16) (UFSCAR 2002) O valor de x, 0 ≤ x ≤ π/2, tal

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Trigonometria
Gabaritos Comentados dos Questionários
Lista de Exercícios 1
2
2
01) (UFSCAR 2002) O valor de x, 0 ≤ x ≤ π/2, tal que 4.(1 – sen x).(sec x – 1) = 3 é:
a) π/2.
b) π/3.
c) π/4.
d) π/6.
e) 0.
Resolução:
2
2
4.(1 – sen x).(sec x – 1) = 3
2
2
(1 – sen x).(sec x – 1) = 3/4
sec²x - 1 – sen²x.sec²x + sen²x = 3/4
sec²x = 1 + tg²x e secx = 1/cosx
1 + tg²x – 1 – sen²x.(1/cosx)² + sen²x = 3/4
1 + tg²x – 1 – sen²x.(1/cos²x) + sen²x = 3/4
1 + tg²x – 1 – sen²x/cos²x + sen²x = 3/4
senx/cosx = tgx
1 + tg²x – 1 – tg²x + sen²x = 3/4
sen²x = 3/4
senx = √3/√4
senx = √3/2 e -√3/2
senx = √3/2
x = π/3 e 2π/3
senx = -√3/2
x = 4π/3 e 5π/3
No intervalo 0 ≤ x ≤ π/2, x = π/3.
GABARITO: LETRA B
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02) (UFRRJ 2005) Observe o gráfico da função trigonométrica y = 1 + 2.sen x, abaixo.
Pode-se afirmar que o seu conjunto imagem é o intervalo:
a) [-2, 1].
b) [-2, 2].
c) [-1, 2].
d) [-1, 3].
e) [-1, 4].
Resolução:
y = 1 + 2.sen x
2.senx = 1 – y
senx = (1 – y)/2
-1 ≤ senx ≤ 1
-1 ≤ (1 – y)/2 ≤ 1
-1 ≤ (1 – y)/2
-2 ≤ 1 – y
y≤3
e
(1 – y)/2 ≤ 1
1–y≤2
-1 ≤ y
-1 ≤ y ≤ 3 ou [-1, 3]
GABARITO: LETRA D
03) (UFRN 2008) A equação (Sen x)² – 5(Sen x) + 6 = 0
a) admite mais de duas raízes.
b) admite exatamente duas raízes.
c) admite uma única raiz.
d) não admite raízes.
Resolução:
senx = t
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t² - 5t + 6 = 0
∆ = (-5)² - 4.1.6
∆ = 25 – 24
∆=1
t1 = [-(-5) + 1] / 2
= [5 + 1] / 2
t1 = 6 / 2
t1 = 3
t2 = [-(-5) - 1] / 2
t2 = [5 - 1] / 2
t2 = 4 / 2
t2 = 2
senx = 3 ou senx = 2
-1 ≤ senx ≤ 1, ou seja, nenhum dos valores são válidos.
GABARITO: LETRA D
04) (UEPB 2009) Os ângulos agudos a e b de um triângulo retângulo, satisfazem à condição cos α
= cos β. Se o comprimento da hipotenusa é 6 cm, a área do triângulo em cm² é:
a) 6.
b) 9.
c) 7.
d) 8.
e) 10.
Resolução:
cos α = y/6
cos β = x/6
x/6 = y/6
x=y
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Aplicando o Teorema de Pitágoras:
(x)² + (y)² = (6)²
x² + x² = 36
2x² = 36
x² = 18
A∆ = x.y / 2
A∆ = x.x / 2
A∆ = x² / 2
A∆ = 18 / 2
A∆ = 9
GABARITO: LETRA B
05) (UFPEL 2007) Toda igualdade envolvendo funções trigonométricas que se verifica para todos
os domínios de tais funções e uma Identidade Trigonométrica.
A expressão idêntica a y = senx.tanx é:
a) y = cos x – sec x.
b) y = sec x – cos x.
c) y = sec x.
d) y = 1 – cos x.
e) y = sen x + cos x.
