Combinações simples

Matemática Discreta
Atividade nº 3 – 1ºSem. 2011
P
P
M
R
C
Prrrooofff... M
Msssccc... R
RooobbbeeerrrtttoooC
Caaavvvaaallclccaaannnttteee
[email protected]
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Introdução: A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar levou ao
desenvolvimento da Análise Combinatória. Trata-se de uma parte da Matemática que estuda os métodos de contagem.
Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como
Tartaglia. Depois dele vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).
Pascal
Fermat
Tartaglia
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos
de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.
Para resolver problemas de Análise Combinatória precisamos utilizar uma ferramenta matemática chamada Fatorial. Seja
“n” um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!) como sendo:
n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n ≥ 2.
Exemplos:
a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) 4! = 4.3.2.1 = 24
c) 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040
d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
e) 3! = 3.2.1 = 6
Perceba que 7! = 7.6.5.4!, ou que
6! = 6.5.4.3!, e assim sucessivamente.
Casos especiais:
0! = 1
1! = 1
1
Matemática Discreta
Atividade nº 3 – 1ºSem. 2011
P
P
M
R
C
Prrrooofff... M
Msssccc... R
RooobbbeeerrrtttoooC
Caaavvvaaallclccaaannnttteee
[email protected]
Princípio fundamental da contagem – PFC
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k 1 maneiras
diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de
ocorrer o acontecimento é dado por:
T = k1. k2 . k3 . ... . kn
Exemplos:
01. O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto
e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?
Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-1234. Como o alfabeto possui 26 letras e
nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26
alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos
algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar
que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em
175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria
que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. Perceberam?
02. No Brasil, antes da alteração do sistema de emplacamento de automóveis, as placas dos veículos eram
confeccionadas usando-se 2 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que podia
ser licenciado neste sistema?
Imaginemos a seguinte situação: Placa AC – 2172. Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico
possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver
repetição, para a 2ª, também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos
10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser
licenciados será igual a: 26.26.10.10.10.10 que resulta em 6.760.000.
Percebe-se que a inclusão de apenas uma letra faz com que sejam licenciados, aproximadamente, mais 170.000.000
de veículos.
03. Com base no princípio apresentamos, a seguir, outro método para se determinar o número de anagramas
formados com a palavra BLOG.
Há quatro (4) maneiras para a escolha da primeira letra;
Para cada escolha da primeira letra, há três (3) possibilidades para a escolha da segunda;
Para cada escolha do primeiro par de letras, há duas (2) possibilidades para a escolha da terceira;
E, finalmente, para cada escolha das primeiras três letras, há somente uma (1) possibilidade para a escolha da
quarta.
Portanto, podemos concluir, pelo princípio fundamental da contagem, que o número de
anagramas é igual a 4 x 3 x 2 x 1 = 24.
04. Quantos números ímpares de quatro algarismos podemos escrever utilizando os algarismos 1, 2, 4, 5 e 7?
Note que não é condição do problema que os números sejam distintos, mas somente que sejam ímpares. Desses
fatos podemos afirmar que:
Há três possibilidades de escolha para o algarismo das unidades - algarismos 1, 5 e 7;
Há cinco possibilidades de escolha para o algarismo das demais casas decimais (milhar, centena e dezena);
para concluir que o total de números ímpares é: 5 x 5 x 5 x 3 = 375
A partir das informações e exemplos citados pode-se concluir que o PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM se constitui em um instrumento básico para a Análise Combinatória.
2
Arranjos simples
Temos um Arranjo quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se inverter a posição dos seus elementos.
Perceba que, se quisermos formar centenas de algarismos distintos, utilizando apenas os 5 primeiros números ímpares (1; 3.
5; 7; 9) teremos as seguintes centenas:135; 137;139; 153, 157, e assim sucessivamente. Se invertermos a posição dos
elementos de qualquer uma destas centenas conseguiremos outra centena diferente: 135 ≠ 351. Temos então um ARRANJO
de 5 números (1; 3;5;7;9) em grupos de três (centenas). Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k
a k (taxa k) por An,k , teremos a seguinte fórmula:
Resolvendo o problema das centenas temos:
A5,3 = 5! / (5-3)!
A5,3 = 5! / 2!
A5,3 = 5.4.3.2! / 2!
A5,3 = 5.4.3 = 60 possibilidades
Logo, utilizando apenas os cinco primeiros números impares, podemos formar 60 centenas de algarismos diferentes.
Exemplo: Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados?
An,k = n!/(n-k)!, n=26, k=3
Resposta: A = 26!/23! = 26.25.24.23!/23! = 26.25.24 = 15600
Combinações simples
Temos um Arranjo quando os agrupamentos conseguidos permanecem iguais ao se inverter a posição dos seus elementos.
