Limites e assíntotas

Capítulo 4
Limites e assíntotas
4.1 Limite no ponto
x−1
. Observe que esta função não é denida em
x−1
x = 1. Contudo, fazendo x sucientemente próximo de 1 (mais não igual a 1),
mais próximo de 2 ∈ R serão os valores de f . Com efeito,
√
(x − 1)( x + 1) √
x−1
= x+1
∀ x 6= 1
=
f (x) = √
x−1
x−1
Considere a função f (x) = √
Neste caso, dizemos que f tem por limite 2 quando x tende para 1 e escrevemos
√
lim f (x) = 2. Se denimos g(x) := x + 1, vemos que f e g coincidem quando
x→1
x 6= 0, mas g é bem denido no ponto 1 e temos lim g(x) = 2 = g(1). Isso
x→1
indica que g é contínua em 1.
4.1.1 Continuidade
Denição 4.1. Dizemos que uma função f é contínua num ponto x0 quando
as seguintes condições estão satisfeitas:
a) f está denida em x0 (ou seja, x0 ∈ Df )
b) f (x) tem limite com x → x0 e esse limite é igual a f (x0 ): lim f (x) = f (x0 )
x→x0
Dizemos que f é contínua num intervalo I se ela for contínua em cada ponto de
I.
Proposição. Se f é derivável no ponto x0 então f é também contínua em x0 .
Uma função derivável num intervalo I é contínua em I .
Observação. Uma função pode ser continua num ponto sem ser derivável nele
(cf. f (x) = |x|).
25
26
CAPÍTULO 4.
Proposição. Sejam
Então:
LIMITES E ASSÍNTOTAS
f e g duas funções contínuas num intervalo I e λ ∈ R.
• f + g é contínua em I .
• λ.f é contínua em I .
• f.g é contínua em I .
• Se além das hipóteses g não zera em I , então
1 f
e são contínuas em I .
g g
Proposição. Se f é contínua num intervalo I e g contínua num intervalo J
contendo f (I). Então f ◦ g é contínua em I .
Exemplo. A raiz duma função racional f é contínua em todo intervalo contido
no domínio: Df ∩ R∗+ .
Pelas proposições acima, podemos dizer que todas funções com que lidaremos nesse curso serão contínuas em seu domínio (e mesmo, em geral deriváveis).
As vezes, a falta de continuidade num ponto fora do domínio é articial.
Como por exemplo a função f dada na introdução que não é contínua em x = 1
somente porque não está denida neste ponto. Porque não denir f em 1 como
sendo igual a 2? Isto é perfeitamente natural e sempre que uma função tiver
limite l quando x → x0 , é natural denir f em x0 como sendo esse limite:
f (x0 ) := lim f (x).
x→x0
Exemplos.
• f (x) =
x2 + 8x − 20
, x 6= 2; lim f (x) = 4
x→2
x2 − x − 2
• f (x) =
x2 − 4
, x 6= 4; lim f (x) = 8
x→4
x−4
Mas em geral, um ponto não pertence ao domínio porque a função não tem
um limite nito nesse ponto.
4.1.2 Limite innito
Não sempre uma função tem um limite nito quando nos aproximamos de um
1
ponto dado. Observe o comportamento da função f (x) = (1+x)
2 quando x está
próximo de −1 (mas não igual a −1). Vemos que quando x se aproxima cada
vez mais de −1, f (x) cresce sem limitação.
4.1.
27
LIMITE NO PONTO
Denição 4.2. Seja f (x) uma função denida em um intervalo aberto contendo
a, exceto, possivelmente, em x = a. Dizemos que
lim f (x) = +∞
x→a
se sempre que x se aproxima de a, f (x) cresce indenidamente.
De modo semelhante podemos denir lim f (x) = −∞ quando f (x) decresce
x→a
indenidamente.
