MATEMÁTICA 2º BÁSICO

MATEMÁTICA 2º BÁSICO
PROFESSOR: Patric Machado de Menezes.
Escola Érico Veríssimo – Erechim-RS
NOME:___________________________________________________________________________
SÉRIE: ________
TURMA:__________
Nº_____________
ENDEREÇO: __________________________________________________________ N°: ______
COMPLEMENTO: ____________
E-mail: _________________________________
FONE: ____________
HORÁRIO
segunda
terça
quarta
quinta
1º
2º
3º
4º
5º
AVALIAÇÕES E TRABALHOS
sexta
SEQUÊNCIAS E PADRÕES
Nesta atividade, você via trabalhar com sequências que tem regularidade, que lhe permitem
perceber padrões e fazer generalizações.
Os Padrões e a Matemática
O mundo ao seu redor está repleto de padrões. Os
padrões são encontrados nos papéis de parede, nas rendas
que enfeitam as prateleiras, nos azulejos e mosaicos que
ornamentam as fachadas das casas, os templos e os
monumentos. Percebemos regularidades numa espiga de
milho, nas escamas de um peixe ou nos batimentos
cardíacos. Os padrões são utilizados por pintores e poetas em
suas criações, onde formas, cores ou palavras combinam-se
harmoniosamente. Padrões são encontrados em sequência
regulares, irregulares ou até caóticas e são objeto de estudo
da Matemática. “A Matemática, a ciência dos padrões, é uma
forma de contemplar o mundo em que vivemos” (DEVLIN,
2002, p.12).
http://www.atractor.pt/simetria/matematica/materiais/exercicio-frisos.htm
TRABALHANDO COM SEQUÊNCIAS FIGURAIS
1. Observe a sequência de quadrados das figuras abaixo e responda:
a) Qual o próximo quadrado da sequência? E o seguinte? Desenhe-os.
b) Quantos quadrados tem o contorno do 3º quadrado ?
c) Como você calculou a quantidade de quadrinhos do contorno do 3º quadrado? Escreva uma sentença
matemática que expresse esse cálculo?
d) Como você pode calcular a quantidade de quadradinhos do contorno do 4º quadrado?
e) E do 5º quadrado?
f) Sem desenhar os quadradinhos, como você calcularia o total de quadradinhos do contorno do 6º
quadrado? Escreva uma sentença matemática que expresse esse cálculo?
g) E do 9º quadrado? E do 20º?
h) Quantos quadradinhos existem no contorno de um quadrado numa posição qualquer?
Represente a posição qualquer pela letra n, complete o quadrado abaixo e escreva a expressão matemática
que expressa essa relação.
Posição do quarado na sequência
1
2
3
4
5
6
...
9
...
20
...
n
Número de quadradinhos do contorno
2. Agora, observe a sequência de figuras abaixo que são formadas por pontos e responda:
a) Qual a próxima figura dessa sequência? Desenhe-a.
b) E a seguinte? Desenhe-a.
c) Como cada figura se transforma na figura seguinte?
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d) Quantos pontos tem a 6º figura? .........................................................................................................
e) E a 10º figura? Quantos pontos ela tem? (desenhe-a, se você achar necessário)
..................................................................................................................................................................
f) Como é a 28º figura? Quantos pontos ela tem? ...................................................................................
g) Quantos pontos tem uma figura numa posição qualquer? Para responder a essa pergunta, complete a
tabela abaixo com os dados que você já tem, represente a posição qualquer pela letra n, e escreva a
expressão matemática a ela correspondente.
Posição do quarado na sequência
1
2
3
4
5
6
...
10 ...
28
...
n
Número de quadradinhos do contorno
3. Observe a sequência de quadrados das figuras abaixo e responda:
a) Qual a próxima figura dessa sequência? Desenhe-a.
b) Escreva a expressão matemática que represente o número de quadradinhos em uma posição qualquer.
SEQUÊNCIA
Ao ordenarmos os elementos de um conjunto formamos uma sequência ou sucessão.
Exemplo:
Vamos considerar algumas medidas de temperatura do ar atmosférico, no período do dia:
1º medida de 11°C
2º medida de 15°C
3º medida de 18°C
4º medida de 21°C
5º medida de 17°C
6º medida de 16°C
Dizemos que os valores de temperaturas formam, nesta ordem, uma sequência e cada um desses
valores chamamos de termos da sequência, podendo indicá-los da seguinte forma:
• primeiro termo: a1 =11ºC
• segundo termo: a2 =15ºC
• terceiro termo: a3 =18ºC
Indicamos os elementos por a1 , a2 , a3 , e assim por diante, até um termo qualquer que
indicaremos por a n , também chamado de termo geral.
