Apostila de Geometria Analítica

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GEOMETRIA ANALÍTICA
PROF. ENZO MARCON TAKARA
EDIÇÃO 2017
1
1- PLANO CARTESIANO ORTOGONAL
Considere num plano a dois eixos x e y perpendiculares em O. O par de eixos x (Ox), eixo das abscissas, e y (Oy),
eixo das ordenadas, chama-se sistema cartesiano ortogonal, onde o plano α é o plano cartesiano e o ponto O é a
origem do sistema.
IMPORTANTE
Localizações notáveis do plano cartesiano ortogonal
1) Origem (0,0)
2) Um ponto do eixo x ( a,0)
3) Um ponto do eixo y ( 0,a)
4) Um ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares ( a , a) ou ( -a , -a)
5) Um ponto da bissetriz dos quadrantes pares ( -a , a ) ou ( a , -a)
EXERCÍCIO BÁSICO
1) Determine m para que o ponto P(2m - 8, m)
pertence ao eixo dos y .
2) Determine r para que o ponto P(r - 12 , 4r - 6)
pertença à primeira dos quadrantes ímpares
3) Determine k para que o ponto P(k, -2) pertença a
equação x + 2y - 10 = 0
04-(Unifesp) Um ponto do plano cartesiano é
representado pelas coordenadas (x + 3y, - x - y)
e também por (4 + y, 2x + y), em relação a um
mesmo sistema de coordenadas. Nestas
y
condições, x é igual a
a) -8. b) -6. c) 1. d) 8. e) 9.
GABARITO
1) m=4 2) r=-2 3) k=14 4)A
2
2-DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Quando conhecemos as coordenadas de dois pontos A e B do plano, sabemos localizar esses pontos num sistema
cartesiano ortogonal e, assim, podemos calcular a distância entre A e B por meio do Teorema de Pitágoras.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
01-(CESGRANRIO) A distância entre os pontos
M(4,-5) e N(-1,7) do plano x0y vale:
a) 14. b) 13. c) 12. d) 9. e) 8.
04-(UEL) Seja AC uma diagonal do quadrado
ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD,
em unidades de área, é
a) 4
b) 4 2
c) 8
d)8 2 e) 16
02-Calcular a distância entre o ponto P (-6,8) à
origem.
03-(UFRG) Sendo os pontos A (- 1, 5) e B(2, 1)
vértices consecutivos de um quadrado, o
comprimento da diagonal desse quadrado é
a) 2.b)
05-(PUC) O ponto B = (3, b) é equidistante dos
pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo o ponto B é:
a) (3, 1)
b) (3, 6)
c) (3, 3).
d) (3, 2)
e) (3, 0)
2 2 . c) 3 2 . d) 5. e) 5 2
GABARITO
1) B 2)10 3) E
4)A 5)C
3
3- PONTO MÉDIO
Sejam os pontos A, B, e um ponto M, que divide AB ao meio, podemos dizer que as coordenadas X M e YM do ponto
médio M são obtidos por meio da média aritmética das abscissas e ordenadas, respectivamente, dos pontos dos quais
M é ponto médio.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1) Dados os vértices consecutivos , A(-2,1) e B(4,4),
de um paralelogramo, e o ponto E (3,-1), intersecção
de suas diagonais, determinar os outros dois
vértices.
2-(IBMEC) Considere o triângulo ABC, onde
A (2, 3), B (10, 9) e C (10, 3) representam as
coordenadas dos seus vértices no plano cartesiano.
Se M é o ponto médio do lado AB, então, a medida
de MC vale:
a) 2
3
b) 3 c) 5
d) 3
2
e) 6
3-(PUCMG) Os catetos AC e AB de um triângulo
retângulo estão sobre os eixos de um sistema
cartesiano. Se M = (-1, 3) for o ponto médio da
hipotenusa BC , é correto afirmar que a soma das
coordenadas dos vértices desse triângulo é igual a:
a) - 4 b) - 1 c) 1 d) 4
4-(PUCCAMP) Sabe-se que os pontos
A = (0; 0), B = (1; 4) e C = (3; 6) são vértices
consecutivos do paralelogramo ABCD. Nessas
condições, o comprimento da BD é
a) 2 b) 3 c) 2 2 d) 5 e) 5
GABARITO
1) C (8,-3) e D (2,-6) 2)C 3) D 4)D
4
4-BARICENTRO
Sabemos da Geometria plana , que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3
medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M é o ponto médio do lado oposto
ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo).
Nestas condições , as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do triângulo ABC onde
A(xa , ya) , B(xb , yb) e C(xc , yc) é dado por :
Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, são iguais às médias
aritméticas das coordenadas dos pontos A , B e C.
Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo ABC
onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das fórmulas.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1- (Fei) Dado um triângulo de vértices (1,1); (3,1);
(-1,3) o baricentro (ponto de encontro das
medianas) é:
a) (1, 3/2)
b) (3/2, 1)
c) (3/2, 3/2)
d) (1, 5/3)
e) (0, 3/2)
2-Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo
XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do
segmento BZ?
GABARITO
1) C( -3,6) 2)
65
5
5-ÁREA DE TRIÂNGULO / ALINHAMENTO DE 3 PONTOS
5.1 - Área de um triângulo
Seja o triângulo ABC de vértices A(xa , ya) , B(xb , xc) e C(xc , yc) . A área S desse triângulo é dada por
S=
1
D onde  D é o módulo do determinante formado pelas coordenadas dos vértices A , B e C .
2
Temos portanto:
A área S é normalmente expressa em u.a. (unidades de área)
Para o cálculo do determinante de terceira ordem, utilizamos a conhecida e prática regra de Sarrus.
5.2 - Condição de alinhamento de três pontos
Três pontos estão alinhados se são colineares , isto é , se pertencem a uma mesma reta .
É óbvio que se os pontos A , B e C estão alinhados , então o triângulo ABC não existe , e podemos pois
considerar que sua área é nula ( S = 0 ) .
Fazendo S = 0 na fórmula de área do item 1.1 , concluímos que a condição de alinhamento dos 3 pontos é
que o determinante D seja nulo , ou seja : D = 0 .
Exercício resolvido:
Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) são colineares , então o valor de y é :
a) 4
b) 3
c) 3,5 d) 4,5 e) 2
Solução:
Para que estes pontos estejam alinhados (pontos colineares), deveremos ter:
6
Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, obtemos:
- 32 - 3y + 15 + 24 - 3y + 20 = 0  y = 9/2 = 4,5.
Portanto a alternativa correta é a letra D.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1-Para que valores de a os pontos A (0,a) ,
B (a, -4) e C (1 , 2) são vértices de um triângulo ?
2-Dados A(3,1) e B (5,5), obter o ponto em que a
reta AB intercepta o eixo das ordenadas.
3-Dados A ( 2,-3) e B ( 8,1), obter o ponto em que a
reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes
ímpares.
4-Dados A (7,4) e B( -4,2) , obter o ponto em que a
reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes pares.
05-(UERJ) A área do triângulo, cujos vértices são
(1, 2), (3, 4) e (4, -1), é igual a:
a) 6.
b) 8
c) 9.
d) 10. e) 12
06-(PUC) O valor de x para que os pontos (1,3),
(-2,4), e (x,0) do plano sejam colineares é:
a) 8.
b) 9
c) 11 d) 10 e) 5
GABARITO
1) a≠-1 e a ≠ 4 2) (0,-5) 3) ( -13,-13) 4) (-30/13 ,
30/13) 5)A 6)D
7
6- INCLINAÇÃO E COEFICIENTE ANGULAR DE
UMA RETA
6.1- COEFICENTE ANGULAR DA RETA CONHECENDO O ÂNGULO DE INCLINAÇÃO
Sabemos que em uma reta existem infinitos pontos, com apenas dois desses pontos podemos representar
essa mesma reta no plano cartesiano, pois dois pontos distintos sempre serão colineares (pertencerão ou
formarão uma reta).
Com o estudo da geometria analítica aprendemos que não é necessário ter dois pontos distintos para
formar uma reta, podemos construir uma reta no plano cartesiano conhecendo apenas um de seus
infinitos pontos e sabendo o valor do ângulo formado com a reta e o eixo Ox.
Essa outra forma de representarmos uma reta será feita levando em consideração a inclinação da reta e o
seu coeficiente angular. Considere uma reta s que intercepta o eixo Ox no ponto M.
A reta s está formando com o eixo Ox um ângulo β. A medida desse ângulo é feita em sentido anti-horário
a partir de um ponto pertencente ao eixo Ox. Assim, podemos dizer que a reta s tem inclinação β e o seu
coeficiente angular (m) igual a: m = tg β.
A inclinação da reta irá variar entre 0° ≤ β <180°. Veja os exemplos de algumas possibilidades de variação
da inclinação da reta e seus respectivos coeficientes angulares:
Exemplo 1:
Nesse exemplo o valor da inclinação é menor que 90º.
Inclinação igual a 45° e coeficiente angular igual a: m = tg 45° = 1.
Exemplo 2:
Nesse exemplo o valor da inclinação da reta é maior que 90° e menor que 180°.
Inclinação igual a 125° e coeficiente angular da reta igual a: m = tg 125° = -2.
Exemplo 3:
8
Quando a reta for paralela ao eixo Oy, ou seja, tiver uma inclinação igual a 90° o seu coeficiente angular
não irá existir, pois não é possível calcular a tg 90°.
Exemplo 4:
Nesse exemplo a reta s é paralela ao eixo Ox, ou seja, seu ângulo de inclinação é igual a 0°, portanto, o
seu coeficiente angular será igual a: m = tg 0º = 0.
6.2-COEFICIENTE ANGULAR CONHECENDO AS COORDENADAS DE DOIS PONTOS
O coeficiente angular de uma reta ( m) é a tangente do ângulo de inclinação m = tgα
Porém em muitos casos não vamos conhecer o ângulo de inclinação, mas sim as coorcenadas de dois
pontos, A ( xa ; y a ) e B ( xb ; yb )
Prolongando-se a reta que passa por A e é paralela ao eixo x, formaremos um triângulo retângulo no ponto C.
m  tg 
cateto oposto
y  yB yB  y A
 A

