Conjunto- Verdade de uma Sentença Aberta

Unidade de Ensino Superior Dom Bosco
Curso de Sistemas de Informação
Disciplina de Lógica Matemática e Computacional
Semestre 2013.2
1º Período
A Lógica das Sentenças Abertas
Profa. Ana Florencia
Aula 9
Roteiro
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Sentenças abertas com uma variável
Conjunto- verdade de uma sentença aberta
Sentenças com N variáveis e seu conjunto verdade
Conjunção sobre sentenças abertas
Disjunção sobre sentenças abertas
Negação sobre sentenças abertas
Demais operadores
1. O operador Condicional
2. O operador Bicondicional
8. Equivalências tautológicas
9. Exercício sobre sentenças abertas
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
2
Sentenças abertas com uma variável
• Definição:
– Uma sentença aberta com uma variável num
conjunto A;
– Ou uma sentença em A;
• P(x) tal que p(a) é verdadeira (V) ou falsa (F) para todo
elemento a pertencente ao conjunto A ,ou seja,
• Para todo a∈A;
• O conjunto A também é chamado de domínio da
variável x.
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
3
• Em outras palavras:
– uma sentença aberta em A é uma frase que contém
“espaços em brancos” (as variáveis) que devem ser
preenchidos com valores retirados do conjunto A.
• Quando um elemento é retirado deste conjunto e
“encaixado” na sentença aberta, então esta sentença
deixa de ser aberta;
• e passa a se comportar como uma proposição simples:
– tendo um valor lógico possível: ou ela é uma sentença que
afirma algo verdadeiro (proposição verdadeira) ou uma
sentença que afirma algo falso (uma proposição falsa).
• Diz-se que a sentença é fechada quando isto ocorre.
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
4
Construir sentenças
abertas, definindo
domínios apropriados
para suas variáveis, é
similar a jogar um
jogo de montar
“frases” ou “versos”,
onde uma frase ou
texto mais complexo
é formado a partir de
trechos sugeridos
pelos participantes.
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
5
• No caso do “jogo de montar sentenças
abertas” da lógica:
– é necessário escolher primeiro qual será o
domínio das variáveis, ou seja, de onde serão
retirados os elementos que se encaixarão na frase
aberta.
• Isto ocorre também nos jogos de montar
frases ou palavras.
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
6
Exemplo
Vamos supor o conjunto de móveis que podem pertencer a uma
sala de aula: estantes, mesas, cadeiras, quadro, computadores (e
seus componentes), etc.
• Sabendo qual é o domínio então pode-se
começar a “montar” as sentenças.
• No exemplo, poderíamos ter frases como:
– (a.1) “A minha mesa não está firme.”
– (b.1) “Esta é a cadeira que faltava.”
– (c.1) “A cadeira que falta aqui é a cadeira que está
sobrando lá no canto.”
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
7
• Estes exemplos apresentam proposições
simples, que são sentenças fechadas, sem
variáveis.
• Porém as variáveis poderiam aparecer como
espaços:
– (a.2) “A minha _ _ _ _ não está firme.”
– (b.2) “Esta é a _ _ _ _ que faltava.”
– (c.2) “A _ _ _ _ que falta aqui é a _ _ _ _ que está
sobrando lá no canto.”
– ......
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
8
• Um problema:
– “espaço em branco” é um espaço em branco igual
aos outros;
– Quando existe um só espaço em branco na frase,
então não há ambiguidade;
• Porém, quando ela aparece em vários lugares
é necessário indicar claramente quem é quem
em termos de “espaços em branco”.
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
9
Solução
• é dar “nome” aos espaços em branco, que
deixam de ser espaços e passam a ser variáveis:
– (a.3) “A minha x não está firme.”
– (b.3) “Esta é a x que faltava.”
– (c.3) “A x que falta aqui é a x que está sobrando lá no
canto.”
– Para os x pertencentes aos móveis da sala de aula.
– .....
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
10
• Para completar o processo de formalização, ou seja, deixar
as claro somente a forma das sentenças e não se preocupar
com seu conteúdo (seu significado), são atribuídos
símbolos para as afirmações abertas:
– (a.4) P(x) = “A minha x não está firme.”
