introdução - Professor Cássio Vidigal

INTRODUÇÃO ............................................................................. 2
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM............................ 3
FATORIAL .................................................................................... 8
AGRUPAMENTOS ..................................................................... 10
ARRANJOS ................................................................................ 10
PERMUTAÇÕES........................................................................ 17
PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS .................... 23
COMBINAÇÕES ........................................................................ 28
BINÔMIO DE NEWTON ............................................................. 36
PROBABILIDADES .................................................................... 46
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS .................. 55
PROBABILIDADE CONDICIONAL............................................. 55
RESPOSTAS ............................................................................. 64
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 66
No final das séries de exercícios podem aparecer
sugestões de atividades complementares. Estas
sugestões referem-se a exercícios do livro
“Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE
e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante
o triênio 2015-2017.
Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se
referem ao volume 2.
O fato de apenas alguns exercícios estarem
indicados não significa que os demais devam ser
ignorados. Ao contrário, quanto mais exercícios você
fizer mais hábil você pode ficar.
MATEMÁTICA III
1
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
poucos
elementos,
mas
quando
trabalhamos
com
conjuntos
muito
numerosos,
os
métodos
tornam-se
indispensáveis.
INTRODUÇÃO
As duas figuras abaixo mostram
placas de veículos automotores. A primeira
mostra o modelo atualmente utilizado no
Brasil e a segunda apresenta o modelo de
placas unificadas do Mercosul que deveria
ser utilizada a partir de janeiro de 2016.
Vamos ver alguns exemplos abaixo e
tentar preencher os espaços com a
quantidade de elementos de cada conjunto:
Ex.1: Conjunto formado por todos os
números de dois algarismos distintos
formados, exclusivamente, pelos dígitos 1,
2 e 3:
A = (12, 13, 21, 23, 31, 32}, logo o conjunto
A tem _____ elementos.
Por meio do endereço <www.vid
igal.ouropreto.ifmg.edu.br/placasveiculos>
ou utilizando o qr-code
ao lado, você consegue
acessar uma página que
aponta
para
quatro
outras
que
trazem
reportagens sobre a
mudança no padrão das
placas. Um fato comum
em todas as reportagens
é que a nova placa permitirá obter mais de
450 milhões de combinações diferentes. A
placa antiga permitia menos de 18 milhões
de combinações.
Ex.2: Conjunto
pelas diagonais
hexágono:
D = {AC, AD, AF, BD, BE, BF,
CE, CF, DF}, logo o conjunto
D tem _____ elementos.
Ex.3: Conjunto formado
pelas diagonais de um
heptágono:
H=
O assunto que vamos estudar agora
nos permite encontrar números como estes
e a entender situações como a que
recentemente vivemos quando, aos
números dos nossos celulares, foi
acrescentado um dígito.
Quantos elementos tem o conjunto H? ____
Ex.4: Conjunto das sequências de letras
que se obtém mudando a ordem das letras
da palavra ROMA (anagramas da palavra
ROMA)
P=
A Análise Combinatória, visa
desenvolver métodos que permitem contar
o número de elementos de um conjunto,
sendo estes elementos, agrupamentos
formados sob determinadas condições.
Quantos elementos tem o conjunto P?
Estes métodos de contagem podem
parecer pouco necessários e realmente o
são quando lidamos com conjuntos que tem
CÁSSIO VIDIGAL
formado
de um
2
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Ex.5: K é o conjunto formado pelos números
de três algarismos distintos formados a
partir dos dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7 e 8.
Quantos elementos tem K?
C1 → C2
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
_______________
Observe que neste caso, é bastante
trabalhoso obter todos os elementos do
conjunto K para depois contá-los e
notadamente
sabemos
quais
as
dificuldades. Usando as técnicas que
estudaremos nas próximas páginas desta
apostila, veremos que o conjunto K tem 336
elementos.
C2 → C3
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
C1 → C3
1A
1B
1C
1D
2A
2B
2C
2D
3A
3B
3C
3D
4A
4B
4C
4D
5A
5B
5C
5D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Para cada uma das 5 estradas que
ligam C1 a C2, podemos escolher uma das
4 que ligam C2 a C3, assim, são 5 ∙ 4 = 20
maneiras diferentes de viaja.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE
CONTAGEM
Acompanhe a seguir a resolução de alguns
problemas:
Ex.2: Ao lançarmos uma
moeda e um dado,
quantos
resultados
obtidos a partir da
combinação Cara ou
Coroa (da moeda) com o
número (do dado) temos?
Ex.1: Uma pessoa quer viajar da Cidade C1
para a Cidade C3 passando pela cidade C2.
Sabendo que existem 5 estradas que ligam
C1 a C2 e outras 4 estradas que ligam C2 a
C3, de quantas maneiras diferentes a
pessoa poderá viajar?
Resolução:
Observe o diagrama a seguir:
Resolução:
Para facilitar, observe o diagrama:
MATEMÁTICA III
3
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
Note que o evento “lançar moeda e
dado” tem duas etapas independentes com
2 possibilidades na primeira e 6
possibilidades na segunda totalizando 12
possibilidades (2 ∙ 6 = 12).
1)
Uma loja de roupas femininas vende cinco
modelos de calças Jeans (Pantalona, Flare,
Legging, Sarouel e Skinny) e cada calça
pode ter uma de três cores (Preta, Marrom
e Azul).
a) Escreva todas as possíveis combinações
possíveis de calças nesta loja.
Assim, de modo geral, podemos
dizer que:
Se um evento é composto por m
etapas diferentes sucessivas e
independentes de tal maneira que
a etapa 1 tenha n1 possibilidades,
que a etapa 2 tenha n2
possibilidades, ..., que tenha nm
possibilidades, então o número
total de possibilidades de o evento
ocorrer é dado pelo produto 𝑛1 ∙
𝑛2 ∙ ⋯ ∙ 𝑛𝑚 . Esse é o Princípio
Fundamental de Contagem.
b) Quantas opções de escolha terá uma
consumidora interessada em uma calça
desta loja?
Vamos agora fazer alguns exercícios
envolvendo
diversas
situações
que
permitem a aplicação do conceito do
Princípio Fundamental de Contagem.
2) Quantos números naturais de 3
algarismos podem ser escritos com os
algarismos 2, 3, 4, 5, e 6?
CÁSSIO VIDIGAL
4
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
3) Quantos números naturais de 3
algarismos distintos podem ser escritos
com os algarismos 2, 3, 4, 5, e 6?
5) Aline e Bárbara
praticam natação. As
duas amigas resolvem
disputar uma corrida
na piscina. Quantos
resultados diferentes podemos obter no
final da disputa? Liste todos os possíveis.
4) Em um ginásio de esportes, os lugares
destinados
aos
espectadores
são
separados em quatro setores com a mesma
quantidade de cadeiras em cada um deles:
setor Azul, laranja, amarelo e verde. Em
cada setor existem 26 filas de cadeiras
identificadas pelas letras do alfabeto. Em
cada fila estão 45 cadeiras numeradas de 1
a 45. O ingresso para o ginásio apresenta
uma sequência com uma cor, uma letra e
um número (Ex.: Azul J 25 indica a cadeira
25 da fila J do setor Azul). Qual o total de
cadeiras neste ginásio?
6) Aline, Bárbara e
Camila
praticam
natação. As três
amigas
resolvem
disputar uma corrida na piscina. Quantos
resultados diferentes podemos obter no
final da disputa? Liste todos os possíveis.
MATEMÁTICA III
5
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
7) Aline, Bárbara,
Camila e Daniela
praticam natação.
As quatro amigas
resolvem disputar uma corrida na piscina.
Quantos resultados diferentes podemos
obter no final da disputa?
9) Um edifício tem 8 portas. De quantas
formas uma pessoa ode entrar por uma
porta e sair por outra, diferente daquela que
ele entrou?
10) Uma prova possui 2 questões do tipo
“VERDADEIRO ou FALSO”. Liste todas as
maneiras diferentes que uma pessoa pode
marcar, aleatoriamente, as questões.
Quantas maneiras existem?
8) Uma bandeira com a
forma ao lado, vai ser
pintada utilizando duas das
três cores: vermelho, verde e
azul.
Utilize os modelos abaixo e
liste todas as possíveis
bandeiras. Quantas são elas?
11) Uma prova possui 3 questões do tipo
“VERDADEIRO ou FALSO”. Liste todas as
maneiras diferentes que uma pessoa pode
marcar, aleatoriamente, as questões.
Quantas maneiras existem?
CÁSSIO VIDIGAL
6
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
12) Uma prova possui 4 questões do tipo
“VERDADEIRO ou FALSO”. De quantas
maneiras diferentes uma pessoa pode
marcar, aleatoriamente, as questões?
15) Se seis teclas literais (são 27) de um
computador
forem
pressionadas,
sucessivamente, ao acaso, quantos
anagramas
diferentes
podem
ser
formados?
13) Uma prova possui 10 questões do tipo
“VERDADEIRO ou FALSO”. De quantas
maneiras diferentes uma pessoa pode
marcar, aleatoriamente, as questões?
16) Se seis teclas literais (são 27) de um
computador
forem
pressionadas,
sucessivamente, ao acaso, quantos
anagramas formado por letras distintas
podem ser formados?
14) Uma prova possui 20 questões de cinco
alternativas (A, B, C, D e E). De quantas
maneiras diferentes uma pessoa pode
marcar, aleatoriamente, o gabarito?
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Pág. 147 – Exercícios 04 a 10
MATEMÁTICA III
7
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
FATORIAL
Ex.1:Vamos calcular o valor de
O fatorial de um número consiste em
um relevante mecanismo nos estudos
envolvendo análise combinatória, pois a
multiplicação
de
números
naturais
consecutivos é muito utilizada nos
processos de contagem.
12!
.
8!
Resolução:
Desenvolvendo 12! no numerador da
fração, podemos reescrevê-la assim:
12! 12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8!
=
8!
8!
Fatorial de um número consiste em
multiplicar o número por todos os seus
antecessores até o número 1.
simplificando numerador e denominador por
8!, temos:
Representamos o fatorial de um
número natural por n! e o desenvolvimento
de n! é dado por:
12! 12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8!
=
= 12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 = 11880
8!
8!
𝑛! = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2) ∙ ⋯ ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
Ex.2: Simplificar a expressão
Observação:
A definição acima é válida para 𝑛 ≥ 2. Para
n = 1 e n = 0, definimos que:
1! = 1 e 0! = 1
7!+8!
9!
.
Resolução:
7! + 8! 7! + 8 ∙ 7! 7! (1 + 8)
=
=
=
9!
9!
9!
7! ∙ 9
1
=
=
9 ∙ 8 ∙ 7! 8
2! = 2 ∙ 1 = 2
3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6
4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24
5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120
6! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720
7! = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 5040
8! = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 40320
9! = 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 362880
(𝑛+3)!
Ex.3: Simplificar a expressão (𝑛+1)!.
Resolução:
10! = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 3628800
(𝑛 + 3)! (𝑛 + 3)(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)!
=
=
(𝑛 + 1)!
(𝑛 + 1)!
= (𝑛 + 3)(𝑛 + 2) = 𝑛2 + 5𝑛 + 6
Observação:
Observe a situação abaixo
8! = 8 ∙ ⏟
7∙6∙5∙4∙3∙2∙1
𝑛!
Ex.4: Calcule 𝑛 tal que (𝑛−1)! = 4.
7!
8! = 8 ∙ 7!
Resolução:
𝑛!
𝑛 ∙ (𝑛 − 1)!
=4→
=4→𝑛=4
(𝑛 − 1)!
(𝑛 − 1)!
Isso vale para qualquer fatorial,
assim, 𝑛! = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1)!
Alguns cálculos envolvendo fatorial
exigem algumas técnicas de simplificação e
fatoração. Observe os exemplos a seguir
CÁSSIO VIDIGAL
8
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
𝑛!
c)
Ex.5: Calcule 𝑛 tal que (𝑛−2)! = 42.
𝑛!
𝑛 ∙ (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)!
= 42 →
= 42
(𝑛 − 2)!
(𝑛 − 2)!
10!∙4!
8!∙6!
𝑛 ∙ (𝑛 − 1) = 42 → 𝑛2 − 𝑛 − 42 = 0
𝑛!
d) (𝑛−2)!
resolvendo a equação do 2º grau,
encontramos 𝑛1 = 7 e 𝑛2 = −6. Como
fatorial só é definido para números naturais,
então 𝑛 = 7.
(𝑛−3)!
e) (𝑛−1)!
18) Resolver a equação:
(𝑛 + 1)!
= 20
(𝑛 − 1)!
17) Simplificar as frações:
10!
a) 9!
8!
b) 10!
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Pág. 152 – Exercícios 17 a 22
MATEMÁTICA III
9
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
a duas. Esses agrupamentos são
chamados de combinações porque a ordem
com que são misturadas as duas cores
primárias não altera a mistura:
AGRUPAMENTOS
O
Princípio
Fundamental
da
Contagem (PFC) é a principal técnica para
resolução de problemas de contagem,
muitas vezes porém, se utilizarmos apenas
o PFC a resolução desses problemas pode
se tornar trabalhosa.
VERMELHO + AZUL = AZUL + VERMELHO
Nas próximas sessões desta apostila
estudaremos estes tipos de agrupamentos
e peculiaridades em cada caso.
Em nosso cotidiano, formamos
agrupamentos em várias situações. Por
exemplo ao escolher colegas para um
trabalho escolar em grupo, formamos
agrupamentos de pessoas. Ao discutir
sobre os possíveis quatro primeiros
colocados do Campeonato Brasileiro de
Futebol,
formamos agrupamentos de
clubes de futebol etc.
ARRANJOS
Cinco amigos: André, Beto, Carlos, Daniel e
Edio disputam uma corrida.