cateto adjacente x A  xB
xB  x A
9
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1) Determine o coeficiente angular e a inclinação
da reta que passa pelos pontos A ( 3,6) e B (4,5).
4. (Ufjf-pism 3 2016) Considere os pontos
A  (2, 0), B  (1, 3) e C  (1,  3) em um
plano cartesiano.
a) Determine o ângulo ABC.
b) Calcule a área do triângulo ABC.
5. (Espm 2015) O gráfico abaixo é formado por 3
segmentos de retas consecutivos.
2- (Ufrs 2007) Considere os coeficientes angulares
das retas r, s e t que contêm os lados do triângulo
representado a seguir.
Sabe-se que:
A sequência das retas r, s e t que corresponde à
ordenação crescente dos coeficientes angulares é
a) r, s, t.
b) r, t, s.
c) s, r, t.
d) s, t, r.
e) t, s, r.
3- (Ufscar 2004) Considere a relação gráfica:
Podemos afirmar que
a) o coeficiente linear de I é negativo.
b) o coeficiente linear de II é positivo.
c) ambos os gráficos possuem coeficiente linear
zero.
d) o coeficiente angular do gráfico II é maior que o
do gráfico I.
e) o coeficiente angular do gráfico I é maior que o
do gráfico II.
I. A reta que contém o segmento AB tem coeficiente linear igual a 4
II. O coeficiente angular do segmento BC vale
metade do coeficiente angular do segmento AB
2
III. A ordenada do ponto D é
da ordenada do
3
ponto C
IV. O coeficiente angular do segmento CD é igual
a 1
Podemos concluir que a abscissa do ponto D vale:
a) 17 b) 19 c) 15 d) 18 e) 16
GABARITO
1) m=-1 e α=135  2)C 3)D 4) a) ABC  60.
b) 3 3 5)A
10
7- EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA RETA
CONCEITO: É A CONDIÇÃO NECESSÁRIA PARA
QUE UM PONTO P(x;y) PERTENÇA A UMA RETA
DE INCLINAÇÃO α E QUE PASSA PELO PONTO A
( x0 ; y0 )
3-(Fei ) A equação da reta que intercepta o eixo Ox
no ponto x = 3 e o eixo Oy no ponto y = -1 é:
a) x - 3y - 1 = 0
b) x - 3y - 3 = 0
c) x - 3y + 3 = 0
d) 3x - y - 1 = 0
e) 3x + y + 1 = 0
A equação fundamenta da reta é:
m
y  y0
 y  y 0  m( x  x0 )
x  x0
4-(Puccamp ) Na figura a seguir têm-se as retas r e s,
concorrentes no ponto (1;3).
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1-(Unitau) A equação da reta que passa pelos pontos
(3, 3) e (6, 6) é:
a) y = x.
b) y = 3x.
c) y = 6x.
d) 2y = x.
e) 6y = x.
Se os ângulos assinalados têm as medidas indicadas,
então a equação da reta
a) r é
3 x + 3y - 6 = 0
2- (Ufpe) A equação cartesiana da reta que passa
c) r é - 3 x + 3y + 6 = 0
pelo ponto (1, 1) e faz com o semieixo positivo ox um
ângulo de 60° é:
e) r é - 3 x + 3y + 9 = 0
a)
2x-y=
2-1
b)
3x+y=1- 3
c)
3x-y=
3-1
d)
3
3
x+y=12
2
e)
3
3
x-y=
-1
2
3
b) s é x + y + 4 = 0
d) s é x + y - 4 = 0
11
7-(Ufrs ) Considere a figura a seguir.
5-(Unirio )
Uma equação cartesiana da reta r é
3
-x
3
c) y = 1 - 3 x
a) y =
A equação geral da reta anterior representada é:
a) 3x -
3y+6=0
3x-y-2=0
3
e) y =
(x+2)
3
c)
b) 3x +
d) y =
3y+6=0
e) y =
3
(1-x)
3
d) y = 3 (1-x)
b) y =
3 (x-1)
3x+2 3
8-(Fatec) No plano cartesiano, considere o triângulo
determinado pelo ponto A e pelos pontos de
abscissas -3 e 7, representado a seguir.
6-(Puc) A reta x + y = 1 no plano xy passa pelos
pontos
a) (5, -4) e (1/2, 1/2).
b) (0, 0) e (1/2, 1/2).
c) (0, 0) e (1, 1).
d) (1, 0) e (1, 1).
e) (5, -4) e (4, -5).
A área desse triângulo é
a) 40 b) 35 c) 30 d) 25 e) 20
12
9-(Ufmg ) Sejam A e B dois pontos da reta de
equação y = 2x + 2, que distam duas unidades da
origem. Nesse caso, a soma das abscissas de A e B
é
a) 5/8. b) -8/5 c) -5/8. d) 8/5.
10- (Puc ) Para que a reta
(k - 3)x - (4 - k2)y + k2 - 7k + 6 = 0 passe pela origem
dos eixos coordenados, o valor da constante k deve
ser:
a) ± 2 b) ± 3 c) 1 e 6 d) -1 e -6 e) 2 e 3
12-(UFPR) Na figura abaixo estão representados, em um
sistema cartesiano de coordenadas, um quadrado cinza de área 4
unidades, um quadrado hachurado de área 9 unidades e a reta r
que passa por um vértice de cada quadrado. Nessas condições, a
equação da reta r é:
11-(Ufpr ) Considere, no plano cartesiano, o triângulo
de vértices A = (0, 0), B = (3, 1) e
C = (1, 2) e avalie as afirmativas a seguir.
I. O triângulo ABC é isósceles.
II. O ponto D = (2, 1/2) pertence ao segmento AB.
III. A equação da reta que passa pelos pontos B e C é
2x + y = 5.
a) x  2y  4 b) 4x  9y  0 c) 2x  3y  1
d) x  y  3
e) 2x  y  3
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa I é verdadeira.
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
GABARITO
1)A 2)C 3)B 4)D 5)A 6)A 7)B 8)E 9)B 10)C 11)A
12)A
13
8- TIPOS DE EQUAÇÃO DA RETA
8.1-Equação geral da reta
Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo:
Em que:
• a, b, e c são números reais;
• a e b não são simultaneamente nulos.
Podemos obter a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r:
Para isso, usa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P(x,y) de r.
8.2-Equação reduzida da reta
Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente angular
m = tg(α):
14
Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o coeficiente angular e q
a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação
geral ax + by + c = 0:
Onde:
8.3-Equação segmentária da reta
Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e (p, 0).
Vamos escrever a equação da reta r:
Dividindo essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta:
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
Não é possível usar a equação segmentária da reta quando a reta for paralela a um dos eixos ou passa pela
origem.
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8.4-Equação paramétrica da reta
As equações paramétricas são formas de representar as retas através de um parâmetro, ou seja, uma variável irá fazer a
ligação de duas equações que pertencem a uma mesma reta.
As equações x = t + 9 e y = 2t – 1 são as formas paramétricas de representar a reta s determinadas pelo parâmetro t. Para
representar essa reta na forma geral através dessas equações paramétricas, é preciso seguir os seguintes passos:
Escolher uma das duas equações e isolar o t. E substituir na outra.
x=t+9
x– 9 = t
y = 2t – 1
 y = 2 (x – 9) – 1  y = 2x – 18 – 1  y = 2x – 19  2x – y – 19 = 0 é a equação geral da reta s.
8.5-Reta horizontal
É toda reta do tipo y=k.
8.6-Reta vertical.
É toda reta do tipo x=k . (ESTA RETA NÃO É FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU)
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EXERCÍCIOS BÁSICOS
1-(UNESP) Seja B  (0, 0) o ponto da reta de
equação y = 2x cuja distância ao ponto A = (1, 1) é
igual a distância de A à origem. Então a abscissa de
B é igual a:
a) 5/6 b) 5/7 c) 6/7 d) 6/5 e) 7/5
3-(PUC) Considere a parábola de equação
y = -x²+ 2x + 4 e uma reta r. Se r é conduzida pelo
vértice da parábola e tem uma inclinação de 135°,
então a equação de r é
a) x + y -6 = 0
b) x - y + 2 = 0
c) x + y - 2 = 0
d) x - y - 4 = 0
e) x + y - 4 = 0
2-(UEL) São dados os pontos A = (-2, 1),
B = (0, -3) e C = (2, 5). A equação da reta suporte
da mediana do triângulo ABC, traçada pelo vértice
A, é:
a) y = 1
b) x = 1
c) x = y
d) x - y = 1
e) x + y = 1
4- (Cesgranrio ) A equação da reta mostrada na
figura a seguir é:
a) 3x + 4y - 12 = 0
c) 4x + 3y + 12 = 0
e) 4x - 3y + 12 = 0
b) 3x - 4y + 12 = 0
d) 4x - 3y - 12 = 0
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5-(Ufmg ) Observe a figura a seguir.
08- (Fgv) O ponto da reta de equação
y = (1/2)x + 3, situado no 1. quadrante e
equidistante dos eixos x e y, tem coordenadas cuja
soma é:
a) menor que 11.
b) maior que 25.
c) um múltiplo de 6.
d) um número primo.
e) um divisor de 20.
Nessa figura, está representada a reta r de equação
y = ax + 6. Se A = (-a-4, -a-4) pertence à reta r, o
valor de a é
a) - 5
b) - 2
c)
6
5
d) 2
e) 5
6- (Ufrs) Um ponto P (x,y) descreve uma trajetória
no plano cartesiano, tendo sua posição a cada
 x  2t
instante t (t ≥ 0) dada pelas equações. 
 y  3t  2
A distância percorrida pelo ponto P (x,y)
.
para 0 ≤ t ≤ 3 é
a) 2
b) 3
c) 13
d) 3 13 e) 61
7-(Ufmg ) Um triângulo isósceles ABC tem como
vértices da base os pontos A = (4, 0) e B = (0, 6). O
vértice C está sobre a reta y = x - 4. Assim sendo, a
inclinação da reta que passa pelos vértices B e C é
a) 7/17
b) 10/23
c) 9/20 d) 12/25
GABARITO
1)D 2)A 3)A 4)B 5)A 6)D 7)A 8)C
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9- POSIÇÕES RELATIVAS DE RETAS NO PLANO
Duas retas podem ser representadas em um plano cartesiano de forma paralela ou concorrente. Mas cada uma dessas
formas possui características e elementos que ajudam na identificação da forma que estão dispostas no plano, sem ser
preciso construir o gráfico.
9.1-Retas paralelas
Duas retas são paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum ou todos em comum e seus coeficientes angulares forem
iguais ou não existirem.
As retas u e t são paralelas e distintas. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão
existir.
As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E por serem perpendiculares ao eixo
Ox os seus coeficientes angulares não irão existir.
As retas u e t são paralelas e distintas. E os seus coeficientes angulares serão iguais.
PORTANTO
mu  mt e q u  q t
As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E os seus coeficientes angulares
serão iguais.
PORTANTO
mu  mt e q u  q t
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9.2-Retas concorrentes
Duas retas são concorrentes se possuírem apenas um ponto em comum. E seus coeficientes angulares poderão ser
diferentes ou um existir e o outro não.
As retas u e t são coincidentes e as inclinações das retas são diferentes de 90°. Assim, seus coeficientes angulares serão
diferentes.
As retas u e t são concorrentes e a inclinação da reta t é de 90°, sendo assim seu coeficiente angular não irá existir, mas o
coeficiente da reta u existe, pois não é perpendicular ao eixo Ox.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
01-(Ufmg ) Observe a figura.
02-(Unaerp) A equação, no plano, x - 3 = 0,
representa:
a) Um ponto do eixo das abcissas
b) Uma reta perpendicular ao eixo das
ordenadas
c) Uma reta perpendicular à reta x + y = 0
d) Uma reta concorrente à reta x + y = 0
e) Uma reta paralela à reta y - 3 = 0
Nessa figura, os pontos B, C e D são colineares,
B = (2,3) e a área do triângulo OCD é o dobro da
área do paralelogramo OABC. Então, C é o
ponto de coordenadas
 3
 5
 12 
 c) (2, 1) d) (3, 2) e) (2, 2)
 5 
a)  2,  b)  2,
03-(Cesgranrio ) As retas x + ay - 3 = 0 e
2x - y + 5 = 0 são paralelas, se a vale:
a) - 2 b) - 0,5 c) 0,5 d) 2 e) 8
20
04- (Cesgranrio) Se as retas y + (x/2) + 4 = 0 e
my + 2x + 12 = 0 são paralelas, então o
coeficiente m vale:
a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6.
05-(Ufmg ) A reta r é paralela à reta de equação
3x-y-10=0. Um dos pontos de interseção de r
com a parábola de equação y=x2-4 tem abscissa
1. A equação de r é
a) x + 3y + 8 = 0
b) 3x - y + 6 = 0
c) 3x - y - 6 = 0
d) x - 3y - 10 = 0
08- (cftmg ) As retas x + ky = 3 e 2x - y = - 5 são
paralelas; logo o valor de k é
a) - 2 b) -1/2 c) 1/2 d) 2
09- (Ufrrj ) Sabendo que as retas mx + (m - 2)y =
m e (m + 3)x + (m + 5)y = m + 1 são paralelas, o
valor de m será:
a) 1/2. b) - 1/2. c) 3/2. d) - 3/2. e) 5/2.
10- (Unemat 2010) Dada a equação de reta (s):
2x - y +1 = 0 , a equação de reta paralela a s
pelo ponto P(1,1) será:
a) 2x - y = 0
b) 2x + y +1 = 0
c) 2x + y -1 = 0
d) 2x - y -1 = 0
e) 2x - y + 2 = 0
06 (Ufmg ) A reta r passa pelo ponto (16, 11) e
NÃO intercepta a reta de equação
y = (x/2) - 5. Considerando-se os seguintes
pontos, o ÚNICO que pertence à reta r é
a) (7, 6) b) (7, 13/2) c) (7, 7) d) (7, 15/2)
07-(Fatec) Seja a reta r, de equação y=(x/2) +17.
Das equações a seguir, a que representa uma
reta paralela a r é
a) 2y = (x/2) + 10
b) 2y = - 2x + 5
c) 2y = x + 12
d) y = - 2x + 5
e) y = x + 34
GABARITO
1)B 2)D 3)B 4)C 5)C 6)B 7)C 8)B 9)D 10)D
21
10-INTERSECÇÃO ENTRE RETAS / CURVAS
Relembrado a definição de retas concorrentes: Duas retas são concorrentes se, somente se, possuírem um único
ponto em comum, ou seja, a intersecção das duas retas é o ponto em comum.
Considerando a reta t e u e as suas respectivas equações gerais das retas, a tx + bty + ct = 0 e aux + buy + cu = 0.
Representando-as em um plano cartesiano, iremos perceber que são concorrentes, pois possui o ponto A em comum.
O sistema formado com as equações gerais das retas terá como solução o par ordenado (x0, y0) que representa o
ponto de intersecção.
Exemplo: As equações gerais das duas retas r e s são respectivamente, x + 4y – 7 = 0 e 3x + y + 1 = 0. Determine o
ponto P(x0, y0) comum às retas r e s.
Sabemos que o ponto de intersecção de duas retas concorrentes é a solução do sistema formado por elas. Assim,
veja a resolução do sistema abaixo:
x + 4y – 7 = 0
3x + y + 1 = 0
x + 4y = 7
3x + y = -1
(-3)
-3x – 12y = -21
3x + y
= -1
-11y = -22
y=2
Substituindo o valor de y em qualquer uma das equações iremos obter o valor de x:
x + 4y = 7
 x + 4 . 2 = 7  x + 8 = 7  x = 7 – 8  x = -1
Portanto, o ponto P(x0, y0) = (-1,2).
22
EXERCÍCIOS BÁSICOS
01-(Ufmg ) Sejam t e s as retas de equações
2x - y - 3 = 0 e 3x - 2y + 1 = 0, respectivamente. A reta r
contém o ponto A = (5,1) e o ponto de interseção de t e s.
A equação de r é:
a) 5x - y - 24 = 0 b) 5x + y - 26 = 0
c) x + 5y - 10 = 0
d) x - 5y = 0
5- (Ufpr ) Sabe-se que a reta r passa pelos pontos A = (2, 0) e P = (0, 1) e que a reta s é paralela ao eixo das
ordenadas e passa pelo ponto Q = (4, 2). Se B é o ponto
em que a reta s intercepta o eixo das abscissas e C é o
ponto de interseção das retas r e s, então o perímetro do
triângulo ABC é:
a) 3 (3 +
5 ) b) 3 (5 +
d) 3 (3 3 )
3 ) c) 5 (3 + 5 )
e) 5 ( 5 + 3 )
02- (Puc) O ponto de intersecção entre a reta que passa
por (4,4) e (2,5) e a reta que passa por (2,7) e (4,3) é:
a) (3, 5).
b) (4, 4).
c) (3, 4).
d) (7/2, 4).
e) (10/3, 13/3).
03- (Fei) As retas representadas pelas equações
y = 2x + 1, y = x + 3 e y = b - x passam por um mesmo
ponto. O valor de b é:
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
6- (Unifesp ) Dadas as retas r: 5x - 12y = 42, s:
5x + 16y = 56 e t: 5x + 20y = m, o valor de m para que as
três retas sejam concorrentes num mesmo ponto é
a) 14. b) 28. c) 36. d) 48. e) 58.
8-(UFMG) A reta de equação y = 3x + a tem um único
ponto em comum com a parábola de equação y = x² + x +
2. O valor de a é
a) - 2
b) - 1
c) 0
d) 1
e) 2
04-(Unifesp ) Se P é o ponto de intersecção das retas de
equações x - y - 2 = 0 e (1/2) x + y = 3, a área do triângulo
de vértices A(0, 3), B(2, 0) e P é
a) 1/3. b) 5/3. c) 8/3. d) 10/3. e) 20/3.
GABARITO
1)A 2)E 3)D 4)D 5)A 6)E 7)D
23
11-CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO
Considere duas retas perpendiculares r e s .
Pelo teorema dos ângulos externos temos :
 2 =90+ 1
tg  2  




sen 900   1
sen900. cos1  sen1. cos 900 cos1
1

=
=
0
0
0
tg 1
cos 90 . cos1  sen90 .sen1  sen1
cos 90   1
PORTANTO tg 2  
Portanto m s  
1
tg1
1
, ou seja, mr .ms  1
mr
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1-(FATEC) Se A=(-1,3) e B=(1,1), então a mediatriz do
segmento AB encontra a bissetriz dos quadrantes pares no
ponto:
a) (-1,1)
b) (-3/4, 3/4)
c) (-6.6)
d) (-1/2, 1/2)
e) (-1/4, 1/4)
2-(Ufmg ) A reta r é perpendicular à reta de equação
2x + y - 1 = 0 no ponto de abscissa -1.
A equação da reta r é
a) x - 2y + 7 = 0 b) 2x + y - 7 = 0
c) -x + 2y + 7 = 0 d) 2x + y + 7 = 0
e) x + 2y - 1 = 0
24
3-(FEI) Se a reta r passa pelos pontos (3, 0) e (0, 1), a
reta s é perpendicular a r e passa pela origem, então s
contém o ponto:
a) (5, 15) b) (5, 10) c) (5, 5) d) (5, 1) e) (5, 0)
6-(Ufal) As retas de equações y + 3x - 1 = 0 e
y + 3x + 9 = 0 são
a) coincidentes.
b) paralelas entre si.
c) perpendiculares entre si.
d) concorrentes no ponto (1, -9).
e) concorrentes no ponto (3, 0).
4-(Ufmg ) O lado BC de um ângulo reto ABC está sobre a
reta de equação x - 2y + 1 = 0, e o ponto de coordenadas
(2,4) pertence à reta que contém o lado BA. A equação da
reta que contém o lado BA é:
a) 4x + 2y - 5 = 0
b) x - 2y + 6 = 0
c) x + 2y - 10 = 0
d) 2x + y - 8 = 0
7-(Fgv) No plano cartesiano, o ponto da reta (r) 3x-4y=5
mais próximo da origem tem coordenadas cuja soma vale:
a) -2/5 b) -1/5 c) 0 d) 1/5 e) 2/5
5- (Ufrn ) Sobre as retas y = -x + 3 e y = x + 3, podemos
afirmar que elas
a) se interceptam no ponto de coordenadas
(-1,2).
b) se interceptam formando um ângulo de 60°.
c) são perpendiculares aos eixos OX e OY,
respectivamente.
d) estão a uma mesma distância do ponto de coordenadas
(3, 3).
8 -(Fgv ) Considere os pontos A = (1, - 2);
B = (- 2, 4) e C = (3, 3). A altura do triângulo ABC pelo
vértice C tem equação:
a) 2y - x - 3 = 0
b) y - 2x + 3 = 0
c) 2y + x + 3 = 0
d) y + 2x + 9 = 0
e) 2y + x - 9 = 0
25
9. (Fgv ) As retas de equações y = - x - 1 e
y = [(-a + 1)/(a - 2)] x + 12 são perpendiculares.
O valor de a é:
a) 2 b) 1/2 c) 1 d) -2 e) 3/2
10. ( cftmg ) A equação da reta s perpendicular à reta
r: y = 2x + 1, traçada pelo ponto P (4, -1) é
a) y = - (1/2)x - 1
b) y = (1/2)x - 1
c) y = - (1/2)x + 1
d) y = (1/2) x + 1
12- (Ufscar ) Considere P um ponto pertencente à reta (r)
de equação 3x + 5y - 10 = 0 e equidistante dos eixos
coordenados. A equação da reta que passa por P e é
perpendicular a (r) é
a) 10x - 6y - 5 = 0. b) 6x - 10y + 5 = 0.
c) 15x - 9y - 16 = 0. d) 5x + 3y - 10 = 0.
e) 15x - 3y - 4 = 0.
13-(FEI) O ponto A', simétrico do ponto
A = (1, 1) em relação à reta r: 2x + 2y - 1 = 0 é:
a) (1, 1)
b) (1/2, -3/2)
c) (-1/2, -1/2)
d) (-1/2, -3/2)
e) (1/2, 3/2)
11-(Pucmg ) Duas retas perpendiculares se cortam no
ponto (2, 5) e são definidas pelas equações y = ax + 1 e
y = bx + c. Com base nessas informações, é correto
afirmar que o valor do coeficiente linear c é igual a:
a) - 4 b) - 2 c) 4 d) 6
GABARITO
1)A 2)A 3)A 4)D 5)D 6)B 7)B 8)A 9)E 10)C 11)D
12)A 13)C
26
12-DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Dado um ponto P=(xo,yo) e uma reta na sua forma geral ax+by+c=0, pode-se obter a distância d deste
ponto P à reta através da expressão matemática:
DISTÂNCIA É SEMPRE PERPENDICULAR
A distância da origem (0,0) à reta 5x+12y+25=0 é:
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1-(Fgv ) No plano cartesiano, existem dois
valores de m de modo que a distância do ponto
P(m,1) à reta de equação 3x + 4y + 4 = 0 seja 6;
a soma destes valores é:
a) - 16/3 b) - 17/3 c) - 18/3 d) - 19/3 e) - 20/3
2- ( ANGLO) Determine o comprimento da altura
relativa ao vértice A do triângulo ABC cujos
vértices são A(-1,4) , B (2,3) e C( 3,5)
GABARITO
1)A 2)
2
27
13-RESOLUÇÃO GEOMÉTRICA DE INEQUAÇÕES
Uma inequação do 1o grau com duas variáveis admite infinitas soluções que podem ser representadas
num sistema de eixos coordenados por uma região limitada por uma reta, conforme mostra a figura.
28
Exemplo 1
Resolver graficamente
a) x + y - 2 > 0 e x - y < 0
b) x + y - 2 > 0 ou x - y < 0
29
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1-(Ufal) Seja R a região sombreada na figura a seguir.
3- (Pucrj ) A área delimitada pelos eixos x = 0, y = 0 e pelas
retas x + y = 1 e 2x + y = 4 é:
a) 3 b) 2 c) 3,5 d) 2,5 e) 1,5
Essa região é o conjunto dos pontos (x, y) do plano
cartesiano, com y ≥ 0 e tais que
a) y ≤
c) y ≤
3
x + 3 e y ≤ -3x + 3
2
3
x + 3 e y ≥ -3x + 3
2
2
x + 3 e y ≤ -3x + 1
3
3
d) y ≤ 3x + 3 e y ≤- x + 3
2
b) y ≤
e) y ≥ 2x + 3 e y ≥ -3x -1
4- (Fgv) A área da região triangular limitada pelo sistema de
inequações
3x  5y  15  0

