prova de matemática - turmas do 3o ano do

PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO MÉDIO
COLÉGIO ANCHIETA-BA - MARÇO DE 2010.
ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E
ADRIANO CARIBÉ.
RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
Questão 01
Na figura, AB = 4u.c, BC = 6u.c e M é o ponto médio do segmento AC .
Calcule a distância x de P a C sabendo que a distância de P a A é igual a um terço da distância de P a M.
01) 8,75u.c
02) 8,25u.c
03) 7,25u.c
04) 7,00u.c
05) 6,75u.c
RESOLUÇÃO:
Sendo
1) AB = 4u.c, BC = 6u.c e M o ponto médio do segmento AC pode-se associar ao ponto A a abscissa 0, ao
ponto C a abscissa 10 e ao ponto M a abscissa 5.
2) AP = y e PM = 3y.
Resulta a figura:
Da análise da figura tem-se: y + 3y= 5 ⇒ 4y = 5 ⇒ y = 1,25 ⇒ PC = 3 × 1,25 + 5 ⇒ PC = 8,75.
RESPOSTA: Alternativa 01.
Questão 02.
João e Maria eram dois colegas de escola. João dizia gostar muito de Maria e a assediava com muita freqüência.
Um belo dia, João pediu o número do telefone de Maria, que respondeu dizendo:
–João, meu telefone é composto de oito dígitos totalmente distintos e o prefixo é 3247; se você realmente gosta
de mim, ligue-me hoje à tarde que eu estarei esperando.
Quantas tentativas, no máximo, João deverá fazer para, com certeza, descobrir o número de Maria?
01) 5040
02) 10000
03) 2401
04) 840
05) 360
RESOLUÇÃO:
Representação do telefone de Maria:
PREFIXO
a
b
c
d
Possibilidades de valores para a, b, c, d
3247
6
5
4
3
O número de tentativas que, no máximo, João deverá fazer é: 6 × 5 × 4 × 3 = 360.
RESPOSTA: Alternativa 05.
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Questão 03.
A posição de um ponto P da Terra é determinada por suas coordenadas geográficas: latitude e longitude.
A latitude do ponto P é a medida, em graus, do arco
, contido no meridiano que passa por P, sendo A o ponto
desse meridiano que está no equador.
Longitude de P é a medida, em graus, do arco equatorial determinado pelo meridiano que passa por P e o
meridiano que passa pelo observatório de Greenwich, na Inglaterra.
Essas coordenadas são determinadas com grande precisão por aparelhos chamados GPS (Sistema de
posicionamento global) utilizam satélites.
Supondo que o raio da terra (suposta esférica) é de 6000km e que as cidades X e Y estão situados num mesmo
meridiano, tendo latitudes de 10°20`N e 9°40´S, entre essas cidades calcule a distância, em quilômetros, entre
essas cidades.
01) 1743
02) 2093
03) 2415
04) 28270
05) 3050
RESOLUÇÃO:
FIGURA I
FIGURA II
A figura I acima representa a situação-problema.
Na figura II, o círculo de centro C representa o meridiano onde se localizam as cidades X e Y que
determinam um arco de comprimento l e medida: 9°40´ + 10°20´ = 20°.
20°
l
1
l
1
l
6280
Logo vale a relação:
=
⇒
=
⇒ =
⇒l=
= 2093,333...
360° 2 × 6000 × 3,14
18 12000 × 3,14
3 2000 × 3,14
3
RESPOSTA: Alternativa 02
Questão 04.
João e Maria vão sentar-se à mesma fila de um cinema. A fila tem 10 cadeiras, todas vazias. Como não querem
sentar-se em cadeiras vizinhas, de quantas maneiras poderão sentar-se?
01) 42
02) 54
03) 64
04) 72
05) 80
RESOLUÇÃO:
1
João
2
3
Maria
João
Maria
Maria
Maria
Maria
Maria
Maria
Maria
Maria
4
Maria
Maria
João
Maria
Maria
Maria
Maria
Maria
Maria
Maria
5
Maria
Maria
Maria
6
Maria
Maria
Maria
Maria
João
Maria
Maria
Maria
Maria
Maria
Maria
João
8
Maria
Maria
Maria
Maria
Maria
Maria
9
Maria
Maria
Maria
Maria
Maria
Maria
Maria
10
Maria
Maria
Maria
Maria
Maria
Maria
Maria
Maria
o
N
8
7
7
7
7
7
7
7
7
8
72
João
Maria
João
Maria
Maria
João
Maria
Maria
Maria
João
Maria
Maria
Maria
Maria
João
TOTAL
Considerando que João sente em primeiro lugar e que somente depois Maria escolha o lugar para sentar:
Se João sentar na cadeira 1 ou 10, Maria terá em cada caso (10 – 2) cadeiras para sentar, então um total de 16
maneiras de sentar-se.