Os dois
primeiros serão premiados. De quantas
formas diferentes podemos entregar estes
prêmios?
A análise combinatória identifica dois
tipos básicos de agrupamentos: os arranjos
e as combinações.
Resolução:
Os arranjos são agrupamentos em
que se considera a ordem dos
elementos; qualquer mudança da ordem
dos elementos altera o agrupamento. Por
exemplo, ao formar números naturais de
três algarismos distintos escolhidos dentre
os algarismos 2, 4, 6, 7 e 8, estaremos
arranjando esses cinco algarismos três a
três. Esses números são chamados de
arranjos de algarismos porque, mudando a
ordem dos algarismos em um desses
números, obtemos outro número, por
exemplo:
Na tabela abaixo, indicamos uma
representação de todas as possibilidades:
(André,
(André,
(André,
(André,
(Beto,
(Beto,
(Beto,
(Beto,
(Carlos,
(Carlos,
246 ≠ 462
(Carlos,
(Carlos,
(Daniel,
(Daniel,
(Daniel,
(Daniel,
(Edio,
(Edio,
(Edio,
(Edio,
Daniel)
Edio)
André)
Beto)
Carlos)
Edio)
André)
Beto)
Carlos)
Daniel)
Observe que cada possibilidade
representada na tabela corresponde a um
agrupamento ordenado que duas pessoas
escolhidas entre os cinco amigos.
Já
as
combinações
são
agrupamentos em que não se considera a
ordem
dos
elementos;
portanto,
mudanças na ordem dos elementos não
alteram o agrupamento. Um pintor ao
produzir uma mistura com duas cores
primárias distintas escolhidas entre
vermelho, azul e amarelo, estará
combinando essas três cores tomadas duas
CÁSSIO VIDIGAL
Beto)
Carlos)
Daniel)
Edio)
André)
Carlos)
Daniel)
Edio)
André)
Beto)
Note, por exemplo,
que o par
ordenado (André, Beto) é diferente do par
ordenado (Beto, André) pois na primeira
situação André é vencedor e Beto vice
10
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
enquanto na segunda situação Beto é o
vencedor e André fica em segundo lugar.
pois já fizemos a escolha anterior e não
há repetição de elementos.

Dizemos que cada resultado da
corrida corresponde a um arranjo de 5
elementos (amigos) tomados dois a dois
(isto é, escolhidos dois entre os cinco para
formar o agrupamento ordenado).
feitas as duas primeiras escolhas, há
𝑛 – 2 maneiras diferentes de escolher o
terceiro elemento da sequência, pois
não pode haver repetição.
⋮
Vamos, por meio do PFC, contar o
número total de arranjos possíveis e
indicaremos por A5,2 (Lemos: arranjo de 5
elementos tomados dois a dois)

1) Para ocupar a primeira posição há cinco
possibilidades; e
2) definido o primeiro lugar, sobram 4 opções para
preencherem a segunda posição.
para escolher o p-ésimo elemento, a
partir de 𝑝 – 1 escolhas anteriores ,
sobram 𝑛 – (𝑝 – 1) opções1.
Assim, pelo PFC, a quantidade de
arranjos possíveis (indicadas por An,p) é:
𝐴𝑛,𝑝 = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2) ∙ ⋯ ∙ (𝑛 − 𝑝 + 1)
Assim:
1ª posição
5
2ª posição
x
4
=
20
Para
obter
uma
expressão
equivalente a esta acima usando o fatorial,
vamos multiplica-la e dividi-la por um
mesmo número (𝑛 − 𝑝)!
Então,
𝐴5,2 = 5 ∙ 4 = 20
______________________
𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ ⋯ ∙ (𝑛 − 𝑝 + 1) ∙ (𝑛 − 𝑝)!
=
(𝑛 − 𝑝)!
𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ ⋯ ∙ (𝑛 − 𝑝 + 1) ∙ (𝑛 − 𝑝) ∙ (𝑛 − 𝑝 − 1) ∙ ⋯ ∙ 1
=
(𝑛 − 𝑝)!
𝐴𝑛,𝑝 =
Assim, definimos por arranjo de n
elementos tomados p a p como qualquer
agrupamento ordenado de p elementos
escolhidos entre os n existentes.
Assim:
Fórmula do Arranjo
𝑨𝒏,𝒑
Dados n elementos distintos, vamos
indicar por An,p o número de arranjos
desses elementos tomados p a p.
Vamos usar o PFC.

O primeiro elemento da sequência pode
ser escolhido de 𝑛 formas possíveis.

O segundo elemento da sequência pode
ser escolhido de 𝑛 – 1 maneiras distintas,
𝒏!
=
(𝒏 − 𝒑)!
Ex.1:
Aline,
Bárbara, Camila,
Daniela e Eduarda
praticam natação.
As cinco amigas resolvem disputar uma
corrida na piscina. De quantas formas
diferentes pode ser preenchido um pódio de
3 lugares?
1Como
𝑛 − (𝑝 − 1) = 𝑛 − 𝑝 + 1 então optaremos por
esta segunda notação.
MATEMÁTICA III
11
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
Resolução 1:
Aplicando o PFC, montamos o seguinte
esquema:
1ª pos.
5
2ª pos
x
Ex.3: Uma família é composta por seis
pessoas (pai, mãe e quatro filhos) que
nasceram em meses diferentes do ano.
Calcule as sequências dos possíveis meses
de nascimento dos membros dessa família.
3ª pos
4
x
3
=
60
Resolução: Sabemos que 1 ano é composto
de 12 meses, então devemos determinar o
número de sequência através do arranjo de
12, tomados 6 a 6.
Resolução 2:
Aplicando o conceito de Arranjo:
𝑛!
𝐴𝑛,𝑝 =
(𝑛 − 𝑝)!
5!
5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2!
𝐴5,3 =
=
= 60
(5 − 3)!
2!
𝐴12,6 =
12!
= 665.280
(12 − 6)!
Logo são 60 possibilidades diferentes de
se compor o pódio.
19) Para ocupar os cargos de Presidente e
vice-presidente do Grêmio de um colégio,
candidataram-se dez alunos. De quantos
modos distintos pode ser feita essa
escolha?
Ex.2: De quantas formas diferentes é
possível organizar 6 passageiros num
ônibus de 48 lugares?
Resolução:
𝐴48,6 =
Resposta:
48!
48!
=
(48 − 6)! 42!
48!
42!
(ou, efetuando a operação, 8.835.488.640 de formas diferentes.)
Ex.3: Em uma urna de sorteio de prêmios
existem dez bolas enumeradas de 0 a 9.
Determine o número de possibilidades
existentes num sorteio cujo prêmio é
formado por uma sequência de 6
algarismos.
Resolução 1:
𝐴10,6 =
10!
10!
=
= 151.200
(10 − 6)!
4!
Resolução 2:
10
x
9
x
Logo, são
diferentes.
CÁSSIO VIDIGAL
8
x
151
7
x
200
6
x
5
=
151200
possibilidades
12
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
20) A senha de acesso a uma rede de
computadores é formada por uma
sequência de quatro letras distintas seguida
por dois algarismos distintos: (considere as
26 letras do alfabeto)
a) quantas são as possíveis senhas de
acesso?
22) Em uma pesquisa encomendada por
uma operadora turística com o objetivo de
descobrir os destinos nacionais mais
cobiçados pelos brasileiros, o entrevistado
deve escolher, em ordem de preferência,
três destinos entre os dez apresentados
pelo entrevistador. Um dos destinos
apresentados é a cidade de Ouro Preto.
a) quantas respostas diferentes podem ser
obtidas?
b)
quantas
senhas
apresentam
simultaneamente apenas consoantes e
algarismos maiores que 5?
b) Quantas respostas possíveis apresentam
a cidade de Ouro Preto como a preferida?
21) Calcule
a) A7,3
c) Quantas respostas possíveis não contém
Ouro Preto entre os destinos mencionados?
b) A11,2
c) A5,1
d) A5,5
MATEMÁTICA III
13
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
23) Responda
a) Quantos números de três algarismos
distintos podem ser formados dispondo-se
dos algarismos de 1 a 9?
24) Para eleição do corpo dirigente de uma
empresa,
oito pessoas são préselecionadas.
de quantas maneiras
distintas poderão ser escolhidos presidente,
vice-presidente e diretor financeiro?
b) Quantos números de 3 algarismos
podem ser Dispondo-se dos algarismos de
1 a 9?
25) A primeira fase de um torneio de futebol
é disputada por 15 equipes no sistema de
turno e returno ( a equipe A, por exemplo,
joga com a equipe B duas vezes: uma em
seu campo e outra do campo adversário)
quantas partidas são disputadas ao todo?
c) Quantos números de 3 algarismos
podem ser formados dispondo-se dos
algarismos de 1 a 9 em que há a repetição
de ao menos um algarismo?
CÁSSIO VIDIGAL
14
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
26) Resolva a equação An,2 = 110
b) Em quantos resultados só aparecem
atletas europeus nas três primeiras
posições?
c) Em quantos resultados o atleta brasileiro
recebe medalha?
27) Em
um
torneio
internacional de natação
participaram cinco atletas
europeus, dois americanos
e um brasileiro.
a) De quantos modos distintos poderão ser
distribuídas as medalhas de ouro, prata e
bronze?
d) Supondo que o atleta brasileiro não
recebeu medalha, determine o número de
resultados em que há mais atletas europeus
do que americanos no pódio.
MATEMÁTICA III
15
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
28) O logotipo de uma empresa é
representado pelos três círculos a seguir
29) Seis amigos
participam de uma
brincadeira
de
futebol que consiste
na
cobrança
de
pênaltis. Cada um
escolhe, de todas as
formas possíveis, um colega para bater o
pênalti e outro para tentar defendê-lo.
ainda não foram escolhidas as cores que
serão usadas para colorir cada círculo. o
departamento de marketing sugeriu o uso
de azul, laranja, verde, branco, Vermelho
ou gelo. sabendo que cada círculo será
pintado de uma cor diferente, determine:
a) o número de maneiras de colorir o
logotipo.
a) Quantas cobranças de pênalti são feitas
nessa brincadeira?
b) Quantas cobranças haveria se o grupo
resolvesse convidar um sétimo amigo para
que ele escolhesse, de todas as formas
possíveis, o cobrador e o defensor dos
pênaltis?
b) o número de maneiras de colorir o
logotipo incluindo obrigatoriamente a cor
laranja.
CÁSSIO VIDIGAL
16
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
PERMUTAÇÕES
Na
análise
combinatória,
as
permutações dos elementos de uma
sequência são um tipo particular de arranjo,
como mostra a situação abaixo.
Ex.1: Oito carros participam de uma corrida.
De quantas formas diferentes eles podem
chegar ao final?
Resolução:
Ao formar os números naturais de
três algarismos distintos com os algarismos
2, 5 e 8, estamos formando os arranjos
simples desses três algarismos tomados
três a três. Observe:
258
528
825
𝑃8 = 8! = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 40320
Ex.2: Dez CDs diferentes sendo
seis de música clássica e quatro de
música
popular
devem
ser
colocados lado a lado no porta
CDs.
De quantas formas diferentes estes
discos podem ser dispostos de modo que os de
música clássica fiquem juntos e os de música
popular também fiquem juntos?
285
582
852
Dois quaisquer desses arranjos se
diferenciam apenas pela ordem dos
elementos componentes, e não pela
natureza dos elementos, já que todos esses
arranjos possui os mesmos elementos: 2, 5
e 8. por isso dizemos que cada um desses
arranjos é uma permutação simples dos
algarismos 2, 5 e 8.
Resolução: Como os CDs de mesmo estilo
devem ficar juntos, temos duas opções:
Primeira Opção:
Música Clássica
M. Popular
Dados os elementos distintos do
conjunto K = {a1, a2, a3, ..., an},
chama-se permutação simples
dos n elementos de K todo arranjo
simples desses n elementos
tomados n a n.
↓
6
↓
4
↓
3
↓
2
↓
1
↓
4
↓
3
↓
2
↓
1
Pelo princípio multiplicativo:
6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6! ∙ 4!
(ou 𝑃6 ∙ 𝑃4 )
Segunda Opção
M. Popular
Música Clássica
Fórmula da Permutação
Conforme consta na definição do
quadro acima, a permutação de n
elementos de um conjunto é o arranjo dos n
elementos tomados n a n. Assim:
𝑃𝑛 = 𝐴𝑛,𝑛
↓
5
↓
4
↓
3
↓
2
↓
1
↓
6
↓
5
↓
4
↓
3
↓
2
↓
1
Pelo princípio multiplicativo:
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 4! ∙ 6!
3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6! ∙ 4!
(ou 𝑃4 ∙ 𝑃6 )
𝑛!
𝑛! 𝑛!
=
= = = 𝑛!
(𝑛 − 𝑛)! 0! 1
Assim:
Para sabermos o total de possibilidades,
somamos os resultados
6! ∙ 4! + 6! ∙ 4! = 17280 + 17280 = 34 560
𝑷𝒏 = 𝒏!
R: Os CDs podem ser guardados de 34 560
maneiras diferentes.
MATEMÁTICA III
17
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
Ex.2: Considerando a palavra NUMEROS:
c)
Para encontrar a quantidade de anagramas
começados pela letra N e terminados em S,
fixamos estas letras e fazemos as
permutações de todas as demais.
N
S
a) Quantos anagramas podemos formar?
b) Quantos anagramas começam por N?
c) Quantos anagramas começam por N e
terminam com S?
𝑃5 = 5! = 120
d) Quantos anagramas começam com uma
vogal?
