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INSTRUCIONAIS DE MATEMÁTICA
CÁLCULO II
QUADRO SÍNTESE DO CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Unidade de Programa
Objetivos
I. Diferencial
II. Integral
III. A Integral Definida
IV.
V.
CONTEXTUALIZAÇÃO DA DISCIPLINA:
GLOSSÁRIO:
BIBILIOGRAFIA
.
UNIDADE I
DIFERENCIAL
1.1. Definição:
Seja f uma função e sejam x, y variáveis tais que y = f(x) a diferencial de
dy é definida por:
dy = f’(x). dx
Exemplos:
1) Se y = 7x³ - 6x² + 5x – 1
⇒
y’ = 21x² - 12x + 5
(21x² - 12x + 5) .dx
2) Se f(x) = (7x – 2)5
f’’(x ) = 5.(7x – 2)4 . 7
f’’(x ) = 35. (7x – 2)4
dy = 35. (7x – 2)4 . dx
1.2. Interpretação Geométrica
f(x0 + Δx)
f(x)
∝
f(x0)
∝
dy
dx
x0
x0 + Δx
Suponhamos que f é diferenciável em x0.
Consideramos dx = Δx, e apresentemos Δx como um incremento no valor
de x de x0 até x0 + Δx. assim, Δy é a variação correspondente no valor de y, de
f(x0) até f(x0 + Δx)
Como f’(x0) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f em (x0,
f(x0))segue-se que:
dy = ƒ’(x). dx
Então, dy dá o incremento correspondente no valor de y, determinado
seguindo-se a direção da reta tangente;
Observe que se Δx → 0 , Δy → dy
Logo, que para “Δx pequeno” , Δy se aproxima de dy.
Logo;
dy ≅ Δy = f(x0 + Δx) – f(x0)
Mas;
dy = f’(x0).dx
Então;
f(x0 + Δx) ≅ f(x0) + f’(x0).dx
Exemplos:
1) Aplicando o conceito de diferencial, calcule um valor aproximado de
4,12 ,
Solução
f(x) = x ;
x0 = 4
f’(x0) = f(4) =
f’(x) =
1
2 x
Δx = 0,12
e
4 =2
⇒ f’(x0) = f’(4) =
1
2 4
=
1
1
= = 0,25
2 x2 4
Então;
f(x0 + Δx) ≅ f(x0) + f’(x0).dx
⇒ f(4,12) ≅ 2 + 0,25 x 0,12
⇒ f(4,12) ≅ 2,03
2) Se f(x) = x² + 2, x0 = 2 e Δx = 0,01. Calcule:
a) O valor exato de Δy;
b) Uma estimativa de Δy usando dy = f’(x0) .dx;
c) O erro Δy – dy cometido na aproximação de Δy por dy
Solução:
a) Δy = f(x0 + Δx) – f(x0)
Δy = f(2,01) – f(2)
Δy = [(2,01)² + 2] – [2² + 2] =
= 6,0401 – 6 = 0,0401
b) dy = f’(x0) .dx;
Se f(x) = x² + 2 ⇒
f’(x) = 2x
⇒ dy= 2x.dx
Logo ;
dy = 2 x 2 x 0,01 = 0,04
c) Δy – dy = 0,0401 – 0,04 = 0,0001
3) Se y = x² + 1, calcule o acréscimo Δy para x = 3 e Δx = 0,01
Solução
Δy = f(x0 + Δx) – f(x0)
Δy = f(3+ 0,01) – f(3)
Δy = f(3,01) – f(3)
Δy = 9,0601 – 9 = 0,0601
4) Calcular a diferencial da função f(x) = x³ + 2
Solução
dy = ƒ’(x) . dx
dy = 3x² . dx
1.3 – EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
1) Calcule um valor aproximado para as seguintes raízes, usando diferencial:
a)
b)
9,2
3
7,9
c)
4,12
d)
0,26
2) Usando um conceito de diferencial, calcular um valor aproximado de Ln(0,95).
3) Dados sen60º = 0,86603, cos 60º = 0,5 e 1º = 0,01745 radiano, use diferencial
para calcular os seguintes valores
a) sen62º
b) sen59º
4) e² = 7,29 , aproxime e2,1 por diferenciais:
5) Encontrar a diferencial das seguintes funções:
a) y = 6x – 3
b) f(x) = (2x³ - 5x² +4)5c) f(x) =sen5 2x
d) f(x) = ln(5x – 3)
1.4 – EXERCÍCIO DE AUTO-AVALIAÇÃO
1) Encontre a diferencial das seguintes funções:
a) f(x) = (1 + x²)³
a2 − x2 , a ∈ R
b) y = x .
c) y = x³ - x² + x – 3
d) f(x) =
x+3
5 − 2x
e) y = x.ex + senx
2) Calcular dy e Δy conhecendo a função y = x² + 3x e
dados : x = 2 ; Δx = 0,0 e dx = 0,05.
3) Calcular
3
7,8 aplicando o conceito de diferencial:
4) Se Ln10 = 2,303, aproxime Ln10,2 por diferenciais
5) Se cos60º = 0,5, senx = 0,86603 e 1º = 0,01745rad, calcule cos58º
UNIDADE II
Integral
2.1. Integrar Indefinida:
Seja f uma função definida em um intervalo I. Dizemos que uma
determinada função P(x) definida nesse mesmo intervalo I é um função primitiva
de ƒ, quando.
P’(x) = f(x) , ∀x ∈ I
Exemplo:
Seja a função f(x) = 8x. Logo P(x) = 4x² é uma função primitiva de f(x),
pois:
P’(x) = (4x²)’ = 8x = f(x)
Observe também que P1(x) = 4x² + 1; P2(x) = 4x² P4(x) = 4x² +
3
; P3(x) = 4x² -2;
7
7 ; ...; P(x) 4x² + k , k ∈ R, são primitivas de f, pois P’1(x) = P’2(x) =
P’3(x) = ... = P’(x) = 8x = f(x)
Uma conseqüência imediata da definição consiste no fato que se P(x) é
uma primitiva da função f(x), então a função P’(x) +k , k∈ R, é também primitiva
de f, onde o número real k recebe o nome de constante arbitrária.
Pois, Se
P(x) é primitiva de f(x) ⇒ P’(x) = f(x)
Logo;
(P(x) + k)’ = P’(x) + k’ = P’(x) = f(x)
A expressão P(x) + k onde P é uma função primitiva de f e k uma
constante qualquer recebe o nome de integral indefinida de f e será indicada
pela notação:
∫ f ( x ) ⋅ dx
Exemplo:
Seja a função y = 8x³ + 6x +1
Logo; y’ = 24x² + 6 ⇒ dy = (24x² + 6).dx
Então,
∫ (24 x ² + 6).dx = 8x³ + 6x + k, k ∀ ∈ R
Como a integral indefinida é a operação inversa da diferenciação,
podemos deduzir fórmulas a partir das fórmulas das derivadas.
Exemplos:
a) y = senx ⇒ y’ = cosx ⇒ dy = cosx.dx
∫cosx.dx = senx + k
Logo,
b) y = ax ⇒ y’= a ⇒ dy = a.dx; a ∈ R
∫adx = ax + k
Logo,
2.2. Regras de Integração:
Com o auxílio das regras de derivação vamos deduzir as ? Regras de
integração.
