Biomecânica

Parte A Matemática
1- Retas, vetores e ângulos
1. Um corpo está sujeito às forças F~ 1 = (2, 3) N, F~2 = (−5, −1) N, F~3 = (−3, 6) N e F~ 4 =
(7, −4) N.
1.1. Represente graficamente as forças que atuam no corpo.
1.2. Calcule, graficamente, a força resultante que atua no corpo.
1.3. Confirme analiticamente o resultado da alínea anterior.
(1,4) N
2. Sejam os vetores ~a = (4 , 3 , 2), ~b = (9 , −3 , −5) e ~c = (7 , −6 , 4). Calcule a partir das
suas coordenadas:
2.1. ~a + ~b + ~c;
2.2. ~a + 2~b;
(20 , −6 , 1)
(22 , −3 , −8)
2.3. ~a − ~c;
2.4. ~b − ~a
(−3 , 9 , −2)
(5 , −6 , −7)
2.5. ~b − 3~c
(−12 , 15 , −17)
3. Uma partícula está sujeita a uma força F~ 1 = (5, −2.55) N, e a uma outra força F~2 de
intensidade 5 N e que faz um ângulo de 30°com o eixo horizontal.
3.1. Calcule as componentes segundo os eixos horizontal e vertical da força F~ 2 .
3.2. Calcule, analiticamente, a força resultante (F~r ) que atua na partícula.
F~2 =(4.33, 2.5) N
F~r =(9.33, −0.05) N
3.3. Represente graficamente as 3 forças.
4. Duas forças perpendiculares entre si, de magnitudes 4 N e 3 N, estão aplicadas num corpo.
Calcule:
4.1. a magnitude do vetor soma das duas forças;
Fr =5 N
4.2. o ângulo que esse vetor forma com a força de intensidade 4 N.
θ∼37°
5. A uma corda presa a um corpo é aplicada uma força de intensidade 20 N. A corda forma
um ângulo de 30° com a horizontal. Determine o valor da componente desta força que
tende a elevar o corpo.
1
Fy =10 N
6. Um avião desloca-se 100 km no sentido de Oeste para Este, de seguida desloca-se 30 km
de Sul para Norte e finalmente 50 km para Noroeste, numa direção que faz um ângulo de
30° com a direção Norte-Sul.
6.1. Faça um diagrama vetorial dos deslocamentos.
6.2. Determine
6.2.1. o deslocamento do avião;
6.2.2. o ângulo formado pela direção do deslocamento com a direção Norte-Sul.
r∼105 km
θ∼45°. 7
7. Dados os vetores ~a, ~b e ~c, tais que |~a| = 3, |~b| = 4, |~c| = 6, ∠(~a, ~b) = 90° e ∠(~b, ~c) = 180°.
Determine:
7.1. o módulo do vetor d~ = ~a + ~b;
7.2. o ângulo que o vetor d~ faz com o vetor ~a;
7.3. o módulo do vetor f~ = ~b + ~c.
7.4. o módulo do vetor ~e = ~a + ~b + ~c;
d=5
θ∼53°. 1
f =2
√
e= 13
8. Considere o membro inferior humano. Em determinado referencial, a anca ocupa a posição
(0, 50) cm, o joelho a posição (33.5, 34.4) cm e o tornozelo tem coordenadas (61.1, 1.5) cm.
Determine:
8.1. o comprimento da coxa;
∼37 cm
8.2. o comprimento da perna;
∼42.9 cm
8.3. o ângulo que a coxa faz com a horizontal;
∼25°. 1
8.4. o ângulo que a perna faz com a horizontal;
∼50°
8.5. a distância da anca ao tornozelo.
78 cm
9. Considere o membro superior humano. Em determinado referencial, o ombro ocupa a
posição (0, 14) cm e o cotovelo a posição (24, 0) cm. O comprimento do antebraço é de
27 cm, e este faz um ângulo de 40° com a horizontal. A mão está na posição horizontal.
Determine:
9.1. o comprimento do braço;
∼27.8 cm
9.2. as coordenadas da posição do pulso;
∼(44.7,17.4) cm
9.3. o ângulo que o braço faz com a vertical;
∼60°
9.4. o ângulo que o braço faz com o antebraço;
∼110°
9.5. o ângulo que a mão faz com o antebraço.
140°
2
10. Ao ouvir o ruído de uma serpente, um explorador fez dois movimentos rápidos com módulos de 1.8 m e 2.4 m. Determine o modo como esses deslocamentos foram efetuados
para que a resultante tivesse de módulo:
10.1. 4.2 m
10.2. 0.6 m
10.3. 3.0 m
11. Um funcionário dos Correios dirige um camião de entregas,
fazendo o trajeto da figura (trajetos de 2.6km, 4.0km, 3.1km
a 45°). Determine o módulo, a direção e o sentido do deslocamento resultante.
7.8 km ; 37°. 8
~ tendo | B|
~ = 18 m e fazendo um ângulo de 37°
12. Considere os vetores A~ = (−12 , 0) m e B,
com o semi-eixo horizontal positivo. Determine:
~
12.1. A~ + B;
~
12.2. A~ − B.
(2.4 , 10.8) m
(−26.4 , −10.8) m
12.3. Com os resultados das duas alíneas anteriores, determine:
~ − B;
~
12.3.1. −A
~ − A.
~
12.3.2. B
~ B)
~
−(A+
~ B)
~
−(A−
13. Determine o módulo, a direção e o sentido dos vetores representados pelos seguintes pares
de componentes:
13.1. A x = −8.60 cm, Ay = 5.20 cm;
10.05 cm ; 148°. 8
13.3. C x = 7.75 km, Cy = −2.70 km.
8.21 km ; 340°. 7
13.2. B x = −9.70 m, By = −2.45 m;
10.00 m ; 194°. 1
14. Duas partículas A e B são emitidas de uma fonte comum. Num dado instante as expressões
vetoriais dos seus vetores posição são, em determinado referencial, ~rA = (4, 3) e ~rB =
(3, 10).
14.1. Represente, graficamente, as posições da partículas A e B nesse referencial.
14.2. Determine graficamente o vetor posição da partícula B em relação à partícula A,
~rAB , no mesmo referencial.
14.3. Escreva a expressão do vetor ~rAB , no mesmo referencial.
3
~rAB =~rB −~rA =(−1,7)
15. Determine o produto interno dos vetores ~a e ~b, sendo:
15.1. |~a| = 50, |~b| = 12 e ∠(~a, ~b) = 60°
15.2. ~a = (4, 2) e ~b = (3, 7)
~a ~b=300
~a ~b=26
16. Considere os vetores ~a e ~b cujas expressões cartesianas num referencial ortonormado são
~a = (2, 1) e ~b = (3, 4).
16.1. Determine o produto escalar dos dois vetores.
~a ~b=10
16.2. Determine o ângulo entre os dois vetores.
θ∼26°. 5
y
17. Considere os vetores representados na figura. Sabe-se que
~ = 12 m, | B|
~ = 15 m e |C|
~ = 6 m. Determine:
|A|
~
17.1. A~ B;
~ C;
~
17.2. B
~
A
37°
x
40°
60°
~
17.3. A~ C.
−9.4 m2
C~
15.6 m2
−71.5 m2
~
B
18. Determine o ângulo entre cada par de vetores:
~ = (4 , −3);
18.1. A~ = (−2 , 6) e B
~ = 10êx + 6êy ;
18.2. A~ = 3êx + 5êy e B
145°. 3
~ = 7êx + 14êy .
18.3. A~ = −4êx + 2êy e B
90°
27°. 9
19. Considere as forças F~ 1 e F~ 2 , que atuam em determinado corpo, cuja representação num
referencial ortonormado é F~ 1 = (2, 4) N e F~2 = (4, 2) N. Nesse corpo também atua uma
força F~3 de intensidade 5 N e que faz um ângulo de +45°a partir da resultante das forças
F~1 e F~ 2 . Calcule:
19.1. a resultante das forças F~ 1 e F~2 ;
19.2. as componentes da força F~3 ;
(6,6) N
(0,5) N
19.3. a força resultante que atua no corpo, F~r ;
19.4. o ângulo que a força F~ r faz com a força F~1
20. Represente graficamente as seguintes funções, no intervalo 0 ≤ t ≤ 10:
20.1. x(t)=t+1
20.2. x(t)=t2 -2
20.3. x(t)=(t-2)2
4
(6,11) N
∼2°
21. Uma partícula ocupa em determinado instante a posição M, de coordenadas (0,3), e em
outro instante posterior a posição N, de coordenadas (4,0).
