Sistema de Conversão de Energia

Sistema de Conversão de Energia
Competências
1- Analisar e definir os circuitos magnéticos.
2- Analisar os princípios da conversão eletromecânica de energia.
3- Identificar os conceitos básicos e tecnológicos da indução
eletromagnética.
4- Especificar componentes eletromagnéticos e suas características.
5- Identificar e avaliar o campo magnético criado por correntes elétricas.
6- Interpretar fatores que influem na variação do fluxo magnético.
Habilidades
1- Aplicar os conceitos magnéticos e os seus princípios.
2- Identificar gráficos, plantas e esquemas de circuitos magnéticos.
3- Aplicar técnicas de análise de fluxo magnético.
4- Executar testes e ensaios aplicados à indução eletromagnética.
5- Aplicar métodos de utilização de equipamentos de medição
eletromagnéticos.
6- Realizar montagens e instalações de circuitos magnéticos.
Bases Tecnológicas
1- Cargas, força e campo elétrico.
2- Noções básicas de eletrostática
3- Campo, indução, fluxo e força magnéticos.
4- Campo magnético criado por correntes elétricas
5- Lei de Faraday e Lenz
6- Correntes de Foucault
7- Circuitos magnéticos
8- Princípio de funcionamento de dispositivos eletromagnéticos (Solenóide;
Eletroímã; Relé; Contator; Disjuntor; Transformador)
9- Princípios da conversão eletromecânica de energia
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1
1. Lei de Faraday.
Quando um condutor retilíneo sofre a ação de linhas de campo variáveis,
é induzida uma diferença de potencial entre seus terminais. Se em seu lugar
for colocada uma bobina de N espiras, sua tensão induzida obedece a lei de
Faraday:
d
V 
eN
dt
Sendo
N o número de espiras;
d
a taxa de variação do fluxo que atravessa a bobina.
dt
2. Lei de Lenz.
A variação do fluxo magnético em uma bobina induz uma tensão em
seus terminais, cuja polaridade tende a estabelecer uma corrente que produz
um fluxo no sentido contrário ao original. Isto significa que um aumento na
variação da corrente provoca uma polaridade no sentido de diminuí-la e
vice-versa.
A lei de Lenz estabelece:
“Um efeito induzido ocorre sempre de forma a se opor à causa que o
produziu”.
3. Auto-indutância.
É chamada de auto-indutância (L), ou simplesmente indutância, à
propriedade de uma bobina se opor a qualquer variação de corrente. A
indutância é medida em henries (H).
Os indutores são bobinas projetadas para introduzir quantidades
específicas de indutância em um circuito. Sua indutância depende das
propriedades magnéticas de seu núcleo e pode ser calculada pela equação:
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2
N 2 S
H 

Sendo
N o número de espiras;
 a permeabilidade do núcleo;
S a área da secção transversal, em metros quadrados; e
l o comprimento do núcleo, em metros.
Podemos calcular uma bobina com qualquer núcleo a partir de seu valor
com núcleo a ar. Assim:
L   r L0
Sendo
L0 indutância da bobina com núcleo a ar;
r a permeabilidade relativa do núcleo escolhido; e
L a indutância da bobina com núcleo ferromagnético.
L
Exemplo1:
Encontre a indutância da bobina de núcleo a ar, sabendo que: seu
comprimento l é igual a 100 mm, o diâmetro do núcleo d é igual a 4 mm e a
quantidade de espiras é igual a 100.
Solução:
S
 d2
4
  4  10 3 
2