2x  5y  10  0
x  0

a) 2,5 b) 7,5 c) 5 d) 12,5 e) 3
2-(Fgv) A região do plano cartesiano determinada pelas
inequações x + y ≤ 5 , y ≤ 3 , x ≥ 0 e y ≥ 0 tem uma
área A. O valor de A é:
a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 12
5- (Puc-rio ) A área do triângulo determinado pelas retas
y = x, y = - x e y = 3 é:
a) 8. b) 9. c) 5. d) 4. e) 1.
6-(Ufrs ) A área do triângulo que tem lados sobre as retas de
equações y = - 2 x + 9, x = 1 e y = 1 é
a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10.
GABARITO
1)A 2)B 3)D 4)A 5)B 6)D
30
14- EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA
A equação reduzida da circunferência é dada por (x-a)² + (y-b)² = r²,
Onde o centro da circunferência é o ponto C(a,b) e o raio é r.
A definição de uma equação de uma circunferência “ é a condição necessária para que um ponto de coordenadas P (x,y)
pertença a uma circunferência de centro C(a,b) e raio r “.
Ou seja
d CP  r
Usando a fórmula da distância entre dois pontos temos:
x
dCP 
c
 x p   yc  y p  =r
2
2
x  a 2   y  b2 =r
Elevando-se os dois lados ao quadrado temos: (x-a)² + (y-b)² = r²,
Exemplo: Determine a equação reduzida da circunferência de centro C(-4,1) e R = 1/3.
2
2
Basta substituirmos esses dados na equação R2 = (x – a) + (y – b) .
2
2
(x – (-4)) + (y – 1) = (1/3)
2
2
(x + 4) + (y – 1) = 1/9
2
2
2
Exemplo: Obtenha o centro e o raio da circunferência cuja equação é (x – 1/2) + (y + 5/2) = 9.
É preciso que seja feito à comparação das equações:
2
2
(x – 1/2) + (y + 5/2) = 9
2
2
2
(x – a) + (y – b) = R

- a = -1/2
a = 1/2
- b = 5/2  b = -5/2
2
R = 9 R = 3
Portanto as coordenadas do centro da circunferência de equação (x – 1/2)2 + (y + 5/2) = 9 é igual a C(1/2, -5/2) e raio igual
aR=3
31
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1- (Ufc ) O segmento que une os pontos de interseção da
reta 2x + y - 4 = 0 com os eixos coordenados determina um
diâmetro de uma circunferência. A equação dessa
circunferência é:
a) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 5 b) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 20
c) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25 d) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 5
e) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 20
4-(Uft ) Considere no plano cartesiano xy, a circunferência
de equação (x - 2)2 + (y + 1)2 = 4 e o ponto P dado pela
interseção das retas 2x - 3y + 5 = 0 e x - 2y + 4 = 0. Então a
distância do ponto P ao centro da circunferência é:
a) o dobro do raio da circunferência
b) igual ao raio da circunferência.
c) a metade do raio da circunferência.
d) o triplo do raio da circunferência.
5-(Ufpel ) O gráfico a seguir representa a função:
f(x) = x2 - 5x + 6.
2-(Fatec ) A área do quadrilátero determinado pelos pontos
de intersecção da circunferência de equação
(x + 3)2 + (y - 3)2 = 10 com os eixos coordenados, em
unidades de área, é igual a
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
Com base nessas informações é CORRETO afirmar que a
equação da circunferência que passa em B e tem centro em
A é:
a) (x - 6)2 + y = 45
b) x2 + (y - 6)2 = 9
c) x2 + (y - 6)2 = 45
d) (x - 6)2 + y2 = 9
e) x2 + (y - 3)2 = 9
3- (Puc ) A distância entre o centro da circunferência de
equação (x - 2)2 + (y + 5)2 = 9 e a reta de equação
y+5x=0é
a) - 5
b) 0
c) 2
d) 5
e) 9
6- (Ufrgs ) Os pontos de interseção do círculo de equação
(x - 4)2 + (y - 3)2 = 25 com os eixos coordenados são
vértices de um triângulo. A área desse triângulo é
a) 22. b) 24. C ) 25.
d) 26. e) 28
GABARITO
1)A 2)B 3)B 4)A 5)C 6)B
32
15-EQUAÇÃO NORMAL DA CIRCUNFERÊNCIA
A equação normal da circunferência é obtida através da eliminação dos parênteses e redução dos termos
semelhantes.
(x – a)² + (y – b)² = r²
x² – 2xa + a² + y² – 2yb + b² – r² = 0
2
2
2
2
2
x + y – 2ax – 2by + a + b – r = 0
Essa equação é mais uma forma de equacionar uma circunferência e a partir dela determinar o centro e o
raio que a equação está representando, isso poderá ser feito utilizando dois métodos diferentes:
comparação e redução.
Comparação
Dada a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, comparado-a com a equação x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 =
0, temos: –2a = –2  a = 1
–2b = 8  2b = –8  b = –4
a² + b² – r² = 8  1² + (–4)² – r² = 8  1 + 16 – r² = 8  17 – r² = 8  – r² = 8 – 17  – r² = – 9  r = 3
Portanto, a circunferência de equação igual a x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0 terá centro igual a C(1,– 4) e raio
igual a r = 3.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1-(Udesc ) Para que a equação x2 + y2 - 4x + 8y + k = 0
represente uma circunferência, devemos ter:
a) K < 20
b) K > 13
c) K < 12
d) K > 12
e) K < 10
3-(Cesgranrio) As circunferências x2 + y2 + 8x + 6y = 0 e
x2 + y2 - 16x - 12y = 0 são:
a) exteriores.
b) secantes.
c) tangentes internamente.
d) tangentes externamente.
e) concêntricas.
2- (Fatec) Sejam O a origem do sistema de eixos
cartesianos e A o centro da circunferência de equação x2 +
y2 - 2x - 4y - 4 = 0. A equação de reta que passa pelos
pontos A e O é:
a) y = 2x + 1
b) y = 2x -1
c) y = x/2
d) y = 2x
e) y = x
4. (Ufrs ) A equação x2 + y2 + 4x - 6y + m = 0 representa
um círculo se e semente se
a) m > 0
b) m < 0
c) m > 13
d) m > -13
e) m < 13
33
5-(Cesgranrio ) A equação da circunferência de raio 5,
cujo centro é o ponto comum às retas
x - y + 1 = 2 e x + y - 1 = 2 é:
a) x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 b) x2 + y2 - 4x - 2y + 20 = 0
c) x2 + y2 - 4x + 2y + 20 = 0 d) x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0
e) x2 + y2 + 4x - 2y - 20 = 0
8-(Ufv ) Considere a equação x2 + y2 - 6x + 4y + p = 0. O
maior valor inteiro p para que a equação anterior represente
uma circunferência é:
a) 13
b) 12
c) 14
d) 8
e) 10
6-(Unirio ) A equação x2 + y2 - 4x + 6y - 3 = 0 é de uma
circunferência cuja soma do raio e das coordenadas do
centro é igual a:
a) -2
b) 3
c) 5
d) 8
e) 15
9- (Pucpr ) A distância do ponto P(1; 8) ao centro da
circunferência x2 + y2 - 8x - 8y + 24 = 0 é:
7-(Unifesp ) A equação x2 + y2 + 6x + 4y + 12 = 0, em
coordenadas cartesianas, representa uma circunferência de
raio 1 e centro
a) (- 6, 4). b) (6, 4). c) (3, 2). d) (-3, -2). e) (6, -4).
10-(Ufrs ) As extremidades de uma das diagonais de um
quadrado inscrito em um círculo são os pontos (1, 3) e
(-1, 1). Então, a equação do círculo é
a) x2 + y2 + 4y - 2 = 0.
b) x2 + y2 - 4y + 2 = 0.
2
2
c) x + y - 2y + 2 = 0.
d) x2 + y2 + 2 = 0.
2
2
e) x + y - 4y = 0.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 5
e) 6
34
11 (Fatec) Num sistema de eixos cartesianos ortogonais,
considere a circunferência λ e a reta r, de equações
x2 + y2 - 6x + 2y + 6 = 0 e 3x + 7y - 21 = 0. A reta s, que é
paralela a r e contém o centro de λ, tem equação
a) 3x + 7y - 2 = 0
b) 3x - 7y - 2 = 0
c) 3x - 7y + 5 = 0
d) 3x + 7y - 16 = 0
e) 7x + 3y - 2 = 0
14- (Ufjf ) Considere uma circunferência c1 de equação x2
+ y2 + 8x - 2y - 83 = 0. Seja agora uma circunferência c2 de
centro em O(13, - 2) que passa pelo ponto P(9, 0). A área
da figura plana formada pelos pontos internos à
circunferência c1 e externos à circunferência c2, em
unidades de área, é:
a) 20π. b) 80π. c) 100π. d) 120π. e) 200π.
12- ( cftmg ) O lado do quadrado circunscrito à
circunferência de equação x2 + y2 - 4x - 5 = 0 mede
15-(GV) Dada a equação x² + y² = 14x + 6y + 6, se p é o
maior valor possível de x, e q é o maior valor possível de y,
então, 3p + 4q é igual a
a) 73
b) 76
c) 85
d) 89
e) 92.
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
13- (Ufrs ) Na figura a seguir, o octógono regular está
inscrito no círculo de equação
x2 + y2 - 4 = 0.
16- (Ufsm ) A massa utilizada para fazer pastéis folheados,
depois de esticada, é recortada em círculos (discos) de
igual tamanho. Sabendo que a equação matemática da
circunferência que limita o círculo é x2 + y2 - 4x - 6y - 36 =
0 e adotando π = 3,14, o diâmetro de cada disco e a área
da massa utilizada para confeccionar cada pastel são,
respectivamente,
a) 7 e 113,04
b) 7 e 153,86
c) 12 e 113,04
d) 14 e 113,04 e) 14 e 153,86
A área do octógono é
a) 5
2 . b) 8 2 . c) 10. d) 10 2 . e) 20.
35
17-(Fgv ) Dada a circunferência de equação
x2 + y2 – 6x – 10y + 30 = 0, seja P seu ponto de ordenada
máxima. A soma das coordenadas de P e:
a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 1
20) (Ufjf 2012) No plano cartesiano, considere os pontos
A(1,2) e B(3,4).
a) Encontre a equação da reta r que passa por A e forma
com o eixo das abscissas um ângulo de 135º, medido do
eixo para a reta no sentido anti-horário.
b) Seja s a reta que passa por B e é perpendicular à reta r.
Encontre as coordenadas do ponto P , determinado pela
intersecção das retas r e s .
c) Determine a equação da circunferência que possui centro
no ponto Q(2,1) e tangencia as retas r e s.
18-(Fgv 2011) No plano cartesiano, uma circunferência,
cujo centro se encontra no segundo quadrante, tangencia
os eixos x e y. Se a distância da origem ao centro da
circunferência é igual a 4, a equação da circunferência é:
   
 2 8  x  2 8  y  8  0
  2 10  x   2 10  y  10  0
 2 8  x  2 8  y  8  0
2
2
a) x  y  2 10 x  2 10 y  10  0
2
2
b) x  y
2
2
c) x  y
2
2
d) x  y
2
2
e) x  y  4x  4y  4  0
19-(Ueg 2012) Considere num plano cartesiano duas retas
r e s. perpendiculares. A reta r tem equação y  2x e a
reta s intercepta o eixo x no ponto B (10,0). Encontre a
equação da circunferência que passa pelos pontos A (0,0),
B (10,0) e C, que é o ponto de interseção das retas r e s.
GABARITO
1) A 2) D 3)D 4)E 5)A 6)B 7)D 8)B 9)D 10)B 11)A
12)D 13)B 14)C 15)D 16)E 17)A 18)B 19) (x-5)² +y²=25
20)a) y=-x+1 b) y=x+1 c) (x-2)² +(y-1)² =2
36
16-POSIÇÕES RELATIVAS: RETA E CIRCUNFERÊNCIA
CASO 1 – RETA EXTERNA À CIRCUNFERÊNCIA
DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É MAIOR QUE O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA
A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ <0
CASO 2 – RETA TANGENTE À CIRCUNFERÊNCIA
DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É IGUAL AO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA
A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ =0
CASO 3 – RETA SECANTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA
DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É MENOR QUE O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA
A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ =0
Uma forma de encontrar a posição relativa entre uma reta e uma circunferência é verificando a sua intersecção, ou seja,
analisando se a reta e a circunferência terão dois pontos em comum, apenas um ponto em comum ou nenhum ponto em
comum.
37
O valor dessa intersecção é a solução do sistema formado com a equação geral da reta e com a equação reduzida da
circunferência. Considerando a equação geral da reta ax+by+c = 0 e a equação reduzida da circunferência
2
2
2
(x - a) + (y - b) = R . Resolvendo o sistema
é possível encontrar uma equação do segundo
grau, analisando o seu descriminante Δ é possível determinar a posição da reta em relação à circunferência:
Δ > 0 reta secante à circunferência
Δ = 0 reta tangente à circunferência
Δ < 0 reta externa à circunferência.
Se o discriminante Δ for maior ou igual à zero, para descobrir as coordenadas dos pontos é preciso terminar a resolução da
equação do segundo grau.
2
2
Exemplo: Verifique se a circunferência (x+1) + y = 25 e a reta x + y – 6 = 0 possui algum ponto de intersecção.
Resolução:
x + y – 6 = 0 → equação 1
2
2
(x+1) + y = 25 → equação 2
Escolhemos uma das duas equações e isolamos uma das incógnitas.
x+y–6=0
x=6–y
Substituímos o valor de x na equação 2.
2
2
(6 – y +1) + y = 25
2
2
(-y + 7) + y = 25
2
2
(-y) – 14y + 49 + y = 25
2
2
y – 14y + 49 – 25 + y = 0
2
2y – 14y + 24 = 0 (: 2)
2
y – 7y + 12 = 0
2
Δ = b – 4ac
2
Δ = (-7) – 4 . 1 . 12
Δ = 49 – 48
Δ=1
Como o descriminante Δ é maior que zero sabemos que essa reta é secante à circunferência, agora para descobrir o valor das
coordenadas dos dois pontos pertencentes à circunferência é preciso terminar de resolver a equação.
Para y’= 4
x= 6 – y x = 6 – 4
x= 2
Para y’’ = 3
x= 6 – y x = 6 – 3
x= 3
Portanto, os dois pontos que interceptam a circunferência são: (2,4) e (3,3).
38
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1- (Fei ) O comprimento da corda que a reta
x + y = 3 determina na circunferência de centro em (2,1) e
raio
a)
5
2
é:
4- (Ufes ) Sabe-se que b > 0 e que a reta
5y + b(x - 5) = 0 é tangente à circunferência
x2 + y2 = 9. O valor de b é
a) 15/4 b) 16/3 c) 6 d) 20/3 e) 7
2 b) 2 2 c) 3 2 d) 4 2 e) 5 2
2-(Fei ) Qual deve ser o raio da circunferência com centro
no ponto O = (0,0) para que a reta x - 2y - 10 = 0 seja
tangente a essa circunferência?
a) 4 2 b) 2 5 c) 20 d) 5 2 e) 4 5
3-(Ufrs ) O centro O = (x, y) de uma circunferência que
passa pelos pontos (-1, 1) e (1, 5), tem as coordenadas na
relação
a) 2y + x = 6
b) 5y + 2x = 15
c) 5y + 3x = 15
d) 8y + 3x = 25
e) 9y + 4x = 36
5-(Ufsm ) Dada a circunferência β: x2 + y2 - 4x - 12 = 0,
então a circunferência α, que é concêntrica à circunferência
β e tangente à reta r: x + y = 0, é
a) x2 + (y + 2)2 = 4
b) y2 - 4x + y2 = 0
c) x2 + y2 + 4y + 2 = 0
d) x2 + y2 - 4x + 2 = 0
e) (x + 2)2 + y2 = 2
6-(Ufsm ) A equação da circunferência de centro C(2,1) e
tangente à reta 3x - 4y + 8 = 0 é
a) (x2 + 2)2 + (y - 1)2 = 8 b) (x2 - 2)2 + (y - 1)2 = 2
c) (x - 2)2 + (y + 1)2 = 2 d) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4
e) (x - 2)2- (x - 1)2 = 4
39
7- (Fgv ) A reta de equação y = x - 1 determina, na
circunferência de equação x2 + y2 = 13, uma corda de
comprimento:
a) 4 2 b) 5 2 c) 6 2 d) 7 2 e) 8 2
10-(Ufrrj ) Se a área de uma figura é representada pela
solução do sistema
x2  y2  9
, pode-se afirmar que esta área

