Roteiro 1a Prova

Roteiro de Estudo de F604
1o Semestre de 2014
Prof. Carlos Lenz Cesar
Primeira Parte: Teoria da Probabilidade
Ā=
complementar de A, A – B = conjunto dos elementos que pertencem à A e não pertencem à
B, {} = conjunto vazio, S = conjunto universo. Mostre que:
1. Teoria dos conjuntos: considere a seguinte notação A+B = AB, AB = AB,
a.
A  B  AB
b. AB  A  B
c. Considere a função Indicador de um conjunto definida por: (e): A 
/ (e) =
1 se e  A e (e) = 0 se e  A. Mostre que (AB) = (A) (B),
(Ā) = 1- (A) e
que (A+B) = (A) + (B) - (A) (B).
2. Quais são os 3 axiomas da Teoria da Probabilidade? Partindo dos axiomas e da álgebra de
conjuntos mostre que:
a. P({Ø}) = 0.
b. P(A) = 1 – P(Ā).
c. P(S) = 1.
d. P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB).
e. Mostre que a probabilidade condicional definida por P( A | B) 
P( AB )
satisfaz os
P( B)
axiomas da probabilidade.
f. Teorema de Bayes. Seja {A1, A2, ..., An} uma partição do conjunto A, i.e.,
={} e i Ai = A. Prove que P( Ai | B) 
Ai Aji
P( B | Ai ) P( Ai )
.
 P( B | A j ) P( A j )
j
3. Seja a função probabilidade de uma variável aleatória definida por F  x   P xv  x .
a. Mostre que F    1 , F    0 , F  x2  x1   F  x1  , ou seja, F  x  é crescente, e
que F  x    F  x  , ou seja, F  x  é contínua à direita.
b. A função densidade de probabilidade é definida por f  x  
f  x  0 ,

x2

x1
d
F  x  . Mostre que
dx
 f ( x) dx 1 e que P( x1  x  x2 )   f ( x) dx .

4. A operação esperança é definida por E  g  x    g  x  f  x  dx para uma variável ou

E  g  x, y  
definida

 g  x, y  f  x, y  dx dy

por
para duas variáveis. A covariância entre x e y é
cov  x, y   E  x  E  x   y  E  y 
e
a
variância
por
2
V  x   cov  x, x   E  x  E  x   . Mostre que:


a. E  a   a ;
b. E  x  y   E  x   E  y  ;
c. E  x   y    E  x    E  y  ;
d. Se f  x, y   f x  x  f y  y  , variáveis aleatórias independentes, então E  xy   E  x  E  y  ;
e. Se x e y são independentes então cov  x, y   0 ;
f.
cov  x,  y    cov  x, y  ;
g. cov  x, a   0 ;
h. V    x   V  x  ;
2
i.
V  x  y   V  x   V  y   2cov  x, y  ;
j.
cov 2  x, y   V  x V  y 
5. Seja o momento de ordem n definido por M n  E  x n  . Mostre que se pode extrair os
xt
momentos de qualquer ordem da função geradora dos momentos M  t   E e  através


 dn

de M n  
M
t


 , desde que a função exista. A função característica é definida por
n
dt

 t 0
  t   E eixt  . Mostre que   0   1e que   t   1 .
n
6. Os momentos centrados de ordem n são definidos por mn  E  x     onde


  E  x  . Mostre que os momentos centrados podem ser extraídos através de
 d n  t

mn   n e M  t  e que a relação entre os momentos centrados e não centrados é
 dt
 t 0
n
n
n
n
nk
dada por M n      n k mk ou mn         M k . Mostre que os momentos
k 0  k 
k 0  k 
centrados ímpares de uma distribuição simétrica f    x   f    x  são nulos.

