Unidade II 2. Oscilações

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE - UERN
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UNIDADE: Campus Avançado de Natal
Unidade II
2. Oscilações
Professor Dr. Edalmy Oliveira de Almeida
Sumario
Oscilações:
1. Movimento Periódico;
2. Movimento Harmônico Simples;
3. Energia no Movimento Harmônico Simples;
4. Movimento Harmônico Simples Angular;
5. Pendulo Simples;
6. Pêndulo físico;
7. Oscilações amortecidos;
8. Oscilações Forçadas e Ressonância.
1. Movimento Periódico:
O movimento periódico é aquele que se repete em um ciclo definido. Ele ocorre
quando o corpo possui uma posição de equilíbrio estável e uma força restauradora que atua
sobre o corpo quando ele é deslocado da sua posição de equilíbrio. O período T é o tempo
necessário para completar um ciclo. A frequência f (Eq. 01) é o número de ciclo por unidade de
tempo. A frequência angular W (Eq. 02) é 2π vezes a frequência.
1
1
f  T 
T
f
2
w  2f 
T
Eq. 01
Eq. 02
1hertz  1Hz  1ciclo / s  1s 1
Figura 01 Exemplo de um movimento periódico. Quando o corpo é deslocado de sua posição
de equilíbrio em x = 0, a mola exerce uma força restauradora que o leva de volta à posição de
equilíbrio.
Exemplo 1
Um transdutor ultra-sônico (uma espécie de alto-falante), usado para diagnostica
exame médico, oscila com uma frequência igual a 6,7 MHz = 6,7 x 106 Hz. Quanto dura uma
oscilação e qual é a frequência angular?
Dados:
f = 6,7 x 106 Hz
T=?
W=?
T
1
f
1
6,7 x106 Hz
1
T
1
6,7 x106
s
T  1,5 x107 s
T  0,15s
T
w  2f
w  2 6,7 x106 Hz 
w  2rad / ciclo 6,7 x106 ciclo / s 
w  4,2 x107 rad / s
2. Movimento Harmônico Simples:
Quando a força resultante for uma força restauradora Fx (Eq. 03) diretamente
proporcional ao deslocamento x, o movimento denomina-se movimento harmônico simples
(MHS) Eq. 04.
F  kx
ax 
Eq. 03
Fx
kx

m
m
Eq. 04
Em muitos casos, essa condições é satisfeita se o deslocamento a partir do equilíbrio
for pequeno. A frequência angular (Eq. 05), a frequência e o período (Eq. 06) em MHS não
dependem da amplitude, apenas da massa m e da constante da mola k. (ax = -w2x)
k
w
(movimento harmônico simples)
m
f 
T
w
1

2 2
1
m
 2
f
k
k
m
Eq. 05
Eq. 06
O deslocamento, a velocidade e a aceleração em MHS são funções senoidais do
tempo a amplitude A e o ângulo de fase Φ (Eq. 07) da oscilação são determinada pela posição
inicial e velocidade do corpo.
x  A coswt   
Eq. 07
Figura 02 Gráfico de x em função de t em um movimento harmônico simples. No caso
mostrado ϕ = 0.
A constante ϕ indicada na Eq. 07 denomina-se ângulo de fase. Ela nos informa em
que ponto do ciclo o movimento se encontrava em t = 0. Vamos designar por x0 a posição em t
= 0. Substituindo t = 0 e x = x0 na Eq. 07, obtemos
x0  A cos 
Eq. 08
Achamos a velocidade vx e a aceleração ax em função do tempo para um movimento
harmônico simples derivando a Eq. 07 em relação ao tempo:
dx
vx 
  wAsen ( wt   ) Velocidade do MHS
dt
dv x d 2 x
ax 
 2   w2 A cos( wt   ) Aceleração do MHS
dt
dt
Eq. 09
Eq. 10
Conhecendo-se a posição inicial x0 e a velocidade inicial v0x de um corpo oscilante,
podemos determinar a amplitude A e a fase ϕ. Veja como fazer isso. A velocidade inicial v0x é a
velocidade no tempo t = 0; substituindo vx = v0x e t = 0 na Eq. 09, temos
v0 x   wAsen
Eq. 11
Para achar ϕ, divida a Eq. 11 pela Eq. 08. Essa divisão elimina A, e a seguir podemos
explicitar ϕ:
v0 x  wAsen