R: 120 anagramas
e) Quantos anagramas terminam com uma
consoante?
d)
Neste caso, existem três possibilidades
para a primeira posição: E, O ou U. Para
cada vogal fixada na primeira posição,
sobram seis letras para permutar.
f) Quantos anagramas começam por uma
vogal e terminam com uma consoante?
g) Quantos anagramas apresentam as
letras N, U e M juntas e nesta ordem?
.
h) Quantos anagramas apresentam as
letras N, U e M juntas em qualquer ordem?
𝑃6
3
Resolução
3 ∙ 𝑃6 = 3 ∙ 720 = 2160
a)
Os anagramas da palavra NUMEROS são
a própria palavra ou qualquer outro
agrupamento que se obtém trocando a
ordem de suas letras como por exemplo:
ERMNUSO. Assim, o número de
anagramas da palavra NUMEROS é o
número total de permutações simples de
sete letras distintas, isto é:
𝑃7 = 7! = 5040
R: 5040 anagramas
R: 2160 anagramas
e)
Neste caso, existem quatro possibilidades
para a última posição: M. N. R ou S. Para
cada consoante fixada na última posição,
sobram seis letras para permutar.
.
b)
Para encontrar a quantidade de anagramas
começados pela letra N, fixamos esta letra
e fazemos as permutações de todas as
demais.
N
𝑃6
4
𝑃6 ∙ 4 = 720 ∙ 4 = 2880
R: 2160 anagramas
𝑃6 = 6! = 720
R: 720 anagramas
CÁSSIO VIDIGAL
18
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
f)
Agora, existem três possibilidades de
preenchimento da primeira posição, quatro
possibilidades para a última posição e
sobram cinco letras para as outras cinco
posições:
30) Determine o número de anagramas
formados a partir de:
a) LUA
.
3
𝑃5
4
b) GATO
3 ∙ 𝑃5 ∙ 4 = 3 ∙ 120 ∙ 4 = 1440
R: 1440 anagramas
c) ESCOLA
g)
Já que as letras N, U e M devem aparecer
juntas e nesta ordem, vamos “transformálas” num único bloco.
NUM E R O S
d) REPÚBLICA
Assim, podemos responder a questão
encontrando a quantidade de permutações
de 5 elementos: NUM, E, R, O e S.
𝑃5 = 5! = 120
R: 120 anagramas
e) FESTA
h)
Tomando como base o item anterior,
devemos considerar que para cada uma
das 120 permutação em que as letras N, U
e M aparecem juntas, existem 𝑃3 diferentes
então fazemos:
𝑃5 ∙ 𝑃3 = 120 ∙ 6 = 720
f) PERNAMBUCO
R: 120 anagramas
MATEMÁTICA III
19
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
31) Um dado foi lançado quatro vezes
sucessivamente e as Faces obtidas foram
2, 3, 5 e 6, não necessariamente nesta
ordem. De quantas formas distintas pode
ter ocorrido a sequência de resultados?
33) Considere os anagramas formados a
partir da palavra CONQUISTA:
a) Quantos são?
b) Quantos começam por vogal?
c) Quantos começam e terminam por
consoante?
32) Calcule:
a) 𝑃5
b) 𝑃7
d) Quantos tem as letras CON juntas e
nessa ordem?
c) 𝑃3 + 𝑃2
e) Quantos apresentam a letra C antes da
letra A?
d)
𝑃8
𝑃10
CÁSSIO VIDIGAL
20
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
34) Uma vez por ano, Dona Fátima, que
mora no Recife, visita parentes em Caruaru,
João Pessoa, Petrolina, Maceió e
Garanhuns.
a) De quantas formas distintas ela pode
escolher a sequência de cidades a visitar?
36) De quantos modos distintos seis
homens e seis mulheres podem ser
colocados em fila indiana:
a) em qualquer ordem?
b) iniciando com homem e terminando com
mulher?
b) De quantos modos diferentes a ordem
das cidades pode ser definida se Dona
Fátima pretende encerrar as visitas em
Petrolina?
c) se os homens devem aparecer juntos e o
mesmo ocorrendo com as mulheres?
35) Uma estante tem dez livros distintos
sendo cinco de álgebra, três de geometria e
dois de trigonometria. De quantos modos
podemos arrumar esses livros na estante se
desejamos que os livros de mesmo assunto
permaneçam juntos?
MATEMÁTICA III
d) de modo que apareçam, do início para o
final da fila, dois homens, duas mulheres,
três homens, três mulheres, um homem e
uma mulher?
21
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
37) Em quantos anagramas da palavra
QUEIJO as vogais não aparecem juntas?
40) Permutando se as letras T, R, A, P, O
e S, são formados 720 anagramas. Esses
anagramas são colocados em ordem
alfabética. Qual a posição correspondente
a PRATOS.
38) Dona Lola tem três filhos: Pedro, Paulo
e Pérsio. Os três casaram-se e tem,
respectivamente, 1, 3 e 2 filhos. um
domingo e dona Lolla recebeu para o
almoço seus três filhos acompanhados das
respectivas esposas além de todos os
netos. Como recordação ela fotografou
todos os familiares, lado a lado, mas pediu
que cada filho aparecesse Junto de sua
família. De quantas formas distintas a foto
poderia ter sido feita?
41) Considerando os anagramas da palavra
BRASIL, responda:
a) quantos começam por B?
b) quantos começam por B e terminam por
L?
39) Resolva as seguintes equações
a) 𝑃𝑛 = 24
c) quantos começam por B ou terminam por
L?
b)
𝑃𝑛
𝑃(𝑛−2)
= 506
d) quantos começam por K?
CÁSSIO VIDIGAL
22
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
42) Formados e dispostos em ordem
crescente todos os números que se obtém
permutando se os algarismos 1, 2, 4, 6 e 8,
qual a posição ocupada pelo número 68
412?
PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS
REPETIDOS
Em vários cálculos combinatórios,
temos que calcular o número de
permutações de n elementos, nem todos
distintos.
Consideremos n o número de
elementos entre os quais o elemento a1
aparece n1 vezes, o elemento a2 aparece n2
vezes ... o elemento ak aparece nk vezes:
𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
⏞
𝑎1 , 𝑎1 , . . . , 𝑎1 ⏟
𝑎2 , 𝑎2 , . . . , 𝑎2 , . . . , ⏟
𝑎𝑘 , 𝑎𝑘 , . . . , 𝑎𝑘
⏟
𝑛1 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑎 𝑎1
𝑛2 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑎 𝑎2
𝑛𝑘 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑎 𝑎𝑘
Sendo a1, a2, ... , ak distintos entre si
e n1 + n2 + ... nk = n.
O número de permutações desses n
elementos será dada por:
𝑛!
(𝑛1 ,𝑛2 ,…,𝑛𝑘)
𝑃𝑛
=
𝑛1 ! ∙ 𝑛2 ! ∙ … ∙ 𝑛𝑘 !
Para entender esse tipo de cálculo,
convém analisar os exemplos a seguir.
Ex.1: Quantos são os anagramas da
palavra CASA?
Resolução
Já estudamos que, se a palavra em
questão fosse formada por letras distintas,
faríamos 4! = 24 permutações. Para
encontrar a quantidade correta de
anagramas distintos da palavra CASA,
vamos, em princípio, considerar as letras A
como distintas utilizando cores para
diferenciá-las
CASA
ACSA
SCAA
ACAS
CAAS
ACAS
SCAA
ACSA
CSAA
ASCA
SACA
AACS
CSAA
ASAC
SAAC
AASC
CAAS
AACS
SACA
ASCA
CASA
AASC
SAAC
ASAC
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Pág. 166 – Exercícios 8 a 12
MATEMÁTICA III
23
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
Agora, vamos agrupar os anagramas
iguais desconsiderando a diferenciação de
cores:
CASA
CASA
SCAA
SCAA
CAAS
CAAS
SACA
SACA
CSAA
CSAA
SAAC
SAAC
ASAC
ASAC
AACS
AACS
ASCA
ASCA
AASC
AASC
ACAS
ACAS
ACSA
ACSA
Ex.3: Quantos são os anagramas da
palavra ITATIAIA?
Total de letras: 8
Repetições: I → 3 vezes
T → 2 vezes
A → 3 vezes
ITATIAIA
8!
8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3!
=
= ⋯ = 560
3! ∙ 2! ∙ 3! 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 3!
É possível observar que, para cada
anagrama que apresenta o A antes do A,
existe um correspondente com essas letras
em posição (de cores) inversa.
Assim, concluímos que a palavra ITATIAIA
tem 560 anagramas.
Ex.4: Quantos são os anagramas da
palavra PANTANAL?
Neste caso, para encontrar a
quantidade de anagramas da palavra
CASA, devemos calcular todos os
anagramas considerando as todas as letras
como distintas e, em seguida, “eliminar” as
repetições. Para tal, dividimos a quantidade
de permutações considerando todas as
letras distintas pelas permutações das
letras que se repetem, ou, em linguagem
matemática:
Total de letras: 8
Repetições: A→ 3 vezes
N → 2 vezes
PANTANAL
8!
8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3!
=
= ⋯ = 3360
3! ∙ 2!
3! ∙ 2 ∙ 1
CASA
4! 4 ∙ 3 ∙ 2!
=
= 12
2!
2!
Assim, concluímos que a palavra
PANTANAL tem 3360 anagramas.
Assim, concluímos que a palavra CASA tem
12 anagramas.
Ex.5: De quantas formas diferentes
podemos permutar os elementos de um
conjunto formado por 3 letras A e 10 letras
B {A, A, A, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B}?
Ex.2: Quantos são os anagramas da
palavra PALAVRA?
Total de letras: 7
Repetições: A → 3 vezes
Total de letras: 13
Repetições: A→ 3 vezes
B → 10 vezes
PALAVRA
7! 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3!
=
= 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 840
3!
3!
13!
13 ∙ 12 ∙ 11 ∙ 10!
=
= ⋯ = 286
3! ∙ 10!
3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 10!
Assim, concluímos que a palavra PALAVRA
tem 840 anagramas.
CÁSSIO VIDIGAL
24
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Ex.6: A figura abaixo representa quarteirões
de uma cidade (as partes em cinza são as
ruas) e dois pontos: A e B.
43) Quantos são os anagramas da palavra
MATEMATICA?
Andando sempre para norte ou para leste,
de quantas formas diferentes é possível
seguir saindo de A até chegar em B?
44) Em uma prova composta de 20
questões envolvendo V ou F, de quantas
maneiras distintas teremos doze respostas
V e oito respostas F?
Resolução:
Para se deslocar de A para B, deve-se
seguir 3 quarteirões para Norte e 5 para
Leste. As figuras abaixo mostram dois
possíveis caminhos:
Indicando por L os deslocamentos a Leste
e por N os deslocamentos ao Norte, o nosso
trabalho será permutar os elementos do
conjunto {L, L, L, L, L, N, N, N}:
45) Quantos números de 6 algarismos
podemos escrever utilizando os algarismos
2, 2, 3, 3, 3 e 4?
Total de elementos: 8
Repetições: L→ 5 vezes
N → 3 vezes
8!
8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5!
=
= ⋯ = 56
3! ∙ 5! 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 5!
Logo,
Existem
56
maneiras
diferentes de ir de A até B nesta situação.
MATEMÁTICA III
25
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
46) Dos números distintos que são
formados com todos os algarismos do
número 333669, quantos desses são
ímpares?
48) Pedro tem 9 bolinhas de gude, todas
iguais, e deseja acondicioná-las em 4
gavetas numeradas de 1 a 4. Sabendo que
as gavetas podem conter até nove bolinhas
de gude cada uma, de quantas formas
diferentes Pedro pode guardar as 9
bolinhas de gude nas quatro gavetas?
47) Quantas são as soluções da equação:
x + y + z = 15,
formadas, exclusivamente, por números
naturais:
49) Vô Pedro tem 10 moedas de R$1,00 e
quer distribuí-las entre seus 4 netos. De
quantas maneiras diferentes ele pode fazer
essa divisão?
CÁSSIO VIDIGAL
26
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
50) Um casal de 5 filhos sendo 3 meninas e
2 meninos. De quantas formas diferentes
pode ter ocorrido a ordem de nascimentos
das crianças?
52) Com duas letras iguais a A e n letras
iguais a B, podem ser formados 21
anagramas. Qual o valor de n?
53) Sobre a malha
ao
lado
estão
marcados
os
pontos A e B. De
quantas
formas
diferentes
você
pode fazer uma linha contínua ligando o
ponto
A
ao
ponto
B
seguindo
exclusivamente sobre as linhas da malha
para a esquerda e para baixo?
51) Sobre a palavra PIRATARIA:
a) Quantos são os seus anagramas?
b) Quantos deles começam por A?
54) Em um plano cartesiano são marcados
dois pontos: A(37, -11) e B(46, -16). De
quantas formas diferentes você pode fazer
uma linha contínua com traços horizontais
para a direita e verticais para baixo, sobre a
malha de unidades, de forma a ligar os dois
pontos?
c) Quantos começam por vogal?
MATEMÁTICA III
27
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
55) Seguindo apenas para cima e para a
direita, de quantas formas diferentes é
possível ir de A até C passando por B?
COMBINAÇÕES
Em todos os casos estudados até
agora, a ordem dos elementos era relevante
para diferenciar dois agrupamentos, porém
existem situações em que a ordem com que
os elementos são tomados, não diferencia
dois agrupamentos. Para exemplificar,
tomemos dois casos: Numa primeira
situação, se tivermos que eleger dentre os
alunos da sua sala dois colegas para serem
representante e vice representante da
turma junto à pedagogia, a ordem de
escolha seria relevante. Porém, se tivermos
que escolher agora, dois colegas para irem
à pedagogia com a finalidade de tratar de
um assunto de interesse da turma, neste
caso não faria diferença a ordem com que
os colegas fossem escolhidos. Situações
como esta, em que a ordem de escolha não
diferencia
dois
agrupamentos,
são
chamadas de combinação.