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Maria
Maria
Maria
Maria
Maria
7
Maria
Maria
Maria
Maria
Maria
2
Se João escolher uma das cadeiras de número 2 a 9. Em cada caso Maria somente terá (10 – 3) cadeiras para
sentar, o que dá um total de 8 × 7 = 56 maneiras de sentar-se.
Logo ao final são 16 + 56 = 72.
RESPOSTA: Alternativa 04.
Questão 05.
A figura ao lado representa um quadro com círculos congruentes e tangentes
dois a dois.
Sabe-se que o consumo de tinta para pintar os círculos, em primeira demão é de
1cm³ de tinta para cada 100 cm² de área a ser pintada.
Na segunda demão o consumo de tinta é de 20% a menos.
Determine a quantidade de tinta, em litros, necessária para pintar esses círculos
com duas demãos. (Considerar π = 3).
01) 0,82
02) 0,42
03) 0,48
04) 0,54
05) 0,60
RESOLUÇÃO:
Como os círculos são congruentes, tangentes entre si, dois a dois, e cada um deles tangente a dois lados
consecutivos do quadrado, pode-se concluir que 4R = 200cm ⇒ R = 50cm.
A área dos quatro círculos, em cm², é então: 4πR² = 4 × 3 × 50² = 30.000.
Como na primeira demão, para cada 100 cm² de área a ser pintada, gasta-se 1cm³ de tinta, tem-se a proporção:
1
x
=
⇒ x = 300 ⇒ que na primeira demão o consumo de tinta é de 300 cm³.
100 30000
Se na segunda demão o consumo de tinta é de 20% a menos, este consumo é de:
(100% − 20%) × 300 = 240 cm³.
Logo um consumo total de (300cm³ + 240cm³) = 540cm³ = 0,540dm³ = 0,54 l .
RESPOSTA: Alternativa 04.
Questão 06.
(UFBA2008/modificada)
Em uma escola, cinco meninos e três meninas disputam uma prova de natação. Cada nadador ocupa uma das
oito raias da piscina, numeradas de 1 a 8, e os que obtiverem o primeiro, o segundo e o terceiro lugar subirão ao
pódio para premiação.
Com base nessas informações e admitindo-se que não existe a possibilidade de empate, considere as seguintes
afirmativas:
(I) Existem exatamente 4320 maneiras distintas de distribuir os nadadores nas raias de modo que a 1 e a 8
sejam ocupadas por meninas.
(II) Existem exatamente 336 formações distintas para o pódio.
(III) Existem exatamente 180 formações distintas para o pódio com dois meninos e uma menina.
Podemos afirmar que:
apenas a afirmativa I é falsa.
apenas a afirmativa II é falsa.
apenas a afirmativa III é falsa.
apenas uma afirmativa é verdadeira.
todas as afirmativas são verdadeiras.
01)
02)
03)
04)
05)
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3
RESOLUÇÃO:
(I) VERDADEIRA
Raia 1
Raia 2
3 meninas
Raia 3
Raia 4
Raia 5
6! possibilidades
Raia 6
Raia 7
Raia 8
2 meninas
Logo existem exatamente 3 × 6! × 2 = 4320 maneiras distintas de distribuir os nadadores nas raias de modo que
a 1 e a 8 sejam ocupadas por meninas.
(II) VERDADEIRA
o
o
o
1 lugar
2 lugar
3 lugar
Possibilidades
8
7
6
Se os que obtiverem o primeiro, o segundo e o terceiro lugar subirão ao pódio para premiação, o número total de
maneiras para este acontecimento é: 8 × 7 × 6 = 336.
(III) VERDADEIRA
o
o
o
1 lugar
2 lugar
3 lugar
TOTAL
Possibilidades
3 meninas
5 meninos
4 meninos
3 × 5 × 4 = 60
1
Possibilidades
5 meninos
3 meninas
4 meninos
5 × 3 × 4 = 60
2
Possibilidades
5 meninos
4 meninos
3 meninas
5 × 4 × 3= 60
3
TOTAL
180
RESPOSTA: Alternativa 05
Questão 07.
As retas r e t são paralelas.
Calcule x sabendo que CD é paralelo à s retas r e t e que AB é
paralelo a DE .