O k é um número real e indica a constante de integração.
1ª Regra: ∫ dx = x + k
Pois,
Se ƒ(x) = x + k ⇒ ƒ’(x) = 1 ⇒ dy = 1.dx
Então
∫ dx = x + k
2ª Regra: ∫ xn . dx =
x n +1
+ k; n ≠ -1
n+1
Pois,
Se ƒ(x) =
x n +1
(n + 1) ⋅ x (n +1)−1 ⇒ ƒ’(x) = xn ⇒ dy = xn. dx
+ k ⇒ ƒ’(x) =
n +1
n+1
Logo;
x n +1
∫ x . dx =
+k
n+1
n
Exemplos:
x 5 +1
x6
a) ∫ x .dx =
+k =
+k
5+1
6
5
Observe que; Se y =
1 6
6
x ⇒ y’ = x 5 ⇒ y’ = x5 e dy = x5 . dx
6
6
x −4 +1
x −3
1
1
-4
+k =
+k = −
+k
b) ∫ 4 . dx =∫x . dx =
x
−4+1
−3
3 x³
Observe que
Se y = −
1
1
+ k = − x −3 + k
3 x³
3
Então; y’= −
c) ∫
1
1
1
⋅ ( −3) x − 4 = x − 4 = 4 e dy = 4 ⋅ dx
3
x
x
1
+1
2
3
x
x2
2 x³
x ⋅ dx = ∫ x ⋅ dx =
+k =
+k =
+k
3
1
3
2
+1
2
1
2
Logo; ∫
2x x
+k
3
x ⋅ dx =
2x 2
2/ 3/ 3 −1
1
Então; Se y =
+ k ⇒ y'= ⋅ x 2 ⇒ y'= x 2 ⇒ y'= x
3
3/ 2/
3
e dy =
x ⋅ dx
OBS.:
No caso de ∫xn . dx
∫x-1 . dx =
∫
com n = -1, temos:
1
⋅ dx =
x
Ln ⎢x ⎢+k
Pois, Se y = Ln ⎢x ⎢ ⇒ y’=
Logo;
1
∫ x ⋅ dx = Ln
x +k
1
1
⇒ dy = ⋅ dx
x
x
3ª Regra: ∫ k. ƒ(x) . dx = k∫ 9x). dx, onde k ∈ R*
Demonstração:
Se P(x) é uma função primitiva da função ƒ(x), temos. P’(x) = ƒ(x)
segue-se:
∫ k . ƒ(x) . dx = k . p(x) , pois (k . P(x)’ = k’ . P(x) + k . P’(x) = k . ƒ(x)
e
k . ∫ƒ(x) . dx = k . P(x) , pois P’(x) = ƒ(x)
∫ k . ƒ(x) . dx = k . P(x) e k ∫ ƒ(x) . dx = k . P(x) ⇒
Logo; Se
⇒ ∫ k . ƒ(x) . dx = k . ∫ ƒ(x) . dx
Exemplo:
x5
a) ∫5x . dx = 5∫x . dx = 5
+k = x5 + k
5
4
4
Observe que:
y = x5 + k ⇒ y’ = 5x4 ⇒ dy = 5x4 . dx
Se
b)
3 ⋅ dx
3 ⋅ x −6
1
-7
=
3
∫
x
.
dx
=
+k = − 6 +k
∫ 7
−6
2x
x
Observe que:
Se
y =−
1
+k
2x 6
⇒
y =−
1
+k
2x 6
⇒
y'=
1
⋅ (− 6 ) ⋅ x −7
2
⇒
y'=
3
x7
⇒ dy =
3
⋅ dx
x7
c)
dx
1 dx
1
∫ 6 x = 6 ∫ x 12 = 6
1
= ⋅ x +k
3
Logo,
dx
∫6
x
=
∫x
x
+k
3
− 12
− 1 +1
1
1 x 2
1 x 2
1 1
⋅ dx = ⋅ 1
+k = ⋅
+k = x 2 +k =
1
6 − 2 +1
6
3
2
Observe que :
Se y =
1 1
x
+k⇒y= x2 + k
3
3
Logo ; dy =
⇒
y’=
1 1 − 12
. x
3 2
⇒ y’=
1
6 x
dx
6 x
4ª regra: ∫ [(ƒ1(x) ± ƒ2(x) ± ... ƒn(x)] . dx = ∫ƒ1(x).dx ± ƒ2(x).dx ± ... ± ∫ƒn(x) . dx
Se P1(x), P2(x), ..., Pn(x) são função primitivas de ƒ1(x), ƒ2(x), ..., ƒn(x),
respectivamente, então, P’1(x) = ƒ1(x), P’2(x) = ƒ2(x), ..., P’n(x) = ƒn(x),
Logo; [(P1(x) ± P2(x) ± ... Pn ±Pn(x)] é primitiva de [(ƒ1(x) ± ƒ2(x) ± ... ±ƒn(x)],
pois; [(P1(x) ± P2(x) ± ... ±Pn(x)]’ = P’1(x) ± P’2(x) ± ...± P’n(x) = ƒ1(x) ± ƒ2(x) ± ... ƒn(x).
Então temos;
∫[(ƒ1(x) ± ƒ2(x) ± ... ± ƒn(x)]dx = P1(x) ± P2(x) ± ... ± Pn(x) = ∫ƒ1(x).dx ±
∫ƒ2(x).dx ± ... ± ∫ƒn(x) . dx
Portanto:
∫[(ƒ1(x) ± ƒ2(x) ± ... ± ƒn(x)] . dx = ∫ƒ1(x).dx ± ƒ2(x).dx ± ... ± ∫ƒn(x) . dx
Exemplos:
a)
∫(x³ + 9x² + 6x – 3).dx = ∫x³ . dx + ∫9x² . dx + ∫6x . dx – ∫3. dx =
= ∫ x³. dx + 9 ∫ x² . dx + 6∫ x. dx - 3∫ dx=
=
x 4 9x ³ 6x ²
+
+
− 3x + k
4
3
2
Logo; ∫(x³ + 9x² + 6x – 3).dx =
Então , se y =
x4
+ 3x³ + 3x² - 3x + k
4
1 4
x + 3x³ + 3x² - 3x + k, temos:
4
y’ = x³ + 9x² + 6x – 3 e dy = (x³ + 9x² + 6x – 3)dx
7
⎛ 1
⎞
+ − 5 ⎟.dx = ∫x- ½ . dx + 7 ∫ dx - 5∫ . dx=
x
x x
⎠
∫ ⎜⎝
b)
=
x
1
2
1
2
+ 7.Ln x − 5 x + k =
= 2 x + 7 . Ln ⎟ x ⎟ - 5x + k
Observe então, que se
y’ = 2/
y = 2x½ + 7.Ln x – 5x + k ⇒
1 − 12
1
1
7
7
⎛ 1
⎞
x + 7 − 5 ⇒ y’ =
+ − 5 e dy = ⎜
+ − 5 ⎟.dx
x
2/
x x
⎝ x x
⎠
5ª regra: ∫cosx . dx = senx + k
Pois, se y = senx ⇒ y’ = cosx e dy = cosx . dx
6ª regra:: ∫ senx . dx = - cosx + k
7ª regra: ∫ tgx . dx = Ln ⎮secx⎮ + k
(sec x )' = sec x .tgx = tg x
Pois, se y = Ln⎮secx⎮ ⇒ y ‘ =
sec x
sec x
e
dy = tg x . dx
8ª regra: ∫ cotg x . dx = Ln ⎮senx⎮ + k
9ª regra ∫ cossec x . dx = Ln (cossec x – cotg x ) + k
Pois se y = Ln ⎟ cossec x – cotg x ⎟ + k ⇒
⇒ y’ =
=
(cos sec x − cot g x )' ⇒ y ' = − cos sec x ⋅ cot g x + cos sec ² x =
cos sec x − cot g x
cos sec x − cot g x
cos sec x (− cot gx + cos sec x )
⇒ y’ = cossec x e dy = cossecx . dx
cot gx + cos sec x
10ª regra: ∫ sec x . dx = Ln ⎮secx + tg x⎮+ k
11ª regra: ∫ sec² x . dx = tg x + k
12ª regra: ∫ cossec²x . dx = - cotg x + k
13ª regra; ∫ ex . dx = ex + k
14ª regra: ∫ ax . dx =
ak
+ k ; a ∈ R +−
Lna
Observação: Outras regras de integração podem ser deduzidas através das
regras de derivação.