Ex.: Todos os dias, chegar do treino, Vítor
faz uma vitamina de três frutas dentre seis
disponíveis (Abacate, Banana, Maçã,
Mamão, Morango e Amora). Quantos tipos
diferentes de vitamina ele pode fazer?
56) No mesmo esquema acima, de quantas
formas é possível ir de A até C sem passar
por B?
Resolução:
Sabemos que a ordem com que ele escolhe
as frutas não vai diferenciar o resultado final
da vitamina então calcularemos a
quantidade de formas diferentes de
selecionar as 3 frutas dentre as 6
disponíveis e, em seguida, eliminaremos as
repetições.
Para calcular a quantidade de formas
diferentes de selecionar as 3 frutas dentre
as 6 disponíveis, faremos 𝐴6,3 :
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Pág. 169 – Exercícios 13 a 16
CÁSSIO VIDIGAL
𝐴6,3 =
28
6! 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3!
=
= 120
3!
3!
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Uma das 120 formas de escolher essas três
frutas é, por exemplo, Abacate, Mamão e
Morango mas já sabemos que se forem
escolhidas nesta ordem ou em outra, o
resultado da vitamina será o mesmo. Então
vamos contar todas as permutações
possíveis em grupos de três frutas e
eliminar essas repetições.
Ex.1: Dentre os 26 alunos de uma turma,
pretende-se formar uma comissão de 3
estudantes para representar a turma numa
reunião junto ao setor pedagógico da
escola. De quantas formas esta comissão
pode ser formada?
Resolução:
Já vimos que para calcular a quantidade de
permutações entre as três frutas, devemos
fazer 𝑃3 e:
𝑃3 = 3! = 6
Cn,p =
Agora, dividindo 120 (𝐴6,3 ) por 6 (𝑃3 )
encontramos a quantidade procurada:
𝐶6,3 =
C26,3 =
𝐴6,3 120
=
= 20
𝑃3
6
=
n!
(n − p)! p!
26!
26 ∙ 25 ∙ 24 ∙ 23!
=
=
(26 − 3)! 3!
23! ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
26 ∙ 25 ∙ 24
= 26 ∙ 25 ∙ 4 = 2600
3∙2
Assim, Vitor pode fazer 20 tipos de
vitaminas diferentes.
R: A comissão ode ser formada de 2600
manieras diferentes.
Fórmula da Combinação
Ex.2: Em uma academia trabalham 7
professores de musculação e 10 de
ginástica aeróbica. Quantas equipes de 2
professores de musculação e 2 de ginástica
aeróbica podem ser formadas?
Como acabamos de ver no exemplo
acima, para calcular a quantidade de
combinações de n elementos tomados p a
p, fazemos
An,p
n!
1
n!
Cn,p =
=
∙ =
Pp
(n − p)! p! (n − p)! p!
Resolução:
Primeira vamos escolher os professores de
musculação:
7!
7 ∙ 6 ∙ 5!
C7,2 =
=
= 21
(7 − 2)! 2! 5! ∙ 2 ∙ 1
Essa é a “fórmula da combinação”
𝑪𝒏,𝒑
𝒏!
=
(𝒏 − 𝒑)! 𝒑!
Agora vamos escolher os professores de
ginástica aeróbica:
10!
10 ∙ 9 ∙ 8!
C7,2 =
=
= 45
(10 − 2)! 2!
8! ∙ 2 ∙ 1
(Lemos: Combinação de n elementos tomados p a
p é igual a n fatorial sobre n menos p fatorial vezes
p fatorial)
A cada uma das 21 equipes de professores
de musculação, podemos associar uma das
45 equipes de professores de Ginástica
Aeróbica. Então o resultado procurado é:
21 ∙ 45 = 945
Observação: É comum encontrarmos a
𝑛
representação (𝑝) para Cn,p .
R: 945 equipes
MATEMÁTICA III
29
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
Ex.3: Sobre uma circunferência marcam-se
oito pontos distintos. Quantos triângulos
podem ser construídos com vértices em três
desses pontos?
Resolução:
Observe a figura ao
lado. Nela estão
destacados
oitos
pontos
e
um
triângulo. Podemos
notar que a ordem
com que os pontos
tomados,
desde
que tomemos os mesmos pontos, não
diferencia dois triângulos. Assim, para
encontrar a quantidade de triângulos
possíveis de serem formados, devemos
fazer 𝐶8,3.
8!
8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5!
𝐶8,3 =
=
= 56
(8 − 3)! 3! 5! ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
57) De quantos modos distintos Eduardo
pode escolher quatro entre as nove
camisetas regata que possui para levar em
uma viagem?
58) Um curso de idiomas oferece turmas
para iniciantes em inglês, espanhol,
alemão, italiano e japonês.
a) De quantas formas distintas um
estudante pode matricular-se em três
desses cursos?
R: Podemos formar 56 triângulos diferentes.
Ex.4: Uma locadora de automóveis têm à
disposição de seus clientes uma frota de 16
carros
nacionais
e
quatro
carros
importados, todos distintos. De quantas
formas uma empresa poderá alugar três
carros de modo que pelo menos um carro
nacional seja escolhido?
b) De quantas formas distintas ele poderá
matricular-se em três desses cursos,
incluindo Obrigatoriamente o de inglês?
Resolução:
A forma de a empresa alugar 3 carros
quaisquer é 𝐶20,3
20!
𝐶20,3 =
= 1140
17! ∙ 3!
A forma de a empresa alugar apenas carros
importados 𝐶4,3
4!
𝐶4,3 =
=4
1! ∙ 3!
Assim, fazendo 1140 − 4 temos a
quantidade de formas de alugar ao menos
um carro nacional.
R: São 1136 formas de alugar ao menos um
carro nacional.
CÁSSIO VIDIGAL
30
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
59) Calcule
a) 𝐶11,3
60) Sobre uma circunferência marcam-se
dez pontos.
a) Qual o número de segmentos de reta que
podemos traçar com extremidades em dois
desses pontos?
b) 𝐶9,6
b) Quantos triângulos podemos construir
com vértices em três desses pontos?
c) 𝐶6,3
d) 𝐶17,7 − 𝐶17,10
61) Uma junta médica deverá ser formada
por Quatro médicos e dois enfermeiros. de
quantas maneiras ela poderá ser formada
se estão disponíveis 10 médicos e 6
enfermeiros?
e) 𝐶5,3 + 𝐶5,4 + 𝐶5,3
MATEMÁTICA III
31
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
Para as questões 62, 63 e 64, considere um
baralho comum que possui 52 cartas sendo
13 de cada naipe (ouros, paus, espadas e
copas) e cada naipe contendo 13 cartas (ás,
2, 3, …, 10, Valete, Dama e Rei)
b) Duas cartas de copas.
62) Sorteando se simultaneamente quatro
cartas, determine:
a) o número de maneiras distintas de
ocorrer o resultado do sorteio.
c) Uma carta de copas e outra de ouros.
b) De quantas formas distintas é possível
escolher as quatro cartas de copas.
64) De quantas maneiras distintas poderão
ser sorteadas simultaneamente cinco cartas
de um baralho de modo que o resultado do
sorteio contenha:
a) três cartas de paus e duas de espadas?
b) o rei de ouros?
63) Duas cartas são sorteadas de uma só
vez de um baralho comum. Determine o
número de maneiras possíveis de ocorrer
um resultado formado por:
a) um rei e uma dama.
c) exatamente dois valetes?
CÁSSIO VIDIGAL
32
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
65) Para montar uma cesta de café da
manhã estão disponíveis os seguintes itens:
quatro tipos de pães, três tipos de queijo,
três tipos de frutas, cinco sabores de geleia
e quatro sabores de tortas doces. De
quantos modos distintos a cesta poderá ser
montada se um cliente pedir 2 tipos de
pães, 1 tipo de queijo, 2 frutas, 2 sabores
de geleia é 1 torta doce?
67) Marcam-se cinco pontos distintos sobre
uma reta r. Sobre outra reta s, paralela a r,
marcam-se mais quatro pontos distintos.
Quantos triângulos podem ser formados
com vértices em três quaisquer desses
pontos?
66) Resolva as seguintes equações:
a) 𝐶𝑛,2 = 136
68) O vencedor de um concurso de redação
de um colégio poderá, como prêmio,
escolher cinco livros, entre 10 de Machado
de Assis, 7 de Érico Veríssimo e 5 de
Clarice Lispector. De quantos modos
distintos o vencedor poderá fazer a escolha
de modo que:
a) sejam selecionados 2 de Machado de
Assis, 2 de Érico Veríssimo e 1 de Clarice
Lispector?
b) 𝐶𝑛,2 + 𝐶𝑛+1,𝑛−1 = 25
b) nenhum livro escolhido seja de Machado
de Assis?
MATEMÁTICA III
33
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
c) pelo menos quatro livros de Clarice
Lispector sejam escolhidos?
b) Se o casal pretende se conhecer
obrigatoriamente Salvador, de quantos
modos distintos poderia ser feita a escolha?
c) Se, por motivos logísticos, Fortaleza só
pudesse ser visitada se São Luís também o
fosse e vice-versa, determine de quantas
maneiras a escolha poderá ser feita?
69) Em uma reunião havia 50 pessoas.
Cada uma cumprimentou as outras com um
aperto de mão. Quantas saudações foram
dadas nessa reunião?
70) Um casal decidiu que a viagem de lua
de mel seria feita pelo nordeste visitando
exatamente 3 das nove capitais.
a) De quantos modos distintos poderiam ser
escolhidas as três capitais sem levar em
consideração a ordem da visita?
CÁSSIO VIDIGAL
34
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
72) Um Jornalista foi designado para cobrir
uma reunião de ministros de estado. Ao
chegar ao local da reunião, descobriu que
havia terminado. Ao perguntar ao porteiro
o número de ministros presentes, ele disse:
“Ao saírem, todos os ministros se
cumprimentaram mutuamente, no total de
15 apertos de mão”. Com base nessa
informação, qual foi o número de ministros
presentes ao encontro?
74) Ainda segundo site da CEF, “A aposta
mínima, de 6 números, custa R$ 3,50.
Quanto mais números marcar, maior o
preço da aposta e maiores as chances de
faturar o prêmio mais cobiçado do país”
(http://www.loterias.caixa.gov.br/wps/portal/loterias/landin
g/megasena acesso em: 23/05/16). Quanto uma
pessoa gastaria para apostar em todas as
combinações possíveis? Pesquise sobre o
maior prêmio histórico pago pela Megasena e compare a resposta desta questão.
75) Como visto no texto, “[...] você deve
marcar de 6 a 15 números do volante de
apostas.” Marcando-se 6 números, você
concorre com uma única combinação de 6
prognósticos (isso é óbvio, não?). Com
quantas combinações de 6 prognósticos
você concorrer se marcar:
a) 7 números? R: _______
b) 8 números? R: _______
c) 9 números? R: _______
d) 10 números? R: _______
e) 11 números? R: _______
f) 12 números? R: _______
g) 13 números? R: _______
h) 14 números? R: _______
i) 15 números? R: _______
73) Segundo consta no site da CEF, “A
Mega-Sena paga milhões para o acertador
dos 6 números sorteados. Ainda é possível
ganhar prêmios ao acertar 4 ou 5 números
dentre os 60 disponíveis no volante de
apostas. Para realizar o sonho de ser o
próximo milionário, você deve marcar de 6
a 15 números do volante, podendo deixar
que o sistema escolha os números para
você (Surpresinha) e/ou concorrer com a
mesma aposta por 2, 4 ou 8 concursos
consecutivos (Teimosinha)” (http://www.loterias.
caixa.gov.br/wps/portal/loterias/landing/megasena acesso
em: 23/05/16).
O volante da Mega-sena é composto de 60
números sendo que destes, 6 são
sorteados. Quantas são as combinações
possíveis de números?
MATEMÁTICA III
35
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
BINÔMIO DE NEWTON
Veja os exemplos abaixo:
Você se lembra, lá do Ensino
fundamental, de como se desenvolve
(𝑎 + 𝑏)2 ?
6!
6∙5∙4!
6
Ex.1: ( ) = 𝐶6,4 = (6−4)!∙4! = 2∙1∙4! = 15
4
Em binômio de Newton, estudamos o
desenvolvimento desta potência e de todas
as outras do tipo (𝑎 + 𝑏)𝑛 para valores de
𝑛 ∈ ℕ.
10!
10∙9∙8∙7!
10
Ex.2: ( ) = 𝐶10,7 = 3!∙7! = 3∙2∙1∙7! = 120
7
_______________________
Veja os exemplos:
Casos particulares
0
(𝑎 + 𝑏) = 1
(𝑎 + 𝑏)1 = 𝑎 + 𝑏
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3
(𝑎 + 𝑏)4 = 𝑎4 + 4𝑎3 𝑏 + 6𝑎2 𝑏 2 + 4𝑎𝑏 3 + 𝑏 4
⋮
1º Caso: 𝑝 = 0
𝑛
( )=1
0
∀𝑛 ∈ ℕ
2º Caso: 𝑝 = 1
É possível notar que à medida que o
expoente aumenta, o desenvolvimento de
(𝑎 + 𝑏)𝑛 torna-se mais complexo e as
contas ficam mais trabalhosas. No entanto,
por meio de técnicas de contagem e
aplicações de propriedades dos binômios, é
possível obter o desenvolvimento de
(𝑎 + 𝑏)𝑛 de forma rápida e eficiente.