x  y  3  0
corresponde a
a)
d)
8-(Ufsm ) As retas r e s tangenciam a circunferência de
equação x2 + y2 - 4x + 3 = 0, respectivamente, nos pontos P
e Q e passam pelo ponto O (0, 0). A medida do ângulo PÔQ
vale
a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 90°
9- (Ufpi ) Se uma circunferência no segundo quadrante,
tangente a ambos os eixos, toca o eixo y no ponto (0, 3),
então o centro dessa circunferência é o ponto:
a) (-3, 0) b) (-3, 3) c) (3, 3) d) (-4, 3) e) (2, 3)
9π
4
b)
9  π  2
3  π  3
4
4
. e)
. c)
 π  3
3
3  π  3
2
.
.
11- (Ufrs ) Considere a região plana limitada pelos gráficos
das inequações y ≤ - x - 1 e x2 + y2 ≤ 1, no sistema de
coordenadas cartesianas. A área dessa região é
a) π/4 - 1/2
b) π/4 - 1/3
c) π/2 - 1
d) π/2 + 1
e) 3π/2 - 1
12-(Fgv ) No plano cartesiano, a reta de equação x = k
tangencia a circunferência de equação
(x - 2)2 + (y - 3)2 = 1. Os valores de k são:
a) -2 ou 0
b) -1 ou 1
c) 0 ou 2
d) 1 ou 3
e) 2 ou 4
40
13- (Ufes) Em um sistema de coordenadas cartesianas com
origem O, considere a circunferência C dada pela equação
x2 + y2 - 4x - 8y + 15 = 0, cujo centro indicamos por P. A
reta OP intersecta C em dois pontos A e B, onde A é o mais
próximo da origem. A equação da reta que tangencia a
circunferência C no ponto A é
a) x - 2y + 3 = 0
b) x + 2y - 5 = 0
c) 2x + y - 4 = 0
d) 2x + y - 5 = 0
e) 2x - y - 4 = 0
15- (Pucmg ) Considere a circunferência C de equação (x +
1)2 + (y - 1)2 = 9 e a reta r de equação x + y = 0. É
CORRETO afirmar:
a) r é tangente a C.
b) r não corta C.
c) r corta C no ponto (1, 1).
d) r passa pelo centro de C.
16- (Pucrs) O raio da circunferência centrada na origem
que tangencia a reta de equação y = x -1 é
a) 1 b)
1
c)
2
2 d)
2
e)
2
2 -1
14- (Ufjf ) Sobre o conjunto de pontos de interseção da
circunferência x2 + (y - 2)2 = 2 com a reta mx - y + 2 = 0,
onde m é real, podemos afirmar que:
a) contém um único ponto.
b) é o conjunto vazio.
c) contém dois pontos.
d) contém três pontos.
e) depende de m.
41
17-(Fatec ) Considere que R é a região do plano cartesiano
cujos pontos satisfazem as sentenças
(x - 2)2+ (y - 2)2 ≤ 4 e x ≤ y.
A área de R, em unidades de superfície, é
a) π b) 2π c) π2 d) 4π e) 4π2
20- (Uece ) A soma das coordenadas do centro da
circunferência que tem raio medindo 1 u.c., que está situada
no primeiro quadrante e que tangencia o eixo dos y e a reta
4x - 3y = 0, é
a) 3 u.c. b) 5 u.c. c) 4 u.c. d) 6 u.c.
18-(Pucrs ) A área da região do plano limitada pela curva
de equação (x - 1)2 + (y - 2)2 = 4 com x ≥ 1 e y ≤ 2 é
a) 4π b) 2π c) π d) π/2 e) π/4
21-(Ufc ) Em um sistema Cartesiano de coordenadas, o
valor positivo de b tal que a reta y = x + b é tangente ao
círculo de equação
x2 + y2 = 1 é:
a) 2 b) 1 c)
2 d)
1
2
e) 3
19- ( cftmg ) Analisando a equação da reta r: x - 2y = 0 e da
circunferência λ: x2 + y2 - 10y + 5 = 0, podemos afirmar que
a) a reta é tangente à circunferência.
b) a reta é secante à circunferência.
c) a reta é exterior à circunferência.
d) a reta está em plano distinto da circunferência.
GABARITO
1)E 2)B 3)A 4)A 5)D 6)D 7)B 8)D 9)B 10)B11)A 12)D
13)B 14)C 15)D 16)D 17)B 18)C 19)A 20)C 21) C
42
17-CÔNICAS E RECONHECIMENTO DE CURVAS
1-ELIPSE
Entende-se por elipse o lugar geométrico de um plano onde a soma da distância de sua extremidade a dois pontos
fixos, chamados de focos, F1 e F2, resulta em uma constante 2a, onde 2a > 2c.
x  x0 2   y  y0 2
a2
b2
 x  x 0 2  y  y 0 2
b2

a2
1
1
43
Nas ilustrações das elipses acima temos:
F1 e F2 são os focos da elipse e a distância entre eles é a distância focal (2c).
O segmento A1A2 é o maior eixo da elipse e sua medida é a soma da definição 2a.
O segmento B1B2 é o menor eixo da elipse e sua medida corresponde a 2b.
O centro C
( x0 ; y0 ) é o ponto médio entre os eixos da elipse e os focos
F1 e F2.
A excentricidade da elipse é calculada pela razão entre c e a.
Na elipse, a relação de Pitágoras é válida entre as medidas de a, b e c. Dessa forma, temos que:
a² = b² + c²
ÁREA DE UMA ELIPSE É DADA O A=abπ
Exemplo 1
Vamos determinar as equações das seguintes elipses:
a)
a² = b² + c²
a² = 6² + 8²
a² = 100
a = 10
Equação:
b)
a² = b² + c²
 a² = 5² + 12²  a² = 25 + 144  a² = 169  a = 13
Equação:
44
Exemplo 2
Vamos determinar os focos e as extremidades do eixo maior da elipse de equação 9x² + 36y² = 144.
Temos que 16 > 4, portanto, o eixo maior está na abscissa (x). Dessa forma:
a² = 16 → a = 4
b² = 4 → a = 2
a² = b² + c² → 16 = 2 + c² → c² = 16 – 2 → c² = 14
Os focos são F1(14,0) e F2(–14,0) e as extremidades dos eixos maiores são A1(5,0) e A2(–5,0).
A elipse possui uma importante aplicação na Astronomia, pois os planetas descrevem movimentos
elípticos em órbita do sol, estando localizados nos focos da elipse. Essa teoria foi descoberta e
comprovada por Johannes Kepler (1571 – 1630), grande astrônomo alemão.
2-HIPÉRBOLE
No estudo da geometria analítica, as diversas figuras geométricas são estudadas do ponto de vista
algébrico. Ponto, retas, circunferências são esquematizadas com o auxílio da álgebra. As cônicas, que são
figuras geométricas oriundas de secções transversais realizadas em um cone, também são muito
exploradas. A própria circunferência, a elipse, a parábola e a hipérbole são classificadas de cônicas.
Vejamos como a hipérbole pode ser explorada do ponto de vista da geometria analítica.
Definição de hipérbole: Considere F1 e F2 como sendo dois pontos distintos do plano e 2c a distância entre
eles. Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano, tais que a diferença, em valor absoluto, das distâncias à
F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c).
A hipérbole pode ter os focos sobre o eixo x ou sobre o eixo y e sua equação varia em cada um dos
casos. Vamos deduzir sua equação para cada um dos casos citados.
Hipérbole com focos sobre o eixo x.
Como os focos da hipérbole estão localizados sobre o eixo x, suas coordenadas serão: F 2(c, 0) e F1(– c, 0). Nesse
caso, a equação da hipérbole será do tipo:
 x  x 0 2  y  y 0 2
a2

b2
1
45
Hipérbole com focos sobre o eixo y.
Como os focos da hipérbole estão sobre o eixo y, suas coordenadas serão: F 2(0, c) e F1(0, – c). Nesse caso, a
equação da hipérbole será do tipo:
 y  y 0 2  x  x 0 2
a2

b2
1
Elementos e propriedades da hipérbole:
Centro
( x0 ; y0 )
2c → é a distância focal.
2
2
2
c = a + b → relação fundamental.
A1(– a, 0) e A2(a, 0) → são os vértices da hipérbole.
2a → é a medida do eixo real.
2b → é a medida do eixo imaginário.
c/a → é a excentricidade
Exemplo 1. Determine a equação da hipérbole com focos F 1(– 10, 0) e F2(10, 0) e eixo real medindo 16 unidades.
Solução: De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles estão sobre o eixo x, pois as coordenadas y
são iguais a zero. Também podemos afirmar que c = 10.
Foi dado que o eixo real tem 16 unidades de comprimento. Logo, temos que:
2a = 16 → a = 8
Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto devemos utilizar a relação
fundamental para encontrarmos o valor de b. Segue que:
2
2
2
c =a +b
2
2
2
10 = 8 + b
2
b = 100 – 64
2
b = 36
b=6
Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equação da hipérbole com focos sobre o eixo x:
46
Exemplo 2. Determine as coordenadas dos focos da hipérbole de equação:
Solução: Observando a equação da hipérbole podemos constatar que seus focos estão sobre o eixo y, logo terão
coordenadas do tipo F1(0, – c) e F2(0, c).
Da equação da hipérbole obtemos que:
2
a = 16 → a = 4
2
b =9→b=3
Utilizando a relação fundamental, teremos:
2
2
2
c =a +b
2
c = 16 + 9
2
c = 25
c=5
Portanto, os focos da hipérbole são F1(0 , – 5) e F2(0, 5).
3- PARÁBOLA
2-Como traçar uma parábola.
Com pregos, barbante e um lápis, você consegue desenhar circunferência, elipse e também uma parábola. Parábola é
o lugar geométrico tal que distam igualmente de uma reta fixa d, chamada diretriz, e de um ponto fixo F, não
pertencente à diretriz, chamado foco.
Imagine uma reta d, um ponto F (foco) e o barbante preso ao prego no ponto F.
O comprimento do barbante tem que ser constante e a sua outra ponta deve correr livre sobre a reta d, o lápis deve se
deslocar, mas sempre o barbante, entre o lápis e a reta d, deve ser perpendicular à reta:
2-Definição
Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das
abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:
Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que
PF = Pd onde:
PF = distância entre os pontos P e F
PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).
47
Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/2
3 - Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem
Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto
qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP'
Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:
Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da
parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber:
2
y = 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola.
3.1 - Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0, y0)
Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica:
2
(y - y0) = 2p(x-x0)
3.2 - Parábola de eixo vertical e vértice na origem
Não é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a sua equação reduzida será:
2
x = 2py
3.3 - Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x 0, y0)
Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima
2
fica: (x - x0) = 2p(y - y0)
Exercícios resolvidos
1 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?
48
Solução: Temos p/2 = 2  p = 4
Daí, por substituição direta, vem:
y = 2.4.x  y = 8x ou y - 8x = 0.
2
2
2
2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?
Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2  p = 4.
Logo, (y - 0) = 2.4(x - 2)  y = 8(x-2)  y - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola.
2
2
2
2
3 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?
Solução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2  p = 8.
Daí, vem: (y - 3) = 2.8(x - 2)  y - 6y + 9 = 16x - 32  y - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada.
2
2
2
4 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?
Solução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2  p = 6. Logo,
(x - 0) = 2.6(y - 1)  x = 12y - 12  x - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.
2
2
2
Lógico que você já ouviu falar das antenas parabólicas. Se você observar a figura e a definição de
parábola, deve deduzir sua utilização.
Todas as retas que incidam perpendicularmente na parábola "refletem" e se concentram no foco. As antenas
parabólicas recebem raios paralelos e concentram estes raios no foco onde existe um receptor em que todos os sinais
fracos se concentram tornando-se um sinal forte.
EXERCÍCIOS
1-(Ufv ) O gráfico da equação x3y + xy3 - xy = 0
consiste de:
a) duas retas e uma parábola.
b) duas parábolas e uma reta.
c) dois círculos e uma reta.
d) duas retas e um círculo.
e) um círculo e uma parábola.
2. (Cesgranrio) A segunda lei de Kepler mostra que
os planetas se movem mais rapidamente quando
próximos ao sol do que quando afastados dele.
Lembrando que os planetas descrevem órbitas
elípticas nas quais o sol é um dos focos, podemos
afirmar que, dos pontos assinalados na figura,
aquele no qual a velocidade da Terra é maior é o
ponto:
a) A b) B c) C d) D e) E
49
3. (Uff ) As equações y - 2x = 0, y + x2 = 0 e
y2 - x2 + 1 = 0 representam no plano,
respectivamente:
a) uma reta, uma hipérbole e uma parábola
b) uma parábola, uma hipérbole e uma reta
c) uma reta, uma parábola e uma elipse
d) uma elipse, uma parábola e uma hipérbole
e) uma reta, uma parábola e uma hipérbole
4. (Unirio) As equações x2 - 9y2 - 6x - 18y - 9 = 0,
x2 + y2 - 2x + 4y + 1 = 0 e x2 - 4x - 4y + 8 = 0
representam, respectivamente, uma:
a) hipérbole, uma elipse e uma parábola.
b) hipérbole, uma circunferência e uma reta.
c) hipérbole, uma circunferência e uma parábola.
d) elipse, uma circunferência e uma parábola.
e) elipse, uma circunferência e uma reta.
5. (Cesgranrio ) O gráfico que melhor representa a
9. (Ufc ) Um segmento de reta desloca-se no plano
cartesiano de tal forma que uma de suas
extremidades permanece sempre no eixo y e o seu
ponto médio permanece sempre no eixo x. Então, a
sua outra extremidade desloca-se ao longo de
uma:
a) circunferência.
b) parábola.
c) reta.
d) elipse.
e) hipérbole.
10. (Ufpi ) O gráfico da equação x2 - y2 = 4
representa uma hipérbole. Os focos dessa
hipérbole são:
1 
,0  e
2 
a) 
 1 
  2 ,0 


b) (2, 0) e (-2, 0)
c) (2
2 , 0) e (-2 2 , 0)
d) (0,
2 ) e (0, - 2 )
curva de equação x2 + 16y2 = 16 é:


