Funç˜oes. Livro de Gonçalves, páginas 3

Funções.
Livro de Gonçalves, páginas 3-7.
Sejam X e Y dois conjuntos. Uma “função” entre X e Y é uma lei que
associa a todo elemento x ∈ X um único elemento f (x) ∈ Y - escrevamos
x 7→ f (x). O elemento f (x) é chamado de “imagem” do elemento x. O
conjunto X é chamado de “domı́nio” da função f e o conjunto Y é chamado
de “contradomı́nio” (ou “codomı́nio”) da função f . A “imagem” de f
é o conjunto Im(f ) = f (X) = {f (x) : x ∈ X}.
Por exemplo f : {1, 2} → {a, b}, f (1) = a e f (2) = b define uma
função. A imagem de f é {a, b}, é igual ao contradomı́nio. As outras funções
possı́veis entre {1, 2} e {a, b} são dadas pelas regras
• 1 7→ b, 2 7→ a: a imagem é {a, b};
• 1 7→ a, 2 7→ a: a imagem é {a};
• 1 7→ b, 2 7→ b: a imagem é {b}.
Observe que nos últimos dois casos os elementos 1 e 2 têm a mesma imagem
(a no primeiro caso, b no segundo). Em particular existem exatamente
quatro funções possı́veis {1, 2} → {a, b}. Observe que nas últimas duas a
imagem da função é diferente do contradomı́nio.
Se f : X → Y é uma função e A ⊆ X, B ⊆ Y , definamos
(1) a imagem direta (imagem) de A é
f (A) = {f (a) : a ∈ A};
(2) a imagem inversa (preimagem) de B é
f −1 (B) = {a ∈ A : f (a) ∈ B}.
Observe que a imagem direta de um conjunto não vazio é um conjunto
não vazio (pois se a ∈ A então com certeza f (a) ∈ f (A)) mas a imagem
inversa de um conjunto não vazio pode ser vazia (por exemplo f : R → R
definida por f (x) = x2 satisfaz f −1 ({−1}) = ∅). Por outro lado f (∅) = ∅ e
f −1 (∅) = ∅ para toda função f .
Digamos que a função f : X → Y é
(1) injetiva se f (a) = f (b) implica que a = b, para todo a, b ∈ X.
Em outras palavras elementos distintos têm imagens distintas: se
a, b ∈ X são tais que a 6= b então f (a) 6= f (b).
(2) sobrejetiva se para todo y ∈ Y existe x ∈ X tal que f (x) = y. Em
outras palavras as imagens inversas dos elementos são não vazias.
Em outras palavras a imagem de f é igual ao seu contradomı́nio.
(3) bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. Observe que se X e Y são
conjuntos finitos e f : X → Y é uma função bijetiva então X e Y
têm o mesmo número de elementos (a mesma “cardinalidade”).
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Exemplos.
(1) Seja f : R → R definida por f (x) = x2 . Se trata de uma função não
injetiva (pois f (−1) = 1 = f (1)) e não sobrejetiva (pois não existe
x ∈ R tal que f (x) = −1), e Im(f ) = f (R) = [0, +∞) = {y ∈ R :
y ≥ 0}. Indicamos com [a, b] o intervalo fechado {x ∈ R : a ≤ x ≤
b}. Temos f ([0, 1]) = [0, 1], f ([−1, 1]) = [0, 1], f ([−1, 0]) = [0, 1],
f ([1, 2]) = [1, 4], f −1 ([0, 1]) = [−1, 1], f −1 ([1, 4]) = [−2, −1] ∪ [1, 2],
f −1 ({1}) = {−1, 1}, f −1 ([−2, −1]) = ∅.
(2) f : R → [0, +∞) definida por f (x) = x2 é sobrejetiva. De fato se
√
√
y ∈ [0, +∞) então y ∈ R e f ( y) = y.
(3) f : [0, +∞) → [0, +∞) definida por f (x) = x2 é bijetiva. É injetiva
pois se a2 = b2 com a, b ≥ 0 então a = b. É sobrejetiva pois se
√
√
y ∈ [0, +∞) então y ∈ [0, +∞) e f ( y) = y.
(4) Seja f : R → R definida por f (x) = 3 para todo x ∈ R. Se trata
de uma função não injetiva (pois f (0) = 3 = f (1)), não sobrejetiva
(pois por exemplo 0 ∈ R pertence ao contradomı́nio mas não existe
x ∈ R tal que f (x) = 0), a imagem de f é Im(f ) = f (R) = {3} e
se A é um qualquer subconjunto não vazio de R então f (A) = {3}.
(5) Lembre-se que Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}. Seja f : Z → Z definida por f (x) = x + 1. Se trata de uma função bijetiva: é injetiva
pois se f (a) = f (b) então a + 1 = b + 1 logo a = b; é sobrejetiva
pois se y ∈ Z então y − 1 ∈ Z (!) e f (y − 1) = (y − 1) + 1 = y.
