Matemática

Questão 37
Questão 38
No gráfico abaixo, tem-se a evolução da área
da vegetação nativa paulista, em quilômetros
quadrados, nos períodos indicados. (Fonte:
Folha de S. Paulo, 04/10/2002)
Na figura abaixo, os pontos A, B e C são as
imagens dos números complexos z1 , z2 e z 3 ,
no plano de Argand-Gauss.
Se|z1|=|z2|=|z 3|= 3 e θ = 60o, então
A área, no 4º período, apresenta
a) uma diminuição de 38 587 000 m2 em relação à do 1º período.
b) uma diminuição de 39 697 000 000 m2 em
relação à do 1º período.
c) uma diminuição de 9 952 800 m2 em relação à do 2º período.
d) um aumento de 678 600 000 m2 em relação
à do 3º período.
e) um aumento de 678 600 m2 em relação à
do 3º período.
alternativa D
Sabemos que 1 km 2 = 10 6 m 2 . Assim, a área
no 4º período apresenta:
de (72 573 − 33 986) km 2 =
• uma diminuição
2
= 38 587 km = 38 587 000 000 m 2 em relação
à área do 1º período;
• uma diminuição de (43 938,8 − 33 986) km 2 =
= 9 952,8 km 2 = 9 952 800 000 m 2 em relação à
área do 2º período;
de (33 986 − 33 307,4) km 2 =
• um aumento
= 678,6 km 2 = 678 600 000 m 2 em relação à
área do 3º período.
Portanto a única afirmação correta é a da alternativa D.
z1 + z2 + z 3 é igual a
b) 3 − 3 i
a) (3 − 3 ) i
d) 3 + 3 i
e) 3i − 3
c) (3 +
3)i
alternativa A
Pela figura:
• z1 = 3 (cos 60 o + i sen 60 o ) =
1
i 3 
3
3i
;
= 3
+
+
 =
2 
2
2
2
•
z2 =
=
− 3
3i
;
+
2
2
3 (cos (180 o − 60 o ) +
 1
i 3 
+ i sen(180 o − 60 o )) = 3  −
+
 =
2 
 2
•
z3 = − 3 i .
 3
3 
Assim z1 + z 2 + z3 = 
−
+
2 
 2
3
3

+
− 3  i = (3 − 3 )i .
+
2

2
Questão 39
Dois viajantes partem juntos, a pé, de uma
cidade A para uma cidade B, por uma mesma estrada. O primeiro anda 12 quilômetros
por dia. O segundo anda 10 quilômetros no
matemática 2
primeiro dia e daí acelera o passo, em meio
quilômetro a cada dia que segue.
Nessas condições, é verdade que o segundo
a) alcançará o primeiro no 9º dia.
b) alcançará o primeiro no 5º dia.
c) nunca alcançará o primeiro.
d) alcançará o primeiro antes de 8 dias.
e) alcançará o primeiro no 11º dia.
alternativa A
Se o primeiro viajante anda 12 km por dia, após n
dias terá andado 12 ⋅ n km. O segundo viajante,
andando 10 km no primeiro dia e 0,5 km a mais a
cada dia que segue, terá andado, em km, após
n dias, a soma de n elementos de uma PA de
primeiro termo igual a 10 e razão 0,5, ou seja,
 10 + 10 + (n − 1) ⋅ 0,5 
⋅ n . Assim, o segundo
2


viajante alcança o primeiro quando
 10 + 10 + (n − 1) ⋅ 0,5 
12 ⋅ n =
⋅ n ⇔ n = 9.