e)  0,
1
e
2 
1

 0,  2 


11. (Ufc ) O número de pontos de interseção das
curvas x2 + y2 = 4 e (x2/15) + (y2/2) = 1 é igual a:
a) 0 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
12. (Fgv) No plano cartesiano, a curva de equações
6. (Unirio ) A área do triângulo PF1F2, onde P(2,-8)
e F1 e F2 são os focos da elipse de equação x2/25
+ y2/9 = 1, é igual a:
a) 8 b) 16 c) 20 d) 32 e) 64
7. (Cesgranrio) A equação 9x2 + 4y2 - 18x - 27 = 0
representa, no plano cartesiano, uma curva
fechada. A área do retângulo circunscrito a essa
curva, em unidades apropriadas, vale:
a) 36 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12
8. (Uece) A área do quadrilátero cujos vértices são
as interseções da elipse 9x2+25y2=225 com os
eixos coordenados é igual, em unidades de área, a:
a) 30 b) 32 c) 34 d) 36
paramétricas x=2cost e y=5sent com t lR é:
a) uma senoide
b) uma cossenoide
c) uma hipérbole
d) uma circunferência
e) uma elipse
13. (Cesgranrio 2002) Uma montagem comum em
laboratórios escolares de Ciências é constituída por
um plano inclinado, de altura aproximadamente
igual a 40cm, com 4 canaletas paralelas e apoiado
em uma mesa, forrada de feltro, cuja borda é
curvilínea. Sobre a mesa há um ponto marcado no
qual se coloca uma bola de gude. A experiência
consiste em largar, do alto do plano inclinado, outra
bola de gude, a qual, depois de rolar por uma das
canaletas, cai na mesa e colide sucessivamente
com a borda da mesa e com a primeira bola.
A borda da mesa tem a forma de um arco de:
a) elipse, e o ponto marcado é um de seus focos.
b) parábola, e o ponto marcado é seu foco.
c) hipérbole, e o ponto marcado é um de seus
focos.
d) hipérbole, e o ponto marcado é seu centro.
e) circunferência, e o ponto marcado é seu centro.
50
14. (Ufrn ) O conjunto dos pontos P = (x,y), que
estão a uma mesma distância do ponto F = (0,2) e
do eixo ox, no plano cartesiano xy é
a) a parábola de equação y = (x2/2) + 4.
b) a parábola de equação y = (x2/4) + 1.
c) a parábola de equação y = 4x2 +1.
d) a parábola de equação y = 2x2 +1.
15. (Pucmg ) O gráfico da curva de equação (x2/4) -
(y2/9) = 1 é uma:
a) circunferência.
c) hipérbole.
b) elipse.
d) parábola.
16. (Uft ) Considere IR o conjunto dos números
reais e b  IR . Encontre os valores de b, tais que
no plano cartesiano xy, a reta y = x + b intercepta a
x2
 y 2  1 em um único ponto. A soma dos
elipse
4
valores de b é:
a) 0 b) 2 c) 2 5 d) 5 e) 2 5
e) duas retas concorrentes.
19. (Unifesp ) A parábola y = x2 - nx + 2 tem vértice
no ponto (xn, yn).
O lugar geométrico dos vértices da parábola,
quando n varia no conjunto dos números reais, é
a) uma parábola.
b) uma elipse.
c) um ramo de uma hipérbole.
d) uma reta.
e) duas retas concorrentes.
20. (Fatec) As intersecções das curvas de equações
x2 + y2 - 7x - 9 = 0 e y2 = x + 2 são vértices de um
polígono. A equação da reta traçada pela
intersecção das diagonais desse polígono, e
paralela à reta de equação
2x - y + 3 = 0, é
a) x + 2y - 2 = 0
b) x + 2y + 2 = 0
c) 2x - y + 4 = 0
d) 2x - y - 2 = 0
e) 2x - y + 2 = 0
17. (Uerj ) Um holofote situado na posição (-5,0)
ilumina uma região elíptica de contorno x2 + 4y2 =
5, projetando sua sombra numa parede
representada pela reta x = 3, conforme ilustra a
figura a seguir.
Considerando o metro a unidade dos eixos, o
comprimento da sombra projetada é de:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
21. (Udesc ) Analise as afirmações dadas a seguir,
classifique-as como verdadeiras (V) ou falsas (F).
( ) A equação x2 - 2x + y2 + 2y + 1 = 0
representa uma circunferência que é tangente,
tanto ao eixo das abscissas quanto ao eixo das
ordenadas.
( ) A elipse de equação 9x2 + 4y2 = 36 intercepta
a hipérbole de equação x2 - 4y2 = 4 em apenas
dois pontos, que são os vértices da hipérbole.
( ) O semieixo maior da elipse 9x2 + 4y2 = 36 é
paralelo ao eixo real da hipérbole x2 - 4y2 = 4.
Assinale a alternativa que contém a sequência
correta, de cima para baixo.
a) V - V - V b) V - V - F
c) F - V - F d) F - F - V
e) V - F - F
18. (Ufc ) No plano cartesiano, x2 - y2 + 5x - 5y = 0
é uma equação de:
a) um conjunto vazio.
b) um conjunto unitário.
c) uma hipérbole.
d) duas retas paralelas.
GABARITO
1) D 2)E 3)E 4)C 5)C 6)D 7)B 8)A 9)D 10)C
11)C 12)E 13)B 14)B 15)V 16)A 17)C 18)E
19)A 20)D 21)B
51
QUESTÕES PARA A PO
01-(FUVEST) A reta s passa pelo ponto (0, 3) e é
perpendicular à reta AB onde A = (0, 0) e B é o centro da
circunferência x2 + y2 - 2x - 4y = 20. Então a equação de s
é:
a) x - 2y = - 6
b) x + 2y = 6
c) x + y = 3
d) y - x = 3
e) 2x + y = 6
2. (FUVEST) Sejam A = (1, 2) e B = (3, 2) dois pontos do
plano cartesiano. Nesse plano, o segmento AC é obtido do
segmento AB por uma rotação de 60°, no sentido antihorário, em torno do ponto A. As coordenadas do ponto C
são:
5
2
d) (2, 2 - 3 ).
b) 1  3,
a) (2, 2 + 3 ).
c) (2, 1 + 3 ).
e) (1 +
3 , 2 + 3 ).
3. (FUVEST) Uma circunferência de raio 2, localizada no
primeiro quadrante, tangencia o eixo x e a reta de equação
4x - 3y = 0.
Então a abscissa do centro dessa circunferência é:
a) 1
b) 2
c) 3 d) 4
)5
pertencem a uma mesma circunferência, qual é o centro
dessa circunferência?
a) (1/2, 1/2)
b) (0,0) c) (-1/2, 1/2)
d) (-1/2, -1/2)
e) (1,1)
8. (FUVEST) O segmento AB é diâmetro da circunferência
de equação x2 + y2 = 10y. Se A é o ponto (3, 1), então B é
o ponto
a) (-3, 9) b) (3, 9) c) (0, 10) d) (-3, 1) e) (1, 3)
9. (FUVEST) As retas r e s são perpendiculares e
interceptam-se no ponto (2, 4). A reta s passa pelo ponto (0,
5). Uma equação da reta r é
a) 2y + x = 10
b) y = x +2
c) 2y - x = 6
d) 2x + y = 8
e) y = 2x
10. (FUVEST) Na figura a seguir, A é um ponto do plano
cartesiano, com coordenadas (x, y). Sabendo que A está
localizado abaixo da reta r e acima da reta s, tem-se
4. (FUVEST) A reta y = mx (m > 0) é tangente à
circunferência (x - 4)2 + y2 = 4. Determine o seno do ângulo
que a reta forma com o eixo x.
a)
d)
1
.
5
2
. e)
2
b)
1
.
2
c)
3
.
2
5.
a) y <
5. (FUVEST) A figura adiante mostra parte do gráfico de
uma função polinomial f(x) de grau 3. O conjunto de todos
os valores reais de m para os quais a equação f(x)=m tem
três raízes reais distintas é:
x
e y < -x + 1
2
x
< y e y > -x + 1
2
x
e)
< y < -x + 1
2
c)
x
ou y > -x + 1
2
x
d) -x + 1 < y <
2
b) y <
11. (FUVEST) Uma reta de coeficiente angular m > 0
passa pelo ponto (2,0) e é tangente à circunferência
inscrita no quadrado de vértices (1,1), (5,1), (5,5) e (1,5).
Então
a) -4 < m < 0
d) -1 < m < 1
b) m > 0
e) m > - 4
c) m < 0
6. (FUVEST) Considere o triângulo ABC, onde A = (0, 4), B
= (2, 3) e C é um ponto qualquer da circunferência x2 + y2 =
5. A abscissa do ponto C que torna a área do triângulo ABC
a menor possível é:
a) - 1 b) - 3/4 c) 1 d) 3/4 e) 2
7. (FUVEST) Para cada número real n seja Pn=(xn,yn) o
ponto de intersecção das retas
nx + y = 1 e x - ny = 1. Sabendo-se que todos os pontos Pn
a) 0 < m <
d) m = 1
1
3
b) m =
1
3
e) 1 < m <
c)
1
<m<1
3
5
3
52
12. (FUVEST) Uma reta r determina, no primeiro quadrante
do plano cartesiano, um triângulo isósceles, cujos vértices
são a origem e os pontos onde a reta intercepta os eixos 0x
e 0y. Se a área desse triângulo é 18, a equação de r é:
a) x - y = 4
b) x - y = 16
c) x + y = 2
d) x + y = 4
e) x + y = 6
13. (FUVEST) Uma circunferência passa pelos pontos
(2,0), (2,4) e (0,4). Logo, a distância do centro dessa
circunferência à origem é:
a)
2 b)
3 c)
4 d)
5 e)
6
14. (FUVEST) Das regiões hachuradas na sequência, a
que melhor representa o conjunto dos pontos (x, y), do
plano cartesiano, satisfazendo ao conjunto de
desigualdades
x ≥ 0;
y ≥ 0;
x - y + 1 ≥ 0;
x2 + y2 ≤ 9,
é:
17. (FUVEST) A elipse x2 + (y2/2) = 9/4 e a reta y = 2x + 1,
do plano cartesiano, se interceptam nos pontos A e B.
Pode-se, pois, afirmar que o ponto médio do segmento AB
é:
a) (-2/3, -1/3) b) (2/3, -7/3) c) (1/3, -5/3)
d) (-1/3, 1/3) e) (-1/4, 1/2)
18. (FUVEST) Os pontos A = (0, 0) e B = (3, 0) são vértices
consecutivos de um paralelogramo ABCD situado no
primeiro quadrante. O lado AD é perpendicular à reta y = 2x e o ponto D pertence à circunferência de centro na
origem e raio 5 . Então, as coordenadas de C são:
a) (6, 2)
d) (5, 2)
b) (6, 1) c) (5, 3)
e) (5, 1)
19. (FUVEST) Duas retas s e t do plano cartesiano se
interceptam no ponto (2,2). O produto de seus coeficientes
angulares é 1 e a reta s intercepta o eixo dos y no ponto
(0,3). A área do triângulo delimitado pelo eixo dos x e pelas
retas s e t é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
20. (FUVEST) Duas irmãs receberam como herança um
terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado a
seguir em um sistema de coordenadas. Elas pretendem
dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado
AB e passando pelo ponto P = (a, 0). O valor de a para que
se obtenham dois lotes de mesma área é:
15. (FUVEST) Se (m + 2n, m - 4) e (2 - m, 2n) representam
o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a:
a) -2
b) 0 c)2 d) 1
e) 1/2
16. (FUVEST) O conjunto dos pontos (x, y) do plano
cartesiano, cujas coordenadas satisfazem a equação (x2 +
y2 + 1) . (2x + 3y - 1) . (3x - 2y + 3) = 0, pode ser
representado, graficamente, por:
a)
5-1
b) 5 - 2 2
5
e) 5 + 2 2
d) 2 +
c) 5 -
2
21. (FUVEST) O conjunto dos pontos (x,y), do plano
cartesiano que satisfazem t2 - t - 6 = 0, onde t = │x - y│,
consiste de
a) uma reta.
b) duas retas.
c) quatro retas. d) uma parábola.
e) duas parábolas.
53
22. (FUVEST) A circunferência dada pela equação x2 + y2
- 4x - 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e y
nos pontos A e B, conforme a figura.
O segmento MN é paralelo ao segmento AB e contém o
centro C da circunferência. É correto afirmar que a área da
região hachurada vale
a) π - 2 b) π + 2 c) π + 4 d) π + 6 e) π + 8
23. (FUVEST) Considere, no plano cartesiano Oxy, a
circunferência C de equação (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 e sejam
P e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy,
respectivamente.
Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ,
e com o maior perímetro possível.
Então, a área de PQR é igual a:
2-2
d) 2 2 + 2
a) 2
2-1
e) 2 2 + 4
b) 2
24. (FUVEST) No plano cartesiano x0y, a reta de equação
x + y = 2 é tangente à circunferência C no ponto (0,2). Além
disso, o ponto (1,0) pertence a C. Então, o raio de C é igual
a
3 2
2
b)
5 2
7 2
c)
2
2
d)
9 2
2
e)
11 2
2
3 5
5
5
5
b)
c)
d)
e)
4
4
2
8
tangente a C em um ponto Q. Então a distância de P a Q é
a)
5
26.(FUVEST) No plano cartesiano Oxy , a circunferência C
5 b) 2 5
c) 5
d) 3 5
b)
17
c)
18
d)
19
e)
20
28-(FUVEST) Considere o triângulo ABC no plano
cartesiano com vértices A = (0, 0),
B = (3, 4) e C = (8, 0). O retângulo MNPQ tem os vértices M
e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado
A—B e o vértice P sobre o lado B —C. Dentre todos os
retângulos construídos desse modo, o que tem área
máxima é aquele em que o ponto P é
a) (4, 16/ 5 )
b) ( 17 /4 , 3)
c) (5, 12 /5 )
d) ( 11/ 2 , 2)
e) (6, 8 /5)
29-(FUVEST) A equação X² + 2x +y² + my =n, em que m e
n são constantes, representa uma circunferência no plano
cartesiano. Sabe-se que a reta y= -x + 1 contém o centro da
circunferência e a intersecta no ponto (23, 4). Os valores de
m e n são, respectivamente,
a) 24 e 3 b) 4 e 5 c) 24 e 2 d) 22 e 4 e) 2 e 3
30. (UNESP) Seja A a intersecção das retas r, de equação
y = 2x, e s, de equação y = 4x - 2. Se B e C são as
intersecções respectivas dessas retas com o eixo das
abscissas, a área do triângulo ABC é:
a) 1/2. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.
32. (UNESP) Seja B ≠ (0, 0) o ponto da reta de equação
y = 2x cuja distância ao ponto A = (1, 1) é igual a distância
de A à origem. Então a abscissa de B é igual a:
a) 5/6 b) 5/7 c) 6/7 d) 6/5 e) 7/5
33. (UNESP) Considere uma circunferência de raio r < 4,
com centro na origem de um sistema de coordenadas
cartesianas. Se uma das tangentes à circunferência pelo
ponto (4, 0) forma com o eixo x um ângulo de 30 °, então o
ponto de tangência correspondente é:
a) (1, -
é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o
ponto (1, 2). Nessas condições, o raio de C vale
a)
15
31. ((UNESP) Dado um sistema de coordenadas
cartesianas no plano, considere os pontos A(2, 2), B(4, -1) e
C(m, 0). Para que AC + CB seja mínimo, o valor de m deve
ser:
a) 7/3. b) 8/3. c) 10/3. d) 3,5. e) 11/3.
25. (FUVEST) No plano cartesiano, os pontos (0, 3) e (-1,
0) pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência,
de centro em (-1/2,4) é tangente a C no ponto (0,3). Então,
o raio de C vale
a)
 x  12   y  22  1. Uma reta t passa por P e é
2
c) 2
a)
27.( FUVEST) São dados, no plano cartesiano, o ponto P
de coordenadas (3,6) e a circunferência C de equação
e) 10
d) (
3)
1
,- 2)
2
b) (1, -
e) (
2)
c) (
1  3
,
2
2
1
,- 3)
2
)
54
34. (UNESP) A distância do vértice da parábola
y = (x - 2) (x - 6) à reta y = (4/3)x + 5 é:
a) 72/25
b) 29/25
c) 43
d) 43/25
e) 43/5
35. (UNESP) Os pontos O, A e B, do plano cartesiano da
figura adiante, são os vértices de um triângulo equilátero
cuja medida dos lados é dada por 3 . As equações das
retas AB e OB são, respectivamente,
40. (UNESP) A equação da circunferência com centro no
ponto C= (2,1) e que passa pelo ponto P= (0,3) é dada por
a) x2 + (y - 3)2 = 0.
b) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4.
c) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 8.
d) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 16.
e) x2 + (y - 3)2 = 8.
41. (UNESP) O triângulo PQR, no plano artesiano, de
vértices P=(0,0), Q=(6,0) e R=(3,5), é
a) equilátero.
b) isósceles, mas não equilátero.
c) escaleno.
d) retângulo.
e) obtusângulo.
42. (UNESP) A figura representa uma elipse.
a) y = (
2 ) . x - 3 e y = (- 2 ) . x.
b) y = (
3).x-2
e y = (-
3 ) . x.
c) y = (
3).x-3
e y = (-
3 ) . x.
d) y = x +
e) y = 3x +
3e
3e
y = -x.
y = -3x.
A partir dos dados disponíveis, a equação desta elipse é
36. ((UNESP) Quando "a" varia sobre todos os números
reais, as equações y = ax + 1 representam
a) um feixe de retas paralelas.
b) um feixe de retas passando por (1, 0).
c) todas as retas passando pela origem.
d) todas as retas passando por (0, 1).
e) todas as retas passando por (0, 1), exceto uma.
 x2   y2 
  +   = 1.
 5   7 
  x  5 2    y  7 2 
 = 1.
+ 
b) 
9

  16 


 
a)
c) (x - 5)2 + (y - 7)2 = 1.
37. ((UNESP) Num sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais xOy, considere a reta r de equação y=x+1 e o
ponto P=(2, 1). O lugar geométrico dos pontos do plano,
simétricos dos pontos de r em relação a P, é a reta de
equação
a) y = x - 1. b) y = - x + 1. c) y = x + 3.
d) y = x - 3. e) y = - x + 2.
38. (UNESP) O comprimento da corda que a reta y = x
determina na circunferência de equação
(x + 2)2 + (y - 2)2 = 16 é
a) 4. b) 4 2 . c) 2. d) 2 2 . e)
2.
39. (UNESP) Seja
S = {(x, y) e IR2: x2 + y2 ≤ 16 e x2 + (y - 1)2 ≥ 9} uma
região do plano. A área de S é:
a) 5. b) 7. c) 5π. d) 7π. e) 7π2.
  x  5 2    y  7 2 
 + 
 = 1.
d) 
9

  16 

 

2
2
  x  3    y  4 
 = 1.
+ 
e) 
7
5


 


 
43. (UNESP) O conjunto de todos os pontos P(x, y) do
plano, com y ≠ 0, para os quais x e y satisfazem a equação
sen [y/(x2 + 1)] = 0 é uma
a) família de parábolas.
b) família de circunferências centradas na origem.
c) família de retas.
d) parábola passando pelo ponto Q(0,1).
e) circunferência centrada na origem.
55
44. (UNESP) Num sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais, o coeficiente angular e a equação geral da reta
que passa pelos pontos P e Q, sendo P = (2, 1) e Q o
simétrico, em relação ao eixo y, do ponto Q' = (1, 2) são,
respectivamente:
a) 1/3; x - 3y - 5 = 0.
b) 2/3; 2x - 3y -1 = 0.
c) - 1/3; x + 3y - 5 = 0.
d) 1/3; x + 3y - 5 = 0.
e) - 1/3; x + 3y + 5 = 0.
III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem
exatamente a largura da rua (calçadas e pista).
Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas
extremidades dos eixos maiores, a distância, em metros,
entre dois postes consecutivos deverá ser de
aproximadamente:
Dado: 0,9432 ≈ 0,889 e
0,111
45. (UNESP) Um triângulo tem vértices P = (2, 1), Q = (2,
5) e R = (x0, 4), com x0 > 0. Sabendo-se que a área do
triângulo é 20, a abscissa x0 do ponto R é:
a) 8. b) 9. c) 10. d) 11. e) 12.
a) 35. b) 30. c) 25. d) 20. e) 15.
46. (UNESP) Suponha que um planeta P descreva uma
órbita elíptica em torno de uma estrela O, de modo que,
considerando um sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais, sendo a estrela O a origem do sistema, a órbita
possa ser descrita aproximadamente pela equação
 x2 
 y2 

