Física III Antonio Carlos Gomes da Cruz Junior 8751890 - IFSC-USP

Física III
Antonio Carlos Gomes da Cruz Junior 8751890
Mayra Diniz Cioni 7692983
Ronan Faleiros Neto 7656679
Tamiris Curti Marques 8122199
Ex. 29.55
O circuito mostado na figura 29.37 é um filtro de corte. (Considere
que a saída esteja conectada a uma carga que conduz uma
corrente insignificante).
a) Mostre que o filtro de corte rejeita sinais em uma banda de
frequências centrada em
.
b) Como a largura da banda de frequência rejeitada depende da
resistência R?
Introdução
Para a resolução do exercício é necessário saber alguns
conceitos importantes que serão apresentados a seguir.
Reatância Indutiva:
, com
Reatância Capacitiva:
Sendo ω a frequência angular.
= ,
, com
e
= ,
e
Fasores: As relações de fases entre correntes e tensões em
indutores e capacitores podem ser representadas por vetores
bidimensionais denominados fasores.
A tensão de em um resistor pode ser representada por um
Vetor , denominado fasor, de módulo
, que faz um ângulo
com o eixo dos x. A tensão
é a componente x de
( figura 1).
Figura 1
Quando dois ou mais componentes de um circuito estão
ligados em série, as tensões se somam, quando estão ligados em
paralelo, são as correntes que se somam.
Em um circuito constituído por um indutor L, um capacitor C e
um resistor R, todos ligados em série, existe apenas uma corrente
no circuito, que é representado como a componente x da corrente
fasorial . A tensão no indutor, VL, é representada por um fasor
cujo módulo é
e que está adiantada 90º em relação ao fasor
; a tensão no capacitor, VC, é representada por um fasor
cujo
módulo é
e que está atrasada de 90º em relação a corrente;
a tensão no resistor, Vr, é representada por um fasor
cujo módulo
é
e que está em fase com a corrente.
Impedância (Z)
É a oposição total que um circuito elétrico coloca à passagem
de uma corrente elétrica alternada. Essa corrente alterna é
composta pela reatância X (causada pela capacidade e/ou
indutância) e pode ser encontrada a partir da expressão: Z2 = R2 +
X2, onde R é a resistência e X a reatância.
Sabendo que a reatância é a diferença entre a reatância de indução
e a de capacidade, temos: X = XL – XC,
e portanto,
2
Z=
As relações de fase entre as tensões em um circuito RLC em
série estão representadas na figura 2. Onde a tensão no resistor, Vr,
está em série com a corrente; a tensão no indutor, VL, está
adiantada 90º em relação a corrente; a tensão no capacitor, Vc, está
atrasada de 90º em relação a corrente. A soma dos fasores que
representam essas tensões é um fasor que faz um ângulo com a
corrente e representa a tensão aplicada. Para o caso particular
apresentado na figura, VL é maior que Vc, portanto, a corrente está
atrasada de em relação à tensão.
Figura 2
A tensão está em fase com a corrente, e é dada por:
)
Ressonância:
Quando Xc e XL são iguais, a reatância toal é zero e a
impedância Z tem o menor valor possível, R. Nesse caso, Imax, tem
o maior valor possível e o ângulo de fase é zero, o que significa
que a corrente está em fase com a tensão aplicada. O valor de
para o qual Xc e XL são iguais pode ser calculado da seguinte forma:
XL = Xc
e portanto,
o
Quando , a frequência do gerador, é igual à frequência
natural, o, Imax é máxima e dizemos que o circuito está em
ressonância.
Resolução do Exercício:
Imaginando o problema temos a seguinte imagem:
Onde,
e
são fasores, Vent e Vsai, respectivamente.
Então, a projeção de
projeção de
no eixo horizontal é
no eixo horizontal é
= Vsai.
= Vent e a
Para este exercício, a exigência é que a impedância seja
zero, o que produzirá a frequência com que o circuito rejeita sinais.
Definindo a largura da banda como
, que exige Zo=R,
o qual resultará em uma expressão para a largura da banda,
revelando sua dependência de R.
a)
Expressão para o Vapl = Vapl pico
,
2
Onde: Vapl pico = Vpico = IpicoZ com Z=
(1)
Expressão para o Vsai = Vsai, pico
Onde: Vsai, pico=IpicoZo com Zo = XL-Xc
2
Como Z=
(2)
Se Vsai = VL + Vc , temos: Vsai= Vsai,
,
como
Ipico =
Vpico/Z,
2
e Zo = XL-Xc , temos : Z =
ficamos
.Substituindo a equação (2) : Vsai=
= IpicoZo
pico
com:
Vsai=
Zo
Zo
.
Como o exercício exige que impedância seja zero, temos que Zo=0
e Vsai=0, com isso obtemos: Z0= XL-Xc=0 (3).
Se XL =
obtemos:
e Xc =
e substituindo esses valores na equação 3,
b)
(3)
Zo=R
– 1=
=R
Se:
, então:
2
-1=

Matematicamente:
Então:
,
=
logo
Substituindo em (3):
.
=
Portanto:
=