21.1. Num sistema de eixos coordenados marque as posições dos pontos M e N.
21.2. Represente, em relação à origem dos eixos coordenados, os vetores posição da partícula nesses pontos (~rM e ~rN ).
21.3. Trace o vetor deslocamento, ~r, relativo a essa mudança de posição e calcule o seu
módulo.
|~r |=5
22.1. Faça um diagrama com os deslocamentos efetuados.
22.2. Determine, a partir das componentes dos vetores, o módulo, a direção e o sentido
do quarto deslocamento efetuado.
→
22. Uma espeleóloga está a pesquisar uma caverna. Ela percorre 180 m em linha reta de leste
para oeste, depois caminha 210 m numa direção que forma um ângulo de 45° com a direção
anterior e em sentido do sul para o leste, a seguir percorre 280 m segundo um ângulo de
30° no sentido do norte para o leste. Depois de um quarto deslocamento ela retorna ao
ponto de partida.
→
←
←
211.17 m ; 2°. 3
23. Uma velejadora encontra ventos que impelem o seu barco à vela. Ela veleja 2.0 km de
oeste para leste, a seguir 3.5 km para sudeste e depois uma certa distância numa direção
desconhecida. No final do trajeto ela encontra-se 5.8 km diretamente a leste do seu ponto
de partida (ver figura).
23.1. Faça um diagrama com os deslocamentos efetuados.
23.2. Determine, a partir das componentes dos vetores, o
módulo, a direção e o sentido do terceiro deslocamento
efetuado.
2.8 km ; 61°. 6
24. Num voo de treino, um piloto voa de Lincoln, no Nebraska,
até Clarinda, no Iowa; a seguir até St. Joseph, no Missouri;
e depois até Manhattan, no Kansas (ver figura). Os ângulos
formados pelos deslocamentos são medidos em relação ao
norte: 0° significa o sentido do sul para o norte, 90° é o este,
180° é o sul e 270° é o oeste. Determine:
24.1. a distância que o piloto terá que voar para voltar ao
ponto de partida;
188.8 km
24.2. a direção e o sentido desse deslocamento.
10°. 7
25. A posição de um ponto material no plano, em relação a um sistema de eixos ortogonal
(O, êx , êy ), é dada por um vetor, ~r, de módulo 2 m, fazendo um ângulo de θ = t2 + 1 rad
com o eixo horizontal, (O, êx ). Determine:
5
25.1. o ângulo que o vetor ~r faz com a horizontal no instante t = 2 s;
5 rad
25.2. as componentes do vetor ~r no referencial dado nesse instante;
(0.567,−1.918) m
25.3. o ângulo que o vetor ~r faz com a vertical no instante t = 3 s;
2.146 rad
25.4. o instante para o qual θ = 270°.
1.93 s
26. A velocidade de determinada partícula é dada pela expressão v(t) = (t + 1, t2 − t) m s−1,
enquanto que a sua aceleração é dada pela expressão a(t) = (1, 2t − 1) m s−2. Calcule:
26.1. o módulo da aceleração e da velocidade para o instante t = 0 s;
√
a= 2 ; v=1
26.2. o produto interno dos vetores velocidade e aceleração nesse instante;
1
26.3. o ângulo formado pelos vetores velocidade e aceleração no instante referido;
45°
26.4. repita as alíneas 26.1 a 26.3 para o instante t = 2 s.
√
10;
√
13; 9; 37°. 9
27. Um foguetão transportando um satélite é acelerado verticalmente a partir da superfície
terrestre. 1.15 s após o seu lançamento o foguetão atravessa o topo da sua plataforma de
lançamento, a 63 m acima do solo. Depois de 4.75 s adicionais ele encontra-se a 1.00 km
acima do solo. Calcule o módulo da velocidade média do foguetão para:
27.1. a secção do voo correspondente ao intervalo de 4.75 s;
197.3 m s−1
27.2. os primeiros 5.90 s do voo.
169.5 m s−1
28. Uma viagem de carro de San Diego a Los Angeles demora 2 h quando é feita a uma
velocidade média de 105 km h−1. Numa sexta-feira à tarde, contudo, há muito transito e a
viagem é feita a uma velocidade média de 70 km h−1. Calcule o tempo de duração desta
viagem.
3h
6
2- Derivadas
1. Calcule as seguintes derivadas
d h 2i
x
dx
d n
x
1.2.
dx
d h n−1 i
1.3.
x
dx
d exp(x)
1.4.
dx
1.1.
1.5.
d n
2x
dx
1.6.
d 2 exp(x)
dx
1.7.
d log(x)
dx
2.5.
d cos(x) + exp(x)
dx
2.6.
d
[cos(x) + 2 sin(x)]
dx
2.7.
d
[cos(x) + sin(x) + 2]
dx
2. Calcule as seguintes derivadas
d
[sin(x)]
dx
d
2.2.
[cos(x)]
dx
d
[2 cos(x)]
2.3.
dx
d
[cos(x) + sin(x)]
2.4.
dx
2.1.
3. Calcule as seguintes derivadas
d
3.1.
[tan(x)]
dx
3.2.
d
[cos(x) sin(x)]
dx
3.3.
d exp(x) sin(x)
dx
3.4.
"
#
d cos(x)
3.5.
dx sin(x)
"
#
d sin(x)
3.6.
dx cos(x)
"
#
d exp(x)
3.7.
dx cos(x)
"
#
d exp(x)
3.8.
dx
x2
d
[x sin(x)]
dx
4. Calcule as seguintes derivadas
d
[cos(2x)]
dx
d
[cos(sin(x))]
4.2.
dx
d
4.3.
[sin(cos(x))]
dx
d exp(sin(x))
dx
d sin(exp(x))
4.5.
dx
d
[cos(2x + 1)]
4.6.
dx
4.1.
4.4.
7
d
[cos(tan(x))]
dx
d
[tan(sin(x))]
4.8.
dx
d log(2x)
4.9.
dx
d log(2x + 1)
dx
i
d h
log(x2 + 1)
4.11.
dx
d log(sin(x))
4.12.
dx
4.7.
4.10.
5. Calcule as seguintes derivadas
d
[cos(t x)]
dx
d
[cos(t x)]
5.2.
dt
d
[cos(ωt)]
dt
d 5.4.
cos(ωt + ϕ)
dt
5.1.
5.3.
6. A posição de uma partícula é dada pelo vetor ~r(t). Sabe-se que a velocidade da partícula
é ~v = ~r ′ e que a respetiva aceleração é ~a = ~v ′ . Calcule a velocidade e a aceleração da
partícula nos seguintes casos:
6.4. ~r(t) = 2 + t cos t, t + sin(2t)
6.1. ~r(t) = (2 + t + cos t, t + t2 + sin t)
√
6.2. ~r(t) = 2 + t + cos t, t + t3/2
6.5. ~r(t) = 2 + t cos(t + 4), t + sin(5t2 )
6.3. ~r(t) = 2 cos(5t), 2 sin(5t)
7. A posição de determinada partícula é dada pela função x(t) = 3 + t − 0.1t2 + sin t. Sabe-se
que a velocidade da partícula é v = x′ e que a respetiva aceleração é a = v′ .
7.1. Determine a função v(t), velocidade da partícula.
7.2. Trace as funções x(t) e v(t) num mesmo gráfico, para 0 ≤ t ≤ 5.
7.3. A partir da análise das curvas relacione os zeros de v(t) com pontos notáveis da curva
x(t).
7.4. Determine a função a(t), aceleração da partícula.
7.5. Trace as funções v(t) e a(t) num mesmo gráfico, para 0 ≤ t ≤ 5.
7.6. A partir da análise das curvas relacione os zeros de a(t) com pontos notáveis da curva
v(t).
8. A posição de uma partícula é dada pelo vetor ~r(t), a velocidade é ~v = ~r ′ e a aceleração é
~a = ~v ′ . Calcule ~v e ~a nos seguintes casos:
√
√
8.1. ~r(t) = 2 + t + 2 cos(3t), t4/3 + t3/2
8.2. ~r(t) = 2 t cos(5t), t2/3 sin(5t)
8
3- Integrais e primitivas
1. Calcule as seguintes primitivas
Z
1.1. x dx
Z
1.2. (x + 1) dx
Z
1.3. x2 dx
2. Calcule as seguintes primitivas
Z
2.1. sin(x) dx
Z
2.2. cos(x) dx
Z
2.3. exp(x) dx
3. Calcule as seguintes primitivas
Z
3.1. cos(x2 + x) (2x + 1) dx
Z
3.2. cos(sin(x)) cos(x) dx
1.4.
Z
2x dx
1.5.
Z
(x + 1)2 dx
2.4.
Z
log(x) dx
2.5.