    = 1, com x e y em milhões de
 100 
 25 
quilômetros.
A figura representa a estrela O, a órbita descrita pelo
planeta e sua posição no instante em que o ângulo PÔA
mede
π
.
4
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:
Uma fábrica utiliza dois tipos de processos, P1 e P2, para
produzir dois tipos de chocolates, C1 e C2. Para produzir 1
000 unidades de C1 são exigidas 3 horas de trabalho no
processo P1 e 3 horas em P2. Para produzir 1 000
unidades de C2 são necessárias 1 hora de trabalho no
processo P1 e 6 horas em P2. Representando por x a
quantidade diária de lotes de 1 000 unidades de chocolates
produzidas pelo processo P1 e por y a quantidade diária de
lotes de 1000 unidades de chocolates produzidas pelo
processo P2, sabe-se que o número de horas trabalhadas
em um dia no processo P1 é 3x + y, e que o número de
horas trabalhadas em um dia no processo P2 é 3x + 6y.
A distância, em milhões de km, do planeta P à estrela O, no
instante representado na figura, é:
a) 2
d) 10
5.
b) 2
10 .
c) 5
2.
2 . e) 5 10 .
47. (UNESP) A figura mostra a representação de algumas
das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem calçadas
de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 m de
largura. Vamos admitir que:
I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área
iluminada na forma de uma elipse de excentricidade
0,943;
II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo
da lâmpada, no meio da rua;
56
48. (Unesp 2010) Dado que no processo P1 pode-se
trabalhar no máximo 9 horas por dia e no processo P2
pode-se trabalhar no máximo 24 horas por dia, a
representação no plano cartesiano do conjunto dos pontos
(x, y) que satisfazem, simultaneamente, às duas restrições
de número de horas possíveis de serem trabalhadas nos
processos P1 e P2, em um dia, é:
d)
a)
e)
b)
49. (UNESP) Dado que o lucro na venda de uma unidade
do chocolate produzido pelo processo P1 é de R$ 0,50,
enquanto que o lucro na venda de uma unidade do
chocolate produzido pelo processo P2 é de R$ 0,80, e se
forem vendidas todas as unidades produzidas em um dia
nos dois processos, no número máximo possíveis de horas,
o lucro obtido, em reais, será:
a) 3.400,00.
b) 3.900,00.
c) 4.700,00.
d) 6.400,00.
e) 11.200,00.
c)
57
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:
A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma cidade, no
qual estão identificadas a catedral, a prefeitura e a câmara de
vereadores. Observe que o quadriculado não representa os
quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos
pontos e retas no plano cartesiano.
Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos
equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida
Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada
pelos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de
vereadores.
53- (UNICAMP) No plano cartesiano, a reta de equação 2x –
3y = 12 intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. O
ponto médio do segmento AB tem coordenadas
a) (4, 4/ 3). b) (3, 2). c) (4, – 4 /3). d) (3, –2).
54. (ITA) Três pontos de coordenadas, respectivamente, (0,
0), (b, 2b) e (5b, 0), com
b > 0, são vértices de um retângulo. As coordenadas do
quarto vértice são dadas por:
a) (- b, - b)
b) (2b, - b)
c) (4b, - 2b)
d) (3b, - 2b) e) (2b, - 2b)
55. (ITA) Uma reta t do plano cartesiano xOy tem coeficiente
angular 2a e tangencia a parábola y = x2 - 1 no ponto de
coordenadas (a, b). Se (c, 0) e (0, d) são as coordenadas de
dois pontos de t tais que c > 0 e c = -2d, então a/b é igual a:
a) - 4/15 b) - 5/16 c) - 3/16 d) - 6/15 e) - 7/15
56. (ITA) Tangenciando externamente a elipse ε1, tal que ε1:
9x2 + 4y2 - 72x - 24y + 144 = 0, considere uma elipse ε2, de
eixo maior sobre a reta que suporta o eixo menor de ε1 e
cujos eixos têm a mesma medida que os eixos de ε1.
Sabendo que ε2 está inteiramente contida no primeiro
quadrante, o centro de ε2 é:
a) (7, 3) b) (8, 2) c) (8, 3) d) (9, 3) e) (9, 2)
50. (Unicamp 2011) Sabendo que a distância real entre a
catedral e a prefeitura é de 500 m, podemos concluir que a
distância real, em linha reta, entre a catedral e a câmara de
vereadores é de
a) 1500 m.
b) 500 5 m.
c) 1000 2 m.
d) 500 + 500 2 m.
51. (UNICAMP) O ponto de interseção das avenidas Brasil e
Juscelino Kubitschek pertence à região definida por
a) (x − 2)2 + (y − 6)2 ≤ 1.
b) (x − 1)2 + (y − 5)2 ≤ 2.
c) x  ]1, 3[, y  ]4, 6[.
d) x = 2, y  [5, 7].
52. (UNICAMP) A área do triângulo OAB esboçado na figura
abaixo é
a)
21
23
25
b)
c)
4
4
4
d)
57- (ITA) São dadas as parábolas p1: y = - x2 - 4x - 1 e p2: y
= x2 - 3x +
11
4
cujos vértices são denotados,
respectivamente, por V1 e V2. Sabendo que r é a reta que
contém V1 e V2, então a distância de r até à origem é:
a)
5
26
b)
7
26
c)
7
50
d)
17
50
e)
11
74
58. (ITA) Sabendo que o ponto (2, 1) é o ponto médio de uma
corda AB da circunferência (x - 1)2 + y2 = 4, então a equação
da reta que contém A e B é dada por:
a) y = 2x - 3
b) y = x - 1
c) y = - x + 3
d) y = 3x/2 - 2
e) y = - (1/2)x + 2
27
4
58
59. (ITA) São dadas as retas (r ) x-y+1 +
(s) x
2 =0 e
3 +y-2+ 3 =0 e a circunferência (C )
X²+2y+y²=0. Sobre a posição relativa desses três elementos,
podemos concluir que:
a) r e s são paralelas entre si e ambas são tangentes à C.
b) r e s são perpendiculares entre si e nenhuma delas é
tangente à C.
c) r e s são concorrentes, r é tangente à C e s não é tangente
à C.
d) r e s são concorrentes, s é tangente á C e r não é tangente
à C.
e) r e s são concorrentes e ambas são tangentes à C.
60. (ITA) Seja A o ponto de intersecção das retas r e s dadas,
respectivamente, pelas equações x + y = 3 e
x - y = -3. Sejam B e C pontos situados no primeiro quadrante
com B ∈ r e C ∈ s. Sabendo que d(A, B) = d(A, C) = 2 , então
a reta passando por B e C é dada pela equação
a) 2x + 3y = 1
b) y = 1
c) y = 2
d) x = 1
e) x = 2
61. (ITA) Considere os pontos A:(0, 0), B:(2, 0) e
C:(0, 3). Seja P:(x, y) o ponto de intersecção das bissetrizes
internas do triângulo ABC. Então x+y é igual a
a) 10+ 4.
10
b) 2 
3
c) 5 
2
d) 5
e) 2
62. (ITA) As retas y = 0 e 4x + 3y + 7 = 0 são retas suportes
das diagonais de um paralelogramo. Sabendo que estas
diagonais medem 4 cm e 6 cm, então, a área deste
paralelogramo, em cm2, vale:
a) 36/5 b) 27/4 c) 44/3 d) 48/3 e) 48/5
63. (ITA) Considere a hipérbole H e a parábola T, cujas
equações são, respectivamente,
5(x + 3)2 - 4(y - 2)2 = -20 e (y - 3)2 = 4(x - 1).
Então, o lugar geométrico dos pontos P, cuja soma dos
quadrados das distâncias de P a cada um dos focos da
hipérbole H é igual ao triplo do quadrado da distância de P ao
vértice da parábola T, é:
a) A elipse de equação
(x  3)2
4  (y  2)2
3
b) A hipérbole de equação
1
(y  1)2
5  (x  3)2
4
1
c) O par de retas dadas por y = ± (3x - 1)
d) A parábola de equação y2 = 4x + 4
e) A circunferência centrada em (9, 5) e raio
64. (ITA) Considere o paralelogramo ABCD onde A=(0,0), B=(1,2) e C=(-3,-4). Os ângulos internos distintos e o vértice D
deste paralelogramo são, respectivamente:
a) π/4, 3π/4 e D = (-2,-5)
b) π/3, 2π/3 e D = (-1,-5)
c) π/3, 2π/3 e D = (-2,-6)
d) π/4, 3π/4 e D = (-2,-6)
e) π/3, 2π/3 e D = (-2,-5)
65. (ITA) Considere a circunferência C de equação x2 + y2 +
2x + 2y + 1 = 0 e a elipse E de equação
x2 + 4y2 - 4x + 8y + 4 = 0. Então:
a) C e E interceptam-se em dois pontos distintos.
b) C e E interceptam-se em quatro pontos distintos.
c) C e E são tangentes exteriormente.
d) C e E são tangentes interiormente.
e) C e E têm o mesmo centro e não se interceptam.
66. (ITA) Pelo ponto C:(4, -4) são traçadas duas retas que
tangenciam a parábola y=(x-4)2+2 nos pontos A e B. A
distância do ponto C à reta determinada por A e B é:
a)6
12
b)
12 c) 12
d) 8 e) 6
67. (ITA) A área de um triângulo é de 4 unidades de
superfície, sendo dois de seus vértices os pontos A:(2, 1) e
B:(3, -2). Sabendo que o terceiro vértice encontra-se sobre o
eixo das abscissas, pode-se afirmar que suas coordenadas
são
a) (-1/2, 0) ou (5, 0). b) (-1/2, 0) ou (4, 0).
c) (-1/3, 0) ou (5, 0). d) (-1/3, 0) ou (4, 0).
e) (-1/5, 0) ou (3, 0).
68. (ITA) Duas retas r1 e r2 são paralelas à reta
3x - y = 37 e tangentes à circunferência
x2 + y2 - 2x - y = 0. Se d1 é a distância de r1 até a origem e
d2 é a distância de r2 até a origem, então d1 + d2 é igual a
a)
12 . b)
15 . c)
7 . d)
10 . e)
5.
69. (ITA) Seja o ponto A=(r,0), r>0. O lugar geométrico dos
pontos P=(x,y) tais que é de 3r2 a diferença entre o quadrado
da distância de P a A e o dobro do quadrado da distância de P
à reta y=-r, é:
a) uma circunferência centrada em (r, -2r) com raio r.
b) uma elipse centrada em (r, -2r) com semi-eixos valendo r e
2r.
c) uma parábola com vértice em (r, -r).
e) uma hipérbole centrada em (r, -2r) com semi-eixos valendo
r.
120
59
d)
3
.
2
3e
70. (ITA) O coeficiente angular da reta tangente à elipse
x2 y2

1
16 9
no primeiro quadrante e que corta o eixo das
abscissas no ponto P = (8,0) é
a)

3
3
b)

1
2
c)

2
3
d)

3
4
e)

2
4
71. (ITA) Num sistema de coordenadas cartesianas, duas
retas r e s, com coeficientes angulares 2 e 1/2,
respectivamente, se interceptam na origem 0. Se B ∈ r e C ∈ s
são dois pontos no primeiro quadrante tais que o segmento
BC é perpendicular a r e a área do triângulo OBC é igual a
12×10-1, então a distância de B ao eixo das ordenadas vale
a) 8/5. b) 4/5. c) 2/5. d) 1/5. e) 1.
72. (ITA) Considere a família de circunferências com centros
no segundo quadrante e tangentes ao eixo Oy. Cada uma
destas circunferências corta o eixo Ox em dois pontos,
distantes entre si de 4 cm. Então, o lugar geométrico dos
centros destas circunferências é parte:
a) de uma elipse.
b) de uma parábola.
c) de uma hipérbole.
d) de duas retas concorrentes.
e) da reta y = - x.
73. (ITA) A área do polígono, situado no primeiro quadrante,
que é delimitado pelos eixos coordenados e pelo conjunto
{(x, y)  IR2: 3x2 + 2y2 + 5xy - 9x - 8y + 6 = 0}, é igual a:
a)6 b) 5/2 c)2 d) 3 e) 10/3
74. (ITA) Uma circunferência passa pelos pontos
A = (0, 2), B = (0, 8) e C = (8, 8). Então, o centro da
circunferência e o valor de seu raio, respectivamente, são
a) (0, 5) e 6. b) (5, 4) e 5. c) (4, 8) e 5,5.
d) (4, 5) e 5. e) (4, 6) e 5.
75.(ITA) Assinale a opção que representa o lugar geométrico
dos pontos (x, y) do plano que satisfazem a equação
a)
3 e
1
.
2
b)
1
e 3.
2
c)
3 1
e .
2
2
3
.
2
77. (ITA) Sejam a reta s: 12x - 5y + 7 = 0 e a circunferência C:
x2 + y2 + 4x + 2y = 11. A reta p, que é perpendicular a s e é
secante a C, corta o eixo Oy num ponto cuja ordenada
pertence ao seguinte intervalo
a) (- 91/12, - 81/12)
b) (-81/12, - 74/12)
c) (- 74/12, 30/12)
d) (30/12, 74/12)
e) (75/12, 91/12)
78. (ITA) Os focos de uma elipse são F1(0, - 6) e
F2(0, 6). Os pontos A(0, 9) e B(x, 3), x > 0, estão na elipse. A
área do triângulo com vértices em B, F1 e F2 é igual a
a) 22 10
b) 18 10
d) 12 10
e) 6 10
c) 15
10
79. (ITA) Considere no plano cartesiano xy o triângulo
delimitado pelas retas 2x = y, x = 2y e
x = - 2y + 10. A área desse triângulo mede
a) 15/2. b) 13/4. c) 11/6. d) 9/4. e) 7/2.
80. (ITA) Sejam A : (a, 0), B : (0, a) e C : (a, a), pontos do
plano cartesiano, em que a é um número real não nulo. Nas
alternativas a seguir, assinale a equação do lugar geométrico
dos pontos P : (x, y) cuja distância à reta que passa por A e B,
é igual à distância de P ao ponto C.
a) x2 + y2 - 2xy - 2ax - 2ay + 3a2 = 0
b) x2 + y2 + 2xy + 2ax + 2ay + 3a2 = 0
c) x2 + y2 - 2xy + 2ax + 2ay + 3a2 = 0
d) x2 + y2 - 2xy - 2ax - 2ay - 3a2 = 0
e) x2 + y2 + 2xy - 2ax - 2ay - 3a2 = 0
81. (ITA) Dada a cônica λ: x2 - y2 = 1, qual das retas abaixo é
perpendicular à λ no ponto
P = (2,
3 )?
a) y =
3x-1
c) y =
3
x 1
3
e) y = -
a) Uma elipse.
b) Uma parábola.
c) Uma circunferência. d) Uma hipérbole.
e) Uma reta.
76. (ITA) A distância focal e a excentricidade da elipse com
centro na origem e que passa pelos pontos (1,0) e (0,-2) são,
respectivamente,
e) 2 3 e
b) y =
3
x
2
d) y = -
3
x7
5
3
x4
2
82. (ITA) Considere as circunferências
C1: (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4 e
C2: (x – 10)2 + (y – 11)2 = 9. Seja r uma reta tangente interna
a C1 e C2, isto e, r tangência C1 e C2 e intercepta o segmento
de reta O1O2 definido pelos centros O1 de C1 e C2 de C2. Os
pontos de tangência definem um segmento sobre r que mede
a) 5 3 . b) 4 5. c) 3 6. d)
25
. e) 9.
3
60
83. (ITA) Um triângulo equilátero tem os vértices nos pontos
A, B e C do plano xOy, sendo
B = (2,1) e C = (5,5). Das seguintes afirmações:
3
11
x ,
4
2
3
45
II. A esta na intersecção da reta y =  x 
com a
4
8
I. A se encontra sobre a reta y = 
circunferência (x – 2)2 + (y – 1)2 = 25,
III. A pertence às circunferências (x – 5)2 + (y – 5)2 = 25 e
2
7
75

2
 x  2    y  3  4 ,


A equação da circunferência dada é
a) 4x2 + 4y2 - 12x - 8y - 3 = 0
b) 4x2 + 4y2 - 12x - 8y - 4 = 0
c) 3x2 + y2 - 6x - 4y - 2 = 0
d) 3x2 + y2 - 6x - 4y - 4 = 0
e) x2 + y2 - 3/2x - y = 0
90. (UEL) Considere os pontos A(0,0) , B(2,3) e C(4,1). A
equação da reta paralela a AC conduzida pelo ponto B é:
a) x - 4y + 10 = 0
b) x + 4y -11 = 0
c) x - 4y -10 = 0 d) 2x + y - 7 = 0
e) 2x - y -1 = 0
91. (UEL) Considere os pontos A(0;0), B(2;3) e C(4;1).
O comprimento da altura do triângulo ABC, relativa ao lado
é (são) verdadeira(s) apenas
a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III.
BC , é
m
2
  é a equação
84. (ITA) Sejam m e n inteiros tais que
n
3
36x2 + 36y2 + mx + ny – 23 = 0 representa uma circunferência
de raio r = 1 cm e centro C localizado no segundo quadrante.
Se A e B são os pontos onde a circunferência cruza o eixo Oy,
a área do triângulo ABC, em cm2, é igual a
a)
8 2
2 2
2 2
4 2
2
b)
c)
d)
e)
9
3
3
9
3
85.(ITA) Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, 3) vértices de
um triângulo. A distância do baricentro deste triângulo ao
vértice A, em unidades de distância, é igual a
a)
5
3
b)
97
3
c)
109
5
d)
3
3
e)
10
3
86. (ITA) Sobre a parábola definida pela equação
x2  2xy  y2  2x  4y  1  0 pode-se afirmar que
a) ela não admite reta tangente paralela ao eixo Ox.
b) ela admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo Ox.
c) ela admite duas retas tangentes paralelas ao eixo Ox.
d) a abscissa do vértice da parábola é x  1.
2
e) a abscissa do vértice da parábola é x   .
3
87. (UEL) Considere, no plano cartesiano, o paralelogramo de
vértices (1, 1), (3, 3), (6, 1) e (8, 3). A maior diagonal desse
paralelogramo mede
a) 5 5 b)
71 c) 5 3 d)
53 e) 3 5
88. (UEL) São dados:
uma circunferência de centro C = (3/2,1);
um ponto T = (3/2, -1) que pertence à circunferência.
A reta que contém T e é paralela à reta de equação y = x é
dada por
a) 3x - 2y +1 = 0 b) 3x - 3y - 1 = 0
c) 2x - 2y - 5 = 0 d) 3x - 3y - 5 = 0
e) 3x - y - 1 = 0
89. (UEL) São dados:
uma circunferência de centro C = (3/2,1);
um ponto T = (3/2, -1) que pertence à circunferência.
3 2
5 2
c) 2 2 d)
e) 5 2
2
2
92. (UEL) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A =
a)
2 b)
(- 2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é
a) 4 b) 4 2 c) 8 d) 8 2 e) 16
93. (UEL) Seja P um ponto do eixo das ordenadas
pertencente à reta de equação 2x - 3y - 6 = 0. A equação da
circunferência de centro em P e tangente ao eixo das abcissas
é
a) x2 + y2 = 4
b) x2 + y2 + 4x = 0
c) x2 + y2 +4y = 0
d) x2 + y2 - 4x = 0
2
2
e) x + y - 4y = 0
94 (UEL) São dados os pontos A = (-2, 1),
B = (0, -3) e C = (2, 5). A equação da reta suporte da mediana
do triângulo ABC, traçada pelo vértice A, é:
a) y = 1 b) x = 1 c) x = y
d) x - y = 1
e) x + y = 1
95. (UEL) Sejam os pontos A e B as intersecções da reta r,
de equação x + y = 0, com a circunferência λ, de equação x2 +
y2 - 4x = 0.
O comprimento da corda AB é
a)
2 b) 2 2 c) 4 d) 4 2 e) 8
96. (UEL) Sejam os pontos A e B as intersecções da reta r,
de equação x + y = 0, com a circunferência λ, de equação x2 +
y2 - 4x = 0. A equação da reta paralela a r, conduzida pelo
centro de λ, é
a) x - y = 0
b) x - y - 2 = 0
c) x - y + 2 = 0
d) x + y - 2 = 0
e) x + y + 2 = 0
97. (UEL) Sejam os pontos A e B as intersecções da reta r,
de equação x + y = 0, com a circunferência λ, de equação x2 +
y2 - 4x = 0. Se A e B são tais que a abscissa de A é menor
que a de B, a equação da reta tangente a λ, traçada pelo
ponto B, é
a) y = - 2
b) x = - 2
c) y = 2x
d) x = 2 e) y = 2
98. (UEL) As retas de equações x - 2y + 1 = 0 e
61
-x - 2y - 1 = 0 são
a) concorrentes e não perpendiculares entre si.
b) paralelas e não coincidentes.
c) perpendiculares entre si.
d) coincidentes.
e) ortogonais.
c) A equação da circunferência é x2 + y2 + 4 = 0.
d) A reta de equação y = x + 2 não intercepta a circunferência.
e) O ponto (2, 2) está no interior da circunferência.
104. (UEL) No gráfico a seguir, os pontos
A(-1, -1) e B(3, -1) são vértices do quadrado ABCD. A respeito
da reta de equação y = x, é correto afirmar:
99. (UEL) Na figura a seguir têm-se a reta r, bissetriz do
primeiro e terceiro quadrantes, e as circunferências C 1 e C2,
de mesmo raio, tangentes entre si e com centros sobre r. Se a
equação de C1 é x2+y2=9, então o centro de C2 é o ponto
a) (1; 2 )
b) (3; 3)
d) (3; 6) e) (6; 6)
c) (3
2;3 2)
a) Contém o vértice D.
b) Contém o lado BC.
c) É paralela ao eixo x.
d) Contém o centro do quadrado.
e) É perpendicular à reta 2x - 2y + 1 = 0.
DESENHO PARA AS PRÓXIMAS 3 QUESTÕES
100. (UEL) A reta r intercepta o eixo das ordenadas em
y = 2 e a parábola p em seu vértice. Se a equação de p é y =
3x2 - 6x + 8, então r intercepta o eixo das abcissas no ponto
a) (3/4; 0) b) (2/5; 0) c) (0; 0)
d) (-1/2; 0) e) (-2/3; 0)
101. (UEL) A trajetória de um móvel no plano cartesiano pode
ser descrita, em função do tempo t, pelas equações
x  2  t