2. 3 – EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1) Desenvolver as seguintes integrais
a)
∫dx =
b)
∫6x. dx =
c)
∫
d)
∫
e)
∫(2x4 + 5x³ - 6x² + 2x – 1) . dx =
f)
∫
g)
∫(
h)
∫
i)
∫ ⎜⎝ 2
j)
∫
3
x ² .dx =
x .dx
=
x³
ax ⋅ dx =
)
x ³ − 2 3 x ² + 5 x − 3 .dx =
4x ² − 2 x
⋅ dx =
x
⎛ x²
−
2⎞
⎟ ⋅ dx =
x² ⎠
x ⋅ (3 x − 2) ⋅ dx =
x ³ + 5x ² − 4
⋅ dx =
x²
k)
∫
l)
∫ (ax² + bx + c) . dx=
m)
∫ (x + 1)² ⋅ dx =
x
n) ∫x . (2x + 1)² . dx =
o)
∫(
)
a − x ² ⋅ dx;
a ∈ R+ =
p) ∫(1 + cosx – 5 sen x) . dx=
2) Desenvolver ∫(2x + 1) . dx, sabendo que ƒ(1) = 7;
3) Determine a primitiva ƒ(x), sabendo que
dy
= 3x – 1 e ƒ(0) = 4
dx
4) Determine a função ƒ(x) sabendo-se que ƒ’’(x) = 2x – 1 ; ƒ(1) = 3 e ƒ(1) = 4
2. 4 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO – Método da Substituição
Em algumas situações o cálculo de uma função primitiva pode não ser tão
simples. Nestes casos, algumas técnicas são necessárias, veremos algumas
delas. Inicialmente veremos o método da substituição.
Sejam ƒ e P duas funções tais que P’(x) = ƒ (x).
Usando a regra da derivação em cadeia temos:
d
P (g ( x )) = P’(g(x)) . g’(x)
dx
= ƒ(g(x)) . g’(x)
Segue-se que;
∫ ƒ(g(x)) . g’(x) . dx = P(g(x)) + k
Se considerarmos u = g(x) ⇒ du g’(x) . dx
Logo;
∫ ƒ(g(x)) . g’(x) . dx = ∫ƒ(u) . du
Exemplos
a)
∫ (6 + 5x)8 . dx =
Solução;
Considerando u = 6 + 5x ⇒ du = 5. dx
Então;
8
1
5 8
1 u9
∫ (6 + 5x) . dx = ∫ (6 + 5 x ) ⋅ 5dx = ∫ u .du = ⋅ + k =
5
1
5 9
9
(6 + 5 x )9 + k
u
+ k;
mas u = 6 + 5x , logo; ∫ (6 + 5x)8 . dx =
=
45
45
8
É comum, alguns professores desenvolverem da seguinte forma:
∫ (6 + 5x)8 . dx =
Fazendo u = 6 + 5x
du = 5 . dx
Logo; ∫ (6 + 5x)8 . dx = ∫u8 .
⇒
du
5
dx =
du
=
5
(6 + 5 x ) + k
1 8
1 8
1 u9
u9
.
.
.
u
du
=
u
du
=
+
k
=
+k =
∫
∫
5
5
5 9
45
45
9
Observe que as duas formas desenvolvidas são praticamente iguais, diferem
apenas na apresentação inicial.
b)
∫ cos 2x . dx
Fazendo u = 2x
⇒
du = 2. dx
Logo;
∫cos2x . dx = 1 ∫ cos 2x.2dx = 1 ∫ cos u.du = 1senu + k = 1 sen 2x + k
2
2
2
2
Resolvendo da outra forma, temos:
Se u = 2x
⇒
⇒ dx =
du = 2 . dx
du
2
Logo
∫cos2x . dx = ∫cos u .
c)
∫
du
1
1
1
= ∫ cos u.du = sen u + k = sen 2 x + k
2
2
2
2
2 + sen3 x ⋅ cos 3 x.dx =
Temos;
2 + sen3 x ⋅ cos 3 x.dx = ∫ (2 + sen3x)½ . cos3x . dx; ⇒
∫
Fazendo
u = 2 + sen 3x
⇒
du = 3 . cox3x. dx
Logo;
∫ (2 + sen3x)½ . cos3x . dx =
=
1
1
(2 + sen3 x ) 2 . 3 cos 3 x . dx = 1 ∫ u 12 ⋅ du =
∫
3
3
3
1 u2
2
= ⋅
+k =
u³ + k
3
3 2
9
Mas, u = 2 + sem 3x;
Então;
∫
=
2 + sen3 x ⋅ cos 3 x.dx =
2
9
(2 + sen3 x )³ +k =
2
(2 + sen3 x ) ⋅ 2 + sen3 x + k
9
2. 5 – EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:
1) Desenvolva as seguintes integrais:
a)
∫ ( x + 6)4=
b)
∫
c)
∫ x+2
d)
∫ t . (5 + 3t²)8 . dt
e)
∫
f)
∫
x ² ⋅ dx
x+2
g)
∫
(x + 3).dx =
1 + x² ⋅ x ⋅ dx =
dx
dx
; a, b ∈ R,
a − bx
3
x ² + 6x
h) ∫(x + 1)100 . x . dx =
i)
∫(x² - 4x + 4)5 . dx =
j)
∫ x ² + 10 x + 30 =
k)
∫ sen5x . cos x .dx=
l)
∫ sen62x . cos x .dx=
m)
∫ cos ² x ⋅ dx =
dx
senx
n) ∫cos(2x+7).dx =
o)
∫ tg62x . sec²2x .dx=
p)
∫(3.sen2x + 4 . cos 3x).dx=
q)
∫ sen3x .dx=
r)
∫
senx.dx
=
4 − cos x
2) Se ƒ’(x) = esenx . cosx, encontre a função ƒ(x) sabendo que ƒ(0) = 3
2.6 – TÉCNICA DE INTEGRAÇÃO – Integração por Partes
Sejam u e v funções de x deriváveis num intervalo I.