2
Logo o segundo alcançará o primeiro no 9º dia.
Questão 40
O valor da expressão y =
x= 2 ,é
a) 2 − 2
x3 − 8
, para
x + 2x + 4
2
b) 2 + 2
−4
e)
3
d) −0,75
Temos y =
=
x
−8
x 2 + 2x + 4
(x − 2)(x 2 + 2x + 4)
x 2 + 2x + 4
Para x = 2 ,
y = 2 − 2.
o
a
matriz
1 b  1 b 
 −19
⇔ 
⋅
 =  10
a 1  a 1 

−8 
⇔
−19 
2b   −19
1 + ab
⇔ 
=
1 + ab   10
 2a
−8 
⇔
−19 
1 + ab = −19
a =5
⇔ 2a = 10
⇔
b = −4
2b = −8
Logo a + b = 1.
Questão 42
A função f do 2º grau, definida por
f(x) = 3x2 + mx + 1, não admite raízes reais
se, e somente se, o número real m for tal que
a) −12 < m < 12
b) −3 2 < m < 3 2
c) −2 3 < m < 2 3
d) m < −3 2 ou m > 3 2
e) m < −2 3 ou m > 2 3
alternativa C
A função quadrática f(x) = 3x 2 + mx + 1 não admite raízes reais se, e somente se, seu discriminante é negativo, ou seja, m 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 1 < 0 ⇔
⇔ −2 3 < m < 2 3 .
=
Questão 43
= x − 2.
valor
da
expressão
é
Questão 41
Seja
 −19 −8 
A2 = 
 ⇔
 10 −19 
c) 2
alternativa A
3
alternativa B
1 b 
A = 

a 1 
−19 −8 
A2 = 
.
 10 −19
É verdade que a + b é igual a
a) 0
b) 1
c) 9
d) −1
tal
que
Seja f a função logarítmica dada por
f(x) = log x, para todo número real x > 0.
Então
a) o gráfico de f é simétrico ao gráfico da função g, de R em R, definida por g(x) = 10− x .
b) f[(x + y)2 ] = 2f (x) + 2f (y), x e y reais positivos.
c) o gráfico de f é simétrico ao da sua inversa f −1 , em relação à reta y = − x.
d)|f(x)|= f(x) se, e somente se, 0 < x < 10.
e) f −1 (x + y) = f −1 (x) ⋅ f −1 (y), quaisquer x e y
e) −9
reais.
matemática 3
alternativa E
a) Falsa. O gráfico da f é simétrico ao gráfico da
função f −1 (x) = 10 x em relação à reta y = x .
Observação: pode-se provar que não existe nenhuma simetria entre os gráficos de f e
g(x) = 10 − x .
b) Falsa. Para x, y reais positivos, f [(x + y) 2 ] =
= 2f(x) + 2f(y) ⇔ log(x + y) 2 = 2(log x + log y) ⇔
⇔ 2 log (x + y) = 2 log xy ⇔ x + y = xy ,
o que não é verdade, por exemplo, para x = 1 e
y = 1.
c) Falsa. O gráfico da f é simétrico ao da sua inversa f −1 somente em relação à reta y = x .
d) Falsa. | f(x)| = f(x) se, e somente se, f(x) ≥ 0 ⇔
⇔ log x ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.
e) Verdadeira. Para x, y reais quaisquer,
f −1(x + y) = 10 x + y = 10 x ⋅ 10 y = f −1(x) ⋅ f −1(y)
Questão 44
No intervalo ]0, π[, os gráficos das funções definidas por y = sen x e y = sen 2x interceptam-se em um único ponto.
A abcissa x desse ponto é tal que
π
π
π
a) 0 < x <
b)
< x <
4
4
2
π
π
3π
c) x =
d)
< x <
4
2
4
3π
e)
< x < 2π
4
alternativa B
No intervalo ]0; π[, sen x = sen 2x ⇔ sen x =
= 2 sen x cos x ⇔ 2 sen x cos x − sen x = 0 ⇔
⇔ sen x(2 cos x − 1) = 0 ⇔ sen x = 0 ou
1
π
.
cos x =
⇔ x =
2
3
Assim os gráficos das funções y = sen x e
y = sen 2x interceptam-se em um ponto de absπ
π
π
. Logo
cissa x =
.
< x <
3
4
2
14
4
3
c) cos θ =
2
e) tg θ = 7
2
4
1
d) sen θ =
2
a) cos θ =
b) sen θ =
alternativa E
C
D
2x
x
q
A
x
180° _ q
B
x 2
$ é agudo, a maior diagoComo o ângulo DAB
nal é AC. Sendo ABCD um paralelogramo,
BC = AD = x .
No triângulo ABC, pela lei dos co-senos,
AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 ⋅ AB ⋅ BC ⋅ cos(180 o − θ ) ⇔
⇔ 4x 2 = 2x 2 + x 2 + 2 ⋅ x 2 ⋅ x ⋅ cosθ ⇔
2
.
⇔ cosθ =
4
Visto que θ é um ângulo agudo,
 2 
senθ = 1 − cos 2 θ = 1 − 