Z
tan(x) dx
2.6.
Z
3.3.
Z
exp(x3 + 1) x2 dx
3.4.
Z
exp(cos(x)) sin(x) dx
2x + 1
dx
x2 + x
4. Seja ~a(t) função que representa a aceleração de determinada partícula. Então:
Z t
Z t
~v − ~v0 =
~a(τ) dτ
e
~r − ~r0 =
~v(τ) dτ
t0
t0
Calcule a velocidade e o deslocamento da partícula nos seguintes casos:
4.1. ~a = (0, −9.8) m s−2, t0 = 0 s, v0 = ~0 m s−1 e ~r = (2, 20) m
4.2. ~a = (1 + t , sin t) m s−2, t0 = 0 s, v0 = ~0 m s−1 e ~r = (2, 20) m
√
4.3. ~a = (1 + t , t−1/2 + cos t) m s−2, t0 = 0 s, v0 = ~0 m s−1 e ~r = (2, 20) m
9
Parte B Física
1- Movimento a uma dimensão
1. Considere o gráfico da figura a seguir, que representa a função v(t), relativa a um dado
movimento retilíneo.
v (m s−1 )
30
1.1. Qual o valor da velocidade inicial do móvel?
20
1.2. Qual o escalar da aceleração do móvel?
10
1.3. Determine, por meio do gráfico, o espaço percor0
1
2
3 t (s)
rido pelo móvel durante os 3 s iniciais?
−10
−20
30 m s−1
−15 m s−2
37.5 m
2. Considere o gráfico da figura a seguir, que representa a função v(t), relativa a um dado
movimento retilíneo.
2.1. Qual o valor da velocidade inicial do móvel?
0 m s−1
−1
2.2. Determine o(s) instante(s) em que o móvel ini- v (m s )
ciou inversão do sentido de marcha.
10
2.3. Determine o(s) intervalo(s) de tempo em que o
móvel esteve parado.
2.4. Determine o(s) intervalo(s) de tempo em que a
aceleração do móvel foi nula.
2.5. Determine, por meio do gráfico, o espaço percorrido pelo móvel durante os 4 s iniciais?
5
0
2
−5
4
6
8
t (s)
−10
27.5 m
3. Considere o gráfico da figura a seguir, que representa a função v(t), relativa a um dado
movimento retilíneo. Determine:
3.1. a aceleração do móvel nos intervalos de tempo
[0 ; 2] s, [2 ; 3] s, [5 ; 6] s, [7 ; 9] s, [9 ; 11] s e [11
; 12] s;
v (m s−1 )
3.2. o espaço percorrido e a velocidade média do móvel durante os 7 s iniciais;
10
3.3. o espaço percorrido e a velocidade média do móvel durante os 5 s finais;
0
3.4. o espaço percorrido e a velocidade média do móvel no deslocamento total efetuado.
3.5. Admitindo que o móvel partiu da origem, determine a posição do móvel ao fim dos 12 s de movimento.
10
35 m ; 5 m s−1
5
−5
−10
8 10 12
2 4 6
35 m ; 7 m s−1
t (s)
70 m ; 5.8 m s−1
0m
4. Um automóvel está a deslocar-se de leste para oeste. Será possível que tenha uma velocidade orientada para oeste e simultaneamente uma aceleração orientada para leste? Em
que circunstâncias?
5. Uma professora de física sai de casa e dirige-se a pé para o campus. Após 5 min começa
a chover e ela retorna a casa. A sua distância à casa em função do tempo é indicada pelo
gráfico da figura. Indique em qual dos pontos indicados no gráfico a velocidade é:
5.1. zero;
5.2. constante e positiva;
5.3. constante e negativa;
5.4. crescente em módulo;
5.5. decrescente em módulo.
6. A figura seguinte mostra a velocidade em função do tempo para um carro movido a energia
solar. O motorista acelera desde a partida, deslocando-se depois durante 20 s com velocidade constante de 60 km h−1, e de seguida trava, parando 40 s após a partida. Determine a
sua aceleração média para os seguintes intervalos de tempo:
6.1. de t = 0 s até t = 10 s;
6.2. de t = 30 s até t = 40 s;
6.3. de t = 10 s até t = 30 s;
6.4. de t = 0 s até t = 40 s.
7. Uma partícula, inicialmente em repouso e na origem de uma trajetória retilínea, move-se
com aceleração constante igual a 5 m s−2.
7.1. Escreva a expressão da lei das velocidades do referido movimento. Trace o gráfico
correspondente a essa função.
v=5 t
7.2. Escreva a expressão da lei horária e represente-a graficamente.
x=2.5 t2
7.3. Calcule a velocidade do móvel quando a sua posição é x = 10 m.
v=10 m s−1
8. Uma partícula desloca-se sobre uma reta e inicia o seu movimento a partir de um ponto que
se situa a −2 m da origem. No instante inicial o móvel apresenta uma velocidade escalar
de 3 m s−1 e move-se com a aceleração escalar constante de −1 m s−2.
8.1. Escreva as expressões que traduzem as funções x(t) e v(t).
x=−2+3t−0.5t2
v=3−t
8.2. Trace os gráficos correspondentes às funções referidas em 8.1.
8.3. Determine o(s) instante(s) em que a partícula passou pela origem.
√
3± 5
8.4. Determine a posição da partícula quando a sua velocidade é nula.
2.5 m
11
9. Uma bicicleta desloca-se a 18 km h−1. Na posição 0 m o ciclista trava durante 10 s com
uma aceleração constante até parar. Determine:
9.1. a aceleração da bicicleta;
a=−0.5 m s−2
9.2. a distância percorrida pela bicicleta até parar;
25 m
9.3. a posição da bicicleta no instante 8 s;
24 m
9.4. a velocidade da bicicleta quando a mesma se encontra na posição 9 m.
v=4 m s−1
10. Um comboio desloca-se com a velocidade de 180 km h−1. O maquinista começa a reduzir
uniformemente a velocidade de modo a passar na estação seguinte com a velocidade de
45 km h−1, sendo a duração da travagem de 25 s. Calcule:
10.1. o escalar da aceleração durante a travagem;
a=−1.5 m s−2
10.2. o percurso efectuado pelo comboio durante a travagem.
∆x=781.25 m
11. Uma partícula desloca-se com um movimento que pode considerar-se resultante da composição de dois movimentos simultâneos e independentes: um, uniformemente acelerado
ao longo do eixo dos xx; outro, uniforme ao longo do eixo dos yy.
Uma lei possível para descrever o movimento desta partícula pode ser traduzido pela equação:
11.1. ~r = 2.0 t2 êx + 1.0 êy
11.2. ~r = 1.0 t2 êx − 2.0 t êy
11.3. ~r = 1.0 t êx + 1.0 t2 êy
11.4. ~r = 2.0 êx + 2.0 t2 êy
11.5. ~r = 2.0 t êx + 1.0 t êy
alínea 11.2
12
2- Movimento de projeteis
1. Deixa-se cair do alto de um prédio uma pedra que chega ao solo após 3 s.
1.1. Calcule, desprezando a resistência do ar:
1.1.1 – a altura do prédio
1.1.2 – a velocidade com que a pedra chega ao solo.
g=9.8 m s−2
h=44.1 m
v=29.4 m s−1
1.2. Os resultados da alínea anterior seriam alterados se tivesse sido usado uma pedra
maior? Justifique a sua resposta.
2. Com a mão a 1 m do solo um rapaz lança ao ar uma bola que atinge, relativamente ao solo,
a altura de 4 m. Considere g = 10 m s−2.
2.1. Determine a velocidade com que a bola foi lançada.
v=7.75 m s−1
2.2. Calcule o intervalo de tempo que decorreu entre o instante em que a bola foi lançada
e o instante em que a mesma tocou o solo.
∆t=1.67 s
3. Num jogo de basquetebol, a bola foi lançada de uma distância horizontal de 8 m do cesto.
Sabendo que o aro se encontrava 1.2 m acima da posição de lançamento da bola e que esta
esteve no ar durante 1.6 s até encestar, calcule:
3.1. o ângulo formado pela direção da velocidade da bola com a horizontal, no instante
de lançamento;
g=9.8 m s−2
3.2. o instante em que a bola atingiu a altura máxima.
t∼0.88 s
θ0 ∼60°
4. Um avião, voando horizontalmente a 180 m de altitude, precisa de largar um saco com
mantimentos no centro de uma povoação. O módulo da sua velocidade é constante e igual
a 100 m s−1.
4.1. A que distância do centro da povoação terá de situar-se a vertical que passa pelo
ponto de lançamento?
