ESTATÍSTICA I / MÉTODOS QUANTITATIVOS E

Recredenciamento
Portaria MEC 347, de 05.04.2012 - D.O.U. 10.04.2012.
ESTATÍSTICA I / MÉTODOS QUANTITATIVOS E
PROCESSO DECISÓRIO I / ESTATÍSTICA
APLICADA À EDUCAÇÃO
Eventos complementares
É a probabilidade de um evento não ocorrer. Por exemplo: se p é
probabilidade de se tirar o número 4 em um dado de seis faces, q
representa a probabilidade disso não ocorrer.
Quest(xi)
q 1  p
Elementos de Probabilidade
Encontramos, na natureza, dois tipos de fenômenos:
Determinísticos - que não dependem do número de ocorrências, pois os
resultados são sempre os mesmos, como, por exemplo, o fato de
sabermos que a certa temperatura um determinado corpo passará de um
estado para o outro (sólido para o líquido, ou líquido para o gasoso).
Aleatórios - os resultados não são previsíveis, mesmo que haja um
grande número de repetições do mesmo fenômeno, como, por exemplo,
o lançamento de uma moeda, de um dado, ou mesmo a determinação da
vida útil de um componente eletrônico.
Espaço Amostral (S)
Cada experimento aleatório corresponde a vários resultados
possíveis. Assim, ao lançarmos uma moeda, por exemplo, há dois
resultados possíveis: cara ou coroa. Já, ao lançarmos um dado de seis
faces, teremos como resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Ao conjunto
desses resultados possíveis damos o nome de espaço amostral (S) ou
conjunto universo. Por exemplo:
- no lançamento de uma moeda: S = {ca, co};
- no lançamento de um dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- no lançamento de duas moedas ao mesmo tempo: S = {(ca, co), (ca,
Eventos independentes
Dois eventos são independentes quando a realização (ou não
realização) de um evento não afeta a probabilidade da realização do
outro, e vice-versa. É a “probabilidade de um e de outro”, neste caso, a
probabilidade deles se realizarem simultaneamente é dada pelo produto
das probabilidades de cada evento.
p  p1  p2
Por exemplo: qual a probabilidade de, no lançamento de dois dados,
sair o número 1 no primeiro e o número 5 no segundo?
Eventos mutuamente exclusivos
É quando a realização de um evento exclui a realização do outro.
Assim, por exemplo, no lançamento de uma moeda o evento “tirar cara”
ou “tirar coroa” são mutuamente exclusivos, já que ao realizar um deles,
o outro não se realiza. É a “probabilidade de um ou de outro”. Sendo
assim:
p  p1  p2
ca), (co, ca), (co, co)}
- no lançamento de dois dados simultâneos: S = {...
Cada elemento de S, que corresponde a um resultado, recebe o nome
de ponto amostral, por exemplo, o número 2 é um ponto amostral do
lançamento de um dado, ou seja, 2 pertence à S ( 2  S ).
Por exemplo: qual a probabilidade de, no lançamento um dado, sair
o número 1 ou o número 5?
Evento (A)
É um subconjunto do espaço amostral S, por exemplo: seja S o
espaço amostral do lançamento de um dado de seis faces, S = {1, 2, 3, 4,
5, 6} e A = {2, 4, 6} um subconjunto de S, só dos números pares. A está
contido em S ( A  S ), logo A é um evento de S. Se A = S, chamamos
A de evento certo, e se A =  , chamamos de evento impossível.
Os eventos geralmente são definidos por sentenças do tipo: “obter
um numero ímpar no lançamento de um dado”; “obter cara no
lançamento de uma moeda”, ...
Cálculo de Probabilidade
Tomamos S como espaço amostral e consideramos que todos os
elementos de S tenham a mesma chance de acontecer (conjunto
equiprovável). Chamamos de probabilidade de um evento A o nº real
p(A) tal que:
p ( A) 
n( A)
n( S )
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Exercícios e resoluções
1) Qual a probabilidade de sair o ás de ouros quando retiramos uma
carta de um baralho de 52 cartas?
2) Qual a probabilidade de sair um rei quando retiramos uma carta de
um baralho de 52 cartas?
3) Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça,
calcule:
a. a probabilidade de essa peça ser defeituosa.
b. a probabilidade de essa peça não ser defeituosa.
4) No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter
soma igual a 5.
5) De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta
do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de a
carta do primeiro baralho ser um rei e a do segundo ser o 5 de paus?
6) Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B
contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas
brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a
probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira
urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?
7) De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem
reposição. Qual a probabilidade de a primeira carta ser o ás de paus e a
segunda ser o rei de paus?
8) Qual a probabilidade de sair uma figura quando retiramos uma carta
de um baralho de 52 cartas?
9) Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouros quando
retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?
10) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um
número não-inferior a 5?
11) São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo,
uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a
probabilidade de tirarmos uma dama e um rei, não necessariamente
nessa ordem?
12) Dois dados são lançados conjuntamente. Determine a probabilidade
de a soma ser 10 ou maior que 10.
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Exercícios: probabilidade
1. Determine a probabilidade de cada evento:
a) o número par no lançamento de um dado. R: 1/2
b) uma carta de ouros ao se extrair uma carta de um baralho de
52 cartas. R: 1/4
2. Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os
números 1,2,3,...,38,49 e50. Determine a probabilidade de:
a) o número ser dividido por 5. R: 1/5
b) um número terminar em 3. R: 1/10
c) um número ser dividido por 6 ou por 8. R: 6/25
d) um número ser dividido por 4e por 6. R: 2/25
3. Dois dados são lançados simultaneamente. Qual é a
probabilidade de:
a) A soma ser menor que 4? R: 1/12
b) A soma ser 9? R: 1/9
c) O primeiro resultado ser maior do que o segundo? R: 5/12
4. Qual é a probabilidade de sair um Rei ou uma carta de Copas,
quando retiramos uma carta de um baralho? R: 4/13
OBS - Em alguns casos, é necessário fazer o cálculo do número
de maneiras de um evento ocorrer, e para isso, nos valemos da
relação entre o número de elementos do espaço amostral e o
número de elementos do evento:
P A 
n A
nU 
n(U) é o número de elementos do espaço amostral U
n(A) é o número de elementos do evento A.
O cálculo do nº de elementos do espaço amostral ou de um
evento é dado por uma combinação:
Cn , p 
n!
p!n  p !
É o número total de combinações de n elementos tomados de p
em p. este número é representado por:  n  , chamado de número
 p
 
