Vetores - Grupo A

CAPÍTULO
1
Vetores
Descrição do capítulo
1.1 Vetores em duas dimensões
1.2 Vetores em três dimensões
1.3 Produto escalar
1.4 Produto vetorial
1.5 Retas e planos em três dimensões
1.6 Espaços vetoriais
1.7 Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt
Exercícios de revisão
Sem dúvida você já se deparou com a notação de vetores em seus estudos
de cálculo, assim como na física e na engenharia. Para a maioria de vocês,
então, este capítulo é uma revisão de tópicos familiares, como os produtos
escalar e vetorial. Entretanto, na Seção 1.6, consideraremos uma abstração
do conceito de vetores.
20
CAPÍTULO 1 Vetores
1.1
B
Introdução Em ciências, na matemática e na engenharia, distinguimos duas
quantidades importantes: escalares e vetores. Um escalar é simplesmente uma quantidade ou um número real que tem magnitude. Por exemplo, comprimento, temperatura e pressão sangüínea são representados por números tais como 80 m, 20oC e
a razão sistólica/diastólica 120/80. Um vetor, por outro lado, é usualmente descrito
como uma quantidade que tem tanto magnitude como direção.
D
→
|CD| = 3
→
CD
→
|AB| = 3
→
AB
A
Figura 1.2
Vetores em duas dimensões
C
Vetores geométricos Geometricamente, um vetor pode ser representado por um
segmento de reta direcionado – isto é, por uma seta – sendo denotado por um símbolo
em negrito ou um símbolo com uma seta sobre ele, por exemplo, v, ou
. Exemplos de quantidades vetoriais mostradas na Figura 1.1 são o peso w, a velocidade v e
a força de atrito Ff.
Os vetores são iguais.
v
w
→
AB
→
–AB
w
1 →
– AB
4
3 →
AB
2
Ff
(a)
Figura 1.3
Vetores paralelos.
B
→
AB
C
→
AC
A
(a)
D
B
→ → →
AD = AB + AC
→
AB
Figura 1.1
(b)
(c)
Exemplos de quantidades vetoriais.
Notação e terminologia Um vetor cujo ponto inicial (ou extremidade) for A e
cujo ponto terminal (ou ponta) for B é escrito como
. A magnitude do vetor é
. Dois vetores com a mesma magnitude e a mesma direção são ditos ser iguais.
Portanto, na Figura 1.2, temos
⫽
. Vetores são livres, o que significa que um
vetor pode ser movido de uma posição para a outra desde que sua magnitude e direção não sejam modificadas. O negativo de um vetor
, escrito⫺ , é um vetor que
tem a mesma magnitude que
, porém tem direção oposta. Se k ⫽ 0 for um escalar,
o múltiplo escalar de um vetor, k , é um vetor |k| vezes maior que
. Se k ⬎ 0,
então k
tem a mesma direção que o vetor
; se k ⬍ 0, então k
tem a direção
oposta à de
. Quando k ⫽ 0, dizemos 0
⫽ 0, que é o vetor zero.* Dois vetores
são paralelos se e somente se eles forem múltiplos escalares não-nulos um do outro.
Veja a Figura 1.3.
Adição e subtração Dois vetores podem ser considerados como tendo um ponto
inicial comum, como A na Figura 1.4(a). Dessa forma, se os vetores não-paralelos
e
forem os lados de um paralelogramo como indica a Figura 1.4(b), dizemos que
o vetor que é a diagonal principal, ou
, é a soma de
e
. Escrevemos
C
A
→
AC
A diferença entre dois vetores
e
é definida como
(b)
Figura 1.4
e .
Vetor
é a soma de
* A questão sobre qual é a direção de 0 é usualmente respondida dizendo que o vetor zero pode assumir qualquer direção. Mais objetivamente, 0 é necessário para que haja a álgebra vetorial.
21
1.1 Vetores em Duas Dimensões
Como pode ser visto na Figura 1.5(a), a diferença
–
pode ser interpretae – . Entretanto,
da como a diagonal principal do paralelogramo com lados
como ilustrado na Figura 1.5(b), podemos também interpretar a mesma diferença
e
. Nessa segunda
vetorial como o terceiro lado de um triângulo com lados
⫽
–
aponta em direção
interpretação, observe que a diferença vetorial
ao ponto terminal do vetor a partir do qual estamos subtraindo o segundo vetor. Se
⫽
, então
B
→
→
AB + ( – AC)
→
–AC
→
AC
A
(a)
B
Para descrever um vetor analiticamente, vamos supor para o restante dessa seção que os vetores que estamos considerando se
estendem em um plano coordenado de duas dimensões ou bidimensional. Represen2
taremos o conjunto de todos os vetores no plano por R . O vetor indicado na Figura
1.6, com ponto inicial a origem O e ponto terminal P(x1,y1), é denominado vetor
posição do ponto P, sendo escrito
C
→
AC
A
(b)
Figura 1.5
e
Componentes
→ → →
CB = AB – AC
→
AB
Vetores em um plano coordenado
Vetor
é a diferença de
.
Em geral, um vetor a em R2 é qualquer par ordenado de números
P(x1, y1)
y
reais,
OP
Os números a1 e a2 são ditos ser as componentes do vetor a.
Conforme veremos no primeiro exemplo, o vetor a não é necessariamente um
vetor posição.
Exemplo 1
x
O
Figura 1.6
Vetor posição.
(x + 4, y + 3)
y
Vetor posição
O deslocamento entre o ponto (x,y) e (x ⫹ 4, y ⫹ 3) na Figura 1.7(a) é escrito ⟨4,3⟩.
Como se vê na Figura 1.7(b), o vetor posição de ⟨4,3⟩ é o vetor que provém da origem
e termina no ponto P(4,3).
❏
a
(x, y)
x
A adição e subtração de vetores, multiplicação de vetores por escalares, e assim
por diante, são definidas em termos de suas componentes.
(a)
y
DEFINIÇÃO 1.1
Adição, multiplicação escalar e
igualdade
P(4, 3)
a
Considere a ⫽ ⟨a1,a2⟩ e b ⫽ ⟨b1,b2⟩ vetores em R2.
(i) Adição: a ⫹ b ⫽ ⟨a1 ⫹ b1, a2 ⫹ b2⟩
(1)
(ii) Multiplicação escalar: ka ⫽ ⟨ka1, ka2⟩
(2)
(iii) Igualdade: a ⫽ b se e somente se a1 ⫽ b1, a2 ⫽ b2
(3)
x
O
(b)
Figura 1.7
iguais.
Subtração
Utilizando (2), definimos o negativo de um vetor b como
Podemos definir a subtração, ou a diferença, de dois vetores como
(4)
Vetores em (a) e (b) são
C
22
CAPÍTULO 1 Vetores
y
P(x1 + x2, y1 + y2)
P2(x2, y2)
→
→
OP1 + OP2
→
OP2
→
OP1
Conforme ilustrado na Figura 1.8(b), o vetor
pode ser desenhado começando do
ponto terminal de
e terminando no ponto terminal de
, ou como o vetor posição
cujas coordenadas do ponto terminal (x2 – x1, y2 – y1). Relembre,
e
são considerados iguais, pois eles têm a mesma magnitude e a mesma direção.
P1(x1, y1)
x
O
Na Figura 1.8(a), mostramos a soma de dois vetores
e
. Na Figura 1.8(b),
o vetor
, com ponto inicial P1 e ponto terminal P2, é a diferença dos vetores
posição
(a)
Exemplo 2
y
Se a ⫽ ⟨1,4⟩ e b ⫽ ⟨⫺6,3⟩, calcule a ⫹ b, a – b e 2a ⫹ 3b.
P2(x2, y2)
Solução
→
P1P2
P(x2 – x1, y2 – y1)
→
OP2
→
OP1
→
OP
Adição e subtração de dois vetores
Utilizamos (1), (2) e (4).
P1(x1, y1)
❏
x
O
Propriedades A definição de componente de um vetor pode ser utilizada para
verificar cada uma das seguintes propriedades dos vetores em R2.
(b)
Figura 1.8 Em (b),
mesmo vetor.
e
são o
Propriedades dos vetores
(i) a ⫹ b ⫽ b ⫹ a
(Lei comutativa)
(ii) a ⫹ (b ⫹ c) ⫽ (a ⫹ b) ⫹ c
(Lei associativa)
(iii) a ⫹ 0 ⫽ a
(Identidade aditiva)
(iv) a ⫹ (⫺a) ⫽ 0
(Inversão aditiva)
(v) k(a ⫹ b) ⫽ ka ⫹ kb, k um escalar
(vi) (k1 ⫹ k2)a ⫽ k1a ⫹ k2a, k1 e k2 escalares
(vii) k1(k2a) ⫽ (k1k2)a,
k1 e k2 escalares
(viii) 1a ⫽ a
(ix) 0a ⫽ 0
(Vetor zero)
O vetor zero 0 nas propriedades (iii), (iv) e (ix) é definido como
Magnitude A magnitude, comprimento ou norma de um vetor a é representada
y
por ||a||. Motivados pelo Teorema de Pitágoras e pela Figura 1.9, definimos a magnitude de um vetor
a
a2
a1
Figura 1.9
como sendo
x
Um triângulo reto.
Evidentemente, ||a|| ⱖ 0 para qualquer vetor a, e ||a|| ⫽ 0 se e somente se a ⫽ 0. Por
exemplo, se a ⫽ ⟨6,⫺2⟩, então
Vetores unitários
Um vetor que tem magnitude 1 é denominado vetor unitário. Podemos obter um vetor unitário u na mesma direção de um vetor não-nulo a multiplicando
a pelo recíproco da sua magnitude. O vetor u ⫽ (1/||a||)a é um vetor unitário, pois
23
1.1 Vetores em Duas Dimensões
Exemplo 3
Vetores unitários
Dado a ⫽ ⟨2,⫺1⟩, forme um vetor unitário na mesma direção de a e um vetor unitário
na direção oposta de a.
Solução A magnitude do vetor a é
unitário na mesma direção de a é o múltiplo escalar
. Logo, um vetor
Um vetor unitário na direção oposta de a é o negativo de u:
❏
Se a e b forem vetores e c1 e c2 forem escalares, então a expressão c1a ⫹ c2b é denominada combinação linear de a e b. Conforme será visto a seguir, qualquer vetor
em R2 pode ser escrito como uma combinação linear de dois vetores especiais.
y
Os vetores i e j Sob o ponto de vista de (1) e (2), qualquer vetor a ⫽ ⟨a1,a2⟩, pode
ser escrito como uma soma:
j
(5)
x
Aos vetores unitários ⟨1,0⟩ e ⟨0,1⟩ são dados usualmente os símbolos i e j. Veja a
Figura 1.10(a). Assim, se
i
(a)
y
então (5) se torna
(6)
Os vetores unitários i e j são ditos formar uma base para o sistema de vetores
de duas dimensões, pois qualquer vetor a pode ser escrito unicamente como uma
combinação linear de i e j. Se a ⫽ a1i ⫹ a2j for um vetor posição, então a Figura
1.10(b) mostra que a é a soma dos vetores a1i e a2j, que têm a origem como um
ponto inicial comum e que se estendem nos eixos x e y, respectivamente. O escalar
a1 é chamado de componente horizontal de a, e o escalar a2 é chamado de componente vertical de a.
