exercícios da matemática do prof
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Professor André Lúcio Grande
2º Semestre - 2005
CURSINHO SINTAXE
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Exercícios Propostos
01. (PUC-SP) Sendo 47 o 17º termo de uma P.A. e 2,75 a
razão, o valor do 1º termo é:
a) –1
b) 1
c) 2
d) 0
e) 3
02. (U.E. Feria de Santana) Numa P.A. em que a soma do
sétimo com o décimo segundo é igual a 52 e a soma do
quinto com o vigésimo terceiro é igual a 70 possui primeiro
termo igual a:
a) 2
b) 5
c) 7
d) 9
e) 23
03. (FEI) Se a, 2a, a2, b formam, nessa ordem, uma
progressão aritmética estritamente crescente, então o valor
de b é:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
04. (UNESP) Sabendo-se que (X , 3 , Y , Z , 24), nesta
ordem, constituem uma P.A. de razão r,
a) escreva X, Y e Z em função de r;
b) calcule a razão r da P.A. e os valores de X, Y e Z.
05. (F. IBERO) A soma dos múltiplos de 3 compreendidos
entre 100 e 200 é:
a) 5000
b) 3950
c) 4000
d) 4950
e) 4500
06. (FATEC-2003) Um auditório foi construído de acordo
com o esquema abaixo:
A platéia tem 18 filas de assentos e cada fila tem 4 lugares a
mais que a anterior.
Se forem convidadas 800 pessoas para assistir a um evento
e todas comparecerem,
a) ficarão vagos 140 lugares.
b) ficarão vagos 64 lugares.
c) faltarão 44 lugares.
d) faltarão 120 lugares.
e) não sobrarão nem faltarão lugares.
07. (FUVEST) A soma das frações irredutíveis, positivas,
menores do que 10, de denominador 4, é
a) 10
b) 20
c) 60
d) 80
e) 100
Exercícios Tarefa
01. (Santa Fé do Sul) O trigésimo primeiro termo de uma
P.A. de 1º termo igual a 2 e razão 3 é:
a) 63
b) 65
c) 92
d) 95
e) 102
02. (PUC-SP) Sendo 47 o 17º termo de uma P.A. e 2,75 a
razão, o valor do 1º termo é:
f) –1
g) 1
h) 2
i) 0
j) 3
03. (F.F. Recife) Se os ângulos internos de um triângulo
estão em P.A. e o menor deles é a metade do maior, então
o maior mede em graus:
a) 4
b) 50
c) 60
d) 70
e) 80
04. (U.E. Feria de Santana) Numa P.A. em que a soma do
sétimo com o décimo segundo é igual a 52 e a soma do
quinto com o vigésimo terceiro é igual a 70 possui primeiro
termo igual a:
f) 2
g) 5
h) 7
i) 9
j) 23
05. (FUVEST-95) Em uma progressão aritmética de termos
positivos, os três primeiros termos são 1-a, -a, (11-a). O
quarto termo desta P.A. é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
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06. (FATEC- 97) Inserindo-se 5 números entre 18 e 96, de
modo que a seqüência (18, a2, a3, a4, a5, a6, 96) seja uma
progressão aritmética, tem-se a3 igual a:
a) 43
b) 44
c) 45
d) 46
e) 47
07. (FEI- 96) Se a, 2a, a2, b formam, nessa ordem, uma
progressão aritmética estritamente crescente, então o valor
de b é:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
08. (PUC-SP-98) Seja f a função de Z em Z definida por f(x)
é igual a
f(x) = 2x - 1
e
f(x) = 0
se x é par
se x é impar
Nessas condições, a soma
f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(999) + f(1000) é igual a
a) 50 150
b) 100 500
c) 250 500
d) 500 500
e) 1 005 000
09. (UFRJ- 2000) Mister MM, o Mágico da Matemática,
apresentou-se diante de uma platéia com 50 fichas, cada
uma contendo um número. Ele pediu a uma espectadora
que ordenasse as fichas de forma que o número de cada
uma, excetuando-se a primeira e a última, fosse a média
aritmética do número da anterior com o da posterior. Mister
MM solicitou a seguir à espectadora que lhe informasse o
valor da décima sexta e da trigésima primeira ficha, obtendo
como resposta 103 e 58 respectivamente. Para delírio da
platéia, Mister MM adivinhou então o valor da última ficha.
Determine você também este valor.
10. (MAC-SP) O valor de r para que a sequência ( r – 1, 3r
– 1, r – 3, ...) seja uma P.A. é:
a) –1
b) –0,5
c) 1
d) 0,5
e) 2
11. (UNIMEP) O valor de x na igualdade abaixo é:
3x = 3 . 31 . 32 . 33 . ...... . 3050
a) 50
b) 150
c) 2550
d) 2550
e) 1275
12. (F. IBERO) A soma dos múltiplos de 3 compreendidos
entre 100 e 200 é:
a) 5000
b) 3950
c) 4000
d) 4950
e) 4500
13. (UFSM-RS) A soma dos 100 primeiros números pares
positivos é:
a) 5050
b) 5100
c) 5150
d) 10050
e) 10100
14. (UFPA) A soma de uma PA de oito termos é 16 e a
razão é –2. Então o sexto termo é:
a) –5
b) –4
c) –3
d) –2
e) –1
15. (UFSM-RS) Um oficial comanda 325 soldados e quer
formá-los em disposição triangular, de modo que a primeira
fila tenha 1 soldado, a Segunda 2, a terceira, 3, e assim por
diante. O número de filas assim constituídas será:
a) 20
b) 24
c) 25
d) 27
e) 28
16. (UFCE) Um atleta corre sempre 400 metros a mais do
que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorreu um
total de 35200 metros. O número de metros que ele correu
no último dia foi igual a:
a) 5100
b) 5200
c) 5300
d) 5400
e) 5500
17. (FAFI-BH) Um pintor consegue pintar uma área de 3 m 2
no primeiro dia de serviço; sempre, em um dia, ele pinta
2m2 a mais do que pintou no dia anterior. O tempo
necessário para ele pintar 196 m2, em dias, é:
a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
e) 15
18. (UNITAU) A soma dos números ímpares de 1 a 51 é:
a) 676
b) 663
c) 1326
d) 1352
e) 446
19. (FURRN) A sequência de números positivos (x, x + 10,
x2, ...) é uma progressão aritmética, cujo décimo termo é:
a) 94
b) 95
c) 101
d) 104
e) 105
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EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
20. (CEFET-RJ) Os lados de um triângulo retângulo estão
em progressão aritmética. Sabendo-se que perímetro mede
57 cm, podemos afirmar que o maior cateto mede:
a) 17 cm
b) 19 cm
c) 20 cm
d) 23 cm
e) 27 cm
21. (UNESP-2003) Sabendo-se que (X , 3 , Y , Z , 24), nesta
ordem, constituem uma P.A. de razão r,
a) escreva X, Y e Z em função de r;
b) calcule a razão r da P.A. e os valores de X, Y e Z.
GABARITO
01. C 02. E
03. E
04. D
05. B
06. B
07. E
08. D
09. 1
10. B
11. E
12.D
13. E
14. E
15. C
16. B
17. C
18. A
19. B
20. B
21. a) X = 3 - r; Y = 3 + r e Z = 3 + 2r.
b) r = 7, X = - 4 , Y = 10 e Z = 17.
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
05. (FUVEST-2005) Sejam a e b números reais tais que:
(i) a, b e a + b formam, nessa ordem, uma PA;
(ii) 2a, 16 e 2b formam, nessa ordem, uma PG.
Então o valor de a é:
a) 2/3
b) 4/3
c) 5/3
d) 7/3
e) 8/3
06. (FEI) Dada a progressão geométrica 1, 3, 9, 27, ..... se a
sua soma é 3280, então ela apresenta:
a) 9 termos
b) 8 termos
c) 7 termos
d) 6 termos
e) 5 termos
07. (PUC) Se x é um número real positivo menor que 1 e se
vale a igualdade 1 + x + x2 + x3 + ... + xn + .... = 3/2 , então o
valor de x é:
a) 0,1
b) 2/3
c) 3/10
d) 3
e) 1/3
Exercícios Propostos
01. (PUC) Dada a P.G. abaixo, determine seu 11º termo.
2 1
1,
, ,...
2
2
02. (CEFET) Em uma progressão geométrica, o quito termo
é 24 e o oitavo termo é 3. A razão entre o sexto termo e o
décimo é:
a) 4
b) 8
c) 1/8
d) 16
e) 1/16
03. (PUC) Se a seqüência (4x, 2x + 1 , x – 1 , ...) é uma P.G., então
o valor de x é:
a) –1/8
b) –8
c) –1
d) 8
e) 1/8
04. (UNESP) Várias tábuas iguais estão em uma
madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm. Forma-se
uma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira
vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já
houveram sido colocadas anteriormente.
Determine, ao final de 9 dessas operações:
a) quantas tábuas terá a pilha.
b) a altura, em metros, da pilha.
Exercícios Tarefa
01. (PUC-SP) O terceiro e o sétimo termos de uma
Progressão Geométrica valem, respectivamente, 10 e 18. O
quinto termo dessa Progressão é:
a) 14
b) 30
c) 2.7
d) 6.5
e) 30
02. (U.CAXIAS DO SUL) Sabendo que a sucessão ( x – 2, x
+ 2 , 3x – 2, ...) é uma P.G. crescente, então o quarto termo
é:
a) 27
b) 64
c) 32
d) 16
e) 54
03. (UEL) A seqüência (2x + 5, x +1, x/2, ...), com x IR, é
uma progressão geométrica de termos positivos. O décimo
terceiro termo dessa seqüência é
a) 2
b) 3-10
c) 3
d) 310
e) 312
04. (UFF) Sendo x um número real não nulo, a soma do 3º
termo da Progressão Aritmética (x, 2x,...) com o 3º termo da
Progressão Geométrica (x, 2x,...) é igual a:
a) 4x
b) 5x
c) 6x
d) 7x
e) 8x
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05. (MACK) As seqüências (x, 2y-x, 3y) e
(x, y, 3x + y - 1), de termos não nulos, são, respectivamente,
aritmética e geométricas. Então, 3x + y vale:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
06. O sétimo termo da progressão geométrica ( x – 2; 2x ;
6x; ...) de termos estritamente positivos é:
a) 1296
b) 3620
c) 5184
d) 7200
e) 9620
07. (PUC) Se a razão de uma P.G. é maior que 1 e o
primeiro termo é negativo, a P.G. é chamada:
a) decrescente
b) crescente
c) constante
d) alternante
e) n.d.a
08. (UNISA) O número de termos da P.G.
1/9, 1/3, 1, ..., 729 é:
a) 8
b) 9
c)
10
d) 81
e) 4
09. (FAAP) Dados os números 1, 3 e 4, nesta ordem,
determinar o número que se deve somar a cada um deles
para que se tenha uma progressão geométrica.
10. (UNITAU) A soma
(1/2;1/3;2/9;4/27;...) é:
a) 15 × 10-1
b) -3 × 10-1.
c) 15 × 10-2
d) 5 × 10-1.
e) 3/5.
dos
termos
da
seqüência
13. (FUVEST-SP) Qual é o valor de 1 + 10 + 102 + ... + 1010
?
14. (UNICASTELO) Dada a P.G. finita (5, 50, ..., 5 000 000),
sua soma resulta:
a) 5 555 555
b) 10 000 000
c) 9 945 555
d) 55 555 555
e) infinita
15. (UFRN) Se a soma dos termos da P.G. infinita 3x; 2x;
4x/3; ...é igual a 288, o valor de x é:
a) 12
b) 14
c) 16
d) 24
e) 32
16. (AFA) Numa progressão geométrica, com n termos, a 1 =
2, an = 432 e Sn = 518, tem-se
a) q < n
b) q = n
c) q > n
d) q < a1
e) q = a1
GABARITO
01. D
02. C
03. B
04. D
05. A
06. C
07. A
08. B
09. - 5
10. A
11. B
12. B
13. (1011 – 1) / 9
14. A
15. E
16. C
11. (FUVEST) Uma progressão geométrica tem primeiro
termo igual a 1 e razão igual a 2. Se o produto dos termos
dessa progressão é 239, então o número de termos é igual
a:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
12. (UEMT) A soma dos termos da progressão abaixo é:
3 1 1 2
,...
, , ,
4 2 3 9
a)
b)
c)
d)
e)
2/5
9/20
1/2
11/20
3/5
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EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Exercícios Propostos
01. (UNICAMP-SP) O quadrilátero formado unindo-se os
pontos médios dos lados de um quadrado é também um
quadrado.
a) Faça uma figura e justifique a afirmação anterior.
b) Supondo que a área do quadrado menor seja de 72cm 2,
calcule o comprimento do lado do quadrado maior.