Sabemos que a derivada do produto u(x) . v(x) é dada por:
[u(x) . v(x)]’ = u’(x) . v’(x) + u’(x) . v’(x)
Logo; a primitiva de [u(x) . v(x)]’ é igual a soma de uma primitiva de u’(x) .
v(x) com uma primitiva de u (x) . v’(x), ou seja;
∫[u(x) . v(x)]’ . dx = ∫v’(x) . u’(x). dx + ∫u(x) . v’(x). dx ⇒
⇒ u (x) . v(x) = ∫v(x) . u’(x) . dx + ∫ u(x) . v’(x) . dx
Logo; podemos escrever;
∫ u(x) . v’(x) . du = u(x) . v(x) - ∫ v(x) . u’(x) . dx
Ou
∫u . dv = u . v - ∫v . du
Exemplos:
1) Determinar a primitiva de ƒ(x) = x . ex;
Solução:
∫x . ex. dx
Temos;
u=x ⇒
du = du
v = ∫x . ex. dx = ex + k
∫v.du = ∫ ex. dx= ex + k
Logo:
∫x . ex. dx = x.
ex – ex + k
2) Desenvolver a integral ∫x² . senx.dx
Solução:
Temos;
u = x² ⇒
du = 2x . dx
v = ∫ dv = ∫ senx . dx = - cosx + k
∫v du = -2∫x.cosx. dx
Logo;
∫x² . sen x . dx = - x² . cosx + 2 ∫x. cosx . dx
Vamos desenvolver ∫x. cosx . dx, aplicando a técnica da integração por
partes:
∫x . cosx. dx =
Fazendo
u=x ⇒
du = dx
v = ∫ cosx. dx = senx + k
∫v.du = ∫senx . dx = - cosx + k
Logo; ∫ x. cosx . dx = x . senx. + cosx + k
Portanto;
∫ x² . senx. dx = - x² . cosx + 2 . (x senx + cosx) + k
= - x² . cosx + 2 . x. senx + 2 . cosx + k
2. 7 – EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Aplicando a técnica da integração por partes, desenvolva as seguintes integrais.
a)
∫ x. cos . dx=
b)
∫ x² . ex. dx=
c)
∫ x² . Lnx . dx=
d)
∫ Ln x . dx=
e) ∫ex . senx. dx=
f)
∫x.
1+ x.dx =
UNIDADE III
Integral Definida
3.1. Introdução
Consideremos o problema de calcular a área de uma região S, limitada
pelo gráfico de uma função contínua em ƒ, pelo eixo das abscissas e pelas retas
x = a e x = b.
y
ƒ(x)
ƒ(b)
ƒ(a)
S
x
a
b
Considerando então ƒ contínua ao menos num intervalo [a, b] .
Os pontos a = x0, x1, x2, ..., xn = b , com x0 < x1 < ...< xn dividem o intervalo
[a, b] em intervalos parciais [ xi – 1, xi] de comprimento Δxi = x i – x
i -1.
Para cada
um destes intervalos consideremos um ponto ∝i tal que x i - 1 < ∝ i < xi.
Para cada i, i = 1, 2, 3 ,..., n, construímos um retângulo de base Δxi = x i – x
altura ƒ(∝i).
y
ƒ(∝1)
x0
x1 x2
x3 x4
...
bn
=
=
a
xn
x
i -1
e
A soma desses n retângulos é dada por:
n
Sn = ƒ (∝1) . Δx1 + ƒ(∝2) . Δx2 + ... + ƒ(∝n ) . Δxn = ∑
ƒ(∝1) . Δxi
i =1
n
∑
A soma
ƒ(∝1) . Δx recebe o nome de soma de Riemann da função ƒ
i =1
sobre o intervalo [a, b], em relação a divisão adotada.
Podemos observar que a medida que n cresce muito, cada Δxi , i = 1, 2, 3,
..., n, torna-se muito pequeno é a soma das áreas retangulares aproxima-se do
que intuitivamente entendemos como área de S.
O Limite
n
lim
n → +∞
∑
f (∞ i ) ⋅ Δx i
i =1
máx Δx i → 0
Recebe o nome de integral da função ƒ sobre [a, b] e será indicado pela
b
notação ∫ f ( x ) ⋅ dx (integral de ƒ sobre [a, b])
a
Assim,
b
∫
n
f ( x ) ⋅ dx =
a
lim
n → +∞
máx Δx i → 0
∑ f (α
i
) ⋅ Δx i
i =1
3. 2 – Integral Definida – Cálculo
Normalmente a integral definida de ƒ sobre [a, b] não é calculada
empregando-se a definição, pois o cálculo do limite da soma de Riemann de ƒ é
bastante difícil.
Teorema: Seja ƒ uma função contínua em um intervalo [a, b]. Se p é uma função
primitiva de ƒ, então:
b
b
a
a
∫ f ( x ) ⋅ dx = p( x )∫
= P ( b ) − P (a )
Exemplos:
1) Calcular
3
3
0
0
a) ∫ 2 x ⋅ dx = x ² ∫ = 3² − o ² = 9
Observe que:
y
y = 2x
Área do Triângulo =
6
b×h
2
3 × 6 18
=
=9
2
2
Atr =
x
0
3
2
⎛ x³
⎞
b) ( x ² + 1) ⋅ dx = ⎜ + x ⎟
⎝ 3
⎠
−1
∫
2
⎛ 2³
⎞
1
⎛ (− 1)³
⎞ 8
− 1⎟ = + 2 + + 1 = 6
3
3
⎠ 3
∫ =⎜⎝ 3 + 2 ⎟⎠ − ⎜⎝
−1
3.3. – Propriedades
Seja ƒ contínua e integrável em [a,b], então:
1ª propriedade:
b
∫ [f ( x ) ± f
1
2 (x )
± ... ± f n ( x )] dx =
a
b
b
∫ f ( x ) dx ± ∫ f
1
a
a
2ª propriedade
b
b
a
a
∫ m ⋅ f ( x ) ⋅ dx = m ∫ f ( x ) ⋅ dx, com
m∈R *
2 (x )
∫
dx ± ... ± fn( x ) ⋅ dx
3ª propriedade
b
a
a
b
∫ f ( x ) ⋅ dx = −∫ f ( x ) ⋅ dx
4ª propriedade
a
∫ f ( x ) ⋅ dx = 0
a
5ª propriedade
b
c
b
a
a
c
∫ f ( x ) ⋅ dx = ∫ f ( x ) ⋅ dx + ∫ f ( x ) ⋅ dx,
com a < c < b
6ª propriedade
b
∫ f ( x ) ⋅ dx > 0, se f ( x ) > 0, ∀ x ∈ [a, b]
a
7ª propriedade
b
∫ f ( x ) ⋅ dx < 0, se f ( x ) < 0, ∀ x ∈ [a, b]
a
3.4 – APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA – Áreas
3.4.1 – Cálculo de áreas
Seja uma função ƒ(x) contínua em um intervalo [a, b] e, se ƒ(x) ≥ 0, ∀x ∈
[a,b], então a área compreendida entre a curva y = ƒ(x), o eixo das abscissas e
as retas x = a e x = b, é dada por:
A=
∫
b
ƒ(x) . dx
a
No caso de ƒ(x) ≤ 0, ∀x ∈ [a, b], então a área entre a curva y = ƒ(x), o eixo
das abscissas e as retas x = a e x = b, é dada por
A=-
∫
b
a
ƒ(x) . dx
Obs.: No caso da função ƒ(x) trocar de sinal dentro do intervalo [a,b], calculamos
separadamente as áreas das figuras acima e abaixo das abscissas.
