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campo e potencial eléctricos: criação
campo e potencial eléctricos: efeito
se uma partícula carregada, q, for colocada
num campo eléctrico:
F qE
Uma carga pontual q cria um campo e um potencial à sua volta
E ke
q
rˆ ; V
r2
ke
q
r
para mover uma partícula carregada, q, num
campo eléctrico:
usar a sobreposição
para sistemas de
cargas
Wext
estão relacionados:
V
VB VA
B
A
E ds
U
q V
4.1
4.2
lei de Gauss – a ideia
4. lei de Gauss
uma técnica de cálculo extremamente útil
muito importante!
o “fluxo” total de linhas de campo que atravessa
qualquer destas superfícies é o mesmo, e depende
apenas da quantidade de carga no seu interior
4.3
4.4
1
lei de Gauss – a equação
E dA
E
superfície
fechada S
q
int
0
o fluxo eléctrico E (o integral de superfície de E
sobre a superfície fechada S) é proporcional à
carga dentro do volume limitado por S
4.5
4.6
4.1. fluxo de um vector
n̂
dS
• uma superfície
elementar dS
V
• definida pela normal
n
• sobre dS o campo
vectorial é
representado por V
superfície
d
d
V .dS
ˆ
V .ndS
V .dS
fluxo elementar de V em dS
4.7
4.8
2
exemplo: carga pontual
exemplo: carga pontual
4.9
4.10
4.11
4.12
3
cálculo do fluxo
cálculo do fluxo
caso I: E é constante e perpendicular a todos
os pontos da superfície
caso II: E é constante em todos os pontos do
plano mas a sua direcção faz um ângulo
com a normal à superfície
 
E dA
E
E
E
EA
E
objectivo geral: reduzir
todos os problemas a
este caso!
4.13
cálculo do fluxo que sai
EA cos
4.14
fluxo que sai ...
no caso geral: o vector pode mudar em todos os
pontos da superfície (grandeza e orientação)
 
E dA
fluxo que entra ...
superfície aberta
superfície fechada
a superfície é fechada, dA é normal à superfície
e aponta para fora
dA
E>
E<
0
0
se E (nos pontos da
superfície) aponta
para fora
a normal aponta para
fora da superfície
se E (nos pontos da
superfície) aponta
para dentro
4.15
• o rectângulo é uma superfície
aberta - não encerra nenhum
volume
• a esfera é uma superfície
fechada - encerra um volume
4.16
4
4.3. utilização de lei de Gauss para o cálculo
de campos eléctricos
4.2. lei de Gauss
a lei de Gauss facilita o cálculo de campos eléctricos em
pontos simétricos relativamente à distribuição de carga
o fluxo do campo eléctrico
que sai através de uma
superfície fechada é
proporcional à carga
contida no seu interior
E
 
E dA
S
1. identificar as regiões onde se deve calcular o vector E
2. escolher a superfície Gaussiana fechada atendendo à simetria
3. calcular o integral de superfície
 
E dA
E
S
4. calcular a carga que está contida dentro da superfície escolhida
Q
5. aplicar a lei de Gauss para obter E.
0
... para qualquer superfície fechada: S1, S2 ou S3
simetria
superfície gaussiana
esférica
esfera concêntrica
cilíndrica
cilindro coaxial
planar
"caixa" com faces paralelas
4.17
escolha da superfície gaussiana
4.18
carga pontual - fluxo através de superfície esférica
escolher as superfícies onde E é perpendicular & constante
então o fluxo é EA ou -EA
ou
o campo eléctrico nos pontos da esfera de
raio r é:
escolher as superfícies onde E é tangente
então o fluxo é nulo
EA
Q
E
exemplo: campo uniforme
E
simetria esférica com centro na carga
4
E
4
0
2
rˆ
4
EA
2
sin
rˆ
r 2 sin
d
d
d
rˆ
d
0 0
Q
4
r
2
Q
4.19
r
o fluxo do campo eléctrico através da
esfera é:
Q
o fluxo é EA no topo
o fluxo é –EA no fundo
o fluxo é zero nos lados
0
2 2
0
0
Q
0
dA
r2 s i n
d
d
rˆ
4.20
5
distribuição esférica e uniforme de carga
distribuição esférica e uniforme de carga
simetria esférica dentro e fora da distribuição de carga
simetria esférica dentro e fora da distribuição de carga
região 2: r > a
região 1: r < a
carga contida: é a carga total qint = +Q
carga contida:
qint
4 3
r
3
Q
4 3
a
3
fluxo de E:
ou
qint
E
E 4 r
E
S
lei de Gauss:
dA
E. A
S
E 4 r2
Q
E
4
0
E
Q
4
0
r
rˆ
a3
E
Q
E
4
0
r
0
r
rˆ
a3
Q
0
r3 Q
a3 0
qint
2
E 4 r2
E
 