binomial.
Exemplo: Considere um conjunto de 10 frutas em que 3 estão
estragadas. Escolhendo aleatoriamente 2 frutas desse conjunto,
determine a probabilidade de:
a) ambas não estarem estragadas.
5. Um lote é formado por 10 peças boas, quatro com defeitos e
duas com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso.
Calcule a probabilidade de que:
a) Ela não tenha defeitos graves; R: 7/8
b) Ela não tenha defeitos; R: 5/8
c) Ela seja boa, ou tenha defeitos graves; R: 3/4
6. Um dado é lançado e o número da face de cima é observado.
a) se o resultado obtido for par, qual a probabilidade de ele ser
maior ou igual a cinco? R: 1/3
b) Se o número obtido for maior ou igual a cinco, qual a
probabilidade de ele ser par? R: 1/2
c) Se o resultado obtido for ímpar, qual a probabilidade de ele ser
menor que 3? R: 1/3
d) Se o resultado for menor que 3, qual a probabilidade de ele ser
ímpar? R: 1/2
O cálculo de maneiras de escolher duas furtas entre dez é o
número total de combinações de 10 frutas (n elementos) tomados
de 2 em 2 (p em p), ou seja, n = 10 e p = 2.
nU   C10, 2 
10!
10! 10  9  8! 90



 45
2!10  2! 2!8!
2!8!
2
O cálculo do número de maneiras de escolher duas frutas não
estragadas entre 7 (10 – 3 = 7).
n A  C7, 2 
7!
7! 7  6  5! 42



 21
2!7  2! 2!5!
2!5!
2
Sendo assim: P A  n A  21  7 e a probabilidade desse
nU  45 15
evento é de 7/15.
b) pelo menos uma estar estragada.
7. Dois dados, um verde e um vermelho, são lançados e
observados os números das faces de cima:
a) Qual a probabilidade de ocorrerem números iguais? R: 1/6
b) Qual a probabilidade de ocorrerem números diferentes? R: 5/6
c) Qual a probabilidade de a soma dos números ser 7? R: 1/6
d) Qual a probabilidade de a soma dos números ser 12? R: 1/36
e) Qual a probabilidade de a soma dos números ser menor ou
igual a 12? R: 1
Este evento é complementar ao P(A), portanto:
1
7
8

