Lista de Exercícios 2 Teoria dos Grafos e Análise - Inf

Lista de Exercícios 2
Teoria dos Grafos e Análise Combinatória
Rodrigo Machado
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Abaixo segue uma seleção de exercícios sugeridos do livro Introdução à Análise Combinatória de José
Plínio O. Santos, Margarida P. Mello e Idani T. C. Murari. As respostas se encontram em um apêndice
do livro.
• Exercícios do livro: capítulo 2 (páginas 74 a 88)
1 Há três linhas de ônibus entre as cidades A e B e 2 linhas de ônibus entre B e C. De quantas
maneiras uma pessoa pode viajar:
(a) indo de A até C, passando por B?
(b) indo e voltando entre A e C sempre passando por B?
2 Considere 3 vogais (incluindo o A) e 7 consoantes (incluindo o B):
(a) Quantos anagramas de 5 letras diferentes podem ser formados com 3 consoantes e 2 vogais?
Considerando os anagramas do item (a), responda:
(b) Quantos contêm a letra B?
(c) Quantos começam com o B?
(d) Quantos começam com o A?
(e) Quantos começam com o A e contêm o B?
11 Considere os número de 3 algarismos distintos formados com os dígitos 2, 3, 5, 8, 9.
(a) Quantos são estes números?
(b) Quantos são menores do que 800?
(c) Quantos são múltiplos de 5?
(d) Quantos são pares?
(e) Quantos são ímpares?
12 Resolva o problema anterior, supondo ser permitida a repetição de dígitos.
14 Considere a palavra NÚMERO
(a) Quantos são seus anagramas?
(b) Quantos são os anagramas que começam e terminam por consoante?
(c) Quantos são os anagramas que começam e terminam por vogal?
(d) Quantos são os anagramas que começam por consoante e terminam por vogal?
16 De quantas maneiras 3 americanos, 4 franceses e 3 belgas podem sentar em fila, de modo que
os de mesma nacionalidade sentem juntos?
49 O nome de uma variável numa determinada linguagem de programação pode ser constituída
por uma letra ou então por uma letra seguida de um dígito decimal. Quantas são as diferentes
maneiras de se denominar uma variável nesta linguagem? Considere o alfabeto constituído de
23 letras.
55 Dado um baralho completo com 52 cartas, de quantas formas podemos escolher 6 cartas de
modo que entre elas haja pelo menos 1 carta de cada naipe?
57 De quantos modos podemos permutar as letras da palavra CARAVANA de forma que não
existam 2 A’s vizinhos?
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63 De quantas maneiras podemos retirar sucessivamente 2 caras de um baralho completo (52
cartas), tal que:
(a) A primeira carta é um ás e a segunda carta não é uma rainha?
(b) A primeira carta é de espadas e a segunda carta não é uma rainha?
• Exercícios do livro: capítulo 3 (páginas 114 a 117)
10 Calcule o número de soluções inteiras positivas de:
(a) x1 + x2 + x3 + x4 = 8
(b) x1 + x2 + · · · + x11 = 11
(c) x + y + z = 20
11 Quantas são as soluções inteiras não-negativas das equações do exercício anterior?
12 Quantas são as soluções inteiras positivas de
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 17
nas quais x4 ≥ 3?
13 Encontrar o número de soluções inteiras de
x1 + x2 + x3 = 12
com xi ≥ −2, para i = 1, 2, 3.
16 De quantas maneiras uma pessoa pode comprar 5 sorvetes em uma sorveteria que vende 8
tipos de sorvete?
18 Quantos números inteiros entre 1 e 10.000 têm soma dos dígitos igual a 12?
23 De quantas maneiras 8 meninos e 8 meninas podem formar uma roda para brincar sem que
pessoas do mesmo sexo fiquem juntas?
24 Qual seria a resposta do exercício anterior se todas as meninas ficassem juntas?
• Exercícios do livro: capítulo 4 (páginas 145 a 147)
1 Uma urna contém 7 bolas brancas, 8 bolas vermelhas, 4 amarelas e 6 pretas. De quantas
maneiras podemos retirar 6 bolas desta urna?
2 De quantas maneiras podemos distribuir 6 maçãs, 7 laranjas e 8 pêras em três caixas diferentes
de modo que cada caixa receba pelo menos uma fruta de cada tipo?
4 De quantas maneiras podemos ordenar as letras a, a, b, b, b, c, c, d, d de forma que letras
iguais nunca estejam juntas?
7 Usar o princípio da inclusão e exclusão para achar o número de maneiras de se escolher 8
letras de uma coleção contendo
(a) 4 a’s e 6 b’s
(b) 3 a’s, 3 b’s, e 4 c’s
8 Encontrar o número de soluções em inteiros positivos da equação
x1 + x2 + x3 + x4 = 17
onde xi ≤ 8, para i = 1, 2, 3, 4.
16 Quantos inteiros entre 1 e 10.000, inclusive, não são divisíveis por 3, 5 e 7?
18 Num colégio foram entrevistados 78 estudantes. Destes 32 estavam fazendo um curso de
francês, 40 um curso de física; 30 um curso de matemática; 23 um curso de história; 19 francês
e física; 13 francês e matemática; 15 física e matemática; 2 francês e história; 15 física e
história; 14 matemática e história; 8 francês, física e matemática; 8 francês, física e história;
2 francês, matemática e história; 6 física, matemática e história; 2 fazendo todos os 4 cursos.
Quantos estudantes estavam fazendo pelo menos 1 curso nas 4 áreas mencionadas?
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19 Quantas são as permutações da palavra PROPOR ns quais não existem letras consecutivas
iguais?
21 De quantas maneiras podemos distribuir 15 livros diferentes para 15 crianças (um para cada
uma) depois recolher os livros e novamente fazer a distribuição de forma que nenhuma criança
receba o mesmo livro anteriormente recebido?
• Exercícios do livro: capítulo 7 (páginas 295 a 296)
1 Quantos estudantes uma turma precisa conter, no mínimo, para que pelo menos dois estudantes tirem notas iguais no exame final, dado que as notas variam de 0 a 10 e apenas uma
casa decimal é utilizada quando necessário?
3 Existem 25 milhões de linhas telefônicas em um determinado estado, identificadas por uma
sequência de 10 dígitos da forma NXX-NXX-XXXX, onde N é um dígito entre 2 e 9 inclusive,
X é um dígito qualquer e os primeiros 3 dígitos constituem o código de DDD. Quantos códigos
distintos de DDD o estado deve admitir para que a cada linha telefônica, corresponda uma
sequência de 10 dígitos distinta das demais?
4 Existem 83 casas em uma rua. As casas são numeradas com números entre 100 e 262 inclusive.
Mostre que pelo menos 2 casas têm números consecutivos.
8 Um restaurante possui 62 mesas com um total de 314 cadeiras. É possível garantir a existência
de pelo menos uma mesa com pelo menos 6 cadeiras?
9 Dados 12 livros de português, 14 de história, 9 de química e 7 de física, quantos livros devemos
retirar (sem olhar) para que estejamos certos de termos retirado 6 de uma mesma disciplina?
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