02. (UFPE) Na figura a seguir, o quadrado maior foi dividido
em dois quadrados e dois retângulos. Se os perímetros dos
dois quadrados menores são 20 e 80, qual a área do
retângulo sombreado?
a) 80
b) 90
c) 100
d) 120
e) 140
05. (FGV) Um círculo de área 16 está inscrito em um
quadrado. O perímetro do quadrado é igual a:
a) 32
b) 28
c) 24
d) 20
e) 16
06. (UFAL) Na figura abaixo têm-se 4 semicírculos, dois a
dois tangentes entre si e inscritos em um retângulo.
Se o raio de cada semicírculo é 4cm, a área da região
sombreada, em centímetros quadrados, é
(Use: =3,1)
a) 24,8
b) 25,4
c) 26,2
d) 28,8
e) 32,4
07. (UEL) Na figura, ABCD é um quadrado cujo lado mede
a. Um dos arcos está contido na circunferência de centro C
e raio a, e o outro é uma semicircunferência de centro no
ponto médio de BC e de diâmetro a. A área da região
hachurada é:
03. (MACK) Na figura, a diferença entre as áreas dos
quadrados ABCD e EFGC é 56. Se BE = 4, a área do
triângulo CDE vale:
a) 18,5
b) 20,5
c) 22,5
d) 24,5
e) 26,5
04. (UNIFESP) Um comício deverá ocorrer num ginásio de
esportes, cuja área é delimitada por um retângulo, mostrado
na figura.
Por segurança, a coordenação do evento limitou a
concentração, no local, a 5 pessoas para cada 2 m£ de área
disponível. Excluindo-se a área ocupada pelo palanque,
com a forma de um trapézio (veja as dimensões da parte
hachurada na figura), quantas pessoas, no máximo,
poderão participar do evento?
a) 2 700.
b) 1 620.
c) 1 350.
d) 1 125.
e) 1 050.
a) Um quarto da área do círculo de raio a.
b) Um oitavo da área do círculo de raio a.
c) O dobro da área do círculo de raio a/2.
d) Igual à área do círculo de raio a/2.
e) A metade da área do quadrado.
08. (UNIFESP) A figura mostra uma circunferência, de raio 4
e centro C1 , que tangencia internamente a circunferência
maior, de raio R e centro C2. Sabe-se que A e B são pontos
da circunferência maior, AB mede 8 e tangencia a
circunferência menor em T, sendo perpendicular à reta que
passa por C1 e C2. A área da região hachurada é:
a) 9.
b) 12.
c) 15.
d) 18.
e) 21.
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EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
Exercícios Tarefa
01. (FUVEST) Dois irmãos herdaram um terreno com a
seguinte forma e medidas:
Para dividir o terreno em duas partes de mesma área, eles
usaram uma reta perpendicular a AB. Para que a divisão
tenha sido feita corretamente, a distância dessa reta ao
ponto A, em metros, deverá ter sido:
a) 31
b) 32
c) 33
d) 34
e) 35
02. (VUNESP-SP) Considere um quadrado ABCD cuja
medida dos lados é 1 dm. Seja P um ponto interior ao
quadrado e equidistante dos vértices B e C e seja Q o ponto
médio do lado DA.
Seja a área do quadrilátero ABPQ é o dobro da área do
triângulo BCP, a distância do ponto P ao lado BC é, em dm:
a) 2/3
b) 2/5
c) 3/5
d) 1/2
e) 4/7
03. (UNICAMP-SP) O quadrilátero formado unindo-se os
pontos médios dos lados de um quadrado é também um
quadrado.
a) Faça uma figura e justifique a afirmação anterior.
b) Supondo que a área do quadrado menor seja de 72cm 2,
calcule o comprimento do lado do quadrado maior
04. (FATEC-SP)) A altura de um triângulo eqüilátero e a
diagonal de um quadrado têm medidas iguais. Se a área do
triângulo eqüilátero é 163m2 então a área do quadrado, em
metros quadrados, é
a) 6
b) 24
c) 54
d) 96
e) 150
a)
b)
c)
d)
e)
2 (5 – 1)
3 (5 – 1)
4 (5 – 1)
5 (5 – 1)
6 (5 – 1)
06. (PUC-MG) O trapézio da figura é retângulo e representa
o contorno de um terreno plano. Na figura, AB = 4 cm, AD =
2 cm e DCB = 45º. A área do terreno, em cm2, mede:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
07. (UFPI) A área do quadrado ABCD inscrito no triângulo
retângulo DEF, abaixo, é, em cm2:
a) 42,25
b) 36
c) 46,24
d) 39,32
e) 49
08. (MACK) Na figura abaixo, OC = 6,5 e BC = 12. A área
do triângulo ABC é:
a) 20
b) 30
c) 40
d) 65
e) 120
09. (CESCEM) Na figura, ABCD é retângulo. A razão entre
as áreas do triângulo CEF e do retângulo é:
a) 1/6
b) 1/7
c) 1/8
d) 1/9
e) 1/10
10. (VUNESP-SP) O lado BC do triângulo ABC mede 20cm.
Traça-se o segmento MN, paralelo a BC conforme a figura,
de modo que a área do trapézio MNBC seja igual a 3/4 da
área do triângulo ABC. Calcule o comprimento de MN.
05. (UGMG) Na figura, ABCD é um quadrado cujo lado
mede 2, M é o ponto médio de BC e MD = ME. A área do
retângulo DCEF é:
6
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EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
11. (UFSC) A área da figura sombreada é:
a) 4 -
b) 4 (1 - )
c) 2 (2 - )
d) 4
e)
17. (STA. CASA) Na figura abaixo, tem-se uma
circunferência de centro C, cujo raio mede 8 cm. O triângulo
ABC é equilátero e os pontos A e B estão na circunferência.
A área da região hachurada, em cm2, é:
a) 16 2
3 3
3
12. (MACK) A área da parte hachurada vale:
a) a2 (4 - )
b) a2 (2 - )
c) 2 a2
d) a2
e) não sei
13. (INATEL) Uma competição de velocidade é realizada
numa pista circular de 60m de raio. Do ponto de partida até
o ponto de chegada, os competidores percorrem um arco de
135º. Quantos metros, aproximadamente, tem essa
competição?
a)120
b)125
c)135
d)141
e)188
14. (UNAERP) Uma pista de atletismo tem a forma de uma
coroa circular, e a maior distância que se pode percorrer em
linha reta, nesta pista, é 40m. A área da pista, em metros
quadrados, é:
a)200
b)300
c)400
d)1600
e)2000
15. (MACK) Quatro círculos de raio unitário, cujos centros
são vértices de um quadrado, são tangentes exteriormente
dois a dois. A área da parte hachurada é:
a) (4 - )
b) 4
c) (2 - )
d)
e) 1
b) 64
c) 32 ( 1- )
d) 963
e) 16 (4 - 3 )
18. (CESCEM) Sendo A a área de um quadrado inscrito em
uma circunferência, a área de um quadrado circunscrito na
mesma circunferência é:
a) 4A
b) 2A
c) 4/3 A
d) 3A
e) 5/3 A
19. Na figura abaixo, o quadrilátero ABCD está inscrito
numa semicircunferência de centro A e raio AB = AC = AD =
R.
A diagonal Ac forma com os lados BC e AD ângulos e ,
respectivamente.
Logo, a área do quadrilátero ABCD é:
2
a)
R
( sen2
sen )
2
b) R2
( sen
sen2 )
2
c) R2
( cos2 sen2 )
2
2
d) R ( sen cos )
2
2
e) R
( sen2
cos )
2
20. (UNIFESP-2004) Na figura, são exibidas sete
circunferências. As seis exteriores, cujos centros são
vértices de um hexágono regular de lado 2, são tangentes à
interna. Além disso, cada circunferência externa é também
tangente às outras duas que lhe são contíguas.
16. (VUNESP-SP) A área de um triângulo retângulo é de 12
dm2. Se um dos catetos é 2/3 do outro, a medida da
hipotenusa desse triângulo é:
a) 23
b) 35
c) 46
d) 213
e) 15
Nestas condições, calcule:
a) a área da região sombreada, apresentada em destaque à
direita.
7
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EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
2º Semestre - 2005
b) o perímetro da figura que delimita a região sombreada.
21. (UNESP) Na figura, ABCD é um retângulo, BD = 6 cm, a
medida do ângulo ABD é = 30°, a medida do ângulo AED
é e x = BE. Determine:
MATRIX
Exercícios Propostos
01. (UFG – adaptado) uma matriz quadrada de ordem 3,
onde aij = i + j.
Nessas condições, qual a soma dos elementos da diagonal
principal desta matriz?
02. (PUC-MG) Seja A a matriz A = (aj)2x3, cuja lei de
formação é dada abaixo. É correto afirmar
que:
a) a área do triângulo BDE, em função de x.
b) o valor de x, quando = 75°.
22. (UNESP-2004) Um salão de festas na forma de um hexágono
regular, com 10m de lado, tem ao centro uma pista de dança na
forma de um círculo, com 5m de raio. A área, em metros
quadrados, da região do salão de festas que não é ocupada pela
pista de dança é:
a) 25 (303 – π )
b) 25 (123 – π )
c) 25 (63 – π )
d) 10 (303 – π )
e) 10 (153 – π )
GABARITO
01. D
02. B
03. a) faça a figura
b) 12 cm
04. B
05. A
06. C
07. B
08. B
09. C
10. 10 cm
11. A
12. C
13. D
14. C
15. A
16. D
17. A
18. B
19. A
20. a) 6(3) - 2 unidades de área
b) 4 unidades de comprimento
21. a) 3x/2 cm2
b) 6[(3) -1] cm
22. C
03. (FEI) Se a matriz
1 c a
A 2 1 b é simétrica, então:
0 1 3
a) a + b + c = 2
b) 2a - 3b + c = -2
c) a2 – 2b + c = 0
d) a2 = 2c
e) ln b 0
04. (UEL) Uma matriz quadrada A se diz ANTI-SIMÉTRICA
se A =-At. Nessas condições, se a matriz A mostrada na
figura adiante é uma matriz anti-simétrica, então x+y+z é
igual a:
a) 3
x y z
b) 1
c) 0
A 2 0 3
d) -1
1 3 0
e) -3
05. Uma matriz A é do tipo 3 x m, outra matriz, B, é do tipo 4
x 2 e a matriz C é do tipo n x 2. Se existe a matriz ( A . B) .
C é do tipo p x q, determine m, n, p e q.
8
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EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
2º Semestre - 2005
6 3
2 3
, B
A
2
1
1
4
06. Considere as matrizes
MATRIZ INVERSA
e
3 4
, calcule:
C
1
2
01. (PUC) Se a matriz
a b
A
c d
tem inversa, então det A-1
a) bc - ad
b) (1/ad) - (1/bc)
c) det A
d) 1/det A
e) 1/(det A)2
a) AB
b) AC
c) B + C
d) AB + AC
e) A(B + C)
07. (FGV) A, B e C são matrizes quadradas de ordem 3, e I
é a matriz identidade de mesma ordem. Assinale a
alternativa correta:
a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
b) B . C = C . B
c) (A + B) . (A - B) = A2 – B2
d) C . I = C
e) I . A = I
08. (FATEC-2003) Seja a matriz
1 b
A
tal que
a 1
Exercícios Tarefa
01. (UFBA) Escreva a matriz 2x3, segundo a lei abaixo:
aij = 2i – j, se i j
aij = i + j, se i = j
02. (UFRN) Dadas as matrizes A e B abaixo, determine A –
Bt
1 2
3 4
A=
19 8
A2
. É verdade que a + b é igual a
10 19
a)
b)
c)
d)
e)
B=
1 3 2
2 0 1
5 6
03. (PUC) Dada a equação matricial abaixo, determine x, y,
z e t.
0
1
9
–1
–9
x 1
2 y
1 2
0
X
01. (FEI) Para que valores da incógnita a o determinante da
matriz abaixo será nulo?
a
3
z t
A = B
2
X
C
3
onde:
1
1
1
04. (PUC) Sejam as matrizes abaixo, determine a matriz X
de ordem 2, tal que:
DETERMINANTES
1
3 2
=
2 1
a
A=
2
3
1
1 2
,B =
1 0
4
,C=
1
2 1
1
02. (FATEC) Seja M a matriz
2 5
de
e I a matriz identidade
segunda ordem. Os valores reais de k que anulam o
determinante da matriz M + k.I são:
a) um positivo e outro negativo
b) inteiros positivos
c) inteiros e negativos
d) irracionais e positivos
e) irracionais e negativos
03. (PUC-MG) M é uma matriz quadrada de ordem 3, o seu
determinante é det M = 2. O valor da expressão det (M) +
det (2M) + det (3M) é:
a) 12
b) 15
c) 36
d) 54
e) 72
05. (PUC) Determine a matriz A de ordem 2x3 definida por
aij = i . j
06. (U.F.CEARÀ) Sejam as matrizes P1 =
P2 =
2 3
0 2
e I=
1 1
0 1
1 0
0 1
Se (2 – n) . I + n . P1 = P2 , então n2 – 2n + 7 é igual a:
a) 6
b) 7
c) 10
d) 15
e) 16
07. (UFJF-MG) Considere A =
concluir que:
a)
b)
1 0
.