i k ck k
t . Mostre que
k 0 k !
7. A função geradora dos cumulantes é definida por C  t   ln   t   
c0  0 e ck   i 
k
dk
ln   t  .
dt k 
t 0
Mostre que co  0 , c1   , c2   2 ,
c3  m3 e
c4  m4  3 4 . Mostre que se x e y são independents então ck , x  y  ck , x  ck , y , ou seja, os
cumulantes se acumulam.
Distribuições Estatísticas:
8. Distribuição de Bernoulli. Nessa distribuição digital, onde só temos duas possibilidades, 0
ou 1, falso ou verdadeiro, cara ou coroa, com probabilidade p de obter 1 e probabilidade q de
obter 0, a função densidade de probabilidade é dada por f  x   q  x   p   x  1 . Mostre
que a função característica da distribuição de Bernoulli é dada por  Ber  t   q  peit e a
função geradora dos cumulantes dada por CBer  t   ln  q  peit  . Mostre que M k  p k e
que
mk  pq k   1 qp k . Em particular mostre que
k
m4  pq 1  3 pq .
m2  pq ; m3  pq 1  2 p 
e
9. Distribuição de Binomial. A binomial é obtida através da adição dos resultados de n jogo
de Bernoulli independentes. Mostre que a função característica da distribuição de Binomail é
dada
por
 Bin  t    q  peit  ,
n
a
função
geradora
dos
cumulantes
dada
por
CBin  t   n ln  q  peit  . Usando transformada de Fourier inversa mostre que a densidade de
n
n
probabilidade da binomial é dada por f  x      qn k p k  x  k  .
k 0  k 
10. Distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson é uma caso particular da binomial no
qual n   , mas p  0 mantendo o produto np   constante. Mostre que a função
  eit 1
característica da distribuição de Poisson é dada por  Poisson  t   e
e que a função
e  k
  x  k  . Mostre que todos os
k!
k 0
cumulantes da distribuição de Poisson valem  . Encontre os momentos M k de 1 a 4 da
distribuição de Poisson.

densidade de probabilidade é dada por f Poisson  x   
11. Distribuição Normal. A função característica da normal é obtida através de uma função
geradora dos cumulantes que só tem termos até ordem 2, ou seja C  t   i t 
2
t 2 . Mostre,
2
usando a transformada de Fourier inversa, que a função densidade de probabilidade da
normal é dada por f  x  
e

 x   2
2 2
2 
. Mostre que os momentos pares da distribuição normal
valem m2k   2k 1!! 2k .
12. Distribuição Log-Normal. A distribuição log-normal é obtida da distribuição normal
através da mudança de variável y  e x . Mostre que a função densidade de probabilidade da
log-normal é dada por f  y  
normal
m3  e
3
3   2
2
Mk  e
valem
e
2
e
 e
1
2
2


 ln y   2
2 2
2  y
k  k 2
. Mostre que os momentos de ordem k da log-
2
2
.
Mostre

 e
 2 e m4  e4  2 e  1
2
2
2
4 2


m2  e2  2 e  1 ,
2
que
2

 2e3  3e 2  3 .
2
2
13.Distribuição Gamma. A função densidade de probabilidade da distribuição Gamma é dada
por f  x;  ,   

Mostre que
 1

x


e
z 1  t
H  x  , onde ( z )  ( z  1)!  t e dt é a função Gamma.

   
0
x
 f ( x; ,  ) dx  1 . Mostre que  (t )  (1  i t )

e que C (t )   ln(1  i  t ) .
0
Expandindo a função característica em binômio de Newton mostre que os momentos são
dados por M k 
(  k  1)! k
 . Expandindo o logaritmo da função geradora dos
(  1)!
cumulantes em série de Taylor-McLaurin mostre que os cumulantes são dados por
ck   k  1! k . Mostre que m2   2 , m3  2 3 e m4  3   2  4 . Mostre que a
distribuição Gamma converge para a distribuição Normal quando    . Aditividade da
Distribuição Gamma: sejam x1 , x2 , , xn n v.a.’s que seguem uma distribuição Gamma com
mesmo  mas com  's diferentes. Mostre que a v.a. y  x1  x2   xn segue a
distribuição gamma com   1  2    n e mesmo  .
14. Teorema Central do Limite: Considere uma v.a. x com momentos centrados de ordem 1,
m1   , e 2, m2   2 , finitos. Agora considere a v.a. zn  x1  x2   xn om as v.a.’s xi
idênticas e independentes. Usando o truque do logarítmo até segunda ordem na expansão da
função geradora dos momentos mostre que a v.a. zn tende a uma distribuição Normal com
m1  n e m2  n 2 para n   .
Truques matemáticos usuais na Mecânica Estatística:

