Fasores - Aprender

Eletrônica Básica
Prof. Vinícius Secchin de Melo
Fasores
1- FASORES
Fasores, são na realidade vetores que giram e uma determinada velocidade em um
círculo trigonométrico, dando origem as funções senoidais. Então toda função senoidal pode
ser representada por um fasor. A representação fasorial é simples, apesar de se basear na
teoria dos números complexos. Lembre-se que toda função senoidal pode ser escrita por:
v  t = Vmáx sen   t 
Quando colocamos esta função em um círculo trigonométrico, e a fazemos girar com
uma velocidade angular  , temos a função senoidal originada. Observe a figura 3.13.


190o 210o 230o 250o
30o
50o
70o
90o
270o 290o 310o 330o 350o
110o 130o 150o 170o
Figura 3.13
Observe que o fasor foi colocado inicialmente na posição  =30o , que corresponde a
fase inicial. Se a fase inicial fosse zero =0o , teríamos a situação da figura 3.14.
190o 210o 230o 250o
10o 30o
50o
70o
90o
270o 290o 310o 330o 350o
110o 130o 150o 170o
Figura 3.14
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Observe também que o tamanho do fasor é exatamente igual ao máximo atingido pela
função, ou seja, sua amplitude. A representação algébrica da notação fasorial é baseada na
teoria dos números complexos, porém iremos fazer uma simplificação da teoria, utilizando a
análise vetorial com um pouco de trigonometria para entendermos as operações com fasores.
Para isto vamos definir dois eixos (figura 3.15), um Real (eixo horizontal) e um
Imaginário (eixo vertical). Estes dois eixos formam o que chamamos matematicamente do
plano complexo ou plano imaginário.
Eixo
Imaginário
Plano
complexo
Eixo Real
Figura 3.15
A representação de um fasor no plano complexo é muito simples, basta transladarmos o
fasor do circulo trigonométrico para o plano complexo, atentos à fase inicial do fasor. Observe a
figura 3.16.
Eixo
Imaginário
Z
b

Eixo Real
a
Figura 3.16
No plano complexo o fasor pode ser representado por um número complexo Z, que
possui uma parte Real a, e uma parte imaginária b. Podemos também representá-lo através de
seu módulo (tamanho do fasor) e seu ângulo (fase do fasor). Esta duas formas de
representação dão origem as formas retangular e polar de se representar um número
complexo discriminadas a seguir.
- Forma retangular:
Na forma retangular o número complexo (nosso fasor) é representado a seguinte forma:
Z = {parte real} + j {parte imaginária}
Observe que o termo j representa na teoria dos números complexos a raiz de  −1 ,
porém em nosso estudo, somente será utilizado para identificar a parte imaginária de uma
notação fasorial.
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- Forma polar:
Na forma polar o número complexo (nosso fasor) é representado da seguinte forma:
Z = ∣Z∣/ 
/ 
Onde ∣Z∣ representa o módulo do número complexo, ou seja, o comprimento do fasor, e
representa a fase inicial do fasor.
Um número complexo Z qualquer, pode ser representado tanto em sua forma
retangular, como em sua forma polar, e a transformação de uma forma para outra não passa
de uma simples transformação trigonométrica. Observe a figura 3.17.
Eixo
Imaginário
Z
b