Exemplos:
1) Calcular a área limitada pela parábola y = x2, o eixo x e as retas x = 1 e x = 3:
∫
A=
x3
3
3
x² . dx =
1
3
∫ = 273 – 13 = 263 u. a
1
2) Calcule a área limitada pela curva y = x³, o eixo x e as retas x = – 1 e x = 2:
x4
A1 = ∫ x . dx =
−1
4
1
1
– ⇒ A1 =
4
4
0
A2 =
=4
Logo; A = A1 + A2 =
1
17
+4 =
u.a
4
4
∫
2
0
3
x3 . dx =
x4
4
∫
0
−p
∫
2
0
=
= 4 ⇒ A2
3.4.2 – Área entre duas curvas
Sejam as funções ƒ(x) e g(x) que se interceptam nos pontos de abscissas
x = a e x = b, onde ƒ(x) e g (x) são funções contínuas em [a,b]. Se g (x) ≥ ƒ(x),
∀ x ∈ [a,b], A =
A = A1 – A2 =
∫
b
a
∫
b
a
[g(x) − ƒ (x) ]. dx
g (x) . dx −
∫
b
a
ƒ(x) . dx =
∫
b
a
A1 =
∫
b
A2 =
∫
b
g (x). dx
a
ƒ (x) dx
a
[g(x) – ƒ(x)] . dx
Exemplo:
Calcular a área compreendida entre as curvas f(x) = x2 e g(x) = x:
A=
∫
1
0
(x – x2) . dx =
x 2 x3
−
2
3
∫
1
0
=
1
1
1
− =
2
3
6
3.5 − EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:
1) Calcule a área limitada pela função f(x) = cos x, o eixo das abscissas e
as retas x = 0 e x = 2π:
2) Calcule a área limitada pela reta f(x) = 2 − 4x, o eixo das abscissas e as
retas x = 0 e x =
1
:
2
3) Calcule a área limitada pela parábola y = 9 − x2 e o eixo das abscissas:
4) Achar a área limitada pelas parábolas y = 6x − x2 e y = x2 − 2x:
5) Achar a área entre as curvas y =
x e y = x3:
3.6 − EXERCÍCIOS DE AUTO-AVALIAÇÃO:
1) Calcule as integrais abaixo:
a)
∫
1
b)
∫
1
c)
∫
d)
∫
−1
0
4
1
2
−2
(2x2 − x3) . dx =
(x2 + 2x + 3) dx =
dx
x
dx
x2 + 4
2) Achar a área limitada pela curva y = Lnx, o eixo x e a reta x = 10:
(Dado Ln10 =
)
3) Achar a área limitada pela parábola y = 9 − x2, o eixo x e as retas x = 0 e x = 3;
4) Calcular a área entre as curvas y =
x e y = x3:
GABARITO DOS EXERCÍCIOS
UNIDADE I
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (1.3)
1)
a) 3,0333
b) 1,99167
c) 2,03
d) 0,51
2) – 0,05
3)
a) 0,88348
b) 0,8573
4) 8,019
5)
a) dy = 6.dx
b) dy = 5 . (2x³ - 5x² + 4)4 . (6x² - 10x)
c) dy = 10 .sen42x.cos2x.dx
d) dy =
5
⋅ dx
5x − 3
EXERCÍCIOS DE AUTO AVALIAÇÃO (1.3)
1)
a) dy = 6x . (1 + x²)² . dx
a 2 − 2x 2
. dx
b) dy =
a2 − x2
Desenvolvimento
Se y = x. (a² - x²)½ ;
Mas, se y = u . v ⇒ y’ = u’ v + u . v’
Então; se u = x ⇒ u’ = 1
e
se v = (a² - x²) ½ ⇒ v’ =
1
(a² - x²)-½ . (-2x) ⇒
2
v’ = −
x
a2 − x2
a² − x ²
Logo; y’ = 1.
a² − x²
⇒ y’ =
⇒y’ =
+
x²
−
a² − 2 x²
a² − x²
a² − x²
a² − 2 x²
a² − x²
⇒x
a² − x²
(a ² − x ² ) − x² =
Logo; dy =
⎛ −x ⎞
⎟⎟ ⇒
x ⋅ ⎜⎜
⎝ a² − x ² ⎠
;
.dx
c) dy = (3x² - 2x + 1) . dx
d) y’ =
u '.v − u.v'
, onde u = x + 3 e v = 5 -2x
v²
logo ; u’ = 1 e v’ = -2
Então y’ =
Y’ =
1⋅ (5 − 2 x ) − ( x + 3) ⋅ (− 2)
(5 − 2 x )²
5 − 2x + 2x + 6
(5 − 2 x )²
⇒
y' =
11
(5 − 2 x )²
⇒ dy =
11.dx
(5 − 2 x )²
e) y = x . ex + cosx
y1
y2
y1 = x . e ⇒ y’1 = 1. ex + x . ex
x
y2 = cosx ⇒ y’2 = -senx
y’ = ex + x . ex - senx
2) y = x² + 3x
⇒
⇒
y’ = 2x + 3 ⇒
dy = (ex + x . ex – senx) .dx
dy = (2x + 3) . dx
Substituindo os valores x = 2 e dx = 0,05, encontramos dy = 0,35
e o Δy = f(x0 + Δx) – f(x0)
Logo; Δy = f(2 + 0,05) – f(2)
Δy = f(2,05) – f(2)
3)
3
⇒
Δy = 10,3525 – 10 = 0,3525
7,8 ≅ 1,98
Desenvolvimento:
f(x) =
3
x;
Δx = -0,2
x0 = 8
f’(x) =
1
⇒
33 x 2
x0 + Δx = 7,8 : f(x0) =
f(x0) = f’(8) =
1
3
3 64
=
3
8 =2
1
1
=
3x 4 12
Como:
f(x0 + Δx) ≅ f(x0) + f’(x0) . dx
f(7,8) ≅ 2 +
1
. (-0,2)
12
f(7,8) ≅ 2 – 0,083 . 0,2
f(7,8) ≅ 1,98
4) Ln 10,2 = 2,323
Desenvolvimento:
f(x) =Ln x
⇒
1
x
f’(x) =
Δx = -0,2
x0 = 10
⇒
f(x0) = f’(10) =
1
0,1
10
f(x0) = Ln 10 = 2,303
f(10,2) =2,303 + 0,1 . 0,2
f(10,2) =2,323
⇒
5) f(x) =cosx
x0 = 60°
f’(x) = - senx
Δx = -2°;
f(x0) = f(60°) = cos60° = 0,5
f’(x0) = f’(60°) = -sen60° = -0,86603
Então;
f(x0 + Δx) ≅ f(x0) + f’(x0) . Δx
Mas;
Δx = -2° = -2 . 0,01745 rad
⇒
f(58°) = 0,5 + (-0,86603) . (-0,0349)
f(58°) = 0,53022
Logo; cos58° ≅0,53022
Δx = 0,349
e
UNIDADE II
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (2.3)