•
•
Finita:
(a1 , a2 , a3 , ... , an )
Infinita:
(a1 , a2 , a3 , ...)
PROGRESSÕES ARITMÉTRICA (PA)
Temos uma sequência de números reais:
(2, 5, 8, 11, ...)
Cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado ao número 3:
a1
(2,
2+3
a2
5,
5+3
a3
8,
a4
11, ...)
8+3
De um modo geral, chamamos de progressão aritmética (PA) a toda sequência de números reais
onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante, denominada razão (r).
•
•
•
Representação: (a1 , a2 , a3 , ... , a n)
a1 : primeiro termo
n : número de termos
r : razão
Para determinar a razão de uma PA, basta identificarmos a diferença entre um termo, a partir do
segundo, a seu antecessor.
Exemplos:
1)
(1, 3, 5, 7, 9)
PA finita, onde
2)
(3, 7, 11, ...)
PA infinita, onde
3)
4)
(−8, −5, −2, 1, 4, 7)
1 7 11
( , ,
, ...)
2 6 6
5) (9, 9, 9, 9, 9, 9, 9)
PA finita, onde
{
a1=1
r=2
n=5
{
a1=3
r =4
{
a1=−8
r=3
n=6
{
1
2
2
r=
3
a1=
PA infinita, onde
PA finita, onde
{
a1=9
r=0
n=7
CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
•
Crescente → Uma PA é crescente quando a razão (r) é positiva.
r > 0 Exemplo: ( 2 , 7, 12, ... ) PA crescente pois r >0 (r=5)
•
Constante → Uma PA é constante quando a razão (r) é zero.
r = 0 Exemplo: ( 3 , 3, 3, 3, 3, 3, 3... ) PA crescente pois r >0 (r=0)
•
Decrescente → Uma PA é decrescente quando a razão (r) é negativa.
r < 0 Exemplo: ( 9 , 4, -1, ... ) PA crescente pois r >0 (r=-5)
TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Descrevendo alguns termos de uma PA, obtemos a fórmula do termo geral:
a1 =a1
a2=a 1+r
a 3=a 1+2r
a 4=a1+3r
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a n=a1+(n−1)r
Notando que o coeficiente de r em cada termo é uma unidade inferior ao índice do termo
considerado, obtemos a fórmula do termo geral
a n=a1+(n−1) r
Exercícios resolvidos
R1) Determine o décimo termo da PA (2, 5, 8, ...).
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R2) Determine o primeiro termo de uma PA em que o vigésimo termo é igual a 99 e a razão é igual a 5.
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R3) Determine a razão de uma PA, em que o décimo termo quarto termo é igual a 136 e o primeiro termo
é igual a 6.
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R4) Determinar o número de termos da PA (8 , 13, 18, ... , 93).
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R5 ) Calcular a razão de uma PA, sabendo que o primeiro termo é o triplo da razão e que a23=50.
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R6) Sabendo que (x+1),(3x−2) e (2x+4) formam, nesta ordem, uma PA, calcular o valor de x e a
razão desta PA.
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R7) (Mack-SP) Calcular a razão de uma PA de 12 termos, cujos extremos são −28 e 60.
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Exercícios
1) Determine o décimo segundo termo da PA (4, 6, 8, ...).
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2) Determine o vigésimo termo da PA (1, 8, 15, ...).
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3) Determine o décimo sétimo termo da PA (−6, −1, 4, ...).
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4) Determine o oitavo termo da PA (1,
3
, ...) .
2
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5) Obtenha o primeiro termo de uma PA, sendo o décimo termo igual a 51 e a razão igual a 5.
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6) Obtenha a razão de uma PA, sendo o vigésimo termo igual a 192 e o primeiro termo igual a 2.
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7) Qual é o primeiro termo de uma PA em que a16 =53 e r=4.
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8) Qual é a razão e uma PA em que a26 =140 e a1 =10?
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9) Determine o número de termos da PA (−6, −9, −12, ... , −66) .
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10) Numa PA o primeiro termo é igual a razão e a14 =84 . Calcule a1 e a razão.
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11) Escreva a PA em que o primeiro termo é o dobro da razão e o trigésimo termo é igual a 93.
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12) Escreva a PA em que a razão é a terça parte do primeiro termo e o nono temor é igual a −11.
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13) Determine o valor de x, de modo que os termos (x+3),(4x−2)e (x−1) formem, nesta ordem,
uma PA.
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PROPRIEDADES DE UM PROGRESSÃO ARITMÉTICA
PROPRIEDADE 1
Em uma progressão aritmética, ao considerarmos três termos consecutivos, o termo do meio é igual à
medida aritmética dos extremos.
