DERIVADAS PARCIAIS Teoria

DERIVADAS PARCIAIS
Teoria
• Definições Básicas:
A derivada parcial de f em relação a x, no ponto (x, y), é o limite
∂f
f (x + ∆x, y) − f (x, y)
(x, y) = lim∆x→0
∂x
∆x
em que y é mantido constante.
A derivada parcial de f em relação a y, no ponto (x, y), é o limite
f (x, y + ∆y) − f (x, y)
∂f
(x, y) = lim∆y→0
∂y
∆y
em que x é mantido constante.
Uma função z = f (x, y) se diz definida ou dada implicitamente pela
equação g(x, y, z) = 0 se, para todo (x, y) ∈ Df , temos g(x, y, f (x, y)) =
0.
• Plano Tangente:
Sejam f : A → R, A aberto de R2 , e (x0 , y0 ) ∈ A. Dizemos que f é
diferenciável em (x0 , y0 ) se e somente se existirem reais a e b tais que
lim(h,k)→(0,0)
E(h, k)
=0
k(h, k)k
onde
E(h, k) = f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) − ah − bk.
Seja f : A ⊂ R2 → R, A aberto, e seja (x0 , y0 ) ∈ A. Se f for diferenciável em (x0 , y0 ), então f admitirá derivadas parciais neste ponto.
Se f for diferenciável em (x0 , y0 ), então f será contı́nua em (x0 , y0 ).
Seja f diferenciável no ponto (x0 , y0 ). O plano
1
z − f (x0 , y0 ) =
∂f
∂f
(x0 , y0 )(x − x0 ) +
(x0 , y0 )(y − y0 )
∂x
∂y
denomina-se plano tangente ao gráfico de f no ponto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).
A reta normal ao gráfico de f no ponto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) é a reta cuja
equação é
(x, y, z) = (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) + λ(
∂f
∂f
(x0 , y0 ),
(x0 , y0 ), −1), λ ∈ R.
∂x
∂y
A transformação linear dz dada por
dz =
∂f
∂f
(x, y)dx +
(x, y)dy
∂x
∂y
denomina-se diferencial de z = f (x, y) no ponto (x, y).
• Gradiente:
Seja z = f (x, y). O vetor ∇f (x0 , y0 ) = (
∂f
∂f
(x0 , y0 ),
(x0 , y0 )) denomina∂x
∂y
se gradiente de f em (x0 , y0 ).
A reta tangente em (x0 , y0 ) à curva de nı́vel f (x, y) = c tem equação
dada por
∇f (x0 , y0 ) · [(x, y) − (x0 , y0 )] = 0.
O plano passando pelo ponto (x0 , y0 , z0 ) e normal ao vetor ∇f (x0 , y0 , z0 )
denomina-se plano tangente, em (x0 , y0 , z0 ), à superfı́cie de nı́vel f (x, y, z) =
c. A equação deste plano é
∇f (x0 , y0 , z0 ) · [(x, y, z) − (x0 , y0 , z0 )] = 0.
A reta
(x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + λ∇f (x0 , y0 , z0 ), λ ∈ R,
denomina-se reta normal, em (x0 , y0 , z0 ), à superfı́cie de nı́vel f (x, y, z) =
c.
2
• Regra da Cadeia:
Sejam f : A ⊂ R2 → R, A aberto, e γ : I → R2 , tais que γ(t) ∈ A para
todo t no intervalo I. Nestas condições, se γ for diferenciável em t0 e
f em γ(t0 ), então a composta F (t) = f (γ(t)) será diferenciável em t0 e
vale a Regra da Cadeia
F 0 (t0 ) = ∇f (γ(t0 )) · γ 0 (t0 )
ou, equivalentemente,
∂f dx ∂f dy
dF
=
+
,
dt
∂x dt
∂y dt
ficando subentendido que as derivadas parciais devem ser calculadas
em γ(t0 ).
Sejam A e B abertos do R2 , f (x, y) diferenciável em A, g(u, v) e h(u, v)
diferenciáveis em B tais que, para todo (u, v) em B, (g(u, v), h(u, v)) ∈
A. Seja F (u, v) = f (g(u, v), h(u, v)). Então vale a Regra da Cadeia
∂f ∂x ∂f ∂y
∂F
=
+
∂u
∂x ∂u ∂y ∂u
∂F
∂f ∂x ∂f ∂y
2.