1)
a) x + k
b) 3x² + k
c)
3x3 x ²
+k
5
d) -
1
+k
x
2 x 5 5x 4
e)
+
− 2 x³ + x² − x + k
5
4
f)
2 x ax
+k
3
Desenvolvimento
∫
ax ⋅ dx =
=
2 x ax
+k
3
g)
∫
a ⋅ x ⋅ dx =
1
2
a ∫ x ⋅ dx =
a ⋅x
3
2
3
2
+k =
2 x ² x 6 x 3 x ² 10 x x
−
+
− 3x + k
5
5
3
Desenvolvimento
5
3
2
2
⎛ 32
⎞
2
1
⎜ x − 2.x 3 + 5.x 2 − 3 ⎟.dx = x − 2.x − 3x + k
∫⎜
⎟
5
3
⎝
⎠
2
2
=
2 x 5 63 x 5 10 x ³
−
+
− 3x + k
5
5
3
=
2 x ² x 6 x 3 x ² 10 x x
−
+
− 3x + k
5
5
3
2 a ⋅ x³
+k =
3
h) 2x² - 4 x + k
Desenvolvimento
1
1
4 x² 2 x
−1
∫ ⎛⎜⎝ 4 x² − 2 x 2 ⎞⎟⎠ ⋅ x ⋅ dx = ∫ ⎛⎜⎝ 4 x² − 2 x 2 ⎞⎟⎠ ⋅ dx = 2 − 1
i)
1
2
+ k = 2 x² − 4 x + k
2
x³ 2
+ +k
6 x
Desenvolvimento
⎛ x² 2 ⎞
∫ ⎜⎝ 2 − x² ⎟⎠dx =
j)
1 x ³ 2 x −1
⋅ −
+k =
−1
2 3
1
x ² dx − 2 ∫ x − 2 ⋅ dx =
2∫
x³ 2
+ +k
6 x
6 x² x 4 x x
−
+k
5
3
Desenvolvimento
∫
x
1
3∫ x
=
2
3
2
⋅ (3 x − 2 ). dx =
⋅ dx − 2
∫
x
1
2
∫
⎛⎜ 3 x
⎝
3
3x
⋅ dx =
5
− 2x
2
5
2
2
1
2x
−
3
2
3
⎞⎟ ⋅ dx =
⎠
2
+ k =
2
5
6 x
4 x³
6 x² x 4 x x
−
+k =
−
+k
5
3
5
3
x²
4
+ 5x + + k
2
x
k)
Desenvolvimento
k ³ + 5x ² − 4
⋅ dx =
x²
4
x²
=
+ 5x + + k
x
2
∫
l)
∫ (x + 5 − 4 x ) ⋅ dx =
−2
ax ³ bx ²
+
+ cx + k
3
2
m)
2x ² x
5
+
4x x
3
Desenvolvimento
+
2 x
+
k
4 x −1
x²
+ 5x −
+k
2
−1
⎛⎜ x 3 2 + 2 x 1 2 + x −12 ⎞⎟ ⋅ dx =
2
(
)
²
2
1
x
⋅
x
+
x
+
⋅
dx
=
∫
∫⎝
⎠
−1
=
5
x
5
2
2
2x
+
3
3
2
1
x 2
+
+k =
1
2
2
5
2 x
4 x³
2 x² x 4 x x
+
+2 x +k =
+
+2 x +k
5
3
5
3
n) x 4 +
4 x³ x²
+
+k
3
2
Desenvolvimento
∫ x ⋅ (2 x + 1)² ⋅ dx = ∫ x.(4 x² + 2 x + 1)⋅ dx = ∫ (4 x³ + 4 x² + x )⋅ dx =
=
o) ax −
4/ x 4 4 x ³ x ²
+
+ +k =
4/
3
2
4 x ax
3
+
x²
2
x4 +
4 x³ x²
+ +k
3
2
+ 2
Desenvolvimento
∫(
a− x
)
2
⋅ dx =
∫ (a − 2
)
a ⋅ x + x ⋅ dx =
a ∫ dx − 2 a ∫ x
1
2
⋅ dx + ∫ x ⋅ dx =
3
2 a ⋅ x 2 x²
4 ax ³ x ²
= ax −
+
+ k = ax −
+
+k
3
2
3
2
2
4 x ax x ²
= ax −
+
+k
3
2
p) x + senx + 5.cosx + k
Desenvolvimento
∫ (1 + cos x − 5.sen x )⋅ dx = ∫ dx + ∫ cos x ⋅ dx − 5∫ sen x ⋅ dx = x + senx − 5(− cos x) + k =
= x + sen x + 5 ⋅ cos x + k
2) k = 5
⇒
f(x) = x² + x + 5
3) k = 4
⇒
f(x) =
4) f(x) =
3x ²
-x+4
3
x³ x²
7
+3 x +
−
3 2
6
Desenvolvimento
f’(x) =
∫ (2 x − 1) dx = x² − x + k
Mas f’(1) = 3
⇒
1²- 1 + k = 3 ⇒
k=3
Então; f’(x)= x² - x + 3
e
f’(x) =
∫ (x² − x + 3)⋅ dx =
1 1
− +3+ k = 4
3 2
Mas; f’(1) = 4 ⇒
K=1-
1 1
+
3 2
Logo; f’(x) =
x³ x²
− + 3x + k
3 2
⇒ k=
7
6
7
x³ x²
− + 3x +
3 2
6
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (2.5)
1)
a)
b)
( x + 6 )5
5
+k
(1 + x ² ) ⋅
1 + x²
3
+k
Desenvolvimento
∫
1 + x ² ⋅ x ⋅ dx = ∫ (1 + x ² ) .x.dx =
1
2
1
1
1 (1 + x ² )
2
(
)
1
+
x
²
⋅ 2 x ⋅ dx = ⋅
∫
3
2
2
2
3/ 2
+k =
fazendo u = 1 + x², temos du = 2x . dx
=
3
1
(1 + x ² ) 2 + k = 1 ⋅ (1 + x ² ) 12 + k = (1 + x² ) ⋅ 1 + x ² + k
3
3
3
c) Ln ⎟x + 2⎟+k
9
(
5 + 3t ² )
d)
54
+k
Desenvolvimento
∫ t.(5 + 3t ² ) .dt =
8
Fazendo u = 5 + 3t², temos: du = 6t.dt
Logo;
∫ t.(5 + 3t ² ) ⋅ dt =
8
1
1 8
1 u9
u9
8
(
)
5
3
²
6
+
t
⋅
t
⋅
dt
=
u
⋅
du
=
⋅
+
k
=
+k
6∫
6∫
6 9
54
Mas, u = 5 + 3t², logo;
∫ t.(5 + 3t ² )⋅ dt =
e)
(5 + 3t ² )9
54
+k
− 2 a − bx
+k
b
Desenvolvimento
∫ (a − bx )
1
2
.dx
⇒
Fazendo u = a – bx
du = -b . dx
Logo;
∫ (a − bx )
−1
2
⋅ dx = −
−1
1
1 − 12
2
(
)
(
)
a
−
bx
⋅
−
b
⋅
dx
=
−
u .du =
b∫
b∫
1
1 u 2
=− ⋅
+k
b 1
2
=−
2u
+k
b
Mas u = a – bx
Logo;
dx
∫
f)
a − bx
=−
2 a − bx
+k
b
x²
4
− 2 x + Ln( x + 2) + k
2
Desenvolvimento
1° modo
x ².dx
∫ x+2 = ∫
⎛
x² − 4 + 4
⋅ dx =
x+2
4 ⎞
∫ ⎜⎝ x − 2 + x + 2 ⎟⎠ ⋅ dx =
∫
(x + 2) ⋅ (x − 2) + 4.dx =
x+2
x²
− 2 x + 4.Ln ( x + 2) + k =
2
⎡ ( x + 2) ⋅ ( x + 2)
4 ⎤
⋅ dx =
+
( x + 2)
x + 2 ⎥⎦
∫ ⎢⎣
x²
− 2 x + Ln ( x + 2) 4 + k
2
2° modo
∫
x ² ⋅ dx
=
x+2
Fazendo u = x + 2 ⇒
du=dx
e
x=u–2
Logo;
∫
=
x ² ⋅ dx
x+2
∫
=
(x + 2) 2
⋅ du
u
=
∫
(u ² − 4u + 4)
u
⋅ du =
4⎞
⎛
⎜
⎟⎟ du =
u
−
+
4
∫ ⎜⎝
u⎠
u²
− 4u + 4 ⋅ Ln u + k
2
Como u = x + 2, temos:
∫
(x + 2 )2
x ² ⋅ dx
=
x+2
2
− 4 ⋅ (x + 2) + Ln ( x + 2) + k
4
A resposta encontrada é equivalente a obtida no método anterior.
