Princípios da Dinâmica e suas Aplicações

Universidade Federal do Rio de Janeiro — Instituto de Fı́sica
Fı́sica I — IGM1 — 2014/1
Cap. 4 - Princı́pios da Dinâmica
e suas Aplicações
Prof. Elvis Soares
1
Leis de Newton
Primeira Lei de Newton: Um corpo permanece em repouso ou com velocidade constante
(aceleração nula) quando isolado, isto é, quando a força total sobre ele é nula. Ou seja,
~a = 0 quando F~ = 0
(1)
Segunda Lei de Newton: A força total sobre um corpo é a responsável pela sua aceleração,
de modo que é o produto da massa do corpo vezes a aceleração:
F~ = m~a
(2)
Terceira Lei de Newton: Quando dois corpos interagem, a força F~AB que o corpo B faz
sobre A, é igual e oposta à força F~BA que o corpo A faz sobre B:
F~AB = −F~BA
(3)
Figura 1: Um exemplo de par ação-reação, onde podemos notar que as forças não se cancelam
pois agem em corpos diferentes.
As duas primeiras leis são válidas somente quando observadas em referenciais não-acelerados.
De fato, quando estamos fazendo uma curva com um automóvel sentimos uma aceleração para
fora da curva, sem que exista uma força agindo sobre nós, pois o próprio referencial (o carro)
é um referencial acelerado.
1
2 APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON
2
2.1
Aplicações das Leis de Newton
Equilı́brio de uma Partı́cula
Para permanecer em equilı́brio, a força resultante que atua sobre uma partı́cula deve ser
nula (Primeira Lei de Newton).
X
X
X
X
F~R = 0 ⇒
F~ = 0 ⇒
Fx = 0,
Fy = 0 e
Fz = 0
(4)
Exemplo: Corpo Suspenso
Vamos considerar o problema de um bloco suspenso por dois fios (inextensı́veis e com massas
desprezı́veis) presos ao teto, de modo a determinar a tensão sofrida por cada um desses fios,
como mostra figura abaixo.
A soma das forças que atuam no ponto P, o qual está em repouso, é obtida por
X
F~ = 0 ⇒ T~1 + T~2 + M~g = 0
que em termos de componentes, com a ajuda do diagrama de forças, podemos escrever
X
Fx = 0 ⇒ −T1 cos θ1 + T2 cos θ2 = 0
X
Fy = 0 ⇒ +T1 sen θ1 + T2 sen θ2 − M g = 0
Da primeira equação podemos tirar uma relação entre T2 e T1 :
T2 =
cos θ1
T1
cos θ2
2
2 APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON
2.2 Dinâmica de uma Partı́cula
e usando esse resultado na segunda equação, teremos:
T1 =
Mg
sen θ1 + cos θ1 tg θ2
Obs: Para θ1 = θ2 , temos
T1 = T2
2.2
Dinâmica de uma Partı́cula
A força resultante sobre uma partı́cula é igual ao produto da sua massa pela aceleração
impressa. (Segunda Lei de Newton).
X
X
X
X
F~R = m~a ⇒
F~ = m~a ⇒
Fx = max ,
Fy = may e
Fz = maz
(5)
Exemplo: Máquina de Atwood
Vamos considerar o problema de dois blocos suspenso por um fio (inextensı́vel e com massa
desprezı́vel) que passa por uma roldana presa ao teto, de modo a determinar as acelerações dos
blocos e a tensão sofrida pelo fio, como mostra figura abaixo.
As somas das forças que atuam sobre cada bloco, os quais estão acelerados, são obtidas por
X
F~1 = m1~a1 ⇒ T~1 + m1~g = m1~a1
X
F~2 = m2~a2 ⇒ T~2 + m2~g = m2~a2
3
2.2 Dinâmica de uma Partı́cula
2 APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON
Além disso, sabemos que a1 = a2 = a pois o fio é inextensı́vel, e que T1 = T2 = T pois
o fio possui massa desprezı́vel.
Assim, podemos escrever as equações acima em termos de
X
componentes cartesianas
Fy = may , como
T − m1 g = m1 a
T − m2 g = m2 (−a)
subtraindo uma equação da outra, obtemos
(m2 − m1 )g = (m1 + m2 )a
a=
m2 − m1
m1 + m2
g
De fato, se m2 > m1 , temos a > 0 e a aceleração está no sentido indicado da figura, enquanto
que se m1 > m2 , temos a < 0 e a aceleração aponta no sentido contrário.