  wtg
x0
A cos 

v0 x 

wx
0 

  arctg  
Ângulo de fase no MHS
Eq. 12
Elevando ao quadrado a equação 08; divida a Eq. 11 por w, eleve o resultado ao
quadrado e some com o quadrado da Eq. 08. O membro direito será igual a A2(sen2ϕ+cos2ϕ),
que é igual a A2. O resultado final é
x0  A cos   x  A cos  (1)
V0 x   wAsen
V02x  w 2 A2 sen 2
2
0
V02x
2
2

A
sen
 (2)
2
w
Somando (2) com (1)
2
2
V02x
2
2
2
2
2

x

A
sen


A
cos

0
2
w
V02x
2
2
2
2

x

A
sen


cos

0
2
w
V02x
2
2
A  x0  2
w

2
V
A  x02  02x
w
Amplitude no MHS

Eq. 13
Exemplo 2
A extremidade esquerda de uma mola horizontal é mantida fixa. Ligamos um
dinamômetro na extremidade livre da mola e puxamos para direita; verificamos que a força que
estica a mola é proporcional ao deslocamento e que uma força de 6,0 N produz um
deslocamento igual a 0,030 m. A seguir removemos o dinamômetro e amarramos a extremidade
livre a um corpo de 0,50 kg, puxamos o corpo até uma distância de 0,020 m.
a) Calcule a constante da mola?
b) Calcule a frequência, a frequência angular e o período da oscilação?
Dados:
F = -6,0 N
A força exercida pela mola
x = 0,03 m
m = 0,5 kg
x = 0,02 m
a) K = ?
b) f = ?, w = ?, T = ?
a) F   kx
x
Fx
x
 6,0 N 
k
0,03m
k  200 N / m
k
kg .m
/m
2
s
k  200kg / s 2
k  200
b) Substituindo m = 0,5 kg
k
200kg / s 2
w

 20rad / s
m
0,5kg
w
20rad / s
f 

 3,2ciclo / s  3,2 Hz
2 2rad / ciclo
1
1
T 
 0,31s
f 3,2ciclo / s
Exemplo 3
Vamos retorna a mola horizontal discutida no exemplo 2. A constante da mola é k =
200 N/m, e a mola está ligada a um corpo de massa m = 0,5 kg. Desta vez, forneceremos ao
corpo um deslocamento inicial de + 0,015 m e uma velocidade inicial de + 0,40 m/s.
a) Calcule o período, a amplitude e o ângulo de fase do movimento?
b) Escreva equações para o deslocamento, a velocidade e a aceleração em função do tempo?
Dados:
K = 200 N/m
m = 0,5 kg
x0 = + 0,015 m
V0x = + 0,40 m/s
a) T = ?, A = ?, ϕ = ?
b) x = A cos (wt + ϕ), Vx = ?, ax = ?
a) T = 0,31s igual ao obtido antes
V02x
2
A  x0  2 
w
A  0,025m
2


0
,
4
m
/
s
0,015m 2 
20rad / s 2
 V0 x 


0,4m / s



  arctg  
 arctg  

 20rad / s 0,015m  
 wx0 
  530  0,93rad
b) x = A cos (wt + Φ) deslocamento do MHS
x  0,025m  cos20rad / s t  0,93rad 
dx
Vx 
  wAsenwt    Velocidade do MHS
dt
Vx  0,5m / s sen20rad / s t  0,93rad 
dVx d x2
ax 
 2   w 2 A coswt    aceleração no MHS
dt
dt
a x   10m / s 2 cos20rad / s t  0,93rad 