Exemplo 4
Operações vetoriais utilizando i e j
(a) ⟨4,7⟩ ⫽ 4i ⫹ 7j
(b) (2i – 5j) ⫹ (8i ⫹ 13j) ⫽ 10i ⫹ 8j
(c) ||i ⫹ j|| ⫽
(d) 10(3i – j) ⫽ 30i – 10j
(e) a ⫽ 6i ⫹ 4j e b ⫽ 9i ⫹ 6j são paralelos, pois b é um múltiplo escalar de a. Vemos
que
.
❏
Exemplo 5
Gráficos de soma vetorial / diferença vetorial
Considere a ⫽ 4i ⫹ 2j e b ⫽⫺2i ⫹ 5j. Faça o gráfico de a ⫹ b e a – b.
a1j
a
a1i
x
(b)
Figura 1.10
para R2.
i e j formam uma base
24
CAPÍTULO 1 Vetores
Os gráficos de a ⫹ b ⫽ 2i ⫹ 7j e a – b ⫽ 6i – 3j estão indicados nas
Figuras 1.11(a) e 1.11(b), respectivamente.
Solução
y
y
a–b
b
a+b
b
a
a
x
x
a–b
(a)
Figura 1.11
EXERCÍCIOS 1.1
(b)
❏
Soma a ⫹ b em (a); diferença a – b em (b).
As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 285.
Nos Problemas 1-8, calcule (a) 3a, (b) a ⫹ b, (c) a – b, (d) || a ⫹
b|| e (e) || a⫺b||.
1.
2.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
22. Determine um escalar c de modo que a ⫽ 3i ⫹ cj e b ⫽⫺i
⫹ 9j sejam paralelos.
3.
4.
Nos Problemas 23 e 24, calcule a ⫹ (b ⫹ c) para os vetores
indicados.
5.
6.
7.
23.
8.
24.
Nos Problemas 9-14, calcule (a) 4a – 2b e (b) –3a –5b.
9.
Nos Problemas 25-28, obtenha um vetor unitário (a) na mesma
direção de a, e (b) na direção oposta de a.
10.
11.
25.
26.
12.
13.
27.
28.
14.
Nos Problemas 15-18, obtenha os vetores
. Faça o gráfico de
e do seu vetor posição correspondente.
15.
16.
17.
18.
19. Obtenha o ponto terminal do vetor
⫽ 4i ⫹ 8j considerando que o seu ponto inicial seja (⫺3,10).
Nos Problemas 29 e 30, a ⫽ ⟨2,8⟩ e b ⫽ ⟨3,4⟩. Obtenha um vetor
unitário na mesma direção dos vetores indicados.
29.
30.
Nos Problemas 31 e 32, determine um vetor b que seja paralelo
ao vetor especificado e tenha a magnitude indicada.
31.
32.
20. Obtenha o ponto terminal do vetor
⫽ ⟨⫺5,⫺1⟩ considerando que o seu ponto inicial seja ⟨4,7⟩.
33. Determine um vetor na direção oposta de a ⫽ ⟨4,10⟩, porém
21. Determine quais dos seguintes vetores são paralelos a a ⫽ 4i
⫹ 6j.
34. Considerando a ⫽ ⟨1,1⟩ e b ⫽ ⟨⫺1,0⟩, determine um vetor
na mesma direção de a ⫹ b, porém 5 vezes maior.
maior.
1.1 Vetores em Duas Dimensões
Nos Problemas 35 e 36, utilize a figura dada para ilustrar o vetor
indicado
36.
35.
a
a
Figura 1.12 Vetores
para o Problema 35.
(a) Use o fato que ||Ff || ⫽ ␮||Fn||, onde μ é o coeficiente de
atrito, para mostrar que tg ␪ ⫽ ␮. O pé não deslizará
para ângulos menores ou iguais a ␪.
(b) Dado que ␮ ⫽ 0,6 para um salto de borracha em contato com uma calçada de asfalto, obtenha o ângulo de
“não-deslizamento”.
b
b
c
Figura 1.13 Vetores
para o Problema 36.
Ff
Nos Problemas 37 e 38, expresse o vetor x em termos dos vetores
a e b.
37.
25
Fg
θ
38.
x
Fn
Figura 1.18
ponto médio de x
a
x
a
b
b
Figura 1.14 Vetor x no
Problema 37.
Figura 1.15
blema 38.
Vetor F no Problema 45.
46. Um semáforo de 600 N sustentado por dois cabos está em
equilíbrio. Conforme ilustrado na Figura 1.19(b), seja o peso
do semáforo representado por w e as forças nos dois cabos
indicadas por F1 e F2. A partir da Figura 1.19(c), temos que
uma condição de equilíbrio é
Vetor x no Pro-
(6)
Nos Problemas 39 e 40, utilize a figura dada para demonstrar o
resultado indicado.
39. a ⫹ b ⫹ c ⫽ 0
F
Veja o Problema 39. Se
40. a ⫹ b ⫹ c ⫹ d ⫽ 0
c
c
use (7) para determinar as magnitudes de F1 e F2. [Sugestão:
Releia (iii) da Definição 1.1.]
d
b
b
a
a
Figura 1.16 Vetores para
o Problema 39.
Figura 1.17 Vetores para
o Problema 40.
15°
Nos Problemas 41 e 42, expresse o vetor a ⫽ 2i ⫹ 3j como uma
combinação linear dos vetores b e c indicados.
20°
(a)
41.
F1
F2
42.
O
Um vetor é dito ser tangente a uma curva em um ponto se
ele for paralelo à reta tangente no ponto. Nos Problemas 43 e
44, atribua um vetor tangente unitário à curva dada no ponto
indicado.
(b)
43.
w
44.
45. Enquanto caminha, o pé de uma pessoa atinge o solo com
uma força F em um ângulo ␪ em relação à vertical. Na
Figura 1.18, o vetor F está dividido em componentes vetoriais Fg, paralela ao solo, e Fn, perpendicular ao solo.
Para que o pé não deslize, a força Fg tem que ser contrabalançada pela força de oposição Ff do atrito, ou seja, Ff
⫽⫺Fg.
F2
F1
w
(c)
Figura 1.19
Três vetores forças no Problema 46.
26
CAPÍTULO 1 Vetores
47. Uma carga elétrica Q está uniformemente distribuída ao
longo do eixo y entre y ⫽⫺a e y ⫽ a.Veja a Figura 1.20. A
força total exercida sobre a carga q no eixo x pela carga Q é
F ⫽ Fx i ⫹ Fy j, onde
e
49. Utilizando vetores, mostre que o segmento de reta entre os
pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao
terceiro lado e tem a metade do comprimento.
50. Um avião começa o vôo a partir de um aeroporto localizado
o
na origem O e voa 150 km na direção 20 do norte a leste
para a cidade A. A partir de A, o avião então voa 200 km na
o
direção 23 oeste a norte para a cidade B. A partir de B, o
o
avião voa 240 km na direção 10 sul a oeste para a cidade C.
Expresse a localização da cidade C como um vetor r conforme indicado na Figura 1.21. Determine a distância de O
para C.
Determine F.
N
y
a
y
Q
B
S
10°
L
q
L
O
C
x
23°
–a
r
A
Figura 1.20
Carga no eixo x no Problema 47.
20°
O
48. Utilizando vetores, mostre que as diagonais de um paralelogramo dividem umas às outras ao meio. [Sugestão: Seja M o
ponto médio de uma diagonal e N o ponto médio da outra.]
1.2
y
y=b
O
P(a, b)
x
x=a
Figura 1.22 Coordenadas retangulares
em duas dimensões.
Figura 1.21
x
Avião no Problema 50.
Vetores em três dimensões
Introdução No plano, ou espaço de duas dimensões, uma forma de se descrever
a posição de um ponto P é designar a ele coordenadas relativas a dois eixos mutuamente ortogonais ou perpendiculares, eixos denominados x e y. Se P for o ponto
de interseção da reta x ⫽ a (perpendicular ao eixo x) e da reta y ⫽ b (perpendicular
ao eixo y), então o par ordenado (a, b) é dito ser as coordenadas retangulares ou
cartesianas do ponto. Veja a Figura 1.22. Nessa seção, estenderemos as noções de
coordenadas cartesianas e vetores para três dimensões.
Sistema de coordenadas retangulares em três dimensões
Em três dimensões ou
3D, um sistema de coordenadas retangulares é construído utilizando-se três eixos mutuamente ortogonais. O ponto no qual esses eixos se cruzam é chamado de origem O.
Esses eixos, apresentados na Figura 1.23(a), são rotulados de acordo com a chamada
z
z
plano
z=c
P(a, b, c)
plano
x=a
y
O
x
x
(a)
Figura 1.23
mão direita
Coordenadas retangulares em três dimensões.
y
c
a
plano
y=b
b
(b)
27
1.2 Vetores em Três Dimensões
regra da mão direita: se os dedos da mão direita, apontando na direção do eixo |x|
positivo, forem curvados em direção ao eixo y positivo, então o dedo polegar apontará
na direção de um novo eixo perpendicular ao plano dos eixos x e y. Esse novo eixo
é rotulado como eixo z. As linhas tracejadas na Figura 1.23(a) representam os eixos
negativos. Agora, se
forem planos perpendiculares aos eixos a, y e z, respectivamente, então o ponto P no
qual esses planos se cruzam podem ser representados por um triplo ordenado de
números (a, b, c) que são as coordenadas retangulares ou cartesianas do ponto. Os
números a, b e c são, respectivamente, as coordenadas x, y e z de P(a, b, c). Veja a
Figura 1.23(b).
Octantes Cada par de eixos coordenados determina um plano coordenado.
Conforme indicado na Figura 1.24, os eixos x e y determinam o plano xy, os eixos z e
z determinam o plano xz, e assim por diante. Os planos coordenados dividem as três
dimensões em oito partes conhecidas como octantes. O octante no qual todas as três
coordenadas de um ponto são positivas é denominado primeiro octante. Não existe
nenhuma convenção para nomear os outros sete octantes.
A tabela a seguir resume as coordenadas de um ponto em um eixo coordenado ou
em um plano coordenado. Como pode ser visto na tabela, podemos também descrever, por exemplo, o plano xy pela equação simples z ⫽ 0. De modo similar, o plano xz
é y ⫽ 0 e o plano yz é x ⫽ 0.
Eixos
Coordenadas
Plano
Coordenadas
x
y
z
(a, 0, 0)
(0, b, 0)
(0, 0, c)
xy
xz
yz
(a, b, 0)
(a, 0, c)
(0, b, c)
z
plano xz plano yz
plano xy
y
x
Figura 1.24
Octantes.
z
(4, 5, 6)
(–2, –2, 0)
y
Exemplo 1
Gráficos de três pontos
Trace o gráfico dos pontos (4, 5, 6), (3,⫺3,⫺1) e (⫺2,⫺2, 0).
x
(3, –3, –1)
Solução Dos três pontos apresentados na Figura 1.25, somente (4, 5, 6) está no
primeiro octante. O ponto (⫺2,⫺2, 0) está no plano xy.
