Aula 11: Indutância

Aula 11: Indutância
Curso de Física Geral III
F-328
1o semestre, 2014
F328 – 1S2014
1
Auto-Indutância e Indutância Mútua
Quando estudamos campo elétrico, relacionamos a quantidade de cargas em um
par de condutores com a diferença de potencial entre eles. A constante de
proporcionalidade, que é a capacitância, depende apenas das geometrias dos
condutores:
!
Qlivre = "
∫ ε o E ⋅ n̂ dA ⎫⎪ ⇒ Q = CV
⎬
! !
livre
ΔV = − ∫ E ⋅ dl
⎪⎭
Iremos agora fazer algo análogo ao relacionar as leis de Ampère e Gauss
(para campo magnético) e mostrar que poderemos escrever o fluxo magnético em
função das correntes elétricas geradoras de campo magnético. Novamente a
constante de proporcionalidade depende apenas da geometria dos condutores
envolvidos. A grande diferença é que a proporcionalidade é feita através de uma
relação matricial, dando origem a auto-indutância e indutâncias mútuas:
F328 – 1S2014
!
φ B = ∫ B ⋅ n̂ dA ⎫⎪
! ! ⎬ ⇒ φn = Ln,mim
ienv = "
∫ B ⋅ dl ⎪⎭
Ln,n = Auto-Indutância;
Lm,n = Indutância Mútua;
2
Solenoide: Indutância Mútua
Considere o sistema ao lado. Iremos analisar quatro situações:
i) i1 = constante, i2=0 à fluxo produzido na bobina 2:
!
!
N1
B1 = µ0
i1ẑ φ2, (1) = N 2 ∫ B1 ⋅ n̂ dA = N 2 B1 A1
A2
l
φ2(1) = L21i1 L21 = µ0 N1 N 2 A1
l
i) i2 = constante, i1=0 à fluxo produzido na bobina 1:
!
r
N2
B2 = µ0
i2 zˆ φ1, (2) = N1 ∫ B2 ⋅ n̂ dA = N1 B2 A1
A1
l
N1 N 2
φ1(2) = L12i2
L12 = µ0
A1
A unidade SI de indutância é
l
L12 = L21 Note que apesar de L12 =L21 não se
obtém L21 de L12 trocando-se 1 à 2.
o henry (H):
1T⋅ m 2 1Wb
1H =
=
A
A
3
Solenoide: Auto-Indutância
iii) i1 = constante, i2=0 à fluxo produzido na bobina 1:
!
N1
B1 = µ0
i1ẑ
l
φ1(1) = L11i1
!
φ1, (1) = N1 ∫ B1 ⋅ n̂ dA = N1 B1 A1
A1
N 12
L11 = µ0
A1
l
iv) i2 = constante, i1=0 à fluxo produzido na bobina 2:
!
!
N2
B2 = µ0
i2 ẑ φ2, (2) = N 2 ∫ B2 ⋅ n̂ dA = N 2 B2 A2
A2
l
2
N
φ2(2) = L22i2
L22 = µ0 2 A2
l
2
L
⎛N⎞
Solenoide
L = µ0 ⎜ ⎟ lA → = µ0 n 2 A
l
⎝ l ⎠
ideal:
(Indutância por unidade de comprimento)
F328 – 1S2014
4
Auto-Indutância e Indutância Mútua
Quando ambas os solenoides carregam correntes, o fluxo
total é então proporcional a estas correntes e às autoindutâncias e indutâncias mútuas. Pelo princípio de
superposição podemos escrever esta relação na forma
matricial como:
⎛ φ1 ⎞ ⎛ L11
⎜⎝ φ ⎟⎠ = ⎜ L
2
⎝ 21
L12 ⎞ ⎛ i1 ⎞
⎟
L22 ⎠ ⎜⎝ i2 ⎟⎠
Observações:
1) As auto-indutâncias (que nomearemos apenas como
indutâncias a partir deste ponto) são constantes reais
positivas diferente de zero;
2) A indutância mútua pode assumir qualquer valor real
(menor, maior ou igual a zero);
3) Ambas dependem apenas de fatores geométricos
F328 – 1S2014
5
Indutância de um toroide
Vimos que o campo magnético no interior de um toroide é:
B=
Nµ0 i
2π r
b
!