∆x=600 m
4.2. Com que velocidade chega o saco ao solo?
v∼117 m s−1
5. Uma raqueta bate numa bola de ténis a 0.50 m do chão, comunicando-lhe uma velocidade
de 20 m s−1 segundo um ângulo de 15° com a horizontal. A bola move-se num plano perpendicular à rede, a qual tem 1.0 m de altura e se encontra a 20 m do ponto de lançamento.
Verifique se a bola passa ou não por cima da rede.
13
não passa
6. Um jogador de futebol chuta, de uma altura de 20 cm, uma bola com uma velocidade de
20 m s−1 fazendo um ângulo de 60° com a horizontal, em direção a uma baliza cuja barra
está a 2.3 m de altura. A distância do jogador à boca da baliza é de 30 m.
Verifique se há golo.
não há golo
7. Numa competição, uma motorizada depara-se com um fosso de 12 m de largura. Para
possibilitar o salto há, antes do fosso, uma rampa com a inclinação de 20°.
7.1. Qual deverá ser a velocidade mínima da motorizada, no final da rampa, para saltar
uma distância de 12 m, necessária para ultrapassar o fosso?
v∼14 m s−1
7.2. Discutir a validade do resultado obtido na alínea anterior, tendo em conta as aproximações efetuadas na sua resolução.
8. O tiro com flechas e arco é um desporto conhecido desde o século XII a.C. Para que uma
flecha tenha um alcance máximo deve ser lançada com um ângulo de 45° (desprezando a
resistência do ar). Este é o ângulo para o qual os valores das componentes horizontal e
vertical da velocidade inicial são iguais.
Supondo que se atira uma flecha com uma velocidade inicial de 50 m s−1 com os seguintes
ângulos:
i) 30°; ii) 45°; iii)60°,
e admitindo que a flecha é atirada ao nível do chão, determinar para cada caso:
v0x =v0 cos θ0
8.1. as componentes horizontal e vertical da velocidade de lançamento;
v0y =v0 sin θ0
8.2. o tempo que a flecha permanece no ar, evidenciando na expressão resultante a componente vertical da velocidade;
t=2v0y /g
8.3. o alcance da flecha, evidenciando na expressão resultante a componente horizontal
da velocidade.
xmax =v0x tvoo
8.4. Que conclusões se podem tirar dos resultados obtidos nas alíneas anteriores?
8.5. Elaborar um texto em que se expliquem as razões pelas quais o alcance é máximo
para um ângulo de lançamento igual a 45°.
14
3- Movimento circular
1. Uma partícula animada de movimento circular e uniforme percorre um quarto de circunferência em 2.0 s. Determine para esta partícula:
1.1. a frequência;
f =0.125 s−1
1.2. a velocidade angular.
ω=π/4 rad s−1
2. Uma roldana de raio 0.20 m executa 120 rotações por minuto. Relativamente a um ponto
da periferia, determine:
2.1. o período;
P=0.5 s
2.2. a velocidade angular;
ω=4π rad s−1
2.3. a velocidade linear.
v=2.51 m s−1
3. Numa pista circular de raio 100 m, um ciclista executa meia volta em 25 s, a velocidade
constante. Para o movimento do ciclista, determine:
3.1. o período;
P=50 s
3.2. a frequência;
f =0.02 s−1
3.3. a velocidade linear;
v=4π m s−1
3.4. a aceleração centrípeta.
ac ∼1.6 m s−2
4. Um ponto material desloca-se sobre um arco de circunferência de raio 600 m, com velocidade linear de 30 m s−1. Determine:
4.1. a velocidade angular do móvel;
ω=0.05 rad s−1
4.2. a aceleração centrípeta de que o móvel está animado.
ac =1.5 m s−2
5. Uma partícula percorre uma trajetória circular de raio igual a 4.0 m. Os valores das velocidades nas posições A, B e C são, respetivamente: vA = 3.0 m s−1, vB = 4.0 m s−1 e
vC = 5.0 m s−1.
y
5.1. Escreva as expressões do vetor velocidade em A, B e
C.
B
~vB
b
~vA =(0,3) m s−1
0
30°
x
~vA
A
5.2. Escreva a expressão do vetor deslocamento entre as posições A e C.
5.3. Determine a aceleração média do movimento entre B e
C sabendo que a partícula demora 3.0 s a percorrer essa
distância.
15
~vB =(−3.46,−2) m s−1
~vC =(5,0) m s−1
b
b
C
~vC
∆~r=(−4,−4) m
~amed =(2.82,0.67) m s−2
6. Uma partícula material descreve uma trajetória circular de raio 4.0 m. A equação escalar
do movimento sobre a trajetória é:
s(t) = 3.0 t2 − 6.0 t + 1.0
(SI)
6.1. Caracterizar, justificando, este movimento.
m.circ.u.a.
6.2. Determinar o módulo da aceleração no instante t = 3.0 s.
a∼36.5 m s−2
7. Um ciclista desloca-se de A até B segundo o sentido representado na figura. O raio da
trajetória é de 2.0 m. A norma da aceleração em B é de 10.0 m s−2. Determine:
A
7.1. Os vetores de posição em A e em B, considerando como
origem do referencial o centro da trajetória e eixos ortonormados;
0
~a
7.2. A aceleração normal em B;
37°
7.3. O valor da velocidade em B;
~v
7.4. O valor da aceleração tangencial em B.
B
b
~rA =(0,2)
~rB =(−1.2,−1.6)
an =7.99 m s−2
v=4 m s−1
b
at =6 m s−2
8. A lei do movimento de uma partícula material é dada pela expressão:
~r(t) = (2.0 t − 4.0) êx − (t2 − 4.0) êy
SI
8.1. Determine a equação da trajetória.
y=−2 x−x2 /4
8.2. Determine, para o instante t = 2.0 s:
8.2.1 – a velocidade da partícula;
8.2.2 – a aceleração tangencial da partícula;
8.2.3 – o raio da trajetória.
~v=(2,−4) m s−1
at =1.79 m s−2
R=22.5 m
9. As três partículas A, B e C têm trajetórias circulares de raio 5.0 m, sendo |~a| = 20 m s−2.
No instante inicial têm, respetivamente, as velocidades ~vA , ~vB e ~vC indicadas na figura.
~vA
0
b
~a
30°
b
A
~vC
~vB
0
b
135°
b
B
0
b
~a
b
C
~a
|~vA |=9.3 m s−1
|~vB |=8.4 m s−1
9.1. Calcule |~vA |, |~vB | e |~vC |.
|~vC |=10 m s−1
9.2. Calcule o valor de at em cada caso.
9.3. Caracterize cada um dos movimentos no instante inicial.
16
10m s−2 ;14m s−2 ;0m s−2
4- Movimento relativo
1. Um automóvel dirige-se de sul para norte numa estrada retilínea, com velocidade constante
de 90 km h−1. Um camião aproxima-se em sentido contrário com velocidade constante de
100 km h−1. Determine:
1.1. a velocidade do camião em relação ao automóvel;
−190 km h−1
1.2. a velocidade do automóvel em relação ao camião.
190 km h−1
1.3. De que forma variam as velocidades relativas após o camião e o automóvel se terem
cruzado?
não variam
2. O tapete rolante do terminal de um aeroporto mede 35 m de comprimento e move-se com
velocidade constante de 1.0 km h−1. Suponha uma pessoa numa das extremidades do tapete
rolante, e deslocando-se com velocidade constante de 1.5 km h−1 em relação ao tapete.
Determine quanto tempo leva à pessoa para alcançar a outra extremidade do tapete se esta
se move:
2.1. no mesmo sentido do tapete;
50.4 s
2.2. no sentido oposto ao tapete.
252 s
3. Duas pontes (A e B) sobre um rio distam 1500 m entre si, estando a ponte B a jusante da
ponte A. Dois amigos devem fazer um percurso desde a ponte A até à ponte B e regressar
à ponte A. Um deles vai de barco com velocidade constante de 4.0 km h−1 em relação à
água. O outro caminha pela margem do rio com velocidade constante de 4.0 km h−1. A
velocidade da água é igual a 2.8 km h−1 no sentido da ponte A para a B. Determine o tempo
que cada amigo demora a fazer o percurso de ida e volta.
45 min
1 h 28 min
4. A bússola de um avião indica que este desloca-se de sul para norte, e o seu indicador
de velocidade do ar regista uma velocidade de voo constante de valor 240 km h−1. A
velocidade do vento em relação ao solo é de 100 km h−1 no sentido de oeste para este.
Determine:
4.1. o módulo da velocidade do avião em relação ao solo;
260 km h−1
4.2. o ângulo que esta velocidade faz com a direção sul-norte;
23° NE
4.3. em que direção deve o avião voar, de modo a que quando visto do solo siga na direção
sul-norte;
25° NO
4.4. qual o novo valor da velocidade do avião em relação ao solo.