15. Função fatorial: use a integral por partes para mostrar que  t n e t dt  n ! .
0

16. Definindo I como a integral I   e dx , mostre que I 
 x2
2


variáveis para coordenadas polares mostre que
e
 x2
 
 e
 x2  y 2
dx dy . Mudando as
 
dx   . Com esse resultado mostre

 1
que    !   . Mostre que
 2

1
e que
 ! 
2
2
3 4 
.
 ! 
3
2

17. Função
Beta:
Mostre
que
n !  2 z 2 n 1e  z dz .
2
Mostre
que
0

2
n !m !   n  m  1!2  cos 2 n 1  sin 2 n 1  d . Mudando a variável para t  cos 2  , mostre que
0
1
 t 1  t 
n
m
dt 
0
1
n !m !
.
 n  m  1!
B  n, m    t n1 1  t 
0
m 1
dt 
A
  n    m
  n  m
função
.
Beta
é
definida
por:
 
18. Volume de uma hiperesfera: Mostre que

  e
 
resultado
para
calcular
VN   
2 dx1dx2
2
 x j R
dxN 
j

N
o
2
 2 !
N
 z12  z22   z N2
dz N  
dz1dz2
N
2
. Use esse

volume
de
uma
hiperesfera
RN .
 
19.Volume de um hiperplano: Mostre que

  e
0
0
 z1  z2   z N
dz1dz2
dz N  1 . Use esse
0
resultado para calcular o volume de um hiperplano VN   

dx1dx2
xi  0
x j L

dxN 
LN
.
N!
j
ln N ! ln  n  1!
d
válida para
ln N ! 
dN
1
valores muito grandes de N para mostrar que ln N !  N ln N  N .
20. Aproximação de Stirling: use a aproximação
21. Binômio de Newton: expandindo f  x   1  x  em série de Taylor McLaurin mostre que
n
1  x 
n
n
n!
n
x k . Agora considere o binômio  x1  x2  . Colocando x1 ou x2 em
k  0 k ! n  k  !

n
evidência o binômio pode ser escrito como  x1  x2 
usar
 x1  x2 
o
n
resultado
n
 x 

x 
 x 1  2   x2n 1  1  e podemos
x1 

 x2 
para
mostrar
que
n
1
anterior
n!
n!

x1n k x2k  
x1k x2n k .
k  0 k ! n  k  !
k  0 k ! n  k  !
n
n
22. Teorema
 x1  x2 
n
Multinomial.
n
n
 xk    
n
n

n1  0 n2  0
nk  0
n1  n2   nk  n
Provar
n!
x1n1 x2n2
n1 !n2 ! nk !
o
teorema
multinomial
xknk por indução com os seguintes
passos: (1) Mostrar que é verdadeiro para k  1 ; Mostrar que é verdadeiro para
k  2 (simplesmente recuperando o binômio de Newton); Supor verdadeiro para k e provar
que
é
verdadeiro
para
usando
o
fato
de
que
k 1
n
n
 x1  x2   xk  xk 1    x1  x2   xk   xk 1  cai de volta no binômio de Newton.
Fazendo x1  x2 
 xk  1 mostre que
n
n
n
 
n1  0 n2  0
nk  0
n1  n2   nk  n
n!
 kn .
n1 !n2 ! nk !
23. Funções homogêneas: Uma função é homogênea de grau n se f   x    n f  x  .
(a) Mostre que
f
 x  é homogênea de grau n 1 .
x j
(b) Mostre que f  x  
1
 xj f j x .
n j
(c) Mostre que f  x  pode ser escrita como f n  x   xnj fo  x  onde f o  x  é uma função
homogênea de grau zero.
Elementos de Mecânica:
24. Mostre que as equação de Euler-Lagrange aplicadas ao problema de minimizar a ação dada
t2
por A   L  t , q, q  dt com
1
2
L  T  V onde T  mx 2 é a energia cinética e V a
t1
energia potencial, na qual F  
V
, nos leva á equação de Newton F  mx .
x
H
H
  pk e
 xk aplicadas no
xk
p k
Hamiltoniano dado por H  T  V são compatíveis com a lei de Newton F  mx e com
pk  mxk .
25. Mostre que as equações de Hamilton-Jacobi