❏
Figura 1.25
Pontos no Exemplo 1.
z
Fórmula da distância
Para obter a distância entre dois pontos P1(x1, y1, z1) e P2(x2,
y2, z2) em três dimensões, consideraremos primeiro suas projeções no plano xy. Conforme visto na Figura 1.26, a distância entre (x1, y1, 0) e (x2, y2, 0) decorre da fórmula da distância usual no plano, sendo
. Se as coordenadas de P3 forem
(x2, y2, z1), então o Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo reto P1P2P3 resulta em
ou
Exemplo 2
(1)
Distância entre dois pontos
Determine a distância entre (2,⫺3, 6) e (⫺1,⫺7, 4).
Solução
Escolhendo P2 como sendo (2,⫺3, 6) e P1 como (⫺1,⫺7, 4), a fórmula
(1) nos dá
❏
Fórmula do ponto médio
A fórmula para obtenção do ponto médio de um segmento de reta entre dois pontos em duas dimensões se aplica de modo análogo às
d
P1
P2
|z2 – z1|
y
P3
x
√ (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
Figura 1.26 Distância d entre dois
pontos em três dimensões.
28
CAPÍTULO 1 Vetores
três dimensões. Se P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) forem dois pontos distintos, então as
coordenadas do ponto médio do segmento de reta entre eles são
(2)
Exemplo 3
Coordenadas de um ponto médio
Determine as coordenadas do ponto médio de um segmento de reta entre os dois
pontos no Exemplo 2.
Solução
A partir de (2), obtemos
❏
Vetores em três dimensões
P(x1, y1, z1)
z
→
OP
y
O
x
Figura 1.27
Um vetor em três dimensões em qualquer triplo
ordenado de números reais
Vetor posição.
onde a1, a2 e a3 são as componentes do vetor. O conjunto de todos os vetores em três
dimensões será representado pelo símbolo R3. O vetor posição de um ponto P(x1, y1,
z1) no espaço é o vetor
⫽ ⟨x1, y1, z1⟩ cujo ponto inicial é a origem O e cujo ponto
terminal é P. Veja a Figura 1.27.
As definições das componentes de adição, subtração, multiplicação escalar e assim por diante são generalizações naturais daquelas dadas para os vetores em R2.
DEFINIÇÃO 1.2
Definições das componentes em
três dimensões
Sejam a ⫽ ⟨a1, a2, a3⟩ e b ⫽ ⟨b1, b2, b3⟩ vetores em R3.
(i) Adição: a ⫹ b ⫽ ⟨a1 ⫹ b1, a2 ⫹ b2, a3 ⫹ b3⟩
(ii) Multiplicação escalar: ka ⫽ ⟨ka1, ka2, ka3⟩
(iii) Igualdade: a ⫽ b se e somente se a1 ⫽ b1, a2 ⫽ b2, a3 ⫽ b3
(iv) Negativo:⫺b ⫽ (⫺1)b ⫽ ⟨⫺b1,⫺b2,⫺b3⟩
(v) Subtração: a – b ⫽ a ⫹ (⫺b) ⫽ ⟨a1⫺b1, a2⫺b2, a3⫺b3⟩
(vi) Vetor zero: 0 ⫽ ⟨0, 0, 0⟩
(vii) Magnitude:
z
P1(x1, y1, z1)
→
OP1
O
→
P1P2
→
OP
P2(x2, y2, z2)
→
OP2
Se
e
então o vetor
P
y
x
Figura 1.28
vetor.
e
forem os vetores posição dos pontos P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2),
é dado por
são o mesmo
(2)
podem ser traçados como um vetor cujo ponto inicial
Como em duas dimensões,
é P1 e cujo ponto terminal é P2, ou como um vetor posição
com ponto terminal
Veja a Figura 1.28.
Exemplo 4
Vetor entre dois pontos
Determine o vetor
e P2(1, 8, 3).
considerando que os pontos P1 e P2 são dados por P1(4, 6,⫺2)
29
1.2 Vetores em Três Dimensões
Solução Se os vetores posição dos pontos são
3⟩, então a partir de (3) temos
⫽ ⟨4, 6,⫺2⟩ e
⫽ ⟨1, 8,
❏
Exemplo 5
Magnitude de um vetor
A partir do item (vii) da Definição 1.2, temos que
pois
é um vetor unitário,
z
❏
k
y
j
i
Vimos na seção anterior que os vetores unitários i ⫽ ⟨1, 0⟩ e j
⫽ ⟨0, 1⟩ são uma base para o sistema de vetores de duas dimensões em que qualquer
vetor a em duas dimensões pode ser escrito como uma combinação linear de i e j: a ⫽
a1i ⫹ a2j. Uma base para o sistema de vetores de três dimensões é dada pelo conjunto
de vetores unitários
Os vetores i, j, k
x
(a)
z
a3k
Qualquer vetor a ⫽ ⟨a1, a2, a3⟩ em três dimensões pode ser escrito como uma combinação linear de i, j e k:
a
y
a 1i
a2 j
x
(b)
isto é,
Os vetores i, j e k são ilustrados na Figura 1.29(a). Na Figura 1.29(b), vemos que um
vetor posição a ⫽ a1i ⫹ a2j ⫹ a3k é a soma dos vetores a1i, a2j e a3k que se estendem
ao longo dos eixos coordenados e têm a origem como um ponto inicial comum.
Exemplo 6
Vetor expressado em termos de i, j e k
O vetor a ⫽ ⟨7,⫺5, 13⟩ é o mesmo que a ⫽ 7i – 5j ⫹ 13k.
❏
Quando a terceira dimensão é considerada, qualquer vetor no plano xy é descrito equivalentemente como um vetor tridimensional que se estende no plano
coordenado z ⫽ 0. Apesar dos vetores ⟨a1, a2⟩ e ⟨a1, a2, 0⟩ serem tecnicamente
diferentes, ignoraremos a distinção. Por isso, por exemplo, indicaremos ⟨1, 0⟩ e
⟨1, 0, 0⟩ pelo mesmo símbolo i. Porém, para evitar qualquer confusão possível,
daqui em diante sempre consideraremos um vetor como um vetor tridimensional,
e os símbolos i e j representarão somente ⟨1, 0, 0⟩ e ⟨0, 1, 0⟩, respectivamente. De
modo similar, um vetor no plano xy ou no plano xz tem que ter uma componente
zero. No plano yz, um vetor
No plano xz, um vetor
Exemplo 7
Vetor no plano xz
(a) O vetor a ⫽ 5i ⫹ 3k está no plano coordenado xz.
(b)
Figura 1.29
para R3.
i, j e k formam uma base
30
CAPÍTULO 1 Vetores
Exemplo 8
Combinação linear
Se a ⫽ 3i – 4j ⫹ 8k e b ⫽ i – 4k, obtenha 5a – 2b.
Solução
Tratamos b como um vetor tridimensional e escrevemos, para enfatizar,
b ⫽ i ⫹ 0j – 4k. De
obtemos
❏
EXERCÍCIOS 1.2
As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 285.
(a)
Nos Problemas 1-6, faça o gráfico do ponto indicado. Use os
mesmos eixos coordenados.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(b)
(c)
Nos Problemas 15-20, descreva o local dos pontos P(x, y, z) que
satisfazem a(s) equação(ões) dadas.
Nos Problemas 7-10, descreva geometricamente todos os pontos
P(x, y, z) que satisfazem a condição indicada.
15.
7.
8.
18.
9.
10.
19.
11. Determine as coordenadas dos vértices do paralelepípedo
retangular cujos lados são os planos coordenados e os planos x ⫽ 2, y ⫽ 5, z ⫽ 8.
12. Na Figura 1.30, dois vértices de um paralelepípedo retangular com lados paralelos aos planos coordenados estão indicados. Determine as coordenadas dos seis vértices restantes.
z
Nos Problemas 21 e 22, obtenha a distância entre os pontos indicados.
21.
22.
23. Determine a distância do ponto (7,⫺3,⫺4) para (a) o plano
yz e (b) o eixo x.
Nos Problemas 25-28, os três pontos indicados formam triângulos. Determine quais triângulos são isósceles e quais são triângulos retos.
y
25.
26.
x
Figura 1.30
20.
24. Determine a distância do ponto (⫺6, 2,⫺3) para (a) o plano
xz e (b) a origem.
(–1, 6, 7)
(3, 3, 4)
16.
17.
Paralelepípedo retangular no Problema 12.
13. Considere o ponto P(⫺2, 5, 4).
27.
28.
(a) Se retas forem traçadas a partir de P perpendiculares
aos planos coordenados, quais são as coordenadas do
ponto na base de cada reta perpendicular?
Nos Problemas 29 e 30, use a fórmula da distância para demonstrar que os pontos indicados são colineares.
(b) Se uma reta for traçada a partir de P para o plano z
⫽⫺2, quais são as coordenadas do ponto na base da
reta perpendicular?
30.
(c) Obtenha o ponto no plano x ⫽ 3 que está mais próximo
de P.
31.
14. Determine uma equação de um plano paralelo a um plano
coordenado que contenha os pares de pontos indicados.
29.
Nos Problemas 31 e 32, resolva em relação à incógnita.
32.
1.3 Produto Escalar
Nos Problemas 33 e 34, determine as coordenadas do ponto médio do segmento de reta entre os pontos indicados.
47.
34.
48.
33.
35. As coordenadas do ponto médio do segmento de reta entre
P1(x1, y1, z1) e P2(2, 3, 6) são (⫺1,⫺4, 8). Determine as coordenadas de P1.
36. Seja P3 o ponto médio do segmento de reta entre P1(⫺3,
4, 1) e P2(⫺5, 8, 3). Determine as coordenadas do ponto
médio do segmento de reta (a) entre P1 e P3 e (b) entre P3
e P 2.
Nos Problemas 37-40, determine o vetor
.
31
49. Determine um vetor unitário na direção oposta de a ⫽
⟨10,⫺5, 10⟩.
50. Determine um vetor unitário na mesma direção de a ⫽ i – 3j
⫹ 2k.
51. Determine um vetor b que tenha comprimento 4 vezes maior
que a ⫽ i – j ⫹ k na mesma direção de a.
que seja paralelo a a
52. Determine um vetor b no qual
⫽ ⟨⫺6, 3,⫺2⟩ mas que tenha a direção oposta.
53. Utilizando os vetores a e b mostrados na Figura 1.31, esbo.
ce o “vetor médio”
37.
38.
z
39.
a
40.
Nos Problemas 41-48, a ⫽ ⟨1,⫺3, 2⟩, b ⫽ ⟨⫺1, 1, 1⟩ e c ⫽ ⟨2, 6,
9⟩. Determine o vetor ou escalar indicado.
b
y
42.
41.
43.
44.
45.
46.
1.3
x
Figura 1.31
Vetores para o Problema 53.
Produto escalar
Introdução
a
Nesta e na próxima seção, consideraremos dois tipos de produtos
entre vetores que se originaram do estudo de mecânica, eletricidade e magnetismo. O
primeiro desses produtos é conhecido como produto escalar ou produto interno.
θ
b
(a)
Uma definição
O produto escalar entre dois vetores a e b resulta em um escalar
e é comumente representado por a ⭈ b.
DEFINIÇÃO 1.3
a
Produto escalar de dois vetores
θ
b
O produto escalar de dois vetores a e b é o escalar
(b)
(1)
onde ␪ é o ângulo entre os vetores de modo que 0 ≤ ␪ ≤ ␲.