4
  0,1m
 12,57  10 6 m 2

N 2    S 100 2  4    10 7  12,57  10 6

 1,58H

0,1
Exemplo 2:
Repita o exemplo anterior, para núcleo de ferro, supondo que r = 2000.
L0 
L   r  L0  2000  1,58  10 6  3,16  10 3 H
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3
4. Modelo Equivalente de Indutor Real.
Na prática, todo indutor apresenta uma indutância, uma resistência
devido ao seu fio e uma capacitância devida a aproximação de suas espiras.
Sendo assim, temos o circuito equivalente abaixo:
R
enrolamento
Indutância
C Parasita
Para efeito de análise, o capacitor pode ser desprezado, mas o resistor
precisa ser considerado, pois afeta diretamente o circuito em alguns casos.
5. Tensão Induzida em um Indutor.
A indutância de um indutor também é dada pelo produto da taxa de
variação do fluxo no seu interior pela corrente aplicada ao seu número de
espiras.
d
LN
(H )
di
A indutância depende da curva de histerese que, se for muito inclinada,
uma pequena variação de corrente provoca uma grande variação no fluxo e
assim fazendo com que a indutância seja elevada. Já próximo à saturação,
uma grande variação da corrente quase não altera a indutância.
Os manuais e folhas de dados de especificações dos indutores indicam o
valor máximo e corrente contínua que pode ser aplicado ao componente
sem que ele entre na região de saturação.
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4
Relacionando a lei de Faraday com a definição de indutância, i e,
d
d di
eL  N
N

dt
di dt
Obtemos:
di
eL  L 
(V )
dt
Isto significa que a tensão entre os terminais de um indutor é
diretamente proporcional a sua indutância e a taxa de variação da corrente
que o atravessa.
Para efeito de análise de circuitos, trocaremos eL (aplicado a geradores)
por vL (aplicado a circuitos).
Então:
di
vL  L
(V )
dt
A tensão média entre os terminais do indutor é dada pela equação:
i
v Lav  L
(V )
t
Sendo:  a variação finita, i e, uma variação que possa ser medida.
Exemplo 3:
Encontre a forma de onda da tensão média entre os terminais de um
indutor de 4mH, sabendo que a corrente no indutor varia com o tempo na
forma indicada abaixo.
Corrente no indutor versus tempo
iL(mA)
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t(ms)
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5
Solução:
a) De 0 a 2ms a corrente não varia, portanto a tensão vL é nula.
i
0
vL  L
L
 0V
t
t
b) De 2 a 4ms temos:
i
10  10 3  0  10 3
vL  L
 4  10 3
 20  10 3 V
3
3
t
4  10  2  10
c) De 4 a 9ms tiramos:
i
0  10 3  10  10 3
vL  L
 4  10 3
 8  10 3 V
t
9  10 3  4  10 3
d) De 9 a ∞ sai:
i
0
vL  L
L
 0V
t
t
A figura abaixo representa a forma de onda resultante da tensão na
bobina.
Tensão na Bobina versus tempo
vL(mV)
17
12
7
2
-3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-8
t (ms)
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6
Nota; A Área positiva e a negativa são iguais, o que significa que não há
dissipação de energia. O indutor simplesmente devolve a energia acumulada
(de 2 a 4) durante o período de 4 a 9ms.
6. Carga em Circuito RL.
Uma vez que um indutor armazena energia em forma de campo
magnético, temos variações de corrente e tensão em um circuito de corrente
contínua. Este fenômeno pode ser entendido através do circuito abaixo.
Imediatamente após o fechamento da chave o indutor, em oposição à
variação da corrente, provoca uma queda de tensão, vl, igual à tensão
aplicada E, obedecendo a lei de Kirchhoff para tensões, fazendo vR= iR =
(0)R = 0V. A corrente que parte do zero continua a crescer diminuindo a
queda de tensão em vL até que, finalmente, vL seja zero e vR = E. A corrente
aumenta rapidamente no início e perde velocidade ao longo do tempo até
atingir E/R. Assim podemos concluir que:
“Quando um circuito de corrente contínua atinge o estado estacionário,
qualquer indutor real (R=0) passa a se comportar como um curtocircuito”.
A equação para a corrente iL durante a fase de carga é:
E
i L  I M (1  e t /  )  (1  e t /( L / R )
R
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7
Observe que o valor máximo de iR é E/R e que a taxa de variação da
corrente diminui com o tempo, expressa em constante de tempo (), dada
L
por  
em segundos (s). Como a carga tende ao infinito, na prática
R
admite-se que a carga está completa após 5.
Armazenamento no Indutor
1,000
0,900
0,800
0,700
iL(mA)
0,600
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
0,000






t(ms)
Obs.: A corrente não pode mudar instantaneamente em um circuito
indutivo.
Por outro lado a tensão no indutor salta bruscamente para E voltes
quando a chave é fechada e cai exponencialmente obedecendo a fórmula:
v L  Ee t / 
Sendo assim, após 5vL = 0. E o indutor pode ser substituído por um
curto circuito.
E