Exemplo 4
Os amortecedores de um carro velho de 1000 kg estão completamente gastos.
Quando uma pessoa de 980 N sobe lentamente no centro de gravidade do carro, ele se abaixa
2,8 cm. Quando essa pessoa está dentro do carro durante uma colisão com um obstáculo, o
carro oscila verticalmente com MHS. Considerando o carro e a pessoa uma única massa
apoiada sobre uma única mola, calcule o período e a frequência da oscilação.
Dados:
Massa do carro = 1000 kg
Peso = 980 N
x = -2,8 cm → -0,028 m
T = ?, f = ?
F
k  x
x
980 N
k 
 0,028m
k  3,5  10 kg / s
4
mtotal  mcarro  m pessoa
P
g
980 N
 1000kg 
9,8m / s 2
 1000kg  100kg
mtotal  1000kg 
2
mtotal
mtotal
mtotal  1100kg
T  2
T  2
T  2
T  1,11s
m
k
mtotal
k
1100kg
3,5  104 kg / s 2
f 
1
1

 0,9 Hz
T 1,11s
3. Energia no Movimento Harmônico Simples:
A energia conserva no MHS. A energia total pode ser expressa em termos da
constante da mola k e da amplitude A.
Nesses pontos a energia
é parte cinética e parte
potencial.
Figura 03 Energia cinética k, energia potencial U e energia mecânica E em função da posição
no MHS.
1
1 2 1 2
2
E  mVx  kx  kA  cons tan te
2
2
2
Eq. 14
Demonstrando a equação 14 temos:
E  EC  EP
mVx2 kx 2
E

2
2
Vx   wAsenwt   
 x  A coswt   
m
 wAsenwt   2  k A coswt   2
2
2
m
k
E  w2 A2 sen 2 wt     A2 cos 2 wt   
2
2
A2
k
E
mw2 sen 2 wt     A2 cos 2 wt   
2
2
k
k
2
w 
 w   k  mw2
m
m
A2
k
E
ksen 2 wt     A2 cos 2 wt   
2
2
kA2
E
2
E
As expressões do deslocamento e da velocidade no MHS são consistente com a
conservação da energia.
Podemos explicitar a velocidade Vx do corpo em função do deslocamento x:
mV
kx
kA


2
2
2
mVx2  kx 2  kA2
2
x
2
mVx2  kA2  kx 2

mV  k A  x
2
x
2
2
2



k 2
V 
A  x2
m
k 2
Vx 
A  x2
m
2
x
Vx 
k
m

k
Vx  
m
A
2

 x2
A
2

 x2

A componente Vx da velocidade do corpo pode ser positiva ou negativa, dependendo
do sentido do movimento. A velocidade máxima Vmáx ocorre em x = 0 e verificamos que:
Vmáx  
k
A   wA
m
Exemplo 5
Na oscilações discutida no exemplo 03, k = 200 N/m, m = 0,5 kg e o corpo que oscila
é solto a partir do repouso na ponto x = 0,02 m.
a) Ache a velocidade máxima e a velocidade mínima atingidas pelo corpo que oscila?
b) Ache a aceleração máxima?
c) Calcule a velocidade e a aceleração quando o corpo está na metade da distância entre o ponto
de equilíbrio e seu afastamento máximo?
d) Ache a energia mecânica total, a energia potencial e a energia cinética nesse ponto.
a) Velocidade Vx em função do deslocamento x é dada por:
Vx  
k
A2  x 2
m
A velocidade máxima ocorre no ponto em que o corpo está deslocando da esquerda para a
direita, passando por sua posição de equilíbrio, onde x = 0
Vx  Vmáx 
Vx 
k
A
m
200 N / m
0,02m
0,5kg
Vx  0,4m / s
A velocidade mínima (ou seja negativa) ocorre quando o corpo está se deslocando da direita
para a esquerda e passa pelo ponto em que x = 0; seu valor é Vmáx = - 0,4 m/s
b) Pela equação
ax  
kx
m
A aceleração máxima (mais positiva) ocorre no ponto correspondente ao maior valor
negativo de x, ou seja, para x = - A; logo
k
 A
m
200 N / m