Então
podemos
0 1
A100 = - I, onde I é a matriz identidade 2 x 2
A100 = A
9
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EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
2º Semestre - 2005
c)
d)
e)
A101 = - I
A101 = 0, onde 0 é a matriz nula 2 x 2.
n.d.a.
Determinar os valores de x, y e z.
14. (FATEC-SP) Seja o conjunto de todas as matrizes da
08. (UFRGS) Aplica-se a operação
0
1
1 0
X
x
1
y
1
nas coordenadas (x,y) do retângulo
x 0
forma
onde x IR* e y IR*. Então, existe uma
y 0
matriz A, em , tal que:
a) A . A
b) At
d) A + A
e) 2 . A
da figura abaixo:
c) At - A
15. (VUNESP) Considere as matrizes reais 2 x 2 do tipo;
O lugar geométrico do resultado dessa operação é
representado por:
a)
b)
c)
A (x) = cosx senx
senx cosx
a)
b)
d)
Calcule o produto A(x) . A(x)
Determine todos os valores de x [0 , 2 ] para os
quais
A(x) . A(x) = A(x)
e)
1 1
09. (U.C.GOIÁS) Dadas as matrizes abaixo A e B, e ainda
seja C = A x B. Pede-se o elemento c23
1 2
A=
5 4
1
e
B=
4 3 4 1
17. (FUVEST) Dadas as matrizes
a 0
A=
e B=
0 a
1 2 5 0
1
1 b
b 1
Determine a e b de modo que AB = I 2 , onde I2 é a matriz
identidade de ordem 2.
3 2
10. (MACK) Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m ,
então:
a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3.
b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3
c) existe AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3
d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B
e) existem AB e BA iguais se, e somente se, A = B.
11. (MACK) Sejam as matrizes A = (aij)4x3, onde aij = ij e B =
(bij)4x3 = ji . Sendo C = A . B, determine c22.
12. (PUC-SP) Se
16. (FUVEST) É dada a matriz P =
0 1
a) Calcule P2 e P3
b) Qual a expressão Pn ?
1 2
A
4 3
, calcule, então A2 +
2.A – 11.I,
onde I é a matriz identidade
x 1 2
13. (MACK) Sabe-se que A = 3 y 5
e B = (bij)3x3 é uma
2 3 z
2 3 10
matriz diagonal, ou seja bij = 0 se i j e AB = 6 12 25
4 9 20
18. (FEI) Para que valores da incógnita a o determinante da
matriz abaixo será nulo?
1
a
3
1
1
a
2 1
2 5
19. (FATEC) Seja M a matriz
identidade de
e
I
a
matriz
segunda ordem. Os valores reais de k que anulam o
determinante da matriz M + k.I são:
f) um positivo e outro negativo
g) inteiros positivos
h) inteiros e negativos
i) irracionais e positivos
j) irracionais e negativos
20. (PUC) A matriz A = (aij) é quadrada de ordem 2 com:
aij = 2i – j para i = j
aij = 3i – 2j para i j . O determinante de A é igual a:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 5
e) 6
21. (UNESP) Considere as matrizes reais:
2
A= x
2 y
0
eB=
x
4 z
y
. Se A = Bt , o determinante
x
10
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EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
2º Semestre - 2005
x y
da matriz abaixo é igual a:
1
então o determinante da matriz
z 1 1
4 5 2
a) –9
a) –1
b) 0
c) 1
d) 2
b) –6
c) 3
p
1 2
p
2 4
p
2 1
d) 6
é igual a:
e) 9
e) 3
22. (UEL) A solução positiva da equação abaixo é um
número:
29. (MACK) A é uma matriz quadrada de ordem 4 e det A =
- 6. O valor de x tal que det(2A) = x – 97 é:
a) –12 b) 0
c) 1
d) 97/2 e) 194
2 5 x 1
x 5 4 x
a)
b)
c)
d)
e)
30. (CESGRANRIO) Quando os elementos da 3º linha de
uma matriz quadrada são divididos por x e os elementos da
1º coluna são multiplicados por y, o determinante da matriz
fica dividido por:
a) xy
b) 1/xy c) x/y
d) y/x e) x3/y3
ímpar
primo
não inteiro
cubo perfeito
quadrado perfeito
23. (UFSC) Resolver, em IR, a equação:
31. (PUC) Se somarmos 4 a todos os elementos da matriz
2
x 3
2 x 4 = 175
1 3 x
A=
24. (PUC) O co-fator do elemento a23 da matriz
é:
c) –1
b) 1
d) –2
1 2 1
1 1 1
c) 1
d) 8
33. (ITA) Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3,
cujo determinante é igual a 4, qual o valor de x na equação;
det (2A . At ) = 4x?
a) 4
b) 8
c) 16
d) 32
e) 64
e) 16
26. (FUVEST) Calcule o determinante:
1
a
0
0
0 0
1 1
0 0
0 1
34. (MACK) Se x [ 0, 2 [, o menor valor de x tal que:
3
4
3
4
sen x
8
5
0
sen x cot gx
0
0
cos x
a) 0
27. (FEI) Determine o valor de x abaixo:
1
x
1
1
1
x2
2
1
1
0
0
0
5
1
=0
1
1
b) /6
c) /4
d) /2
= 0 é:
e) /3
35. (PUC) Calcular x tal que a matriz
1 2
A
0 x
seja igual a sua inversa.
p 2 2
28. (UESPI) Se o determinante da matriz
a –18,
e) 6D
32. (PUC) Qual das afirmações abaixo é falsa? Dadas A e B
matrizes de ordem n.
a) det (A + B) = det A + det B
b) det A . det A = (det A)2
c) det A . det At = (det A)2
d) det A = det At
e) det (A. B) = det A . det B
e) 3
0 0
2
0
2
x 0 x
0
0
1 x log x 8
0 8
1
x
b) 0
determinante da nova matriz é:
a) 2D b) 3D c) 4D
d) 5D
0 1 2
25. (UEMT) O maior valor real de x tal que:
a) –8
cujo determinante é D, então o
1 1 m
2 1 3
a) 2
1 2 3
p 4 4
p 4 1
é igual
36. (U.F.LAVRAS) Determinar para quais valores de x a
matriz abaixo admite inversa
3 0 0
0
x x
0 2x 1
11
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EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
2º Semestre - 2005
37. (FUVEST) Se as matrizes abaixo são tais que AB = BA,
podemos afirmar que:
A=
a)
b)
c)
d)
e)
a b eB=
c d
1 2
inversa A-1 . A relação especial que você deve ter
observado entre A e A-1 , seria também encontrada se
calculássemos as matrizes inversas de :
0 1
A é inversível
det A = 0
B=0
c=0
a=d=1
5 6
1 2
3 4
4 5
0 1
2 3
Generalize e demonstre o resultado observado.
46. (FUVEST-2004) Uma matriz real A é ortogonal se AAt =
I, onde I indica a matriz identidade e At indica a transposta
de A. Se
38. (ITA) Sejam A, B, C matrizes reais 3 x 3, satisfazendo às
seguintes relações: AB = C-1 , B = 2A Se o determinante de
C é 32, qual o valor do módulo do determinante de A?
a) 1/16 b) 1/8 c) 1/4 d) 8
e) 4
39) (FUVEST) Calcule:
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
é ortogonal, então x2 + y2 é igual a:
a) 1/4
b) (3)/4
c) 1/2
d) (3)/2
e) 3/2
1
2
3
4
40) (FUVEST) Se A é uma matriz 2x2 inversível que
satisfaz A2 = 2A, então o determinante de A será:
a)0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
41. (FGV) Se
a b
c d
= 0, então o valor do determinante
a b 0
47. (FGV-2003) Sejam A, B e C matrizes quadradas de
ordem 3 e O a matriz nula também de ordem 3. Assinale a
alternativa correta:
a) Se A . B = O, então: A = O ou B = O
b) det(2 . A) = 2 det(A)
c) Se A . B = A . C, então B = C
d) A. (B . C) = (A . B) . C
e) det(A + B) = det(A) + det(B)
é:
0 d 1
48.
c 0 2
a) 0
1 / 2 x
A
y z
b) bc
c) 2bc
d) 3bc
e) b2c2
42. (PUC-MG) M é uma matriz quadrada de ordem 3, o seu
determinante é det M = 2. O valor da expressão det (M) +
det (2M) + det (3M) é:
a) 12
b) 15
c) 36
d) 54
e) 72
43. (ITA) quaisquer que sejam os número reais a, b e c, o
1
1
1
determinante da matriz 1
é
dado
por:
1 1
a
1
1
1
1
1
1
(FATEC-2003) Seja a matriz
19 8
A2
. É verdade que a + b é igual a
10 19
f)
g)
h)
i)
j)
0
1
9
–1
–9
1
b
1
GABARITO
1
1
c
01.
2 0
b) abc
c) 0
d) abc + 1
02. 0 4 03. x = y = t = z = 1
1
0 1
1
2 0
1
04. 23 3
3 5
e) 1
44) (FUVEST) O determinante da inversa da matriz
é:
28 1
2 0
1
3 4 1
a) ab + ac + bc
1 b
A
tal que
a 1
05.
1 2 3
2 4 6
06. C
07. C
08. A
09. 40
10. C
0 0
11. 84
12. 0 0
13. x = 1, y = 4, z = 4
14. C
4 3
5
15. a)
a) –52/5 b) –48/5 c) –5/48 d) 5/52 e) 5/48
1
sen2x
sen2x
1
b) x = 0 ou x = 2 16. a) P2 =
45. (FUVEST) Dada a matriz A =
2 1
1 2
0 1
P3 =
1 3
0 1
b) Pn =
1 n
0 1
, calcule a sua
1 1
12
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EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
2º Semestre - 2005
17. a = 1 e b = 0 18. a = +2 ou –2 19. C
22. B
23. x = 19
24. D
27. x = 1 28. E
29. C
30. C
33. D
34. A
35. x = -1
38. A
39. 1
40. E
41. D
a 1
45. a
a
46. E
1
20. E
21.
B
25. D
26. Det A = -3
31. D
32. A
36. x0 e x1/2 37. E
42. E
43. B
44. C
é:
a) Homogêneo e indeterminado.
b) Impossível e indeterminado.
c) Possível e determinado.
d) Impossível e determinado.
e) Possível e indeterminado.
a
47. D
48. B
SISTEMAS LINEARES
Exercícios Tarefa
01. (UFG) Resolver o sistema:
2x + y = 5
2y + z = 3
3x + 2y + z = 7
Exercícios Propostos
01. (FUVEST – 2005) Um supermercado adquiriu
detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi
entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada
caixa. Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de
detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco,
o número de frascos entregues, no aroma limão, foi
a) 110
b) 120
c) 130
d) 140
e) 150
02. (UNIFESP – 2004) Numa determinada livraria, a soma
dos preços de aquisição de dois lápis e um estojo é R$
10,00. O preço do estojo é R$ 5,00 mais barato que o preço
de três lápis. A soma dos preços de aquisição de um estojo
e de um lápis é
a) R$ 3,00.
b) R$ 4,00.
c) R$ 6,00.
d) R$ 7,00.
e) R$ 12,00.
03. (UFOP-MG) Dado o sistema:
x yz3
x y - z 3
x y z - 1
Então, x2 + y2 + z2 vale:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
04. O sistema linear
x y - z 0
x - y z 1
x - y z 2
02. (FUVEST-SP) Sabendo-se que x, y e z são números
inteiros reais e que (2x + y – z)2 + (x – y)2 + (z – 3)2 = 0 ,
então x + y + z vale:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
03. (FAAP) Determine os valores reais de x, y e z que
satisfazem o sistema.
x – 3y + z = -4
2x + y – 2z = 11
-x + 2y – 5z = 15
04. (UEL – PR) Numa loja, os artigos A e B, juntos, custam
R$ 70,00, dois artigos A mais um C custam R$ 105,00 e a
diferença de preço entre os artigos B e C, nessa ordem, é
R$ 5,00. Qual é o preço do artigo C?
05. (UFSM-RS) Para que o sistema:
x + y + 2z = 0
x – ky + z = 0
kx – y – z = 0
tenha solução diferente da trivial, k deve ser um número real
tal que:
a) k = -1 ou k = 0
b) k = 2 ou k = 1
c) k > 1
d) k < -1
e) k 0
06. (UFMG) Determine os valores de a e b para que o
sistema
x + y – 2z = 0
2x + y + z = b
x + ay + z = 0
a)
b)
c)
tenha solução única
tenha infinitas soluções
não tenha solução
07. (UFPA) O sistema
x + py + z = 0
px + y + pz = 0
x + py + z = 0
a)
é impossível p IR;
13
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EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
2º Semestre - 2005
b)
c)
d)
e)
é determinado para p = 3;
admite somente a solução trivial;
é impossível se e somente se, p = -1;
é indeterminado p IR.