𝑛
( )=𝑛
0
∀𝑛 ∈ ℕ
3º Caso: 𝑝 = 𝑛
𝑛
( )=1
𝑛
∀𝑛 ∈ ℕ
Coeficientes Binomiais
Os coeficientes binomiais tem
aplicação no estudo do desenvolvimento de
(𝑎 + 𝑏)𝑛 como veremos mais a frente.
Dados dois números 𝑛 e 𝑝, com
𝑛 ≥ 𝑝, definimos como coeficiente
𝑛
binomial de n sobre p, e indicamos por (𝑝)
o número:
Binomiais complementares
Dizemos que dois coeficientes binomiais de
mesmo numerador são complementares
quando a soma de seus denominadores é
igual ao numerador, isto é:
𝑛
𝑛
(𝑝) e (𝑞 ) são complementares
se 𝑝 + 𝑞 = 𝑛
𝒏!
𝒏
(𝒑) = 𝑪𝒏,𝒑 =
(𝒏 − 𝒑)! 𝒑!
O número 𝑛 é dito numerador e o
número 𝑝 é chamado de denominador de
𝑛
(𝑝).
CÁSSIO VIDIGAL
36
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
76) Calcule:
4
a) ( )
2
8
8
( ) e ( ) são complementares
6
2
9
9
( ) 𝑒 ( ) são complementares
5
4
6
6
( ) 𝑒 ( ) são complementares
3
3
Propriedade dos binomiais
complementares
9
b) ( )
6
Dois binomiais complementares são
iguais
𝑛
𝑛
Para 𝑝 + 𝑞 = 𝑛 tem-se (𝑝) = (𝑞 )
2
3
c) ( ) + ( )
0
3
É possível demonstrar a assertiva
acima, observe:
Se 𝑝 + 𝑞 = 𝑛 então 𝑝 = 𝑛 − 𝑞
Assim:
𝑛!
𝑛
𝑛
(𝑝) = (𝑛 − 𝑞 ) =
=
[𝑛 − (𝑛 − 𝑞)]! ∙ (𝑛 − 𝑞)!
=
d)
6
8
( )+( )
3
4
5
( )
2
𝑛!
𝑛!
𝑛
=
= (𝑞 )
(𝑛 − 𝑛 + 𝑞)! ∙ (𝑛 − 𝑞)! 𝑞! ∙ (𝑛 − 𝑞)!
Daí, podemos concluir que:
𝑛
𝑛
(𝑝) = (𝑞 ) ⇔ (𝑝 = 𝑞 𝑜𝑢 𝑝 + 𝑞 = 𝑛)
Sendo 𝑝, 𝑛 e 𝑞 números naturais e 𝑛 ≥ 𝑝 e
𝑛 ≥ 𝑞.
𝑝
𝑝
𝑝
e) ( ) + ( ) + (𝑝) sendo 𝑝 ∈ ℕ e 𝑝 ≥ 1
0
1
7
7
Ex.1: Determine x de modo que ( ) = ( ).
𝑥
4
Resolução: Pela propriedade acima,
𝑥 = 4 ou 𝑥 + 4 = 7 → 𝑥 = 3
R: S = {3, 4 }
MATEMÁTICA III
37
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
Triangulo de Pascal2
77) Resolva as seguintes equações:
13
13
a) ( ) = ( )
𝑥
8
Os coeficientes binomiais podem ser
dispostos em uma tabela chamada de
Triângulo de Pascal. Nela, os coeficientes
de mesmo numerador agrupam-se em uma
mesma linha e os coeficientes de mesmo
denominador, agrupam-se em uma mesma
coluna.
L0
L1
21
21
b) (
)=(
)
𝑥+5
−2𝑥 + 17
L2
L3
L4
Lk
0
( )
0
1
( )
0
2
( )
0
3
( )
0
4
( )
0
⋮
𝑘
( )
0
1
( )
1
2
( )
1
3
( )
1
4
( )
1
⋮
𝑘
( )
1
2
( )
2
3
( )
2
4
( )
2
⋮
𝑘
( )
2
3
( )
3
4
( )
3
⋮
𝑘
( )
3
4
( )
4
⋮
⋱
𝑘
𝑘
( ) ⋯ ( )
4
𝑘
Notemos que L0 significa “linha do
numerador 0, L1 é a linha do numerador 1 e
assim até linha k que é a linha de
numerador k.
Calculando
os
valores
dos
coeficientes (pela fórmula da página 36
desta
apostila),
obtemos
outra
representação do triângulo:
11
11
c) ( 2 ) = (
)
2𝑥 + 3
𝑥
1
1
1
1
1
1
⋮
1
2
3
4
5
⋮
1
3
6
10
⋮
1
4
10
⋮
1
5
⋮
1
⋮
⋱
Propriedades do Triângulo de Pascal
P1: Toda linha começa e termina com 1
𝑘
𝑘
De fato, ( ) = 1 e ( ) = 1
0
𝑘
2
Também conhecido como Triângulo de Tartaglia
CÁSSIO VIDIGAL
38
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
P2: Em uma mesma linha, os coeficientes
binomiais equidistantes dos extremos são
iguais.
Por exemplo:
Linha do 5
5
5
( ) ( )
0
1
∥
∥
1
5
5
( )
2
∥
10
5
( )
3
∥
10
5
( )
4
∥
5
5
( )
5
∥
1
Linha do 6
6
6
( ) ( )
0
1
∥
∥
1
6
6
( )
3
∥
20
6
( )
4
∥
15
6
( )
5
∥
6
6
( )
6
∥
1
6
( )
2
∥
15
Esta propriedade é conhecida como
Relação de Stifel e pode ser generalizada
como:
𝑛
𝑛−1
𝑛−1
(𝑝 ) = (
)+(
), 𝑛 ≥ 𝑝
𝑝
𝑝−1
Observe que o primeiro membro da
igualdade apresenta um elemento genérico
(da linha 𝑛 e coluna 𝑝) do triângulo. Já no
segundo membro, representa a soma de
elementos da linha imediatamente acima
(linha 𝑛 − 1) e uma mesma coluna (𝑝) e a
coluna da esquerda (𝑝 − 1).
P4: A soma dos elementos da linha de
denominador k é igual a 2𝑘 .
1
1
1
1
1
1
1
⋮
Note que os binomiais indicados (e
também os extremos) são binomiais
complementares e, como vimos na página
37, são iguais.
P3: Cada elemento (com exceção daqueles
que estão na primeira e na última coluna de
cada linha) é igual à soma de dois
elementos da linha anterior, mais
especificamente, do termo imediatamente
acima e do termo a esquerda deste.
Observe na tabela:
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
5
10 10
1
6
15 20
⋮
⋮
⋮
⋮
1
5
15
⋮
1
6
⋮
1
⋮
1
3
6
10
15
⋮
1
4
10
20
⋮
1
5
15
⋮
1
6
⋮
1
⋮
Símbolo de Somatório – 
Um símbolo muito importante na
álgebra é o símbolo do somatório indicado
pela forma maiúscula da letra grega Sigma
–  . Este símbolo representa a soma de um
certo número de parcelas com alguma
característica em comum.
1
⋱
Ex.1: Vamos calcular
5
∑(𝑘 − 1)2
Note que: 1 + 1 = 2, 3 + 3 = 6 e 4 + 1 = 5.
𝑘=0
Verifique a propriedade em outros
conjuntos de coeficientes binomiais.
MATEMÁTICA III
1
2
3
4
5
6
⋮
Soma
1
2
4
8
16
32
64
⋱
⋮
(Lemos: Somatório de k menos 1 elevado
ao quadrado com k variando de 0 até 5)
39
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
Resolução:
3
b)
5
∑(𝑘 − 1)2
∑
𝑖=0
2
𝑖+1
𝑘=0
A expressão nos indica que devemos somar
sucessivas parcelas de termos do tipo
(𝑘 − 1)2 . Em cada parcela, o termo 𝑘 vai
variar de forma que na primeira parcela
teremos 𝑘 = 0, na segunda 𝑘 = 1 e assim
até chegarmos em 𝑘 = 5. Assim, podemos
escrever:
5
∑(𝑘 − 1)2 = (0 − 1)2 + (1 − 1)2 +
𝑘=0
+(2 − 1)2 + (3 − 1)2 + (4 − 1)2 + (5 − 1)2 =
5
2
2
2
2
2
2
= (−1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 =
= 1 + 0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 31
c)
∑ 𝑥!
𝑥=0
Então,
5
∑(𝑘 − 1)2 = 31
𝑘=0
Ex.2: Calcular
2
5
∑( )
𝑘
Resolução:
𝑘=0
4
d)
4
5
5
5
5
∑ ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = 10 + 10 + 5 = 25
𝑘
3
2
4
4
∑( )
𝑘
𝑘=0
𝑘=2
R: 25
78) Calcule as seguintes somas:
4
a) ∑(3𝑖 + 1)
𝑖=1
CÁSSIO VIDIGAL
40
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
79) Qual o valor do somatório abaixo?
Desenvolvimento do Binômio
10
1
1
∑( −
)
𝑛 𝑛+1
Observemos o desenvolvimento de
(𝑎 + 𝑏)𝑛 para alguns valores de 𝑛
apresentados na página 36.
𝑛=1
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
 São 3 termos
 Os expoentes de 𝑎 decrescem de 2
até 0
 Os expoentes de 𝑏 crescem de 0 até 2
 Os coeficientes (1, 2, 1) são a linha do
triângulo de Pascal relativa ao
numerador 2
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3
 São 4 termos
 Os expoentes de 𝑎 decrescem de 3
até 0
 Os expoentes de 𝑏 crescem de 0 até 3
 Os coeficientes (1, 3, 3, 1) são a linha
do Triângulo de Pascal relativa ao
numerador 3
80) Determine o valor de 𝑎 na expressão
4
∑(2𝑖 + 𝑎) = 60
(𝑎 + 𝑏)4 = 𝑎4 + 4𝑎3 𝑏 + 6𝑎2 𝑏 2 + 4𝑎𝑏 3 + 𝑏 4
 São 5 termos
 Os expoentes de 𝑎 decrescem de 4
até 0
 Os expoentes de 𝑏 crescem de 0 até 4
 Os coeficientes (1, 4, 6, 4, 1) são a
linha do Triângulo de Pascal relativa
ao numerador 4
𝑖=1
Generalizando, podemos afirmar sobre o
desenvolvimento de (𝑎 + 𝑏)𝑛 :
 São n+1 termos
 Os expoentes de 𝑎 decrescem de 𝑛
até 0
 Os expoentes de 𝑏 crescem de 0 até 𝑛
 Os coeficientes são a linha do
Triângulo de Pascal relativa ao
numerador 𝑛.
MATEMÁTICA III
41
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
Teorema de Newton
Dando linguagem matemática à generalização anterior, podemos escrever que:
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
(𝑎 + 𝑏)𝑛 = ( ) 𝑎𝑛 𝑏 0 + ( ) 𝑎𝑛−1 𝑏 𝑎 + ( ) 𝑎𝑛−2 𝑏 2 + ⋯ + (
) 𝑎1 𝑏 𝑛−1 + ( ) 𝑎0 𝑏 𝑛
0
𝑛−1
𝑛
1
2
Em que 𝑎 e 𝑏 são números reais e 𝑛 é número natural.
Utilizando o símbolo do somatório, podemos reduzir a expressão acima por:
𝑛
𝑛
(𝑎 + 𝑏)𝑛 = ∑ ( ) 𝑎𝑛−𝑘 𝑏 𝑘
𝑘
𝑘=0
(Lemos: a mais b elevado a n é igual ao somatório do binomial de n sobre k vezes a elevado
a n menos k vezes b elevado a k com k variando de zero até n)
Ex.1: Desenvolver (𝑎2 + 3)4 usando o teorema de Newton.
Resolução:
4
(𝑎2 + 3)4 = ∑ (4) (𝑎2 )4−𝑘 ∙ 3𝑘 =
𝑘
𝑘=0
4
4
4
4
4
= ( ) (𝑎2 )4−0 ∙ 30 + ( ) (𝑎2 )4−1 ∙ 31 + ( ) (𝑎2 )4−2 ∙ 32 + ( ) (𝑎2 )4−3 ∙ 33 + ( ) (𝑎2 )4−4 ∙ 34 =
0
3
1
2
4
= 1 ∙ (𝑎2 )4 ∙ 1 + 4 ∙ (𝑎2 )3 ∙ 3 + 6 ∙ (𝑎2 )2 ∙ 9 + 4 ∙ (𝑎2 )1 ∙ 27 + 1 ∙ (𝑎2 )0 ∙ 81 =
= 𝑎8 + 12𝑎6 + 54𝑎4 + 108𝑎2 ∙ 27 + 81
Ex.2: Desenvolver (2𝑥 − 3)5
Resolução:
5
(2𝑥 − 3)3 = ∑ (5) (2𝑥)5−𝑘 ∙ (−3)5 =
𝑘
𝑘=0
5
5
5
5
5
5
= ( ) (2𝑥)5 ∙ 1 − ( ) (2𝑥)4 ∙ 31 + ( ) (2𝑥)5 ∙ 32 − ( ) (2𝑥)2 ∙ 33 + ( ) 2𝑥 ∙ 34 − ( ) ∙ 1 ∙ 35 =
0
1
2
3
4
5
= 1 ∙ (2𝑥)5 ∙ 1 − 5 ∙ (2𝑥)4 ∙ 31 + 10 ∙ (2𝑥)5 ∙ 32 − 10 ∙ (2𝑥)2 ∙ 33 + 5 ∙ 2𝑥 ∙ 34 − 1 ∙ 1 ∙ 35 =
= 32𝑥 5 − 240𝑥 4 + 720𝑥 3 − 1080𝑥 2 + 810𝑥 − 243
CÁSSIO VIDIGAL
42
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
81) Desenvolver:
a) (1 + x 2 )3
b) (𝑥 − 3𝑦)5
1 4
c) (𝑥 − 𝑥)
MATEMÁTICA III
43
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
Termo Geral do Binômio
Muitas vezes, podemos estar
interessados em encontrar apenas um
termo específico do desenvolvimento do
Binômio de Newton sem precisar escrever
todos os termos. Para isto, é relevante que
encontremos uma expressão que possa
representar qualquer o do desenvolvimento
de (𝑎 + 𝑏)𝑛 e, a partir dela, determinemos o
termo procurado.
