Universidade Estadual de Campinas Números de Liouville

Universidade Estadual de Campinas
Monografia 2 - MM 445
Números de Liouville
Alunos:
Paula D. Moreira RA-103730
Professor:
Dr. Fernando Torres
1 Introdução
Nesta monograa daremos uma breve explicação sobre números transcedentais tais como
π e e. Além disso, daremos exemplo de um número que é real e transcedental, feito por
J. Liouville; além de mostrar a existência de tais números. Assumiremos que o leitor
possui conhecimento do assunto de análise na reta.
2 Pré-requisitos
Denição 1(Número algébrico) Seja p(x) =
ai xi polinômio, com a0i s ∈ Z.
algébrico. Assim, um número α é algébrico se
Pn
i=0
Qualquer solução para p(x) é dito número
satisfaz p(α) = 0. Um número que não é algébrico é dito transcedente.
Denição 2(número aproximável) Um número α real é dito paproximável na
ordem n por racionais se existem uma constante c > 0 e uma sequência { qjj } de racionais
diferentes, com qj > 0 e mdc(pj , qj ) = 1 tais que
|α −
pj
c
|< n
qj
qj
(1)
Observe que se um número for aproximável de orden n então é aproximável de ordem
k , com k < n. De (1) segue que a sequência {qj } não é limitada e portanto obtemos
p
limj→∞ ( qjj ) = α.
Denição 3(Númerop de Liouville) Um número real α é dito número de Liouville
se existir uma sequência { qjj }, qj > 0, mdc(pj , qj ) = 1, com todos os elementos diferentes,
e tal que
|α −
pj
|
qj
<
1
qjj
.
3 O conjunto dos números algébricos
Teorema 1 O conjuntos dos números algébricos é enumerável.
Prova
Pn
n
i
0
Dado p(x) =
i=0 ai x com ai s ∈ Z, denimos o núemro natural |P | =
i=0 |ai | + n. Pelo teorema fundamental da álgebra, p(x) = 0 e possui exatamente
n raízes complexas; onde pode ser que se tenha alguma real ou não. Observe que o número de polinômios como p(x) é nito. Assim, as raízes de todos os polinômios de todas
as aturas formam um conjunto enumerável, pois ele é a união enumerável de conjuntos
P
1
nitos.
Teorema 2 Existem números transcedentes.
Prova Pelo T eorema1 o conjunto dos números algébricos reais é enumrável,
mas R
é não-enumerável. Logo, o conjunto dos números transcedentes reais deve ser nãoenumerável. De fato, se fosse enumerável, teríamos que R seria união de dois conjuntos
enumeráveis, absurdo.
Teorema 3 Todo número racional é aproximável de ordem 1 e não aproximável de
ordem k > 1.
Prova Seja
tais que
p
q
∈ Q, q > 0 e mdc(p, q) = 1. Pelo teorema de Bezout, existem x0 , y0 ∈ Z
(2)
px0 − qy0 = 1
Então, px − qy = 1 tem innitas soluções:
xt = x0 + qt; yt = y0 + pt, ∀t ∈ Z
Logo,
(3)
xt p − y t q = 1
Fixando k ∈ N tal que k >
−x0
q
e considere as sequências {xj },{yj } denidas por:
xj = x0 + q(k + j)
yj = y0 + p(k + j), j ∈ N
Logo, xj > qj ⇒ xj > 0, já que q > 0 Armamos que: xyjj 6=
igualdade, temos i = j ). Assim, por (3); x0j s e yj0 s satisfazem
| pq −
yj
|
xj
=
Agora, para qualquer racional
1
qxj
v
u
<
2
xj
⇒
yi
xi
, i 6= j (se existir
aproximável de ordem 1
p
q
6= pq ,u > 0, temos:
p v
|pu − qv|
1
| − |=
≥
q u
qu
qu
(4)
Se pq fosse aproximável de ordem 2, então existiria c > 0 e uma sequência de racionais uvii
tais que
p vi
c
| − |< 2
(5)
q
ui
2
ui
Logo, de (4) e (5) segue que qu1 i < uc2 ⇒ ui < qc, absurdo, pois {ui } diverge. Portanto,
i
p
não
é
aproximável
de
ordem
2
e
nem
de outra ordem superior.
q
Proposição 1
Seja α um número algébrico real de ordem n. Então existe uma
constante A > 0 tal que
1
p
|α − | >
(6)
n
q
Aq
para todo racional p/q .
Teorema 4 Todo número de Liouville é transcedente.
Prova Suponha por absurdo que exista um número de Liouville α que seja algébri-
co, digamos de ordem n. Assim, pela proposição 1, a relação (6) seria válida para todo
racional. Em particular, para os pqjj . Dai, teriamos:
1
Aqjn
pj
|
qj
< |α −
donde, obtemos:
1
qjj
<
(7)
qjj−n < A
Como qj → +∞, segue que (7) não verica para j sucientemente grande, absurdo.
Exemplo:
Seja
P∞
1
k=1 10k!
. consideramos a sequência de racionais denida por
vj
uj
=
Pj
1
k=1 10k!
Temos então:
|α −
vj
|
uj
=
P∞
1
k=j+1 10k!
=
1
(1
10(j+1)!
+
1
10(j+2)!−(j+1)!
+ ...)
a expressão entre parenteses é majorada por
1+
1
10
+
1
102
+ ... =
10
9
Logo, temos:
|α −
vj
|
uj
<
1
(10j! )j
e como uj = 10j! , segue que α é um número de Liouville.
Obs.: Números da forma
α=
P∞
ak
k=1 10k!
onde ak pe qualquer algarismo entre 1 e 9 é um número de Liouville.
3
4 Bibliograa
[1] Figueiredo, Djairo G. de, Números
1985.
Irracionais e Transcedentes,
4
Rio de Janeiro, SBM,