GEOMETRIA ANALÍTICA
RETAS
Exercícios Propostos
08. (PUC-SP) Estudando o sistema linear:
4x + y – z = 0
-x – y + z = 1
2x – y + z = 2
01. (CESGRANRIO ) A distância entre os pontos M(4,-5) e
N(-1,7) do plano x0y vale:
a) 14.
b) 13.
c) 12.
d) 9.
e) 8.
verificamos que ele é:
a) homogêneo e indeterminado
b) possível e determinado
c) possível e indeterminado
d) impossível e determinado
e) impossível e indeterminado
02. (FUVEST) Uma reta passa pelos pontos P (3;1) e é
tangente à circunferência de centro C (1;1) e raio 1 num
ponto T. Então a medida do segmento PT é:
09. (FGV) O sistema de equações seguinte:
a)
3x + 4y + z = 8
2x – y + 2z = 5
5x + 3y + 2z = 14
a)
b)
c)
d)
e)
b) 2
c)
é incompatível indeterminado
é incompatível
é incompatível determinado
é compatível determinado
é característico
d)
e)
10. (MACK) O sistema
x+y=-z
2x + z = 3y
9y + z = - 4x
de variáveis x, y e z é:
a) possível e determinado
b) impossível
c) possível e indeterminado
d) apresenta três soluções distintas
e) não homogêneo
GABARITO
01. x = 4/3, y = 7/3 e z = -5/3
35
03. (2, 1, -3)
04. R$ 25,00
04. A
b) a = 2/5 e b = 0 c) a = 2/5 e b 0 06. E
09. A
10. E
3
02. C
05. a) a2/5
07. C
08. D
5
6
7
03. (FUVEST) Sejam a, b, c três números estritamente
positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo
ABC, cujos vértices são A=(-a,0), B=(0,b) e C=(c,0), é igual
a b, então o valor de b é:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
04. (FATEC) A circunferência que passa pelos pontos
O=(0,0), A=(2,0) e B=(0,3) tem raio igual a:
a) (11)/4
b) (11)/2
c) (13)/4
d) (13)/2
e) (17)/4
05. (UNESP-2003 ) O triângulo PQR, no plano cartesiano,
de vértices P=(0,0), Q=(6,0) e R=(3,5), é
a) equilátero.
b) isósceles, mas não equilátero.
c) escaleno.
d) retângulo.
e) obtusângulo.
06. (UNESP) No plano cartesiano, estão localizados os
pontos P(-1/2,6) ; Q(-2,1) e R(1,1). Determinar a área do
triângulo formado pelos três pontos.
07. (UEPI) Seja r a reta que passa pelos pontos A(1,3) e
B(4,1). Se P(k,k+12) é um ponto de r, determinar 3k+2
14
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CURSINHO SINTAXE
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
08. (ITA) A área de um triângulo é de 4 unidades de
superfície, sendo dois de seus vértices os pontos A(2,1) e
B(3,-2). Sabendo que o terceiro vértice esta sobre o eixo
das abscissas, determine as possíveis coordenadas deste
vértice.
09. (ESPP) o valor de m para que a reta mx +(m+3)y +
(2m+1) = 0 passe pelo ponto P(2,-1) é:
a)-3
b)3
c)4
d)-4
e)-1
b)
10. (MACK) Os gráficos de y = x - 1 e y = 2 definem com os
eixos uma região de área:
a) 6
b) 5/2
c) 4
d) 3
e) 7/2
11. ( MACK ) – A equação geral da reta que passa pelo
ponto médio do segmento de extremos A (1,2) e B (5,4) e
passa pelo baricentro do triângulo de vértices C (2,4) , D
(4,0) e E (9,-1) é :
a) x – y – 2 = 0
b) x – y – 6 = 0
c) x – y – 3 = 0
d) x + y – 6 = 0
e) x + y – 4 = 0
12. ( MACK - 2000 ) – Uma reta t passa pelos pontos ( 1,4 )
e ( 6,0 ). A equação da reta s, simétrica de t em relação à
reta x – 6 = 0 é :
a) 5x – 4y – 30 = 0
b) 4x – 5y – 24 = 0
c) 4x – y – 24 = 0
d) 5x – y – 30 = 0
e) 6x – y – 36 = 0
15. A reta de equação 3y + 2x + 5 = 0 tem coeficiente
angular igual a:
a)
2
3
b)
c)
3
2
d)
e)
2
3
3
2
5
3
16. (UNIVEST) Os coeficientes linear de uma reta
determinada pelos pontos A(3,-1) e B(2,1) é:
a )7
1
2
c) 2
d )6
e )5
b)
13.
(PUC) Um quadrado tem dois de seus vértices
consecutivos nos pontos A ( -1,2 ) e B ( 4,2 ). Qual das retas
abaixo pode conter um dos lados desse quadrado ?
a) y + x = 2
b) y = 5
c) y = -3
d) x = 2
e) x = 0
14. Determinar o coeficiente angular das retas abaixo:
a)
17. (FUVEST) Uma reta r determina, no primeiro quadrante
do plano cartesiano, um triângulo isósceles, cujos vértices
são a origem e os pontos onde a reta intercepta os eixos Ox
e Oy. Se a área desse triângulo é 18, determine a equação
dessa reta.
18. Determinar a posição relativa entre as retas, nos
seguintes casos:
a) r: 6x – 8y + 2 = 0 e s: 3x – 4y + 1 = 0
b) r: 8x – 6y + 3 = 0 e s: 4x – 3y + 1 = 0
c) 2x + y – 7 = 0 e 3x – 6y + 5 = 0
15
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CURSINHO SINTAXE
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
d) 3x – 5y + 7 = 0 e 2x + y – 5 = 0
19. (FGV) Dados os pontos A(-3,2) e B(7,-13), determinar o
coeficiente angular da mediatriz do segmento AB.
20. (USF) Sendo r uma reta que passa pelos pontos A(1,2)
e B(3,4) e s: mx + ny + 1 = 0, perpendicular a r, pode-se
afirmar que:
a) m = -n
b) m = n
c) m + n = 1
d) m + n = -1
e) m = 2n
21. (FUVEST) As retas r e s são perpendiculares e
interceptam-se no ponto (2,4). A reta s passa pelo ponto
(0,5). Uma equação da reta r é:
a) 2y + x = 10
b) y = x + 2
c) 2y – x = 6
d) 2x + y = 8
e) y = 2x
22. (FGV) Um mapa é localizado sobre um sistema de eixos
cartesianos ortogonal, de modo que a posição de uma
cidade é dada pelo ponto P(1,3). Um avião descreve uma
trajetória retilínea segundo a equação x + 2y = 20. Qual a
menor distância da cidade ao avião?
23. (FATEC) Dados os pontos A(2,-3) e B(4,7) , determinar
a equação da reta mediatriz do segmento AB.
Circunferência
01. (PUC) Uma circunferência de centro C(-2,5) limita um
círculo cuja área é 3. Determine a equação da
circunferência.
02. (PUC) A reta y = 2x – 4 intercepta os eixos
coordenados nos pontos A e B. Esses pontos são
extremos de um diâmetro da circunferência . Determine a
equação reduzida e geral de .
03. (ESPM) Na figura abaixo, tem-se representada, em um
sistema de eixos cartesianos, a circunferência de centro
C. Determine a equação geral.
04. (ESPM) Uma circunferência, localizada no primeiro
quadrante, tangencia os dois eixos coordenados e seu
centro pertence à equação da reta 4x + 3y – 14 = 0. Sua
equação é:
a) x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0
b) x2 + y2 – 4x – 4y + 8 = 0
c) x2 + y2 – 4x – 4y = 0
d) x2 + y2 – 2x – 2y + 4 = 0
e) x2 + y2 – 2x – 2y + 8 = 0
05. (UNESP) Considere a circunferência de equação (x3)2 + y2 = 5.
a) Determine o ponto P = (x, y) pertencente a , tal que y =
2 e x > 3.
b) Se r é a reta que passa pelo centro (3,0) de e por P, dê
a equação e o coeficiente angular de r.
06. (FUVEST) Uma circunferência passa pelos pontos (2,0),
(2,4) e (0,4). Logo, a distância do centro dessa
circunferência à origem é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
07. (USF) Os pontos A (2,3) e C (4,5) são as extremidades
da diagonal de um quadrado. Determine a equação da
circunferência inscrita nesse quadrado.
Exercícios Tarefa
01. (CESGRANRIO) A distância entre os pontos M (4, -5) e
N(-1,7) do plano x0y vale:
a) 14
b) 12
c) 8
d) 13
e) 9
02. (MACK) Determinar o ponto P, distante 10 unidades do
ponto A (-3, 6), com abscissa igual a 3.
03. (UFRGS) Se um ponto P do eixo das abscissas é
eqüidistante dos pontos A(1, 4) e B(-6, 3), a abscissa
de P vale:
a) –2
b) –1
c) 0
d) 1
e) 3
04. (FURRN) A ordenada do ponto P, do eixo Oy,
eqüidistante dos pontos Q(2, 0) e R(4, 2) é:
a) 9/12 b) 11/2 c) 4
d) 3
e) 0
16
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EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
05. (ITA) Três pontos de coordenadas, respectivamente (0,
0), (b, 2b) e (5b, 0), com b>0, são vértices de um retângulo.
As coordenadas do quarto vértice são dadas por:
a) (-b, –b)
b) (2b, -b)
c) (4b, -2b)
d) (3b,
-2b)
e) (2b, -2b)
17. (UNESP) A figura mostra o gráfico de uma função que é
representada por:
a) y = x2 - 9
b)y = - x - 4
c)y = - 4x + 3
d)y = 2x – 6
e)y = x – 3
06. (PUC-SP) Dados A(4, 5), B(1, 1) e C(x, 4), o valor de x
para que o triângulo ABC seja retângulo em B é:
a) 3
b) 2
c) 0
d) –3
e) –2
07. (VUNESP-SP) Os vértices da base de um triângulo
isósceles são os pontos (1, -1) e (-3, 4) de um sistema de
coordenadas cartesianas retangulares. Qual a ordenada do
terceiro vértice, se ele pertence ao eixo das ordenadas?
08. (FUVEST) Se (m + 2n, m – 4) e (2 – m, 2n) representam
o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a:
a) –2
b) 0
c) 2
d) 1
e) 1/2
09. (UECE) Se (2, 5) é o ponto médio do segmento de
extremos (5, y) e (x, 7), então o valor de x + y é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
18. (UN.CAT.RS) Uma equação da reta que intercepta o
eixo das ordenadas em P (0, -3) e tem uma inclinação de
60º é:
a) x + y + 3 = 0
b) x + y + 3 = 0
c) 2y + 3x + 4 = 0
d) y = 1
e) y + 3x – 4 = 0
10. (FEI) Dado o triângulo de vértices A (0, 0), B (1, 1) e C
(5, -1), determinar as coordenadas do baricentro do
triângulo ABC.
19. (PUC-SP) Determine a equação da reta de coeficiente
angular igual a –4/5 e que passa pelo ponto P (2, -5)
11. (F.C.C.) Os pontos A (-3, -2), B (, 2) e C (9, 4) são:
a) colineares
b) vértices de um triângulo equilátero
c) vértices de um triângulo isósceles
d) vértices de um triângulo retângulo
e) vértices de um triângulo escaleno
20. (FUVEST) As retas de equações x – 5y + 1 = 0 e 10y –
2x + 22 = 0:
a) são reversas
b) concorrem na origem
c) não têm ponto em comum
d) formam um ângulo de 90º
e) têm um único ponto em comum
12. (PUC-SP) Os ponto A(k; 0), B(1; -2) e C(3; 2) são
vértices de um triângulo. Então, necessariamente:
a) k = -1
b) k = -2
c) k = 2
d) k 2
e) k 2
13. (FEI-SP) Os vértices de um triângulo são A (5,-3), B
(x,2) e C(-1,3) e sua área mede 5. O valor de x pode ser:
a) 1 b) 0
c) 2
d) –5/3 e) 4
14. (MACK) Os pontos A(6; 0), B(0; 6) e C(0; 0) são vértices
de um triângulo ABC, M é o ponto médio do lado BC e G é o
baricentro do triângulo ABC. A área do triângulo GMB vale:
f) 6 b) 3
c) 3/2 d) 18
e) 9
15. (CESGRNRIO) A área do triângulo cujos vértices são os
pontos (1,2), (3,5) e (4,-1) vale:
a) 4,5
b) 6
c) 7,5
d) 9
e) 15
16. (FEI) Dado um triângulo de vértices (1,1); (3,1); (-1,3) o
baricentro (ponto de encontro das medianas) é:
a) (1, 3/2)
b) (3/2, 1)
c) (3/2, 3/2)
d) (1, 5/3)
e) (0, 3/2)
21. (FGV) Dados os pontos A(-3,2) e B(7,-13), determinar o
coeficiente angular da mediatriz do segmento AB.