Perceba que se houver cinco pessoas entre as quais desejamos formar grupos de três, o grupo formado por João, Pedro e
Luís é o mesmo grupo formado por Luís, Pedro e João. Temos, então, uma COMBINAÇÃO de cinco elementos em grupos de
três. Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k) , temos a seguinte
fórmula:
Resolvendo o problema dos grupos de 3 pessoas, temos:
C5,3 = 5!/[(5-3)!.3!]
C5,3 = 5!/[(2!.3!]
C5,3 = 5.4.3!/[2.3!]
C5,3 = 20/2 = 10
Podem ser formados 10 grupos distintos.
Exemplo: Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10
questões?
Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de
15 elementos com taxa 10.
C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003
3
02. Um coquetel é preparado com três bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem
ser preparados?
C7,3 = 7! / [(7-3)! . 3!] = 7! / (4! . 3!) = 7.6.5.4! / 4!.3.2.1 = 35
03. Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos, dois a dois distintos. Quantas retas podem ser construídas passando por
estes 9 pontos?
C9,2 = 9! / [(9-2)! . 2!] = 9! / (7! . 2!) = 9.8.7! / 7!.2.1 = 36
ANÁLISE COMBINATÓRIA (PROBLEMAS)
1. As 5 finalistas do concurso de Miss Universo são : Miss Brasil, Miss Turquia , Miss Holanda, Miss Argentina e Miss
Noruega. De quantas formas os juízes poderão escolher o primeiro, o segundo e o terceiro lugar nesse concurso ?
2. Uma senhora idosa foi retirar dinheiro em um caixa eletrônico, mas se esqueceu da senha. Lembrava que não havia
algarismo zero, que o primeiro algarismo era 8, o segundo era par, o terceiro era menor que 7 e o quarto e último era
ímpar. Qual é o maior número de tentativas que ela pode fazer, no intuito de acertar a senha?
3. Se um número de telefone tem oito caracteres, portanto quantos números de telefone existem com o prefixo “2791” ?
4. Uma senha de usuário para acessar um sistema computacional é formada por 3 letras distintas e 2 algarismos num total de
5 caracteres. Quantas senhas possíveis existem ? (26 letras)
5. Uma loja vende computadores que podem ser configurados com 3 opções de monitores (14, 15 ou 17 polegadas), 5
opções de hard disk (10, 20, 30, 40 ou 50 Gb) e 4 opções de memora RAM (16, 32, 64 ou 128 Mb). De quantas maneiras
diferentes pode se configurar um computador nesta loja?
6. De quantas maneiras distintas um sindicato de 26 membros pode eleger um presidente, um tesoureiro e um secretário,
onde nenhuma pessoa pode ser eleita para mais de um cargo?
7. Uma empresa possui 8 diretores e 5 gerentes no seu quadro de funcionários. Haverá um congresso no Rio de Janeiro e
deverá ser enviado um grupo de funcionários para representar esta empresa. Quantas são as possibilidades de grupos que
podem ser compostos, sendo que cada grupo é formado por 3 diretores e 2 gerentes?
8. Quantos números pares de quatro algarismos distintos podem ser formados com os elementos do conjunto A = {0 , 1 , 2 , 3
, 4} ?
9. Com os dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números de cinco algarismos distintos podemos formar?
10. Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens. Quantas comissões podem ser montadas nesta sala
contendo 3 mulheres e 5 homens?
11. Com os dígitos 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 e 9 , quantos números de algarismos distintos menores que 400 podemos formar ?
12. Um hacker usou um programa de “quebra de senha” que levava 2 segundos para testar cada senha. Sabendo que esta
senha era composta de duas letras distintas (dentre as 26 letras do alfabeto) e três algarismos (0 a 9), qual é o tempo
máximo que o programa pode levar para descobrir esta senha?
13. Quantos anagramas da palavra TARTARUGA?
14. Quantos anagramas têm a palavra “ARARAQUARA”?
15. De quantas formas podemos responder a 12 perguntas de um questionário, cujas respostas para cada pergunta são : sim
ou não ?
16. Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números de algarismos distintos menores que 500 podemos formar?
17. Numa prova de 12 questões, o aluno pode fazer apenas 6. De quantas maneiras diferentes ele poderá escolher essas 6
questões ?
18. Em uma prova de atletismo, participam 15 atletas que concorrem a uma medalha de ouro, uma de prata e uma de bronze.
De quantas maneiras distintas pode ser o resultado dessa prova?
19. Num determinado setor de uma empresa de construção civil, trabalham 5 arquitetos e 10 engenheiros civis. De quantas
formas podemos compor comissões distintas constituídas cada uma por 2 arquitetos e 4 engenheiros?
20. Quantos são os anagramas da palavra “MISSISSIPPI”?
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