Resolução:
y = senx.tanx
y = senx. senx/cosx
y = sen²x/cosx
y = (1 – cos²x) / cosx
y = 1/cosx – cos²x/cosx
y = secx – cosx
(tanx = senx/cosx)
(sen²x = 1 – cos²x)
(secx = 1/cosx)
GABARITO: LETRA B
4
4
06) (FUVEST 2002) Se α está no intervalo [0, π/2] e satisfaz sen α – cos α = 1/4, então o valor da
tangente de α é:
a)
b)
c)
d)
e)
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Resolução:
4
4
sen α – cos α = 1/4
4
2
sen α – (cos α)² = 1/4
4
2
sen α – (1 - sen α)² = 1/4
4
2
4
sen α – (1 - 2sen α + sen α) = 1/4
4
2
4
sen α – 1 + 2sen α – sen α = 1/4
2
– 1 + 2sen α = 1/4
2
2sen α = 1/4 + 1
2
2sen α = 1/4 + 4/4
2
2sen α = 5/4
2
sen α = 5/8
sen α = ± √5/√8
Como o ângulo pertence ao primeiro quadrante, sen α > 0, sen α = √5/√8.
sen² α + cos² α = 1
cos² α = 1 – sen² α
cos² α = 1 – (√5/√8)²
cos² α = 1 – 5/8
cos² α = 8/8 – 5/8
cos² α = 3/8
cos α = ± √3/√8
Como o ângulo pertence ao primeiro quadrante, cos α > 0, cos α = √3/√8.
tg α = sen α / cos α
tg α = (√5/√8) / (√3/√8)
tg α = (√5/√8).(√8/√3)
tg α = √5/√3
GABARITO: LETRA B
07) (UFLA 2003/2) O valor da expressão [tg (20º) + cotg (20º)].sen (40º) é:
a) 2.
b) 1.
c) 0.
d) sen (20º) + cos (20º).
e) sen (20º).cos (20º).
Resolução:
[tg (20º) + cotg (20º)].sen (40º)
(tgx = senx/cosx e cotgx = cosx/senx)
[sen 20º/cos 20º + cos 20º/sen 20º].sen 40º
[(sen² 20º + cos² 20º)/cos 20º.sen 20º].sen 40º
(sen² x + cos² x = 1)
[1/ cos 20º.sen 20º].sen (20º + 20º)
(sen(a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a)
[1/ cos 20º.sen 20º].(sen 20º.cos 20º + sen 20º.cos 20º)
2.sen 20º.cos 20º / sen 20º.cos 20º = 2
GABARITO: LETRA A
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2
 1 
1
 08) (UFLA 2003) O valor da expressão 
 1 é de:
2
 tg ( x)  1 - cos ( x)
2
a) sen (x).
2
b) cos (x).
c) 0.
d) 1.
e) sec(x).
Resolução: Como:
Temos que:
Sabendo que:
e
Temos que:
Como:
Assim:
Portanto:
GABARITO: LETRA C
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09) (UFAM 2005) Quando simplificamos a expressão
cos x 1  senx
, vamos obter:

1  senx
cos x
a) 2 sec x.
b) 2 cossec x.
c) 2 sec² x.
d) 2 cos x.
e) cos x.
Resolução: Multiplicando e dividindo a expressão por (1 – sem x), temos:
Como:
Temos que:
Fazendo mmc:
Sabendo que:
Temos que:
GABARITO: LETRA A
10) (UEPB 2006) Sabendo que sen a − cos a = 2/5, o sen 2a será igual a:
a) -21/5.
b) 21/50.
c) -21/50.
d) 21/25.
e) 42/25.
Resolução: Temos que:
sen a – cos a = 2/5
Elevando sen a – cos a = 2/5 ao quadrado:
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(sen a – cos a)² = (2/5)²
sen² a – 2 . sen a . cos a + cos² a = 4/25
Como sen² a + cos² a = 1, temos:
1 – 2 . sen a . cos a = 4/25
Como sen 2a = 2 . sen a.cos a, temos:
1 – sen 2a = 4/25
sen 2a = 1 – 4/25 → sen 2a = (25 – 4)/25
sen 2a = 21/25.