15 15
8. Em um lote de 12 peças, quatro são defeituosas. Sendo
retiradas aleatoriamente duas peças, calcule:
a) a probabilidade de ambas serem defeituosos. R: 1/11
b) a probabilidade de ambas não serem defeituosas. R: 14/33
c) a probabilidade de ao menos uma ser defeituosa. R: 19/33
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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL E NORMAL
Na prática é, muitas vezes, mais interessante associarmos um
número a um evento aleatório e calcularmos a probabilidade da
ocorrência desse número, do que a probabilidade do evento.
 Variável aleatória: é uma função que relaciona o espaço
amostral com a ocorrência de um evento. Por exemplo: se o
espaço amostral relativo ao “lançamento simultâneo de duas
moedas” é S = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)} e X
representa “o número de caras” que aparecem, a cada ponto
amostral podemos associar um número para X, de acordo com a
tabela abaixo.
PONTO
AMOSTRAL
X
(Ca, Ca)
(Ca, Co)
(Co, Ca)
(Co, Co)
2
1
1
0
1) Determine a probabilidade de obtermos exatamente 3 caras
em 6 lances de uma moeda. R: 5/16
2) Jogando-se um dado três vezes, determine a probabilidade de
se obter um múltiplo de 3 duas vezes. R: 2/9
3) Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre
a probabilidade de o time A:
a) ganhar dois ou três jogos; R: 400/729
b) ganhar pelo menos um jogo. R: 665/729
4) A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 2/3. Se ele
atirar 5 vezes, qual a probabilidade de acertar exatamente 2 tiros?
R: 40/243
5) Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de certa
máquina, que apresenta 10% de peças defeituosas. Qual a
probabilidade de serem defeituosos dois deles? R: 9,84%
 Distribuição de probabilidade: é a associação a cada valo xi a
probabilidade pi de tais pontos do espaço amostral. Assim:
PONTO
AMOSTRAL
X
P(X)
(Ca, Ca)
(Ca, Co)
(Co, Ca)
(Co, Co)
2
1
1
0
1/2 x 1/2 = 1/4
1/2 x 1/2 = 1/4
1/2 x 1/2 = 1/4
1/2 x 1/2 = 1/4
Distribuição Normal (Curva normal): entre as distribuições
teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas
é a distribuição normal. Muitas das variáveis analisadas na
pesquisa socioeconômica correspondem à distribuição normal ou
dela se aproximam. Por exemplo: Seja X a variável aleatória que
representa os diâmetros dos parafusos produzidos por certa
máquina. Vamos supor que essa variável tenha distribuição
normal com média x = 2 cm e desvio padrão s = 0,04 cm. Pode
haver interesse em conhecer a probabilidade de um parafuso ter
um diâmetro com valor entre 2 e 2,05 cm. É fácil notar que essa
probabilidade, indicada por P(2 < X < 2,05), corresponde à área
hachurada na figura:
Tomando X como uma
variável
aleatória
com
distribuição normal de média
x e desvio padrão s, então a
variável:
Logo:
NÚMERO DE
CARAS (X)
P(X)
2
1
0
1/4
2/4
1/4
1
Distribuição binomial: variável aleatória discreta.
n
f  X   P( X  k )     p k  q n  k ou seja
k 
n!
f  X   P( X  k ) 
 p k  q nk
k!n  k !
Em que:
- P(X = k) é a probabilidade de que o evento se realize k vezes
em n provas.
- p é a probabilidade que o evento ocorra em uma só prova
(sucesso).
- q é a probabilidade que o evento não se realize no decurso
dessa prova (insucesso, 1 – p).
z
xx
s
As probabilidades associadas à distribuição normal padronizada
são encontradas em tabelas, não havendo necessidade de serem
calculadas. A tabela nos dá a probabilidade de Z tomar qualquer
valor entre a média 0 e um dado valor z, isto é: P(0 < Z < z).
Temos, então:
z
x  x 2,05  2 0,05