 y  3t
Essa trajetória determina uma reta
a) que contém os pontos (3; 9) e (-2; 6).
b) paralela à reta de equação 6x - 2y - 1 = 0.
c) perpendicular à reta de equação 3x - y + 1 = 0.
d) que contém os pontos (1; 3) e (7; 3).
e) perpendicular à reta de equação 5x - y = 0.
102. (UEL) Considere, no plano cartesiano, todos os pontos
que distam 2 unidades da reta de equação x - y - 3 = 0. Esses
pontos pertencem todos
a) às retas de equações -x + y + 5 = 0 ou
-x + y + 1 = 0.
b) ao 10. ou 40. quadrantes.
d) à circunferência de equação x2 + y2 - 9 = 0.
e) às retas de equações -x - y - 3/2 = 0 ou -x - y + 3/2 = 0.
103. (UEL) Uma circunferência de raio 2 tem centro na
origem do sistema cartesiano de coordenadas ortogonais.
Assim, é correto afirmar:
a) Um dos pontos em que a circunferência intercepta o eixo x
é (0, 1).
b) A reta de equação y = -2 é tangente à circunferência.
105. (UEL) A equação da reta perpendicular a r, traçada pelo
ponto A, é
a) x + y - 2 = 0
b) x + y + 2 = 0
c) x + y + 3 = 0
d) x - y + 3 = 0
e) x - y - 3 = 0
106. (UEL) A distância do centro C da circunferência λ à reta r
é
a)
( 2)
b)
2
2 c) 2 2 d) 3 2 e) 4 2
107 (UEL) A equação da circunferência de centro em A e raio
AB é
a) x2 + y2 - 6y + 8 = 0 b) x2 + y2 - 6x + 8 = 0
c) x2 + y2 - 6y + 1 = 0 d) x2 + y2 - 6x + 1 = 0
e) x2 + y2 - 6y - 1 = 0
62
108. (UEL) Em uma praça dispõe-se de uma região
retangular de 20 m de comprimento por 16 m de largura para
construir um jardim. A exemplo de outros canteiros, este
deverá ter a forma elíptica e estar inscrito nessa região
retangular. Para aguá-lo, serão colocados dois aspersores nos
pontos que correspondem aos focos da elipse. Qual será a
distância entre os aspersores?
a) 4 m b) 6 m c) 8 m d) 10 m e) 12 m
109. (UEL) Na decoração de uma pré-escola são usadas
placas com formas de figuras geométricas. Uma destas placas
é formada por uma figura que pode ser definida por x2 + y 2 8x - 8y + 28 ≤ 0 quando projetada em um plano cartesiano xy,
onde x e y são dados em metros. Esta placa vai ser pintada
usando duas cores, cuja separação é definida pela reta y = x
no plano xy. Considerando o plano cartesiano xy como
referência, a região acima da reta será pintada de vermelho e
a região abaixo da reta, de verde. Sabendo que a escola vai
fazer 12 destas placas e que, é necessária uma lata de tinta
para pintar 3m2 de placa, serão necessárias, no mínimo,
quantas latas de tinta vermelha?
a) 12 b) 24 c) 26 d) 32 e) 48
110. (UEL) Existem pessoas que nascem com problemas de
saúde relacionados ao consumo de leite de vaca. A pequena
Laura, filha do Sr. Antônio, nasceu com este problema. Para
solucioná-lo, o Sr. Antônio adquiriu uma cabra que pasta em
um campo retangular medindo 20 m de comprimento e 16 m
de largura. Acontece que as cabras comem tudo o que
aparece à sua frente, invadindo hortas, jardins e chácaras
vizinhas. O Sr. Antônio resolveu amarrar a cabra em uma
corda presa pelas extremidades nos pontos A e B que estão
12 m afastados um do outro. A cabra tem uma argola na
coleira por onde é passada a corda, de tal modo que ela
possa deslizar livremente por toda a extensão da corda.
Observe a figura e responda a questão a seguir.
111. (UEL) Seja a parábola de equação
y = 3x2 + 4. As equações das retas tangentes ao gráfico da
parábola que passam pelo ponto
P = (0, 1) são:
a) y = 5x +1 e y = - 5x + 1
b) y = 6x +1 e y = - 6x + 1
c) y = (3x/2) +1 e y = - (3x/2) + 1
d) y = (5x/4) +1 e y = - (5x/4) + 1
e) y = 5x - 1 e y = - 5x -1
112. (UEL) Considere a reta r de equação
y - 2x - 2 = 0. Com relação à representação geométrica da reta
r no plano cartesiano, pode-se afirmar:
I. A área do triângulo formado pela reta r e pelos eixos
coordenados tem o valor de 1 unidade quadrada.
II. A circunferência de equação x2 + y2 = 2 contém todo o
triângulo formado pela reta r e pelos eixos coordenados.
III. A circunferência de equação x2 + y2 + 2x - 4y = 0
tangencia a reta r.
IV. A reta r é perpendicular à reta 2y + x + 10 = 0.
A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é:
a) I e II b) I e III c) I e IV
d) II e III
e) II, III e IV
113. (UEL) O vértice, o foco e a reta diretriz da parábola de
equação y = x2 são dados por:
a) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1/4); Reta diretriz
y = -1/4
b) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1/2); Reta diretriz
y = -1/2
c) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1); Reta diretriz y = -1
d) Vértice: (0, 0); Foco: (0, -1); Reta diretriz y = 1
e) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 2); Reta diretriz y = -2
114. (UEL) Os pontos A = (6, 2), B = (-2, 6) e
C = (2, 6) são representados no plano cartesiano no qual O é
a origem. Considere as afirmativas a seguir:
I. Os segmentos de reta OA e OB são perpendiculares.
II. O cosseno do ângulo entre os segmentos de reta OB e OC
é
1
.
5
III. O ponto médio do segmento de reta AB é (4, -2).
Qual deve ser o comprimento da corda para que a cabra
possa pastar na maior área possível, dentro do campo
retangular?
a) 10 m. b) 15 m. c) 20 m. d) 25 m. e) 30 m.
IV. O ponto P = (3 - 3 , 1 + 3 3 ) é equidistante dos pontos
O e A.
A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é:
a) I e II b) II e III c) I e IV d) III e IV e) II, III e IV
115. (UEL) Considere os pontos distintos A, B, C e D do
plano cartesiano. Sabendo que A = (2, 3), B = (5, 7) e os
pontos C e D pertencem ao eixo y de modo que as áreas dos
triângulos ∆ABC e ∆ABD sejam iguais a (47/2) u2, onde u é a
unidade de medida usada no sistema. A distância d entre os
pontos C e D é:
a) d = (2/3) u.
b) d = 30 u.
c) d = (94/3) u.
d) d = - 10 u.
e) d = (47/5) u.
63
116. (UEL) Dois dos pontos A = (2,-1), B = (2,-3),
C = (1,4), D = (4,-3) estão numa das bissetrizes das retas 3y 4x - 3 = 0 e 4y - 3x - 4 = 0.
Nessas condições, a equação dessa bissetriz é:
a) y + x - 1 = 0
b) y + 7x - 11 = 0
c) y - x - 1 = 0
d) x = 2
e) y + x - 5 = 0
117. (UEL) Considere o círculo x2 + y2 - r2 = 0 de raio r e a
hipérbole x2 - y2 = 1.
Nesse caso, pode-se afirmar que:
a) Se r < 1, então as curvas se intersectam em quatro pontos.
b) Se r = 1, então as curvas tem quatro pontos em comum.
c) Se r = 1, as curvas se intersectam em (0,1) e
(0,-1)
d) Se r =
17 , então as curvas se intersectam apenas nos
pontos (3, 2
122.(PUC) Num plano cartesiano ortogonal, seja o triângulo
ABC, em que A, B e C são as interseções das retas de
equações: y=-1,5x+1, y=1,5x+1 e y=2 Considerando que a
unidade das medidas nos eixos coordenados é o metro e π =
3,14, então a rotação do triângulo ABC em torno do eixo das
ordenadas gera um recipiente cuja capacidade, em litros, é um
número
A) menor que 15000.
B) compreendido entre 15000 e 18000.
C) compreendido entre 18000 e 21000.
D) compreendido entre 21000 e 24000.
E) maior que 24000
123. (MACK) Se P(x,y) é o ponto de maior ordenada do plano
tal que x2+y2=x, então x+y vale:
a) -1
b) -1/2
c) 0
d) 1/2
124. (MACK) Na figura a seguir, as retas r e s são dadas
2 ) e (-3, -2 2 )
e) Se r > 17 , então as curvas se intersectam em quatro
pontos.
e) 1
pelos pontos (x,y) do plano tais que
 4x
2

 4xy  y 2 = 2.
A equação da reta t é:
118. (MACK) Num triângulo ABC são conhecidos o vértice A
= (3, 5) e as retas y - 1 = 0 e x + y - 4 = 0, suportes de duas
medianas do triângulo. A reta que passa pelos vértices B e C
tem equação:
a) 2x + 3y - 2 = 0.
b) 3x + y - 1 = 0.
c) x + 2y - 1 = 0. d) 2x + y - 1 = 0.
e) x + 3y - 1 = 0.
119. (MACK) A curva x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0 tem um único
ponto comum com a reta x + y = k,
k  IR. A soma dos possíveis valores de k é:
a) 4.
b) -2
c) -4.
d) 2.
e) 0.
120. (MACK) Na figura a seguir, cotg α = 4, tg β =
3) é o ponto médio de
2
e M (2,
3
AB .
a) 2x - 2y + 1 = 0
b) 2x - y + 3 = 0
c) 2x - y + 2 = 0 d) x - 2y + 2 = 0
e) x - 2y + 3 = 0
125. (MACK) As retas (3k - 1)x - (2 - k)y - k = 0 e
x + (k + 1)y + (k + 2) = 0, onde k é um número real, são
suportes das diagonais de um quadrado. Deste modo, a soma
dos possíveis valores de k é:
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
126. (MACK) Supondo π = 3, então os pontos (x, y) do plano
tais que x2 + y2 - 16 ≤ 0, com x + y ≥ 4, definem uma região
de área:
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
127. (MACK) Os pontos P(x, y) do plano tais que
y2 + xy - 2x2 ≥ 0, onde │ y │ ≤ 3, definem uma região de área:
Então o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A
e B é:
3
5
4
a) - 1. b) - 2. c) . d) . e) .
5
5
2
121. (MACK) Um segmento de reta de comprimento 8
movimenta-se no plano mantendo suas extremidades P e Q
apoiadas nos eixos 0x e 0y, respectivamente. Entre os pontos
do lugar geométrico descrito pelo ponto médio de PQ, o de
maior ordenada possui abscissa:
a) - 2. b) - 1. c) 0. d) 1. e) 2.
a) 27/2 b) 18 c) 9/2 d) 27 e) 13/2
128. (MACK) A reta que passa pelo centro da circunferência
x2 + y2 + 6x + 4y + 12 = 0 e é paralela à bissetriz dos
quadrantes pares tem equação:
a) x + y + 5 = 0
b) x + y - 5 =0
c) 5x + 5y + 1 = 0
d) x + y - 1 = 0
e) x + y + 1 = 0
64
129. (MACK) Na figura adiante, as retas r e s são paralelas e
a reta s é tangente à parábola de vértice (0, -2). Então a
distância d entre r e s é:
a)
d)
7 5 
5
11 5 
5
b)
e)
 8 5  c)  9 5 
5
12 5 
5
5
134. (MACK) Na figura a seguir, as retas t e s são paralelas e
a circunferência tem equação x2 + y2 - 8x - 8y + 28 = 0. Deste
modo, a área do triângulo que a reta tangente s define com os
eixos é igual a:
a) 2 b) 4 c)
3
2
d)
4
3
e)
1
2
135. (MACK) Dada a função real definida por f(x) =
(4  x 2 ) de [-2,2] em [0,2]. Considere uma reta t tangente
130. (MACK) Uma circunferência de centro C (a, b) passa
pelos pontos M (0, 0), N (4, 0) e P (k, k), M ≠ P. Então a + b
vale:
a) k b) k/2 c) 3k/2 d) 2k e) 3k
ao gráfico de f(x) e paralela à reta y = x + 509. Se (x, y) é o
ponto de tangência, então x + y vale:
131. (MACK) A reta de menor coeficiente angular, que passa
por um dos focos da elipse 5x2 + 4y2 = 20 e pelo centro da
circunferência x2 + y2 - 4x - 6y = 3, tem equação:
136. (MACK) Uma reta passa pelos pontos A(2, 1) e
B(K + 2, K - 1), encontrando o eixo das abscissas num ponto
P(m, o), com m > 2. Assinale, dentre as alternativas abaixo,
um possível valor de K.
a) - 5/4 b) 5/4 c) 9/4 d) 11/4 e) - 9/4
a) 3x - y - 3 = 0
c) x - 3y - 7 = 0
e) x - y + 1 = 0
b) 2x - y - 1 = 0
d) x - 2y - 4 = 0
132. (MACK) Na figura, a área do triângulo assinalado é 6.
Então a distância entre as retas paralelas r e s é:
a) 2 b)
6
3
7
8
c)
d)
e)
5
5
5
2
a) 0 b)  2 c) 2 2 d)
2 e) -2 2
137. (MACK) A circunferência da figura, tangente ao eixo e à
reta r, tem equação
x2 + y2 - 3x - 2ky + k2 = 0. Se α = arctg
3
, então k vale:
4
a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 5,0 e) 6,0
133. (MACK) A circunferência que passa pelos pontos (1, -3)
e (1, 5), cujo centro pertence à reta 2x - 3y - 6 = 0, possui raio
no intervalo:
a) [ 2, 3 [ b) [ 3, 4 [ c) [ 4, 5 [
d) [ 5, 6 [ e) [ 6, 7 ]
65
138. (MACK)
143. (PUC) A reta de equação y = 2x - 4 intercepta os eixos
coordenados nos pontos A e B. Esses pontos são os extremos
de um diâmetro da circunferência λ. A equação
correspondente a λ é
a) x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0
b) x2 + y2 - 2x + 4y = 0
c) 2x2 + 4y2 + 2x + 4y + 5 = 0
d) x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0
e) x2 + y2 + 6x + 3y - 4 = 0
Na figura, a distância entre as retas paralelas r e s é
triângulo OAB é isósceles. Um ponto de s é:
a) (17, -15) b) (-8, 6) c) (7, -3) d) (-9, 5) e) (3, 1)
2 eo
139. (MACK) Os gráficos de y = x - 1 e y = 2 definem com os
eixos uma região de área:
a) 6 b) 5/2 c) 4 d) 3 e) 7/2
140. (MACK) A reta
x
y
+
= 1, k > 0, forma, no primeiro
k k 1
144. (PUC) Considere a parábola de equação
y = -x2 + 2x + 4 e uma reta r. Se r é conduzida pelo vértice da
parábola e tem uma inclinação de 135°, então a equação de r
é
a) x + y + 2 = 0 b) x - y + 2 = 0 c) x + y - 2 = 0
d) x - y - 4 = 0 e) x + y - 4 = 0
145. (PUC) Na figura a seguir tem-se parte do gráfico da
x
 , no qual
2
função f, de IR em IR, definida por f(x) = cos 
estão destacados os pontos A e B.
quadrante, um triângulo de área 6 com os eixos coordenados.
O perímetro desse triângulo é:
a) 12 b) 18 c) 14 d) 10 2 e) 12 2
141. (MACK) Considere os triângulos, nos quais um dos
vértices é sempre o ponto (0, 2) e os outros dois pertencem à
reta r, como mostra a figura. Para x = 1, 2, 3, ..., n, a soma das
áreas dos n triângulos é:
Os pontos A e B pertencem à reta de equação
a) x - 3πy - π = 0 b) x + 3πy - π = 0
c) x - 3πy + π = 0
d) 2x + 3πy - π = 0
e) 2x - 3πy - π = 0
n
a)
2
2
. b) 3n. c ) 6n. d)
n 3  . e) n n
2
 1 
.
2
142. (PUC) Os pontos A = (-1; 1), B = (2; -1) e
C = (0; -4) são vértices consecutivos de um quadrado ABCD.
A equação da reta suporte da diagonal BD, desse quadrado,
é:
a) x + 5y + 3 = 0.
b) x - 2y - 4 = 0.
c) x - 5y - 7 = 0. d) x + 2y - 3 = 0.
e) x - 3y - 5 = 0.
146. (PUC) As equações das retas suportes dos lados de um
triângulo são: x + 3y - 3 = 0,
x - 3y - 3 = 0 e x = -1. Esse triângulo é
a) escaleno.
b) equilátero.
c) isósceles e não retângulo.
d) retângulo e não isósceles.
e) retângulo e isósceles.
147. (PUC) Sejam A, B, C, D vértices consecutivos de um
quadrado tais que A = (1; 3) e B e D pertencem à reta de
equação x - y - 4 = 0. A área desse quadrado, em unidades de
superfície, é igual a
a) 36 2 b) 36 c) 32 2 d) 32 e) 24 2
66
148. (PUC) Seja x2 + y2 + 4x = 0 a equação da circunferência
de centro Q representada a seguir
c) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
d) Todas as afirmações são verdadeiras.
e) Apenas a afirmação III é verdadeira.
152. (Ufu 2015) Em relação a um sistema de coordenadas
x0y (x e y em metros), o triângulo PQR tem ângulo reto
no vértice R  (3, 5), base PQ paralela ao eixo x e está
inscrito no círculo de centro C(1, 1). A área desse triângulo,
em metros quadrados, é igual a
a) 40. b) 8 20.
c) 4 20.
d) 80.
153. (Uece 2015) Em um sistema de coordenadas cartesiano
usual os pontos P  (1, 2) e Q  (4, 6) são vértices do
Se o quadrado PQMN tem os vértices Q e M sobre o eixo das
abcissas e o vértice N pertence à circunferência, o ponto N é
dado por
2 - 2; 2 ) b) (- 2 + 2; 2 )
c) ( 2 - 2; 2) d) (- 2 - 2; 2 - 2 )
e) (- 2 ; 2 - 2 )
a) (
149. (PUC) Sejam x + 2y - 1 = 0 e 2x - y + 3 = 0 as equações
das retas suportes das diagonais de um quadrado que tem um
dos vértices no ponto
(- 5; 3). A equação da circunferência inscrita nesse quadrado
é
a) x2 + y2 + 2x - 2y - 8 = 0
b) x2 + y2 + 2x + 2y - 8 = 0
c) x2 + y2 - 2x - 2y - 8 = 0
d) x2 + y2 + 4x - 2y - 10 = 0
e) x2 + y2 - 4x + 2y - 10 = 0
150. (Epcar (Afa) 2016) Considere os pontos A (4 ,  2),
B (2 , 0) e todos os pontos P (x , y), sendo x e y números
reais, tais que os segmentos PA e PB são catetos de um
mesmo triângulo retângulo.
É correto afirmar que, no plano cartesiano, os pontos P (x , y)
são tais que
a) são equidistantes de C (2 ,  1)
b) o maior valor de x é 3  2
c) o menor valor de y é 3
triângulo PQM. Se o vértice M está sobre a reta paralela ao
segmento PQ que contém o ponto (8, 6), então a medida da
área do triângulo PQM é
a) 7 u.a.
b) 8 u.a.
c) 9 u.a.
d) 10 u.a.
154. (Fuvest 2015) A equação x2  2x  y2  my  n, em
que m e n são constantes, representa uma circunferência no
plano cartesiano. Sabe-se que a reta y  x  1 contém o
centro da circunferência e a intersecta no ponto ( 3, 4). Os
valores de m e n são, respectivamente,
a) 4 e 3
b) 4 e 5
c) 4 e 2
d) 2 e 4
e) 2 e 3
155. (Uece 2015) No referencial cartesiano ortogonal usual
com origem no ponto O, a reta r, paralela à reta y  2x  1
intercepta os semieixos positivos OX e OY,
respectivamente, nos pontos P e Q formando o triângulo
POQ. Se a medida da área deste triângulo é igual a 9 m2 ,
então a distância entre os pontos P e Q é igual a
a)
5 m. b) 3 5 m. c) 4 5 m. d) 2 5 m.
156. (Espcex (Aman) 2015) O ponto simétrico do ponto (1,5)
em relação à reta de equação 2x  3y  4  0 é o ponto
a)  3,  1 . b)  1,  2. c)  4,4  . d)  3,8  . e)  3,2  .
d) x pode ser nulo.
157. (Ita 2015) Considere os pontos A  (0, 1), B  (0,5) e
151. (Espcex (Aman) 2016) Considere as afirmações:
a reta r : 2x  3y  6  0. Das afirmações a seguir:
I. Uma elipse tem como focos os pontos F1( 3, 0), F2 (3, 0) e
x2 y2
a medida do eixo maior é 8. Sua equação é

