15 Oscilacoes

As Oscilações estão presentes no nosso dia a dia como o vento que
balança uma linha de transmissão elétrica, as vibrações da
membrana de um alto-falante, ou de um instrumento de percussão.
Um terremoto faz vibrar as edificações ocasionando danos. Neste
estudo, nos preocuparemos com um movimento básico chamado
movimento harmônico simples (MHS).
Uma propriedade importante do movimento oscilatório é a
frequência, o número de oscilações completas por segundo.
1 hertz = 1 Hz = 1 oscilação por segundo = 1 s-1
Uma grandeza relacionada a frequencia é o período T do movimento,
que é o tempo necessário para completar uma oscilação completa (ou
um ciclo)
1 ω
ƒ= =
T 2π
Movimento periódico ou harmônico: qualquer movimento que se repete a
intervalos regulares.
Para um mhs, o deslocamento x da partícula a partir da origem é dado como
uma função do tempo por:
x(t ) = xm cos(ωt + φ )
xm, ω e Φ são as constantes amplitude máxima, velocidade angular e
constante de fase (ângulo de fase) respectivamente.
A freqüência angular é calculada por ω
2π
ω = 2π ƒ =
T
A velocidade de uma partícula em MHS é dada
por:
dx(t ) d
= [ xm cos(ω t + φ )]
v(t ) =
dt
dt
ou
v(t ) = −ω xm sen(ω t + φ )
A aceleração no MHS será
a(t ) =
dv(t ) d
= [ −ω xm sen(ω t + φ )]
dt
dt
ou
a(t ) = −ω 2 xm cos(ω t + φ )
Usando as equações da posição
x(t) e a(t) tem-se:
a(t ) = −ω x(t )
2
Se combinarmos a segunda lei de Newton com a aceleração encontrada
anteriormente, teremos:
2
F = ma = −(mω ) x
Este resultado é familiar, a lei de
Hooke,
F = −kx
A freqüência angular w do movimento harmônico simples do bloco está
relacionada à constante elástica k e a massa m do bloco por:
k
ω=
m
E o período, está
relacionado com a
velocidade angular
2π
m
T=
= 2π
k
ω
Exemplo 1:
Um bloco cuja massa m é igual a 680g está preso a uma mola cuja constante
elástica k é 65N/m. O bloco é puxado sobre uma superfície sem atrito por uma
distância x=11cm a partir de sua posição de equilíbrio em x=o é solto do
repouso em t=0. (a) determine a freqüência angular, a freqüência e o período
do movimento resultante? (b) Qual é a amplitude da oscilação? (c) Qual a
velocidade máxima vm? (d) Qual o módulo da aceleração máxima am do bloco?
Exemplo 2:
Um objeto que oscila com movimento harmônico simples ao longo do eixo x.
Seu deslocamento em relação a origem varia com o tempo de acordo com a
equação
π
x = 4m.cos(π t + )
4
onde t está em segundos e os ângulos entre parênteses estão em radianos.
(a) Determine a amplitude, freqüência e período do movimento.
(b) Calcule a velocidade e a aceleração do objeto em qualquer tempo t.
Exemplo 3:
Em t=0 o deslocamento x(0) do bloco
de um oscilador linear como na figura é
-8,5cm. (leia x(0), x no instante zero.) A
velocidade do bloco v(0) nesse instante
é -0,92m/s, e a aceleração a(0) é
+47m/s2. a) Qual a frequencia angular
w desse sistema? b) Quais são os
valores das constantes de fase Φ e da
amplitude xm?
Num oscilador harmônico a energia mecânica se
conserva.
1 2 1 2
U (t ) = kx = kxm cos2 (ω t + φ )
2
2
1 2 1 2
K (t ) = mv = kxm sen2 (ω t + φ )
2
2
Assim:
1 2
1 2
2
E = K + U = kxm cos (ω t + φ ) + kxm sen 2 (ω t + φ )
2
2
1 2
E = kxm
2
Exemplo 4:
(a) Qual a energia mecânica E do oscilador linear do exercício
anterior(Exemplo 1)? (inicialmente, a posição do bloco é x=11cm e
sua velocidade é v=0. a constante elástica k=65N/m. (0,393J)
(b) Qual é a energia potencial U e a energia cinética K do oscilador
quando o bloco estiver em x=1/2 xm? (0,098J e 0,30J)
Pêndulo Simples:
Composto de uma partícula de massa m
suspensa em uma das extremidades de um
fio inextensível de massa desprezível e
comprimento L.