Sendo a PA (a, b, c, ...), temos:
b=
a+c
2
Exemplo:
Dados três termos em PA (4,9,14), temos:
9=
4+14
2
PROPRIEDADE 2:
A soma de dois números equidistantes dos extremos de uma PA finita é igual a soma dos extremos.
Sendo a PA
Extremos: 2+17+19
(2,
⏞
5, ⏟
8, 11 , 14 , 17 )
8+11=19
⏟
5+14=19
SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Sn=
(a1+a n) .n
2
R9) Determinar a soma dos 20 primeiros termos da PA (2, 5, 8, ...).
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R10) Determinar a soma dos números naturais pares compreendidos entre 1 e 101.
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R11) Determinar a soma dos múltiplos de 5 compreendidos entre 7 e 121.
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Exercícios
14) Determine a soma dos 18 primeiros termos da PA (1, 4, 7, ...).
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15) Determine a soma dos 25 primeiros termos da PA (−7,−9, −11,...) .
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16) Determine a soma dos 30 primeiros termos da PA (−15,−11,−7, ...).
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17) Qual é a soma dos 50 primeiros números naturais ímpares?
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18) Qual é a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 11 e 100?
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19) Qual é a soma dos múltiplos de 7 entre 20 e 1000?
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20) Determine a soma dos números pares positivos, menores que 101.
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21) Escreva a PA em que o primeiro termo é igual à razão e o vigésimo termo é igual a −100.
Determine, também, a soma de seus vinte primeiros termos.
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PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)
Progressão geométrica é toda sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao
produto do seu termo precedente por uma constante, denominada razão q da progressão geométrica.
Exemplos:
1) (2, 4, 8)
PG finita razão q=2
2) (5, 15, 45,...)
PG infinita razão q=3
3) (−1,−4, −16, ...)
PG infinita razão q=4
1 2 4
,
, ...)
4) ( ,
3 15 75
PG infinita razão q=
5) (−7, 14, 28, 56)
PG finita razão q=−2
2
5
Para achar a razão de uma PG dada
através de uma sequência de número nãonulos, basta dividir qualquer termo a partir
do segundo pelo seu antecessor.
Escrevendo uma sequência de termos (a1 , a2 , a3 , a4 ) em uma PG, a razão q pode ser escrita
como:
a4 a3 a 2
= = =q
a3 a 2 a1
Exemplo :
Considerando a PG (7, 21, 63, 189) , temos:
q=
189 63 21
= = =3
63 21 7
ou
q=3
CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
•
Crescente: quanto cada termo a partir do segundo é maior que seu antecessor:
(2, 6, 18, ...)
•
Decrescente: quando cada termo a partir do segundo é menor que seu antecessor:
(40, 10, 20, ...)
•
q=
1
2
Constante: quando cada termo a partir do segundo é igual a seu antecessor:
(5, 5, 5, 5,....)
•
q=3
q=1
Oscilante: quando cada termo a partir do segundo tem sinal contrário ao seu antecessor:
(−7, 21,−63,...)
q=−3
TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Escrevendo a PG (a1 , a2 , a3 , a4 , ... , an) , vimos que cada termo, a partir do segundo, é igual ao
produto de seu antecessor pela razão q:
a2 =a1 .q
a 3=a 1 . q²
a 4=a1 . q³
. .
. .
. .
a n=a1 . qn−1
Exercícios resolvidos
R12) Representar a progressão geométrica de cinco termos, sendo:
{aq=2=5
1
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R13) Representar a progressão geométrica de infinitos termos, sendo:
{
a4 =5
1
q=
2
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R14) Determinar o sétimo termo da PG (1, 3, 9, ...).
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R15) Determinar o décimo termo da PG ( 2, 4, 8, ...).
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R16)Determinar o nono termo da PG (81, 27, 9, ...).
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R17) Determinar o primeiro termo de uma progressão geométrica, sendo a6 =96 e q=2.
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R18) Qual é a razão de uma progressão geométrica, em que a1 =5 e a 4=135 ?
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R19) Determinar o número de termos da PG (−1,−2, −4, ... , −512).
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R20) Obter o valor de x de modo que a sequência 8, x , 2 forme, nesta ordem, uma progressão
geométrica.
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R21)(PUC-SP) Qual o valor de x, se a sequência 4x , 2x+a , x−1 é uma PG?
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Exercícios
22) Represente a progressão geométrica de seis termos, sendo a1 =3 e q=2.
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23) Represente a progressão geométrica de cinco termo, sendo a1 =
−1
e q=3.
81
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24) Represente a progressão geométrica de infinitos termos, sendo a1 =
1
e q=−4.
