Lista de Exercícios 2

Lista de Exercícios 2
Paulo Ricardo Lisboa de Almeida
2016
Lista de Exercícios 2
1) Utilizando o método da bisseção, encontrar a raiz de f (x) = x2 − 3 no intervalo [1, 2]
com o critério de parada |b − a| ≤ 10−2 em no máximo 10 iterações.
2) Utilizando o método da bisseção, encontrar a raiz de f (x) = x2 + ln(x) no intervalo
[0.5, 1] com o critério de parada |b − a| ≤ 10−2 em no máximo 10 iterações.
3) Utilizando o método da posição falsa, encontrar a raiz de f (x) = ex + x no intervalo
[−1, 0] considerando como condição de parada : |b − a| ≤ 10−3 , ou |f (xk )| ≤ 10−3 , ou no
máximo 10 iterações.
4) Resolva o exercício 1 utilizando o método da posição falsa. Utilize como critério de
parada |b − a| ≤ 10−2 , ou |f (xk )| ≤ 10−2 ou um máximo de 10 iterações.
5) Utilizando o método do ponto fixo, calcular a raiz da função f (x) = x2 + √
3x − 40 contida
no intervalo [4.5, 5.5]. Utilize como aproximação inicial x0 = 4.5. Utilize ϕ = 40 − 3x como
função de iteração. Utilize como critério de parada |xk − xk−1 | < 10−4 , ou |f (xk )| < 10−4
ou um máximo de 10 iterações.
6) Resolva o exercício 5 utilizando ϕ = 40/(x + 3) como função de iteração. Utilize os
mesmos critérios de parada.
7) Seja f (x) = ex − 4x2 e ξ sua raiz no intervalo (0,1).Tomando x0 = 0.5 encontre ξ
considerando um erro máximo |f (xk )| ≤ 10−4 , ou |xk − kk−1 | ≤ 10−4 , utilizando:
a) O método do ponto fixo com ϕ(x) = 12 e(x/2)
b) O método de Newton.
8) Seja f (x) = x2 −9.5x+8.5. Obter a raiz no intervalo [8, 9] utilizando o método de Newton.
Utilize como aproximação inicial x0 = 9. Utilize como critério de parada |f (xk )| < 10−4 ou
um máximo de 10 iterações.
9) Calcule a raiz da função f (x) = 3x − cos(x) utilizando o método da secante. Como
estimativas iniciais utilize x0 = 0 e x1 = 0.5. Considere que o erro máximo aceitável é
|f (xk )| ≤ 10−4 .
10) Calcule a raiz da função f (x) = x3 −4 utilizando o método da secante. Como estimativas
iniciais utilize x0 = 1 e x1 = 2. Considere que o erro máximo aceitável é |f (xk )| ≤ 5 × 10−2 .
1
Solução
1)
Iteração
1
2
3
4
5
6
7
xk
1.5
1.75
1.625
1.6875
1.71875
1.73438
1.72656
f (xk )
-0.75
0.0625
-0.359375
-0.152344
-0.0458984
0.00805664
-0.0189819
b−a
0.5
0.25
0.125
0.0625
0.03125
0.015625
0.0078125
Novo intervalo [1.72656,1.73438], erro: 0.0078125, Iterações: 7
2)
Iteração
1
2
3
4
5
6
xk
0.75
0.625
0.6875
0.65625
0.640625
0.648438
f (xk )
0.274818
-0.0793786
0.0979628
0.0094506
-0.0349106
-0.0127185
b−a
0.25
0.125
0.0625
0.03125
0.015625
0.0078125
Novo intervalo [0.648438,0.65625], erro: 0.0078125, Iterações: 6
3)
Iteração
1
2
3
xk
-0.6127
-0.572181
-0.567703
f (xk )
-0.0708139
-0.00788827
-0.000877392
b−a
0.6127
0.572181
0.567703
Novo intervalo: [-0.567703,0], Iterações: 3
4)
Iteração
1
2
3
xk
1.66667
1.72727
1.73171
f (xk )
-0.222222
-0.0165289
-0.00118977
Novo intervalo: [1.73171,2], Iterações: 3
5)
2
b−a
0.333333
0.272727
0.268293
Iteração
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
xk
4.500000
5.147815
4.955457
5.013345
4.995995
5.001201
4.999640
5.000108
4.999968
5.000010
f (xk )
-6.250000
1.943445
-0.577074
0.173664
-0.052051
0.015620
-0.004685
0.001406
-0.000422
0.000127
|xk − xk−1 |
0.647815
0.192358
0.057888
0.017350
0.005207
0.001562
0.000469
0.000141
0.000042
f (xk )
-6.250000
4.444444
-2.560000
1.683103
-1.019017
0.649631
-0.401013
0.252582
-0.157101
0.098486
-0.061437
|xk − xk−1 |
0.833333
0.533333
0.328205
0.207069
0.128645
0.080702
0.050321
0.031496
0.019667
0.012299
Logo x = 5, 000010 e f (x) = 0, 000127
6)
Iteração
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xk
4.500000
5.333333
4.800000
5.128205
4.921136
5.049781
4.969079
5.019400
4.987904
5.007571
4.995272
Logo x = 4, 995272 e f (x) = −0, 061437 (O critério de parada referente ao máximo de
iterações foi atingido).
7)
a)
Iteração
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xk
0.500000
0.642013
0.689257
0.705733
0.711570
0.713650
0.714393
0.714658
0.714753
f (xk )
0.648721
0.251581
0.091933
0.033095
0.011858
0.004242
0.001516
0.000542
0.000194
Logo x = 0.714753 e f (x) = 0.000194
b)
3
|xk − xk−1 |
0.142013
0.047244
0.016476
0.005838
0.002080
0.000743
0.000265
0.000095
Iteração
0
1
2
3
xk
0.500000
0.775901
0.717522
0.714812
f (xk )
0.648721
-0.235543
-0.010002
-0.000022
|xk − xk−1 |
0.275901
0.058380
0.002710
f (xk )
4.000000
0.221453
0.000858
0.000000
|xk − xk−1 |
0.470588
0.029297
0.000114
f (xk )
-1.000000
0.622417
-0.028340
-0.000712
0.000001
|xk − xk−1 |
0.500000
0.191818
0.008354
0.000215
f (xk )
-3.000000
4.000000
-1.084548
-0.272818
0.030491
|xk − xk−1 |
1.000000
0.571429
0.121887
0.040966
Logo x = 0.714812 e f (x) = −0.000022
8)
Iteração
0
1
2
3
xk
9.000000
8.529412
8.500114
8.500000
Logo x = 8.500000 e f (x) = 0.000000
9)
Iteração
0
1
2
3
4
xk
0.000000
0.500000
0.308182
0.316536
0.316751
Logo x = 0.316751 e f (x) = 0.000001
10)
Iteração
0
1
2
3
4
xk
1.000000
2.000000
1.428571
1.550459
1.591424
Logo x = 1.591424 e f (x) = 0.030491
4