 1,25
s
0,04
0,04
Logo, P(0 < Z < 1,25) = 0,3944, pela tabela, ou seja a
probabilidade de um parafuso fabricado por essa máquina
apresentar um diâmetro entre a média x = 2 e o valor x = 2,05 é
0,3944. Escrevemos, então:
P(2 < X < 2,05) = P(0 < Z < 1,25) = 0,3944 ou 39,44%.
Exemplos:
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Portaria MEC 347, de 05.04.2012 - D.O.U. 10.04.2012.
1) Determine as probabilidades:
a) P(-1,25 < Z < 0)
A probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da
figura:
Exercícios:
1) Sendo Z uma variável com distribuição normal reduzida,
calcule:
a) P(0 < Z < 1,44) R: 0,4251
b) P(-0,85< Z < 0) R: 0,3023
c) P(-1,48 < Z < 2,05) R: 0,9104
d) P(0,72 < Z < 1,89) R: 0,2064
Sabemos que: P(0 < Z < 1,25) = 0,3944. Pela simetria da curva,
temos: P(-1,25 < Z < 0) = P(0 < Z < 1,25) = 0,3944.
b) P(-0,5 < Z < 1,48)
A probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da
figura:
Temos:
P(-0,5 < Z < 1,48) = P(-0,5 < Z < 0) + P(0 < Z < 1,48)
Como:
P(-0,5 < Z < 0) = P(0 < Z < 0,5) = 0,1915 e P(0 < Z < 1,48) =
0,4306,
obtemos: P(-0,5 < Z < 1,48) = 0,1915 + 0,4306 = 0,6221.
c) P(Z > 0,6)
A probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da
figura:
e) P(Z > -2,03) R: 0,9788
f) P(Z>1,08) R: 0,1401
g) P(Z < -0,66) R: 0,2546
h) P(Z<0,60) R: 0,7258
2) Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal
com média 100 e desvio padrão 10. Determine a probabilidade
de um indivíduo submetido ao teste ter nota:
a) maior que 120; R: 0,0228
b) maior que 80; R: 0,9772
c) entre 85 e 115; R: 0,8664
d) maior que 100. R: 0,5
3) Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com
média 65,3 kg e desvio padrão 5,5 kg. Determine o número de
estudantes que pesam:
a) entre 60 e 70 kg; R: 0,6338
b) mais que 63,2 kg; R: 0,6480
c) menos que 68 kg. R: 0,6879
4) A duração de um certo componente eletrônico tem média de
850 dias e desvio padrão de 40 dias. Sabendo que a duração é
normalmente distribuída, calcule a probabilidade de esse
componente durar:
a) entre 700 e 1.000 dias; R: 0,9998
b) mais de 800 dias; R: 0,8944
c) menos de 750 dias. R: 0,0062
OBS: Para esses exercícios use a tabela da curva normal reduzida
de 0 a z (disponível no site).
Temos:
P(Z > 0,6) = P(Z > 0) - P(0 < Z < 0,6)
Como: P(Z > 0) = 0,5 e P(0 < Z < 0,6) = 0,2258,
obtemos: P(Z > 0,6) = 0,5 - 0,2258 = 0,2742.
2) Os salários semanais dos operários industriais são distribuídos
normalmente, em torno da média de R$ 500,00 com desvio
padrão de R$ 40,00. Calcule a probabilidade de um operário ter
um salário semanal situado entre R$ 490,00 e R$ 520,00.
Devemos, inicialmente, determinar os valores da variável de
distribuição normal reduzida. Assim:
z1 
490  500
 0,25
40
e
z2 
REFERÊNCIAS
CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil. São Paulo: Editora
Saraiva, 2009.
MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística Básica: probabilidade.
São Paulo: McGraw-Hill, 1994
520  500
 0,5
40
Logo, a probabilidade procurada é dada por:
P(490 < X < 520) = P(-0,25 < Z < 0,5) = P(-0,25 < Z < 0)
+ P(0 < Z < 0,5) = 0,0987 + 0,1915 = 0,2902. É, pois, de se
esperar que, em média, 29,02% dos operários tenham salários
entre R$ 490,00 e R$ 520,00.
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TEORIA DA AMOSTRAGEM
Exemplo: seja N = 1000 e n = 200, logo: FS 
A amostragem e em particular os processos de amostragem
aplicam-se em varias áreas do conhecimento e constituem,
muitas vezes, a única forma de obter informações sobre uma
determinada realidade que importa conhecer. A teoria da
amostragem estuda as relações existentes entre uma população e
as amostras extraídas dessa população. É útil para a avaliação de
grandezas desconhecidas da população, ou para determinar se as
diferenças observadas entre duas amostras são devidas ao acaso
ou se são verdadeiramente significativas.
Amostragem é o processo de determinação de uma amostra a
ser pesquisada. A amostra é uma parte de elementos selecionada
de uma população estatística. Enquanto que um senso envolve
um exame a todos os elementos de um dado grupo, a
amostragem envolve um estudo de apenas uma parte dos
elementos. A amostragem consiste em selecionar parte de uma
população e observá-la com vista a estimar uma ou mais
características para a totalidade da população. Alguns exemplos
da utilização da amostragem são:
- Sondagens da opinião pública que servem para conhecer a
opinião da população sobre variadas questões. As mais comuns
são as sondagens políticas.
- Inspeção de mercado utilizada com o intuito de descobrir as
preferências das pessoas em relação a certos produtos.
- Para estimar a prevalência de uma doença rara, a amostra pode
ser constituída por algumas instituições médicas, cada uma das
quais tem registro dos pacientes.
Segue abaixo a simbologia usada ao relacionar população e
amostra:
POPULAÇÃO
AMOSTRA
MEDIDAS
Tamanho
N
n
Total
T
t
Média Aritmética

