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MECÂNICA GERAL
AULA 6
Movimento Harmônico Simples
Prof. José Junio Lopes
[email protected]
1º. Sem, 2016
Observe o movimento
-A
0
A
•Movimento oscilatório: todo movimento de vaivém realizado
simetricamente em torno de um ponto de equilíbrio.
•Movimento periódico: todo movimento oscilatório que se repete
em intervalos de tempo iguais.
Quando um movimento se repete em torno de uma posição de
equilíbrio, em intervalos de tempo regulares, é chamado Movimento
Harmônico Simples (MHS).
2
Movimento Harmônico Simples:
pêndulo simples x massa-mola
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS)
É um movimento periódico linear em torno
de uma posição de equilíbrio.
-A
A, -A: amplitude do MHS
0 é a posição de equilíbrio.
0
A
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS)
• Uma massa vibrante conectada a uma mola é deslocada da
posição de equilíbrio, e depois solta.
• O deslocamento máximo é chamado amplitude da vibração. Um
ciclo é uma vibração completa.
• O período é o tempo necessário para completar um ciclo
completo.
• A frequência é a conta de quantos ciclos o sistema
completa em 1 s.
Características do movimento periódico
Período (T): menor intervalo de tempo no qual o evento
se repete. Dado em segundos (no S.I.).
Frequência (f): o número de períodos que cabem numa
determinada unidade de tempo. Se essa unidade de
tempo for o segundo, a frequência será dada em Hertz
(Hz).
1
f
T
Unidade de Frequência:
A unidade de frequência é o ciclo por segundo
(ciclo/s), chamado de hertz (Hz).
Exemplo:
Se o tempo para um ciclo completo de oscilações é
0,25 s, a frequência é 4,0 Hz.
θ
L
m
‒A
0
+A
Amplitude máxima
Amplitude mínima
Amplitude máxima
Velocidade mínima
Velocidade máxima
Velocidade mínima
Aceleração máxima
Aceleração mínima
Aceleração máxima
8
Velocidade máxima
Aceleração mínima
Velocidade mínima
Aceleração máxima
0
Amplitude mínima
x
Amplitude máxima
‒A
Aceleração máxima
Velocidade mínima
Amplitude máxima
+A
Lo
Movimento Harmônico Simples e
Movimento Circular
Existe uma relação entre o
movimento harmônico simples e
o movimento circular de
velocidade constante.
Considere uma partícula se
movendo com velocidade
constante v em um círculo de
raio A.
A medida dos ângulos é feita em “Radianos”:
𝜙⟶
Espaço angular
𝑙
𝜙=
⇒ 𝜙 = radianos
𝑅
 Quando 𝑙 ≡ 𝑅 ⇒ 𝜙 = 1 rad;
 Quando 𝑙 ≈ 3𝑅 ⇒ 𝜙 ≈ 3,1516 … rad = π rad
18/05/2016
 Equivalência com graus (°);
2𝜋 = 360°
𝜋 = 180°
𝜋/2 = 90°
(1)
Velocidade ou frequência angular (𝝎):
Se uma partícula em MCU se desloca de uma posição angular inicial
𝜙0 para uma posição angular final 𝜙, em um certo intervalo de
tempo Δ𝑡, seu deslocamento angular será:
Δ𝜙 = 𝜙 − 𝜙0 ⟶
𝜙
𝜙0
Δ𝜙 𝜙 − 𝜙0
𝜔=
=
Δ𝑡
𝑡 − 𝑡0
rad
[𝜔] =
s
18/05/2016
Deslocamento angular
(2)
Frequência (𝒇) e Período (𝑻) de oscilação:
Período (𝑻): tempo mínimo para que um ciclo se repita, ou
seja, para uma volta completa.
Frequência (𝒇): número de vezes que um fenômeno cíclico
ocorre em um certo intervalo de tempo.
Número de voltas
Voltas 1
𝑓=
⇒ 𝑓 =
= = 𝑠 −1 = Hz hertz
Δ𝑡
𝑠
𝑠
Outra unidade comum de frequência é o rpm ou rotações por
minuto: 1 Hz = 60 rpm
1
Volta completa ⟶ 𝑓 =
⟶ 𝜔 = 2𝜋𝑓
𝑇
18/05/2016
A velocidade de uma partícula que se move em um círculo é
dada por:
V=
𝟐.𝝅.𝒓
𝑻
= 𝒘. 𝒓
onde r representa o raio da trajetoria da partícula.
Para uma partícula em movimento circular.
rA
v   .A
Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de
ilustração de Autor Desconhecido.
•Elongação (x): número real que indica a posição do
objeto oscilante; corresponde à abscissa do ponto P no
eixo Ox.
•Amplitude (A): a maior elongação apresentada pelo
objeto oscilante; corresponde ao raio do M.C.U.
•Ângulo de Fase (): posição angular do ponto P no
M.C.U.
15
Função horária da elongação(X)
x  A .cos 
  0  .t
x  A . cos(0  .t )
Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor
Desconhecido.
Função horária da elongação do MHS
Imagem: Autor desconhecido / Creative Commons Attribution-Share Alike 1.0 Generic
Imagem: Gonfer / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
O Movimento Circular Uniforme como Motivação para
o MHS
Um pouco de cálculo: equações do MHS
Cinemática do Movimento Harmônico Simples (MHS)
MassaMola
Deslocamento em função do tempo X(t)
x(t )  A. cos(.t   )
Fase inicial
Amplitude
Frequência
agular
Instante
1
f 
T
  2. . f
2

T

K
m
m
T  2
K
Cinemática do Movimento Harmônico Simples (MHS)
MassaMola
Velocidade em função do tempo v(t)
1
f 
T
  2. . f
v(t )  . A.sen(.t   )
Amplitude
Frequência
agular
Fase inicial
Instante
2

T

K
m
m
T  2
K
Movimento
Harmônico
Simples (MHS)
Cinemática
do Movimento
Harmônico
Simples (MHS)
MassaMola
Aceleração em função do tempo a(t)
a(t )   . A. cos(.t   )   .x(t )
2
Amplitude
2
Frequência
angular
Fase inicial
Instante
1
f 
T
  2. . f
2

T

K
m
m
T  2
K
x(t )  A. cos(.t   )
v(t )  . A.sen(.t   )
a (t )   2 . A. cos(.t   )
Sistema massa mola
m
T  2
k
k
f  1 / 2
m
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