Sendo vL = iR.R = iL.R => vR =  1  e t / .R  v R  E.1  e t / 
R

Ou seja, vR tem a mesma forma de IL.
Exemplo: Encontre as expressões matemáticas para iL e vL em função do
tempo no circuito da figura abaixo, depois que a chave é fechada. Esboce as
curvas correspondentes.
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Solução:
L
4H

 2ms
=
R1 2k
E 50V
IL 

 25mA
R1 2k
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
I L  25.103 . 1  e t / 2.10
VL  50.e
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3

 t / 2.103
9
7. Descarga em Circuito RL.
Um indutor isolado não pode reter a energia armazenada, pois um
circuito aberto faz com que a corrente caia a zero, perdendo toda sua
energia. Se a chave do circuito abaixo fosse aberta bruscamente
provavelmente ocorreria uma centelha entre os contatos devido ao
curtíssimo tempo de queda da corrente de E/R para zero. “A variação de
corrente di/dt na equação vL = L(di/dt) induziria uma alta tensão no indutor
que provocaria uma descarga elétrica entre os contatos da chave”.
Para analisarmos a fase de descarga em um indutor utilizaremos o
circuito abaixo:
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Quando a chave é fechada, a tensão no resistor R2 é E voltes e o ramo
RL tem um comportamento idêntico ao descrito anteriormente, com as
mesmas formas de onda e os mesmos valores de tensão e corrente. Um
circuito equivalente de Thévenin de E em paralelo com R2 se reduziria
apenas à fonte, pois R2 seria curto-circuitada ao substituirmos a fonte de
tensão E por um curto-circuito para determinar a resistência de Thévenin.
Depois que a fase de carga termina, o circuito atinge o estado
estacionário, a chave pode ser aberta sem que ocorra centelhamento ou
descarga instantânea porque o resistor R2 oferece um caminho para a
corrente iL. A tensão vL no indutor muda de polaridade e assume o valor:
v L  v R1  v R2
A tensão induzida pode variar instantaneamente, mas não a corrente. O
resultado é que a corrente iL mantém os mesmos valor e sentido. Assim,
logo após a abertura da chave, iL ainda é dada por IM = E/R1 e
v L  v R1  v R2  i1 R1  i2 R2
 i L ( R1  R 2 ) 
R R
E
( R1  R 2 )  ( 1  2 ) E
R
R1 R1
ou seja,
R2
)E
R1
Que é necessariamente maior do que E. Assim, no momento em que a
chave é aberta, a tensão troca de polaridade, mudando instantaneamente de
E para –[1+(R2/R1)]E voltes. O sinal negativo mostra que a polaridade de
vL é oposta da considerada positiva.
Durante a liberação da energia armazenada, a tensão entre os terminais
do indutor diminui de acordo com a seguinte equação:
,
v L  Vi et /
sendo
v L  (1 
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11
Vi  (1 
R2
)E
R1
e
L
R1  R2
A queda de corrente é descrita pela equação:
, 
i L  I M e t / 
,
sendo
IM 
E
L
e , 
R1  R2
R1
A expressão matemática para a ddp entre os terminais dos resistores
pode ser determinada com o auxílio da definição de resistência:
v R1  i R1 R1  i L R1
 I M e t /  R1
,

,
E
R1e t / 
R1
logo
v R1  Ee  t / 
,
A polaridade de vR é a mesma que durante a carga, pois a corrente iL tem
o mesmo sentido. A tensão vR2 é dada por:
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12
v R2  i R2 R2  i L R2
 I M e t /  R2
,

,
E
R2 e t / 
R1
logo,
v R2 
R2 t /  ,
Ee
R1
Exemplo:
Para o circuito abaixo:
a.
b.
2ª Etapa
Encontre as expressões matemáticas para iL, vL, vR1 e vR2 em
função do tempo se a chave for aberta após terminada a carga.
Esboce as formas de onda das tensões e correntes para carga e
descarga, supondo que a descarga começa depois de transcorridas
cinco constantes de tempo. Use as polaridades definidas na figura.
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Soluções:
, 
L
4