GABARITO: LETRA D
Lista de Exercícios 2
01) (UEPB 2005) O valor de cos 1 200º é igual ao valor de:
a) cos 30º.
b) – sen 30º.
c) – sen 60º.
d) – cos 60º.
e) cos 45º
Resolução: Como o ciclo trigonométrico possui 360°, dividindo 1200° por esse valor temos:
1200°/360° = 3,333...
Então sabemos que 1200° representam 3 voltas no ciclo trigonométrico mais uma parte dele.
Vamos encontrar essa parte:
3 . 360/ = 1080°
Subtraindo de 1200°:
1200° - 1080° = 120°.
Assim, temos que cos 1200° = cos 120°. No ciclo trigonométrico, cos 120° = - cos 60° e cos 60° =
sem 30°. Portanto:
cos 120° = - sem 30°.
GABARITO: LETRA B
02) (UEG 2007/2) Sendo x um número real qualquer, a expressão (senx + cos x)² − sen2x é igual
a:
a) 1.
b) -2.
c) 3√2.
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d) √2.
Resolução: Temos que:
(sem x + cos x)² - sen 2x = (sen x + cos x)² - 2 . sen x . cos x
sen² x + 2 . sen x . cos x + cos² x - 2 . sen x . cos x = sen² x + cos² x
Sabemos que:
sen² x + cos² x = 1.
GABARITO: LETRA A
03) (UECE 2007/2) Se x e y são arcos no primeiro quadrante tais que sen(x) = √3/2 = cos(y), então
o valor de sen(x + y) + sen(x – y) é:
a) √6/2.
b) 3/2.
c) √6/3.
d) 2/3.
Resolução: O ângulo do primeiro cuadrante que possui sen(x) = √3/2 é x = 60°. Sabemos que
sen(60°) = cos(30°).
Assim:
sen(x + y) + sen(x – y) = sen(60° + 30°) + sen(60° - 30°)
Temos que:
sen(60° + 30°) = sen(60°) . cos(30°) + sen(30°) . cos(60°) = (√3/2 . √3/2) + (1/2 . 1/2) = 3/4 + 1/4 = 1
sen(60° - 30°) = sen(60°) . cos(30°) – sen(30°) . cos(60°) = (√3/2 . √3/2) - (1/2 . 1/2) = 3/4 - 1/4 = 2/4
Somando:
sen(60° + 30°) + sen(60° - 30°) = 1 + 2/4 = (4 + 2)/4 = 3/2.
GABARITO: LETRA B
04) (FUVEST 1999) Qual das afirmações abaixo é verdadeira?
a) sen 210º < cos 210º < tg 210º.
b) cos 210º < sen 210º < tg 210º.
c) tg 210º < sen 210º < cos 210º.
d) tg 210º < cos 210º < sen 210º.
e) sen 210º < tg 210º < cos 210º.
Resolução: O ângulo 210º no terceiro quadrante é equivalente ao ângulo 60º no primeiro
quadrante.
sen 210º = - sen 60º = - 1/2
cos 210º = - cos 60º = - √3/2
tg 210º = tg 60º = √3
- √3/2 < - 1/2 < √3
cos 210º < sen 210º < tg 210º
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GABARITO: LETRA B
05) (FEI 2009/2) Seja “a” um arco do segundo quadrante com sen(a) = 4/5. Resolvendo a
inequação cossec(a) + x.sec(a) > 0.
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
sen² a + cos² a = 1
cos² a = 1 – sen² a
cos² a = 1 – (4/5)²
cos² a = 1 – 16/25
cos² a = 25/25 – 16/25
cos² a = 9/25
cos a = ± 3/5
Como o ângulo pertence ao segundo quadrante, cos x < 0, cos x = -3/5.
cossec (a) + x.sec (a) > 0
1 / sen (a) + x.1 / cos (a) > 0
(1 / 4/5) + (x / -3/5) > 0
5/4 - 5x/3 > 0
5/4 > 5x/3
1/4 > x/3
3/4 > x
GABARITO: LETRA B
06) (FEI 2009) Simplificando a expressão
a) (tg² x)/3.
b) 3.cotg² x.