g)
33 ( x ² + 6 x )
4
2
+4
Desenvolvimento
1° modo
∫ (x² + 6 x )
−
1
3
⋅ (x + 3) ⋅ dx,
Fazendo u = x² + 6x
⇒
du= (2x + 6) dx
ou
du = 2 (x +
3)du
Logo;
−
1
3
∫ ( x² + 6 x) ⋅ (x + 3)⋅ dx =
1
1 −3
u ⋅ du =
2∫
2
1 u 3
⋅
+k =
2 2
3
33 ( x ² + 6 x )
2
4
2° modo
∫ (x² + 6 x )
−
1
3
⋅ (x + 3) ⋅ dx,
Fazendo u = x² + 6x
3)du
⇒ (x + 3) . dx =
Logo,
du
2
⇒
du= (2x + 6) dx
ou
du = 2 (x +
−
1
3
∫ (x² + 6 x ) ⋅ (x + 3)⋅ dx = ∫ u
=
h)
33 ( x ² + 6 x )
−
1
3
du
⋅
=
2
2
1 u 3
⋅
+k
2 23
1 − 13
u ⋅ du =
2∫
2
4
(x + 1)102 − (x + 1)101 + k
102
101
Desenvolvimento
∫ ( x + 1)
100
⋅ x ⋅ dx
Fazendo u = x + 1, temos: x = u – 1 e du = dx
Logo;
∫ ( x + 1)
100
⋅ x ⋅ dx = ∫ u
100
⋅ (u − 1).du =
∫ (u
101
−u
100
) ⋅ du =
u 102 u 101
−
+k
102 101
Mas, u = x + 1, logo:
∫ ( x + 1)
i)
100
( x + 1) 102 ( x + 1) 101
−
+k
102
101
⋅ x ⋅ dx =
(x − 2)11 + k
11
Desenvolvimento:
5
∫ ( x² − 4 x + 4) ⋅ dx =
j)
[∫ (x − 2) ] ⋅ dx = ∫ (x − 2 )⋅ dx = (x −112)
11
2 5
10
+k
5 ⋅ ( x + 5)
5
⋅ arc tg
+k
5
5
Desenvolvimento
dx
∫ x² + 10 x + 30 =
=
5
arc tg
5
∗∫
dx
( x + 5)
5 ( x + 5)
+k
* Ver tabela de integrais
sen 6 x
+k
6
Desenvolvimento
∫ sen
5
x ⋅ cos x dx
+5
=
du
∫ u² + ( 5 )
2
=
1
⋅ arc tg
5
x+5
+k =
5
5
Fazendo u = x + 5
k)
2
⇒
du=dx
e a² = 5
⇒
a=± 5
Fazendo u = senx ⇒
5
∫ sen x ⋅ cos x dx =
l)
du = cosx . dx,
5
∫ u . du =
temos:
u6
sen 6
+k =
+k
6
6
sen 7 2 x
+k
14
Desenvolvimento
∫ sen
6
2 x ⋅ cos 2 x dx
Fazendo
u = sen2x
⇒
du = 2 . cos2x . dx,
Logo;
6
∫ sen 2 x ⋅ cos 2 x ⋅ dx =
Mas
6
1
sen 2 x ⋅ cos 2 x ⋅ 2dx =
∫
2
1 6
u ⋅ du =
2∫
1 u7
⋅
+k =
2 7
u = sen2x
Logo;
6
∫ sen 2 x ⋅ cos 2 x ⋅ dx =
m) -
cos −1 x
+k
−1
ou
sen 7 2 x
+k
14
sec x + k
Desenvolvimento
senx
dx =
2
x
∫ cos
∫ cos
−2
x ⋅ senx ⋅ dx
Fazendo u = cosx ⇒
du= -senx . dx
Logo;
−2
−2
−2
∫ cos x ⋅ senx ⋅ dx = − ∫ cos x(− senx ⋅ dx ) = − ∫ u ⋅ du =
Como u = cosx, temos:
senx
1
∫ cos ² x ⋅ dx = cos x + k = sec
1
n) ⋅ sen(2 x + 7 ) + k
2
o)
tg 7 2 x
+k
14
x=k
− u −1
1
+k = +k
−1
u
u7
+k
14
Desenvolvimento
∫ tg
6
2 x ⋅ sec 2 2 x ⋅ dx =
Fazendo
⇒
u = tg 2x
du=2 . sec² 2x . dx
Logo;
∫ tg
6
2 x ⋅ sec 2 x ⋅ dx =
2
1
tg 6 2 x ⋅ sec 2 ⋅ 2 x ⋅ 2dx =
∫
2
1 u7
⋅
+k
2 14
1 6
u ⋅ du =
2∫
Mas, u = tg 2x, então;
∫ tg
p) -
6
2 x ⋅ sec 2 x ⋅ dx =
2
tg 7 2 x
+k
14
3
4
cos 2 x + sen3 x + k
2
3
Desenvolvimento
∫ (3 ⋅ sen 2 x + 4 ⋅ cos 3x )dx = 3∫ sen 2 x ⋅ dx + 4∫ cos 3x ⋅ dx =
3
4
sen 2 x ⋅ 2dx + ∫ cos 3x ⋅ 3dx =
∫
2
3
3
4
3
4
3
4
= ∫ sen u ⋅ du + ∫ cos u ⋅ du = − cos u + sen u + k = - cos 2 x + sen 3x + k
2
3
2
3
2
3
=
q) – cosx +
cos x
+k
3
Desenvolvimento
Observe que sen³x = sen²x.senx
sen²x + cos²x = 1 ⇒
e
sen²x = 1-cos²x
Logo;
Sen³x = (1 – cos²x) . senx = sen x – cos²x . senx
Então;
∫ sen³ x ⋅ dx = ∫ (senx − cos ² x . sen x )⋅ dx = ∫ sen x . dx − ∫ cos ² x.sen x.dx =
= − cos x +
cos ³ x
+k
3
r) 2 4 − cos x + k
Desenvolvimento
∫
sen x ⋅ dx
4 − cos x
=
∫ (4 − cos x )
−1
2
⋅ sen x ⋅ dx =
∫u
−1
2
⋅ du =
u
1
1
2
2
+k =2 u +k
u = 4 – cosx ⇒
Fazendo
du = senx.dx
= 2 4 − cos x + k
2) f(x) = esen x = 2
Desenvolvimento
f(x) =
∫e
Se
u = sen x
sen x
⋅ cos x ⋅ dx
⇒
du = cosx . dx
Então;
∫e
sen x
⋅ cos x ⋅ dx = ∫ e u .du = e u + k