Além disso, levando esse resultado de a em uma das equações, temos
T =
2m1 m2
m1 + m2
g
Note que a tração no fio não é igual ao peso, isso se deve ao fato de existir um movimento
acelerado que requer uma força resultante agindo sobre os blocos.
4
3 FORÇAS DE ATRITO
3
Forças de Atrito
Uma força de contato que atua sempre que dois corpos entram em contato e há tendência de
deslizamento. É gerada pela rugosidade das superfı́cies dos corpos, conforme figura abaixo.
Figura 2: Um exemplo de contato entre superfı́cies e a origem do atrito.
A força de atrito é sempre paralela às superfı́cies em interação e contrária ao movimento relativo
entre elas.
3.1
Atrito Estático
Impede o movimento do objeto até um valor máximo de força resultante aplicada sobre o
mesmo.
fate ≤ µe N
3.2
(6)
Atrito Cinético
Atua durante o deslizamento do corpo sobre a superfı́cie.
fatc = µc N
(7)
Figura 3: O módulo da força de atrito em função do módulo da força resultante aplicada sobre
o corpo.
5
3.2 Atrito Cinético
3 FORÇAS DE ATRITO
Exemplo: Plano Inclinado
Consideremos um bloco sobre um plano inclinado com atrito. Os coeficientes de atrito estático
e cinético são, respectivamente, µe e µc .
Vamos considerar primeiramente o caso em que o bloco fica estático sobre o plano innclinado,
tal que F não induz deslizamento sobre a superfı́cie.
X
~ + f~at + m~g = 0
F~ = F~ + N
que em termos de componentes, com a ajuda do diagrama de forças, podemos escrever
X
Fx = 0 ⇒ fat − F − mg sen θ = 0
X
Fy = 0 ⇒ N − mg cos θ = 0
Assim, a força de atrito estático é dada por
fat = F + mg sen θ
e lembrando que fate ≤ µe N , podemos escrever
F + mg sen θ ≤ µe (mg cos θ)
E assim, a força F deve obedecer a seguinte condição para que o bloco não delize sobre a
superfı́cie.
F ≤ mg(µe cos θ − sen θ)
Agora, vamos estudar o caso em que o bloco desce com velocidade constante o plano inclinado. Dessa forma, as equações de dinâmica são idênticas as anteriores.
Assim, a força de atrito cinético é dada também pela equação
fat = F + mg sen θ
e lembrando que no caso de atrito cinético, tem-se fatc = µc N , podemos escrever
F + mg sen θ = µc (mg cos θ)
E portanto, a força F deve obedecer a seguinte condição para que o bloco deslize sobre a
superfı́cie com velocidade constante.
F = mg(µc cos θ − sen θ)
6
4 DINÂMICA DO MOVIMENTO CIRCULAR
4
Dinâmica do Movimento Circular
Sabemos que durante um movimento circular, uma partı́cula possui aceleração que aponta para
o centro da trajetória, que é a famosa aceleração centrı́peta
~ac = ω 2 R(−r̂)
E de acordo coma a Segunda Lei de Newton, toda aceleração tem origem devido as forças que
atuam no corpo durante o movimento, de modo que na direção radial num movimento circular
devemos ter
X
Fr = mac
Exemplo: Pêndulo cônico
Consideremos um corpo de massa m preso a um fio fixo no teto e posto a girar, como mostra
a figura abaixo. Vamos obter uma relação entre a velocidade angular de rotação e o ângulo θ
do fio com a vertical.
A força resultante sobre o corpo é
X
F~ = T~ + m~g = m~ac
usando o diagrama de forças, podemos decompor as forças na forma
X
Fx = ma ⇒ T sen θ = mac
X
Fy = 0 ⇒ T cos θ − mg = 0
Divindo uma equação pela outra temos uma relação entre a aceleração centrı́peta e o ângulo θ,
ac
ω2R
então tg θ =
=
onde usamos que ac = ω 2 R, e olhando a figura podemos perceber que
g
g
R = l sen θ, de modo que podemos escrever:
r
ω=
7
g
l cos θ