, onde existir, obtemos:
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c) 3.tg² x.
d) (cotg² x)/3.
e) sec² 3x
Resolução:
β = [1 + (cos x / sen x)²] / [3.(1/cos² x)]
β = [1 + (cos² x / sen² x)] / [3/cos² x]
β = [(sen²x + cos² x) / sen² x] / [3/cos² x]
β = [1 / sen² x] / [3/cos² x]
β = [1 / sen² x].[cos² x/3]
β = cos² x / 3.sen² x
β = cotg² x / 3
cos²x + sen² x = 1
cos² x/sen² x = cotg² x
GABARITO: LETRA B
07) (FEI 2008/2) Se sen α = 3/5 e α pertence ao segundo quadrante, então o valor de
é:
a) -12/5.
b) 4/15.
c) 12/5.
d) -4/15.
e) -5/3.
Resolução:
sen² x + cos² x = 1
cos² x = 1 – sen² x
cos² x = 1 – (3/5)²
cos² x = 1 – 9/25
cos² x = 25/25 – 9/25
cos² x = 16/25
cos x = ± 4/5
Como o ângulo pertence ao segundo quadrante, cos x < 0, cos x = -4/5.
y = [1 – (-4/5)] / [(3/5) / (-4/5)]
y = [1 + 4/5] / [(3/5).(-5/4)]
y = [5/5 + 4/5] / [-3/4]
y = [9/5] / [-3/4]
y = [9/5].[-4/3]
y = - 36/15
y = -12/5
GABARITO: LETRA A
08) (FEI 2007/2) Sabendo que 0 ≤ x ≤ π e que (senx+cosx)² + cosx = sen2x, pode-se afirmar que x
é igual a:
a) π/2.
b) π/3.
c) π/4.
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d) 2π/3.
e) π.
Resolução: Desenvolvendo a expressão temos:
(senx + cosx)² + cosx = sen2x → sen²x + 2 . senx . cosx + cos²x + cosx = sen2x
Sabendo que:
sen²x + cos²x = 1; e sen2x = 2 . senx . cosx
Temos que:
1 + 2 . senx. cosx + cosx = 2 . senx . cosx → 1 + cosx = 0
cosx = -1
Pelo ciclo trigonométrico, sabemos que:
cos(180°) = -1
Em radianos: 180° = π.
GABARITO: LETRA E
09) (FMCA 2008) Observe o gráfico.
Esse gráfico representa a função F(x). É correto afirmar que:
a) F(x) = cos x.
b) F(x) = sen x.
c) F(x) = sen x / cos x.
d) F(x) = 1 / sen x.
e) F(x) = 1 / cos x.
Resolução:
Esse gráfico corresponde à função tangente.
tg x = sen x / cos x
Logo,
F(x) = tg x = sen x / cos x
GABARITO: LETRA C
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10) (MACKENZIE 2004/2) Se α e b são ângulos internos de um triângulo, tais que senα.cosβ =
senβ.cosα = 1/4 , então a medida do terceiro ângulo interno desse triângulo pode ser:
a) 90°.
b) 45°.
c) 120°.
d) 105°.
e) 150°.
Resolução:
sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa
sen(α + β) = senα.cosβ + senβ.cosα
sen(α + β) = 1/4 + 1/4
sen(α + β) = 2/4 = 1/2
sen x = 1/2
x = π/6 ou 5π/6
x = 30º ou 150º
α + β = 30º ou 150º
O terceiro ângulo pode ser 150º ou 30º, nesse caso, a alternativa 150º, ou seja,
GABARITO: LETRA B
Lista de Exercícios 3
01) (MACKENZIE 2003/2) Se
, então log2 a é:
a) -1/2.
b) -1/4.
c) 1.
d) 2.
e) -1.