01) 100°
02) 125°
05) 145°
03) 130°
04)
135°
RESOLUÇÃO:
Traçando-se as retas s e u, respectivamente, pelos pontos B
e C, paralelas às retas r e t e prolongando-se AB até
interceptar a reta t no ponto F, tem-se:
1) DĈB + CB̂H = 180° (ângulos colaterais internos ).
2) HB̂C = x - 70° .
3) AB̂H = AF̂E = x - 70° (ângulos correspond entes) .
4) DEFG é um paralelogramo ( (GF // DE e EF // DG )
5)
FĜD = DÊF e EF̂G = ED̂G (ângulos opostos do paralelogr amo)
Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360°:
2x + 2(x – 70°) = 360° ⇒ 4x = 500° ⇒ x = 125°.
RESPOSTA: Alternativa 02.
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4
Questão 08.
Com os algarismos do conjunto {0;1;2;3;4;5;6;7;8}, quantos números ímpares , situados entre 200 e 700,
podemos formar com algarismos distintos ?
01) 126
02) 161
03) 184
04) 105
05) 140
RESOLUÇÃO:
Os números, em questão, são todos os valores ímpares de x tais que 200 < x < 700. Logo a ordem das centenas só pode ser
preenchida com os algarismos 2, 3, 4, 5 ou 6 e a das unidades pelos algarismos 1, 3, 5 ou 7. Somente não existem
condições para o preenchimento da ordem das dezenas.
Comecemos o preenchimento pelas ordens para as quais existem condições:
C
D
U
I - Preenchimento
(2, 4 ou 6)
(1, 3, 5 ou 7)
Número de possbilidades
3
7
4
II - Preenchimento
Entre 3 ou 5, escolhe-se, por exemplo o 3
7
(1, 5 ou 7)
Número de possbilidades
2
7
3
O total de números será então: 3 × 7 × 4 + 2 × 7 × 3 = 84 +42 = 126.
RESPOSTA: Alternativa 01.
Questão 09.
Os ciclistas A e B partem de um mesmo ponto e no mesmo instante.
A razão entre os raios R e r das rodas das bicicletas de A e B, respectivamente, é igual a 1,5.
As rodas da bicicleta de A dão n voltas por minuto, enquanto as da do ciclista B dão (n + 2) voltas
por minuto.
Em cada instante a razão entre as distâncias percorridas por A e B é igual a 10 .
7
Calcule o valor de n.
01) 25
02) 30
03) 35
04) 40
05) 45
RESOLUÇÃO:
Sendo r a medida do raio da bicicleta de B, o raio da bicicleta de A é R = 1,5r.
Em 1 minuto as rodas da bicicleta do ciclista A dão n voltas, portanto percorre (n×2×1,5rπ) = 3nrπ.
Em 1 minuto as rodas da bicicleta do ciclista B dão (n +2) voltas, portanto percorre (n+2)×2rπ) = (2n+4)rπ.
Como em cada instante a razão entre as distâncias percorridas por A e B é igual a 10
7
3n
10
=
⇒ 21n = 20n + 40 ⇒ n = 40
2(n + 2) 7
RESPOSTA: Alternativa 04.
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5
Questão 10.
Quantos números naturais, maiores que 4725, podemos formar com quatro algarismos distintos?
01) 3024
02) 2670
03) 2614
04) 2584
05) 2520
RESOLUÇÃO:
Sendo: 4725 < n < 5000
UM
4
UM
4
UM
4
C
7
D
2
C
7
U
6, 8 ou 9
3 números
D
3, 5, 6, 8 ou 9
3
C
8 ou 9
8
U
(5 × 7) = 35 números
0,1,2,5,6,8 ou 9
D
0,1,2,3,5,6,7 ou 9
0
U
2 × 8 × 7 = 112números
1,2,3,5,6,7 ou 9
Sendo 5.000 < n < 10.000:
UM
5,6,7,8 ou 9
5
C
0,1,2,3,4,6,7,8 ou 9
0
D
U
5×
×9×
×8×
×7 = 2520 números
1,2,3,4,6,7,8 ou 9
1
2,3,4,6,7,8 ou 9
Total de números: 3 + 35 + 112 +2520 = 2670.
RESPOSTA: Alternativa 02.
Questão 11.
O quadrilátero ABCD é inscritível. Calcule a medida y do ângulo
AB̂C .