4
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25) Determine o décimo primeiro termo da PG (1, 2, 4, ...).
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26) Determine o oitavo termo da PG (1, 3, 9, ...).
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27) Determine o nono termo da PG (
1 1 1
, , , ...).
16 8 4
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28) Determine o primeiro termo de uma PG, sendo a7 =320 e q=2.
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29) Determine o primeiro termo de uma PG, sendo a 8=1 e q=
1
2.
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30) Qual a razão de uma PG em que a1 =−3 e a 9=−768 ?
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31) (UGF-RJ) Calcule a razão de uma progressão geométrica, na qual o primeiro termo é
termo é
1
e o quarto
2
1
.
27
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32) Qual é o número de termos de uma PG cujo primeiro termo é igual a
1
, a razão é igual a 2 e o
2
último termo é igual a 128?
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33) Quantos termos tem uma PG cujo primeiro termo é
1
, a razão é 3 e o último termo é igual a 127?
9
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34) Qual e o termo igual a 192 na PG (3, 6, 12, ...)?
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35) Qual é o termo igual a 125 na PG (
1 1
, , 1, ...)?
25 5
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36) Sendo 1, x, 9, três primeiros termos consecutivos de uma PG, determine o valor de x.
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37) Obtenha o valor de x de modo que a sequência 6, x, 24 forme, nessa ordem, uma progressão
geométrica crescente.
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38) Qual o valor de x, se a sequência 4x , 2x+3, x +5 é uma PG?
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39) Qual o valor de n, se a sequência n−1, 2n+1, 4n é uma PG?
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SOMA DOS n TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Escrevendo a PG de n termos, PG (a1 , a2 , a3 , ... , an ) podemos demonstrar a fórmula para o
cálculo da soma desses n termos, que é a seguinte:
n
S n=a1 .
( 1−q
1−q )
para q≠1
Sendo:
S n :Soma do n termos
a 1 : primeiro termo
n :número de termos
q : razão da PG
Exercícios resolvidos
R22) Calcular a soma dos nove primeiros termos da PG (3, 6, 12, ...).
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R23) Calcular a soma dos cinco primeiros termos de uma PG, sabendo que o quinto termo é 162 e que a
razão é igual a 3.
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Exercícios
40) Calcular a soma dos sete primeiros termos da PG (1, 3, 9, ...).
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41) Calcular a soma dos oito primeiros termos da PG (2, 4, 8, ...).
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42) Calcule a soma dos dez primeiros termos da PG (−3, −6, −12, ...).
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43) Calcule a soma dos seis primeiros termos da PG (
1 1 1
,
, , ...) .
81 27 9
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44) Calcule a soma dos onze primeiros termos da PG (
1 1 1
,
, , ...) .
32 16 8
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45) Determine a soma dos seis primeiros termos de uma PG, sabendo que o sexto termo é 160 e que a
razão é igual a 2.
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46) Determine a soma dos cinco primeiros termos de uma PG, sabendo que o quinto termo é −81
e que a razão é igual a 3.
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47) Determine a soma dos sete primeiros termos de uma PG, sabendo que o sétimo termo é igual a 320 e
que a razão é igual a 2.
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48) Determine a soam dos dez primeiros termos de uma PG, sabendo que o décimo termo é igual a 1 e
que a razão é igual a −1.
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SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA INFINITA
Dada uma PG infinita (a1 , a2 , a3 , ... , an , ...) , sendo a razão q diferente de zero (q≠0), e
−1<q<1.
Exemplo:
1 1 1
(1, , ,
, ...) onde
3 9 27
{
a1=1
1
q=
3
Observe que, quando o número de termos (n) aumenta indefinidamente, o termo (a n) tende a
zero.
Em símbolos:
lim an=0 ou seja, o limite de a , para n tendendo a infinito, é igual a zero, onde a soma (S)
n
n→∞
dos infinitos termos pode ser obtida aplicando a fórmula:
S=
a1
1−q
onde
primeiro termo
{aq ééaorazão
1
Exercícios
R24) Determine a soma dos termos da PG infinita (1,
1 1 1
, ,
, ...)
3 9 27
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R25) Calcular a soma (10−1+10−2 +10−3+...)
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R26) (FEI-SP) Determine x na igualdade
x x x
x+ + + + ... =20.
2 4 8
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49) Determine a soma dos termos da PG infinita (1,
1 1
, , ...) .
2 4
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1 1 1
,
, ...).
50) Determine a soma dos termos da PG infinita ( ,
5 20 80
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1 1
51) Determine a soma dos termos da PG infinita (1 ,− , , ...).
3 9
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3 3 3
52) (PUC-SP) Calcule a soma S=3 + + + +...