 0,8  10 3 s  0,8ms
R1  R2 2k  3k
sendo
Vi  (1 
R2
3k
) E  (1  )(50)  125
R1
2k
e
v L  Vi e t /   125e t /( 0,810
3
)
ainda
IM 
E 50

 25mA
R 2k
e
3
iL  I M e t /   (25 10 3 )e t /(0,810
,
)
e, por fim
v R1  Ee  t /   50e  t /(0,810
,
3
)
e
vR2  
3
3
R2 t /  ,
3k
Ee
  50e t /(0,810 )  75e t /(0,810 )
R1
2k
Esboçando...
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14
8. Valores Iniciais.
A fase transitória de uma carga ou descarga de um circuito indutivo
pode começar de um valor diferente do zero, ie, um valor que depende dos
parâmetros do circuito.
Usando a expressão dada para o transitório podemos escrever uma
equação para a corrente iL que é válida em todo o intervalo:
iL  I i  ( I f  I i )(1  e t /  )
Sendo (If + Ii) a variação total durante a fase transitória. Assim finalizamos:
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15
I L  I f  ( I i  I f )e t / 
Exemplo:
Na figura abaixo, o valor da corrente inicial no indutor é 4mA no sentido
indicado.
a.
Encontre uma expressão matemática para a corrente na bobina
depois que a chave é fechada.
b.
Encontre uma expressão matemática para a tensão na bobina
durante o mesmo período.
c.
Esboce as formas de onda da corrente e da tensão, desde seus
valores inicias até os finais.
Soluções:
a.
Substituindo o indutor por um curto-circuito, podemos usar a
definição de resistência para calcular o valor final:
E
16
16
If 


 1,78mA
R1  R2 2,2k  6,8k 9k
A constante de tempo é dada por:
L
100m
100m



 11,11s
RT 2,2k  6,8k
9k
Aplicando a equação:
I L  I f  ( I i  I f )e t / 
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16
 1,78mA  (4mA  1,78mA)e t / 11,11s
b.
 1,78mA  2,22mAet / 11,11s
Como a corrente no indutor é constante (4mA) antes do
fechamento da chave, a tensão tem um valor inicial de 0V. No
instante em que a chave é fechada, a corrente na bobina não pode
variar instantaneamente; assim, a corrente nos elementos
resistivos continuará em 4mA. A tensão é máxima em t = 0s e seu
valor pode ser calculado com o auxílio da lei de Kirchhoff para
tensões:
VM  E  VR1  VR2
VM  16  4  10 3  2,2  103  4  10 3  6,8  103
VM  16  8,8  27,2  16  36  20V
Logo:
c.
2ª Etapa
vL é oposta a indicada no circuito.
As formas de onda de corrente e tensão, desde seus valores
iniciais até os finais são:
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9. Valores Instantâneos.
Em certas ocasiões é necessário determinar a tensão ou a corrente em
um instante particular que não seja um múltiplo inteiro de . Assim:
i
i
iL  I M 1  e t /   L  1  e t /   1  L  e t / 
IM
IM


i 
i 
ln 1  L   ln e t /  ln 1  L   t / 
IM 
IM 


Seguindo o desenvolvimento, temos:
 I

t   ln  M 
 I M  iL 
Da mesma forma para vL:
E
t   ln
vL
10.
Constante de tempo
complexo (= L/Rth).
em
circuito
Quando um determinado circuito possuir uma configuração mais
complexa, é preciso determinar o equivalente de Thèvenin antes de
encontrar sua constante de tempo.
Considere o exemplo a seguir:
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18
a.
Encontre a expressão matemática para iL e vL depois de fechar a
chave (iL = 0mA).
Solução:
Aplicando Thèvenin:
Req 20k
RTH 

 10k
N
2
Aplicando a regra de divisores de tensão:
( R  R3 )  E ( 4k  16k)  12V
20k  12V
ETh  2