 0,02m   8m / s 2
0,5kg
amáx  
amáx
A aceleração mínima (ou seja, a mais negativa) é igual a – 8,0 m/s2 e ocorre no ponto x = +
A = + 0,02 m
c) Em um ponto na metade da distância entre o ponto de equilíbrio e o afastamento máximo,
x = A/2 = 0,01 m. Pela equação temos:
Vx  
Vx  
k
A2  x 2
m
200 N / m
0,5kg
Vx  0,35m / s
0,02m 2  0,01m 2
Escolhemos a raiz quadrada negativa porque o corpo está se deslocando de x = A até o ponto
x=0
kx
ax  
m
200 N / m
0,01m   4m / s 2
ax  
0,5kg
Nesta ponto, a velocidade e a aceleração possuem o mesmo sinal, logo a velocidade está
crescendo. As condições nos pontos x = 0, x = + A/2 e x = ± A são indicados na figura 04
d) A energia total possui o mesmo valor para todos os pontos durante o movimento:
1 2 1
2
kA  200 N / m 0,02m 
2
2
E  0,04 J
E
E é toda composta
pela energia
potencial.
E é uma parte
energia potencial, em
parte energia
cinética.
E é toda composta
pela energia cinética.
E é em parte energia
potencial, em parte
energia cinética.
E é toda composta
pela energia
potencial.
Figura 04 Gráficos de E, K e U em função do deslocamento em MHS. A velocidade do corpo
não é constante, portanto essas imagens do corpo em posições com intervalos iguais entre si
não estão colocados em intervalos iguais no tempo.
4. Movimento Harmônico Simples Angular:
No movimento harmônico angular a frequência (Eq. 15) e a frequência angular (Eq.
16) são relacionados ao momento de inércia I e a constante de tração K.
1
2
k
I
Eq 15
w
k
I
Eq 16
f 
Figura 05 A roda catarian de um relógio mecânica. A mola helicoidal exerce um torque
restaurador proporcional ao deslocamento angular θ a partir da posição de equilíbrio. Logo o
movimento é um MHS.
5. Pêndulo Simples:
Um pêndulo simples é constituído por uma massa pontual m presa à extremidade de
um fio sem massa de comprimento L. Seu movimento é aproximadamente harmônico simples
para amplitudes suficientemente pequenos, portanto a frequência angular (Eq. 17), a
frequência (Eq. 18) e o período (Eq. 19) dependem apenas de g e L, não da massa ou da
amplitude.
w
f 
g
L
w
1

2 2
Eq. 17
g
L
2 1
L
T
  2
w
f
g
Eq. 18
Eq. 19
Figura 06 A dinâmica de um pêndulo simples.
Exemplo 6
Calcule a frequência e o período de um pendulo simples de 1000 m de comprimento
em um local onde g = 9,800 m/s2
Dados:
f=?
T=?
L = 1000 m
g = 9,8 m/s2
T  2
f 
L
1000m
 2
 63,46 s
s
g
9,8m / s
1
1

 0,015 Hz
T 63,46s
6. Pêndulo Físico:
Um pêndulo físico é qualquer corpo suspenso em um eixo de rotação. A frequência
angular (Eq. 20), a frequência e o período (Eq. 21), para oscilações de pequena amplitude, são
independentes da amplitude; dependem somente da massa m, da distância d do eixo de rotação
ao centro de gravidade e do momento de inércia I em torno do eixo de rotação.
w
mgd
I
T  2
Figura 07 Dinâmica de um pêndulo físico.
I
mgd
Eq. 20
Eq. 21
Exemplo 7
Suponha que o corpo da figura acima seja uma barra uniforme de comprimento L
suspensa em uma de suas extremidades. Calcule o período de seu movimento.
O momento de inércia de uma barra uniforme em relação a um eixo passando em
sua extremidade é I = 1/3 ML2. A distância entre o pivô e o centro de gravidade é d = L/2
T  2
I
m. g.d
ML2
T  2
M . g.L / 2 
1
3
T  2
2L
3g
Caso a barra seja uma régua de um metro (L = 1m) e g = 9,8 m/s2, obtemos
T  2
21m 
 1,64 s
2
3 9,8m / s