=
+
∂v
∂x ∂v
∂y ∂v
1.
• Funções Implı́citas:
Seja y = g(x) dada implicitamente pela equação F (x, y) = 0. Então
∂F
(x, g(x))
g 0 (x) = − ∂x
.
∂F
(x, g(x))
∂y
Seja z = g(x, y) dada implicitamente pela equação F (x, y, z) = 0.
Então
∂F
(x, y, g(x, y))
∂g
(x, y) = − ∂x
∂F
∂x
(x, y, g(x, y))
∂z
3
e
∂F
(x, y, g(x, y))
∂g
∂y
(x, y) = −
.
∂F
∂y
(x, y, g(x, y))
∂z
O determinante jacobiano das funções
x e y é dado pela fórmula
∂F
∂(F, G) ∂x
= ∂G
∂(x, y)
∂x
F e G em relação às variáveis
∂F
∂y
∂G
∂y
.
Sejam y = y(x) e z = z(x) dadas implicitamente pelo sistema
F (x, y, z) = 0
G(x, y, z) = 0
Temos então
∂(F, G)
dy
∂(x, z)
=−
∂(F, G)
dx
∂(y, z)
e
∂(F, G)
dz
∂(y, x)
=−
.
∂(F, G)
dx
∂(y, z)
• Derivada Direcional:
O limite
∂f
f (x0 + at, y0 + bt) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = limt→0
∂~u
t
quando existe e é finito, denomina-se derivada direcional de f no ponto
(x0 , y0 ) e na direção do vetor ~u = (a, b), com ~u unitário.
Sejam f : A ⊂ R2 → R, A aberto, (x0 , y0 ) ∈ A e ~u = (a, b) um vetor
unitário. Se f (x, y) for diferenciável em (x0 , y0 ), então
4
.
∂f
(x0 , y0 ) = ∇f (x0 , y0 ) · ~u.
∂~u
Seja f : A ⊂ R2 → R, A aberto, diferenciável em (x0 , y0 ) e tal que
∂f
∇f (x0 , y0 ) 6= ~0. Então, o valor máximo de
(x0 , y0 ) ocorre quando ~u
∂~u
for o versor de ∇f (x0 , y0 ) e esse valor será k∇f (x0 , y0 )k.
• Polinômio de Taylor:
Chamamos derivadas de ordem superior de uma função z = f (x, y) as
∂f ∂f
derivadas obtidas a partir das derivadas
e
.
∂x ∂y
(Teorema de Schwarz) Seja f : A ⊂ R2 → R, A aberto. Se f possuir
as derivadas até a segunda ordem contı́nuas em A, então
∂ 2f
∂ 2f
(x, y) =
(x, y)
∂x∂y
∂y∂x
para todo (x, y) em A.
(Polinômio de Taylor de Ordem 1) Seja f : A ⊂ R2 → R, A aberto,
com derivadas até a segunda ordem contı́nuas em A. Sejam (x0 , y0 ) ∈ A
e (h, k) 6= (0, 0) tais que o segmento de extremidades (x0 , y0 ) e (x0 +
h, y0 + k) esteja contido em A. Nestas condições,
f (x0 + h, y0 + k) = f (x0 , y0 ) +
∂f
∂f
(x0 , y0 )h +
(x0 , y0 )k
∂x
∂y
(Polinômio de Taylor de Ordem 2) Seja f : A ⊂ R2 → R, A aberto,
com derivadas até a terceira ordem contı́nuas em A. Sejam (x0 , y0 ) ∈ A
e (h, k) 6= (0, 0) tais que o segmento de extremidades (x0 , y0 ) e (x0 +
h, y0 + k) esteja contido em A. Nestas condições,
∂f
∂f
(x0 , y0 )h +
(x0 , y0 )k +
∂x
∂y
1 ∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
2
[ 2 (x0 , y0 )h + 2
(x0 , y0 )hk + 2 (x0 , y0 )k 2 ]
2 ∂x
∂x∂y
∂y
f (x0 + h, y0 + k) = f (x0 , y0 ) +
5
• Máximos e Mı́nimos:
Dizemos que (x0 , y0 ) é um ponto crı́tico de f (x, y) se esse ponto for
interior ao domı́nio de f e se ∇f (x0 , y0 ) = (0, 0). Se f admite derivadas
parciais em todos os pontos interiores de Df , então os pontos crı́ticos
de f são, entre os pontos interiores de Df , os únicos candidatos a
extremantes locais de f .