Eixo Real
a
Figura 3.17
O nosso número complexo Z pode ser representado pela sua forma polar, sendo então:
Z=∣Z∣/ 
Observe que a (parte Real) e b (parte Imaginária) são os catetos de um triângulo
retângulo e Z (módulo do fasor) a hipotenusa. Sendo assim, aplicando um pouco de
trigonometria, teremos:
A parte Real a do número complexo como sendo a projeção horizontal do fasor, dada
por:
a=∣Z∣cos 
Já a parte Imaginária b pode ser calculada como sendo a projeção vertical do fasor, dada
por:
b =∣Z∣sen 
Podemos também fazer o contrário, aplicando o Teorema de Pitágoras, podemos
calcular o módulo Z do número complexo, ou fasor, conhecendo suas partes Real e Imaginária.
Então:
2
Z
=a2 b2
Já a fase  pode ser obtida através da função trigonométrica tangente, pois:
tg  =
b
a
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Exemplo 1
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Represente as seguintes funções senoidais na forma polar e retangular.
a) v(t) = 50 sen (1000t + 30o) V
forma polar:
o
V=50 / +30
V
Forma retangular:
o
a=50cos 30 =43,30
o
b=50sen 30 =25
V=43,30j25 V
b) i(t) = 2 sen (377t – 45o) A
forma polar:
o
i=2 / −45 V
Forma retangular:
o
o
a=2 cos−45 =1,414 e b=2 sen −45 =1,414
i=1,414j1 ,414 A
c) v(t) = 180 sen (377t + 90o) V
forma polar:
o
V=180 / +90
V
Forma retangular:
o
o
a=180 cos90 =0 e b=180 sen 90 =180
V=j180 V
d) i(t) = 10 sen (500t – 90o) A
forma polar:
o
i=10 / −90
A
Forma retangular:
o
o
a=10cos −90 =0 e b=10sen −90 =−10
i=−j10 A
e) v(t) = 75 sen 800t
forma polar:
o
V=75 / 0 V
Forma retangular:
o
o
a=75cos 0 =75 e b=75sen 0 =0
V=75 V
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2- Operações com fasores
As operações com fasores, ou números complexos são bem simples, sendo realizadas na
forma retangular ou polar:
- forma retangular
Sejam dois fasores
f 1=ajb e
f 2=c jd
A soma ou subtração na forma retangular é bem simples, pois a fazemos agrupando as
partes reais e as partes imaginárias, fazendo assim as operações com cada grupo. Sendo
assim:
f 1f2 =ajbcjd
f 1f2 =acjbd
f 1−f2 =ajb−cjd
f 1−f2 =ac−jbd
O produto pode ser feito aplicando a propriedade distributiva, então:
f 1 . f2=ajb.cjd
f 1 . f2=a.cj a.djb.cj.j b.d
Lembrando que
j= −1  j.j=  −1 .  −1=−1
f 1 . f2=a.c−b.dj a.db.c
A divisão não será apresentada aqui, pois sua resolução é muito complicada, sendo esta
feita na forma polar.
- forma polar
Na forma polar a soma e subtração são bem complicadas, portanto não citadas aqui,
porém a multiplicação e a divisão são extremamente simples comparadas a forma retangular.
Sejam dois fasores f 1=∣f 1∣/ 
e f 2=∣f 2∣/  .
O produto será dado por:
f 1 . f2=∣f1∣.∣f 2∣/ 
Enquanto a divisão:
f1 ∣f 1∣
=
/ −
f2 ∣f 2∣
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Exemplo 2
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Sejam os seguintes fasores: f 1=2 j5,
o
f 2=4− j3,
a) f1 + f2
f 3=20 / 30
e f 4=5 / −45
o
. Determine:
b) f1 – f2
=2 j54− j3
=24j5− j3
=6 j2
=2 j5−4− j3
=2−4−j5− j3
=−2−j2
c) f1 . f2
o
f 1=2 j5 retangular⇒ polar f1=5,38 / 68,2
o
f 2=4− j3 retangular⇒ polar f2=5 / −36,8
o
o
=5,38.5 / 68,2 −36,8 
o
ou =25,26j15,42
=26,9 / 31,4
d) f 1÷f2
o
f 1=2 j5 retangular⇒ polar f1=5,38 / 68,2
o
f 2=4− j3 retangular⇒ polar f2=5 / −36,8
5,38
/ 68,2o−−36,8 o
5
o
ou =−0,27j1 ,04
=1,076 / 105
=
e) f3 + f4
o
f 3=20 / 30 polar ⇒ retangular f3=17,32 j10
o
f 4=5 / −45 polar⇒ retangular f4=3,53−j3 ,53
=17,32 j103,53−j3 ,53
=20,85j6 ,47 ou =21,83 / 17,23 o
f) f3 – f4
o
f 3=20 / 30 polar ⇒ retangular f3=17,32 j10
o
f 4=5 / −45 polar⇒ retangular f4=3,53−j3 ,53
=17,32 j10−3,53−j3 ,53
=13,79j13,53 ou =19,32 / 44,45 o
g) f3 . f4
o
o
=20.5 / 30 −45 
o
ou =96,59−j25 ,88
=100 / −15
h) f 3÷f4
20
/ 30o−−45o
5
o
ou =1,036j3 ,86
=4 / 75
=
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