θ
a
A Figura 1.32 ilustra o ângulo ␪ em três casos. Se os vetores a e b não forem
paralelos, então ␪ é o menor dos dois possíveis ângulos entre eles.
Figura 1.32
Exemplo 1
Produto escalar utilizando (1)
A partir de (1), obtemos
(2)
pois ||i|| ⫽ ||j|| ⫽ ||k|| ⫽ 1, e em cada caso cos ␪ ⫽ 1.
❏
b
(c)
Ângulo ␪ em (1).
32
CAPÍTULO 1 Vetores
Forma em componentes do produto escalar
a
c
O produto escalar pode ser escrito
em termos das componentes de dois vetores. Suponha que ␪ seja o ângulo entre os
vetores a ⫽ a1i ⫹ a2j ⫹ a3k e b ⫽ b1i ⫹ b2j ⫹ b3k. Então o vetor
θ
b
Figura 1.33
obter (4).
Vetor c utilizado para
é o terceiro lado do triângulo indicado na Figura 1.33. Pela lei dos co-senos, podemos
escrever
(3)
⫹ (b2 –
Utilizando
a2)2 ⫹ (b3 – a3)2, podemos simplificar o lado direito da segunda equação em (3) para
a1b1 ⫹ a2b2 ⫹ a3b3. Como o lado esquerdo dessa equação é a definição do produto
escalar, obtemos uma forma alternativa do produto escalar:
(4)
Em outras palavras, o produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos das suas
componentes correspondentes.
Exemplo 2
Produto Escalar Utilizando (4)
Se a ⫽ 10i ⫹ 2j – 6k e
⫹ 4j – 3k, então decorre de (4) que
❏
Propriedades
O produto escalar possui as seguintes propriedades.
Propriedades do produto escalar
(i)
se
ou
(ii)
(lei comutativa)
(iii)
(lei distributiva)
(iv)
k um escalar
(v)
(vi)
Cada uma dessas propriedades, com a possível exceção de (iii), deve ser óbvia a
partir de (1). Observe que (vi) diz que a magnitude de um vetor
pode ser escrita em termos do produto escalar:
Podemos utilizar (4) para demonstrar (iii). Se a ⫽ a1i ⫹ a2j ⫹ a3k, b ⫽ b1i ⫹ b2j ⫹
b3k, e c ⫽ c1i ⫹ c2j ⫹ c3k, então a partir de (4) temos
Vetores ortogonais
Se a e b forem vetores não-zero, então a Definição 1.3 im-
plica que
(i) a · b ⬎ 0 se e somente se ␪ for agudo,
(ii) a · b ⬍ 0 se e somente se ␪ for obtuso, e
(iii) a · b ⫽ 0 se e somente se cos ␪ ⫽ 0.
33
1.3 Produto Escalar
Porém, no último caso, o único número em [0, ␲] para o qual cos ␪ ⫽ 0 é ␪ ⫽ ␲/2.
Quando ␪ ⫽ ␲/2, dizemos que os vetores são perpendiculares ou ortogonais. Assim, somos levados ao seguinte resultado:
TEOREMA 1.1
Critério para vetores ortogonais
Dois vetores não-zero a e b são ortogonais se e somente se a · b ⫽ 0.
Como 0 · b ⫽ 0 para todo vetor b, o vetor zero é ortogonal em relação a todo vetor.
Exemplo 3
i, j e k são vetores ortogonais
Decorre imediatamente do Teorema 1.1 e do fato do produto escalar ser comutativo
que
(5) ❏
Exemplo 4
Vetores ortogonais
Se a ⫽ –3i – j ⫹ 4k e b ⫽ 2i ⫹ 14j ⫹ 5k, então
A partir do Teorema 1.1, concluímos que a e b são ortogonais.
Ângulo entre dois vetores Igualando as duas formas do produto escalar, (1) e
(4), podemos determinar o ângulo entre dois vetores a partir de
(6)
Exemplo 5
Ângulos entre dois vetores
Determine o ângulo entre a ⫽ 2i ⫹ 3j ⫹ k e b ⫽⫺i ⫹ 5j ⫹ k.
Solução
De
e assim ␪ ⫽
, vemos de (6) que
⬇ 0,77 radianos ou ␪ ⬇ 44,9o.
❏
z
Para um vetor não-zero a ⫽ a1i ⫹ a2j ⫹ a3k em três dimensões, os ângulos ␣, ␤ e ␥ entre a e os vetores unitários i, j e k, respectivamente,
são denominados ângulos direcionais de a. Veja a Figura 1.34. Agora, de (6),
Co-senos direcionais
a
γ
β
k
j
i α
que se simplifica para
y
x
Figura 1.34
e ␥.
Ângulos direcionais ␣, ␤
34
CAPÍTULO 1 Vetores
Dizemos que cos ␣, cos ␤ e cos ␥ são os co-senos direcionais de a. Os co-senos direcionais de um vetor a não-zero são simplesmente as componentes do vetor unitário
(1/||a||)a:
Como a magnitude de (1/||a||)a é 1, segue-se da última equação que
Exemplo 6
Ângulos/co-senos direcionais
Obtenha os co-senos direcionais e ângulos direcionais do vetor a ⫽ 2i ⫹ 5j ⫹ 4k.
Solução A partir de
senos direcionais são
, temos que os co-
Os ângulos direcionais são
radianos
ou
radiano
ou
radiano
ou
❏
Observe no Exemplo 6 que
Componente de a em b
A lei distributiva e (5) nos permitem expressar as componentes de um vetor a ⫽ a1i ⫹ a2j ⫹ a3k em termos do produto escalar:
(7)
a
Simbolicamente, escrevemos as componentes de a como
b
(8)
θ
Veremos agora que os resultados indicados em (8) nos levam a obter a componente
de a em um vetor arbitrário b. Observe que em pelo menos um dos dois casos ilustrados na Figura 1.35,
||a|| cos θ
(a)
b
a
θ
(9)
Na Figura 1.35(b), compba ⬍ 0, pois ␲/2 ⬍ ␪ ≤ ␲. Agora, escrevendo (9) como
||a|| cos θ
(b)
Figura 1.35
Componente de a em b.
vemos que
(10)
Em outras palavras, para obter a componente de a em um vetor b, fazemos o produto
escalar de a na direção de b.
Exemplo 7
Componente de um vetor em outro vetor
Considere a ⫽ 2i ⫹ 3j – 4k e b ⫽ i ⫹ j ⫹ 2k. Determine compba e compab.
35
1.3 Produto Escalar
Solução
Primeiro formamos um vetor unitário na direção de b:
Assim, a partir de (10) temos
Modificando (10), temos
F
Portanto,
θ
❏
e
Interpretação física do produto escalar Quando uma força constante de magnitude F move um objeto por uma distância d na mesma direção da força, o trabalho
realizado é simplesmente W ⫽ Fd. Entretanto, se uma força constante F aplicada em
um corpo atua em um ângulo ␪ em relação à direção do movimento, então o trabalho
feito por F é definido como sendo o produto da componente de F na direção do deslocamento e a distância ||d|| deslocada pelo corpo:
||F|| cos θ
d
Figura 1.36 Trabalho realizado por
uma força F.
Veja a Figura 1.36. Decorre da Definição 1.3 que se F causar um deslocamento d de
um corpo, então o trabalho realizado será
(11)
z
Exemplo 8
Trabalho realizado por uma força constante
Determine o trabalho realizado por uma força constante F ⫽ 2i ⫹ 4j considerando
que o seu ponto de aplicação em um bloco se move de P1(1,1) para P2(4,6). Considere
que ||F|| seja medida em newtons e ||d|| seja medido em metros.
Solução
a
projka
O deslocamento do bloco é dado por
projja
k
y
j
projia
Decorre de (11) que o trabalho realizado é
❏
Projeção de a sobre b
Conforme ilustrado na Figura 1.37, a projeção de um
vetor a em qualquer uma das direções determinadas por i, j, k é simplesmente o vetor
formado pela multiplicação da componente de a na direção especificada pelo vetor
unitário naquela direção; por exemplo,
i
x
Figura 1.37
e k.
Projeção de a sobre i, j
a
e assim por diante. A Figura 1.38 mostra o caso geral da projeção de a sobre b:
b
(12)
Exemplo 9
Projeção de um vetor em outro vetor
Determine a projeção de a ⫽ 4i ⫹ j sobre o vetor b ⫽ 2i ⫹ 3j. Faça o gráfico.
1
vetor
b
unitário ||b||
projba
Figura 1.38
Projeção de a sobre b.
36
CAPÍTULO 1 Vetores
Solução Primeiro, determinamos a componente de a e b. Como
temos a partir de (10) que
y
, ob-
b
22
33
i +
j
13
13
Assim, de (11),
a
x
Figura 1.39
Exemplo 9.
Projeção de a sobre b no
❏
O gráfico desse vetor está indicado na Figura 1.39.
EXERCÍCIOS 1.3
As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 286.
Nos Problemas 1 e 2, determine a · b considerando que o menor
ângulo entre a e b seja conforme indicado.
1.
20. Determine um escalar c de modo que o ângulo entre a ⫽ i ⫹
cj e b ⫽ i ⫹ j seja 45o.
Nos Problemas 21-24, determine o ângulo ␪ entre os vetores indicados.
2.
Nos Problemas 3-14, a ⫽ ⟨2,⫺3, 4⟩, b ⫽ ⟨⫺1, 2, 5⟩ e c ⫽ ⟨3,
6,⫺1⟩. Obtenha o escalar ou vetor indicado.
21.
22.
3.
4.
23.
5.
6.
24.
7.
8.
9.
10.
Nos Problemas 25-28, determine os co-senos direcionais e os ângulos direcionais do vetor indicado.
11.
12.
25.
26.
27.
28.
13.
14.
15. Determine quais pares dos seguintes vetores são ortogonais:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
29. Determine o ângulo entre a diagonal
do cubo ilustrado
na Figura 1.40 e a aresta AB. Obtenha o ângulo entre a diagonal AD do cubo e a diagonal
.
z
16. Determine um escalar c de modo que os vetores indicados
sejam ortogonais.
D
(a)
(b)
A
17. Determine um vetor v ⫽ ⟨x1, y1, 1⟩ que seja ortogonal tanto
a a ⫽ ⟨3, 1,⫺1⟩ quanto a b ⫽ ⟨⫺3, 2, 2⟩.
18. Um rombo é um paralelogramo com ângulo oblíquo com
todos os quatro lados iguais. Utilize o produto escalar para
mostrar que as diagonais de um rombo são perpendiculares.
19. Verifique que o vetor
é ortogonal em relação ao vetor a.
C
x
Figura 1.40
y
B
Diagonal no Problema 29.
30. Mostre que se dois vetores não-zero a e b são ortogonais,
então seus co-senos direcionais satisfazem
31. Um avião está a 4 km de altura, 5 km ao sul e 7 km a leste
de um aeroporto. Veja a Figura 1.41. Determine os ângulos
direcionais do avião.
1.3 Produto Escalar
para
cima
F
y
aeroporto
5
Figura 1.41
E
4
7
S
37
x
Avião no Problema 31.
32. Determine um vetor unitário cujos ângulos direcionais, relativos aos três eixos coordenados, são iguais.
Nos Problemas 33-36, a ⫽ ⟨1,⫺1, 3⟩ e b ⫽ ⟨2, 6, 3⟩. Determine
o número indicado.