2 4 8
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53) Calcule a soma S=1 + 10−1 + 10−2 + ...
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54) (Mack-SP) Calcule S=
1
2
3
4
+ 2 + 3 + 4 + ...
10 10
10
10
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x x
x
55) Determine o valor de x na igualdade : x + + + += 12
3 9 27
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56) Numa PG de infinitos termos, o primeiro termo é igual a
15
e a soma (S) dos termos é igual a 15.
2
Determine o valor da razão (q).
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
A análise combinatória é uma ramo da Matemática que tem por objetivo resolver problemas que
consiste basicamente, em escolher e agrupar os elementos de um conjunto. Possui aplicação direta no
cálculo das probabilidades, sendo instrumento vital importância para a ciências, como na Genétrica e na
Estatística.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Sabendo que um acontecimento ocorre em duas situações e independentes, temos:
1º situação: ocorre de a maneiras.
2º situação: ocorre de b maneiras.
O número total de possibilidades de ocorrência de acontecimento é dado pelo produto a.b
Exemplo:
Um rapaz possui quatro gravatas e três camisas. De quantos modos diferentes ele pode se vestir?
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Exercícios Resolvidos
R1) Três estudantes, Renato, José e Cristina, disputam um torneio de xadrez onde são atribuídos prêmios
ao campeão e a o vice-campeão. De quantas maneiras os prêmios poder ser distribuídos?
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R2) Em quantas ordens diferentes 4 pessoas poem se sentar num sofá de 4 lugares?
P2
P1
P3
P4
P1
P2
P3
P4
P1
P3
P2
P4
P1
P4
P2
P3
4
X
3
X
P3
P4
P4
P3
P2
P4
P4
P2
P2
P3
P3
P2
P3
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P2
P3
P3
P2
P1
P3
P3
P1
P1
P2
P2
P1
2
X
1
= 24
A árvore mostra todos os modos possíveis de as 4 pessoas se sentarem num sofá de 4 lugares, ou
seja:
4 . 3 . 2 . 1 = 24
24 possibilidades
Exercícios
1) Uma moça possui cinco blusas e duas saias. De quantos modo diferentes ela pode se vestir?
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2) Em um baile há 12 moças e 8 rapazes. Quantos casais podem ser formados?
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3) Num clube existem 4 portas de entrada que dão acesso a 2 elevadores. Um sócio do clube pretende ir
à sala de jogos, que está situada no 6º andar, utilizando um dos elevadores. De quantas maneiras
diferentes poderá fazê-lo?
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4) Quantos números pares de dois algarismos podem ser formados no sistema decimal?
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5) Uma pessoa possui dez envelopes diferentes e oito selos diferentes. De quantos modos essa pessoa
pode enviar uma carta, utilizando um envelope e um selo?
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6) De quantos modos 3 pessoas podem se sentar num sofá de 5 lugares?
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7) (Unicamp-SP) Sabendo que número de telefone não começam com 0 nem com 1, calcule quantos
diferentes números de telefone podem ser formados com 7 algarismos.
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8) (Fatec-SP) Dispomos de 4 cores diferentes entre si, todas elas devem ser usadas para pintar a 5 letras
da palavra FATEC, cada letra de uma só cor, e de modo que as vogais sejam as únicas letras pintadas
com a mesma cor. De quantos modos pode ser feito isso?
a) 4
b) 36
c) 28
d) 120
e) 24
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9) (UFBA) Existem 5 ruas ligando os supermercados S 1 e S 2 e 3 ruas ligando os supermercados
S 2 e S 3 . para ir de S 1 a S 3 , passando por S 2 , o número de trajetos diferentes que podem
ser utilizados é:
a) 15
b) 10
c) 8
d) 5
e) 3
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10) (Mack-SP) Com números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 4 algarismos distintos. Entre eles,
são divisíveis por 5:
a) 20 números
b) 30 números
c) 60 números
d) 120 números
e) 180 números
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FATORIAL
Considerando um número n, sendo n∈ N e n > 1, temos:
n !=n.(n−1).(n−2). ... .1
onde
{
a leitura do símbolo n ! é n fatorial
n ! é o produto de todos os números de n até 1 por definição :
0!=1
1!=1
Exemplos:
1) 2! = ......................................................
3) 4!=......................................................
2) 3! = ......................................................
4) 5!=......................................................
Exercícios resolvidos
R2) Simplificar as expressões:
a)
3!
2!
b)
12!
10 !
c)
4 !+5 !
4!
d)
(n+1) !
(n−1) !
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R3) Resolver a equação:
( x+2)!
=6
x!