A função H dada por
H(x, y) = ∂ 2f
∂x2
∂ 2f
∂y∂x
∂ 2f
∂x∂y
∂ 2f
∂y 2
denomina-se hessiano de f .
Seja f (x, y) uma função com derivadas contı́nuas até 2a ordem. Seja
(x0 , y0 ) um ponto crı́tico de f . Então
∂ 2f
(x0 , y0 ) > 0 ⇒ (x0 , y0 ) é mı́nimo local de f ;
∂x2
∂ 2f
2. H(x0 , y0 ) > 0 e
(x0 , y0 ) < 0 ⇒ (x0 , y0 ) é máximo local de f ;
∂x2
3. H(x0 , y0 ) < 0 ⇒ (x0 , y0 ) é ponto de sela de f ;
1. H(x0 , y0 ) > 0 e
4. H(x0 , y0 ) = 0 ⇒ inconclusivo.
• Máximos e Mı́nimos Condicionados:
(Weierstrass) Se f (x, y) for contı́nua no compacto A, então existirão
pontos (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) em A tais que, para todo (x, y) em A,
f (x1 , y1 ) ≤ f (x, y) ≤ f (x2 , y2 ).
(Multiplicadores de Lagrange) Seja f diferenciável no aberto A e seja
B = {(x, y) ∈ A|g(x, y) = 0}, onde g possui derivadas contı́nuas em A
e ∇g 6= (0, 0), para todo (x, y) ∈ B. Uma condição necessária para que
(x0 , y0 ) ∈ B seja extremante local de f em B é que exista um real λ0
tal que
∇f (x0 , y0 ) = λ0 ∇g(x0 , y0 ).
6
Seja f diferenciável no aberto A e seja B = {(x, y, z) ∈ A|g(x, y, z) =
0}, onde g possui derivadas contı́nuas em A e ∇g 6= (0, 0, 0), para todo
(x, y, z) ∈ B. Uma condição necessária para que (x0 , y0 , z0 ) ∈ B seja
extremante local de f em B é que exista um real λ0 tal que
∇f (x0 , y0 , z0 ) = λ0 ∇g(x0 , y0 , z0 ).
Seja f diferenciável no aberto A ⊂ R3 e seja B = {(x, y, z) ∈ A|g(x, y, z) =
0, h(x, y, z) = 0}, onde g e h possuem derivadas contı́nuas em A e
∇g ∧ ∇h 6= ~0, para todo (x, y, z) ∈ B. Uma condição necessária para
que (x0 , y0 , z0 ) ∈ B seja extremante local de f em B é que existam
reais λ1 e λ2 tais que
∇f (x0 , y0 , z0 ) = λ1 ∇g(x0 , y0 , z0 ) + λ2 ∇h(x0 , y0 , z0 ).
7
Exercı́cios
• Fixação:
1. Determine as derivadas parciais.
(a) f (x, y) = 5x4 y 2 + xy 3 + 4
(b) z = cos(xy)
x3 + y 2
(c) z = 2
x + y2
2
2
(d) f (x, y) = e−x −y
(e) z = x2 ln(1 + x2 + y 2 )
(f) z = xyexy
(g) z = (x2 + y 2 ) ln(x2 + y 2 )
(h) g(x, y) = xy
2. Sendo z = f (x, y) dada implicitamente por x2 +y 2 +z 2 = 1, z > 0,
∂z ∂z
e
.
calcule
∂x ∂y
3. Suponha que z = f (x, y) seja dada implicitamente pela equação
∂z
exyz = x2 + y 2 + z 2 . Expresse
em termos de x, y e z.
∂x
4. Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao
gráfico da função dada, no ponto dado.
(a)
(b)
(c)
(d)
f (x, y) = 3x2 y − x em (1, 2, f (1, 2))
f (x, y) = 2x2 y em (1, 1, f (1, 1))
f (x, y) = x2 + y 2 em (0, 1, f (0, 1))
2
2
f (x, y) = xex −y em (2, 2, f (2, 2))
5. Determine o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1) e
que seja tangente ao gráfico de f (x, y) = xy.
6. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x+y e tangente
ao gráfico de f (x, y) = x2 + y 2 .