Substituindo 𝑘 = 8 no termo geral
encontrado:
3𝑘
16
16
( ) ∙ 𝑥16− 2 = ( ) ∙ 𝑥 4 = 12870𝑥 4
𝑘
8
R: 12 870𝑥 4
Ex.2: Qual o termo independente de x no
2
10
desenvolvimento de (𝑥 2 − 𝑥 3 ) ?
Resolução:
2 10−𝑘
10
( ) ∙ ( 2)
∙ (−𝑥 3 )𝑘 =
𝑘
𝑥
10−𝑘
10 (−1)𝑘 2
=( )∙
∙ 20−2𝑘 ∙ 𝑥 3𝑘 =
𝑘
𝑥
10 (−1)𝑘 10−𝑘 5𝑘−20
=( )∙
∙2
∙𝑥
𝑘
Já vimos, na página 42 desta
apostila, que
𝑛
𝑛
(𝑎 + 𝑏)𝑛 = ( ) 𝑎𝑛 𝑏 0 + ⋯ + ( ) 𝑎0 𝑏 𝑛
0
𝑛
𝑛
O termo 𝑇𝑘+1 = ( ) 𝑎𝑛−𝑘 𝑏 𝑘
é
𝑘
chamado de termo geral do binômio pois
para valores de 𝑘 (𝑘 = 1, 2, 3, 4 . . . , 𝑛)
obtemos
todos
os
termos
do
desenvolvimento. O índice 𝑘 + 1 determina
a posição do termo quando ordenado em
termos de ordem decrescente dos
expoentes de 𝑎.
Para que o termo seja independente de x,
então o expoente de x deve ser igual a
zero, assim:
5𝑘 − 20 = 0 → 𝑘 = 4
Substituindo k no termo encontrado:
10
( ) ∙ (−1)4 ∙ 210−4 ∙ 𝑥 5∙4−20 = ⋯ = 13440
4
R: 13 440
Ex.1: Qual termo do desenvolvimento de
1 16
(𝑥 + )
√𝑥
apresenta o x com expoente 4?
Resolução:
16−𝑘
1 𝑘
16
16 𝑥
16−𝑘
( )∙𝑥
∙( ) =( )∙ 𝑘 =
𝑘
𝑘
√𝑥
𝑥2
3𝑘
16
16−
2 para 𝑘 = 0, 1, 2, . . . , 16.
=( )∙𝑥
𝑘
O expoente de x no desenvolvimento
3𝑘
(16 − 2 ) deve ser igual a 4 (pelo enunciado)
então:
16 −
CÁSSIO VIDIGAL
3𝑘
=4→𝑘=8
2
44
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
84) Determine, no desenvolvimento de
1 11
(𝑥 2 − )
𝑥
82) No desenvolvimento de
12
𝑥2
( + 𝑥)
3
a) O termo independente de x
determine o coeficiente de :
a) 𝑥12
b) 𝑥18
b) o termo que contém 𝑥13
83) no desenvolvimento de (𝑥 2 − 1)10,
determine:
a) o terceiro termo
c) o termo central
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Pág. 175 – Exercícios 27 e 28
MATEMÁTICA III
45
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
PROBABILIDADES
Evento
Na página 35 desta apostila
calculamos q quantidade total de
combinações possíveis em um jogo de
Mega-sena e também a quantidade de
jogos de 6 prognósticos quando se marca 6,
7, 8, ..., 15 números num único cartão.
Qualquer subconjunto de  é um
evento de . Veja os exemplos a seguir:
Ex.: Os alunos de uma turma de formandos
resolveram rifar uma cesta de café da
manhã. A Rifa constava de 90 bilhetes
numerados de 1 a 90.
O Resultado da rifa é um
experimento aleatório cujo espaço amostral
é  = {1, 2, 3, 4, ..., 89, 90}.
Se um professor resolver comprar
todos os bilhetes cujos números são
múltiplos de 9, o conjunto de resultados
favoráveis ao professor é P = {9, 18, 27, 36,
45, 54, 63, 72, 81, 90}. Se a mãe de um
aluno resolve comprar os bilhetes formados
por dois algarismos iguais, o conjunto de
resultados favoráveis a ela é M = {11, 22,
33, 44, 55, 66, 77, 88}
Observe que os conjuntos P e M são
subconjuntos de . então P e M são
eventos de . A partir de agora,
denominaremos o conjunto evento por E.
_________________________
Agora,
em
probabilidades,
utilizaremos estes resultados para, por
exemplo, calcularmos as chances de
ganhar na Mega-sena ou de outros eventos,
em outras situações, acontecerem.
Experimento aleatório
Quando lançamos um dado, quando
escolhemos ao acaso uma carta de baralho
ou quando retiramos uma bola numerada
de uma urna, não podemos determinar de
antemão qual objeto será sorteado.
Experimentos como estes são chamados
de experimento aleatório pois, repetidos
em condições idênticas, podem apresentar
resultados diferentes. Tal variabilidade
deve-se ao acaso.
Espaço amostral
Consideremos um evento aleatório.
O conjunto de todos os resultados possíveis
deste experimento é chamado de espaço
amostral e é indicado pela letra grega
ômega – .
Observações:
1) Se W = E então o evento é chamado de
evento certo.
2) Quando E = Ø, o evento é chamado de
evento impossível.
Ex.1: Ao lançar uma moeda e observar a
face voltada pra cima, podemos encontrar:
“Tirar” um número menor ou igual a 6 no
lançamento de um dado é um evento certo.
Tirar um número maior que 6 no
lançamento de um dado, é um evento
impossível.
 = {cara, coroa}
Assim, n() = 2
Ex.2: Ao lançar um dado e observar a face
voltada pra cima, podemos encontrar:
Evento Complementar
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Assim, n() = 7
Consideremos um evento E relativo
a um espaço amostral . Chamamos de
evento complementar de E (indicamos por
CÁSSIO VIDIGAL
46
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
EC) ao evento que ocorre quando E não
ocorre. Observe o diagrama abaixo:
Dado um espaço amostral equiprovável Ω
finito e não vazio, e 𝐸 um evento, a
probabilidade de ocorrer algum elemento de
𝐸, indicado por 𝑝(𝐸) é
𝑛(𝐸)
𝑝(𝐸) = 𝑛(Ω)
ou seja:
Pelo digrama, note que:
𝑐
𝑝(𝐸) =
𝑐
𝐸∩𝐸 =∅e𝐸∪𝐸 =Ω
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 "𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠"
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 "𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠"
Ex.1:
No lançamento de uma moeda, qual a
probabilidade de se obter a face cara?
Resolução:
Indicando por C e K as faces cara e
coroa respectivamente, o espaço amostral
deste experimento é Ω = {C, K} e 𝑛(Ω) = 2.
O evento que esperamos ocorrer é 𝐸 = {𝐶},
em que 𝑛(𝐸) = 1. Logo:
1
𝑝(𝐸) =
2
Numa urna são colocadas 10 bolas
numeradas de 1 a 10. Seja E o evento “ser
sorteada uma bola com número múltiplo de
3”, Determinar Ec.
Resolução:
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
E = {3, 6, 9}
Então Ec ={1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} e representa
o evento “é sorteado um número que não é
múltiplo de 3”.
1
Note que 𝐸 ∪ 𝐸 𝑐 = Ω.
R: A probabilidade procurada é de
50%.
Probabilidade em espaços amostrais
equiprováveis
Ex.2: No lançamento de um dado, qual a
probabilidade de se obter, na face voltada
para cima, um número primo?
Espaços amostrais equiprováveis
são aqueles espaços em que a chance de
qualquer evento ocorrer é igual a de todos
os demais. Assim, ao lançar um dado
honesto, qualquer uma das faces tem
exatamente a mesma chance de ficar
voltada para cima. O mesmo vale no
lançamento de uma moeda honesta e na
maioria das questões que vamos tratar de
agora em diante.
ou
Resolução:
𝛺 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e 𝑛(𝛺) = 6
𝐸 = {2, 3, 5} e 𝑛(𝐸) = 3
𝑝(𝐸) =
3
1
= = 50%
6
2
R: 50%
Ex.3: No lançamento de duas moedas, qual
a probabilidade de se obter, nas Faces
voltadas para cima, pelo menos uma cara?
A noção de probabilidade é intuitiva
e definida por:
MATEMÁTICA III
2
47
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
Resolução:
𝛺 = {(𝐶, 𝐶), (𝐶, 𝐾), (𝐾, 𝐶), (𝐾, 𝐾)} e 𝑛(𝛺) = 4
𝐸 = {(𝐶, 𝐶), (𝐶, 𝐾), (𝐾, 𝐶)} e 𝑛(𝐸) = 3
𝑝(𝐸) =
86) Todo ano, uma igreja promove um
bazar
beneficente
para
seus
frequentadores. Se a escolha do mês é
aleatória, qual a probabilidade de que esse
bazar seja realizado em:
a) fevereiro?
3
= 75%
4
R: 75%
Ex.4: No lançamento de dois dados, qual a
probabilidade de se obter a soma dos
pontos igual a 5?
Resolução:
Vamos construir o espaço amostral:
(1,1)
(2, 1)
(3, 1)
𝛺=
(4, 1)
(5, 1)
[(6, 1)
(1, 2)
(2, 2)
(3, 2)
(4, 2)
(5, 2)
(6, 2)
(1, 3)
(2, 3)
(3, 3)
(4, 3)
(5, 3)
(6, 3)
(1, 4)
(2, 4)
(3, 4)
(4, 4)
(5, 4)
(6, 4)
(1, 5)
(2, 5)
(3, 5)
(4, 5)
(5, 5)
(6, 5)
b) agosto?
(1, 6)
(2, 6)
(3, 6)
(4, 6)
(5, 6)
(6, 6)]
c) no primeiro trimestre?
em que 𝑛(𝛺) = 36
d) no segundo semestre?
E o evento que esperamos ocorrer é:
𝐸 = {(4, 1); (3, 2); (2, 3); (1, 4)} e 𝑛(𝐸) = 4
4
Assim: 𝑝(𝐸) = 36 = 0,111 …
87) Um professor quer sortear um CD entre
seus alunos. Na sua turma, há 40 alunos e
o número de rapazes excede o de moças
em 12. Qual a probabilidade de que o CD
seja sorteado para:
a) uma moça?
R: Aproximadamente 11,1%
85) Um dado perfeito é lançado. Qual a
probabilidade de que o número obtido ser
múltiplo de 3?
b) um rapaz?
CÁSSIO VIDIGAL
48
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
88) Uma moeda é lançada três vezes
sucessivamente. Qual a probabilidade de
observarmos:
a) o primeiro número obtido ser maior que o
segundo?
a) duas caras e uma coroa?
b) a soma dos pontos obtidos ser menor ou
igual a 4?
b) pelo menos duas caras?
c) o produto dos números obtidos ser par?
89) Um dado é lançado duas vezes
sucessivamente. Qual a probabilidade de:
d) não obtermos, em nenhum lançamento,
os números 1 e 6?
MATEMÁTICA III
49
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
90) Para testar a eficiência de uma
campanha de anúncio do lançamento do
novo sabão S, uma agência de propaganda
realizou uma pesquisa com 2 mil pessoas.
Por falha da equipe, a agência omitiu os
dados dos campos X, Y, Z e W no seu
relatório sobre a pesquisa, conforme mostra
a tabela a seguir:
Nº de
pessoas
que:
Viram o
anuncio
Não viram
o anuncio
Total
Adquiriram
S
Não
adquiriram
S
Total
X
Y
1500
200
Z
500
600
W
2000
91) Um paraquedista programou seu pouso
em uma fazenda retangular que possui um
lago no seu interior, conforme indicado
abaixo. Se as condições climáticas não
favorecem o paraquedista, o local do pouso
pode se tornar aleatório. Qual é, nesse
caso, de o paraquedista pousar em terra?
Adote 𝜋 = 3.
a) Indique os valores dos campos X, Y, Z e
W.
b) Suponha que uma dessas duas mil
pessoas entrevistadas seja Escolhida ao
acaso e que todas as pessoas tenham a
mesma probabilidade de serem escolhidas.
determine a probabilidade de que esta
pessoa tenha visto o anúncio da campanha
e adquirido o sabão S.
CÁSSIO VIDIGAL
50
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
92) Em certa região metropolitana , 52% da
população tem mais de 25 anos. Sabe-se
ainda que 30% da população com amis de
25 anos tem menos de 35 anos.
Escolhendo-se ao acaso um pessoa dessa
região, qual a probabilidade de essa pessoa
ter 35 anos ou mais?
95) Considere a equação linear na variável
x: (𝑎 − 2)𝑥 = 4
Se o coeficiente 𝑎 for escolhido ao acaso
entre os elementos {0, 1, 2, …, 9}, qual a
probabilidade de que essa equação venha
a ter:
a) um única solução?
b) nenhuma solução
93) Para acessar o sistema de
computadores
da
empresa,
cada
funcionário digita sua senha pessoal
formada por quatro letras distintas de nosso
alfabeto numa ordem preestabelecida. certa
vez um funcionário esqueceu a sua senha
lembrando apenas que ela começava com
K e terminava com W. Qual a probabilidade
de ele ter acertado a senha, ao acaso, numa
única tentativa
c) uma solução inteira
96) Os 64 funcionários de uma empresa
responderam um questionário sobre os dois
cursos opcionais oferecidos por ela. Os
resultados foram os seguintes:
43 frequentam o curso de computação
31 frequentam o curso de espanhol
19 frequentam ambos os cursos
escolhendo ao acaso um funcionário da
empresa, qual probabilidade de que ele:
94)
Três
dados
são
lançados
simultaneamente. Qual a probabilidade de
não ocorrerem três números iguais?