7. Oscilações amortecidos:
Quando uma força amortecedora proporcional à velocidade Fx = - bVx atua em um
oscilador harmônico, o movimento denomina-se oscilação amortecida. Se b < 2 w = √k/m
(subamortecimento), o sistema oscila com uma amplitude cada vez menor e uma frequência w’
menor do que seria sem o amortecimento. Se b = 2w = √k/m (amortecimento critico) ou se b >
2w = √k/m (superamortecimento), então o sistema ao ser deslocado retorna ao equilíbrio sem
oscilar.
b  0,1 km força de amortecimento fraca 
b  0,4 km força de amortecimento mais forte 
x  Ae  b / 2 m t cos w' t
k
b2
w' 

m 4m 2
Eq. 22
Eq. 23
Figura 08 Gráfico do deslocamento em função do tempo de um oscilador com leve
amortecimento e com um ângulo de fase ϕ = 0. As curvas mostram dois valores da constante
de amortecimento b.
8. Oscilações Forçadas e Ressonância:
Quando uma força propulsora que varia senoidalmente atua sobre um oscilador
hormônio amortecido, o movimento resultante denomina-se oscilação forçada. A amplitude é
dada em função da frequência angular wd da força propulsora, e atinge um pico quando a
frequência da oscilação natural do sistema. Esse fenômeno denomina-se resonância.
A
Fmáx
k  mw 
2 2
d
b w
2
2
d
Eq. 24
Figura 09 Gráfico da amplitude A da oscilação de um oscilador harmônico amortecido em
função da frequência angular wd da força propulsora. O eixo horizontal índice a razão entre a
frequência angular wd e a frequência angular w = √k/m da oscilação natural não amortecida.
Cada curva apresenta um valor diferente da constante de amortecimento.
Lista de exercícios: Questão do trabalho (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10)
1. Se um objeto sobre uma superfície horizontal, sem atrito, é preso a uma mola, deslocado e
depois liberado, ele irá oscilar. Se ele for deslocado 0,120 m da sua posição de equilíbrio e
liberado com velocidade inicial igual a zero depois de 0,800 s verifica-se que o seu
deslocamento é de 0,120 m no lado oposto e que ele ultrapassou uma vez a posição de
equilíbrio durante esse intervalo. (a) Ache a amplitude. (b) o período. (c) a frequência.
2. O deslocamento de um objeto oscilando em função do tempo é mostrado na figura abaixo.
Quais são (a) a frequência; (b) a amplitude; (c) o período; (d) a frequência angular desse
movimento?
3. Um oscilador harmônico simples possui massa de 0,500 kg e uma mola ideal cuja constante é
igual a 140 N/m. Ache (a) o período, (b) a frequência, (c) a frequência angular das oscilações.
4. Um bloco de 2,0 kg sem atrito está preso a uma mola ideal cuja constante é igual a 300 N/m.
Em t = 0 a mola não está comprimida nem esticada, e o bloco se move no sentido negativo com
12,0 m/s. Ache (a) a amplitude, (b) o ângulo de fase. (c) Escreva uma equação para a posição
em função do tempo.
5. Um corpo de 0,500 kg, ligado à extremidade de uma mola ideal de constante k = 450 N/m,
executa um movimento harmônico simples com amplitude igual a 0,400 m. Calcule: (a) a
velocidade máxima do cavaleiro; (b) a velocidade do cavaleiro quando ele está no ponto x = 0,005 m; (c) o módulo da aceleração máxima do cavaleiro; (d) a aceleração do cavaleiro
quando ele está no ponto x = - 0,015 m; (e) a energia mecânica total do cavaleiro quando ele
está em qualquer ponto.