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11) Calcule o valor dos seguintes números fatoriais:
a) 0!
g) 3 !−2!
b) 1!
h) 0 !+1!
c) 4!
i) (2!) (3!)
d) 5!
j) (0!) (5!)
e) 1!+3 !
l) ( 0!) (5!)
f) 1!+4 !
m) 0 !+1!
12) Simplifique as seguintes expressões:
a)
8!
............................................................................................................................................................
9!
b)
15 !
.........................................................................................................................................................
13 !
c)
4!
...........................................................................................................................................................
6!
d)
6!
5 !2!
e)
8!
.......................................................................................................................................................
4!6!
f)
2.4!
.......................................................................................................................................................
4 !4!
.......................................................................................................................................................
13) Simplifique as seguintes expressões:
a)
n!
....................................................................................................................................................
(n−1)!
.........................................................................................................................................................................
b)
x!
..................................................................................................................................................
(x−2)!
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
c)
( x+1)!
..................................................................................................................................................
n!
..........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
d)
(2x+2)!
(2x)!
.................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
e)
x ! ( x+2)!
......................................................................................................................................
( x−1)! (x+1)!
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.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
f)
(n−1) !+(n−2)!
...................................................................................................................................
n!
.........................................................................................................................................................................
14) Determine o valor de x, de modo que se tenha:
a)
x !=1
b) x !=24
c) x !=720
d) x !=x
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15) Resolva as seguintes equações:
a)
( x+1)!
=12
( n−1)!
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16)
n!
=20
(n−2)!
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17)
(n−1) !(n+2)!
=2
n !(n+1)!
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PERMUTAÇÃO SIMPLES
Permutação de um número n de elementos distintos é qualquer grupo ornado desses n elementos.
Para cálculo das permutações simples, usamos:
Pn=n !
Leitura: Permutação de n elementos distintos é igual a n fatorial.
Exemplo:
Calcular o número de anagramas da palavras LÁPIS.
Observação: Anagramas são palavras com ou sem sentido.
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R4) Considere a palavra DILEMA e determine:
a) O número total de anagramas;
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b) O número de anagramas que começam com a letra D;
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c) O número de anagramas que começam com a letra D e terminam com a letra A;
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d)O número de anagramas que começam por vogal.
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18) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra LIVRO?
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19) Quantos são os anagramas da palavra LIVRO que começam por vogal?
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20) Quantas são os anagramas da palavra LIVRO que começam por consoantes?
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21) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ADESIVO?
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22) Quantos são os anagramas da palavra ADESIVO que começam a letra D?
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23) Quantos são os anagramas da palavra ADESIVO que começam com a letra D e terminam com a letra
V?
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24) Quantos anagramas da palavra FUVEST possuem as vogais juntas?
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25) De quantos modos 6 pessoas podem se sentar em cinco cadeiras, em fila?
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ARRANJO SIMPLES
Chamamos de arranjo simples a todos os agrupamentos simples de p elementos que podemos
formar com n elementos distintos, sendo
p⩽n , onde cada um desses agrupamentos se diferencia do
outro pela ordem ou natureza de seus elementos.
Para cálculo do número de arranjos simples, usamos:
An , p=
Leitura
n!
(n− p)!
An , p : Arranjo de n elementos tomados de p a p.
Exemplo:
A5, 2= .........................................................................................................................................................
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Exercício resolvidos:
R5) Resolver a equação:
An , 2=6
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R6) Uma escola possui 18 professores. De quantas maneiras podem ser escolhidos: um diretor, um vicediretor e um coordenador pedagógico?
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Exercícios
26) Calcule:
a)
A4, 3
b) A5, 2
c) A12, 3
d)
A 4, 2
A 6, 5
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27) Resolva as equações:
a) An , 2=30
b)
An, 4
=8
An, 3
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28) Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os elementos do conjunto
E={1, 2, 3, 4, 5}.
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29) Uma empresa possui 16 funcionários administrativos, dos quais serão escolhidos três para os cargos
de: diretor, vice-diretor e tesoureiro. De quantas maneiras pode ser feita a escolha?
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30) Um pintor deseja pintar as letras da palavra LIVRE em um cartaz de publicidade usando cores
diferentes. E quantos modos pode ser feito, se dispõe de 8 tintas de cores diferentes?
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31) Em um ônibus, há sete lugares vagos. De quantas maneiras diferentes podem duas pessoas se sentar?
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32) (UFBA) Quatro jogadores saíram de Manaus para um campeonato em Porto Alegre, num carro de 4
lugares. Dividiram o trajeto em 4 partes e aceitaram que cada um dirigia uma vez. Combinaram
também que, toda vez que houvesse mudança de motorista, todos deveriam trocar de lugar. O número
de arrumações possíveis dos 4 jogadores durante toda viagem é:
a) 4
b) 8
c) 12
d) 24
e) 162
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33) De quantos modos podem-se arrumar 4 livros de Matemática, 3 de Geografia e 2 de Biologia, numa
estante, de modo que:
a) fiquem dispostos em qualquer ordem?
b) os livros de mesmo assunto fiquem juntos?