MATEMÁTICA III
51
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
a) não frequentou nenhum curso?
99) Joga-se um dado três vezes
consecutivas qual a probabilidade de
surgirem os resultados abaixo em qualquer
ordem?
b) frequente exatamente um curso?
100) Oito pessoas sendo 5 homens e 3
mulheres serão organizados em uma fila.
Qual a probabilidade de as pessoas do
mesmo sexo ficarem juntas?
97) De um baralho de 52 cartas, 4 são
extraídas simultaneamente.
qual a
probabilidade da ocorrência de:
a) Duas cartas de ouros e duas de paus?
b) uma carta de cada naipe?
101) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5,
formamos números de 3 algarismos. Um
desses números é escolhido ao acaso. Qual
a probabilidade de que ele:
a) seja formado por dois algarismos
distintos?
98) Dentre um grupo formado por dois
homens e quatro mulheres, três pessoas
são escolhidas ao acaso.
Qual a
Probabilidade de que sejam escolhidos um
homem e duas mulheres?
CÁSSIO VIDIGAL
b) seja par?
52
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
102) A figura desta
questão representa uma
bandeira com 4 listras.
Dispondo-se de 4 cores
distintas,
deseja-se
pintar todas as listras de
modo
que
listras
vizinhas tenham cores
diferentes.
104) Os cavalos X, Y e Z disputam uma
prova final da qual não poderá ocorrer
empate. Sabe-se que a probabilidade de X
vencer é igual ao dobro da probabilidade de
Y vencer. Da mesma forma, a probabilidade
de Y vencer é igual ao dobro da
probabilidade de Z vencer. Calcule a
probabilidade de:
a) X vencer;
a) de quantas maneiras distintas à bandeira
pode ser pintada?
b) Y vencer;
b) escolhendo-se aleatoriamente uma das
formas possíveis de pintar a bandeira, qual
probabilidade de seja uma que contenha as
4 cores?
c) Z vencer.
105) Numa cidade com 30.000 domicílios,
10.000 domicílios recebem regularmente o
jornal da loja de eletrodomésticos X, 8.000
recebem regularmente o jornal do
supermercado Y e a metade do número de
domicílios não recebe nenhum dos dois
jornais. determine:
a) o número de domicílios que recebem os
dois jornais.
103) Unindo aleatoriamente dois vértices
quaisquer de um pentágono,
qual a
probabilidade de que o segmento
Determinado seja uma diagonal?
b) a probabilidade de um domicílio da
cidade, escolhido ao acaso, receber o jornal
da loja de eletrodomésticos e não receber o
jornal do supermercado.
MATEMÁTICA III
53
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
106) Um dado é viciado de tal modo que, ao
ser lançado, é duas vezes mais provável
ocorrer face par do que ocorrer face ímpar.
Todas as faces pares tem a mesma chance
de ocorrer e o mesmo acontece entre as
faces ímpares. Lançando-se esse dado
uma vez, qual a probabilidade de ocorrer:
a) face igual a 3?
108) Um jogo consiste em um prisma
triangular reto com uma lâmpada em cada
vértice e um quadro de interruptores para
acender essas lâmpadas. Sabendo-se que
quaisquer três lâmpadas podem ser acesas
por um único interruptor e que cada
interruptor
acende
precisamente
3
lâmpadas, calcule:
a) quantos interruptores existem nesse
quadro?
b) face par.
b) a probabilidade de, ao se escolher um
interruptor aleatoriamente, este acender
três lâmpadas de uma mesma Face.
107) Uma urna contem x bolas brancas, x2
bolas vermelhas e duas bolas pretas. Uma
bola é escolhida ao acaso e sabe-se que a
probabilidade de ela ser branca é maior que
20%. Quantas bolas brancas essa usa pode
conter?
CÁSSIO VIDIGAL
54
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE
DOIS EVENTOS
Ex.1: Frequentemente assumimos, com
alguma justificativa, que a paternidade leva
a responsabilidade. Pessoas que passam
anos atuando de maneira descuidadosa e
irracional de alguma forma parecem se
tornar em pessoas diferentes uma vez que
elas se tornam pais, mudando muitos dos
seus antigos padrões habituais. Suponha
que uma estação de rádio tenha amostrado
100 pessoas, 20 das quais tinham crianças.
Eles observaram que 30 dessas pessoas
usavam cinto de segurança, e que 15
daquelas pessoas tinham crianças. Os
resultados são mostrados na Tabela
Dados dois eventos A e B de um
espaço amostral S a probabilidade de
ocorrer A ou B é dada por:
𝑃(𝐴 𝑈 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) – 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Paternidade
Com crianças
Sem crianças
Total
A probabilidade de uma pessoa ter criança
15
e usar cinto de segurança é 100 = 15%.
𝐴 ∩ 𝐵 (Múltiplo de A e B)
{6}
A probabilidade de uma pessoa usar cinto
de segurança dado que tem criança é
15
= 75%.
20
5
3
1
7
+
–
=
10 10 10 10
A probabilidade de uma pessoa ter criança
dado que usa cinto de segurança é
15
= 50%.____________________
30
A probabilidade condicional também
pode ser obtida por:
_________________________
PROBABILIDADE CONDICIONAL
A probabilidade de um evento A
ocorrer, dado que um outro evento B
ocorreu,
é
chamada
probabilidade
condicional do evento A dado B.
Veja o exemplo a seguir:
MATEMÁTICA III
Total
20
80
100
A probabilidade de uma pessoa amostrada
aleatoriamente usar cinto de segurança é
30
= 30%.
100
B é o evento “múltiplo de 3”.
{3, 6, 9}
R: 70%
Não usam cinto
5
65
70
A partir da informação na tabela acima
podemos calcular probabilidades simples
(ou marginais ou incondicionais), conjuntas
e condicionais.
Ex.1: Numa urna existem 10 bolas
numeradas de 1 a 10. Retirando uma bola
ao acaso, qual a probabilidade de ocorrer
múltiplos de 2 ou múltiplos de 3?
Resolução
A é o evento “múltiplo de 2”.
{2, 4, 6, 8, 10}
𝑃(𝐴 𝑈 𝐵) =
Usam cinto
15
15
30
𝑝(𝐴|𝐵) =
𝑝(𝐴∩𝐵)
𝑝(𝐵)
Note que 𝑝(𝐴|𝐵) é calculado a partir de
probabilidades sobre o espaço amostral
original
55
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
A probabilidade de ocorrer os dois eventos
sucessivamente será dada por:
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝(𝐴) ∙ 𝑝(𝐵|𝐴)
Faremos os cálculos separadamente:
3
1
𝑝(𝐴) =
=
30 10
PROBABILIDADES
DE
DOIS
EVENTOS
SUCESSIVOS
(ou
simultâneos)
O cálculo da probabilidade de
eventos simultâneos determina a chance de
dois eventos ocorrerem simultânea ou
sucessivamente.
Para o cálculo de 𝑝(𝐵|𝐴) é preciso notar
que não teremos mais 30 bolinhas na urna,
pois uma foi retirada e não houve reposição,
restando 29 bolinhas na urna. Assim,
15
𝑝(𝐵|𝐴) =
29
A fórmula para o cálculo dessa
probabilidade decorre da fórmula da
probabilidade condicional. Assim, teremos:
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑝(𝐴|𝐵) =
𝑝(𝐵)
⇕
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝(𝐴|𝐵) ∙ 𝑝(𝐵)
Logo,
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) =
Isto significa que, para se avaliar a
probabilidade de ocorrerem dois eventos
simultâneos (ou sucessivos), que é
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵), basta multiplicar a probabilidade
de ocorrer um deles (𝑝(𝐵))
pela
probabilidade de ocorrer o outro, sabendo
que o primeiro já ocorreu (𝑝(𝐴|𝐵)).
3
Resp.: 58 ou 5,2%
Ex.2: Numa caixa estão 20 livros sendo 12
de Matemática e 8 de Administração. Dois
deles são retirados sucessivamente e sem
reposição. Qual a probabilidade de serem
escolhidos dois livros de Matemática?
Vamos fazer alguns exemplos para
explorar o uso da fórmula e a maneira
correta de interpretar os problemas
relacionados à probabilidade de eventos
simultâneos.
Resolução: Mais uma vez, os eventos não
são independentes. Vamos determinar
cada um dos eventos.
A: Sair livro de Matemática: 𝑛(𝐸) = 12 e
𝑛(Ω) = 20.
B: Sair outro livro de Matemática: 𝑛(𝐸) = 11
e 𝑛(Ω) = 19.
Ex.1: Numa urna há 30 bolinhas numeradas
de 1 a 30. Serão retiradas dessa urna duas
bolinhas, ao acaso, uma após a outra, sem
reposição. Qual a probabilidade de sair um
múltiplo de 10 na primeira e um número
ímpar na segunda?
𝑝(𝐴) =
12 3
=
20 5
𝑝(𝐵|𝐴) =
Resolução: o fato de a retirada das bolinhas
ocorrer sem reposição, implica que a
ocorrência do primeiro evento interfere na
probabilidade do segundo ocorrer. Portanto,
esses eventos não são independentes.
Vamos determinar cada um dos eventos.
A: sair um múltiplo de 10 EA= {10, 20, 30}
B: sair um número ímpar EB={1, 3, 5, 7, 9,
11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}
CÁSSIO VIDIGAL
1 15
3
∙
=
10 29 58
11
19
Logo,
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) =
3 11 33
∙
=
5 19 95
33
Resp.: 95 ou 34,7%
56
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Ex.3: Em dois lançamentos sucessivos de
um mesmo dado, qual a probabilidade de
ocorrer um número maior que 3 e o número
2?
110) Um dado honesto é lançado. Qual a
probabilidade de observarmos:
a) um múltiplo de 2 ou um múltiplo de 3?
Resolução: note que, neste caso, a
ocorrência de um evento não influencia a
probabilidade de outro ocorrer, portanto são
dois eventos independentes. Vamos
distinguir os dois eventos:
b) um par o um divisor de 5?
A: sair um número maior que 3 {4, 5, 6}.
B: sair o número 2
Vamos calcular a probabilidade de
ocorrência de cada um dos eventos.
Observe que no lançamento de um dado,
temos 6 valores possíveis. Assim:
111) No cadastro de um cursinho pré-enem
estão registrados 600 alunos sendo 380
meninos, 105 moças que já concluíram o
Ensino Médio e 200 meninos que ainda
estão cursando o Ensino Médio.
Um nome do cadastro é selecionado ao
acaso. Qual a probabilidade de o nome
escolhido ser de:
a) uma menina?
3 1
=
6 2
1
𝑝(𝐵) =
6
𝑝(𝐴) =
Dessa forma, teremos:
1 1
1
𝑝= ∙ =
2 6 12
1
Resp.: 12 ou 8,33%
b) um menino que já concluiu o E.M.?
109) Considerando a situação apresentada
no Exemplo 2 (pág. 56 desta apostila), qual
a probabilidade de serem retirados,
aleatoriamente, dois livros de assuntos
diferentes?
c) um menino ou alguém que ainda está
cursando o E.M.?
MATEMÁTICA III
57
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
112) Numa urna há 30 bolinhas numeradas
de 1 a 30. Uma delas é extraída ao acaso.
Qual a probabilidade de o número indicado
seja:
a) par ou múltiplo de 3?
114) Um dado é lançado e se observa que
o número obtido é par. Qual a probabilidade
de ele ser maior que 3?
115) Escolhendo-se ao acaso um número
do conjunto {𝑥 ∈ ℕ|1 ≤ 𝑥 ≤ 100}.
a) Sabendo que o número escolhido é um
quadrado perfeito, qual a probabilidade de
ele ser par?
b) múltiplo de 5 ou de 7?
c) par ou múltiplo de 6?
b) Sabendo que o número escolhido é
múltiplo de 6, qual a probabilidade de ele
ser múltiplo de 10? E de 3?
113) A probabilidade de chover 5 ou mais
vezes por mês em uma praia da
Pernambuco é de 33%. A probabilidade de
chover 5 ou menos vezes no mês é de 81%.
Qual a probabilidade de chover exatamente
5 vezes?
CÁSSIO VIDIGAL
58
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
116)
Dois
dados
são
lançados
simultaneamente.
a) Qual a probabilidade de a soma dos
pontos obtidos seja 10 sabendo-se que os
números obtidos são distintos?
a) Qual a probabilidade de a ficha escolhida
ser do Bloco A e estar quite com o
condomínio?
b) Sabendo-se que a fica escolhida é do
bloco B, qual a probabilidade de ser de um
morador com condomínio atrasado?
b) Qual a probabilidade de se obter
números distintos sabendo-se que a soma
dos pontos é 10?
118) Num certo pais, 10% das declarações
de Imposto de renda são suspeitas e
direcionadas para uma análise detalhada;
dentre estas, verificou-se que 20% são de
declarações fraudulentas. Entre as não
suspeitas, 2% são fraudulentas.
a) Se uma declaração é escolhida ao acaso,
qual a probabilidade de ela ser suspeita e
fraudulenta?
b) Se uma declaração é fraudulenta, qual a
probabilidade de ela ter sido suspeita?
117) Num prédio residencial há dois blocos:
Bloco A e Bloco B. No Bloco A, há 80
apartamentos dos quais 15% estão em
atraso com o pagamento do condomínio.