22. (USF) Sendo r uma reta que passa pelos pontos A(1,2)
e B(3,4) e s: mx + ny + 1 = 0, perpendicular a r, pode-se
afirmar que:
a) m = -n
b) m = n
c) m + n = 1
d) m + n = -1
e) m = 2n
23. (FUVEST) As retas r e s são perpendiculares e
interceptam-se no ponto (2,4). A reta s passa pelo ponto
(0,5). Uma equação da reta r é:
a) 2y + x = 10
b) y = x + 2
c) 2y – x = 6
d) 2x + y = 8
e) y = 2x
24. (URRN) Seja M o ponto de intersecção das retas de
equação x – y – 6 = 0 e 3x + y – 2 = 0. A equação da reta
paralela ao eixo das abscissas, passando por M é:
a) x – 2y = 10
b) y = 2 c) x = 2 d) x = -4 e) y = -4
25. (VUNESP) Seja A a intersecção das retas r , de
equação y = 2x, e s, de equação y = 4x – 2. Se B e C são as
17
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EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
intersecções respectivas dessas retas com o eixo das
abscissas, a área do triângulo ABC é:
a) 1/2 b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
31. (UNESP-2003) Dados dois pontos, A e B, com
coordenadas cartesianas (-2, 1) e (1, -2), respectivamente,
conforme a figura
26. (MACK-SP) A distância da reta determinada pelos
pontos A (1, 4) e B (5, 2) à origem é:
a) 9
b) 5
c) 9/5
d) 81/5
e) 95/5
27. (FUVEST) Os pontos (a, 1) e (2, b) estão sobre a reta x
+ 2y = 0. A distância entre eles é:
a) 25
b) 6
c) 10
d) 2
e) 45
28. (FGV) A área da figura hachurada no diagrama abaixo
vale:
a) 4
b) 3,5
c) 3
d) 5
e) 4,5
a) calcule a distância entre A e B.
b) Sabendo-se que as coordenadas cartesianas do
baricentro do triângulo ABC são (xG, yG) = (2/3, 1), calcule
as coordenadas (xc, yc) do vértice C do triângulo.
32. (UNIFESP-2003) A figura representa, em um sistema
ortogonal de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas em
relação ao eixo Oy, uma circunferência com centro na
origem do sistema, e os pontos A=(1,2), B, C, D, E e F,
correspondentes às interseções das retas e do eixo Ox com
a circunferência.
29. (UNI.ITAÚNA) Observe a figura:
Nestas condições, determine:
a) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F e a área do
hexágono ABCDEF.
b) o valor do cosseno do ângulo AÔB.
Nessa figura, AD: 2x – y + 2 =0 e ABCD é um losango.
Então o valor da diagonal BD é, em cm:
a) 8
b) 6
c) 4
d) 2
e) 10
30. (FUVEST) Dada a reta y =(-1/m) . x + b, a equação da
reta perpendicular a esta, passando pela origem, é:
a) y = mx
b) y = bx
c) x = my
d) y = (-1/m) . x
e) y = -mx
33. (UNICAMP-2004) Os pontos A, B, C e D pertencem ao
gráfico da função y = 1/x, x > 0. As abscissas de A, B e C
são iguais a 2, 3 e 4, respectivamente, e o segmento AB é
paralelo ao segmento CD.
a) Encontre as coordenadas do ponto D.
b) Mostre que a reta que passa pelos pontos médios dos
segmentos AB e CD passa também pela origem.
34. (FUVEST-2004) Duas irmãs receberam como herança
um terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado
abaixo em um sistema de coordenadas. Elas pretendem
dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado
AB e passando pelo ponto P = (a, 0). O valor de a para que
se obtenham dois lotes de mesma área é:
a) 5 - 1
b) 5 - 22
c) 5 - 2
d) 2 + 5
e) 5 + 22
18
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35. (FUVEST-2003) Duas retas s e t do plano cartesiano se
interceptam no ponto (2,2). O produto de seus coeficientes
angulares é 1 e a reta s intercepta o eixo dos y no ponto
(0,3). A área do triângulo delimitado pelo eixo dos x e pelas
retas s e t é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
d)
e)
36. (UECE) Em relação à circunferência que passa pela
origem e cujo centro é o ponto ( 2, 2 ), podemos afirmar
a) está totalmente contida no primeiro quadrante.
b) tem área igual a 2 unidades de área.
c) Passa pelo ponto (2, 0)
d) tem raio igual a 2 unidades de comprimento.
e) Tem equação x2 + y2 = 2.
43. (FEI) A equação x2 + y2 – 6x – 6y + 14 =0 representa
uma circunferência de centro e raio iguais a,
respectivamente:
a) (3, 3) e 18
b) (3, 3) e 4
c) (3, 3) e 14
d) (3, 3) e 2
e) (3, 3) e 22
37. (F.ED.SERRA DOS ÓRGÃOS) A equação da
circunferência cujo centro é o ponto (1, 2) e que contém o
ponto (2, 1) é:
a) x2 + y2 – x –2y –2 = 0
b) x2 + y2 – x –2y –1 = 0
c) x2 + y2 – 2x –4y +3 = 0
d) x2 + y2 + x +2y –9 = 0
e) x2 + y2 +2x +4y –13 = 0
38. (UBERABA) A distãncia da origem ao centro da
circunferência
(x – 1)2 + ( y + 2)2 = 5 é igual a:
a) 2
b) 1
c) 3
d) 2
e) 5
39. (FUVEST) O raio da circunferência x2 + y2 –4x + 6y – 3
= 0 é igual a:
a) 2
b) 2
c) 3
d) 4
e) 16
40. (TABAJARA-SP) A circunferência representada a
seguir é tangente ao eixo das ordenadas na origem do
sistema de eixos cartesianos.
A equação de é
a) x2 + y2 + 4x + 4 = 0
b) x2 + y2 + 4y + 4 = 0
c) x2 + y2 + 4x = 0
d) x2 + y2 + 4y = 0
e) x2 + y2 + 4 = 0
41. (U.N.PARANÀ) As coordenadas
circunferência
4x2 + 4y2 – 4x – 12y + 2 =0 são:
a) (2, 6)
b) (2, 3/2)
c) (1/2, 3)
do
centro
da
(1/2, 3/2)
(0, 0)
42. (UN.PELOTAS) A área do círculo cuja circunferência é
dada pela equação x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0 é:
a) 15
b) 20
c) 17
d) 36
e) 25
44. (FGV) O comprimento da corda determinada numa
circunferência de centro C (2, 0) e raio 8 pela reta y = 2 é:
a) 4
b) 0
c) 28
d) 2
e) 8
45. (PUC-MG) A circunferência de centro C (3, 5), tangente
ao eixo dos x, intercepta o eixo dos y nos pontos de
coordenadas:
a) (0, -1) e (0, 5)
b) (0, 3) e (0, 4)
c) (0, 3) e (0, 10)
d) (0, 0) e (0, 5)
e) (0, 1) e (0, 9)
46. (FUVEST-SP) A reta s passa pelo ponto (0,3) e é
perpendicular à reta AB onde A=(0,0) e B é o centro da
circunferência x2+y2-2x-4y=20. Então a equação de s é:
a) x- 2y = - 6
b) x + 2y = 6
c) x + y = 3
d) y - x = 3
e) 2x + y = 6
47. (FATEC-SP) Sejam O a origem do sistema de eixos
cartesianos e A o centro da circunferência de equação x2 +
y2 - 2x - 4y -4 = 0. A equação de reta que passa pelos
pontos A e O é:
a) y = 2x + 1
b) y = 2x -1
c) y = x/2
d) y = 2x
e) y = x
48. (FUVEST-SP) O segmento AB é diâmetro da
circunferência de equação x2+y2 =10y. Se A é o ponto (3,1),
então B é o ponto
a) (-3, 9)
b) (3, 9)
c) (0, 10)
d) (-3, 1)
e) (1, 3)
19
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EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
49. (PUC-SP) São dadas a reta r de equação 2x – y = 0 e a
circunferência de centro no ponto (2;0) e raio 2. Se A e B
são os pontos de intersecção de r e , então a distância
entre A e B é:
a) 5/5
b) 25/5
c) 45/5
d) 65/5
e) 85/5
50. (FATEC-2003) Na figura abaixo os pontos A, B e C
estão representados em um sistema de eixos cartesianos
ortogonais entre si, de origem O.
TRIGONOMETRIA
Exercícios Propostos
01. (TABAJARA-SP) Para 0º < x < 90º , o valor da
expressão :
Y = sec6 x . sen5 x . cos4 x . cossec3x . cotg2x . tgx
a) sen x
b) cos x
c) tg x
d) cotg x
e) 1
02. ( MACK ) Se 0º < x < 90º e cos x = 0,5 então o valor da
expressão y
sen x
cos sec x cot gx
a) 1
b) 3
c) 0,5
d) 3/2
e) 23/3
É verdade que a equação da
a) circunferência de centro em B e raio 1 é
x2 + y2 - 8x - 6y + 24 = 0.
b) circunferência de centro em B e raio 1 é
x2 + y2 - 6x - 4y + 15 = 0.
c) reta horizontal que passa por A é y = 2.
d) reta que passa por C e é paralela à bissetriz do 1º
quadrante é x - y - 2 = 0.
e) reta que passa por C e é paralela à bissetriz do 1º
quadrante é x + y - 2 = 0.
GABARITO
01. D
02. (3, -2) e (3, 14)
03. A
04. C
05.C
06. D
07. 2, 3 08. E
09. B
10. G (2, 0)
11.A
12. E
13. D
14. B
15. C
16. D
17. E
18. C
19. 4x + 5y + 17 = 0
20. C
21. 2/3 22. B
23. E
24. E
25. A
26. E
27. A
28. E
29. C
30. A
31. a) AB = 32 b) C (3; 4) 32. a) B(-1; 2), C(-5; 0), D(-1; 2), E(1; -2) e F(5; 0) S = 4[(5) + 1] u.a.
b) cos (AOB) = 0,6
33. a) D = (3/2, 2/3)
b) Os pontos médios de AB e CD são, respectivamente,
(5/2, 5/12) e (11/4, 11/24). A equação da reta que passa por
esses pontos é y = (1/6)x. Como o coeficiente linear desta
reta é zero, ela passa pela origem.
34. B
35. B
36. D
37. C
38. E
39. D
40.C
41. D
42. E
43. D
44. A
45. E
46. B
47.D
48. A
49. C
50. D
03. (PUC) tg 2x
2 sen 2 x
cos2 x
a) tg x
b) sen x
c) –2
d) 2
e) 1
04. Na figura abaixo, a circunferência tem raio 6 cm e a
medida do ângulo central AOB é igual a 3 radianos. O
comprimento do arco AB é :
a)
18 cm
b)
2 cm
c)
0,5 cm
d)
36 cm
e)
9 cm
05. (ITA) Transformar 12º em radianos.
06. ( FUVEST ) O perímetro de um setor circular de raio R e
ângulo central medindo radianos é igual ao perímetro de
um quadrado de lado R. Então o valor de :
20
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2º Semestre - 2005
a)
b)
c)
d)
e)
CURSINHO SINTAXE
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
/3
2
1
2/3
/2
07. Resolva as seguintes equações no intervalo [0, 2]
a)
b)
c)
d)
sen x + 1 = 0
2sen x -3 = 0
2cosx + 1 = 0
tg x – 1 = 0
08. Resolva as equações abaixo:
01. (CESGRANRIO-RJ) Uma rampa plana de 36 m de
comprimento faz ângulo de 30º com o plano horizontal. Uma
pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:
a) 63 m
b) 12 m
c) 13,6 m
d) 93 m
e) 18 m
02. (UNI...) O valor de a no triângulo ABC é:
a) 32
b) 36
c) 30
d) 33
e) 34
a) senx = -1
b) cosx = 1
c) tg x = 1
09. ( FMU ) Calcular o valor de sen(105º)
03. (FUVEST-SP) Calcule x indicado na figura:
10. ( FUVEST ) Calcular tg 15º
11. ( IBERO – AMERICANA ) A expressão sen ( + x ) +
cos ( /2 – x ) é para todo x R equivalente a :
a) 2 senx
b) –2 senx
c)
senx + cosx
d) senx – cosx
e) zero
12. ( PUC ) Simplifique a expressão :
sen ( x+y ) cosy – cos ( x+y ) seny
13 . ( MACK ) Se sen2 x = ¼ e cos2 x = ¾ , então cos (2x )
vale :
a) –1/2
b) ½
c)
¾
d) 1
e) 2
13. ( FATEC ) Determine t, sabendo que t [ 0, 1 ] e (sent
+ cost)2 – sen(2t) = tg t.