33.
34.
35.
36.
Nos Problemas 37 e 38, obtenha a componente do vetor indicado
na direção a partir da origem até o ponto indicado.
37.
Figura 1.43
Bloco no Problema 48.
49. Na molécula de metano CH4, os átomos de hidrogênio estão
posicionados nos quatro vértices de um tetraedro retangular.
Veja a Figura 1.44. A distância entre o centro de um átomo
de hidrogênio e o centro de um átomo de carbono é 1,10 angstroms (1 angstrom ⫽ 10⫺10 metros), e o ângulo da ligação
hidrogênio-carbono-hidrogênio é ␪ ⫽ 109,5o. Utilizando
apenas métodos vetoriais, determine a distância entre dois
átomos de hidrogênio.
38.
H
Nos Problemas 39-42, obtenha projba.
39.
C
40.
41.
H
42.
θ
H
Nos Problemas 43 e 44, a ⫽ 4i ⫹ 3j e b ⫽⫺i ⫹ j. Determine o
vetor indicado.
43.
H
Figura 1.44
44.
45. Um trenó é puxado verticalmente sobre o gelo por uma
corda conectada à sua parte dianteira. Uma força de 20 N
atuando com um ângulo de 60o em relação à horizontal desloca o trenó 100 m. Calcule o trabalho realizado.
46. Determine o trabalho realizado considerando que o ponto no
qual a força constante F ⫽ 4i ⫹ 3j ⫹ 5k é aplicada em um objeto se desloca de P1(3, 1,⫺2) para P2(2, 4, 6). Considere que
||F|| seja medido em newtons e ||d|| seja medido em metros.
47. Um bloco com peso w é puxado ao longo de uma superfície
horizontal sem atrito por uma força constante F de magnitude 30 N na direção dada por um vetor d. Veja a Figura 1.42.
Considere que ||d|| seja medido em metros.
Molécula no Problema 49.
50. Utilize o produto escalar para demonstrar a desigualdade de
Cauchy-Schwarz: |a · b| ≤ ||a|| ||b||.
51. Utilize o produto escalar para demonstrar a desigualdade do
triângulo: ||a ⫹ b|| ≤ ||a|| ⫹ ||b||. [Sugestão: Considere a propriedade (vi) do produto escalar.]
52. Prove que o vetor n ⫽ ai ⫹ bj é perpendicular à reta cuja
equação é ax ⫹ by ⫹ c ⫽ 0. [Sugestão: Considere P1(x1, y1)
e P2(x2, y2) pontos distintos na reta.]
53. Utilize o resultado do Problema 52 e a Figura 1.45 para mostrar que a distância d a partir de um ponto P1(x1, y1) até uma
.
reta ax ⫹ by ⫹ c ⫽ 0 é
P1(x1, y1)
F
d
w
Figura 1.42
y
d
Bloco no Problema 47.
n
(a) Qual é o trabalho realizado pelo peso w?
(b) Qual é o trabalho realizado pela força F se d ⫽ 4i ⫹ 3j?
48. Uma força constante F de magnitude 3 N é aplicada ao bloco
ilustrado na Figura 1.43. F tem a mesma direção do vetor a
⫽ 3i ⫹ 4j. Determine o trabalho realizado na direção do movimento considerando que o bloco se mova de P1(3,1) para
P2(9,3). Considere que a distância seja medida em metros.
P2(x2, y2)
x
ax + by + c = 0
Figura 1.45
Distância d no Problema 53.
38
CAPÍTULO 1 Vetores
1.4
Produto vetorial
Introdução Ao contrário do produto escalar, que tem como resultado um escalar
ou um número, o próximo produto especial de dois vetores a e b é outro vetor, sendo
chamado de produto vetorial.
O produto vetorial dos vetores a e b é denotado por a ⫻ b.
Uma definição
DEFINIÇÃO 1.4
Produto vetorial de dois vetores
3
O produto vetorial de dois vetores a e b em R é o vetor
(1)
onde ␪ é o ângulo existente entre os vetores de modo que 0 ≤ ␪ ≤ ␲, e n é um vetor
unitário perpendicular ao plano de a e b com a direção indicada pela regra da mão
direita.
Conforme visto na Figura 1.46(a), se os dedos da mão direita apontarem ao longo
do vetor a e então se curvarem em direção ao vetor b, o dedo polegar dará a direção
de n, e conseqüentemente a ⫻ b. Na Figura 1.46(b), a regra da mão direita mostra a
direção b ⫻ a.
mão direita
a×b
n
b
n
θ
a
b
a
mão direita
b×a
(a)
y
F
||F|| sen θ
θ
r
x
Figura 1.47
Vetores no Exemplo 1.
Figura 1.46
Regra da mão direita.
Exemplo 1
Torque como produto vetorial
Em física, a força F que atua na extremidade de um vetor posição r, como ilustrado
na Figura 1.47, é dita produzir um torque ␶ definido por ␶ ⫽ r ⫻ F. Por exemplo, se
o
o
||F|| ⫽ 20 N, ||r|| ⫽ 3,5 m e ␪ ⫽ 30 , então a partir de (1) ||␶|| ⫽ (3,5)(20)sen 30 ⫽ 35
N.m. Se F e r estiverem no plano da página, a regra da mão direita implica em que a
direção de ␶ seja para fora e perpendicular à página (em direção ao leitor).
Conforme pode ser visto na Figura 1.48, quando uma força F é aplicada a uma
chave de parafuso, a magnitude do torque ␶ é uma medida do efeito de rotação sobre
o ponto do eixo P, e o vetor ␶ está direcionado ao longo do eixo do parafuso. Nesse
caso, ␶ aponta para dentro da página.
❏
Propriedades
P
(b)
r
O produto vetorial tem as seguintes propriedades.
Propriedades do produto vetorial
F
(i)
Figura 1.48 Vetores no Exemplo 1.
(ii)
(iii)
(Leis distributivas)
(iv)
(v)
(vi)
k um escalar
1.4 Produto Vetorial
39
(vii)
(viii)
A propriedade (vi) decorre de (1), pois ␪ ⫽ 0. As propriedades (vii) e (viii) estão
relacionadas ao fato de que a ⫻ b é perpendicular ao plano contendo a e b. A propriedade (ii) deve ser intuitivamente clara com base na Figura 1.46.
Vetores paralelos Quando o ângulo entre dois vetores não-zero é ␪ ⫽ 0 ou ␪ ⫽
␲, então sen ␪ ⫽ 0, e assim temos que ter a ⫻ b ⫽ 0. Isso é enunciado formalmente
no próximo teorema.
TEOREMA 1.2
Critério para vetores paralelos
Dois vetores não-zero a e b são paralelos se e somente se a ⫻ b ⫽ 0.
Exemplo 2
Vetores paralelos
(a) A partir da propriedade (vi) temos
(2)
(b) Se a ⫽ 2i ⫹ j – k e b ⫽ –6i – 3j ⫹ 3k ⫽ –3a, então a e b são paralelos. Portanto,
do Teorema 1.2, a ⫻ b ⫽ 0. Observe que esse resultado também decorre da combinação das propriedades (v) e (vi).
❏
A partir de (1), se a ⫽ i, b ⫽ j, então
(3)
z
Porém, como um vetor unitário perpendicular ao plano que contém i e j com a direção
dada pela regra da mão direita é k, segue-se de (3) que n ⫽ k. Em outras palavras, i
⫻ j ⫽ k.
Exemplo 3
k
y
j
i
Um mnemônico
x
Os produtos vetoriais de qualquer par de vetores no conjunto i, j, k podem ser obtidos
pelo mnemônico circular ilustrado na Figura 1.49, isto é,
(4) ❏
Definição alternativa do produto vetorial Como fizemos para o produto escalar,
podemos utilizar a lei distributiva (iii) para obter uma forma alternativa do produto
vetorial:
(5)
A partir dos resultados em (2) e (4), (5) se simplifica para
(6)
Figura 1.49
Mnemônico no Exemplo 3.
40
CAPÍTULO 1 Vetores
Observamos que as componentes do vetor em (6) podem ser escritas como determinantes de ordem 2:
(7)
Por sua vez, (7) pode ser escrita como um determinante de ordem 3:
(8)
A expressão no lado direito de (8) não é realmente um determinante, pois suas entradas não são todas escalares; (8) é simplesmente uma forma de lembrar a complicada
expressão em (6).
Exemplo 4
Produto vetorial
Considere a ⫽ 4i – 2j ⫹ 5k e b ⫽ 3i ⫹ j – k. Determine a ⫻ b.
Solução
A partir de (8), temos
❏
A forma do produto vetorial dada em (7) nos permite demonstrar algumas das
propriedades (i)⫺(viii). Por exemplo, para demonstrar (ii) escrevemos
Deixamos a demonstração da propriedade (iii) como um exercício.
Produtos especiais
O chamado produto escalar triplo de vetores a, b e c é
a · (b ⫻ c). Agora,
Conseqüentemente, temos
(9)
Além disso, a partir das propriedades dos determinantes, temos
1.4 Produto Vetorial
O produto vetorial triplo de três vetores a, b e c é a ⫻ (b ⫻ c). Deixa-se como um
exercício mostrar que
a
||a||
(10)
h = ||a|| sen θ
θ
ou
b
||b||
Áreas e volume
Dois vetores não-zero e não-paralelos a e b podem ser considerados como sendo os lados de um paralelogramo. A área A de um paralelogramo
é A ⫽ (base)(altura). A partir da Figura 1.50(a), vemos que A ⫽ ||b||(||a|| sen ␪) ⫽
||a||||b||sen ␪.
(a)
a
(11)
Da mesma forma, a partir da Figura 1.50(b), vemos que a área de um triângulo com
lados a e b é
(12)
De modo similar, se os vetores a, b e c não se estenderem no mesmo plano, então o
volume do paralelepípedo com arestas a, b e c indicado na Figura 1.51 é
b
(b)
Figura 1.50 Área de um paralelogramo
em (a); área de um triângulo em (b).
b×c
a
|compb ca|
c
(13)
ou
Em decorrência do último resultado, o produto escalar triplo é algumas vezes denotado como produto caixa de a, b e c.
Exemplo 5
41
Área de um triângulo
Calcule a área de um triângulo determinado pelos pontos P1(1, 1, 1), P2(2, 3, 4) e
P3(3, 0,⫺1).
Solução
Os vetores
e
podem ser tomados como dois lados de um triângulo. Como
⫽ i ⫹ 2j ⫹ 3k e
⫽ i – 3j – 5k, temos
A partir de (12), vemos que a área é
❏
Vetores coplanares
Vetores que se estendem no mesmo plano são ditos ser coplanares. Vimos que se os vetores a, b e c não forem coplanares, então necessariamente a · (b ⫻ c) ⫽ 0, pois o volume de um paralelepípedo com arestas a, b e c tem
volume diferente de zero. De modo equivalente, isso significa que se a · (b ⫻ c) ⫽
0, então os vetores a, b e c são coplanares. Como o oposto dessa última afirmativa
também é verdadeiro, temos
se e somente se a, b e c forem coplanares
b
Figura 1.51
pípedo.