218 km h−1
5. Uma canoa navega com velocidade de 0.40 m s−1 em relação à Terra, no sentido NE. A
canoa desloca-se num rio que se escoa com velocidade de 0.50 m s−1 em relação à Terra,
no sentido E. Determine o módulo, a direção e o sentido da velocidade da canoa em relação
ao rio.
17
0.36 m s−1
38°. 2 ONO
5- Centro de massa
1. Três partículas, A, B e C, de massa 2.0 kg, 3.0 kg e 1.0 kg, respetivamente, ocupam inicialmente as posições indicadas na figura.
Num dado instante t, passam a mover-se em relação ao referencial Oxy com velocidades
~vA = 2.0êx + 4.0êy (m s−1 ), ~vB = −2.0êx (m s−1 )
e ~vC = 6.0êx − 2.0êy (m s−1 ). Determine:
1.1. a posição inicial do centro de massa do sistema;
~rCM =(2.0 , 2.3) m
1.2. para o instante t:
1.2.1 – a velocidade do centro de massa;
1.2.2 – o momento linear do sistema
~vCM =(0.67 , 1.0) m s−1
~psist =(4.0 , 6.0) kg m s−1
2. O bloco representado na figura é constituído por duas
porções, A e B, de materiais diferentes. Sabendo que
mA = mB , localize , relativamente ao sistema de eixos
representado na figura, o centro de massa do bloco.
~rCM =(3 , 8 , 1.5) cm
3. Nas extremidades de uma jangada com 8 m de comprimento e 10 kg de massa, encontramse dois rapazes de massas 70 kg e 80 kg. Eles dirigem-se um para o outro, encontrando-se
a meio da jangada. Admitindo a inexistência de forças exteriores, determine quanto se
deslocou a jangada.
0.25 m
4. Um rapaz de massa 40 kg encontra-se na extremidade de um barco de massa 120 kg e
comprimento 8 m, que flutua num lago.
Determine a distância percorrida pelo barco quando o rapaz se desloca até à outra extremidade.
2m
5. Dois corpos de massas m1 = 3.0 kg e m2 = 1.0 kg deslocam-se no plano XOY com velocidades respetivamente iguais a ~v1 = 4 t êx e ~v2 = 3 t êx + 2 êy (SI). Calcule:
~vCM =(3.8 t , 0.5)
5.1. a velocidade e a aceleração do centro de massa do sistema;
5.2. as velocidades de cada um dos corpos em relação ao centro de massa;
5.3. o momento linear do sistema em relação ao centro de massa.
~aCM =(3.8 , 0)
~v1,CM =(0.25 t , −0.50)
~v2,CM =(−0.75 t , 1.50)
6. Um carro de massa 120 kg desloca-se sobre um carril, com velocidade constante, de valor
e sentido 3 êx (m s−1). Sobre ele e na sua parte traseira encontra-se um homem de massa
80 kg. Em determinado instante, o homem salta do carro, afastando-se dele com velocidade −0.5 êx (m s−1).
Determine a velocidade do carro após a saída de homem.
18
3.2 êx (m s−1 )
7. Uma granada de massa m, lançada para cima com a velocidade de 100 m s−1, fazendo 60°
com a horizontal, explode quando atinge o ponto mais alto da trajetória, dividindo-se em
dois fragmentos de massas iguais. Um destes cai segundo a vertical (ver figura).
7.1. A que distância do ponto de lançamento cai o segundo fragmento?
x2 =1305 m
7.2. Que energia se liberta na explosão, expressa em percentagem da energia cinética
inicial?
25%
8. O João, de massa 50 kg, está sentado num barco, de massa 200 kg, que se encontra inicialmente em repouso. Num dado instante, desloca-se para a popa do barco, que dista 2.0 m da
posição em que se encontrava inicialmente. Desprezando a resistência da água e o efeito
do vento, calcule o afastamento do barco relativamente à margem.
19
d=0.4 m
6- Leis de Newton e atrito
1. Um carro foi abandonado numa rampa com as rodas bloqueadas (isto é, estão impedidas
de rodar). O coeficiente de atrito estático entre a borracha dos pneus e o piso da rampa é
de 0.9.
Entre que valores pode variar a inclinação da rampa para que o carro não deslize?
0°≤ θ ≤ 42°
2. Os antigos egípcios moviam grandes blocos de pedra, arrastando-os, pelo deserto, sobre
tábuas. Admitir que o coeficiente de atrito cinético entre a areia e as tábuas é 0.3 e que
cada homem é capaz de exercer uma força de 500 N, numa direção que faz 30° com a
horizontal.
Qual o número mínimo de homens que são necessários para arrastar um bloco de 700 t
numa superfície horizontal?
4134
3. Um bloco de massa m = 1.0 kg está apoiado numa superfície horizontal, estando sujeito
a duas forças horizontais, F~1 e F~2 , de módulo respetivamente 6.0 N e 8.0 N. Caracterize a
aceleração do bloco nos seguintes casos:
3.1. As forças têm a mesma linha de ação e o mesmo sentido;
~a=(14 , 0) m s−2
3.2. As forças têm a mesma linha de ação e sentidos opostos;
~a=(2 , 0) m s−2
3.3. As forças são perpendiculares entre si.
~a=(8 , 6) m s−2
4. Um carro de massa 900 kg puxa um atrelado de massa 100 kg. O motor do carro desenvolve uma força de intensidade 2000 N. Determine:
4.1. a intensidade da força de tensão do cabo que liga o atrelado ao carro;
200 N
4.2. o módulo da aceleração do carro quando se move com o atrelado;
2 m s−2
4.3. o módulo da aceleração do carro quando se move sem o atrelado;
2.2 m s−2
5. Um elevador vazio de massa 5000 kg está a mover-se verticalmente para baixo, com aceleração constante. Partindo do repouso, desloca-se 30 m em 10 s. Determine o módulo da
tensão no cabo que sustenta o elevador.
47 000 N
6. Considere três corpos de massas mA = 10 kg, mB = 15 kg e mC = 20 kg, colocados sobre
uma superfície horizontal e ligados entre si por cabos. É aplicada sobre o corpo C uma
força F~ horizontal de intensidade 50 N. Supondo desprezável o atrito, determine:
6.1. o módulo da aceleração do sistema;
6.2. o módulo da tensão em cada cabo.
20
A
B
C
F~
a=1.1 m s−2
11 N ; 27.5 N
7. Sendo os esforços musculares forças interiores que não afetam o movimento do centro de
massa, explique porquê e como conseguimos caminhar numa superfície horizontal.
8. Um corpo de massa m = 0.20 kg, desloca-se num plano horizontal, sem atrito, com velocidade v = 10 m s−1. Pretende-se fazer parar o corpo em 2.0 s, exercendo para o efeito uma
força horizontal.
8.1. Represente o sistema de forças a que o corpo está sujeito.
8.2. Indique onde estão aplicadas as forças, que constituem com cada uma das forças
referidas na alínea anterior, pares ação-reação.
8.3. Determine:
8.3.1 – a intensidade da força referida no texto;
8.3.2 – o espaço percorrido pelo corpo até parar.
~
F=−1.0
êx N
∆x=10.0 m
9. Um vagão, com velocidade de 72 km h−1, transporta três caixotes de pesos iguais a 5 kgf,
10 kgf e 15 kgf, afastados uns dos outros e assentes no plano horizontal. Se o vagão
for travado até parar numa distância de 100 m, qual ou quais dos caixotes irão deslizar,
sendoµe = 0.6?
nenhum
10. O rotor, existente em alguns parques de diversões, consiste
num cilindro com 4.0 m de diâmetro que roda em torno do
eixo, colocado verticalmente. Os passageiros encostam-se
às paredes laterais de lona e o cilindro roda. Sendo 0.40 o
coeficiente de atrito estático entre as roupas e a lona, qual a
velocidade angular mínima do cilindro para que os passageiros não caiam, mesmo que se retire a base?
ωmin =3.5 rad s−1
11. Com forças de igual intensidade (40 N) tenta-se arrastar, sobre uma superfície horizontal,
os blocos A e B.
Dados; µe = 0.10; µc = 0.05; sin θ = 0.80; cos θ = 0.60; mA = mB = 10 kg.
F~ θ
11.1. Verifique se os blocos se movem ou não.
A
B
11.2. Determine a aceleração de cada um dos blocos.
θ
F~
movem-se
aA =2.1 m s−2
aB =1.7 m s−2
12. Para que o movimento se torne iminente, quanto deverá valer
~ O coeficiente de atrito estático entre os blocos e os planos
F?
em que assentam é 0.25; mB = 2mA ; mB = 40 kg.
