O eletromagnetismo e a energia

O eletromagnetismo e a
energia
Nesta aula veremos finalmente o que levou a unificação dos
campos de estudos elétricos e magnéticos, o que foi uma
das maiores revoluções científicas do século XIX
A lei de Lenz.
● Princípios elementares da indutância.
● A energia eletromagnética.
●
Com este conteúdo seremos plenamente capazes de tratar as
equações de Maxwell. Estes temas correspondem aos conteúdos
de 24 à 26.
A lei de Lenz
Percebemos pela lei da indução que uma variação do fluxo
magnético gera um campo elétrico. Mas, qual a razão do sinal
negativo?
Para entendermos este fenômeno olhemos a figura abaixo.
O sentido da corrente parece criar um
campo magnético que compensa a
variação do fluxo que passa pela espira.
Esta é a ideia da lei de Lenz, que nada mais
é do que uma aplicação do princípio da
conservação da energia.
Antes de avançarmos iremos pensar sobre o
nome força eletromotriz para o potencial que
surge devido a indução. A ideia é que com
esta variação de energia causamos
movimento dos elétrons.
ε=∮C
−d ϕC
⃗
E⋅d ⃗l =
dt
Geradores e motores
Na figura 1 temos a ilustração de um gerador de corrente alternada. Na
figura 2, o “quadro” de área A é rotacionado dentro de um campo
magnético B. O “quadro” possui velocidade angular de modo que o ângulo
formado entre o campo e a normal do quadro é dado por:
θ=ω t
Figura 2: Imagem simplificada
Figura 1: Ilustração de um gerador elétrico
Se tivermos N espiras no formato do
quadro A, o fluxo através das espeiras
é
⃗
Φ=N ⃗
B⋅A=N
B A cos(θ)=N B A cos(ω t )
A força eletromotriz induzida nos anéis coletores será:
−d Φ
=ω N B A sin (ω t )
dt
Se a resistência externa é R, a corrente que passa pelo
sistema será:
ωN B A
ε
i= =
sin (ω t )
R
R
E como sabemos, uma espira percorrida por uma corrente se
comportará como um dipolo magnético de momento
m
⃗ =iAN n̂
ε=
E ficará sujeito a um torque de magnitude:
⃗
∣⃗τ∣=∣⃗
m × B∣=iABN
sin(ω t )
Para que o quadro permaneça girando com velocidade
angular ω, é preciso fornecer-lhe uma potência mecânica.
dW
=ω τ=i ω A N B sin(ω t )
dt
E então:
dW
=ε i
dt
Princípios elementares da indutância
Imagine que você tenha dois fios, um percorrido por corrente
elétricas estacionária e assim gerando um campo magnético
B1.
μ I 1 ∮ d l⃗1×r^
B⃗1=
2
4π
r
Vamos calcular o fluxo que passa
dentro da espira 2.
Φ2=∫ B⃗1⋅d A⃗2
Assim:
Φ2=M 21 I 1
Onde M21 é uma constante de proporcionalidade, puramente
geométrica, denominada de indutância mútua.
Indutância
Podemos escrever uma expressão geral da indutância mútua e
fazer um exemplo clássico.
μ0
d l⃗1⋅d l⃗2
M 21=
∮∮
4π
r
É fácil chegar a conclusão que:
M 21=M 12
A força eletromotriz tomará um novo formato, a saber:
d i2
ε1=−L12
dt
Exemplo
Calcule a auto-indutância de um cabo coaxial com fio condutor
interno de raio a envolvido por uma capa cilíndrica também
condutora de raio b.
Energia magnética
Vimos que a força eletromotriz induzida ε num circuito por um
campo magnético variável tende a se opor à variação do fluxo:
−d Φ
ε=
dt
Se a corrente no instante considerado é i, a potência que
precisa ser fornecida para isso é:
dW
dΦ
di
=−εi=
i=+Li
dt
dt
dt
Neste sentido L será a autoindutância do circuito. Ignorando
perdas por efeito Joule poderemos escrever a energia total
necessária para passar a corrente no circuito do valor nulo no
instante inicial até o valor I no instante t como sendo:
t
U =∫0
2
t
I
dW
di
I
dt =∫0 Li dt=L∫0 i di=L
dt
dt
2
Energia magnética
Para dois circuitos, usando o princípio que a indutância sempre
será dependente da corrente que passa no outro circuito,
teremos a expressão para a energia total.
L1 I 21 L2 I 22
U =U 1 +U 2=
+
+L1,2 I 1 I 2
2
2
Densidade de energia magnética
Como vimos, para um solenoide muito longo de comprimento l
e área A, com N espiras, a auto-indução será:
A
L=μ0 N
l
2
A energia será
2
2
2
LI 1
1
N
B
2 A
U=
= μ 0 (N I ) =
(μ 0 I ) Sl=
V
2
2
l 2μ 0
l
2μ 0
Densidade de energia magnética
Então podemos pensar em uma densidade de energia por
volume dada por:
U
1 2
u m= =
B
V 2μ0
Existe o análogo no campo elétrico dado por:
ϵ0 2
ue = E
2
Se tivermos ao mesmo tempo, numa dada região do espaço
(no vácuo) um campo elétrico e um magnético, a densidade
de energia eletromagnética será:
ϵ0 2 1 2
u=ue +um= E +
B
2
2μ 0
Finalmente terminamos nosso objetivo por hoje.
Antes da provinha
Podemos falar.