04. (UFC) Na figura ao lado, o triângulo ABC é retângulo em
B. O cosseno do ângulo BÂC é:
a) 12/13
b) 11/13
c) 10/13
d) 6/13
e) 1/13
05. (UNI...) Para 0º < x < 90º , o valor da expressão :
y = sec6 x . sen5 x . cos4 x . cossec3x. cotg2x . tgx
a) sen x
b) cos x
c) tg x
d) cotg x
e) 1
06. (PUC) A expressão
cossec( x)
sec( x)
sin ( x)
é idêntica a:
cos ( x)
a) cotg3 x
b) sec2 x
c) sen2 x + cos x
d) tg2 x + sec x
e) cossec3 x
21
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EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
07. (ITA) Transformar 12º em radianos.
08. (UFAL) Se a medida de um arco, em graus, é igual a
128, sua medida em radianos é igual a
a) (/4) - 17
b) (64/15)
c) (64/45)
d) (16/25)
e) (32/45)
09. (FUVEST) Quantos graus mede, aproximadamente, um
arco de 0,105 rad.
10. (IBERO-AMERICANA) A medida de um ângulo é 225º.
Em radianos, a medida do mesmo ângulo é:
a) 3/2
b) 4/3
c) 5/4
d) 5
e) 5/3
11. (UFRN) Se um ângulo mede 40º, então sua medida em
radianos vale:
a) /3
b) /4
c) 2/9
d) 3/7
e) 5/6
12. (UNESP-2004) A figura mostra duas circunferências de
raios 8 cm e 3 cm, tangentes entre si e tangentes à reta r. C
e D são os centros das circunferências.
Se é a medida do ângulo CÔP, o valor de sen é:
a) 1/6.
b) 5/11.
c) 1/2.
d) 8/23.
e) 3/8.
13. (PUC-2004) O valor de (cos60° + tg45°)/sen90° é:
a) 3/2
b) 2
c) 2
d) (2+1)/2
e) 0
14. (UNIP) A equação 4sen2x = 1 , para 0º x 360º, tem
conjunto verdade igual a :
a) { 30º }
b) { 60º }
c)
{ 30º , 210º }
d) { 30º , 150º }
e) { 30º , 150º , 210º , 330º }
15. ( FEI ) Sabendo que cosx > cosy , x e y são valores
entre 0 e 90º, podemos afirmar que :
a) x > y
b) senx.cosx < 0
c) senx > seny
d) senx < seny
e) cos x = 3/2 e cos y = ½
GABARITO
01.D
02. B
04. A
05. C
07. (π/15) rad
10. C
11. C
14. D
15. D
03. (503)m
06. A
08. E
09. 6º
12. B
13. A
01. ( UNIP ) Se 90º < x < 180º e (senx + 2)(2senx-1)=0 ,
então o valor de cosx é :
a) ½
b) 3/2
c) –0,5
d) -3/2
e) -2/2
02. ( FUVEST ) Se tgx =
3
4
e < x < 3/2 , o valor de cos x
– sen x é :
a) 7/5
b) –1/5
c) –2/5
d) 1/5
e) –1/3
03. ( USF ) Se /2 < x < e sen x =
2 6
, o valor de sec x
5
é:
a) –5
b) 5
c) 1/5
d) –1/5
e) 5
04. ( U. UBERABA ) Se cos x = 13/4 e 3/2 < x < 2 , o
valor de cotg x é :
a) –13/3
b) 13-3
c) -3/13
d) 13/3
e) -39/3
05. (FUVEST) No quadrilátero ABCD onde os ângulos A e C
são retos e os lados têm as medidas indicadas, o valor de
sen B é:
a) 5/5
b) 25/5
c) 4/5
d) 2/5
c) 1/2
06. ( FUVEST ) Calcular tg 15º
07. ( IBERO – AMERICANA ) A expressão sen ( + x ) +
cos ( /2 – x ) é para todo x R equivalente a :
a) 2 senx
b) –2 senx
c) senx + cosx
d) senx – cosx
e) zero
22
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2º Semestre - 2005
08. ( PUC ) Simplificando a expressão :
sen ( x+y ) cosy – cos ( x+y ) seny , obtemos :
a)
b)
c)
d)
e)
cos x
sen x
cos y
sen y
n.d.a.
09. ( MACK ) Se sen2 x =
1
3
e cos2 x =
4
4
então
cos (2x ) vale :
f) –1/2
g) ½
h) ¾
i) 1
j) 2
10. (UFMA ) Seja x [ 0 , /2 ] tal que cos4 x – sen4 x =
0,28 . Então cos x é igual a :
a) 0,6
b) 0,8
c) 0,2
d) 0,28
e) 0,64
11. (UFRJ) Os símbolos a seguir foram encontrados em
uma caverna em Machu Pichu, no Peru, e cientistas julgam
que extraterrestres os desenharam.
14. ( FUVEST ) o valor de ( tg10º + cotg10º). sen20º é a) ½
b) 1
c) 2
d) 5/2
e) 4
15. (FEI) Se cosx = 0,8 e 0 < x < /2 então o valor de sen2x
é:
a) 0,6
b) 0,8
c) 0,96
d) 0,36
e) 0,49
16. (VUNESP-SP) Determine todos os valores de x, 0 x
2 , para os quais se verifica a igualdade:
(sen x + cos x)2 = 1
17. (FATEC-SP) Se x – y = 60º, então o valor de (senx +
seny)2 + (cosx – cosy)2 é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
18. (UFV) Sabendo-se que sen 30° = 1/2, o valor de sen15°
é:
a) (3 - 2)]/2
b) 1/4
c) 1
d) [ (2 - 3)]/2
e) 1/2
19. (UNEP-2003) Um farol localizado a 36 m acima do nível
do mar é avistado por um barco a uma distância x da base
do farol, a partir de um ângulo , conforme a figura:
Tais
cientistas
descobriram
algumas
relações
trigonométricas entre os lados das figuras, como é mostrado
acima. Se a + b = /6, pode-se afirmar que a soma das
áreas das figuras é igual a
a) .
b) 3.
c) 2.
d) 1.
e) /2.
12. ( FATEC ) Determine t, sabendo que t [ 0, 1 ] e (sent
+ cost)2 – sen(2t) = tg t.
13. (FATEC-SP) Se sen 2x=1/2, então tg x + cotg x é igual
a:
a) 8
b) 6
c) 4
d) 2
e) 1
a) Admitindo-se que sen() = 3/5, calcule a distância x.
b) Assumindo-se que o barco se aproximou do farol e que
uma nova observação foi realizada, na qual o ângulo
passou exatamente para 2, calcule a nova distância x' a
que o barco se encontrará da base do farol.
20 . (FUVEST-SP) Qual das afirmações abaixo é
verdadeira?
a) sen 210° < cos 210° < tg 210°
b) cos 210° < sen 210° < tg 210°
c) tg 210° < sen 210° < cos 210°
d) tg 210° < cos 210° < sen 210°
e) sen 210° < tg 210° < cos 210°
23
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EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
2º Semestre - 2005
GABARITO
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
05. Dado o número complexo z = 3 3 3i , determinar
seu módulo, argumento principal, forma trigonométrica e
sua representação no plano complexo.
D
B
D
E
C
2 - 3
E
B
B
C
D
/4
C
C
C
0, /2, , 3/2
D
D
a) 48 m e b) 10,5 m
B
06. ( UDESCO ) O módulo do número complexo
2
1 i
é:
a)2
b) 2
c )1
2
2
e) 2 2
d)
NÚMEROS COMPLEXOS
07. ( UNIRIO 2000 ) Considere um número complexo z, tal
que seu módulo é 10, e a soma dele com o seu conjugado é
16. Sabendo que o afixo de z pertence ao 4º quadrante,
pode-se afirmar que z é igual a :
a) 6 + 8i
b) 8 + 6i
c) 100
d) 8 – 6i
e) 6 –8i
Exercícios Propostos
01.
a)
b)
c)
d)
e)
Efetuar as operações indicadas :
( 2+3i ) + ( 3 + 4i ) =
( 5 + 8i ) – ( 2 + 3i ) =
( 2 + 3i ) ( 3 + 4i ) =
( 3 + 4i ) ( 3 – 4i ) =
( 1 + i )2 =
02. ( PUC ) O número complexo z = ( m+6i ) (3 + i ) é
imaginário puro. Então o valor de m é :
a) -3
b) 1
c) 2
d) 3
e) 18
03. ( UNICEB ) Dado o número z = 2 + i , calcule o valor de
z4.
a) –7 + 24i
b) 7 + 24i
c) 16 + i
d) 16 – i
e) 81
04. ( FUVEST ) Sendo um número real e que a parte
imaginária do número complexo
a)
b)
c)
d)
e)
–4
–2
1
2
4
2i
é nula, então é :
2i
08. MACK ) Se o complexo z é tal que 2z então | Z | é :
z +6i
= 3 ,
a) 13
b) 8
c) 11
d) 7
e) 10
Exercícios Tarefa
01. (FATEC- 95) O conjugado do número complexo z=(1- i1)-1 é igual a
a) 1 + i
b) 1 - i
c) (1/2) (1 - i)
d) (1/2) (1 + i)
e) i
02. (FEI- 94) Escrevendo o número complexo z = 1/(1i)+1/(1+i) na forma algébrica obtemos:
a) 1 - i
b) i - 1
c) 1 + i
d) i
e) 1
24
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EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
2º Semestre - 2005
03. (FEI 95) O módulo do número complexo (1 + i)-3 é:
a) 2
b) 1
c) -3
d) (2)/4
e) 0
04. (FEI -96) O resultado
[1/(2+i)]+3/(1-2i)] é:
a) 1 - i
b) 1 + i
c) 2 + i
d) 2 - i
e) 3 + 3i
da expressão complexa
05. (FEI- 97) Se a = 1 + 2i, b = 2 - i e (a/b) + (b/c) = 0 então
o número complexo c é:
a) 2i
b) 1 - 2i
c) 2 - i
d) 1 + 2i
e) 3i
06. (MACK- 97) [(1 + i)/(1 - i)]102, é igual a:
a) i
b) -i
c) 1
d) 1 + i
e) -1
07. (PUC-SP 98) Um número complexo z e seu conjugado
são tais que z somado ao seu conjugado é igual a 4 e z
menos o seu conjugado é igual a -4i. Nessas condições, a
forma trigonométrica de z2 é
a) 8.(cos 3/2 + isen 3/2)
b) 8.(cos //2 + isen /2)
c) 8.(cos 7/4 + isen 7/4)
d) 4.(cos/2 + isen /2)
e) 4.(cos /2 + isen /2)
11. (FATEC- 99) Seja i2 = -1 e os números complexos z1 =
cos+i.sen e z2 = - sen+i.cos.
É verdade que
a) o módulo de z1 + z2 é igual a 2.
b) o módulo de z1 – z2 é igual a 1.
c) z1 = i . z2
d) z2 = i . z1
e) z1 . z2 é um número real.
12. (Ufrrj 99) Sendo a = 2 + 4i e b = 1 - 3i , o valor de |a/b| é
a) 3.
b) 2.
c) 5.
d) 2 2.
e) 1 + 2.
13. (Uelondrina 99) O produto dos números complexos
cos(/6)+i.sen(/6) e cos(/3)+i.sen(/3) é igual a
a) (3) - i
b) (2) + i
c) (2) - i
d) 1
e) i
14. (Ufscar 2001) Sejam x, y IR e z = x + yi um número
complexo.
a) Calcule o produto (x + yi).(1 + i).
b) Determine x e y, para que se tenha (x+yi).(1+i)=2.
15. (FATEC-SP) Na figura a seguir, o ponto P é o afixo do
número complexo z = x + yi no plano de Argand-Gauss.
É verdade que
a) o argumento principal de z é 5/6.
b) a parte imaginária de z é i.
c) o conjugado de z é 3 + i.
d) a parte real de z é 1.
e) o módulo de z é 4.
08. (VUNESP - 99) Considere o número complexo z = i,
onde i é a unidade imaginária. O valor de z4 + z3 + z2 +z +
(1/z) é
a) -1
b) 0
c) 1
d) i
e) - i
09. (UEL- 98) O argumento principal do número complexo
z=-1+i3 é
a) 11/6
b) 5/3
c) 7/6
d) 5/6
e) 2/3
16. (UNITAU) O módulo de z = 1/i36 é:
a) 3.
b) 1.
c) 2.
d) 1/36.
e) 36.