(6) Lembre-se que N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Seja f : N → N definida por
f (n) = n + 1. Se trata de uma função injetiva (pois se f (a) = f (b)
então a + 1 = b + 1 logo a = b) e não sobrejetiva (pois não existe
n ∈ N tal que f (n) = 0, um tal n seria −1 mas −1 6∈ N).
(7) Seja f : R → R definida por f (x) = 2x. Se trata de uma função
bijetiva: é injetiva pois se f (a) = f (b) então 2a = 2b e dividindo
por 2 obtemos a = b, e é sobrejetiva pois se y ∈ R então y/2 ∈ R
(!) e f (y/2) = 2(y/2) = y.
(8) Seja f : Z → Z definida por f (x) = 2x. Se trata de uma função
injetiva pois se f (a) = f (b) então 2a = 2b e dividindo por 2 obtemos
a = b, e não sobrejetiva pois não existe x ∈ Z tal que f (x) = 1: um
tal x teria que ser igual a 1/2 mas 1/2 6∈ Z.
(9) Não existe nenhuma função bijetiva {1, 2} → {1, 2, 3}. De fato
dada uma qualquer função injetiva {1, 2} → {1, 2, 3} as imagens de
1 e 2 serão exatamente dois elementos de {1, 2, 3} logo pelo menos
um elemento do contradomı́nio fica sem preimagem. Na verdade,
como já comentado, para que exista uma função bijetiva X → Y
os dois conjuntos X e Y devem ter o mesmo número de elementos
(a mesma “cardinalidade”).
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Proposição. Seja f : X → Y uma função. Então f é injetiva se e
somente se para todo subconjunto A, B de X temos f (A∩B) = f (A)∩f (B).
Demonstração. Suponha f injetiva. Sejam A, B ⊆ X. Queremos
mostrar que f (A∩B) = f (A)∩f (B). A inclusão ⊆ é obvia, pois se x ∈ A∩B
então x ∈ A e x ∈ B logo f (x) ∈ f (A) e f (x) ∈ f (B) assim f (x) ∈
f (A) ∩ f (B). Mostraremos agora ⊇. Seja y ∈ f (A) ∩ f (B), assim existem
a ∈ A e b ∈ B tais que f (a) = y e f (b) = y, logo f (a) = y = f (b) implica
f (a) = f (b) e como f é injetiva (por hipótese) deduzimos a = b. Logo,
a ∈ B assim a ∈ A ∩ B e y = f (a) implica y ∈ f (A ∩ B).
Suponha que f (A∩B) = f (A)∩f (B) para todo A, B ⊆ X. Mostraremos
agora que f é injetiva. Sejam a, b ∈ X com a 6= b: mostraremos que
f (a) 6= f (b). De fato sejam A = {a}, B = {b}. Temos A ∩ B = ∅.
Por hipótese f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) (de fato por hipótese isso vale para
todo A, B, em particular vale para A = {a} e B = {b}), por outro lado
f (A ∩ B) = f (∅) = ∅ logo f (A) ∩ f (B) = ∅, o que implica que f (a) 6= f (b)
(se fosse f (a) = f (b) então seria f (A) = f (B) logo f (A)∩f (B) = f (A) 6= ∅).
Uma outra maneira de mostrar a segunda implicação era a seguinte:
mostraremos que se f (a) = f (b) então a = b. Por contradição, suponha
a 6= b. Definindo A = {a} e B = {b} temos f (A) = {f (a)} = {f (b)} = f (B)
logo f (A) ∩ f (B) = f (A) 6= ∅, por outro lado f (A ∩ B) = f (∅) = ∅ contradiz
o fato que f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) (verdadeiro por hipótese).
Exercı́cios.
(1) Conte as funções {1, 2} → {1, 2, 3}.
(2) Conte as funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas de domı́nio {1, 2, 3}
e contradomı́nio {1, 2, 3, 4}.
(3) Suponha que X tenha exatamente n elementos e Y tenha exatamente m elementos. Conte as funções X → Y , mostre que existe
uma função injetiva X → Y se e somente se n ≤ m, e que existe
uma função sobrejetiva X → Y se e somente se n ≥ m.
(4) Mostre que se f : X → Y é uma função e A, B ⊆ Y então
f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B),
(5)
(6)
(7)
(8)
f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B).
Faça um exemplo de função f : X → Y tal que existem A, B ⊆ X
tais que f (A − B) 6= f (A) − f (B).
Mostre que f : X → Y é injetiva se e somente se para todo A, B ⊆
X temos f (A − B) = f (A) − f (B).
Mostre que se f : X → Y é bijetiva então existe uma função g :
Y → X com a propriedade que g(f (x)) = x para todo x ∈ X e
f (g(y)) = y para todo y ∈ Y (a mesma função g satisfaz as duas
propriedades).
Veja o livro de Gonçalves, páginas 6 e 7.