Como
u = sen x
⇒
∫e
sen x
⋅ cos x ⋅ dx = esen x + k
Logo; f(x) = esen x + k
⇒
Se f(0) = 3
esen 0+k = 3 ⇒
1+k=3
⇒
Portanto;
f(x) = esen x = 2
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (2.7)
a) x . senx + cosx + k
Desenvolvimento
∫ x ⋅ cos x ⋅ dx
u=x ⇒
du = dx
dv = cos x . dx
v=
∫ x ⋅ cos x ⋅ dx = sen x + k
∫ v.du = ∫ sen x ⋅ dx = − cos x + k
Logo;
∫ x . cos x .dx =
x .sen x + cos x + k
b) x² . ex – 2 . x. ex + 2 . ex + k
Desenvolvimento
∫ x² ⋅ e
x
.dx
u = x² ⇒
du = 2xdx
k =2
dv = ex.dx
v=
∫e
x
.dx = e x + k
∫ v. du = 2∫ x e
c)
x
⋅ dx
I
Mas;
I = x . .ex – ex + k
Logo;
∫ x² ⋅ e
Então;
∫ x² ⋅ e
(
)
x
⋅ dx = x ²e x − 2 x e x − e x + k
x
.dx = x² ex – 2xex + 2ex + k
x³.Lnx x³
− +K
3
9
Desenvolvimento
∫ x² ⋅ Ln x ⋅ dx =
⇒
u = Ln x
du =
dx
x
dv = x². dx
v=
∫ dv = ∫ x² ⋅ dx =
∫ v ⋅ du =
1 x ³.dx
=
3∫ x
x³
+k
3
1
1 x³
⋅ +k =
x ² dx =
∫
3
3 3
Logo;
∫ x². Ln x. dx =
x ³ ⋅ Ln x x ³
− +k
3
9
d) x. Lnx - x + k
Desenvolvimento
∫ Ln x . dx
u = Ln x
⇒
du=
dx
x
dv = dx
v=
∫ dv = ∫ dx =
∫ v.dv = ∫ x ⋅
Logo;
x+k
dx
= dx = x + k
x ∫
x³
+k
9
∫ Ln x . dx = x . Ln x − x + k
e)
1 x
⋅ (e ⋅ sen x − e x ⋅ cos x) + k
2
Desenvolvimento
∫e
x
⋅ sen x.dx
u = ex ⇒
du= ex.dx
dv = senx.dx
v=
∫ sen x . dx =
∫ x . du =
− cos x + k
− ∫ e x . cos x . dx;
Logo;
∫e
x
⋅ sen x . dx = − e x . cos x + ∫ e x ⋅ cos x ⋅ dx
∫e
Desenvolvendo
u = ex ⇒
x
⋅ cos x . dx , temos:
du = ex. dx
dv = cos x . dx
v=
∫ cos x ⋅ dx =
∫e
Logo;
x
⋅ cos x ⋅ dx = e x .sen x − ∫ e x .senx. du
∫ v ⋅ du = ∫ e
∫e
Chamando
x
sen x + k
x
⋅ sen x ⋅ dx + k ;
⋅ sen x.dx
de A, temos:
A = − e x . cos x + e x . sen x − A =
⇒ 2 A = e x .sen x − e x . cos x =
⇒ A=
f)
(
)
1 x
⋅ e .sen x − e x . cos x + k
2
3
5
2
4
⋅ x ⋅ (1+ x ) 2 −
⋅ (1+ x ) 2 + k
3
15
Desenvolvimento
∫ x⋅
1 + x . dx =
u=x ⇒
du=dx
dv = 1 = x ⋅ dx
(1 + x )
∫ (1 + x ) ⋅ dx =
1
v = 1 = x ⋅ dx =
3
2
2
3
3
2
2 (1 + x )
2
(
)
v
.
du
=
1
+
x
. dx = ⋅
∫
∫
5
3
3
2
5
2
2
+k =
2 (1 + x ) 2
+k =
+k
3
3
5
4
⋅ (1 + x ) 2 + k
15
Logo;
∫ x ⋅ 1 + x ⋅ dx =
5
3
2
4
x ⋅ (1 + x ) 2 − (1 + x ) 2 + k
3
15
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (3.5)
1) 4 u. a
Desenvolvimento
f(x) = cosx
y
⇒
x=0 e
π
x = 2π
2
π
π
⎛
2
A = ∫ cos x. dx = 4 ⋅ sen x ∫ 4.⎜ sen − sen
0
2
⎝
0
1
x
0
π
2
2π
⎞
0⎟ = 4 ⋅1 = 4
⎠
2)
1
u.a
2
Desenvolvimento
y
A=
1
2
∫ (2 − 4 x ).dx = 2x − 2x ² ∫
1
2
0
0
= 2⋅
1
1
1 1
− 2 ⋅ = 1− =
2
4
2 2
x
½
ou
2⋅ 1
2 = 1 u.a
AΔ =
2
2
2
½
3) 36 u. a
y
9
3
A=
3
x³
∫ (9 − x ² ) . dx = 9 x − ∫ =
3
−3
x
-3
0
= 27 −
3
27 ⎛
27 ⎞
− ⎜ − 27 +
⎟=
3 ⎝
3 ⎠
−3
54 −
ou
Se fizer A =
0
3
−3
0
∫ (9 − x ² )du + ∫ (9 − x ² ) ⋅ dx , temos:
0
= 9x −
3
x³
x³
+ 9x −
=
∫
3 −3
3 ∫0
⎤
27 ⎞ ⎡⎛
27 ⎞
⎛
= 0 − ⎜ − 27 +
⎟ + ⎢⎜ 27 −
⎟ − 0⎥
3 ⎠ ⎣⎝
3 ⎠
⎝
⎦
27
27
54
= 27 −
+ 27 −
= 54 −
= 54 − 18 = 36
3
3
3
4)
64
u⋅a
3
y
9
4
8
A=
∫ (6 x − x ² − x ² + 2x )dx
0
4
6
0
34
x
4
2x ³
= ∫ (− 2 x ² + px )dx = −
+ 4x ²∫
3
0
0
=
64
− 128
+ 64 =
3
3
54
= 36
3
5)
5
u ⋅a
12
y
x
∫(
1
A=
)
x − x ³ dx =
0
=
x
3
3
2
2
−
x4
4
1
∫
0
2 1
5
− =
u ⋅a
3 4 12
EXERCÍCIOS DE AUTO AVALIAÇÃO (3.6)
1)
a)
4
3
b)
7
3
c) 2
d)
π
4
2) 14,02 u.a
3) 18 u. a
4)
5
u. a
12
=
2 x³ x 4
−
3
4
1
∫
0