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COMBIANÇÃO SIMPLES
Chamamos de combinação simples, todos agrupamentos simples de p elementos que podemos
formar com n elementos distintos, sendo
p⩽n , onde cada um desses agrupamentos se diferencia do
outro, apenas pela natureza de seus elementos.
Para o cálculo do número de combinações simples usamos:
C n , p=
n!
p !(n− p)!
Leitura C n , p : Combinação de n elementos tomados de p a p.
Exemplo:
C 5, 2= .........................................................................................................................................................
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Exercício resolvidos:
R7) Resolver a equação:
C x , 2=6
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R8) Uma escola possui 9 professores de Matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um
congresso. De quantos modos pode ser feita a escolha ?
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34) Calcule:
a) C 5, 3
b) C 7, 5
c) C 6, 2
d)
C 10, 3
C 5, 3
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35) Resolva as equações:
a) C n , 2=6
b) C n , 4 =4 C n , 3
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36) De quantos modos podemos iluminar um galpão que possui 10 lâmpadas, sabendo que ficam acesas
sempre 4 lâmpadas?
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37) Quantos subconjuntos de 4 elementos possuiu um conjunto de 6 elementos?
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38) Quantas comissões de 5 membros podemos formar numa assembleia de 12 participantes?
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39) Uma papelaria possui 8 cadernos diferentes. Querendo comprar apenas três, de quantas maneiras
pode ser feita a escolha das cores?
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40) O número de combinações de n objetos distintos tomados 2 a 2 é 15. Determine n.
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41) (Fatec-SP) Há 12 inscritos em um campeonato de boxe. O número total de lugas que podem ser
realizadas entre os inscritos é:
a) 12
b) 24
c) 33
d) 66
e) 132
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42) Qual a diferença entre arranjo simples e combinação?
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43) Resolva os problema de arranjo simples, permutação e combinação simples.
a) Quantos números de dois algarismos podem ser escritos com os algarismos 2, 3 e 4 ?
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b) O diretório acadêmico de uma faculdade possui 12 membros, dos quais serão escolhidos 4 para os
cargos de presidente, vice-presidente, tesoureiro e secretário. De quantas maneiras pode ser feita a
escolha?
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c) Um estudante possui 9 folhas de papel, de cores diferentes e que encapar 3 cadernos, um de cada cor.
Quantas são as maneiras possíveis?
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d) Determine o número de diagonais do pentágono (polígono de 5 lados).
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PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS
pn (α, β , ... , γ) =
n!
α ! β ! , ..., γ !
Um conjunto foi escrito com n elementos. Um dos elementos foi repedido α (alfa) vezes, outro
elemento foi repetido β (beta) vezes e assim por diante, até um elemento γ (gama) vezes.
O número de permutações que se pode obter com os elementos é:
Exemplo:
Qual é o número de anagramas que podemos forma com as letras da palavra INFINITO?
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44) Qual é o número de anagramas podemos formar com as letras da palavra URUGUAY?
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45) (Unicamp-SP) As avenidas de uma cidade estão dispostas na direção norte-sul e as ruas na direção
leste-oeste. Um trabalhador, que reside numa das esquinas dessa cidade, trabalha numa firma localizada
em outra esquina, 2 quadras ao sul e 3 quadras a leste. Quantos caminhos (possíveis) o trabalhador pode
seguir de sua casa à fábrica, percorrendo sempre a menor distância?
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NÚMERO BINOMIAIS
Se n e p são dois números, tais que {n , p}⊂N e n⩾p , chama-se número binomial de classe
p do número n ao número:
n!
( np)= p ! (n−p)
!
Notamos que :
(n0 )=C
n, p
Exemplos:
1)
(62)=
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2)
(34 )=
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CASOS NOTÁVEIS
1)
n!
n!
=
=1
(n0) = 0 ! (n−0)!
1 . n!
Exemplo:
(30)=
...........................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
2)
n!
=
(n1) = 1 !(n−1)!
n !(n−1)!
=n
(n−1) !
Exemplo:
(21)=
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......................................................................................................................................................................
3)
n!
n!
=
=1
(nn) = n ! (n−n)!
n! 0 !