7. Calcule a diferencial.
(a) z = x3 y 2
(b) z = sin(xy)
8
2
2
(c) u = es −t
(d) T = ln(1 + p2 + v 2 )
2 −y 2
8. Seja z = xex
.
(a) Calcule um valor aproximado para a variação ∆z em z, quando
se passa de x = 1 e y = 1 para x = 1, 01 e y = 1, 002.
(b) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x =
1, 01 e y = 1, 002.
9. Seja f (x, y) = x2 + y 2 . Calcule ∇f (1, 1) e represente-o geometricamente.
10. Determine a equação da reta tangente à curva de nı́vel dada, no
ponto dado.
(a) x2 + xy + y 2 − 3y = 1 em (1, 2)
1
(b) e2x−y + 2x + 2y = 4 em ( , 1)
2
11. Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfı́cie dada, no ponto dado.
(a) x2 + 3y 2 + 4z 2 = 8 em (1, −1, 1)
1
(b) 2xyz = 3 em ( , 1, 3)
2
x−y
3
(c) ze
+ z = 2 em (2, 2, 1)
dz
.
dt
2
Seja F (t) = f (et , sin t), onde f (x, y) é uma função diferenciável
∂f
em R2 . Calcule F 0 (0), supondo
(1, 0) = 5.
∂y
Seja z = f (x2 , 3x + 1), onde f (u, v) é diferenciável em R2 . Verifidz
∂f
∂f
que que
(1) = 2 (1, 4) + 3 (1, 4).
dx
∂u
∂v
Suponha f (x, y) diferenciável e que, para todo x, f (3t+1, 3t−1) =
∂f
∂f
4. Verifique que
(3t + 1, 3t − 1) = − (3t + 1, 3t − 1).
∂x
∂y
dz
Seja z = ln(1 + x2 + y 2 ), x = sin 3t, y = cos 3t. Calcule
e
dt
interprete o resultado.
2
12. Sejam z = x2 y, x = et e y = 2t + 1. Calcule
13.
14.
15.
16.
9
17. A função diferenciável y = y(x) é definida implicitamente pela
dy
em termos de x e y.
equação y 3 + xy + x3 = 3. Expresse
dx
18. A função diferenciável z = z(x, y) é dada implicitamente pela
∂z
equação xyz + x3 + y 3 + z 3 = 5. Expresse
em termos de x, y
∂x
e z.
19. Sejam
e z = z(x), z > 0 diferenciáveis e dadas por
2 y 2= y(x)
2
dy dz
x +y +z =1
. Expresse
e
em termos de x, y e z.
x+y =1
dx dx
∂f
(1, 1) na direção ~v = (−1, 1) e interprete o resultado.
20. Calcule
∂~u
∂f
21. Calcule
(x0 , y0 ), sendo dados:
∂~u
(a) f (x, y) = x2 − 3y 2 , (x0 , y0 ) = (1, 2) e ~u é o versor de 2~i + ~j.
2
2
(b) f (x, y) = ex −y , (x0 , y0 ) = (1, 1) e ~u é o versor de (3, 4).
(c) f (x, y) = xy, (x0 , y0 ) = (1, 1) e ~u é o versor de ~i + ~j.
22. Em que direção e sentido a função f (x, y) = x2 +xy +y 2 , em (1, 1),
cresce mais rapidamente? Qual a taxa máxima de crescimento?
∂ 2f
∂ 2f
+ 2 = 0, onde f (x, y) = ln(x2 + y 2 ).
23. Verifique que
2
∂x
∂y
24. Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em
volta do ponto dado.
(a) f (x, y) = ex+5y , (x0 , y0 ) = (0, 0)
(b) f (x, y) = sin(3x + 4y), (x0 , y0 ) = (0, 0)
25. Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em
volta do ponto dado.
(a) f (x, y) = x sin y, (x0 , y0 ) = (0, 0)
(b) f (x, y) = x3 + 2x2 y + 3y 3 + x − y, (x0 , y0 ) = (1, 1)
26. Estude com relação a máximos e mı́nimos locais a função f (x, y) =
(a) x3 + y 3 − 3x − 3y + 4
(b) x2 + 3xy + 4y 2 − 6x + 2y
(c) x3 − 3x2 y + 27y
10
27. Determine os extremantes de f (x, y) = xy em A = {(x, y) ∈
R2 |x2 + y 2 ≤ 1}.