µ0 iNhdr
φB = ∫ B.nˆ dA= ∫ Bhdr = ∫
=
2π r
a
µ0 iNh ⎛ b ⎞
=
ln ⎜ ⎟
2π
⎝a⎠
Então:
F328 – 1S2014
NφB µ0 N h ⎛ b ⎞
L=
=
ln ⎜ ⎟
i
2π
⎝a⎠
2
N espiras
r
6
fem induzida em indutores
Consideremos uma bobina de N voltas, chamada de indutor, percorrida por
uma corrente i que produz um fluxo magnético ϕB através de todas as espiras da
bobina. Se i = i(t), pela lei de Faraday aparecerá nela uma fem dada por:
d ( NφB )
εL =−
dt
( NφB = fluxo concatenado)
Na ausência de materiais magnéticos, NφB é proporcional à corrente:
NφB = Li ou: L =
Então:
NφB
i
d ( Li )
di
εL = −
= −L
dt
dt
(L: auto-indutância)
i crescendo
i decrescendo
(fem auto-induzida)
O sentido de ε L é dado pela lei de Lenz:
ela deve se opor à variação da corrente que a
originou (figura).
F328 – 1S2014
7
Exemplo 01
Dois cilindros maciços paralelos de mesmo comprimento l e raio a
transportam correntes iguais em sentidos opostos. Sabendo-se que a
distância entre os eixos dos cilindros é d, mostre que a indutância por
unidade de comprimento desse sistema é:
L µ0 ⎛ d − a ⎞
= ln ⎜
⎟
l π ⎝ a ⎠
Despreze o fluxo no interior dos cilindros.
O fluxo produzido pelas duas corrente na região entre
os dois fios é dado por:
r
r ur
µ0 i d − a ⎛ 1
1 ⎞
ˆ
ˆ
φ = ∫ BT ⋅ ndA = ∫ ( BD + B E ) ⋅ ndA =
⎜ +
⎟Ldr
2π ∫a ⎝ r d − r ⎠
=
µ0 L ⎛ d − a ⎞
ln ⎜
⎟i
π
⎝ a ⎠
F328 – 1S2014
L µ0 ⎛ d − a ⎞
= ln ⎜
⎟
l π ⎝ a ⎠
8
Exemplo 02
Duas bobinas circulares compactas, a menor delas (raio R2 e N2 voltas) sendo
coaxial com a maior (raio R1 e N1 voltas) e no mesmo plano. Suponha R1 >> R2 .
a) deduzir uma expressão para a indutância mútua deste arranjo ;
b) Qual o valor de M para N1 = N2 =1200 voltas, R2 = 1,1 cm e R1 = 15 cm?
a) φ 21 = B1 A2 → N 2φ 21 = N 2 B1 A2
B1 = N 1
µ0 i1
2R1
N 2φ 21 =
πµ 0 N 1 N 2 R2
2
2 R1
i1
Então:
M 21
N 2φ 21
=
=M
i1
b) M =
M =
πµ 0 N 1 N 2 R 2
2R1
π ( 4π × 10 −7 H / m )(1200 )(1200 )( 0,011m ) 2
2 × (015 m )
2
= 2,29 mH
Circuito RL
Circuitos RL são aqueles que contêm resistores e indutores.
Neles, as correntes e os potenciais variam com o tempo. Apesar das
fontes (fem) que alimentam estes circuitos serem independentes do
tempo, a introdução de indutores provoca efeitos dependentes do
tempo. Estes efeitos são úteis para controle do funcionamento de
máquinas e motores.
a) Fechando-se a chave S, no
instante t = 0, estabelece-se uma
i
corrente crescente no resistor .