Resolução:
sen 70º = sen (90º - 20º)
[sen(a – b) = sena.cosb – senb.cosa]
sen 70º = sen 90º.cos 20º - sen 20º.cos 90º
sen 70º = 1.cos 20º - sen 20º.0
sen 70º = cos 20º
a = log4 (2.cos 20º / cos 20º)
a = log4 2
a
4 =2
2 a
(2 ) = 2
2a
2 =2
2a = 1
a = 1/2
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log2 1/2 = x
x
2 = 1/2
x
-1
2 =2
x = -1
GABARITO: LETRA E
02) (MACKENZIE 2003) Com relação ao ângulo α da figura, podemos afirmar que tg 2α vale:
a) – √3/2.
b) 1.
c) –√3.
d) 2√3.
e) –√3/3.
Resolução: Temos disponíveis os valores da hipotenusa e do cateto adjacente de α, então
podemos calcular cos α:
cos α = C.A./H = ½
Sabemos que o ângulo cujo cos α = ½ é o ângulo de 60°, ou seja, α = 60°.
Assim:
tg 2 .60° = (2 . tg 60°)/(1 – tg²60°) = (2 . √3)/(1 - √3²) = 2√3/(1-3) = 2√3/(-2) = -√3.
GABARITO: LETRA C
03) (PUC Campinas 2007 – Adaptado) Há mais de 4000 anos, a pirâmide de Quéops media 233
m na aresta da base. Suponhamos que Tales tenha escolhido uma posição conveniente do Sol,
para a qual a medição da sombra da pirâmide fosse adequada, e que tenha fincado uma estaca
com 3 m de altura, como mostra a figura. Nesse instante, a sombra EA da estaca mediu 5 m.
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O valor de cos 2θ igual a:
a) 8/17.
b) 15/34.
c) 7/17.
d) 13/34.
e) 6/17.
Resolução:
(AO)² = (EA)² + (OE)²
(AO)² = (5)² + (3)²
(AO)² = 25 + 9
(AO)² = 34
AO = √34
sen θ = 3/√34
cos 2θ = 1 – 2.sen² θ
cos 2θ = 1 – 2.(3/√34)²
cos 2θ = 1 – 2.(9/34)
cos 2θ = 1 – 9/17
cos 2θ = 17/17 – 9/17
cos 2θ = 8/17
GABARITO: LETRA A
04) (UNIMONTES 2009) As soluções da equação cos² x + cos x = 0, no intervalo [0,2π], são:
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a) π/2, π, 3π/2 e 2π.
b) π/2, π e 3π/2.
c) 0, 3π/2 e 2π.
d) 0, π/2 e π.
Resolução:
cos x.(cos x + 1) = 0
cos x = 0
cos x = 0
ou
ou
cos x + 1 = 0
cos x = -1
cos x = 0
x = π/2 e 3π/2
cos x = -1
x=π
x = π/2, π e 3π/2
GABARITO: LETRA B
05) (UNIMONTES 2008) Dados
é:
, o valor de y = (1+ cos x).(1- cos x)
a) -3/4.
b) 3/4.
c) ± 3/4.
d) 3/2.
Resolução:
sen² x + cos² x = 1
cos² x = 1 - sen² x
cos² x = 1 – (-3/2√3)²
cos² x = 1 – (9/4.3)
cos² x = 1 – 9/12
cos² x = 12/12 – 9/12
cos² x = 3/12 = 1/4
y = (1+ cos x).(1- cos x)
y = 1 – cos² x
y = 1 – 1/4
y = 4/4 – 1/4
y = 3/4
GABARITO: LETRA B
06) (UESPI 2004) O topo de uma torre e dois observadores, X e Y, estão em um mesmo plano. X e
Y estão alinhados com a base da torre. O observador X vê o topo da torre segundo um ângulo de
45°, enquanto Y, que está mais próximo da torre, vê o topo da torre segundo um ângulo de 60°. Se
a distância entre X e Y é 30,4m, qual o inteiro mais próximo da altura da torre, em metros? (Dados:
use as aproximações tg(45º) = 1 e tg(60º) ≈ 1,73).
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a) 72m.
b) 74m.
c) 76m.
d) 78m.
e) 80m.