0,
t
 q, p  . Mostre que
26. Considere a equação da continuidade na ausência de fontes e sumidouros     v  
onde

é a densidade de estados no espaço das fases
H
 q p 


e
qi 
pi    i  i  . Usando as equações de Hamilton q i 
qi
pi
pi
 qi pi 
H
qi pi

 0 . Usando a equação da continuidade mostre que
mostre que
p i  
qi pi
qi
    v 
d
 0 sempre. Mostre que se um sistema está em equilíbrio,
dt


qi 
pi  0 .
qi
pi

 0 , então
t
27. Mostre que se a densidade de estados no espaço das fases  só depende das coordenadas

generalizadas qi e pi através do Hamiltoniano H  qi , pi  então
 0 . Sugestão: use as
t
H
H
equações de Hamilton q i 
e p i  
.
pi
qi
Elementos de Mecânica Quântica:
 2 ( x )
 U ( x )  E ( x )
2m x 2
a
para uma partícula em uma caixa com potencial dado por U ( x)  0 se x 
e
2
a
U ( x)   se x  . Impondo que tanto a função de onda quanto sua derivada sejam
2
contínuas ache as funções de onda simétricas e antissimétricas. Mostre que os níveis de
h2
2
energia da partícula na caixa são dados por En  n
.
8ma 2
28. Resolva a equação de Schroendinger independente do tempo 
2
29. Suponha que o modelo da partícula em uma caixa seja válido para qualquer potencial
simétrico unidimensional, se o tamanho L da caixa é dado pelos pontos de retorno onde
L
En  U   . Nesse caso L  2U 1  En  passa a ser função da energia. Mostre que nesse
2
1
modelo os níveis de energia de um oscilador harmônico, U  x   k x 2 são igualmente
2
A
espaçados e En  nEo . Mostre que no caso do potencial Coulombiano U  x   
então
x
1
En  2 Eo .
n
Elementos de Termodinâmica
30. Considere um sistema termodinamicamente isolado com uma partição contendo uma parede
móvel, permeável e diatérmica. Mostre que a maximização da entropia total
S  S U1 ,V1 , N1  S U 2 ,V2 , N 2
sujeita ás restrições U1  U 2  U o , V1  V2  Vo e

 

N1  N 2  No implicam no equilíbrio térmico T1  T2 , mecânico P1  P2 e químico 1  2 .
31. Transformação de Legendre: Considere a equação diferencial dU  TdS  PdV   dN ou
1
P