Exemplo.
f (x) =
x−1
; lim f (x) = −∞
|x| x→0
4.1.3 Limites laterais
Algumas funções exibem comportamentos diferentes em cada um dos lados de
1
um ponto a. Por exemplo, a função inversa não tem limite em 0, os valores
x
1
não cabem em nenhuma das denições acima porque a função cresce quando
x
nos aproximamos de x = 0 pelo lado direito mas decresce se nos aproximamos
pelo lado esquerdo. Por isso, aprimorando nossas denições, vamos considerar
o limite à direita e o limite à esquerda de uma função num dado ponto.
Denotando 0+ para signicar que x se aproxima de 0 por valores superiores e 0−
para signicar que x se aproxima de 0 por valores inferiores, poderemos escrever
1
1
lim− = −∞ e lim+ = +∞.
x→0
x
x→0
x
Denição 4.3. Seja f uma função e a um número real; λ pode ser um número
real, −∞ ou +∞. Dizemos que λ é o limite à esquerda de f quando x tende
para a, e escrevemos
lim f (x) = λ
x→a−
se e só se a restrição de f a ] − ∞, a[ tem λ por limite em a.
Denição 4.4. Dizemos que λ é o limite à direita de f quando x tende para
a, e escrevemos
lim f (x) = λ
x→a+
se e só se a restrição de f a ]a, +∞[ tem λ por limite em a.
Exemplo. Seja f (x) =
de f .
|x|
. Determine lim− f (x) e lim+ f (x). Esboce o gráco
x
x→0
x→0
O limite denido as seções anteriores é dito limite bilateral. O limite bilateral
existe se e só se os limites laterais existem e coincidem:
lim f (x) = λ ⇔ lim− f (x) = λ = lim− f (x).
x→a
x→a
x→a
28
CAPÍTULO 4.
LIMITES E ASSÍNTOTAS
Denição 4.5. Se o limite de f em a ou a+ ou a− é o innito, dizemos que a
curva y = f (x) tem a reta x = a como assíntota vertical.
Exemplo. O eixo vertical x = 0 é assíntota vertical da função inversa.
4.2 Limites no innito
Denição 4.6. Seja
[a; +∞[.
f uma função denida ao menos num intervalo do tipo
• Se quanto maior for x, f (x) cresce sem limitação, então dizemos que f
tem por limite +∞ quando x tende por +∞ e escrevemos
lim f (x) = +∞
x→+∞
(Rigorosamente: ∀M > 0, ∃A ∈ R tal que x ≥ A ⇒ f (x) ≥ M .)
(explo: f (x) = x2 )
• Se quanto maior for x, f (x) decresce sem limitação, então dizemos que
f tem por limite −∞ quando x tende por +∞ e escrevemos
lim f (x) = −∞
x→+∞
(Rigorosamente: ∀M < 0, ∃A ∈ R tal que: x ≥ A ⇒ f (x) ≤ M .)
(explo: f (x) = −
x2
)
2
• Se quanto maior for x, f (x) aproxima-se cada vez mais de do valor l, então
dizemos que f tem por limite l quando x tende por +∞ e escrevemos
lim f (x) = l
x→+∞
(Rigorosamente: por qualquer intervalo I =]l − ε; l + ε[, ε ∈ R∗+ existe um
número real A tal que x ≥ A ⇒ f (x) ∈ I .)
Denição 4.7. Quando x→+∞
lim f (x) = l dizemos que y = f (x) tem a reta
y = l por assíntota horizontal.
Exemplo. A função inversa tem por assíntota horizontal o eixo horizontal y =
0, tanto no innito positivo, como no innito negativo.
Exercício 4.1. Seja f uma função denida ao menos num intervalo ] − ∞; a] e
l um número. Escreva as denições de lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞ e
lim f (x) = l.
x→−∞
x→−∞
x→−∞
4.3.
29
TÉCNICAS PARA CALCULAR LIMITES
4.3 Técnicas para calcular limites
4.3.1 Limites de funções usuais no innito
O mais importante para nós é aprender alguns limites fundamentais.