Volume de um paralele-
42
CAPÍTULO 1 Vetores
Observações
Ao se trabalhar com vetores, deve-se ter cuidado para não misturar os símbolos ⋅ e ⫻
com os símbolos para multiplicação ordinária, e ser especialmente cuidadoso com o
uso ou falta de uso dos parênteses. Por exemplo, expressões tais como
não são significativas ou bem-definidas.
EXERCÍCIOS 1.4
As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 286.
Nos Problemas 1-10, determine a ⫻ b.
27.
28.
1.
29.
30.
2.
31.
32.
3.
33.
34.
4.
35.
36.
5.
Nos Problemas 37-44, a ⫻ b ⫽ 4i – 3j ⫹ 6k e c ⫽ 2i ⫹ 4j – k.
Determine o escalar ou vetor indicados.
6.
7.
8.
9.
10.
Nos Problemas 11 e 12, determine
.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
11.
Nos Problemas 45 e 46, (a) verifique que o quadrilátero dado é
um paralelogramo e (b) determine a área do paralelogramo.
12.
45.
z
Nos Problemas 13 e 14, determine um vetor que seja perpendicular a ambos a e b.
(0, 0, 4)
(1, –3, 4)
13.
14.
y
Nos Problemas 15 e 16, verifique que a · (a ⫻ b) ⫽ 0 e b · (a ⫻
b) ⫽ 0.
(2, 0, 0)
15.
Figura 1.52
16.
Paralelogramo no Problema 45.
46.
z
Nos Problemas 17 e 18, (a) calcule b ⫻ c seguido de a ⫻ (b ⫻
c). (b) Verifique os resultados do item (a) por meio de (10) dessa
seção.
17.
(1, 3, 0)
x
(–2, 0, 3)
(–1, 4, 2)
18.
(2, 0, 2)
y
(3, 4, 1)
Nos Problemas 19-36, obtenha o escalar ou vetor indicados sem
utilizar (8), (9) ou (10).
x
Figura 1.53
Paralelogramo no Problema 46.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
Nos Problemas 47-50, calcule a área do triângulo determinado
pelos pontos indicados.
25.
26.
47.
1.5 Retas e Planos em Três Dimensões
48.
43
56. Dois vetores a e b se estendem no plano xz de modo que o
o
e ||b|| ⫽ 8, deterângulo entre eles é 120 . Se
mine todos os valores possíveis de a ⫻ b.
49.
50.
Nos Problemas 51 e 52, calcule o volume do paralelepípedo para
o qual os vetores indicados têm três arestas.
51.
52.
57. Um reticulado tridimensional é uma coleção de combinações
inteiras de três bases de vetores não-coplanares a, b e c. Em
cristalografia, um reticulado pode especificar a localização
de átomos em um cristal. Estudos de difração por raios-X de
cristais utilizam o “reticulado recíproco” que tem bases
53. Determine se os vetores a ⫽ 4i ⫹ 6j, b ⫽ –2i ⫹ 6j – 6k e
são coplanares.
54. Determine se os quatro pontos P1(1, 1,⫺2), P2(4, 0,⫺3),
P3(1,⫺5, 10) e P4(⫺7, 2, 4) se estendem no mesmo plano.
55. Conforme apresentado na Figura 1.54, o vetor a se estende
no plano xy e o vetor b se estende ao longo do eixo z positivo. Suas magnitudes são ||a|| ⫽ 6,4 e ||b|| 5.
(a) Use a Definição 1.4 para determinar ||a ⫻ b||.
(b) Utilize a regra da mão direita para obter a direção de a
⫻ b.
(c) Utilize o item (b) para expressar a ⫻ b em termos dos
vetores unitários i, j, k.
(a) Um determinado reticulado tem bases de vetores a ⫽
. Determine bases de vetores
i, b ⫽ j e
para o reticulado recíproco.
(b) A célula unitária do reticulado recíproco é o paralelepípedo
com arestas A, B e C, enquanto a célula unitária do reticulado original é o paralelepípedo com arestas a, b e c. Mostre que o volume da célula unitária do reticulado recíproco
é o recíproco do volume da célula unitária do reticulado
original. [Sugestão: Comece com B ⫻ C e utilize (10).]
58. Use (7) para demonstrar a propriedade (iii) do produto vetorial.
59. Prove a ⫻ (b ⫻ c) ⫽ (a · c)b – (a · b)c.
z
60. Prove que a ⫻ (b ⫻ c) ⫽ (a ⫻ b) ⫻ c é válido ou não.
61. Prove a · (b ⫻ c) ⫽ (a ⫻ b) · c
b
62. Prove a ⫻ (b ⫻ c) ⫹ b ⫻ (c ⫻ a) ⫹ c ⫻ (a ⫻ b) ⫽ 0.
y
63. Prove a identidade de Lagrange:
60°
a
x
Figura 1.54
1.5
64. a ⫻ b ⫽ a ⫻ c implica b ⫽ c?
65. Mostre que (a ⫹ b) ⫻ (a – b) ⫽ 2b ⫻ a.
Vetores para o Problema 55.
Retas e planos em três dimensões
Introdução
Nessa seção, discutiremos como obter diversas equações de retas e
planos em três dimensões.
Retas: equação vetorial Como no plano, quaisquer dois pontos distintos em três
dimensões determinam somente uma reta entre eles. Para obter uma equação através
de P1(x1, y1, z1) e P1(x2, y2, z2), vamos assumir que P(x, y, z) é qualquer ponto na reta.
Na Figura 1.55, se r ⫽
, r1 ⫽
e r2 ⫽
, vemos que o vetor a ⫽ r2 – r1 é
paralelo ao vetor r – r2. Assim,
(1)
z
P(x, y, z)
P2(x2, y2, z2)
P1(x1, y1, z1)
a
r – r2
r
r2
a
r1
O
x
Figura 1.55 Reta através de pontos
distintos em três dimensões.
Se escrevermos
(2)
então (1) implica uma equação vetorial para a reta
igual a
O vetor a é denominado vetor direção da linha.
Como r – r1 é também paralelo a , uma equação vetorial alternativa para a reta
é r ⫽ r1 ⫹ ta. De fato, r ⫽ r1 ⫹ t(⫺a) e r ⫽ r1 ⫹ t(ka), k um escalar não-zero, são
também equações para .
Forma alternativa
da equação vetorial
y
44
CAPÍTULO 1 Vetores
Exemplo 1
Equação vetorial de uma reta
Determine uma equação vetorial para a reta através de (2,⫺1, 8) e (5, 6,⫺3).
Solução Definimos a ⫽ ⟨2 – 5, –1 –6, 8 – (–3)⟩ ⫽ ⟨– 3, –7, 11⟩. As equações a
seguir são três possíveis equações vetoriais para a linha:
(3)
(4)
(5) ❏
Equações paramétricas
Escrevendo (2) como
e igualando os componentes, obtemos
(6)
As equações em (6) são denominadas equações paramétricas para a linha através de P1
e P2. Como o parâmetro t aumenta de⫺⬁ a ⬁, podemos imaginar o ponto P(x, y, z) traçando a reta inteira. Se o parâmetro t estiver restrito a um intervalo fechado[t0, t1], então
P(x, y, z) traça um segmento de reta iniciando no ponto correspondente a t0 e terminando no ponto correspondente a t1. Por exemplo, na Figura 1.55, se –1 ≤ t ≤ 0, então P(x, y,
z) traça o segmento de reta iniciando em P1(x1, y1, z1) e terminando em P2(x2, y2, z2).
Exemplo 2
Equações paramétricas de uma reta
Obtenha equações paramétricas para a reta no Exemplo 1.
Solução
De (3), segue-se que
(7)
Um conjunto alternativo de equações paramétricas pode ser obtido a partir de (5):
(8) ❏
Note que o valor t ⫽ 0 em (7) resulta em (2,⫺1, 8), enquanto que em (8) t ⫽⫺1
tem que ser utilizado para obter o mesmo ponto.
Exemplo 3
Vetor paralelo a uma reta
Determine um vetor a que seja paralelo à linha
⫽ 4 ⫹ 9t, y ⫽⫺14 ⫹ 5t, z ⫽ 1 – 3t.
cujas equações paramétricas são x
Solução Os coeficientes (ou um múltiplo constante não-zero dos coeficientes)
do parâmetro em cada equação são as componentes de um vetor que é paralelo a reta.
Assim, a ⫽ 9i ⫹ 5j – 3k é paralelo a , sendo portanto um vetor direção da reta. ❏
Equações simétricas
De (6), observe que podemos evidenciar o parâmetro es-
crevendo
desde que os três números a1, a2 e a3 sejam não-zero. As equações resultantes
(9)
são ditas ser equações simétricas para a reta através de P1 e P2.
45
1.5 Retas e Planos em Três Dimensões
Exemplo 4
Equações simétricas de uma reta
Determine equações simétricas para a reta através de (4, 10,⫺6) e (7, 9, 2).
Definimos a1 ⫽ 7 – 4 ⫽ 3, a2 ⫽ 9 – 10 ⫽⫺1 e a3 ⫽ 2 – (⫺6) ⫽ 8. Decorre de (9) que as equações simétricas para a reta são
Solução
❏
Se um dos números a1, a2 e a3 for zero em (6), utilizamos as duas equações restantes para eliminar o parâmetro t. Por exemplo, se a1 ⫽ 0, a2 ⫽ 0, a3 ⫽ 0, então (6)
resulta em
Nesse caso,
são equações simétricas para a reta.
Exemplo 5
Equações simétricas de uma reta
Determine equações simétricas para a reta através de (5, 3, 1) e (2, 1, 1).
Solução Definimos a1 ⫽ 5 – 2 ⫽ 3, a2 ⫽ 3 – 1 ⫽ 2 e a3 ⫽ 1 – 1 ⫽ 0. A partir da
discussão anterior, decorre que as equações simétricas para a reta são
z
a
P1(x1, y1, z1)
Em outras palavras, as equações simétricas descrevem uma reta no plano z ⫽ 1.
❏
Uma reta no espaço é também determinada especificando-se um ponto P1(x1, y1,
z1) e um vetor direção não-zero a. Através do ponto P1, passa somente uma reta
paralela ao vetor indicado. Se P(x, y, z) for um ponto na reta apresentada na Figura
1.56, então, como antes,
Exemplo 6
Reta paralela a um vetor
Escreva equações simétricas, paramétricas e vetoriais para a reta através de (4, 6,⫺3)
e paralela a a ⫽ 5i – 10j ⫹ 2k.
Solução
P(x, y, z)
Com a1 ⫽ 5, a2 ⫽⫺10 e a3 ⫽ 2, temos imediatamente
❏
Planos: equação vetorial A Figura 1.57(a) ilustra o fato de que através de um
dado ponto P1(x1, y1, z1) passa um número infinito de planos. Entretanto, como
indicado na Figura 1.57(b), se um ponto P1 e um vetor n forem especificados,
existe somente um plano contendo P1 com n normal ou perpendicular ao pla, então,
no. Além disso, se P(x, y, z) for qualquer ponto em , e
a
O
y
x
Figura 1.56 Reta determinada por um
ponto P e um vetor a.
46
CAPÍTULO 1 Vetores
como indicado na Figura 1.57(c), r – r1 está no plano. Segue-se que uma equação
vetorial do plano é
(10)
n
n
P1
n
P1(x1, y1, z1)
r – r1
(a)
(b)
Figura 1.57
P(x, y, z)
(c)
Vetor n é perpendicular ao plano.