10. (PUC-SP 96) Seja o número complexo z = 4i/(1+i). A
forma trigonométrica de z é
a) 22 (cos /4 + i . sen /4)
b) 22 (cos 7/4 + i . sen 7/4)
c) 4 (cos /4 + i . sen /4)
d) 2 (cos 3/4 + i . sen 3/4)
e) 2 (cos 7/4 + i . sen 7/4)
17. (UEL) Seja o número complexo z = x + yi, no qual
x, y IR. Se z.(1 - i) = (1 + i)2, então
a) x = y
b) x - y = 2
c) x . y = 1
d) x + y = 0
e) y = 2x
25
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CURSINHO SINTAXE
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
2º Semestre - 2005
18. (PUC-MG) Sendo , o valor de (1 + i)/(1 - i) - 2i/ (1 + i) é:
a) -2
b) 1 - 3i
c) 1 + 3i
d) -1
e) 3i
19. (PUC-2004) Dados os números complexos z = a + bi e
seu conjugado Z, é correto afirmar que z + Z é um número:
a) natural.
b) inteiro.
c) racional.
d) real.
e) imaginário puro.
20. (FATEC) Na figura adiante, os pontos A, B e C são as
imagens dos números complexos z1, z2 e z3, no plano de
Argand-Gauss.
POLINÔMIOS
Exercícios Propostos
01. ( MACK 2000 ) A função f é polinomial e seu gráfico
passa pelos pontos ( -2,-1 ) , ( 0,-3 ) , ( 1,-2 ) , ( 2,0 ) e ( 3,1
). O termo independente de x do polinômio que define f é :
a)
–1
b)
–2
c)
–3
d)
0
e)
1
02. ( FEI ) Se um polinômio de grau 3
P ( x ) = x3 + x2 + mx + n , é tal que
P(-1) = 0 e P ( 1 ) = 0. Então é válido
afirmar que :
a)
p(2) = 0
b)
p(2) = 10
c)
p(2) = 9
d)
p(2) = 8
e)
p(2) = 1
03. ( MACK ) Se f(x) , P(x) e h(x) são polinômios de graus,
respectivamente, 5 , 7 e 9 , então o grau de f(x) . [ p(x) –
h(x) ] é :
a)
25
b)
21
c)
16
d)
14
e)
12
Se |z1| = |z2| = |z3| = 3 e = 60°, então z1 + z2 + z3 é igual a
a) (3 - 3)i
b) 3 - 3i
c) (3 + 3)i
d) 3 + 3i
e) 3i - 3
GABARITO
01.D
02. E
03.D
08. E
09. E
10. A
14. a) (x - y) + (x + y)i
16. B
17. D
18. D
04. B
05. D
06. E
07. A
11. D
12. B
13. E
b) x = 1 e y = -1 15. A e B
19.D
20. A
04. ( UNESP 2000 ) Ao dividirmos um polinômio p(x) por ( xc ) obtemos quociente q(x) = 3x2 – 2x2 + x – 1 e resto p(c) =
3. Sabendo que p(1) = 2 , determine :
a) o valor de c
b) o polinômio p(x)
05. Dividir A ( x ) = 6x4 + 9x3 – 15 x + 9 por B(x) = x2 – x – 2
utilizando o método da chave.
06. Se p(x) = 2x4 – x3 – 2x2 + mx + n é divisível por x2 + x +
1 , então m + n é igual a :
a) 5
b) 3
c) –1
d) –3
e) –5
Nas questões 07 e 08, calcular o quociente e o resto das
divisões utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini.
07) 2x4 – 11x3 + 26x + 3 por
x-5
08) x5 + 5x4 – 10x2 + 15
x+2
por
26
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EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
10. ( FEI 2000 ) O polinômio P(x) = x3 – 5x2 + 8x + m é
divisível por x-1. O valor de m é :
a) 4
b) 2
c) 14
d) –2
e) –4
11. ( UEAL ) Dividindo-se o polinômio p(x) por x2 – 1, obtémse quociente x – 1 e resto x + 1. Nessas condições, o resto
da divisão de p(x) por x – 2 é :
a. 2
b. –1
c. x
d. 6
e. 5
12. (PUC) Sobre o número complexo 1 – i é raiz da equação
2x3 – 3x2 + kx + t = 0, na qual k e t são constantes reais. O
produto das raízes desta equação é:
a) –1
b) –1/2
c) 1/2
d) 1
e) 2
13. (FUVEST) A equação x3 + mx2 + 2x + n = 0 , em que m
e n são números reais, admite 1 + i como raiz. Então m e n
valem:
a) 2 e 2
b) 2 e 0
c) 0 e 2
d) 2 e –2
e) –2 e 0
Exercícios Propostos
01. (MACK-98) Se k e p são, respectivamente, a soma e o
produto das raízes da equação 4x4-2x3+x2-x+1=0, então k+p
vale:
a) -4
b) -2/5
c) +1/4
d) -1/4
e) 5/2
04. (MACK- 96) Se a soma de duas raízes de P (x) = x36x2+11x+k é 3, então o número real k é igual a:
a) - 6.
b) - 3.
c) - 2.
d) 3.
e) 6.
05. (ITA- 95) A divisão de um polinômio P(x) por x2-x resulta
no quociente 6x2+5x+3 e resto -7x. O resto da divisão de
P(x) por 2x+1 é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
06. (VUNESP) Se m é raiz do polinômio real p(x)=x6(m+1)x5+32, determine o resto da divisão de p(x) por x-1.
07. (CESGRANRIO- 94) O resto da divisão do polinômio
P(x)=(x2+1)2 pelo polinômio D(x)=(x-1)2 é igual a:
a) 2
b) 4
c) 2x - 1
d) 4x - 2
e) 8x - 4
08. (UEL- 96) Se o resto da divisão do polinômio p=x4- 4x3kx-75 por (x-5) é 10, o valor de k é
a) - 5
b) - 4
c) 5
d) 6
e) 8
09. (FATEC- 97) Se o polinômio p(x)=2x3-5x2-28x+15 pode
ser fatorado na forma (2x-1).(x+3).(x-k), então o valor de k é
a) 5
b) -5
c) 10
d) 15
e) -15
10. (PUC-MG 97) O polinômio P(x) = x3 - 5x2 + px + 2 é
divisível por x + 2. O valor de p é:
a) -15
b) -13
c) -8
d) 8
e) 13
02. (FATEC- 97) Se -1 é raiz do polinômio p(x)= x3- 4x2+ x k, k IR, então as outras duas raízes são:
a) reais e de multiplicidade 2.
b) racionais e negativas.
c) não reais.
d) irracionais.
e) inteiras.
11. (UEL- 99) O polinômio f=x3-2x2+kx-3 é divisível por g=x2x+3 se, e somente se, o número real k é igual a
a) 4
b) 3
c) 1
d) -3
e) -4
03. (MACK- 96) Se P (x - 1) = x3 - 2x + 3, então o resto da
divisão de P (x) por x - 3 é:
a) 3.
b) 5.
c) 7.
d) 9.
e) 11.
12. (PUC-SP 2000) Sabe-se que o polinômio f = x4 +
x3+8x2+16x+16 admite a raiz -2 com multiplicidade 2. As
demais raízes desse polinômio são números
a) inteiros e opostos.
b) racionais não inteiros.
c) irracionais e positivos.
d) irracionais e opostos.
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EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
e) não reais.
13. (PUC-MG 2001) O polinômio P(x) = x4 - kx3 + 5x2 + 5x +
2k é divisível por x-1. Então, o valor de k é:
a) -11
b) -1/3
c) 1/5
d) 9
14. (FATEC-SP) Se -1 é raiz do polinômio p(x)= x3- 4x2+ x k, k IR, então as outras duas raízes são:
a) reais e de multiplicidade 2.
b) racionais e negativas.
c) não reais.
d) irracionais.
e) inteiras.
15. (MACK) Se a soma de duas raízes de P (x) = x36x2+11x+k é 3, então o número real k é igual a:
a) - 6.
b) - 3.
c) - 2.
d) 3.
e) 6.
16. (UNIAERP) Se P(x) = 3x3 - 5x2 + 6x + a é divisível por x
- 2, então os valores de a e de P(2), são respectivamente:
a) - 16 e - 2
b) - 16 e 2
c) 16 e - 2
d) 16 e 2
e) - 16 e zero
17. (UNITAU) O valor de b para o qual o polinômio
P(x)=15x16+bx15+1 é divisível por x-1 é:
a) -16.
b) 16.
c) 15.
d) 32.
e) 64.
18. (FUVEST) Seja p(x) um polinômio divisível por x-3.
Dividindo p(x) por x-1 obtemos quociente q(x) e resto r = 10.
O resto da divisão de q(x) por x-3 é:
a) - 5
b) - 3
c) 0
d) 3
e) 5
21. (ITA) Dividindo-se o polinômio P(x) = x5 + ax4 + bx2 + cx
+ 1 por (x - 1), obtém-se resto igual a 2. Dividindo-se P(x)
por (x + 1), obtém-se resto igual a 3. Sabendo que P(x) é
divisível por (x - 2), tem-se que o valor de (ab)/c é igual a:
a) - 6
b) - 4
c) 4
d) 7
e) 9
22. (UNIFESP) A divisão de um polinômio p(x) por um
polinômio k(x) tem q(x)=x3+3x2+5 como quociente e
r(x)=x2+x+7 como resto. Sabendo-se que o resto da divisão
de k(x) por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é
a) 10.
b) 12.
c) 17.
d) 25.
e) 70.
23. (FATEC) O polinômio f(x) dividido por ax + b , com a · 0,
tem quociente q(x) e resto r.
É verdade que o resto da divisão de x . f(x) por x+(b/a) é:
a) r2
b) a/b . r
c) b/a . r
d) - b/a . r
e) - a/b . r
24. (UNIFESP) Os números complexos 1 + i e 1 - 2i são
raízes de um polinômio com coeficientes reais, de grau 8.
O número de raízes reais deste polinômio, no máximo, é:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
25. (FUVEST) O gráfico pode representar a função f(x) =
a) x (x - 1)
b) x2 (x2 - 1)
c) x3 (x - 1)
d) x (x2 - 1)
e) x2 (x - 1)
19. (FUVEST) Dividindo-se o polinômio p(x) por 2x2-3x+1,
obtém-se quociente 3x2+1 e resto -x+2. Nessas condições,
o resto da divisão de p(x) por x-1 é:
a) 2
b) 1
c) 0
d) -1
e) –2
20. (PUC-RS) A divisão do polinômio p(x) = x5 - 2x4 - x + m
por q(x) = x - 1 é exata. O valor de m é
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
RESPOSTAS:
04. A
05. E
01. D
02. E
03. E
08. E
15. A
22. C
09. A
16. E
23. D
10. B
17. A
24. C
11. A
18.A
25. D
12. E
19. B
06. 30
07.
13. A
20. E
14. E
21. E
E
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EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
GEOMETRIA ESPACIAL
Exercícios Propostos
CILINDRO
01. (FUVEST-SP) A base de um cilindro de revolução é
equivalente
à seção meridiana. Se o raio da base é unitário, então a
altura do cilindro é:
a)
b) 1/2
c)
d) /2
e) /2
02. (UFPE) Um queijo tem a forma de um cilindro circular
reto com 40cm de raio e 30cm de altura. Retira-se do
mesmo uma fatia, através de dois cortes planos contendo o
eixo do cilindro e formando um ângulo de 60°. Se V é o
volume, em cm3, do que restou do queijo (veja a figura a
seguir), determine V/103.
03. (FATEC) Um tanque tem a forma de um cilindro circular
reto de altura 6m e raio da base 3m. O nível da água nele
contida está a 2/3 da altura do tanque. Se =3,14, então a
quantidade de água, em litros, que o tanque contém é:
a) 113 040
b) 169 560
c) 56 520
d) 37 680
e) 56 520
04. (MACK) 20% do volume de um cilindro de raio 2 é 24.
A altura do cilindro é:
a) 30
b) 15
c) 20
d) 6
e) 12
05. (FATEC-2005) Um cilindro circular reto tem volume igual
a 250 cm3. Um plano, paralelo ao eixo desse cilindro, à
distância de x cm desse eixo, determina uma seção
retangular de área igual a 60 cm2. Se a medida da altura do
cilindro é igual ao dobro da medida do raio da base, então x
é igual a
a) 9/2
b) 4
c) 23
d) 13/4
e) 10
PRISMAS
01. (FUVEST) A diagonal da base de um paralelepípedo
reto retângulo mede 8 cm e forma um ângulo de 60° com o
lado menor da base. Se o volume deste paralelepípedo é
144 cm3, então a sua altura mede, em centímetros:
a) 53
b) 43
c) 33
d) 23
e) 3
02. (VUNESP) Uma piscina retangular de 10,0m x 15,0m e
fundo horizontal está com água até a altura de 1,5m. Um
produto químico em pó deve ser misturado à água à razão
de um pacote para cada 4500 litros. O número de pacotes a
serem usados é:
a) 45
b) 50
c) 55
d) 60
e) 75
03. (UFMG) O volume de uma caixa cúbica é 216 litros. A
medida de sua diagonal, em centímetros, é
a) 0,83
b) 6
c) 60
d) 603
e) 9003
04. (VUNESP) A água de um reservatório na forma de um
paralelepípedo retângulo de comprimento 30m e largura
20m atingia a altura de 10m. Com a falta de chuvas e o
calor, 1800 metros cúbicos da água do reservatório
evaporaram. A água restante no reservatório atingiu a altura
de
a) 2 m.
b) 3 m.
c) 7 m.
d) 8 m.
e) 9 m.