6. Um brinquedo de 0,150 kg executa um movimento harmônico simples na extremidade de
uma mola horizontal com uma constante k = 300 N/m. Quando o objeto está a uma distância de
0,012 m da posição de equilíbrio, verifica-se que ele possui uma velocidade igual a 0,300 m/s.
Quais são (a) a energia mecânica total do objeto quando ele está em qualquer ponto; (b) a
amplitude do movimento; (c) a velocidade máxima atingida pelo objeto durante o movimento?
7. Um orgulhoso pescador de água marinha profunda pendura um peixe de 65,0 kg na
extremidade de uma mola ideal de massa desprezível. O peixe estica a mola de 0,120 m. (a)
Qual é a constante da mola? Se o peixe for puxado para baixo e liberado, (b) qual é o período
da oscilação do peixe? (c) Que velocidade máxima ele alcançará?
8. Um corpo de 75 g sobre um trilho de ar horizontal, sem atrito, é preso a uma mola de
constante 155 N/m. No instante em que você efetua medições sobre o corpo de equilíbrio. Use
a conservação da energia para calcular (a) a amplitude do movimento e (b) a velocidade
máxima do corpo. (c) Qual é a frequência angular das oscilações?
9. Você puxa lateralmente um pêndulo simples de 0,240 m de comprimento até um ângulo de
3,500 e solta-o a seguir. (a) Quanto tempo leva o peso do pêndulo para atingir a velocidade
mais elevada? (b) Quanto tempo levaria se o pêndulo simples fosse solto em um ângulo de
1,750 em vez de 3,500?
10. Um prédio em São Francisco (EUA) tem enfeites luminosos que consistem em pequenos
bulbos de 2,35 kg com quebra-luzes pendendo do teto na extremidade de cordas leves e finas de
1,50 m de comprimento. Se um terremoto de fraca intensidade ocorrer, quantas oscilações por
segundo farão esses enfeites?
11. Uma barra de conexão de 1,80 kg de um motor de automóvel é suspensa por um eixo
horizontal mediante um pivô em forma de cunha como indicado na figura abaixo. O centro de
gravidade da barra determinado por equilíbrio está a uma distancia de 0,200 m do pivô. Quando
ele excuta oscilações com amplitude pequenas, a barra faz 100 oscilações completas em 120 s.
Calcule o momento de inércia da barra em relação a um eixo passando pelo pivô.
12. Cada um dos dois pêndulo mostrados na figura abaixo consiste em uma sólida esfera
uniforme de massa M sustentada por uma corda de massa desprezível, porém a esfera do
pêndulo A é muito pequena, enquanto a esfera do pêndulo B é bem maior. Calcule o período de
cada pêndulo para deslocamento pequenos. Qual das esferas leva mais tempo para completar
uma oscilação?
13. Uma massa de 2,20 kg oscila em uma mola de constante igual a 250,0 N/m com um
período de 0,615 s. (a) Esse sistema é amortecido ou não? Como você sabe disso? Se for
amortecido, encontre a constante de amortecimento b. (b) Esse sistema é não amortecido,
subamortecido, criticamente amortecido ou superramortecido? Como você sabe que é assim?
14. Uma força propulsora variando senoidalmente é aplicada a um oscilador harmônico
amortecido de massa m e constante da mola k. Se a constante de amortecimento possui valor
b1, a amplitude é A1 quando a frequência angular da força propulsora é igual a √k/m. Em
termos de A1, qual é a amplitude para a mesma frequência angular da força propulsora e a
mesma amplitude da força propulsora Fmáx quando a constante de amortecimento for (a) 3b1?
(b) b1/2?