Função Degrau Unitário

6.3 - Função Degrau Unitário
Função Degrau Unitário
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Câmpus Francisco Beltrão
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 4A
Prof. Dr. Jonas Joacir Radtke
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Cálculo Diferencial e Integral 4A
6.3 - Função Degrau Unitário
Definição
A função degrau unitário ou função Heaviside u(t − a) é 0 para
t < a, apresenta um salto de tamanho 1 em t = a e vale 1 para
t > a, como na fórmula
0
se t < a
u(t − a) =
(1)
1
se t > a
A transformada de u(t − a) decorre diretamente da definição
Z ∞
Z ∞
e −st ∞
−st
−st
L {u(t − a)} =
e u(t − a) dt =
e · 1 dt = −
s t=a
0
a
Logo,
L {u(t − a)} =
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e −as
s
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Exemplo
Esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) u(t)
(b) u(t − 2)
(c) u(t − 4)
(d) u(t − 2) − u(t − 4)
(e) t[u(t − 2)]
(f) t 2 [u(t − 1)]
(g) cost[u(t − π) − u(t − 2π)]
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Teorema: Segundo Teorema do Desvio - Desvio no Tempo
Se f (t) tiver a transformada F (s), então a “função desviada”
0
se t < a
˜
f (t) = f (t − a)u(t − a) =
(2)
f (t − a)
se t > a
possui a transformada e −as F (s). Ou seja, se L {f (t)} = F (s),
então
L {f (t − a)u(t − a)} = e −as F (s)
(3)
Ou, invertendo ambos os lados, podemos escrever
L −1 {e −as F (s)} = f (t − a)u(t − a)
Em termos práticos, se conhecermos F (s), podemos obter a
transformada de (2) multiplicando F (s) por e −as .
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(4)
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Exemplo
Escreva a seguinte função usando
encontre a sua transformada.