– (b.4) Q(x) “Esta é a x que faltava.”
– (c.4) R(x) = “A x que falta aqui é a x que está sobrando lá no
canto.”
• Que são válidas para o domínio A que é o conjunto de
móveis da sala de aula.
• Dessa forma as sentenças são expressas simplesmente
como:
» P(x), Q(x) e R(x) para x∈A.
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
11
• Em termos da língua portuguesa, uma sentença
simples é formada basicamente por dois elementos: o
sujeito e seu predicado.
• Já as sentenças abertas formais:
– são normalmente construídas, considerando-se que o
sujeito da frase é substituído por uma variável;
– é definido um domínio para esta variável, dizendo quem
são os objetos, pessoas, entidades, coisas, etc.
– O predicado restante passa a ser então a afirmação que
está sendo feita sobre algum sujeito do domínio.
– Definição: sentenças abertas também são denominadas
simplesmente de PREDICADOS.
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
12
Outros exemplos:
• São sentenças abertas em N= {1, 2, 3, ... ,n, ...}
as seguintes expressões:
(d) x+1>8
(f) x2 - 5x + 6 = 0
(e) x é primo
(g) x é divisor de 10
para os x∈N.
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
13
Conjunto- Verdade de uma
Sentença Aberta
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
14
• Definição:
– chama-se conjunto- verdade de uma sentença
aberta P(x) num domínio A, o conjunto de todos
os elementos a∈A tais que P(a) é uma proposição
verdadeira.
• Formalmente o conjunto- verdade pode ser
definido como:
VP = {x | x∈A ∧ P(x)=V}
• ou, mais simplesmente como:
VP = {x∈A | P(x)}
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
15
Exemplos
• (a) O conjunto- verdade de P(x) = “x+1 > 8” em
N={1, 2, 3, ...} (conjunto dos números naturais)
é dado por:
VP = {x∈N | P(x)} = {x∈N | x+1 > 8}= {8, 9, 10, ... } ⊂ N
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
16
Exemplos
• (b) O conjunto- verdade de P(x) = “x+7 < 8” em
N={1, 2, 3, ...} (conjunto dos números naturais)
é dado por:
VP = {x∈N | x+7 < 5}= ∅ ⊂ N
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
17
Exemplos
• (c) O conjunto- verdade de P(x) = “x é divisor
de 10” em N={1, 2, 3, ...} (conjunto dos
números naturais) é dado por:
VP = {x∈N | x é divisor de 10}= {1, 2, 4, 10} ⊂ N
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
18
Exemplos
• (d) O conjunto- verdade de P(x) = “x+5 > 3” em
N={1, 2, 3, ...} (conjunto dos números naturais)
é dado por:
VP = {x∈N | x+5 > 3}= {1, 2, 3, 4, ...} = N ⊂ N
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
19
Importante
(I) Se P(x) é uma sentença aberta em A, então
três casos podem ocorrer:
– P(x) é verdadeira para todo x∈A. Neste caso o
conjunto- verdade de P(x) é igual ao próprio
domínio A. Quando isto ocorre se diz que P(x)
exprime uma condição universal ou propriedade
universal no conjunto A;
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
20
– (II) P(x) é verdadeira para alguns x∈A. Neste caso
o conjunto- verdade de P(x) é um subconjunto
próprio do domínio A. Quando isto ocorre se diz
que P(x) exprime uma condição possível ou
propriedade possível no conjunto A.
– P(x) não é verdadeira para nenhum x∈A. Neste
caso o conjunto- verdade de P(x) é vazio (VP = ∅).
Quando isto ocorre se diz que P(x) exprime uma
condição impossível ou propriedade impossível
no conjunto A.
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
21
Sentenças com N variáveis e seu
Conjunto- Verdade
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
22
• Supondo n conjuntos primitivos A1, A2, ..., An
que serão usados como domínios individuais
de cada variável da sentença.