06. (PUC-2004) O retângulo ABCD seguinte, representado
num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, é
tal que A = (2; 8), B = (4; 8), C = (4; 0) e D = (2; 0).
29
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CURSINHO SINTAXE
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
Girando-se esse retângulo em torno do eixo das ordenadas,
obtém-se um sólido de revolução cujo volume é
a) 24
b) 32
d) 36
d) 48
e) 96
02. (UEL) Um cone circular reto tem altura de 8cm e raio da
base medindo 6cm. Qual é, em centímetros quadrados, sua
área lateral?
a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60
PIRÂMIDES
01. (UECE) Numa pirâmide quadrangular regular, uma
aresta da base mede 22cm e uma aresta lateral mede
22cm. O volume dessa pirâmide, em cm2, é:
a) 72
b) 82
c) 92
d) 102
02. (PUCCAMP) Uma pirâmide regular de base hexagonal é
tal que a altura mede 8cm e a aresta da base mede 23cm.
O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é
a) 243
b) 363
c) 483
d) 723
e) 1443
03. (FUVEST-SP) Qual a altura de uma pirâmide
quadrangular que tem as oito arestas iguais a 2?
a) 1
b) 1,5
c) 2
d) 2,5
e) 3
04. (FUVEST – 2005) A figura a seguir mostra uma pirâmide
reta de base quadrangular ABCD de lado 1 e altura EF = 1.
Sendo G o ponto médio da altura EF e a medida do
ângulo AGB, então cos vale
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/5
e) 1/6
03. (PUCMG) Um cone reto de raio r = 4 cm tem volume
equivalente ao de um prisma de altura h = 12 cm e de base
quadrada de lado L=. A altura do cone, em cm, é:
a) 1,25
b) 2,00
c) 2,25
d) 3,00
e) 3,25
04. (FUVEST-SP) Um pedaço de cartolina possui a forma
de um semi-círculo de raio 20 cm. Com essa cartolina um
menino constrói um chapéu cônico e coloca coma base
apoiada sobre uma mesa. Qual é a distância do bico do
chapéu à mesa?
a) 103 cm
b) 310 cm
c) 202 cm
d) 20 cm
e) 10 cm
ESFERA
01. (UNICAMP) O volume V de uma bola de raio r é dado
pela fórmula V=4R3/3.
a) Calcule o volume de uma bola de raio r=3/4cm. Para
facilitar os cálculos você deve substituir pelo número 22/7.
b) Se uma bola de raio r=3/4cm é feita com um material cuja
densidade volumétrica (quociente da massa pelo volume) é
de 5,6g/cm3, qual será a sua massa?
02. (FUVEST) Uma superfície esférica de raio 13 cm é
cortada por um plano situado a uma distância de 12 cm do
centro da superfície esférica, determinando uma
circunferência. O raio dessa circunferência é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
CONES
01. (FATEC) A altura de um cone circular reto mede o triplo
da medida do raio da base. Se o comprimento da
circunferência dessa base é 8 cm, então o volume do
cone, em centímetros cúbicos, é
a) 64
b) 48
c) 32
d) 16
e) 8
30
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CURSINHO SINTAXE
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
Exercícios Propostos
01. (FAAP) Em um prisma triangular regular, a altura mede
2 3 m e a área lateral é o quádruplo da área da base.
Calcule o volume do prisma.
02. (PUC) Um tanque de uso industrial tem a forma de um
prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura abaixo,
são dadas as dimensões, em metros, do prisma:
O volume desse tanque, em metros cúbicos, é :
a)50
b)60
c)80
d)100
e)120
03. (MACKENZIE) A base de um prisma reto é um triangulo
que possui um ângulo de 60º formado por dois lados de
medidas 5cm e 10cm. Se a altura desse prisma é o dobro
da altura relativa ao maior lado da base, então seu volume
em cm3:
a)750
b)187,5
c)500 3
d)250 3
e)750 3
04. (FMU) Determine o volume de um prisma hexagonal
regular, cuja altura é 10 cm e cujo lado da base mede 2 cm.
05. (UNIFENAS) Se um cubo tem suas arestas aumentadas
em 20% cada uma, então seu volume fica aumentado em:
a)42,6%
b)142,6%
c)72,8%
d)172,8%
e)92%
06. (FEI-2002) Os pontos médios das arestas AB, BC, EF e
FG do cubo ABCDEFGH são M, N, P e Q. quanto vale a
razão entre o volume do prisma BMNFPQ e o volume do
cubo?
a) 1/3
b) 1/6
c) 1/2
d) 1/4
e) 1/8
07. (FUVEST) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo,
com arestas medindo 10cm e 6cm, são levados juntos á
fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um
paralelepípedo reto de arestas 8cm, 8cm e x cm. O valor de
xé:
a)16
b)17
c)18
d)19
e)20
08. (PUC) Uma caixa sem tampa é feita com placas de
madeira de 0,5 cm de espessura. Depois de pronta,
observa-se que as medidas da caixa, pela parte externa são
51cm x 26cm x 12,5cm, conforme mostra a figura abaixo. O
volume interno dessa caixa, em metros cúbicos, é:
a) 0,015
b) 0,0156
c) 0,15
d) 0,156
e) 1,5
09. (FUVEST-SP) Um tanque em forma de paralelepípedo
tem por
base um retângulo horizontal de lados 0,8 m e 1,2 m . Um
indivíduo, ao mergulhar completamente no tanque, faz o
nível da água subir 0,075 m. Então, o volume do indivíduo,
em m3, é:
a) 0,066
b) 0,072
c) 0,096
d) 0,600
e) 1,000
10. (VUNESP-SP) Se um tijolo, dos usados em construção,
tem 4 kg, então um tijolinho de brinquedo, feito do
mesmo material e cujas dimensões sejam 4 vezes
menores, terá:
a) 62,5 g
b) 250 g
c) 400 g
d) 500 g
e) 1000 g
11. (ITA-SP) Considere uma pirâmide regular cuja altura
mede h. Se
a base é um quadrado, onde o lado mede 2h cm, a razão
entre o volume e a área lateral desta pirâmide é dada por:
a) h/3 cm
b) h/2 cm
c) h/(32) cm
d) 2h/3 cm
e) h/4 cm
12. (ITA-SP) A área lateral de um cilindro de revolução, de
x metros
de altura, é igual a área de sua base. O volume deste
cilindro é:
a) 2x3 m3
b) 4x3 m3
c) 2x3 m3
d) 3x3 m3
e) 6x3 m3
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CURSINHO SINTAXE
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
13. (MACK-SP) Aumentando-se de 1/5 o raio da base de
um cone
circular reto e reduzindo-se em 20% a sua altura, pode-se
afirmar que o seu volume:
a) não foi alterado
b) aumentou 20%
c) ficou multiplicado por 0,958
d) aumentou 15,2 %
e) sofreu uma variação de 3,85%
14. (VUNESP-SP) Um copinho de sorvete, em forma de
cone, tem 10
cm de profundidade, 4 cm de diâmetro no topo e tem aí
colocadas duas conchas semi-esféricas de sorvete, também
de 4 cm de diâmetro. Se o sorvete derreter para dentro do
copinho, podemos afirmar que:
a) não transbordará
b) transbordará
c) os dados são insuficientes
d) os dados são incompatíveis
e) todas as informações anteriores são falsas
15. (VUNESP-SP) Um cone reto tem raio de base R e
altura H.
Secciona-se esse cone por um plano paralelo à base e
distante h do vértice, obtendo-se um cone menor e um
tronco de cone, ambos de mesmo volume. Então:
a) h = (H34)/2
b) h = H/2
c) h = (H32)2
d) 3h = H34
e) h = (H33)/3
19. (VUNESP) Num tonel de forma cilíndrica está
depositada uma quantidade de vinho que ocupa a metade
de sua capacidade. Retirando-se 40 litros do seu conteúdo,
a altura do nível do vinho baixa de 20%. Admitindo-se que a
base do tonel esteja num plano horizontal, então o número
que expressa a capacidade desse tonel, em litros, é:
a) 200
b) 300
c) 400
d) 500
e) 800
20. (FATEC-SP) As arestas laterais de uma pirâmide reta
medem 15 com, e sua base é um quadrado cujos lados
medem 18 cm. A altura dessa pirâmide, em cm, é igual a:
a) 35
b) 37
c) 25
d) 27
e) 7
21. (UNISA) De um cilindro circular reto maciço, é cortada
uma “fatia”, da seguinte maneira: pelos centros de suas
bases passam-se dois planos perpendiculares às bases,
formando entre si um ângulo de 60º, como mostra a figura a
seguir. Se as dimensões do cilindro são 4cm de altura e
3cm de raio da base, determine o volume da “fatia”.
16. (FUVEST-SP) O volume de um paralelepípedo reto
retângulo é
240 cm3 . As áreas de duas de suas faces são 30 cm2 e 48
cm2. A área total do paralelepípedo, em cm2, é:
a) 96
b) 118
c) 236
d) 240
e) 472
17. (FUVEST-SP) Um recipiente cilíndrico cujo raio da base
é 6 cm
contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço é
colocada no interior do recipiente ficando totalmente
submersa. Se a altura da água subiu 1 cm, então o raio da
esfera é:
a) 1 cm
b) 2 cm
c) 3 cm
d) 4 cm
e) 5 cm
18. (FUVEST) Na figura abaixo, X e Y são, respectivamente,
os pontos médios das arestas AB e CD do cubo. A razão
entre o volume do prisma AXFEDYGH e o cubo é:
a) 3/8
b) 1/2
c) 2/3
d) 3/4
e) 5/6
22. (UNIV. BARRA MANSA) Em relação à pirâmide
de base quadrada, com aresta da base medindo 6cm e
aresta lateral 5cm, analise as afirmativas, classificando-as
em verdadeira ou falsa.
I – sua área lateral vale 48cm2
II – sua área total vale 84cm2
III – seu volume vale 10 2 cm3.
23. (FATEC) As arestas laterais de uma pirâmide reta
medem 15cm e sua base é um quadrado cujos lados
medem 18cm. Qual a altura da pirâmide em cm?
24. (FCMMG) Observando a figura, temos uma taça cujo
interior tem a forma de um cone, que contém suco até a
metade da altura do cone interno. Se o volume do cone
interno é igual a V, determine o volume de suco contido na
taça.
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Professor André Lúcio Grande
2º Semestre - 2005
CURSINHO SINTAXE
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
29. (PUC) A figura abaixo mostra um cone inscrito num
cilindro. Ambos têm raio da base x e altura 2x. Retirando-se
o cone do cilindro, o volume do sólido resultante é:
a) 2x3/3
b) 4x3/3
c) 8x3/3
d) 2x2/3
e) 8x2/3
25. (FUVEST) Um copo tem a forma de um cone com altura
8 cm e raio de base 3cm. Queremos enchê-lo com
quantidades iguais de suco e água. Para que isso seja
possível a altura x atingida pelo primeiro líquido colocado
deve ser:
a) 8/3 cm
b) 6 cm
c) 4 cm
d) 43 cm
e) 4. 34 cm
25. (MACK) No sólido da figura, ABCD é um quadrado de
lado 2 e AE = BE = 10. O volume desse sólido é:
a) 5/2
b) 4/3
c) 4
d) 5
e) 3
27. (UNESP) Um tanque subterrâneo, que tem a forma de
um cilindro circular reto na posição vertical, está
completamente cheio com 30m3 de água e 42m3 de
petróleo. Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em
metros, da camada de petróleo é
a) 2.
b) 7.
c) (7)/3.
d) 8.
e) (8)/3.
30. (FUVEST) A figura adiante representa uma pirâmide de
base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC e ABV
são triângulos eqüiláteros de lado l e que E é o ponto médio
do segmento AB. Se a medida do ângulo VÊC é 60°, então
o volume da pirâmide é:
a) (3 l3)/4
b) (3 l3)/8
c) (3 l3)/12
d) (3 l3)/16
e) (3 l3)/18
GABARITO
01. 864 cm3
06. E
07. D
12. B
13. D
19. C
20. B
26. E
02. D
08. B
14. A
21. 6
27. B
03. B
09. B
15. A
22. VVF
28. E
04. 603 cm3
05. C
10. A
11. C
16. C
17. C
18. D
23. 37 24. V/8 25. E
29. B
30.D
28. (FATEC) Sabe-se que um cilindro de revolução de raio
igual a 10cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo,
a uma distância de 6 cm desse eixo, apresenta uma secção
retangular equivalente à base. O volume desse cilindro, em
centímetros cúbicos, é
a) 1250 .
b) 1250 .2
c) 6,25 .2
d) 625 .
e) 625 .2
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