 1.
16 7
II. Os focos de uma hipérbole são F1( 10, 0), F2 (10, 0) e
sua excentricidade é
5
. Sua equação é 16x 2  9y 2  576.
3
I. d(A,r)  d(B,r).
II. B é simétrico de A em relação à reta r.
III. AB é base de um triângulo equilátero ABC, de vértice
C  (3 3,2) ou C  (3 3,2).
É (são) verdadeira(s) apenas
a) I. b) II. c) I e II. d) I e III. e) II e III.
2
III. A parábola 8x   y  6y  9 tem como vértice o ponto
V(3, 0).
Com base nessas afirmações, assinale a alternativa correta.
a) Todas as afirmações são falsas.
b) Apenas as afirmações I e III são falsas.
67
158. (Uece 2015) No referencial cartesiano ortogonal usual, a
medida da área do quadrilátero convexo cujos vértices são as
interseções de cada uma das retas x  y  1  0 e
x  y  1  0 com a circunferência x 2  y 2  25, calculada
com base na unidade de comprimento (u.c) adotada no
d)
35
40
25
25
e
e
. e)
.
3
3
3
3
163. (Udesc 2015) Seja f a função que representa a área do
triângulo ABC, representado na figura.
referencial cartesiano considerado, é
a) 16(u.c)2 .
b) 14(u.c)2 .
c) 18(u.c)2 .
d) 20(u.c)2 .
159. (Pucrj 2015) Sejam r e s as retas de equações
x 5
 , respectivamente, representadas no
2 2
gráfico abaixo. Seja A o ponto de interseção das retas r e s.
Sejam B e C os pontos de interseção de r e s com o eixo
y  x2 e y  
horizontal, respectivamente.
A expressão da função f(x), para 0  x  4, é:
3 2
b) f(x)  3x  12
x  6x  12
4
3
3
2
2
c) f(x)   x  3x  x  12 d) f(x)  x  5x  4x  12
a) f(x) 
2
e) f(x)   x  8x  16
164. (Ita 2015) Considere uma circunferência C, no primeiro
quadrante, tangente ao eixo Ox e à reta r : x  y  0.
A área do triângulo ABC vale:
a) 1,0 b) 1,5 c) 3,0 d) 4,5
Sabendo-se que a potência do ponto O  (0,0) em relação a
e) 6,0
160. (Fgv 2015) Observe as coordenadas cartesianas de
cinco pontos:
essa circunferência é igual a 4, então o centro e o raio de C
são, respectivamente, iguais a
a) (2, 2 2  2) e 2 2  2.

A(0,100), B(0, 100), C(10,100),
D(10, 100), E(100,0).
b)  2,


Se a reta de equação reduzida y  mx  n é tal que mn  0,
então, dos cinco pontos dados anteriormente, o único que
certamente não pertence ao gráfico dessa reta é
a) A. b) B. c) C. d) D. e) E.
2 1
2 1
 .
 e

2
2
2 2
c) (2, 2  1) e
2  1.
d) (2, 2  2) e 2  2.
e) (2, 4 2  4) e 4 2  4.
161. (Unicamp 2015) No plano cartesiano, a equação
x  y  x  y representa
165. (Upf 2015) Sabendo que o ponto P(4, 1) é o ponto
a) um ponto.
b) uma reta.
c) um par de retas paralelas.
d) um par de retas concorrentes.
x 2  6x  y 2  4  0, então a equação da reta que passa por
médio de uma corda AB da circunferência
A e B é dada por:
a) y  x  5 b) y  x  5


162. (Ita 2015) Dados o ponto A   4,
25 
e a reta
6 
d) y  x  3 e) y  
c) y  x  3
1
x5
2
r : 3x  4y  12  0, considere o triângulo de vértices ABC,
cuja base BC está contida em r e a medida dos lados AB e
AC é igual a
25
. Então, a área e o perímetro desse
6
triângulo são, respectivamente, iguais a
a)
22
40
23
40
25
31
e
e
e
. b)
. c)
.
3
3
3
3
3
3
68
166. (Ueg 2015) Observe a figura a seguir.
170. (Espcex (Aman) 2016) Considere a circunferência que
passa pelos pontos (0, 0), (0, 6) e (4, 0) em um sistema de
coordenadas cartesianas ortogonais. Sabendo que os pontos
(0, 6) e (4, 0) pertencem a uma reta que passa pelo centro
dessa circunferência, uma das retas tangentes a essa
circunferência, que passa pelo ponto (3,  2), tem por
equação
a) 3x  2y  13  0
b) 2x  3y  12  0
d) x  5y  13  0
c) 2x  y  8  0
e) 8x  3y  18  0
Sabendo-se que a circunferência de maior raio passa pelo
centro da circunferência de menor raio, a equação da
circunferência de maior raio é
a) x 2  y 2  4x  4y  18  0
b) x 2  y 2  4x  4y  14  0
c) x 2  y 2  8x  8y  14  0
d) x 2  y 2  8x  8y  18  0
167. (Upe 2015) No sistema cartesiano, sendo a
2
2
circunferência C de equação x  y  6x  2y  6. Qual
a equação da circunferência C ' simétrica de C em relação à
origem do sistema?
a) x2  y 2  6x  2y  4
c) x2  y 2  6x  2y  4
b) x2  y 2  6x  2y  4
d) x2  y 2  6x  2y  6
e) x2  y 2  6x  2y  6
168. (Uece 2015) A interseção das curvas representadas no
plano, com o sistema cartesiano ortogonal usual, pelas
171. (Unicamp 2016) Considere o círculo de equação
cartesiana x 2  y 2  ax  by, onde a e b são números
reais não nulos. O número de pontos em que esse círculo
intercepta os eixos coordenados é igual a
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4.
172.(Fuvest 2016) no plano cartesiano, um círculo de centro
P=(a,b) tangencia as retas de equações y=x, x=0. Se P
pertence à parábola de equação y=x² e a>0, a ordenada b do
ponto P é igual a
a) 2+ 2
2
d) 5+ 2 2
b) 3+ 2
2
e) 6+ 2 2
c) 4+ 2
2
173. (Uerj 2017) Considere o gráfico a seguir, em que a
área S é limitada pelos eixos coordenados, pela reta r,
que passa por A(0, 4) e B(2, 0), e pela reta
perpendicular ao eixo x no ponto P(xo ,0), sendo
0  xo  2.
equações x 2  y 2  1 e | x |  | y | 2 é um conjunto
a) vazio.
b) unitário (um ponto).
c) com dois elementos (dois pontos).
d) com quatro elementos (quatro pontos).
169. (Epcar (Afa) 2016) Analise as proporções abaixo e
escreva V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. (
) A distância entre o vértice e o foco da parábola
2
y  4x  4  0 é igual a 1 unidade de comprimento.
II. ( ) Numa hipérbole equilátera, as assíntotas são
perpendiculares entre si.
III. (
) A equação 2x 2  y 2  4x  4y  4  0 representa
uma elipse que tem um dos focos no ponto P (1, 4)
A sequência correta é
a) F - F - V b) V - F - V c) F - V - F d) V - V - F
Para que a área S seja a metade da área do triângulo
de vértices C(0, 0), A e B, o valor de x o deve ser
igual a:
a) 2  2 b) 3  2 c) 4  2 d) 5  2
174. (Eear 2017) Seja ABC um triângulo tal que
A(1, 1), B(3,  1) e C(5, 3). O ponto _____ é o baricentro
desse triângulo.
a) (2, 1). b) (3, 3). c) (1, 3). d) (3, 1).
69
175. (Eear 2017) O triângulo ABC formado pelos
pontos A (7, 3), B ( 4, 3) e C ( 4,  2) é
a) escaleno
b) isósceles
c) equiângulo
d) obtusângulo
176. (Espcex (Aman) 2017) Considere a reta t
mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos
em que a reta
s : 2 x 3y  12  0 intercepta os eixos coordenados.
Então, a distância do ponto M(1, 1) à reta t é
a)
13 3
11
b)
10 13
13
d)
3 11
13
e)
3 3
11
c)
13 11
13
O valor de (x1  y1)2  (x 2  y 2 )2 é igual a
a)
5
2
b)
7
2
c)
9
2
d)
13
11
e)
2
2
182. (Epcar (Afa) 2017) Seja
λ : 3x2  3y2  6x  12y  k  0, uma circunferência que
no plano cartesiano tem intersecção vazia com os eixos
coordenados.
Considerando k  , é correto afirmar que
k k
a) P  ,  é interior a λ.
3 3
b) existem apenas dois valores inteiros para k.
c) a reta r : x  k intersecta λ.
d) se c é o comprimento de λ, então c  2π unidades
de comprimento.
177. (Pucsp 2017) A circunferência
λ  x2  y2  4x  10y  13  0, de centro C, e a reta
183. (Efomm 2017) Sejam as circunferências
r : x  y  11  0 se interceptam nos pontos P e Q. A
c1 : x 2  y 2  16  0 e c 2 : (x  2)2  (y  2)2  4.
Considere A e B os pontos de intersecção dessas
circunferências. Determine a distância entre A e B.
7
a) 2 7 b) 14 c) 2 14 d) 7 e)
2
área do triângulo PCQ, em unidades de área, é
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9
178. (Eear 2017) As posições dos pontos A (1, 7) e
B (7, 1) em relação à circunferência de equação
(x  6)2  (y  2)2  16 são, respectivamente,
a) interna e interna. b) interna e externa.
c) externa e interna. d) externa e externa.
179. (Unicamp 2017) Considere a circunferência de
equação cartesiana x 2  y 2  x  y. Qual das equações
a seguir representa uma reta que divide essa
circunferência em duas partes iguais?
a) x  y  1. b) x  y  1.
c) x  y  1.
d) x  y  1.
180. (Espcex (Aman) 2017) Seja C a circunferência de
equação x2  y2  2x  4y  2  0. Considere em C a
corda MN cujo ponto médio é P( 1,  1). O
comprimento de MN (em unidade de comprimento) é
igual a
a) 2 b) 3 c) 2 2 d) 2 3 e) 2
181. (Fuvest 2017) Duas circunferências com raios 1 e
2 têm centros no primeiro quadrante do plano
cartesiano e ambas tangenciam os dois eixos
coordenados. Essas circunferências se interceptam em
dois pontos distintos de coordenadas (x1, y1) e
(x2 , y2 ).
184. (Espcex (Aman) 2017) Os valores reais de n para
os quais a reta (t) y  x n seja tangente à elipse de
equação 2 x2  3y2  6 são iguais a
a)  5 e 5 b)  3 e
d) 2 e 2 e) 5 e 5
3
c) 3 e 3
GABARITO
1) B 2)A 3)D 4)B 5)A 6)C 7)A 8)A 9)E 10)E 11)C 12)E
13)D 14)A 15)E 16)D 17)D 18)E 19)B 20)B 21)B 22)B
23)D 24)B 25)E 26)C 27)D 28)D 29)A 30)A 31)C 32)D
33)A 34)E 35)C 36)E 37)D 38)B 39)D 40)C 41)B 42)B
43)A 44)C 45)E 46)B 47)B 48)E 49)A 50) B 51) B 52)C
53)D 54) C 55)A 56)D 57)E 58)C 59)E 60)D 61)A 62)E
63)E 64)D 65)C 66)C 67)C 68)E 69)E 70)D 71)B 72)C
73)B 74)D 75)C 76)E 77)C 78)D 79)A 80)A 81)E 82)A
83)E 84)D 85)B 86)B 87)D 88)C 89)A 90)A 91)D 92)A
93)C 94)A 95)B 96)D 97)A 98)A 99) C 100)E 101)B
102)C 103)B 104)D 105)D 106)B 107)C 108)E 109)C
110)C 111)B 112)C 113)A 114)C 115)C 116)A 117)E
118)C 119)A 120)A 121)C 122)A 123)E 124)C 125)A
126)B 127)A 128)A 129)C 130)A 131)E 132)C 133)D
134)C 135)A 136)B 137)A 138)A 139)C 140)A 141)B
142)C 143)B 144)A 145)A 146)C 147)B 148)A 149)A
150)B 151)C 152)C 153)B 154)A 155)B 156)A 157)D
158)B 159)B 160)E 161)D 162)E 163)A 164)A 165)A
166)C 167)D 168)C 169)D 170)A 171)C 172)B 173)A
174)D 175)A 176)B 177)C 178)C 179)C 180)C 181)C
182)B 183 )B 184)A
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