 2
0,5t 2
f (t) =

cos t
funções degrau unitário e
se 0 ≤ t ≤ 1
se 1 ≤ t ≤ 0,5π
se t > 0,5π
L {f (t)u(t − a)} = e −as L {f (t + a)}
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(5)
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Exemplo
Encontre a transformada inversa f (t) de
F (s) =
e −s
e −2s
e −3s
+
+
s 2 + π 2 s 2 + π 2 (s + 2)2
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Exemplo
Calcule o valor da corrente i(t) no circuito RC da figura abaixo
quando é aplicada a ele uma onda retangular única de tensão V0 .
Supõe-se que o circuito estava em repouso antes da onda ser
aplicada.
1
R i(t) +
C
Z
t
i(τ ) dτ = v (t)
0
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Exercı́cio
Faça um esboço ou gráfico da função dada (que se supõe ser nula
fora do intervalo fornecido). Represente-a usando funções degrau
unitário. Encontre sua transformada.
2. t (0 < t < 1)
8. 1 − e −t (0 < t < π)
3. e t (0 < t < 2)
9. t (5 < t < 10)
4. sen 3t (0 < t < π)
10. sen ωt (t > 6π/ω)
5.
t2
(1 < t < 2)
11. 20 cos πt (3 < t < 6)
6.
t2
(t > 3)
12. senh t (0 < t < 2)
7. cos πt (1 < t < 4)
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13. e πt (2 < t < 4)
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Exercı́cio
Usando o segundo teorema do desvio, encontre e faça um esboço
ou gráfico de f (t) se L (f ) for igual a:
14. L (f ) = se −s /(s 2 + ω 2 )
15. L (f ) = e −4s /s 2
16. L (f ) = s −2 − (s −2 + s −1 )e −s
17. L (f ) = (e −2πs − e −8πs )/(s 2 + 1)
18. L (f ) = e −πs /(s 2 + 2s + 2)
19. L (f ) = e −2s /s 5
20. L (f ) = (1 − e −s+k )/(s − k)
21. L (f ) = se −3s /(s 2 − 4)
22. L (f ) = 2,5(e −2,6s − e −3,8s )/s
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Exercı́cio
Resolva os seguintes problemas de valor inicial usando a transformada de
Laplace:
27. y 00 + 9y = r (t), r (t) = 8 sen t se 0 < t < π e 0 se t > π
0, y 0 (0) = 4
y (0) =
28. y 00 + 3y 0 + 2y = r (t), r (t) = 1 se 0 < t < 1 e 0 se t > 1
0, y 0 (0) = 0
y (0) =
29. y 00 + y = r (t), r (t) = t se 0 < t < 1 e 0 se t > 1,
0
y (0) = 0,
30. y 00 − 16y = r (t), r (t) = 48e 2t se 0 < t < 4 e 0 se t > 4
3, y 0 (0) = −4
y 0 (0) =
y (0) =
31. y 00 + y 0 − 2y = r (t), r (t) = 3 sen t − cos t se 0 < t <
2π e 3 sen 2t − cos 2t se t > 2π y (0) = 1, y 0 (0) = 0
32. y 00 + 8y 0 + 15y = r (t), r (t) = 35e 2t se 0 < t < 2 e 0 se t > 2
3, y 0 (0) = −8
33. y 00 + 4y = r (t), r (t) = 8t 2 se 0 < t < 5 e 0 se t > 5
1, y 0 (1) = 4 − 2 sen 2
y (1) =
34. y 00 + 2y 0 + 5y = r (t), r (t) = 10 sen t se 0 < t < 2π e 0 se t >
2π y (π) = 1, y 0 (π) = 2e −π − 2
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y (0) =
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Exercı́cio
Usando a transformada de Laplace, encontre a corrente i(t) no
circuito RC mostrado na figura abaixo, com R = 10Ω e
C = 10−2 F , onde se supõe que, em t = 0, a corrente seja nula e:
36. v (t) = 100 V se 0,5 < t < 0,6 e 0 nos demais instantes
37. v = 0 se t < 2 e 100(t − 2) V se t > 2
38. v = 0 se t < 4 e 14 · 106 e −3t V se t > 4
1
R i(t) +
C
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Z
t
i(τ ) dτ = v (t)
0
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Exercı́cio
Usando a transformada de Laplace, encontre a corrente i(t) no
circuito RL da figura abaixo, supondo que i(0) = 0 e que:
39. R = 10 Ω, L = 0,5 H, v = 200t V se 0 < t < 2 e 0 se t > 2
40. R = 1 kΩ, L = 1 H, v = 0 se 0 < t < π e 40 sen t V e 0 se
t>π
41. R = 25 Ω, L = 0,1 H, v = 490e −5t V se 0 < t < 1 e 0 se
t>1
L i 0 (t) + Ri(t) = v (t)
???
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Exercı́cio
Usando a transformada de Laplace, encontre a corrente i(t) no
circuito LC da figura abaixo, supondo que inicialmente, a carga no
capacitor e a corrente sejam nulas e que:
42. L = 1 H, C = 0,25 F , v = 200(t − t 3 /3) V se 0 < t < 1 e 0
se t > 1
43. L = 1 H, C = 10−2 F , v = −9900 cot t V se π < t < 3π e 0
em outros instantes
44. L = 0,5 H, C = 0,05 F , v = 78 sen t V se 0 < t < π e 0 se
t>π
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Exercı́cio
Usando a transformada de Laplace, encontre a corrente i(t) no
circuito RLC da figura abaixo, supondo que a corrente e a carga
iniciais sejam nulas e que:
45. R = 2 Ω, L = 1 H, C = 0,5 F , v (t) = 1 kV se 0 < t < 2 e 0
de t > 2
46. R = 4 Ω, L = 1 H, C = 0,05 F , v (t) = 34e −t V se 0 < t < 4
e 0 de t > 4
47. R = 2 Ω, L = 1 H, C = 0,1 F , v (t) = 255 sen t V se
0 < t < 2π e 0 de t > 2π
1
L i (t)+R i(t)+
C
0
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Z
t
i(τ ) dτ = v (t)
0
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Respostas:
2.
3.
1 − e 2−2s
s −1
4.
5.
2
2
1
+ 2+
3
s
s
s
e −s −
2
4
4
+ 2+
3
s
s
s
e −2s
6.
7.
s
(−e −s − e −4s )
s 2 + π2
8.
9.
1
5
+
s2
s
e
−5s
−
1
10
+
s2
s
e −10s
10.
11.
−20s
(e −3s + e −6s )
s 2 + π2
12.
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Respostas:
1
13.
(e −2s+2π − e −4s+4π )
s −π
14.
15. (t − 4)u(t − 4)
16.
17. sen t[u(t − 2π) − u(t − 8π)]
18.
19.
(t − 2)4
u(t − 2)
24
20.
21. cosh(2t − 6)u(t − 3)
22.
27. sen (3t) + sen t +
1
sen (3t)u(t − π)
3
28.
29. t − sen t + [cos(t − 1) + sen (t − 1) − t]u(t − 1)
30.
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Respostas:
31. e t − sen t + [ sen t − 0,5 sen (2t)]u(t − 2π)
32.
33. cos(2t)+2t 2 −1+[49 cos(2t −10)+10 sen (2t −10)−2t 2 +1]u(t −5)
34.
36.
37. [1 − e −10(t−2) ]u(t − 2)
38.
39. i = e −20t + 20t − 1 + [−20t + 1 + 39e −20(t−2) ]u(t − 2)
40.
41. i = 20(e −5t − e −250t ) + 20[e −5t + e −250t+245 ]u(t − 1)
42.
43. i = [10 sen 10t + 100 sen t][u(t − π) − u(t − 3π)]
44.
45.
46.
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