DATA DE ENTREGA / / 2015 NOTA___________

DATA DE ENTREGA / / 2015
NOTA___________
VISTO___________
NOME:_____________________________
Lista de Exercícios 4 Bimestre
Matéria: Análise de Circuitos
Professor(a): Igor
Turma: 4TE3A
____________________________________
N˚:_________
Objetivos essenciais: Treinar os conhecimentos sobre números complexos e analise de circuitos usando
números complexos.
Números Complexos
Introdução: A compreensão dos números complexos é importante na análise de circuitos CA (corrente
alternada), pois a impedância, a tensão e a corrente são expressas mais adequadamente na forma de
números complexos. Os cálculos são simplificados quando se usam números complexos.
Em um número complexo z = a + jb, o primeiro termo, a, é denominado de parte real e o segundo, jb, é
denominado de parte imaginária. Esta forma de expressar o número é denominada como forma
retangular.
Outra forma de representar um número complexo é a forma polar, expressa como z = r , onde:
r = é o módulo do vetor z
 = é o ângulo de fase em relação ao eixo real positivo.

Operações com números complexos:
Soma: A soma dos números complexos deve ser realizada usando a forma retangular:
Ex: Z1 = 2 + j3, Z2 = -2 + j2
= (2 + j3) + (-2 + j2) ----- somar os números real com real e imaginário com imaginário.
= 2 + j3 -2 + j2
= (2 – 2) + (j3 + j2)
= 0 + j5
1
Subtração: A subtração dos números complexos deve ser realizada usando a forma retangular:
Ex: Z1 = 2 + j3, Z2 = -2 + j2
= (2 + j3) - (-2 + j2) ----- subtrair os números real com real e imaginário com imaginário.
= 2 + j3 + 2 - j2
= (2 + 2) + (j3 - j2)
= 4 + j1 ou 4 + j
Multiplicação: A multiplicação dos números complexos pode ser realizada usando as formas
retangular e polar:
Ex: Z1 = 2 + j3, Z2 = -2 + j2
Resolução usando a Forma Retangular:
= (2 + j3) x (–2 + j2) ----- aplicar a multiplicação distributiva dos números complexos.
= (2) x (–2) + (2) x (j2) + (j3) x (–2) + (j3) x ( j2)
= –4
+ j4
+
– j6
+
j26
-------- j2 = (–1)
= –4
+
– j2
+ (–1)6
= – 4 – j2 – 6
= – 10 – j2
Resolução usando a Forma Polar:
Transformar os números para a forma polar.
Z1 = 2 + j3 = 3,6  56,3°
Z2 = -2 + j2 = 2,83  135°
3,6  56,3° x 2,83  135° ------ multiplicar os números do módulo r = (3,6 x 2,83) = 10,18
------ somar os números do ângulo  = (56,3° + 135°) = 191,3°
Portanto, o produto será Z1 x Z2 = 10,18  191,3.
Divisão: A divisão dos números complexos pode ser realizada usando as duas formas, mas para facilitar
os estudos aprenderemos apenas através da formas polar:
Ex: Z1 = 2 + j3, Z2 = -2 + j2
Resolução usando a Forma Polar:
Transformar os números para a forma polar.
Z1 = 2 + j3 = 3,6  56,3°
Z2 = -2 + j2 = 2,83  135°
3,6  56,3° x 2,83  135° ------ dividir os números do módulo r = (3,6 / 2,83) = 1,27
------ subtrair os números do ângulo  = (56,3° – 135°) = – 78,7°
Portanto, o produto será
𝑍1
𝑍2
= 1,27  – 78,7°.
2
Exercícios:
1- Desenhe no gráfico
abaixo os seguintes
números complexos:
Z1 = -j4
Z2 = 2 – j2
Z3 = 1
Z4 = -3 – j2
Z5 = 2 + j3
Z6 = -2 + j2
Z7 = -5 +J3
Z8 = 6+j1
2- Converta os números complexos a seguir da
forma retangular z = a + jb, para a forma polar
z = r . Faça o gráfico indicando os números
Z.
a) Z1 = 4+ j4
b) Z2 = 4 + j3
3- Converta os números complexos a seguir da
forma polar z = r  para a forma retangular z
= a + jb. Faça o gráfico indicando os números
Z.
a) Z1 = 100 35°
b) Z2 = 20 -30°
3
4- Calcule a soma dos números complexos:
a) 5 + j6 e 1 –j3.
b) 3 + j2 e 1 –j3.
5- Calcule a diferença (subtração) dos números complexos:
a) 5 + j6 e 1 –j3.
b) 3 + j2 e 1 –j3.
c) Calcule o produto dos números complexos:
a) 3 + j5 e 4 – j6.
b) 40 + j60 e 50 – j45.
c) Realize a divisão dos números complexos:
a) 35 + j50 e 21 – j45.
b) 3 + j5 e 4 – j6.
4
Impedância Complexa em Série
Impedância de um circuito RL série na forma retangular: Z = R +jXL
Impedância de um circuito RC série na forma retangular: Z = R – jXC
Z = impedância complexa do circuito [Ω]
R = resistência do circuito [Ω]
XL = reatância indutiva do circuito [Ω] (XL = 2πfL)
1
XC = reatância capacitiva do circuito [Ω] (XC = 2πfL)
Impedância de um circuito RL série na forma polar: Z = Z ,
Z = √R2 + XL2
 = tg-1
𝑿𝑳
𝑹
Impedância de um circuito RL série na forma polar: Z = Z ,
Z = √R2 + XC2
 = tg-1
𝑿𝑪
𝑹
Generalizando para um circuito RCL a impedância será:
- na forma retangular: Z = R + jX
- na forma polar: Z = Z ,
X = XL – XC
Z = √R2 + X2
 = tg-1
𝑿𝑪
𝑹
Triangulo das impedâncias:
5
Análise de Circuitos usando Números Complexos
Circuito CA RLC em série
LKT = Lei de Kirchhoff para Tensão
Vt = V1 + V2 + V3
Impedância total
Zt = Z1 + Z2 + Z3
V1 = I.Z1
V2 = I.Z2
V3 = I.Z3
Exercício:
1- Para um circuito RLC Série calcule a impedância Zt, a corrente It e as quedas de tensão V1, V2
e V2. Desenhe o diagrama fasorial de tensão e verifique a solução usando a LKT.
R1= 3Ω
XL= j4Ω
XC= -j8Ω
Vt= 20
6
Circuito CA RLC em paralelo
LKC = Lei de Kirchhoff para Correntes
It = I1 + I2 + I3
Impedância total
Zt = __________1___________
__1__ + __1__ + __1__
Z1
Z2
Z3
Para duas impedâncias em paralelo
Zt = __Z1_x_Z2__
Z1 + Z2
It = _Vt_
ZT
Exercício2:
1- No circuito a seguir calcule It e Zt. Desenhe também o diagrama de fasores.
7
Circuito CA Série-Paralelo
Para o circuito em série-paralelo a seguir, calcule ZT e IT. Vt = 500˚.
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