Exemplo:
(55 )=
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PROPRIEDADES DOS NÚMEROS BINOMIAIS
PROPRIEDADE 1:
Se
n = n
p
q
() ()
temos :
{
p=q
ou
p + q =n
Exemplo:
(53) = (52)
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PROPRIEDADE 2:
Relação de Stifel
n = n+1
( np ) + ( p+1
) ( p+1)
Exemplo:
(64 ) + (65) = (75 )
Exercícios resolvidos
R9) Determinar:
a)
(53)=
b)
(30 )+( 41)+(55 )
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R10) Resolver a equação:
(5x) = ( 52)
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R11) Determinar
(86 ) = (78)
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Exercícios
45) Calcule:
a)
(62 )
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b)
(54)
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..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
c)
(76)
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..........................................................................................................................................................................
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d)
(108)
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46) Simplifique as expressões:
a)
(20 ) + (77 )
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b)
( 41) − (80 )
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c)
(50 )+(51)+(55 )
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47) Simplifique as expressões aplicando a relação de stifel:
a)
(52) − (53 )
b)
(107) − (108 )
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48) Determine o conjunto verdade das equações:
a)
(7x) = ( 73)
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b)
(26 ) = ( 8x )
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c)
(6x) = ( 4x)
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(Sugestão: Comparar com a relação de Stifel.)
d)
(2x) + ( 3x) = (73)
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e)
( x4 ) + (5x) = ( 75 )
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BINÔMIO DE NEWTON
Em matemática, binómio de Newton (português europeu) ou binômio de
Newton (português brasileiro) permite escrever na forma canônica o polinômio
correspondente à potência de um binômio. O nome é dado em homenagem ao físico
e matemático Isaac Newton. Entretanto deve-se salientar que o Binômio de Newton
não foi o objeto de estudos de Isaac Newton. Na verdade o que Newton estudou
foram regras que valem para (a + b)n quando o expoente n é fracionário ou inteiro
negativo, o que leva ao estudo de séries infinitas.
Isaac Newton (1642-1727)
Supondo um número natural n, n ∈ N , podemos considerar a expressão:
( x+a)n = n x n a0+ n x n−1 a1+ n x n−2 a 2+... + n x 0 a 0
0
1
2
n
()
()
Considere alguns valores para n, temos:
a) n=0
(x+a)0 = 0
0
()
b) n=1
(x+a)1= 1 x1 a0 + 1 x 0 a 1
0
1
()
()
c) n=2
2
2 0
1 1
0 2
(x+a) = 2 x a + 2 x a + 2 x a
0
1
2
()
()
()
()
()
d) n=3
(x+a)3= 3 x 3 a 0+ 3 x 2 a1+ 3 x 1 a2+ 3 x 0 a3
0
1
2
3
()
()
()
()
TERMO GERAL DO BINÔMIO DE NEWTON
Todo termo do desenvolvimento do binômio de Newton pode ser representado pela expressão:
T p+1= n x n− p . a p
0
()
Exemplo:
Determinar o termo
x
3
no desenvolvimento do binômio (x+4)5 .
Exercícios
49) Desenvolva os seguintes binômios:
a) (x+1)³ ...................................................................................................................................................
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b) ( x+3)⁴ ...................................................................................................................................................
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c) (x+2)⁵ ...................................................................................................................................................
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d) (x−1)³ ...................................................................................................................................................
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e) ( x−3)² ...................................................................................................................................................
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f) ( x−2)⁴ .....................................................................................................................................................
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50) Determine o termo em
x³ no desenvolvimento dos binômios:
a) (x+2)6
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b) ( x+3)8
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51) Determine o termo em
x
5
no desenvolvimento dos binômios:
a) ( x+2)7
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b) ( x−1)6
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TRIÂNGULO DE PASCAL
A determinação de números binomiais pode ser obtida por meio de um dispositivo prático
chamado triângulo de Pascal, que é construído com base na teoria e propriedades dos números binomiais.
p
n
0
1
2
3
4
5
6
.
.
.
0
1
2
(00)
(10)
(20)
(30)
( 40)
(50)
(60 )
(11 )
(21 )
(31 )
( 41 )
(51 )
(61)
(22 )
(32 )
( 42)
(52 )
(62 )
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
4
5
6
1
(33 )
(34 ) ( 44 )
(53 ) (54 ) (55 )
(63 ) (64 ) (65 ) (66)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10 10
5
1
1
6
15 20 15
6
ou
.
.
.
Verifique no triângulo de Pascal as seguintes propriedades:
1º) Um “cateto” e a “hipotenusa” do triângulo de Pascal são formados por 1.
2º) Em cada linha os termos equidistantes dos extremos são iguais.
3º) A soma de dois elementos consecutivos de uma linha é igual ao elemento da linha seguinte,
4º) A soma dos elementos de cada linha do triângulo é um potência de 2, cujo expoente é o número da
linha.
1