Resolução: Observando a imagem:
Supondo a = distancia entre Y e o prédio; e b = altura do prédio. Temos que:
tg 60° = C.O./C.A. = b/a = 1,73
tg 45° = C.O./C.A. = b/(30,4 + a) = 1
Isolando b em ambas as expressões, temos:
b = 1,73 . a
b = 30,4 + a
Assim:
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1,73a = 30,4 + a → 0,73a = 30,4 → a = 41,64
Usando o valor em b = 1,73a, temos que:
b = 1,73a → b = 1,73 . 41,64 → b = 72,04
Portando, o inteiro mais próximo da altura da torre é:
b = 72m.
GABARITO: LETRA A
07) (PUC-MG 2007) Uma pessoa encontra-se no aeroporto (ponto A) e pretende ir para sua casa
(ponto C), distante 20 km do aeroporto, utilizando um táxi cujo valor da corrida, em reais, é
calculado pela expressão V(x) =12 +1,5x, em que x é o número de quilômetros percorridos.
Se B = 90º, C = 30º e o táxi fizer o percurso AB+BC, conforme indicado na figura, essa pessoa
deverá pagar pela corrida:
a) R$40,50.
b) R$48,00.
c) R$52,50.
d) R$56,00.
Resolução:
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O conhecimento é a nossa propaganda.
sen 30º = AB / 20
1/2 = AB / 20
AB = 10
cos 30º = CB / 20
√3/2 = CB / 20
CB = 10√3 = 10.1,7 = 17
AB + BC = 10 + 17 = 27
V(27) = 12 + 1,5.27
V(27) = 12 + 40,5
V(27) = 52,50
GABARITO: LETRA B
08) (UEMG 2007) Considere a figura a seguir:
Sabendo que a distância AB mede 30 metros e o ângulo θ é igual a 60°, a altura h do edifício, em
metros, corresponde a:
a) 15.
b) 15√3.
c) 15√2/3.
d) 15√3/2.
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Resolução:
sen 60º = h / AB
√3 / 2 = h / 30
h = 30√3 / 2
h = 15√3
GABARITO: LETRA B
2
4
09) (FUVEST 2002) A soma das raízes da equação sen x – 2cos x = 0, que estão no intervalo [0,
2π], é:
a) 2π.
b) 3π.
c) 4π.
d) 6π.
e) 7π.
Resolução:
2
2
sen x – 2(cos x)² = 0
2
sen x – 2(1 – sen² x)² = 0
4
sen² x – 2(1 – 2sen² x + sen x) = 0
4
sen²x – 2 + 4sen² x – 2sen x = 0
4
-2 sen x + 5sen² x – 2 = 0
(cos² x = 1 – sen² x)
sen² x = t
2
-2 (sen x)² + 5sen² x – 2 = 0
-2t² + 5t – 2 = 0
∆ = (5)² - 4.(-2).(-2)
∆ = 25 – 16
∆=9
t1 = (-5 + 3) / 2.(-2)
t1 = -2 / -4
t1 = 1/2
t2 = (-5 – 3) / 2.(-2)
t2 = -8 / -4
t2 = 2
sen² x = t
sen² x = 1/2
sen x = √2/2 e sen x = -√2/2
sen² x = 2
sen x = √2
e sen x = -√2
Como -1 ≤ senx ≤ 1, e √2 ≈ 1,4, sen x = √2 e sen x = -√2 não são válidos.
sen x = √2/2
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x = π/4 e 3π/4
sen x = -√2/2
x = 5π/4 e 7π/4
π/4 + 3π/4 + 5π/4 + 7π/4 = 16π/4 = 4π
GABARITO: LETRA C
10) (UNIFAL 2005/2) Uma maneira rudimentar e eficiente para se medir o ângulo de inclinação
α de uma rua R, em relação à horizontal H, é construir um triângulo retângulo, como mostra a
figura abaixo, onde OA = 12 cm, OB = 20 cm e o segmento OA é perpendicular ao segmento AB.
A tangente do ângulo α vale:
a) 0,95.
b) 0,85.
c) 0,75.
d) 0,65.
e) 0,55.
Resolução:
(AB)² + (AO)² = (BO)²
(AB)² + (12)² = (20)²
(AB)² + 144 = 400
(AB)² = 256
AB = 16
tg α = AO / AB
tg α = 12 / 16
tg α = 0,75
GABARITO: LETRA C