• As funções f (x) =
+∞.
√
x, f (x) = xn , log(x) e ex têm por limite +∞ em
• No innito (+∞ ou −∞) todo polinômio admite um limite qual é a limite
do seu monômio de maior grau.
• No innito (+∞ ou −∞) toda função racional admite um limite qual é a
limite do quociente dos monômios de maior grau so numerador e denominador.
• As funções sen e cos não têm limite no innito (nem +∞ nem −∞).
4.3.2 Operações com limites nitos
Suponha que lim representa um dos limites laterais lim− , lim+ , lim , lim ou
x→a x→+∞
x→a
x→a
lim . Se existem l1 = lim f (x) e l2 = lim g(x) números reais, então:
x→−∞
a) lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x) = l1 + l2
b) lim [f (x) − g(x)] = lim f (x) − lim g(x) = l1 − l2
c) lim [f (x).g(x)] = lim f (x). lim g(x) = l1 l2
d) lim
f (x)
lim f (x)
l1
=
= , se l2 6= 0
g(x)
lim g(x)
l2
Exemplos. Ache x→0
lim
tan x
sen(2x)
sen(3x)
, lim
, lim
.
x→0
x→0 (5x)
x
x
4.3.3 Limite e composição
Cada letra a, λ1 e λ2 designa umnúmero real, −∞ ou +∞. Se f e g são duas
funções contínuas que vericam



 lim f (x) = λ1
x→a



 lim g(x) = λ2
; então lim g ◦ f (x) = λ2 .
x→a
x→λ1
Conseqüências:
a) lim (f (x))n = (lim f (x))n
b) lim
p
p
n
f (x) = n lim f (x), desde que lim f (x) ≥ 0 se n for par
30
CAPÍTULO 4.
LIMITES E ASSÍNTOTAS
c) lim [ln f (x)] = ln (lim f (x)), desde que lim f (x) ≥ 0
Exemplo.
lim
x→+∞
r
3x2 − 2 √
= 3
x2 − 1
4.3.4 Operações com limites innitos e indeterminações
lim f (x)
lim g(x)
h(x) =
lim h(x)
+∞
+∞
f (x) + g(x)
+∞
+∞
+∞
f (x) − g(x)
indeterminado
+∞
l
f (x) + g(x)
+∞
+∞
+∞
f (x).g(x)
+∞
+∞
l 6= 0
f (x).g(x)
±∞
±∞
0
f (x).g(x)
indeterminado
l
±∞
f (x)/g(x)
0
±∞
±∞
f (x)/g(x)
indeterminado
+∞
l 6= 0
f (x)/g(x)
±∞
l 6= 0
0±
f (x)/g(x)
±∞
0
0
f (x)/g(x)
indeterminado
Os limites indeterminados precisem um estudo caso por caso.
As indeterminações do tipo 0/0 são freqüentemente assimiláveis a derivadas.
4.3.5 Limites fundamentais
Para tratar de certos limites indeterminados, aplicaremos os chamados limites
fundamentais (dadas sem demonstrações).
•
ex
= +∞, ∀n ∈ N
x→+∞ xn
lim
4.4.
•
31
ESTUDO DO COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES
lim
x→+∞
• lim
x→0
ln x
= 0, ∀n ∈ N∗
xn
sen(x)
= 1 (demonstração no capítulo 3).
x
4.3.6 Teoremas de comparação
Teoremas de minoração, majoração
Teorema 4.1. Sejam f , u e v funções denidas num intervalo do tipo [a, +∞[.
• Se por x suciente grande temos f (x) ≥ u(x) e se
então lim f (x) = +∞.
lim u(x) = +∞,
x→+∞
x→+∞
• Se por x suciente grande temos f (x) ≤ v(x) e se
então lim f (x) = −∞.
lim v(x) = −∞,
x→+∞
x→+∞
Existe teoremas análogos para limites em −∞ e em a.