28. Determine o ponto do elipsoide x2 + 2y 2 + 3z 2 = 1 cuja soma das
coordenadas seja máxima.
29. Encontre o ponto da curva xy = 1, x > 0, y > 0 que se encontra
mais próximo da origem.
30. Determine os pontos mais afastados da origem e cujas coordenadas
estão sujeitas às restrições x2 + 4y 2 + z 2 = 4 e x + y + z = 1.
• Aplicação:
1. Uma placa de metal fina, localizada no plano xy, tem temperatura
T (x, y) no ponto (x, y). As curvas de nı́vel de T são chamadas isotermas porque em todos os pontos de uma isoterma a temperatura
é a mesma. Esboce algumas isotermas para a função temperatura
da placa de metal, dada por
100
.
T (x, y) =
1 + x2 + 2y 2
2. A temperatura em uma localidade do hemisfério norte depende
da longitude x, da latitude y e do tempo t de modo que podemos
escrever T = f (x, y, t). Vamos medir o tempo em horas a partir
do inı́cio de janeiro.
∂T ∂T ∂T
,
e
?
(a) Qual é o significado de cada derivada parcial
∂x ∂y
∂t
(b) Honolulu tem longitude 158◦ W e latitude 21◦ N . Suponha
que às 9 da manhã em 1◦ de janeiro, o vento está soprando
ar quente para o nordeste de modo que o ar do oeste e do sul
está quente e o ar do norte e do leste está mais frio. Você
espera que fx (158, 21, 9), fy (158, 21, 9) e ft (158, 21, 9) sejam
positivas ou negativas? Explique.
2 2
3. Verifique que a função u = e−α k t sin kx é uma solução da equação
de condução do calor ut = α2 uxx .
4. Em um estudo de penetração de geada foi encontrado que a temperatura T após t dias e profundidade x (medida em centı́metros)
pode ser modelada pela função
T (x, t) = T0 + T1 e−λx sin(ωt − λx),
11
onde ω e λ são constantes positivas.
∂T
(a) Encontre
. Qual é o seu significado fı́sico?
∂x
∂T
(b) Encontre
. Qual é o seu significado fı́sico?
∂t
5. A lei dos gases para uma massa fixa m de um gás ideal numa
temperatura absoluta T , pressão P e volume V é P V = mRT ,
onde R é a constante do gás. Mostre que:
∂P ∂V ∂T
= −1
(a)
∂V ∂T ∂P
∂P ∂V
(b) T
= mR
∂T ∂T
6. A resistência total R produzida por três condutores com resistências
R1 , R2 e R3 conectadas em paralelo num circuito elétrico é dada
pela fórmula
1
1
1
1
=
+
+
.
R
R1 R2 R3
∂R
.
Encontre
∂R1
7. A velocidade do som viajando através da água do oceano com
salinidade de 35 partes por 1000 foi modelada pela função
v = 1449, 2 + 4, 6T − 0, 055T 2 + 0, 00029T 3 + 0, 016D,
onde v é a velocidade do som (em m/s), T é a temperatura da
água (em ◦ C) e D é a profundidade abaixo da superfı́cie do oceano (em metros). Um mergulhador inicia seu mergulho na água
do oceano; após 20 minutos, o mergulhador encontra-se descendo
a uma velocidade de 0,5 m/min, constata uma temperatura de
12,5◦ C ao seu redor e uma diminuição da temperatura da água de
aproximadamente 0,1◦ C a cada minuto. Estime a taxa de variação
(por minuto) da velocidade do som na água do oceano percebida
pelo mergulhador após 20 minutos de mergulho.
8. A voltagem V em um circuito elétrico simples está diminuindo
lentamente à medida que a bateria se desgasta. A resistência R
está lentamente aumentando à medida que o resistor se aquece.
Use a lei de Ohm,
V = IR,
12
para determinar como a corrente está variando no momento em
dV
dR
que R = 400Ω, I = 0, 08A,
= −0, 01V/s e
= 0, 03Ω/s.
dt
dt
9. (Efeito Doppler) Se um som com frequência fs é produzido por
uma fonte viajando por uma linha reta com velocidade vs e um
observador está viajando com velocidade vo pela mesma linha,
mas em sentido oposto ao da fonte, então a frequência do som
percebido pelo observador é
c + vo
fs ,
fo =
c − vs
em que c = 332 m/s é a velocidade do som. Suponha que, em
um dado instante, você está em um trem viajando a 34 m/s e
acelerando a 1, 2m/s2 . Um trem se aproxima de você pelo outro
trilho na direção oposta, com velocidade de 40 m/s e aceleração
de 1, 4m/s2 , e soa o seu apito que tem uma frequência de 460
Hz. Nesse instante, qual é a frequência percebida por você e quão
rápida ela está mudando?