x
Variância Absoluta
Desvio Padrão
Proporção
²


s²
s
p
Plano de amostragem e tipos de amostragens
O plano de amostragem define o tipo de amostragem a ser
utilizado. Os tipos de planejamentos amostrais mais utilizados
são: Amostragem sistemática, Amostragem proporcional
estratificada, Amostragem por conglomerado e Amostragem
aleatória simples.
Amostragem sistemática: a amostragem já está ordenada
segundo algum critério, como fichas em um fichário, listas
telefônicas... Consideremos uma população, com elementos
ordenados, de tamanho N e dela tiramos uma amostra de
tamanho n, através de uma amostragem sistemática, da seguinte
maneira:
- Definimos FS como fator de sistematização (ou intervalo de
amostragem), dado por: FS = N/n.
- Sorteamos um número entre 1 e FS. Esse número é simbolizado
por m, que será o primeiro elemento da amostra.
N 1000

5
n 200
Imagine que 3 seja o número sorteado entre 1 e 5. Portanto, os
elementos da população numerados por 3, 8, 13, ..., 998 irão
compor a amostra.
Amostragem proporcional estratificada: Muitas vezes a
população, se divide em subpopulações (estratos). Como
é
provável que a variável em estudo apresente, de estrato em
estrato, um comportamento heterogêneo, convém que o sorteio
dos elementos da amostra leve em consideração tais estratos. É
isso que fazemos quando empregamos a amostragem
proporcional estratificada, que, além de considerar a existência
dos estratos, obtém os elementos da amostra proporcional ao
número de elementos dos mesmos
Exemplo: dada a população de 50.000 operários da industria
automobilística, selecionar uma amostra proporcional
estratificada de 5% de operários para estimar seu salário médio.
Usando a variável critério “cargo” para estratificar essa
população, e considerando amostras de 5% de cada estrato
obtido, chegamos ao seguinte quadro:
CARGO
Chefes de seção
Operários especializados
Operários não
especializados
TOTAL
POPULAÇÃO AMOSTRA (5%)
5.000
250
15.000
750
30.000
1.500
50.000
2.500
Amostragem por conglomerados: Neste tipo de amostragem a
população total é subdividida em várias partes relativamente
pequenas (normalmente homogêneas), e algumas dessas
subdivisões, ou conglomerados, são selecionadas ao acaso, para
integrarem a amostra global.
Amostragem Aleatória simples: é um tipo de amostragem que
utiliza uma técnica probabilística. É também chamada de
amostragem casual ou randômica. A característica principal é
que todos os elementos da população têm igual probabilidade de
pertencer á amostra. Na prática a amostragem aleatória simples
pode ser realizada numerando-se a população de 1 a N e
sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório
qualquer, k números dessa seqüência, os quais corresponderão
aos elementos pertencentes á amostra.
Amostras com e sem reposição
Se cada elemento da população pode ser escolhido mais de
uma vez para participar de uma mesma amostra temos a chamada
amostra com reposição. Se cada elemento da população puder
ser escolhido apenas uma única vez para participar de uma
mesma amostra, temos a chamada amostra sem reposição.
Na prática, demonstra-se que o uso de amostras sem
reposição acarreta em menores erros do que com amostras com
reposição.
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Recredenciamento
Portaria MEC 347, de 05.04.2012 - D.O.U. 10.04.2012.
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
Considerem-se todas as amostras possíveis de tamanho “n’
que podem ser retiradas de uma população de tamanho ‘N” (com
ou sem reposição). Para cada amostra pode-se calcular uma
grandeza estatística, como a média, o desvio padrão etc., que
varia de amostra para amostra. Com os valores obtidos para
determinada grandeza, podemos construir uma distribuição de
probabilidades, que será denominada de distribuição amostral.
Distribuição amostral das médias: se os valores da média e do
desvio padrão de uma população, de tamanho N, forem
respectivamente  e , e desta população são retiradas todas as
possíveis amostras de tamanho n, sem reposição, os valores da
expectância (média aritmética, neste caso) e do desvio padrão da
distribuição amostral das médias correspondente serão:
_