Exemplos.
a) Seja f (x) = −x + sen x, calcule lim f (x).
x→+∞
b) Seja g(x) =
√
1 + x2
1
, calcule lim g(x). Dica: u(x) = 2 .
x→0
x2
x
Teorema do confronto
Teorema 4.2. Sejam f , u e v funções denidas num intervalo do tipo [a, +∞[
e l um número real. Se por x suciente grande temos u(x) ≤ f (x) ≤ v(x) e se
lim u(x) = lim v(x) = l, então lim f (x) = l.
x→+∞
x→+∞
x→+∞
Existe teoremas comparaveis para limites em −∞ e em a.
Exemplo. Seja f (x) = 1 +
e v(x) = 1 + 1/x.
sen x
, calcule lim f (x). Dica: u(x) = −1 − 1/x
x→+∞
x
4.4 Estudo do comportamento das funções
4.4.1 Assíntota obliqua
Seja f uma função denida ao menos num intervalo do tipo [a, +∞) (resp.
(−∞, a]) e δ uma reta de equação y = ax + b. Dizemos que δ é assíntota obliqua
a f no innito positivo (resp. negativo) se
lim [f (x) − (ax + b)] = 0.
x→∞
32
CAPÍTULO 4.
LIMITES E ASSÍNTOTAS
Geometricamente, a curva gráco de f vem aproximar-se cada vez mais da reta
quando x tend para o innito.
Exemplo. A reta x + 1 é assintota obliqua a curva y =
innitos.
x2 + x + 1
em ambos
x
4.4.2 TVI, Rolle e valor médio
Teorema do valor intermediário. Seja f uma função contínua num intervalo
[a, b]. Então dado um número qualquer r entre f (a) e f (b), existe pelo menos
um número c entre a e b, tal que r = f (c).
Corolário. Se f é contínua em [a, b] e se f (a) e f (b) têm sinais opostos, então
existe pelo menos um número c ∈ [a, b] tal que f (c) = 0.
Exemplos.
a) Mostre que x3 − 4x + 1 = 0 tem uma solução em [1, 2].
b) Seja P (x) um polinômio de grau impar, então P tem no mínimo uma raiz
real.
Corolário. Se f continua e estritamente monotonia num intervalo I ⊂ Df
então f é uma bijeção em I .
Demonstração. Já que f é injetiva, o TVI mostra que f é sobrejetiva.
O teorema de Rolle, diz que se uma função derivável f , assume o mesmo valor
em diferentes pontos a e b, então existe pelo menos um ponto do gráco de f ,
entre (a, f (a)) e (b, f (b)) = (b, f (a)), em que a reta tangente a ele é horizontal.
y
f (a) = f (b)
x
a
b
4.4.
ESTUDO DO COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES
33
Teorema 4.3 (Rolle). Se f é uma função contínua em [a, b] e derivável ]a, b[,
com f (a) = f (b), então existe um ponto crítico de f em ]a, b[.
Tem a seguinte interpretação dinâmica: se, num movimento retilíneo, um
ponto retorna, num instante t1 à posição inicial, ocupada no instante t0 < t1 ,
então há um instante τ , t0 < τ < t1 , quando sua velocidade é nula.
O teorema de Rolle dá condições apenas de existência de pontos críticos,
não fornece nenhum método para determiná-los. Também não há, em geral,
unicidade desses pontos.
O Teorema do Valor Médio é uma generalização do Teorema de Rolle.
Teorema 4.4 (do Valor Médio). Se
f é uma função contínua em [a, b] e derivável em ]a, b[, então existe c ∈]a, b[ tal que f (b) − f (a) = f ′ (c)(b − a).
4.4.3 Tabela de variações
Ao acrescentar a tabela de variação com o estudo dos limites de f no bordo do
seu domínio (e então determinar assíntotas eventuais), essa tabela nos fornece
um esquema bastante preciso do gráco de f .
34
CAPÍTULO 4.
LIMITES E ASSÍNTOTAS