 6V
R1  R2  R3 20k  16k  4k
40k
Assim:
E
iL  Th (1  e t / ) ;
Req
L
80 x10 3 H


 8 x10 6 s ;
3
RTh
10 x10 
E
6V
I M  Th 
 0,6 x10 3 A
RTh 10 x10 3
Portanto:
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6
iL  (0,6 x103 )  (1  e t / 8 x10 )
e
6
v L  ETh  e  t /  6  e  t / 8 x10
b.
Desenhe as formas de ondas de iL e vL.
0,6
6,0
0,5
5,0
0,4
4,0
0,3
3,0
0,2
2,0
0,1
1,0
0,0
0,0
0
11.
8
16
24
32
40
0
8
16
24
32
40
Indutores em Série e em Paralelo.
De modo semelhante aos resistores e aos capacitores, os indutores
podem ser ligados em série ou em paralelo.
No caso de ligação em série eles são calculados assim:
Ls  L1  L2  L3    LN
E seu circuito:
L1
L2
L3
Ln
Ls
e na ligação paralela:
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20
1
1
1
1
1
 


L p L1 L2 L3
LN
Lp
L1
L2
L3
Ln
De modo que podemos inferir todas as fórmulas derivadas das
associações atribuídas aos resistores.
Exemplo: Reduza o circuito da figura abaixo à forma mais
simples.
L1 =0,56H
L4 =1,8H
L2 =1,2H
L3
=1,2H
R = 1,2k
Solução: Os indutores L2 e L3 possuem valores idênticos e estão
em paralelos; assim a indutância equivalente é dada por
L´p 
2ª Etapa
L 1,2 H

 0,6 H
N
2
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21
O indutor de 0,6H resultante está em paralelo com o de 1,8H e,
portanto temos:
L 
´´
p
( L´p )( L4 )
L  L4
´
p

(0,6H )(1,8H )
 0,45H
0,6H  1,8H
O indutor L1 está em série com o indutor equivalente a L2, L3 e L4
e, portanto
LEq  L1  L´´p  0,56H  0,45H  1,01H
O circuito equivalente aparece na figura abaixo:
L2 =1,01H
R = 1,2k
12.
Circuitos R - L e R - L - C no estado
estacionário.
Para todos os efeitos práticos o indutor pode ser substituído por
um curto-circuito em corrente contínua e o capacitor por um circuito aberto
após um intervalo de 5. Assim sendo, nos exemplos a seguir iremos supor
que as tensões nos capacitores e as correntes nos indutores tenham atingido
seus valores finais. Nessas condições, os indutores podem ser substituídos
por curtos-circuitos, e os capacitores, por circuitos abertos.
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22
Encontre a corrente IL e a tensão VC para o circuito da figura
abaixo.
R1
+VCC
2
E
IL
10V
L1
R3
R2
4
3
Solução:
IL 
VC 
E
10V

 2A
R1  R2
5
310V   6V
R2 E

R1  R2
3  2
Encontre as correntes I1 e I2 e as tensões V1 e V2 para o circuito
da figura abaixo.
R1
2
E
50V
I1
R3
L1
1
R2
5
I2
L2
R4
4
R5
+
V1
-
C1
+
V2
-
7
C2
Solução:
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I1  I 2
I1 
E
50V
50V


 5A
R1  R3  R5 2  1  7 10
V2  I 2 R5  5 A7 A  35V
Aplicando a regra de divisores de tensão:
V1 
13.
R3  R5 E
R1  R3  R5

1  7 50V   8 50V   40V
2  1  7
10
Energia Armazenada por um Indutor.
O indutor ideal não dissipa a energia elétrica que recebe. Antes,
ela é armazenada em um campo magnético. Essa energia é determinada pela
fórmula:
1
Warmazenada  LI M2
2
Exemplo:
Encontre a energia armazenada pelo indutor no circuito abaixo
quando a corrente no circuito atinge o valor final.
Solução:
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IM 
Warmazenada 
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E
15V
15V


 3A
R1  R2 3  2 5
1 2 1
54
2
LI m  6 X 10 3 H 3 A 
X 10 3 J  27mJ
2
2
2
Prof. Márcio Oscar Schmidt
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