de grau 4. Mostre que se existe uma reta (em R2) que corta o gráfico
de P em 4 pontos então existe uma reta que corta o gráfico em 4 pontos igualmente espaçados.
PROBLEMA 2:
A  (aij ) uma matriz real simétrica n  n tal que a ii  1 e
n
a
ij
 2 , para todo
j 1
i {1,2,..., n} .
Prove que 0  det A  1.
PROBLEMA 3:
Sejam A1 , A2 ,..., Ak  {1,2,..., n} conjuntos com Ai 
k
i  j . Prove que
A
i
i 1

n
n
e Ai  A j  para todo i, j com
2
4
k
 n.
k 1
PROBLEMA 4:
Determine todas as soluções reais da equação
x  2  2  2  x.
PROBLEMA 5:
Dado x  R, definimos ln 0 ( x)  x e, para cada k  N, se ln k ( x)  0 , definimos
ln k 1 ( x)  ln(ln k ( x)), onde ln é o logaritmo natural.
Dado n inteiro positivo, definimos k(n) como o maior k tal que ln k (n)  1 , e an como
k (n)
 ln
j
(n)  n  ln( n)  ln ln( n)  ...  ln k ( n ) (n).
j 0

Diga se a série
1
a
n 1
converge ou diverge.
n
PROBLEMA 6:
Considere duas elipses no plano R2 que se intersectam em 4 pontos. Nestes 4 pontos trace as
retas tangentes às duas elipses, obtendo assim 8 retas.
Prove que existe uma elipse (ou circunferência) tangente a estas 8 retas.
1
A seguir publicamos os enunciados como sairam na prova.
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PROBLEMA 3:
Sejam A1 , A2 ,..., Ak  {1,2,..., n} conjuntos com Ai 
n
i  j . Prove que
A
i
i 1

n
n
e Ai  A j  para todo i, j com
2
4
k
 n. aqui está o erro.
k 1
PROBLEMA 5:
Dado x  R, definimos ln 0 ( x)  x e, para cada k  N, se ln k ( x)  0 , definimos
ln k 1 ( x)  ln(ln k ( x)), onde ln é o logaritmo natural.
Dado n inteiro positivo, definimos k(n) como o maior k tal que ln k (n)  1 , e an como
k (n)
 ln
j
( x)  x  ln( x)  ln ln( x)  ...  ln k ( n ) ( x). aqui está o erro.
j 0

Diga se a série
1
a
n 1
converge ou diverge.
n
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