O torque (τ = r⊥ F ) pode ser escrito como:
τ = − L( Fg sen θ )
Onde o sinal (-) indica que atua reduzindo θ.
Sabemos que (τ = Iα ) o que permite escrever:
− L(mg sen θ ) = Iα
Supondo o ângulo pequeno, de modo que , senθ = θ
simplificamos a equação para:
mgL
α =−
θ
I
Comparando α = − mgL θ com a(t ) = −ω 2 x(t ) que
I
tem sua equivalente α = −ω 2θ de onde se deduz
mgL
ω=
I
Usando a expressão
2π , teremos:
ω=
T
T = 2π
I
mgL
O momento de inércia da massa do pêndulo, para pequenas
2
amplitudes, é dada por (mL ) , logo:
L
T = 2π
g
Pêndulo Físico:
A análise é a mesma do pêndulo
simples trocando L por h. Assim:
I
T = 2π
mgh
Qualquer pêndulo físico que oscila com um
período T em torno de um dado ponto pivô
O corresponde a um pêndulo simples de
comprimento L0 e com o mesmo período T.
O ponto ao longo do pêndulo físico a uma
distância L0 do ponto O é chamado de
centro de oscilação do pêndulo físico.
Exemplo 6:
Na figura ao lado, uma régua de um metro
oscila em torno de um ponto de pivô em
sua extremidade, a uma distância do centro
de massa da régua. (a) Qual o período de
oscilação do pêndulo? (b) Qual é à distância
L0 entre o ponto pivô da régua e seu centro
de oscilação? Use I = 1 mL2
3
Movimentos Harmônicos Simples e
Movimento Circular Uniforme
O movimento harmônico simples é a simples
projeção do movimento circular uniforme sobre
um diâmetro do círculo no qual o movimento
circular ocorre.
Na figura (a), a projeção da partícula sobre o eixo
x é um ponto P, o qual consideramos como uma
segunda partícula. A projeção do vetor posição da
partícula P’ sobre o eixo x fornece a localização
x(t) de P. Assim encontramos
x(t ) = xm cos(ωt + φ )
que nos leva a velocidade
v(t ) = −ωxm sen(ωt + φ )
e aceleração
a (t ) = −ω 2 xm cos(ωt + φ )
Movimento Harmônico Simples Amortecido
Quando o movimento de um oscilador é
reduzido por uma força externa, dizemos que
o oscilador e seu movimento são amortecidos.
Suponha que o líquido exerça um força de
amortecimento Fa proporcional a velocidade v
da pá e do bloco. Então, para componentes
ao longo do eixo x temos,
Fa = −bv
onde é b uma constante de amortecimento que
depende das características da pá e do líquido, com
unidades kg/s (SI).
A força exercida pela mola sobre o bloco é Fm =-Kx. Supondo a força da
gravidade desprezível em relação a, Fa e Fm, podemos escrever a
segunda lei de Newton para as componentes ao longo do eixo x.
Fres, x = −bv − kx = ma
Substituindo a por d 2x/dt 2 e v por dx/dt e rearranjando, obtemos a
equação diferencial
2
d x
dx
m
+ b + kx = 0
dt
dt
A solução da equação anterior é
A freqüência angular será
x(t ) = xm e
k
b2
ω =
−
m 4m 2
Se b=o (sem amortecimento)
,
ω =
,
k
m
− bt / 2 m
cos(ω t + φ )
,
A energia mecânica para o oscilador não amortecido é constante e igual a
1 2
E = kxm
2
Para o oscilador amortecido, a energia mecânica diminui com o tempo. Se o
amortecimento é pequeno, podemos considerar a energia como:
1 2 − bt / m
E (t ) = kxm e
2
Exemplo 7:
Para o oscilador amortecido, considere
m=250g, k=85N/m e b=70g/s. (a) Qual é o
período do movimento? (b) Quanto tempo
leva para a amplitude das oscilações
amortecidas cair até a metade do seu valor
inicial? (c) Quanto tempo leva para que a
energia mecânica se reduza à metade de seu
valor inicial? (0,34s; 5,0s; 2,5s)