dU  dV  dN . Qual a transformação de Legendre que troca S
T
T
T
?
P ? E a que troca N
transformação que troca V
dS 
T ? Qual a
32. Potenciais termodinâmicos, variáveis exógenas e endógenas de gases nos diferentes
ensembles:
(a) No ensemble microcanônico são conhecidas as variáveis extensivas: energia interna,
volume e número de partículas U ,V , N  . Qual o potencial termodinâmico a ser
calculado à partir do processo de maximização da mecânica estatística. Como se obtém as
variáveis endógenas T , P,   à partir do potencial termodinâmico calculado.
(b) No ensemble canônico se conhece a temperatura em lugar da energia interna. Qual a
T ? Qual o potencial
transformação de Legendre que permite a troca de U
termodinâmico [energia livre] se obtém com essa transformação de Legendre? Quais as
variáveis exógenas (próprias, dadas) do ensemble canônico? Quais as variáveis
endógenas e como são extraídas do potencial termodinâmico próprio do ensemblem
microcanônico?
(c) No ensemble grand canônico são dados a temperatura, o volume e o potencial químico
 T,V ,   em lugar de U ,V , N  do ensemble microcanônico. O potencial termodinâmico
desse ensemble é chamado grand potencial. Escolha a transformação de Legendre que
T e N
 e escreva o diferencial do grand potencial? Como
permite as trocas de U
as variáveis endógenas S, P, N  são extraídas do grand potencial?
(d) No ensemble T-P são dados a temperatura, a pressão e o número de moléculas  T, P, N  .
T e V
P e como se
Qual a transformação de Legendre que permite a troca de U
chama o potencial termodinâmico [energia livre] obtido com essa transformação? Como
as variáveis endógenas S, V, N  são extraídas dessa energia livre?
Fundamentos da Mecânica Estatística
33. Considere o problema de maximização da entropia S   kB  pi ln pi
sujeito à certas
i
restrições.
(a) Ensemble microcanônico. Encontre o Lagrangeano do problema de maximizar a entropia
com a única restrição  pi  1 . Mostre que a probabilidade obtida é a mesma para todos
i
os estados. Mostre que a entropia é dada por S  kB ln  U ,V , N  nesse ensemble.
(b) Ensemble canônico. Encontre o Lagrangeano do problema de maximizar a entropia com
as restrições  pi  1 e  pi i  U . Calcule o multiplicador de Lagrange associado à
i
restrição
 p
i i
i
 U . Calcule a probabilidade que maximiza a entropia. Qual a função de
i
partição associada ao ensemble canônico? Como o potencial próprio e a energia interna
são extraídos dessa função de partição? Como se calculam as variáveis endógenas em
termos da função de partição nesse ensemble?
(c) Ensemble grand canônico. Encontre o Lagrangeano do problema de maximizar a entropia
com as restrições  pi  1 ,  pi i  U e  pi N i  N . Calcule os multiplicadores de
i
i
Lagrange associados às restrições
 p
i i
i
U e
i
pN
i
i
 N . Calcule a probabilidade
i
que maximiza a entropia. Qual a função de partição associada ao ensemble grand
canônico? Como o potencial próprio e a energia interna são extraídos dessa função de
partição? Como se calculam as variáveis endógenas em termos da função de partição
nesse ensemble?
(d) Ensemble T  P . Encontre o Lagrangeano do problema de maximizar a entropia com as
restrições  pi  1 ,  pi i  U e  piVi  V . Calcule os multiplicadores de Lagrange
i
i
associados às restrições
 p
i i
i
i
U e
 pV
i i
 V . Calcule a probabilidade que
i
maximiza a entropia. Qual a função de partição associada ao ensemble T  P ? Como o
potencial próprio e a energia interna são extraídos dessa função de partição? Como se
calculam as variáveis endógenas em termos da função de partição nesse ensemble?
34. Resolva o problema do gás ideal monoatômico no ensemble microcanônico. Calcule
 U ,V , N  . Mostre que a entropia S  kB ln  U ,V , N  é homogênea de grau 1 e pode ser
1 S
3
U V 

escrita como S  N k B f  ,  . Usando
mostre que U  Nk BT .
T U
2
N N
P S

mostre que PV  NkBT . Encontre o potencial químico desse gás ideal.
T V
Usando
35. Resolva o problema do gás ideal monoatômico no ensemble canônico. Calcule a função de
3
1
. Calcule a energia interna e mostre que U  Nk BT .
2
k BT
Calcule a energia livre de Helmholtz. Usa a energia livre de Helmholtz para mostrar que,
novamente, PV  NkBT . Calcule o potencial químico e mostre que é idêntico ao potencial
químico calculado no ensemble microcanônico.
partição Z   ,V , N  onde  
36. Resolva o problema do gás ideal monoatômico no ensemble grand canônico. Calcule a
função de partição Q   ,V ,   e o grand potencial termodinâmico. Mostre que a energia
3
Nk BT . Calcule a pressão e mostre que, novamente, PV  NkBT .
2
Calcule o número de partículas N . Re-escreva o potencial químico, em princípio dado, em
função do número de partículas para mostrar que é idêntico ao potencial químico calculado
nos ensembles canônico e microcanônico.
interna é dada por U 
37. Resolva o problema do gás ideal monoatômico no ensemble T  P . Calcule a função de
partição    , P, N  e a energia livre de Gibbs. Mostre que a energia interna é dada por
3
Nk BT . Calcule o volume e mostre que, novamente, PV  NkBT . Calcule o potencial
2
químico e mostre que é idêntico ao potencial químico calculado nos ensembles anteriores.
U
38. Verifique a relação via transformada de Laplace entre os ensembles microcanônico e
canônico dada por Z    