E ( x)  
x


N n
N 1
n
Se a população for infinita, ou se amostragem for tomada com
reposição, os valores acima ficarão:
_

E ( x)  
x


As possíveis amostras com as respectivas médias são:
x
Amostras
x
(1,1)
1
(5,6)
5,5
(1,3)
2
(6,6)
6
(1,5)
3
(3,1)
2
(1,6)
3,5
(5,1)
3
(3,3)
3
(6,1)
3,5
(3,5)
4
(5,3)
4
(3,6)
4,5
(6,3)
4,5
(5,5)
5
(6,5)
5,5
Colocando estes resultados em uma tabela (distribuição amostral
da média) vem:
x
1,0
2,0
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0

fx
1/16
2/16
3/16
2/16
2/16
2/16
1/16
2/16
1/16
1

b)  
x
2
i
n
_
  xi

 n

2

  17,75  3,75 2  1,9202


_
c) E ( x)   , então E( x)  3,75
d) como n é o tamanho da amostra:

x

x


n

1,9202
 1,36
2
 1,36 é denominado erro padrão da média. Ele mede a
variabilidade entre as médias amostrais e dá uma idéia do erro
que se comete ao se substituir a média da população pela média
da amostra.
n
Exemplo: Considere-se a população P = { 1, 3, 5, 6 } e todas as
amostras possíveis de tamanho n = 2 extraídas com reposição.
Para cada amostra vai-se calcular a média. Ter-se-á assim um
conjunto de 16 valores que serão dispostos em uma tabela, com
as respectivas probabilidades, e que constituirá então a
distribuição amostral da média da amostra. Determine: (a) a
média da população; (b) o desvio-padrão da população; (c) a
média da distribuição amostral das médias amostrais; (d) o
desvio-padrão da distribuição amostral das médias.
Amostras
1 3  5  6
 3,75
4
a) média:
x  fx
1/16
4/16
9/16
7/16
8/16
9/16
5/16
11/16
6/16
60/16
Exercício: uma população se constitui dos números 2, 3, 4, 5.
Considere todas as amostras possíveis de tamanho 2, que podem
ser extraídas dessa população com reposição. Determine:
a) a média da população;
b) o desvio-padrão da população;
c) a média da distribuição amostral das médias amostrais;
d) o desvio-padrão da distribuição amostral das médias.
Distribuição amostral das proporções: se o valor da proporção
de ocorrência de em evento em uma população, de tamanho n,
for , e desta população são retiradas todas as possíveis amostras
de tamanho n, sem reposição, os valores da expectância e do
desvio padrão da distribuição amostral das proporções
correspondente serão:
E ( p)  

p

 (1   ) N  n
n
N 1
Se a população for infinita, ou se amostragem for tomada com
reposição, os valores acima ficarão:
E ( p)  

p

 (1   )
n
Exemplo: considere-se a população P = { 1, 3, 5, 6 } e todas as
amostras possíveis de tamanho n = 2 obtidas com reposição. Para
cada amostra vai-se calcular a proporção P de elementos pares na
população. Ter-se-á assim um conjunto de 16 valores que serão
dispostos em uma tabela, com as respectivas probabilidades, e
que formarão então a distribuição amostral da proporção.
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