 4 
senθ
Portanto tgθ =
=
cosθ
14
4
2
4
=
2
=
14
.
4
7.
Questão 46
Na figura abaixo os pontos A, B e C estão
representados em um sistema de eixos cartesianos ortogonais entre si, de origem O.
Questão 45
Em um paralelogramo ABCD, os lados AB e
AD medem, respectivamente, x 2 cm e x cm,
e θ é o ângulo agudo formado por esses lados.
Se a diagonal maior mede 2x cm, então o ângulo θ é tal que
É verdade que a equação da
a) circunferência de centro em B e raio 1 é
x2 + y2 − 8x − 6y + 24 = 0.
matemática 4
b) circunferência de centro em B e raio 1 é
x2 + y2 − 6x − 4y + 15 = 0.
Questão 48
c) reta horizontal que passa por A é y = 2.
d) reta que passa por C e é paralela à bissetriz do 1º quadrante é x − y − 2 = 0.
e) reta que passa por C e é paralela à bissetriz do 1º quadrante é x + y − 2 = 0.
A intersecção de um plano α com uma esfera
de raio R é a base comum de dois cones circulares retos, como mostra a região sombreada da figura abaixo.
alternativa D
Da figura, temos A = (2; 1), B = (3; 4) e C = (4; 2).
A circunferência com centro em B = (3; 4) e raio 1
tem equação (x − 3) 2 + (y − 4) 2 = 12 ⇔
⇔ x 2 + y 2 − 6x − 8y + 24 = 0 .
A reta horizontal que passa por A = (2; 1) tem equação y = 1.
A reta que passa por C = (4; 2) e é paralela à bissetriz do 1º quadrante tem coeficiente angular
igual a 1 e, assim, uma equação dada por y − 2 =
= 1 ⋅ (x − 4) ⇔ x − y − 2 = 0.
Portanto a única equação correta é a apresentada
na alternativa D.
Se o volume de um dos cones é o dobro do volume do outro, a distância do plano α ao centro O é igual a
R
R
R
2R
2R
a)
b)
c)
d)
e)
5
4
3
5
3
alternativa C
Questão 47
As medidas dos lados de um triângulo retângulo, em centímetros, são numericamente
iguais aos termos de uma progressão aritmética de razão 4.
Se a área desse triângulo é de 96 cm2 , o perímetro desse triângulo, em centímetros, é
a) 52
b) 48
c) 42
d) 38
e) 36
Sejam h e 2R − h as alturas dos cones e r o raio
da circunferência determinada pela intersecção
do plano α com a esfera, conforme representados
a seguir:
2R _ h
O
h
alternativa B
Estando os lados do triângulo retângulo em PA de
razão 4, as medidas dos catetos são x − 4 e x
e a da hipotenusa, x + 4, com x > 4.
Assim
(x − 4) ⋅ x
= 96
2
⇔ x = 16
(x + 4) 2 = x 2 + (x − 4) 2
Logo o perímetro do triângulo é igual a
(16 − 4) + 16 + (16 + 4) = 48 cm.
r
Como o volume de um dos cones é o dobro do
1
volume do outro,
⋅ π ⋅ r 2 ⋅ (2R − h) =
3
1
= 2 ⋅
⋅ π ⋅ r 2 ⋅ h ⇔ 2R − h = 2h ⇔
3
2
⇔ h =
R. Assim a distância do plano α ao
3
2
R
centro O é igual a R − h = R −
.
R =
3
3