    e
 
d provando que a transformada de Laplace da
0
densidade de estados obtida no problema 32  U ,V , N    U ,V , N  dU é idêntica à função
de partição do ensemble canônico obtida no problema 33.
39. Teorema da equipartição da energia: Se não há interação entre partículas a função de
partição canônica pode ser decomposta entre partículas Z  Z1Z2 Z N . Se além disso forem
partículas idênticas então Z  Z1N . Quando não há acoplamento entre os diferentes graus de
liberdade de uma molécula então a função de partição pode ser decomposta na forma
onde
Z1  Ztranslação  Z rotação  Z vibração  Z eletrônico ,
Z rotação   e  ;
Ztranslação   e  ;
ir
it
i
i
Z vibração   e iv e Z eletrônico   e ie . Considere um grau de liberdade em que a energia é dada
i
i
por  j  Ax n . Mostre que a energia média por molécula associada à esse grau de liberdade
no limite clássico é dada por   

1
ln Z j  k BT .

n
40. Teorema da equipartição da energia não é válido no limite quântico. Verifique esse fato
1

considerando um sistema de osciladores harmônicos no qual  n   n   o . Calcule a
2

1
o em baixas temperaturas,
função de partição para esse caso. Mostre que  
2
kBT  o , e que a energia média por molécula converge para   kBT , a energia obtida
pelo teorema da equipartição da energia, no limite de altas temperaturas kBT  o .
Obtenha uma expressão de  em qualquer limite e faça um gráfico da mesma em função da
temperatura.
Aplicações da Mecânica Estatística
41.Problemas 2.4, 2.6 e 2.7 do Reif.
42. Problemas 6.13, 6.14 e 6.15 do Reif.
43. Encontre a função de partição no ensemble canônico de uma gás ideal monoatômico em um
campo gravitacional no qual o potencial é dado por V  mgz . Suponha Lz tendendo a
infinito. Calcule a energia interna através da funão de partição. Use a energia livre de Gibbs
para calcular as variáveis endógens desse sistema.
44. Resolva o problema de um sólido paramagnético com spin ½ na presença de um campo
magnético externo H nos ensembles microcanônico e canônico. Calcule a energia interna e a
H
magnetização desse sistema. Em que intervalo vale a lei de Curie M  Cc ?
T
45. Considere o modelo de rubber band, de uma cadeia polimérica com uma das extremidades
na origem e a outra na posição  L,0  na qual se aplica a tensão externa T x na direção x ,
conforme mostra a figura. Cada monômero tem comprimento
fixo pode estar alinhado
perpendicular, paralelo ou anti paralelo à direção da tração. A energia dos monômeros na
direção x é nula e dos monômeros nas direções  y valem  .
Ly
Lx
x
Estabeleça as restrições nos números de monômeros em cada direção, no número total de
monômeros e na energia do sistema. Calcule o número de monômeros em cada direção em
função da energia total e da tração. Calcule a entropia do sistema no ensemble microcanônico.
Mostre que o comprimento médio na direção y é nulo. Calcule a temperatura do sistema e com
isso encontre a energia interna e o comprimento na direção x em função da temperatura. Tome o
limite de tração muito pequena e mostre que o comprimento diminui quando a temperatura
aumenta. Calcule o coeficiente de dilatação térmica desse sistema e o módulo de elasticidade. O
que acontece com a constante k da mola equivalente quando a temperatura aumenta?
46. Considere a superfície de um sólido com N sítios distantes disponíveis para a adsorção de
moléculas de um gás que a envolve. A molécula adsorvida possui energia E   o . Calcule a
função de partição do ensemble grand-canônico desse sistema. Calcule o número médio de
moléculas adsorvidas. Escreva o potencial químico em função da pressão do gás ideal.
Analise a fração de ocupação dos sítios adsorvedores em função da pressão do gás.