01) 120°10’
04) 149°20’
02) 130°20’
05) 151°10’
03) 140°40’
RESOLUÇÃO:
Sendo ABCD um quadrilátero inscritível, dois ângulos opostos são
suplementares, como se pode comprovar pela figura ao lado, onde se vê
que a soma dos dois arcos determinados pelos pontos A e C é igual a
360°: 2y + 2x = 360° ⇒ y + x = 180°.
A soma dos ângulos internos do quadrilátero ABCD é igual a 360°:
2x + (x + y) + 118°40’ = 360° ⇒ 2x + 180° + 118°40’ = 360° ⇒
2x = 180° − 118°40’ ⇒ 2x = 61°20’ ⇒ 2x = 60°80’ ⇒ x = 30°40’ ⇒
y = 180° − 30°40’ = 149°20’
RESPOSTA: Alternativa 04
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6
Questão 12.
A soma das soluções da equação
01). 05
02) 06
(n + 2) ! + 4n !
= 10 é:
(n + 1) ! − n !
03) 07
04) 08
05) 09
RESOLUÇÃO:
(n + 2) ! + 4n !
(n + 2)(n + 1)n ! + 4n !
n ! [(n + 2)(n + 1) + 4]
= 10 ⇒
= 10 ⇒
= 10 ⇒
(n + 1) ! − n !
(n + 1)n ! − n !
n ! [(n + 1) − 1]
[(n + 2)(n + 1) + 4] = 10 ⇒ n2 + 3n + 2 + 4 = 10n ⇒ n2 − 7n + 6 = 0 ⇒
[(n + 1) − 1]
A soma das soluções da equação
(n + 2) ! + 4n !
= 10 é 7.
(n + 1) ! − n !
RESPOSTA: Alternativa 03.
Questão 13.
As medidas dos lados de um triângulo escaleno são os inteiros 40, 50 e x.
Quantos são os possíveis valores de x?
01) 78
02) 77
03) 76
04) 75
05) 74
RESOLUÇÃO:
Propriedade da desigualdade entre os lados de um triângulo: Em todo triângulo a medida de um lado qualquer é
menor que a soma dos outros dois e maior que o módulo da diferença desses dois lados.
x < 40 + 50

10 < x < 90
50 < 40 + x
Então: 
⇒
40
<
50
+
x
x ≠ 40 e x ≠ 50

x > 10, x ≠ 40 e x ≠ 50
Existem (90 – 10 – 1) = 79 números pertencentes ao intervalo 10 < x < 90. Mas, como x tem que ser diferente de
40 e de 50, pois o triângulo é escaleno (todos os lados diferentes) o total de valores inteiros para x é 79 – 2 = 77.
RESPOSTA: Alternativa 02.
Questão 14.
Os triângulos AFE e BED são isósceles de bases FE e ED .
Calcule a medida y do ângulo AÊB.
01) 15°
02) 20°
03) 30°
04) 35°
05) 40°
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7
RESOLUÇÃO:
Desmembrando a figura acima:
Como o triângulo AFE é isósceles, AF̂E ≡ AÊF =
180 ° − x
(I).
2
No triângulo AFC, considerando a soma dos ângulos internos, chega-se a AF̂C = 180° − (2x + 30°) = 150 ° − 2x .
(II).
180 ° − x
De (I) e (II) tem-se a igualdade
= 150° − 2x ⇒ 180 ° − x = 300° − 4x ⇒ 3x = 120 ° ⇒ x = 40° .
2
Na figura 4, AÊC é externo ao triângulo AFE, logo, 80° + y = 150° - 2x + x ⇒ y = 70° - x = 30°.
RESPOSTA: Alternativa 03.
QUESTÃO DISCURSIVA
Questão 15.
Os ângulos internos do hexágono ABCDEF são congruentes.
Sabendo que AB = 10cm, BC = 12cm, CD = 10cm e que DE = 15cm, calcule
em centímetros, o perímetro desse hexágono.
RESOLUÇÃO:
1) Como os ângulos internos do hexágono são congruentes, os seus lados opostos são paralelos:
AB // ED , BC // FE e AF // CD .
2) Prolongando-se AB até o ponto I e traçando CG // DE // AB , tem-se os trapézios isósceles ABCH e
CDEG, logo AH = 12cm e EG = 10cm.
3) Pela figura acima deduz-se que o triângulo AFI é equilátero, então o triângulo FGH também o é, logo,
GE = 10cm = FE + FH.
4) O perímetro do hexágono ABCDEF é igual a:
AB + BC + CD + DE + (EF + FH) + AH = 10 + 12 + 10 + 15 + 10 + 12 = 69.
RESPOSTA: o perímetro do hexágono ABCDEF é 69cm.
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