E dA
V
E 4 r2
E
lei de Gauss:
fluxo de E:
r3
Q
a3
rˆ
2
Q
4
0
r2
rˆ
4.21
potencial numa esfera sólida não
condutora uniformemente carregada
potencial numa esfera sólida não
condutora uniformemente carregada
da lei de Gauss
Q
4
E
4
0
r2
4.22
região 2: r < R
rˆ , r
R
R
Qr
rˆ , r
3
0R
0
R
R
dr
B
usa-se
VB VA
E ds
A
VB V
Q
4
0
1
4
carga pontual!
região 1: r > R
r
drE r
VD V
0
r2
dr
1
4
0
Q
r
8
4
0
0
Q
R
0
Q
3
R
1
4.23
Q
r
r
2
R
1
4
0
dr
R
r
R
drE r
R
Qr
4 0 R3
Q 1 2
r
R3 2
R2
r2
R2
4.24
6
potencial devido a uma esfera sólida, não
condutora e uniformemente carregada
linha infinita de carga
simetria cilíndrica centrada sobre a linha
q
carga contida:
int
fluxo de E:
bases
E dA
0 E
 
E dA
E
lateral
S
lateral
E dA
dA EAlateral
E 2 r
justificação!
lei de Gauss:
fio de comprimento infinito
com densidade linear de
carga uniforme ( = dq/dl =
const.)
E 2 r
0
E
2
4.25
0r
rˆ
a distância r é qualquer, até ao ponto
onde se pretende determinar E
4.26
fluxo de um vector E através de
uma superfície cilíndrica
E cos180 dA
EA
a
E cos 90 dA
Erˆ
0
b
E cos 0 dA
EA
c
E
 
E dA
S
EA 0 EA
0
... e se E fosse:
4.27
E
Erˆ ?
4.28
7
4.4. condutores em equilíbrio
electrostático
plano infinito de carga
simetria planar ...
q
carga contida:
fluxo de E:
bases
E
A
int
 
E dA
E
E dA
bases
condutores (e isoladores: dieléctricos)
S
lateral
dA 0
E dA
EAbases
2.E. A
o fluxo sobre a superfície lateral é nulo
porque aí E é perpendicular a dA
lei de Gauss:
E.2 A
plano infinito com densidade
superficial de carga uniforme
( = dq/dA = const.)
• dentro do condutor E = 0 (cargas livres)
• todos os pontos interiores e da superfície estão
ao mesmo potencial
• as cargas distribuem-se na superfície exterior
A
E
0
2
nˆ
• no exterior E é perpendicular à superfície
0
4.29
nˆ
E
4.30
0
o poder das pontas!
o campo eléctrico é mais intenso junto a
superfícies de raio menor:
V
ke
q1
r1
ke
q2
r2
E1
ke
q1
r12
V
r1
E2
V
r2
4.31
4.32
8
aplicação da lei de Gauss a condutores
carga contida:
qint
A
fluxo de E:
E
bases
S
E dA
E dA
lateral
E
dA 0 0
n base
E dA
E A
n
o fluxo sobre uma base é nulo,
porque aí o campo é nulo; sobre a
superfície lateral é nulo também
porque aí E é perpendicular a dA
lei de Gauss: E A
n
q
int
0
E A
n
A
0
E
n
0
4.33
no exterior E é perpendicular à superfície
E.tdl
Et l En x '
0 l ' En x
0
No limite x e x' tendem para
zero, mas l tem grandeza finita.
Então:
a gaiola de Faraday e a lei de Gauss
a carga colocada no interior de um condutor oco induz na superfície
interna uma carga igual e de sinal contrário para que E = 0 no
material condutor
como E é conservativo, o integral de
linha sobre o percurso fechado
abcda é nulo:
abcda
4.34
E ( l)
t
0
Et = 0
Et componente tangencial
En componente normal
à superfície do condutor
4.35
a carga colocada no exterior de um
condutor oco induz a separação de cargas
na superfície externa para que E = 0 no
material e na cavidade
+q
-
+
E=0
+
+
+
+
4.36
9
4.37
1
0