21
F=43 N
13. A força que acelera um automóvel numa estrada horizontal é o atrito (estático) entre o
asfalto e os pneus. Se o asfalto estiver seco, o coeficiente de atrito estático é 0.75; se
estiver molhado, é 0.50; se estiver coberto de gelo, é 0.25. Calcule a velocidade máxima
com que um automóvel pode fazer uma curva com segurança, em cada uma das condições
mencionadas, se a curva tiver 200 m de raio.
14. Num lanço defeituoso de uma estrada, o lado exterior da curva, de raio 200 m, é mais
baixo que o interior. Calcule a velocidade máxima com que um automóvel pode fazer a
curva com segurança. Dados: θ = 15°, µe = 0.60.
15. Uma caixa de 1.5 kgf, encostada a uma parede vertical, está em repouso sob a
~ Que força mínima F~ impedirá a caixa de cair?
ação de uma força F.
vseco =139 km h−1
vmolhado =114 km h−1
vgelo =81 km h−1
36 km h−1
F~
Dados: µe = 0.50 e µc = 0.30
30 N
16. Entre os livros A e B (mA = 2.0 kg; mB = 4.0 kg) há atrito (µe = 0.30 e µc = 0.20); entre B
e a mesa horizontal não há atrito.
16.1. Que força máxima F~ se pode aplicar a B, sem que haja deslizamento de A sobre B? Qual a aceleração do conjunto nestas
condições?
16.2. Descreva o movimento dos livros no caso de F = 12 N e no
caso de F = 24 N.
F=18 N ; a=3 m s−2
A e B solidários
A desliza sobre B
17. Um bloco A de 3.0 kg assenta num bloco B de 5.0 kg e este, por sua vez, assenta num
plano horizontal. Os coeficientes de atrito, tanto estático como cinético, entre A e B e
entre B e o plano horizontal são iguais a 0.20. Aplica-se em B uma força F~ horizontal, de
tal modo que A fica na iminência de deslizar sobre B.
~ Que aceleração têm os blocos?
17.1. Que valor tem F?
F=32 N ; a=2 m s−2
17.2. Descreva o movimento dos blocos caso não houvesse atrito.
A em repouso
B em m.u.a.
18. Considere o sistema constituído pelos dois blocos A e B representado na figura. Dados: mB = 3mA ; mB = 40 kg; µe = 0.20;
µc = 0.10; sin θ = 0.60; cos θ = 0.80.
18.1. Mostre que o sistema entra em movimento.
18.2. Calcule a aceleração do sistema.
a=1.4 m s−2 ; A sobe
22
7- Conservação da energia
1. Do ponto A de uma calha AB, existente no plano vertical, deixa-se cair, sem velocidade
inicial, um corpo P. Este, ao chegar a B, passa a mover-se livremente sob a ação do peso.
As alturas de A e de B, medidas em relação ao ponto mais baixo da trajetória, são hA = 1 m
e hB = 0.2 m.
1.1. Calcule hC .
hC =0.8 m
1.2. Mostre que hC é sempre inferior a hA .
2. A parte circular da pista, que se situa num plano vertical, tem raio igual a 10 cm.
2.1. De que altura mínima se deve deixar cair um carrinho para
que ele passe no ponto B? Um carrinho mais pesado necessitaria de mais ou de menos altura?
h=0.25 m
2.2. Nas condições de 2.1, que força exerce sobre a pista um
carrinho de 100 g, quando passa no ponto A?
F=1.5 N
3. Um carrinho de 400 g move-se na calha, situada no plano vertical, representada na figura.
A parte circular tem 20 cm de raio.
E
3.1. Que velocidade mínima deve ter o carrinho em A, para percorrer
toda a calha?
vA =3.2 m s−1
F
3.2. Nas condições de 3.1, qual a resultante em D? E qual a reação
~vA
da calha em C?
3.3. Que velocidade deve ter o carrinho em A para que no ponto E a
reação da calha tenha a mesma intensidade que o peso?
A
D
60° C
B
Fres,D =13 N ; RC =18 N
G
v=3.5 m s−1
4. Liga-se uma pedra a um fio de comprimento l e fixa-se a outra extremidade deste a um
ponto O.
4.1. Calcule a velocidade mínima ~v0 que se deve imprimir à pedra para que:
4.1.1 – o fio atinja a posição horizontal;
4.1.2 – o conjunto realize uma volta completa.
4.2. Descreva o movimento no caso de ~v0 estar compreendido entre os valores encontrados em 4.1.
4.3. Se v0 for mais do que suficiente para dar a volta completa, mostre que a diferença
entre os módulos da tensão no ponto mais alto e no ponto mais baixo é 6 P, sendo P
o peso da pedra.
23
v0 =
v0 =
√
2gl
√
5gl
α
b
1.8 m
t voo
=2
h
s
5. Um operário, a trabalhar no telhado de uma casa, deixa cair
um martelo de massa igual a 750 g. Este escorrega sobre o
telhado de inclinação α com a horizontal e com um desnível
de 1.8 m. Dois segundos depois de perder o contacto com
o telhado alcança o solo, a uma distância de 6 m da vertical
de lançamento (da vertical que passa pela extremidade do
telhado). Determine, considerando g = 10 m s−2 e desprezando todas as forças dissipativas:
5.1. o módulo da velocidade com que o martelo atinge a
base do telhado;
v=6 m s−1
5.2. o valor do ângulo α;
α=60°
5.3. a altura da extremidade do telhado relativamente ao
solo, sendo este horizontal.
6m
h=30.4 m
6. Uma força de 160 N estica 0.050 m uma certa mola a partir do seu estado de repouso.
Determine:
6.1. a força necessária para esticar essa mola 0.015 m a partir do seu estado de repouso;
48 N
6.2. a força necessária para comprimir essa mola 0.020 m a partir do seu estado de repouso;
64 N
6.3. o trabalho necessário para esticar essa mola 0.015 m a partir do seu estado de repouso;
0.36 J
6.4. o trabalho necessário para comprimir essa mola 0.020 m a partir do seu estado de
repouso.
0.64 J
7. Uma menina aplica uma força F~ paralela ao eixo Ox sobre um trenó de 10.0 kg que está
a deslocar-se sobre a superfície congelada de um lago. À medida que ela controla a velocidade do trenó, a componente F x da força que ela aplica varia com a coordenada x como
indica a figura ao lado. Determine o trabalho realizado pela força F~ quando o trenó se
desloca:
7.1. de x = 0 a x = 8 m;
40 J
F x (N)
7.2. de x = 8 a x = 12 m;
20 J
10
7.3. de x = 0 a x = 12 m.
60 J
7.4. Suponha que o trenó esteja inicialmente em repouso para x = 0 m. Despreze o atrito entre o
trenó e a superfície do lago. Use o teorema do
trabalho-energia para determinar a velocidade do
trenó em:
7.4.1 – x = 8 m;
7.4.2 – x = 12 m.
24
5
4
8
12 x(m)
√
8 m s−1
√
12 m s−1
8. Observe a figura: o fio OA, de comprimento 1.0 m, é colocado horizontalmente e a esfera,
de massa 2.0 kg, é largada sem velocidade inicial. Calcule:
√
8.1. as velocidades em B e em C;
√
8.2. os módulos das tensões em A, em B e em C;
0 N ; 30 N ; 60 N
8.3. o módulo da resultante nos mesmos três pontos.
20 N ; 26 N ; 40 N
9. É necessário realizar um trabalho de 12.0 J para esticar 3.00 cm uma mola a partir do seu
comprimento de repouso (sem deformação). Determine o trabalho necessário para esticar
4.00 cm essa mola a partir do seu comprimento sem deformação.
10 m s−1 ;
21.3 J
10. Como parte de um exercício de treino, um atleta deita-se de costas e empurra com os pés
uma plataforma ligada a duas molas duras dispostas de modo a ficarem paralelas. Quando
o atleta empurra a plataforma comprime ambas as molas de igual forma. Sabendo que o
atleta realiza 80.0 J de trabalho para comprimir as molas 0.200 m a partir do seu estado de
repouso, determine:
10.1. o módulo da força necessária para manter a plataforma nessa posição;
800 N
10.2. a quantidade de trabalho adicional que o atleta precisa de realizar para comprimir a
plataforma mais 0.200 m;
240 J
10.3. qual a força máxima que o atleta deve aplicar nessa situação.