εL
Circuito básico para analisar
correntes em um indutor.
F328 – 1S2014
t = 0 ⇒ i (0) = 0 → t ≠ 0 ⇒ i (t )
Resolver (estudar) este circuito é
encontrar a expressão para a corrente
i(t) que satisfaça à equação:
di
ε − Ri − L = 0
dt
10
Circuito RL
A equação anterior fica:
a
di R
ε
+ i=
dt L
L
Resolvendo esta equação diferencial
para i(t), vamos ter:
b
ε L : voltagem no indutor
ε
i (t ) = (1− e − Rt / L ) ⇒ i (t ) = I (1− e −t /τ L ), onde
R
L
ε
( τ L : constante de tempo indutiva)
τL = e I =
R
R
(I : corrente máxima, assintótica)
Para t muito grande, a corrente atinge um valor máximo constante,
como se o indutor fosse um fio de ligação comum.
F328 – 1S2014
11
Circuito RL
Voltagens no resistor e no indutor – figura abaixo
di
ε − RL t
VR = Ri e VL = L dt = L L e
VL = ε e − Rt / L
t = 0, VL = máximo → equivalente a um circuito aberto
t >>τ L , VL = 0 → equivalente a um curto−circuito
Interpretação de τ L :
L
Para t = τ L = :
R
ε
ε
−1
i=
(1 − e ) = 0,63
R −1
VL = ε e = 0,37ε
F328 – 1S2014
R
12
Circuito RL
b) Fechando-se a chave S2: neste caso, a
equação das quedas de potencial será:
di
Ri + L = 0
dt
i
A solução desta equação é:
i (t ) =
ε
R
e − Rt / L = I 0 e −t / τ L
Variações das voltagens com o tempo:
Ao lado, temos gráficos das tensões
Em VL, VR e VR+VL= ε para várias situações
a) e b).
F328 – 1S2014
2S20123
13
Energia armazenada no campo magnético
Do circuito abaixo tem-se:
di
di
2
ε = Ri + L
→ ε i = R i + Li
dt
dt
Os termos εi, Ri2 e Lidi/dt são, respectivamente, a potência
fornecida pela bateria, a potência dissipada no resistor e a taxa com
que a energia UB é armazenada no campo magnético do indutor, isto
é:
dU B
di
= Li → dU B = Lidi
dt
dt
a
UB
∫
0
F328 – 1S2014
i
dU B = ∫ Lidi
0
1 2
U B = Li
2
b
14
Densidade de energia do campo magnético
É a energia por unidade de volume armazenada em um ponto
qualquer do campo magnético. Consideremos o campo magnético de
um solenoide longo de comprimento l e seção transversal A,
transportando uma corrente i.
A densidade de energia será dada por:
U B 1 Li 2
uB =
=
Al 2 Al
1
Como L = µ0 n lA→ u B = µ0 n 2 i 2
2
2
Lembrando que B = µ0in resulta que:
B2
uB =
2 µ0
F328 – 1S2014
(densidade de energia magnética)
15
Indutância mútua
Fluxos conectados: variação de fluxo da bobina 1 produz uma fem
na bobina 2 e vice-versa.
Indução mútua L21 → M 21
M 21i1 = N 2φ 21
ou
N2
dφ 21
dt
M 21 =
= M 21
N 2φ 21
i1
di1
dt
A fem induzida na bobina 2: ε 2 = − M 21
A fem induzida na bobina 1: ε 1 = − M 12
di1
dt
di 2
dt
Pode-se provar que:
M12 = M 21 = M
A indução é de fato mútua
F328 – 2S20123
ε1 = −M
ε 2 = −M
di 2
dt
di1
dt
16
Lista de exercícios do Capítulo 30
Os exercícios sobre Lei de Faraday estão na página da disciplina :
(http://www.ifi.unicamp.br).
Consultar: Graduação ! Disciplinas ! F 328-Física Geral III
Aulas gravadas:
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi)
ou
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
F328 – 1S2014
17