10. Próximo a uma bóia, a profundidade de um lago no ponto com
coordenadas (x, y) é z = 200 + 0, 02x2 − 0, 001y 3 , onde x, y e z são
medidos em metros. Um pescador num barco pequeno parte do
ponto (80, 60) e se move na direção da bóia, que está localizada
no ponto (0, 0). A água sob o barco está ficando mais profunda
ou mais rasa quando o pescador parte? Explique.
11. Suponha que você está subindo uma colina cuja forma é dada
pela equação z = 1000 − 0, 005x2 − 0, 01y 2 , onde x, y e z são medidos em metros, e você está parado num ponto com coordenadas
(60, 40, 966). O eixo x aponta para o leste e o eixo y aponta para
o norte.
(a) Se você caminhar para o sul, você começará a subir ou descer?
Em qual taxa?
(b) Se você caminhar para o noroeste, você começará a subir ou
descer? Em qual taxa?
(c) Em qual direção a inclinação da montanha é maior? Qual é
a taxa de ascensão nessa direção?
13
12. Três alelos (versões alternativas de um gene) A, B e O determinam
os quatro tipos sanguı́neos: A (AA ou AO), B (BB ou BO), O
(OO) e AB. A Lei de Hardy-Weinberg estabelece que a proporção
de indivı́duos em uma população que carregam dois diferentes
alelos é
P = 2ab + 2ao + 2ob
onde a, b e o são as proporções de A, B e O na população. Use
o fato de que a + b + o = 1 para mostrar que P é no máximo
2
≈ 67%.
3
14
Respostas
• Fixação:
1. (a) fx = 20x3 y 2 + y 3 ; fy = 10x4 y + 3xy 2
∂z
∂z
(b)
= −y sin(xy);
= −x sin(xy)
∂x
∂y
∂z
x4 + 3x2 y 2 − 2xy 2 ∂z
2y(x2 − x3 )
(c)
=
=
;
∂x
(x2 + y 2 )2
∂y
(x2 + y 2 )2
2
2
2
2
(d) fx = −2xe−x −y ; fy = −2ye−x −y
x2
∂z
2x2 y
∂z
2
2
= 2x
+ ln(1 + x + y ) ;
=
(e)
∂x
1 + x2 + y 2
∂y
1 + x2 + y 2
∂z
∂z
= yexy + xy 2 exy ;
= xexy + x2 yexy
(f)
∂x
∂y
∂z
∂z
= 2x[1 + ln(x2 + y 2 )];
= 2y[1 + ln(x2 + y 2 )]
(g)
∂x
∂y
(h) gx = yxy−1 ; gy = xy ln x
∂z
x ∂z
y
2.
=− ;
=− .
∂x
z ∂y
z
xyz
∂z
2x − yze
3.
=
∂x
xyexyz − 2z
4. (a) 11x + 3y − z = 12 e (x, y, z) = (1, 2, 5) + λ(11, 3, −1), λ ∈ R
(b) 4x + 2y − z = 4 e (x, y, z) = (1, 1, 2) + λ(4, 2, −1), λ ∈ R
(c) 2y − z = 1 e (x, y, z) = (0, 1, 1) + λ(0, 2, −1), λ ∈ R
(d) 9x − 8y − z = 0 e (x, y, z) = (2, 2, 2) + λ(9, −8, −1), λ ∈ R
5. x + 6y − 2z = 3
5
6. z = 2x + y −
4
7. (a) dz = 3x2 y 2 dx + 2x3 ydy
(b) dz = y cos(xy)dx + x cos(xy)dy
2
2
2
2
(c) du = 2ses −t ds − 2tes −t dt
2p
2v
(d) dT =
dp +
dv
2
2
1+p +v
1 + p2 + v 2
8. (a) ∆z ≈ 0, 026
15
(b) 1, 026
9. ∇f (1, 1) = (2, 2)
10. (a) 2x + y = 4
(b) 4x + y = 3
11. (a) x − 3y + 4z = 8 e (x, y, z) = (1, −1, 1) + λ(2, −6, 8), λ ∈ R
1
(b) 6x + 3y + z = 9 e (x, y, z) = ( , 1, 3) + λ(6, 3, 1), λ ∈ R
2
(c) x − y + 4z = 4 e (x, y, z) = (2, 2, 1) + λ(1, −1, 4), λ ∈ R
dz
2
12.