1600 N
11. Suponha duas molas elásticas, A e B, de constantes de elasticidade KA e KB respetivamente, arranjadas em série (ver figura) e submetidas a uma força F. Determine:
11.1. o alongamento da mola A;
KA
11.2. o alongamento da mola B;
KB
F~
F/KA
F/KB
11.3. o alongamento total;
∆xA +∆xB
11.4. a constante de elasticidade de uma nova mola equivalente a este arranjo das molas
A e B.
Keq = K A+KB
K K
A
B
11.5. Relacione este resultado com o funcionamento do complexo músculo-tendinoso.
12. Suponha duas molas elásticas, A e B, de constantes de elasticidade KA e KB respetivamente, arranjadas em paralelo (ver figura) submetidas a uma força F, de tal modo que o
deslocamento de ambas as molas seja o mesmo, i.e., ∆xA = ∆xB = ∆x. Determine:
KA
12.1. a força a que está sujeita a mola A;
F~
12.2. a força a que está sujeita a mola B;
12.3. a força total a que estão sujeitas ambas as molas;
KB
12.4. a constante de elasticidade de uma nova mola equivalente a este arranjo das molas
A e B.
12.5. Relacione este resultado com o funcionamento do complexo músculo-tendinoso.
25
KA ∆x
KB ∆x
F=FA +FB
Keq =KA +KB
20 m s−1
8- Conservação da quantidade de movimento e colisões
1. Duas esferas A e B com a mesma massa colidem frontal e elasticamente. Calcule as
velocidades finais das esferas em cada um dos seguintes casos:
1.1. ~vA,i = 8 êx (m s−1 ) e ~vB,i = 5 êx (m s−1 );
1.2. ~vA,i = 8 êx (m s−1 ) e ~vB,i = −5 êx (m s−1);
1.3. ~vA,i = 8 êx (m s−1 ) e ~vB,i = ~0 (m s−1 );
2. Dois carrinhos, de massas m1 = 1.0 kg e m2 = 2.0 kg, que se moviam com velocidades
~v1 = 0.30 êx (m s−1 ) e ~v2 = 0.20 êy (m s−1 ), sofreram uma colisão perfeitamente inelástica.
Indique as expressões dos vetores velocidade:
2.1. do conjunto, após o choque;
0.10 êx +0.13 êy (m s−1 )
2.2. do centro de massa.
0.10 êx +0.13 êy (m s−1 )
3. Uma bola de basebol é atirada com uma velocidade de 144 km h−1 e é atingida para um
‘home run’. A colisão com o bastão demorou 0.005 s e a bola partiu com uma velocidade
de 126 km h−1. A massa da bola é de 0.145 kg.
3.1. Calcule o impulso da força aplicada pelo bastão.
I=10.875 N s
3.2. Calcule a força média aplicada na bola.
Fmed =2175 N
4. Dois corpos, A e B, de massas mA = mB = 200 g, movem-se, sem atrito, numa mesa
horizontal com velocidades: ~vA = 4.0 êx (m s−1) e ~vB = −2.0 êy (m s−1 ). Num dado instante
sofrem uma colisão, após a qual o corpo B se move com a velocidade ~vB,f = 2.0 êx (m s−1 ).
4.1. Determine a velocidade do corpo A após a colisão.
~vA,f =(2.0 , −2.0) m s−1
4.2. Mostre que, no processo considerado, não houve conservação da energia cinética do sistema.
5. Uma bola de bilhar deslocava-se com uma velocidade de valor 4.0 m s−1 quando chocou com outra bola que estava inicialmente em repouso. Depois do choque, as duas bolas de
bilhar passaram a mover-se conforme está representado na
figura. Calcule os valores das suas velocidades finais.
v1,f ∼3.5 m s−1
v2,f =2.0 m s−1
6. Duas esferas de massas 1 kg e 2 kg chocam quando se deslocam em sentidos opostos com
velocidades de norma 3 m s−1 e 1 m s−1, respetivamente. A esfera de massa 2 kg passa a
mover-se com velocidade de norma 0.5 m s−1, fazendo um ângulo de 30° com a velocidade
inicial.
Determine o valor da velocidade da outra esfera após o choque.
26
−0.62 m s−1
7. A massa de uma bola de futebol é de 0.40 kg. Inicialmente, ela desloca-se da direita para a
esquerda com velocidade constante de 20 m s−1, de seguida é chutada passando a deslocarse com velocidade de 30 m s−1 e com um ângulo de 45° para cima e para a direita. O tempo
de colisão foi de 0.010 s. Desprezando a resistência do ar, determine:
7.1. o impulso da força resultante;
I=(16.5 , 8.5) kg m s−1
7.2. a força média que atuou sobre a bola;
1900 N
7.3. o ângulo que esta força faz com a horizontal.
θ=27°
8. Uma bola de golfe de 0.0450 kg que estava inicialmente em repouso passa a deslocar-se
com velocidade de 25.0m s−1 depois de ser impulsionada por um taco. O tempo de colisão
foi de 2.00 ms.
8.1. Desprezando a resistência do ar, determine a força média do
taco sobre a bola.
562.5 N
8.2. O efeito do peso da bola durante o tempo de contacto com o taco
é importante? Justifique.
não
9. Uma criança de massa 40 kg que se encontra em repouso sobre patins recebe uma bola de
massa 0.5 kg que lhe é atirada por outra. Após a receção da bola (que retém), adquire uma
velocidade de norma 0.1 m s−1.
Determine o ângulo de inclinação da velocidade da bola no instante em que tocou na
criança, sabendo que a sua intensidade era de 10 m s−1 .
35°. 9
10. Um projétil, de massa 10 g, move-se com uma velocidade de valor 250 m s−1, quando
colide com um bloco, de massa 1.8 kg, ficando incrustado nele (ver figura). Desprezando
a resistência do ar, determine:
10.1. a velocidade do sistema imediatamente após a colisão.
v=1.4 m s−1
10.2. a altura máxima a que o sistema sobe;
9.8×10−2 m
10.3. a amplitude do ângulo correspondente à situação de 10.2.
θ=26°
27
9- Alavancas e roldanas
1. A Carla e a Joana, de massas 35 kg e 40 kg, respetivamente,
brincam no baloiço representado na figura. Se a Carla se
sentar num extremo do baloiço, onde se deverá sentar a Joana de forma a minimizar o seu esforço?
a 1.75 m do centro
2. Uma alavanca interfixa em equilíbrio é atuada por duas forças com as intensidades de
50 kgf e 80 kgf, distando o ponto de aplicação desta 20 cm do fulcro da alavanca. Calcule
o comprimento da alavanca.
52 cm
3. As forças representadas na figura têm todos norma 100 N. Determine o torque total do sistema de forças relativamente ao
ponto O.
−48 N m
4. O sistema da figura está em equilíbrio. Supondo desprezáveis todos os atritos, bem como as massas das
roldanas, cabos e alavanca, calcule a intensidade da
força resistente.
15000 N
5. O sistema representado na figura é constituído por duas roldanas solidárias,
de raios 1.0 m e 0.5 m, e dois corpos, A e B, sendo mA = 5.0 kg. O sistema
está em equilíbrio.
5.1. Determine a massa do corpo B.
10 kg
5.2. Determine os valores das tensões nos fios.
50 N ; 100 N
6. Para tirar uma das porcas que fixam a roda de um automóvel, uma pessoa exerce uma força
vertical de 400 N.
6.1. Determine o momento da força em relação ao centro da porca,
quando a manivela, de comprimento 20 cm, faz 45° com a horizontal;
6.2. Com a mesma força, para que posição da manivela é máximo o
momento?
∼56.6 N m
horizontal
7. O sistema da figura está em equilíbrio. Sejam l1 = 25 cm, l2 = 40 cm e m2 = 1 kg.
Desprezando a massa da alavanca, da roldana e dos cabos, determine:
7.1. o valor da massa m3 ;
1 kg
7.2. o valor da força aplicada no ponto B;
20 N
7.3. o valor da massa m1 ;
3.2 kg
7.4. o valor da reação normal no ponto O.
52 N
28
8. O sistema da figura está em equilíbrio. Sejam m1 = 5 kg e
m2 = 2 kg. Desprezando a massa das roldanas e dos cabos,
determine:
8.1. o valor da massa m3 ;
2 kg
8.2. o valor da tensão no cabo horizontal;
40 N
8.3. o valor da reacção normal na massa m1 ;
50 N
8.4. o valor do coeficiente de atrito entre a massa m1 e o solo.
µ=0.8
9. O sistema da figura está em equilíbrio. Sejam m1 = 2 kg e m2 = 5 kg. Despreze a massa
das roldanas e dos cabos.
9.1. Desprezando o atrito entre a massa m1 e o solo, determine
qual o valor da força F.