• conjunto de todas as variáveis como o
conjunto resultante do produto cartesiano
destes conjuntos primitivos:
A1×A2×...×An
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
23
• O produto cartesiano de 2 conjuntos:
– A1×A2 é o conjunto formado por todos as duplas
ordenadas (a1, a2) onde,
• a1∈A1 e a2∈A2 .
• Definição:
– uma sentença aberta com n variáveis num
conjunto A1×A2×...×An, ou simplesmente
– uma sentença aberta em A1×A2×...×An, é uma
expressão P(x1, x2,..., xn)
– tal que p(a1, a2,..., an) é verdadeira (V) ou falsa (F)
para todo ênupla (a1, a2,..., an) ∈ A1×A2×...×An.
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
24
Então!!
• O conjunto-verdade de uma sentença aberta
P(x1, x2,..., xn) no domínio A1×A2×...×An é
– o conjunto de todas as ênuplas
– (a1, a2,..., an) ∈ A1×A2×...×An
– tais que P(a1, a2,..., an) é uma proposição verdadeira.
– Formalmente este conjunto- verdade pode ser
definido como:
VP = {(x1, x2,..., xn) ∈ A1×A2×...×An | P(x1, x2,..., xn)}
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
25
Exercício
• Determinar o conjunto- verdade em N
(conjunto dos números naturais) de cada
• uma das sentenças abertas a seguir:
(a) 2x = 6
(b) x-1<4
(c) x2 - 5x + 6 = 0
(d) x2 - x + 2 = 0
(e) x2 - 5x = 0 (f) x - 5 ∈ N
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
26
Conjunção sobre Sentenças
Abertas (∧)
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
27
• A conjunção lógica (a operação E lógico,
representada pelo símbolo ∧) pode ser
aplicada sobre sentenças abertas ou
predicados.
• ...
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
28
• Vamos começar a análise da conjunção de
sentenças abertas, supondo 2 sentenças abertas
bastante simples:
– “x é médico”, “x é professor”
– podem ser aplicadas sobre o domínio (conjunto) das
pessoas vivas atualmente.
• Agora se conectarmos ambas afirmações pelo
conectivo E lógico (∧) fica-se com a expressão:
– “x é médico” ∧ “x é professor”
– que somente pode ser verdadeira (satisfeita) para as
pessoas (os “x”) que são ambos médico(a) e
professor(a).
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
29
• Em todas as conjunções de sentenças abertas
onde os domínios são finitos pode-se
teoricamente montar uma tabela similar a vista
acima e verificar, usando as regras da lógica
proposicional, qual o valor-verdade da conjunção.
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
30
• Porém o que se pode fazer quando os
domínios são infinitos?
• Que tipo de significado se poderia atribuir
para a conjunção de sentenças abertas sobre
domínios infinitos?
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
31
A solução para este problema é?
• usando-se a Teoria Elementar dos Conjuntos
para definir o significado da operação de
conjunção lógica sobre duas sentenças
abertas.
• ...
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
32
• Vamos supor as duas sentenças já vistas anteriormente:
• Deste desenho deve ficar claro que somente a intersecção das duas
áreas (e portanto dos dois conjuntos) é que corresponde as pessoas
que são ambas médicos e professores.
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
33
• Graficamente isto pode ser mostrado pelo seguinte
diagrama:
• Ou seja o conjunto- verdade correspondente a
conjunção de duas sentenças abertas é dado pela
intersecção dos conjuntos- verdade de ambas
sentenças.
• Formalmente, este conjunto- verdade é definido como:
VP∧Q = VP ∩ VQ = {x∈A | P(x)} ∩ {x∈A | Q(x)}
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
34
Exemplo
• Sejam as seguintes sentenças abertas em Z
(conjunto dos número inteiros):
P(x) = x2 + x -2 = 0
Q(x) = x2 - 4 = 0
• Tem-se que:
VP∧Q = {x∈Z | P(x)} ∩ {x∈A | Q(x)}
• = {x∈Z | x2 + x -2 = 0} ∩ {x∈A | x2 - 4 = 0}
• = {-2, 1} ∩ {-2, 2}
• = {-2}
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
35
Disjunção sobre Sentenças
Abertas (∨)
Lógica matemática e Computacional- Profa.
Ana Florencia
36