Equação cartesiana Especificamente, se o vetor normal for n ⫽ ai ⫹ bj ⫹ ck,
então (10) resulta em uma equação cartesiana do plano contendo P1(x1, y1, z1):
(11)
Exemplo 7
Plano perpendicular a um vetor
Determine uma equação do plano que contenha o ponto (4,⫺1, 3) e seja perpendicular ao vetor n ⫽ 2i ⫹ 8j – 5k.
Solução
Decorre imediatamente de (11) que a equação é
❏
A equação (11) pode sempre ser escrita como ax ⫹ by ⫹ cz ⫹ d ⫽ 0 identificando-se d ⫽⫺ax1 –by1 – cz1. De modo oposto, demonstraremos agora que qualquer
equação linear
nem todos zero
(12)
é um plano.
TEOREMA 1.3
Plano com vetor normal
O gráfico de qualquer equação ax ⫹ by ⫹ cz ⫹ d ⫽ 0, a, b, c nem todos zero, é um
plano com o vetor normal n ⫽ ai ⫹ bj ⫹ ck.
Suponha que x0, y0 e z0 sejam números que satisfaçam a equação
dada. Assim, ax0 ⫹ by0 ⫹ cz0 ⫹ d ⫽ 0 implica d ⫽⫺ax0 –by0 – cz0. Substituir esse
último valor de d na equação original resulta, após simplificação, em a(x – x0) ⫹
b(y – y0) ⫹ c(z – z0) ⫽ 0 ou, em termos de vetores,
Demonstração
Essa última equação implica que ai ⫹ bj ⫹ ck é normal ao plano contendo o ponto
(x0, y0, z0) e o vetor (x – x0)i ⫹ (y – y0)j ⫹ (z – z0)k.
❏
Exemplo 8
Um vetor normal a um plano
Um vetor normal ao plano 3x – 4y ⫹ 10z – 8 ⫽ 0 é n ⫽ 3i – 4j ⫹ 10k.
❏
É claro, um múltiplo escalar não-zero de um vetor normal é ainda perpendicular
ao plano.
1.5 Retas e Planos em Três Dimensões
(r2 – r1) × (r3 – r1)
Três pontos não-colineares P1, P2 e P3 também determinam um plano.* Para obter uma equação do plano, necessitamos apenas formar dois vetores entre dois pares
de pontos. Conforme destacado na Figura 1.58, o produto vetorial dos vetores é um
vetor normal ao plano contendo esses vetores. Se P(x, y, z) representar qualquer ponto
, r1 ⫽
, r2 ⫽
, r3 ⫽
, então r – r1 (ou r – r2 ou r – r3)
no plano e r ⫽
está no plano. Portanto,
r3 – r1
(13)
P1
é uma equação vetorial do plano. Não memorize a última fórmula. O procedimento é
o mesmo que em (10) com a exceção de que o vetor n normal ao plano é obtido por
meio do produto vetorial.
Exemplo 9
47
P3
P2
r2 – r1
r – r1
P
Figura 1.58 Vetores r2 – r1 e r3 – r1 estão no plano, e o produto vetorial deles
é normal ao plano.
Três pontos que determinam um plano
Determine uma equação do plano que contém (1, 0,⫺1), (3, 1, 4) e (2,⫺2, 0).
Solução Precisamos de três vetores. Juntando-se os pontos da esquerda resulta
nos vetores da direita. A ordem na qual subtraímos é irrelevante.
Agora,
é um vetor normal ao plano contendo os pontos dados. Conseqüentemente, uma equação vetorial do plano é (u ⫻ v) · w ⫽ 0. A última equação resulta em
❏
Gráficos
O gráfico de (12) com um ou mesmo duas variáveis ausentes é ainda
um plano. Por exemplo, vimos na Seção 1.2 que os gráficos de
onde x0, y0, z0 são constantes, são planos perpendiculares em relação aos eixos x, y e z,
respectivamente. Em geral, pra traçar o gráfico de um plano, devemos tentar determinar
(i) as interseções x, y e z e, se necessário,
(ii) o traço do plano em cada plano coordenado.
Um traço de um plano em um plano coordenado é a reta de interseção do plano com
um plano coordenado.
z
Exemplo 10
Gráfico de um plano
Trace o gráfico da equação 2x ⫹ 3y ⫹ 6z ⫽ 18.
2x + 3y + 6z = 18
y
Solução
As interseções x, y e z são 9, 6 e 3, respectivamente. Como apresentado na Figura
1.59, utilizamos os pontos (9, 0, 0), (0, 6, 0) e (0, 0, 3) para traçar o gráfico do plano
no primeiro octante.
❏
* Se você já se sentou em uma mesa de quatro pernas que balança, você poderia considerar substituíla por uma mesa de três pernas.
x
Figura 1.59
Plano no Exemplo 10.
48
CAPÍTULO 1 Vetores
z
Exemplo 11
Gráfico de um plano
Trace o gráfico da equação 6x ⫹ 4y ⫽ 12.
Solução
6x + 4y = 12
y
x
Figura 1.60
Plano no Exemplo 11.
Em duas dimensões, o gráfico da equação é uma reta com a interseção
de x em 2 e a interseção de y em 3. Entretanto, em três dimensões, essa reta é o traço
de um plano no plano coordenado xy. Como z não é especificado, ele pode ser qualquer número real. Em outras palavras, (x, y, z) é um ponto no plano desde que x e y
estejam relacionados pela equação indicada. Conforme mostrado na Figura 1.60, o
gráfico é um plano paralelo ao eixo z.
❏
z
Exemplo 12
x+y–z=0
y
x
Figura 1.61
Gráfico de um plano
Trace o gráfico da equação x ⫹ y – z ⫽ 0.
Plano no Exemplo 12.
1
2
Solução Observe primeiro que o plano passa pela origem (0, 0, 0). Agora, o traço
do plano no plano xz (y ⫽ 0) é z ⫽ x, enquanto seu traço no plano yz (x ⫽ 0) é z ⫽ y.
Traçar essas duas retas resulta no gráfico indicado na Figura 1.61.
❏
Dois planos e
que não são paralelos tem que se interceptar em uma rela .
Veja a Figura 1.62. O Exemplo 13 ilustrará uma forma de se obter equações paramétricas para a reta de interseção. No Exemplo 14, veremos como determinar um ponto
de interseção (x0, y0, z0) de um plano e uma reta . Veja a Figura 1.63.
Exemplo 13
Reta de interseção de dois planos
Determine equações paramétricas para a reta de interseção de
Figura 1.62
uma reta.
Planos se interceptam em
(x0, y0, z0)
Figura 1.63 Ponto de interseção de um
plano e uma reta.
Solução Em um sistema de duas equações e três incógnitas, escolhemos uma
variável arbitrariamente, por exemplo, z ⫽ t, e resolvemos em relação a x e a y a
partir de
Prosseguindo, obtemos x ⫽ 14 ⫹ 7t, y ⫽ 9 ⫹ 6t, z ⫽ t. Essas são equações paramétricas para a reta de interseção dos planos dados.
❏
Exemplo 14
Ponto de interseção de uma reta e um plano
Determine o ponto de interseção do plano 3x – 2y ⫹ z ⫽⫺5 e a reta x ⫽ 1 ⫹ t, y ⫽⫺2
⫹ 2t, z ⫽ 4t.
Solução
Se (x0, y0, z0) representa o ponto de interseção, então temos que ter 3x0
– 2y0 ⫹ z0 ⫽⫺5 e x0 ⫽ 1 ⫹ t0, y0 ⫽⫺2 ⫹ 2t0, z0 ⫽ 4t0, para algum número t0. Substituindo as últimas equações na equação do plano, temos
A partir das equações paramétricas para a reta, obtemos então x0 ⫽⫺3, y0 ⫽⫺10 e z0
⫽⫺16. O ponto de interseção é (⫺3,⫺10,⫺16).
❏
1.5 Retas e Planos em Três Dimensões
EXERCÍCIOS 1.5
As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 286.
Nos Problemas 1-6, determine uma equação vetorial para a reta
através dos pontos indicados.
1.
49
2.
3.
4.
5.
6.
Nos Problemas 7-12, determine equações paramétricas para a
reta através dos pontos indicados.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Nos Problemas 29 e 30, determine os pontos de interseção da
reta indicada e os três planos coordenados.
29.
30.
Nos Problemas 31-34, determine se as retas dadas se interceptam. Em caso positivo, calcule o ponto de interseção.
31.
32.
Nos Problemas 13-18, determine equações simétricas para a reta
através dos pontos indicados.
33.
13.
14.
34.
15.
16.
17.
18.
Nos Problemas 19-22, determine equações paramétricas e simétricas para a reta através do ponto indicado paralelo ao vetor dado.
19.
O ângulo entre duas retas
e
é o ângulo entre seus vetores
direção a e b. Nos Problemas 35 e 36, determine o ângulo entre
as retas indicadas.
35.
20.
21.
36.
22.
Nos Problemas 37 e 38, as retas dadas se estendem no mesmo
plano. Determine equações paramétricas para a reta através do
ponto indicado que seja perpendicular a esse plano.
23. Determine equações paramétricas para a reta através de (6,
4,⫺2) que seja paralela à reta x/2 ⫽ (1 – y)/3 ⫽ (z – 5)/6.
24. Determine equações simétricas para a reta através de
(4,⫺11,⫺7) que seja paralela à reta x ⫽ 2 ⫹ 5t, y ⫽⫺1 ⫹ ,
z ⫽ 9 – 2t.
25. Determine equações paramétricas para a reta através de
(2,⫺2, 15) que seja paralela ao plano xz e ao plano xy.
26. Determine equações paramétricas para a reta através de (1,
2, 8) que seja (a) paralela ao eixo y e (b) perpendicular ao
plano xy.
27. Mostre que as retas dadas por r ⫽ t⟨1, 1, 1⟩ e r ⫽ ⟨6, 6, 6⟩ ⫹
t⟨⫺3,⫺3,⫺3⟩ são as mesmas.
28. Considere
e
retas com vetores direção a e b, respectivamente.
e
serão ortogonais se a e b forem ortogonais, e paralelas se a e b forem paralelas. Determine quais
das seguintes retas são ortogonais e quais são paralelas.
(a)
37.
38.
Nos Problemas 39-44, determine uma equação do plano que contenha o ponto indicado e seja perpendicular ao vetor dado.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Nos Problemas 45-50, determine, se possível, uma equação de
um plano que contenha os pontos indicados.
45.
46.
47.
50
CAPÍTULO 1 Vetores
48.
64. Determine quais dos seguintes planos são paralelos à reta
(1 – x)/2 ⫽ (y ⫹ 2)/4 ⫽ z – 5.
49.
50.
Nos Problemas 51-60, determine uma equação do plano que satisfaça as seguintes condições.
(a)
(b)
(c)
(d)
51. Contenha (2, 3,⫺5) e seja paralelo a x ⫹ y – 4z ⫽ 1
Nos Problemas 65-68, obtenha equações paramétricas para a reta
de interseção dos planos indicados.
52. Contenha a origem e seja paralelo a 5x – y ⫹ z ⫽ 6
65.
66.
67.
68.