50 N
9.2. Nas condições da alínea anterior, determine o valor da tensão no cabo horizontal.
50 N
9.3. Sendo µ = 0.75 (m1 / solo), determine qual o valor da força
F necessária para equilibrar o sistema.
35 N
9.4. Nas condições da alínea anterior, determine o valor da tensão no cabo horizontal.
50 N
10. Considere o sistema de pesos e roldanas da figura, o qual é
utilizado para exercer tração sobre a perna de um paciente.
Considere que as massas m1 e m2 são ambas de 6 kg. Determine o módulo, direção e sentido da força de tração exercida
sobre a perna do paciente.
11. Considere o sistema de pesos e roldanas da figura, o qual é
utilizado para exercer tração sobre a perna de um paciente.
Considere que a massa suspensa tem o valor de 6 kg. Determine o módulo, direção e sentido da força de tração exercida
sobre a perna do paciente.
29
m1
15°
15°
m2
115.9 N
15°
15°
m
115.9 N
10- Fluidos
1. Observe a figura. Sabendo que h1 = 24 m, h2 = 16 m e a
massa volúmica da água do mar é 1.03 g cm−3, calcule, em
unidades SI:
1.1. a diferença de pressão entre os pontos A e C;
1.2. a pressão em A e em B, considerando a pressão atmosférica p0 = 1.0 × 105 Pa.
∆p=1.6×105 Pa
pA =3.5×105 Pa
2. Os recipientes A e B, cujas bases têm áreas iguais a 100 cm2 , contêm água até uma altura
de 30 cm. Em B, o tubo ( 4.0 cm2 de secção ) tem água até 20 cm de altura. Considere
p0 = 1.01 × 105 Pa e ρ = 1 g cm−3.
2.1. Calcule, para cada um dos recipientes:
2.1.1 – o peso da água;
2.1.2 – a pressão exercida no fundo;
2.1.3 – a força de pressão exercida no fundo.
PA =30 N ; PB =10.8 N
pA =pB =1.04×105 Pa
FA =FB =1.04×103 N
2.2. Se os recipientes tiverem pesos iguais e forem colocados, cheios de água, nos pratos
de uma balança, qual pesa mais?
A
3. No centro da base superior de um barril cheio de água, fixa-se um tubo vertical estreito
( 1 cm2 de secção ) com 10 m de altura. Enchendo o tubo com água, verifica-se que o barril
rebenta.
3.1. Interprete os resultados desta experiência realizada por Pascal.
3.2. Considere p0 = 1.01 × 105 Pa e a altura do barril igual a 1.00 m. Calcule
a pressão exercida no ponto médio do barril, A:
3.2.1 – na situação inicial, em que apenas o barril está cheio de água;
3.2.2 – na situação final, em que também o tubo está cheio de água.
pA =1.06×105 Pa
3.3. Calcule o volume da água contida no tubo.
1 litro
pA =2.06×105 Pa
4. Num macaco hidráulico, os dois êmbolos cilíndricos têm diâmetros 0.10 m e 0.80 m. Considerando desprezáveis os pesos dos êmbolos em relação ao peso do automóvel ( P =
1.0 × 103 kgf ), calcule:
4.1. a força mínima que deve ser aplicada ao êmbolo menor para o automóvel subir;
F=1.6×102 N
4.2. o deslocamento do êmbolo menor quando o automóvel sobe 10 cm;
d=6.4 m
4.3. o trabalho de cada uma das forças que atuam nos êmbolos, nas condições da alínea
4.2.
W=1.0×103 J
30
5. O rei Hierão de Siracusa entregou a um ourives uma certa quantidade de ouro para este lhe
fazer uma coroa. Tendo suspeitado de que este tivesse substituído parte do ouro por prata,
pediu a Arquimedes que descobrisse um processo de verificar se havia fraude, sem destruir
a coroa. Conta a lenda que Arquimedes encontrou a solução do problema, ao descobrir a
impulsão enquanto tomava banho.
Suponhamos que o ourives recebeu 1.2 kg de ouro e fez uma coroa com esse peso, mas de
uma liga de ouro ( ρ = 19.3 g cm−3 ) e prata ( ρ = 10.5 g cm−3 ). Arquimedes suspendeu
numa extremidade do travessão de uma balança a coroa, e na outra extremidade um pedaço
de ouro com o mesmo peso. Mantendo os dois corpos suspensos, mergulhou-os em água
e verificou que havia desequilíbrio.
5.1. Para que lado se inclinou o travessão da balança?
Subiu do lado
da coroa
5.2. Se o peso da coroa quando mergulhada em água fosse, por exemplo, 1.12 kgf, qual a
sua composição?
790 g de ouro,
410 g de prata
6. Calcule, em relação ao volume total, a fração do volume imerso de um iceberg, considerando as massas volúmicas do gelo e da água do mar respetivamente iguais a 0.9 g cm−3 e
a 1.03 g cm−3.
9/10
7. De uma altura de 10 m acima da superfície de um lago, deixa-se cair um pedaço de madeira
cuja densidade relativa é 0.9. Despreze a resistência da água e calcule:
7.1. a profundidade atingida pelo pedaço de madeira, supondo que a densidade relativa
da água e 1.0;
90 m
7.2. o tempo que demora a voltar à superfície, desde que foi largado.
27 s
8. Já reparou certamente que um fio de água, ao sair de uma torneira, tornase mais estreito enquanto cai. Sendo, na figura ao lado, a área da secção
transversal S 1 = 1.5 cm2, a área S 2 = 0.60 cm2 e a diferença de nível
5.0 cm, calcule:
8.1. a velocidade da água no nível S 1 ;
0.43 m s−1
8.2. o caudal.
6.51×10−5 m3 s−1
9. Numa mangueira de jardim, cujo diâmetro é 1.6 cm, a água corre a 2.4 m s−1 e sai por uma
agulheta de raio 0.60 cm. Se esta estiver virada para cima, a que altura sobe a água?
10. Quando há forte ventania, o ar arranca os telhados mais leves, levantando-os, e as janelas
quebram de dentro para fora. Por que é que assim acontece?
11. A figura representa dois barcos, a deslocarem-se paralelamente um
ao outro, e algumas linhas de corrente da água. Como explica que
os barcos possam colidir um com o outro?
Já alguma vez sentiu efeito semelhante quando se cruzam dois automóveis a alta velocidade?
31
0.91 m
12. Um cano horizontal de diâmetro 4.0 cm, onde a água corre à velocidade de 2.0 m s−1, tem
um estrangulamento onde o raio mede 0.50 cm. Calcule:
12.1. a velocidade da água ao passar no estrangulamento;
32 m s−1
12.2. o caudal;
∼2.5×10−3 m3 s−1
12.3. a diferença de pressão da água entre a parte mais larga do cano e o estrangulamento.
∆p=5.1×105 Pa
13. Numa canalização de raio 1.5 cm, a água entra à velocidade de 40 cm s−1 . Percorre depois um tubo de raio 0.5 cm,
situado 35 m mais acima, onde a pressão manométrica ( pressão acima da pressão atmosférica ) é de 0.20 atm. Considere 1 atm = 1.01 × 105 Pa. Calcule:
13.1. a velocidade da água no ponto B.
3.6 m s−1
13.2. a pressão manométrica no ponto A;
3.8×105 Pa
14. A asa de um avião tem uma área de 8.0 m2 . A velocidade do ar, ao passar na parte inferior da asa, é 180 m s−1 e, ao passar na parte superior, é 200 m s−1. Considere ρar =
1.293 kg m−3 e calcule:
14.1. a diferença de pressão entre a parte superior e a parte inferior da asa;
∆p=4.9×103 Pa
14.2. a intensidade da força de sustentação aerodinâmica sobre a asa do avião.
3.9×104 N
15. Calcule a velocidade com que um líquido sai por um furo
na parede lateral de um reservatório muito largo, situado à
distância h abaixo da superfície livre do líquido.
v=
√
2gh
16. Um sifão é um dispositivo para remover líquidos de um recipiente, de grande secção reta, que não pode ser tombado. Ele
funciona como mostra a figura ao lado. O tubo deve ser inicialmente cheio, mas tão logo isso tenha sido feito, o líquido
escoará até que o seu nível paire abaixo da abertura do tubo
em A. Considere um fluido ideal de densidade ρ e determine as
expressões para:
16.1. a velocidade com que o líquido sai do tubo em C;
16.2. a pressão do líquido no ponto de altura máxima B;
16.3. a maior altura h1 a que um sifão pode fazer subir o líquido.
32
vC =
√
2 g ( h2 +d )
pB =p0 −ρ g (h1 +d+h2 )
p0 =ρ g (h1 +d+h2 )