NO blobo B há 50 apartamentos, dos quais,
10% estão com as contas em atraso. As
fichas relativas a todos os apartamentos
estão reunidas e uma é escolhida ao acaso.
MATEMÁTICA III
59
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
119) Uma moeda e um dado são lançados
simultaneamente. Qual a probabilidade de:
a) Ocorrer cara e o número 1?
121) Uma urna (I) contém 3 bolas
vermelhas, 4 brancas e 3 pretas. Outra urna
(II) contém 2 bolas vermelhas, 5 brancas e
2 pretas. Uma das urnas é escolhida ao
acaso e dela é extraída uma bola:
a) qual a probabilidade de ocorrer urna (I) e
bola branca?
b) Ocorrer coroa e um número primo?
b) qual a probabilidade de ocorrer bola
vermelha?
120) Uma urna contem 10 etiquetas
identificadas pelas letras A, B, C, D, E, F, G,
H, I e J. Duas delas são retiradas ao acaso,
sucessivamente. Qual a probabilidade de
saírem duas vogais, se a extração é feita:
a) com reposição?
122) Na prateleira de um supermercado há
20 latas de achocolatado das quais 4 estão
além do prazo de validade. Uma mulher
passa e apanha uma delas ao acaso; logo
em seguida o rapaz apanha outra lata ao
acaso. Qual a probabilidade de:
a) ambos terem comprado achocolatado
com prazo dentro da validade?
b) sem reposição?
b) a mulher tenha comprado o produto com
prazo dentro da validade mas o rapaz não?
CÁSSIO VIDIGAL
60
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
123) No canil há 10 cachorros sendo 7 da
raça X e 3 da raça Y, cada um dentro de
uma ”jaula” fechada nas laterais. A
probabilidade de um cachorro da raça X latir
para um desconhecido é de 80% e, para a
raça Y, essa probabilidade é de 60%. Um
visitante chega ao canil, para ao acaso
diante de uma jaula e ver então o cachorro
que está nela. Qual a probabilidade de esse
cão não latir para o visitante?
a) escolhendo-se, ao acaso, um aluno do
terceiro ano, a probabilidade de ser homem
é de 45%.
b) escolhendo-se, ao acaso, um aluno do
terceiro ano, a probabilidade de ser mulher
é igual a 20%.
c)
escolhendo-se,
ao
acaso,
simultaneamente, dois alunos, sendo um de
cada turma, a probabilidade de ambos
16
serem do mesmo sexo é de .
33
d) escolhendo-se, ao acaso, um aluno do
terceiro ano, a probabilidade de ser mulher
ou ser da turma B é igual a 80%.
124) Em uma escola existem duas turmas
do terceiro ano: A e B. A tabela mostra a
distribuição por sexo dos alunos da turma.
Turma
A
B
Homens
20
25
e) reunindo-se as mulheres das duas
turmas escolhendo uma ao acaso a
probabilidade de ser da turma A é de 35%.
Mulheres
35
20
com base nesses dados, classifique cada
uma das afirmações seguintes como
verdadeira ou falsa.
MATEMÁTICA III
61
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
125) Na loteria
esportiva (Loteca)
há 13 jogos. Em
cada jogo apostase em um dos
times (Coluna 1 ou
Coluna 2) ou em
empate (Coluna do
meio). A aposta mínima é de um duplo, isto
é, num único jogo assinalam-se duas
opções ao preço de R$0,50. Há também o
palpite triplo: as três colunas são
assinaladas para um determinado jogo.
Apostar em um triplo custa R$0,75.
126) Fernando e Cláudio foram pescar num
lago onde só existem trutas e carpas.
Fernando pescou. no total, o triplo da
quantidade pescada por Cláudio. Fernando
pescou duas vezes mais trutas do que
carpas,
enquanto
Cláudio
pescou
quantidades iguais de cartas de trutas. Os
peixes foram todos jogados num balaio e
uma truta foi escolhida ao acaso nesse
balaio. Qual a probabilidade de esta fruta ter
sido escada por Fernando?
a) qual a probabilidade de se acertar os 13
jogos com aposta mínima?
b) qual a probabilidade de se acertarem os
13 jogos apostando um triplo?
127) Um dado, cujas faces estão
numeradas de 1 a 6, é dito perfeito se cada
1
uma das seis faces tem probabilidade 6 de
ocorrer em um lançamento. Considere o
experimento que consiste em três
lançamentos independentes de um dado
perfeito. Calcule a probabilidade de que o
produto desses três números seja:
a) par
c) na aposta máxima, são assinalados 5
duplos e triplos ao preço de R$216,00. qual
a probabilidade de se acertarem os 13 jogos
com a aposta máxima? a proporcionalidade
entre os valores apostados e as chances de
acerto considerando-se as apostas mínima
e máxima?
b) múltiplo de 10
CÁSSIO VIDIGAL
62
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
128) Uma moeda honesta é lançada sete
vezes. Qual a probabilidade de ocorrerem
duas caras e cinco coroas?
ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Pág. 184 – Exercícios 01 a 07
Pág. 187 – Exercícios 08 a 15
Pág. 192 e 193 – Exercícios 22 a 27
Pág. 196 – Exercícios 28 a 37
129) A incidência de uma doença numa
população é de 30%. Se oito pessoas
submetem-se a um teste para detecção da
doença, qual é a probabilidade de cinco
delas apresentarem teste positivo?
130) Um aluno, afobado com o tempo que
lhe resta de prova, decide chutar as últimas
10 questões do ENEM. Cada questão
apresenta 5 alternativas. Qual é a
probabilidade de um aluno acertar 4 destas
10?
MATEMÁTICA III
63
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
28)
a) 120
b) 60
a) Pantalona Preta, Flare Preta, Legging
Preta, Sarouel Preta e Skinny Preta;
Pantalona Marrom, Flare Marrom, Legging
Marrom, Sarouel Marrom e Skinny Marrom;
e Pantalona Azul, Flare Azul, Legging Azul,
Sarouel Azul e Skinny Azul.
b) 15 opções
29)
a) 120
b) 30
30)
a) 6
c) 720
e) 120
b) 24
d) 362 880
f) 3 628 800
31)
24
2)
125 números
32)
3)
60 números
a) 120
c) 8
4)
4680
33)
5)
2 resultados. Aline-Bárbara ou BárbaraAline
a) 362 880
b) 161 280
c) 100 800
d) 5040
e) Metade do total
6)
6 resultados. ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e
CBA
34)
a) 120
7)
35)
8640
24 resultados.
8)
6 modelos.
36)
a) 12!
c) 36 ∙ 10!
37)
576
38)
39)
a) S = { 4 }
b)
40)
293ª
41)
a) 120
c) 2156
42)
95º
43)
151 200
44)
125 970
45)
60
46)
40
47)
136
48)
220
49)
286
50)
10
51)
a) 15 120
52)
5
53)
84
54)
2002
55)
420
56)
867
57)
126
58)
a) 10
b) 6
59)
a) 165
d) 0
60)
a) 45
61)
3150
62)
a) 270 725
63)
a) 16
RESPOSTAS
1)
9)
56 maneiras.
10)
VV, VF, FV e FF. 4 maneiras.
11)
VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF. FFV, FFF.
8 maneiras.
12)
16 maneiras.
13) 1024 maneiras.
14)
520 maneiras.
15) 276 anagramas
16)
27 ∙ 26 ∙ 25 ∙ 24 ∙ 23 ∙ 22 anagramas. (ou 213
127 200 anagramas)
17)
a) 10
b) 1⁄90
d) 𝑛2 − 𝑛
c) 3
e)
1
𝑛2 −3𝑛+2
18)
S={4}
20)
a) 32 292 000
21)
a) 210
c) 5
22)
a) 720
b) 72
c) 504
23)
a) 729
b) 504
c) 225
24)
336
26)
S={ 11 }
27)
a) 336
c) 126
CÁSSIO VIDIGAL
19)
90
b) 1 723 680
b) 110
d) 120
25)
420
b) 60
d) 180
64
b) 5040
d) 1⁄90
b) 24
b) 2 ∙ (6!)2
d) (6!)2
103 680
b) 24
d) 0
b) 5040
c) 8400
b) 84
e) 16
c) 20
b) 120
b) 715
b) 78
c) 169
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
64)
a) 22 308
65)
2160
66)
a) S = { 17 }
67)
70
68)
a) 4725
69)
1225
70)
a) 84
71)
28
72) 6
73)
50 063 860
74)
75)
a) 7
d) 210
g) 1716
b) 28
e) 462
h) 3003
c) 84
f) 924
i) 5005
a) 6
c) 9
b) 84
d) p+2
c) 2
76)
b) 249 900
b) S = { 5 }
b) 792
c) 86
b) 28
77)
a) S = {8, 5 }
78)
a) 34
c) 103 776
R$ 175.223.510,00
b)
6
d) 24 = 16
a) 2,25%
98)
a) 60%
99)
a)
100)
1
28
101)
a)
79)
80)
81)
a) 1 + 3𝑥 2 + 3𝑥 4 + 𝑥 6
b) 𝑥 5 − 15𝑥 4 𝑦 + 90𝑥 3 𝑦 2 − 270𝑥 2 𝑦 3 +
+405𝑥𝑦 4 − 243𝑦 5
4
1
4
2
c) 𝑥 − 4𝑥 − 2 + 4
a = 10
𝑥
82)
a) 1
b) 308/243
83)
a) 45𝑥 16
b) −252𝑥 10
84)
a) não existe
b) −165𝑥 13
85)
1
3
86)
a)
87)
a) 35%
88)
a)
89)
a)
90)
a) X = 400, Y = 1100, Z = 300 e W = 1400
b) 20%
9
64
b)
c) 50%
9
16
b) 10,5%
1
5
9
a) 108
103)
a) 50%
a)
b) 10%
36
102)
4
7
105)
a) 3000
106)
a)
1
b)
1
b)
2
b)
9
2
9
2
c)
7
107)
1, 2 ou 3
b)
108)
a) 20
b)
109)
10
11
1
7
7
30
2
3
Resolução:
Nesta situação, são dois casos que nos
interessam:
No primeiro caso, retirarmos, nesta ordem, um
livro de Matemática e outro de administração ou,
num segundo caso, retirarmos, primeiro, um
livro de Administração e depois um de
Matemática.
𝑝 = 𝑝(𝑀 ∩ 𝐴) 𝑜𝑢 𝑝(𝐴 ∩ 𝑀)
Em que M é o evento “Retirar um livro de
Matemática” e A, “Retirar um livro de
Administração”.
𝑝(𝑀 ∩ 𝐴)
M: 𝑛(𝑀) = 12 n e (Ω) = 20.
A: 𝑛(𝐴) = 8 e 𝑛(Ω) = 19.
1
12
b)
1
b)
8
5
1
d)
4
1
b)
1
6
𝑝(𝑀 ∩ 𝐴) =
4
𝑝(𝐴 ∩ 𝑀)
A: 𝑛(𝐴) = 8 e 𝑛(Ω) = 20.
M: 𝑛(𝑀) = 12 n e (Ω) = 19.
1
2
c)
3
d)
4
9
88,75%
92)
36,4%
93)
1
552
94)
35
36
𝑝(𝑀 ∩ 𝐴) =
Assim:
8 12
24
∙
=⋯=
20 19
95
𝑝 = 𝑝(𝑀 ∩ 𝐴) 𝑜𝑢 𝑝(𝐴 ∩ 𝑀)
𝑝=
Resp.:
a) 90%
MATEMÁTICA III
12 8
24
∙
=⋯=
20 19
95
2
b) 65%
3
12
c)
12
91)
95)
97)
104)
25
𝑥
a)
c) 42
b) S = {1, 4}
c) 154
96)
65
48
95
24 24 48
+
=
95 95 95
= 50,5%
ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES
110)
111)
112)
113)
a)
2
a)
11
a)
2
b)
5
b)
30
3
116)
1
a)
b)
34
a)
118)
a) 2%
65
Médio,
33
40
3
3
16
b)
2
b)
5
119)
a)
b)
120)
a) 9%
b)
121)
a)
1
b)
122)
a)
12
123)
26%
124)
a) Verdadeira
c) Verdadeira
7
e) Falsa, é .
12
5
b)
19
eventos
, 100%
Disponível
1
Escola.
<http://brasilescola.
Links dos vídeos sugeridos:
15
47
Pág. 04:
180
www.vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/princmul
16
95
tadit/
b) Falsa, é 44,4%.
d) Verdadeira
127)
a)
7
b)
8
8,8%
em
Brasil
4
80%
130)
simultâneos";
de maio de 2016.
126)
4,67%
Paulo.
1
a) 0,000125%
b) 0,000188%
c) 0,054%; sim pois tanto a chance de
ganhar quanto o custo da aposta foram
multiplicados por 432.
129)
São
eventos-simultaneos.htm>. Acesso em 30
17
125)
16,4%
2.ed.
uol.com.br/matematica/probabilidade-
3
Pág. 09:
11
128)
2.
RIGONATTO, Marcelo. "Probabilidade de
2
3
b) 52,6%
1
Volume
Moderna, 2013.
1
114)
15
117)
c)
b)
14%
115)
6
10
3
a) 50%
PAIVA, Manoel; Matemática – Ensino
5
www.vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/fatorial/
Pág. 44
www.vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/termo-
5
geral-do-binomial/
36
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
DANTE, Luiz Roberto; Matemática. São
Paulo, Ática, 2004
MACHADO,
Antônio
dos
Santos;
Matemática, Temas e Metas. São Paulo,
Atual, 1988
IEZZI,
Gelson
e
outros;
Matemática,
Volume único. São Paulo, Atual, 2002
CÁSSIO VIDIGAL
66
IFMG – CAMPUS OURO PRETO