= (8t2 + 4t + 2)e2t
dt
13. F 0 (0) = 5
14.
15.
dz
= 0; a curva γ(t) = (sin 3t, cos 3t) é uma curva de nı́vel da
dt
função.
dy
(3x2 + y)
17.
=− 2
dx
(3y + x)
16.
∂z
(yz + 3x2 )
=−
∂x
(xy + 3z 2 )
dy
dz
y−x
19.
= −1 e
=
dx
dx
z
∂f
(1, 1) = 0; a função é constante nessa direção.
20.
∂~u
8
21. (a) − √
5
2
(b) −
√5
(c) 2
18.
22. Direção e sentido:
√ ∇f (1, 1) = (3, 3); taxa máxima de crescimento:
k∇f (1, 1)k = 3 2.
23.
24. (a) z = 1 + x + 5y
(b) z = 3x + 4y
16
25. (a) z = 0
(b) z = 8x + 10y − 12
26. (a) Máximo: (−1, −1); mı́nimo: (1, 1); pontos de sela: (1, −1) e
(−1, 1).
54 22
,−
.
(b) Mı́nimo:
7
7
3
3
(c) Pontos de sela: −3, −
e 3,
.
2
2
√ √
√
√
√ √
2 2
2
2
1
− 2 2
27. Máximo: f (
,
) = f (−
,−
) = ; Mı́nimo: f (
,
)=
2
2
2
2
2
√ 2 2
√
1
2
2
,−
)=− .
f(
2
2
2
√
√
√ !
24
24
24
√ , √ , √
28.
2 11 4 11 6 11
29. (1, 1)
30. f
√
√ !
1− 7
1+ 7
, 0,
=f
2
2
√ !
√
1− 7
1+ 7
, 0,
=4
2
2
• Aplicação:
1. Famı́lia de elipses.
∂T ∂T ∂T
,
e
representam a variação da temperatura quando
2. (a)
∂x ∂y ∂t
consideramos apenas a longitude, a latitude e o tempo, respectivamente.
(b) Como o ar está mais quente no oeste do que no leste, aumentando a longitude resulta num aumento da temperatura
do ar: fx (158, 21, 9) positiva. Como o ar está mais quente
no sul do que no norte, aumentando a latitude resulta numa
redução da temperatura do ar: fy (158, 21, 9) negativa. Como
o ar da tarde está mais quente que o ar da manhã, aumentando o tempo resulta num aumento da temperatura do ar:
ft (158, 21, 9) positiva.
3.
17
∂T
= −λT1 e−λx [sin(ωt − λx) + cos(ωt − λx)]; representa a
∂x
variação da temperatura com a profundidade (num mesmo
dia).
∂T
(b)
= T1 e−λx ω cos(ωt − λx); representa a variação da tempe∂t
ratura com o passar dos dias (num mesmo nı́vel).
4. (a)
5.
R2
∂R
= 2.
∂R1
R1
7. A velocidade do som medida pelo mergulhador está decrescendo
a uma taxa de aproximadamente 0,33 m/s a cada minuto.
6.
8. A corrente está decrescendo a uma taxa de 0,000031 A/s.
9. A frequência percebida é cerca de 577 Hz e ela está aumentando a
uma taxa de aproximadamente 4,7 Hz/s (o som está ficando mais
agudo).
10. A profundidade do lago está aumentando nessa direção, pois a
derivada direcional correspondente é positiva.
11. (a) Começo a descer a uma taxa de 0,80 metros de altura para
cada metro percorrido.
(b) Começo a descer a uma taxa de 0,14 metros de altura para
cada metro percorrido.
(c) A inclinação
atinge seu máximo na direção do
da montanha
3 4
gradiente − , − . A taxa de ascensão nessa direção é de
5 5
1 metro de elevação para cada metro percorrido no caminho.
12.
18