53. Contenha (3, 6, 12) e seja paralelo ao plano xy
54. Contenha (⫺7,⫺5, 18) e seja perpendicular ao eixo y
55. Contenha as retas x ⫽ 1 ⫹ 3t, y ⫽ 1 – t, z ⫽ 2 ⫹ t; x ⫽ 4 ⫹
4s, y ⫽ 2s, z ⫽ 3 ⫹ s
56. Contenha as retas
Nos Problemas 69-72, obtenha o ponto de interseção do plano e
da reta indicados.
69.
57. Contenha as retas paralelas: x ⫽ 1 ⫹ t, y ⫽ 1 ⫹ 2t, z ⫽ 3 ⫹
t; x ⫽ 3 ⫹ s, y ⫽ 2s, z ⫽⫺2 ⫹ s
58. Contenha o ponto (4, 0,⫺6) e a reta x ⫽ 3t, y ⫽ 2t, z ⫽⫺2t
59. Contenha (2, 4, 8) e seja perpendicular à reta x ⫽ 10 – 3t, y
⫽ 5 ⫹ t, z ⫽ 6
60. Contenha (1, 1, 1) e seja perpendicular à reta através de (2,
6,⫺3) e (1, 0,⫺2)
61. Considere
e
planos com vetores normais n1 e n2, respectivamente. e
serão ortogonais se n1 e n2 forem ortogonais, e paralelos se n1 e n2 forem paralelos. Determine quais
dos seguintes planos são ortogonais e quais são paralelos.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
70.
71.
72.
Nos Problemas 73 e 74, obtenha equações paramétricas para
a reta através do ponto indicado que seja paralelo aos planos
dados.
73.
74.
Nos Problemas 75 e 76, obtenha uma equação do plano que contém a reta dada e seja ortogonal ao plano indicado.
75.
62. Determine equações paramétricas para a reta que contém
(⫺4, 1, 7) e seja perpendicular ao plano –7x ⫹ 2y ⫹ 3z ⫽ 1.
76.
63. Determine quais dos seguintes planos são perpendiculares à
reta x ⫽ 4 – 6t, y ⫽ 1 ⫹ 9t, z ⫽ 2 ⫹ 3t.
Nos Problemas 77-82, trace o gráfico da equação indicada.
77.
78.
(a)
(b)
79.
80.
(c)
(d)
81.
82.
1.6
Espaços vetoriais
Introdução
Nas seções anteriores, trabalhamos com pontos e vetores em espaços de
duas e três dimensões. Matemáticos no século dezenove, de forma especial os matemáticos ingleses Arthur Cayley (1821 – 1895) e James Joseph Sylvester (1814 – 1897) e o
matemático irlandês William Rowan Hamilton (1805 – 1865), perceberam que os conceitos de ponto e vetor poderiam ser generalizados. Mostrou-se que os vetores poderiam
ser descritos ou definidos por propriedades analíticas ao invés de propriedades geométricas. Tal fato se constituiu em um avanço verdadeiramente significativo na história da
matemática. Não há necessidade de pararmos em três dimensões; quádruplos ⟨a1, a2, a3,
a4⟩, quíntuplos ⟨a1, a2, a3, a4, a5⟩ e enuplas ⟨a1, a2,..., an⟩ ordenados de números reais podem ser pensados tanto como vetores quanto pares ordenados ⟨a1, a2⟩ e triplos ordenados
⟨a1, a2, a3⟩, a única diferença estando no fato de perdermos nossa habilidade de visualizar
diretamente segmentos de reta ou setas em espaços de 4, 5 ou n dimensões.
Espaço n
Em termos formais, um vetor em um espaço n é qualquer enupla
a ⫽ ⟨a1, a2,..., an⟩ de números reais denominados de componentes de a. O conjunto
1.6 Espaços Vetoriais
de todos vetores em um espaço n é representado por Rn. Os conceitos de adição vetorial, multiplicação escalar, igualdade e assim por diante, listados na Definição 1.2, se
aplicam a Rn de modo natural. Por exemplo, se a ⫽ ⟨a1, a2,..., an⟩ e b ⫽ ⟨b1, b2,..., bn⟩,
então a adição e a multiplicação escalar no espaço n são definidas por
(1)
O vetor zero em R é ⟨0, 0...,0⟩. O conceito de comprimento de um vetor a ⫽ ⟨a1, a2,...,
an⟩ no espaço n é apenas uma extensão daquele conceito em duas e três dimensões:
n
O comprimento de um vetor é também denominado de norma. Um vetor unitário é
um vetor cuja norma é 1. Para um vetor não-zero a, o processo de construção de um
vetor unitário u multiplicando-se a pelo recíproco da sua norma, isto é,
,
é referido como normalização de a. Por exemplo, se a ⫽ ⟨3, 1, 2,⫺1⟩, então ||a|| ⫽
, e um vetor unitário é
O produto interno padrão, também conhecido como produto interno euclidiano ou produto escalar, de dois vetores de ordem n a ⫽ ⟨a1, a2,..., an⟩ e b ⫽ ⟨b1,
b2,..., bn⟩ é o número real definido por
(2)
Dois vetores não-zero a e b em R são ditos ser ortogonais se e somente se a · b ⫽ 0.
Por exemplo, a ⫽ ⟨3, 4, 1,⫺6⟩ e
são ortogonais em R4 pois a · b ⫽ 3 ·
1 ⫹4 ·
⫹ 1 · 1 ⫹ (⫺6) · 1 ⫽ 0.
n
Espaço vetorial
Podemos ir além da notação de um vetor como uma enupla ordenada em Rn. Um vetor pode ser definido como qualquer coisa que queiramos que seja:
uma enupla ordenada, um número, um conjunto de números ou mesmo uma função.
Porém, estamos particularmente interessados em vetores que sejam elementos em um
tipo especial de conjunto chamado espaço vetorial. Dois tipos de objetos, vetores e escalares, e duas operações algébricas análogas àquelas indicadas em (1) são fundamentais à notação do espaço vetorial. Para um conjunto de vetores, queremos ser capazes
de adicionar dois vetores nesse conjunto e obter outro vetor no mesmo conjunto, e queremos multiplicar um vetor por um escalar e obter um vetor no mesmo conjunto. Para
que um conjunto de objetos esteja em um espaço vetorial, é necessário que o conjunto
possua essas duas operações algébricas junto com determinadas outras propriedades.
Essas propriedades, os axiomas de um espaço vetorial, são apresentadas a seguir.
DEFINIÇÃO 1.5
Espaço vetorial
Considere V como sendo um conjunto de elementos no qual duas operações denominadas adição vetorial e multiplicação escalar estão definidas. Assim, V é dito
ser um espaço vetorial se as dez propriedades a seguir são satisfeitas.
Axiomas para adição vetorial:
(i) Se x e y estão em V, então x ⫹ y está em V.
(ii) Para todo x, y em V, x ⫹ y ⫽ y ⫹ x.
(Lei comutativa)
(iii) Para todo x, y, z em V, x ⫹ (y ⫹ z) ⫽ (x ⫹ y) ⫹ z.
(Lei associativa)
(iv) Existe um único vetor 0 em V tal que
0 ⫹ x ⫽ x ⫹ 0 ⫽ 0.
(vetor zero)
(v) Para cada x em V, existe um vetor –x tal que
x ⫹ (⫺x) ⫽ (⫺x) ⫹ x ⫽ 0.
(Negativo de um vetor)
51
52
CAPÍTULO 1 Vetores
Axiomas para a multiplicação escalar:
(vi) Se k for qualquer escalar e x estiver em V, então kx estará em V
(vii) k(x ⫹ y) ⫽ kx ⫹ ky
(Lei distributiva)
(viii) (k1 ⫹ k2)x ⫽ k1x ⫹ k2x
(Lei distributiva)
(ix) k1(k2x) ⫽ (k1k2)x
(x) 1x ⫽ x
Nesta breve introdução para a simplificação de vetores, tomaremos os escalares
na Definição 1.5 como sendo números reais. Nesse caso, V é referido como um espaço vetorial real, apesar de não insistirmos nesse termo. Quando se permite que os
escalares sejam números complexos, obtemos um espaço vetorial complexo. Como
as propriedades (i)-(viii) na página 22 são os protótipos para os axiomas na Definição
1.5, é claro que R2 é um espaço vetorial. Além disso, como os vetores em R3 e Rn têm
essas mesmas propriedades, concluímos que R3 e Rn são também espaços vetoriais.
Os axiomas (i) e (vi) são chamados de axiomas de fechamento, e dizemos que um
espaço vetorial V está fechado sob adição vetorial e multiplicação escalar. Observe,
também, que conceitos tais como comprimento e produto interno não são parte da
estrutura axiomática de um espaço vetorial.
Exemplo 1 Checagem dos axiomas de fechamento
Determine se os conjuntos (a) V ⫽ {1} e (b) V ⫽ {0} sob adição e multiplicação
ordinárias por números reais são espaços vetoriais.
Solução
(a) Para esse sistema constituído por um elemento, muitos dos axiomas
dados na Definição 1.5 são violados. Em particular, os axiomas (i) e (vi) de fechamento não são satisfeitos. Nem a soma 1 ⫹ 1 ⫽ 2, nem o múltiplo escalar k · 1 ⫽ k,
para k ⫽ 1, estão em V. Portanto, V não é um espaço vetorial.
(b) Nesse caso, os axiomas de fechamento são satisfeitos, pois 0 ⫹ 0 ⫽ 0 e
k · 0 ⫽ 0 para qualquer número real k. Os axiomas comutativo e associativo são
satisfeitos, pois 0 ⫹ 0 ⫽ 0 ⫹ 0 e 0 ⫹ (0 ⫹ 0) ⫽ (0 ⫹ 0) ⫹ 0. Dessa maneira, e fácil
verificar que os axiomas restantes são também satisfeitos. Portanto, V é um espaço
vetorial.
❏
O espaço vetorial V ⫽ {0} é muitas vezes chamado de espaço vetorial trivial
ou zero.
Se essa for a sua primeira experiência com o conceito de um vetor simplificado, então aconselhamos que você não leve os nomes adição vetorial e multiplicação
escalar tão ao pé da letra. Essas operações são definidas e você tem que aceitá-las
apesar de elas não serem semelhantes à compreensão usual de adição e multiplicação
ordinárias em, digamos, R, R2, R3 ou Rn. Por exemplo, a adição de dois vetores x e y
poderia ser x – y. Com esse aviso prévio, considere o próximo exemplo.
Exemplo 2
Um exemplo de um espaço vetorial
Considere o conjunto V de números reais positivos. Se x e y denotarem números reais
positivos, então escrevemos vetores em V como x ⫽ x e y ⫽ y. Agora a adição de
vetores é definida por
e a multiplicação escalar é definida por
Determine se V é um espaço vetorial.
1.6 Espaços Vetoriais
Solução
Avaliaremos todos os dez axiomas.
(i) Para x ⫽ x ⬎ 0 e y ⫽ y ⬎ 0, x ⫹ y ⫽ xy ⬎ 0. Assim, a soma x ⫹ y está em
V; V está fechado sob adição.
(ii) Como a multiplicação de números reais positivos é comutativa, temos para
todo x ⫽ x e y ⫽ y em V, x ⫹ y ⫽ xy ⫽ yx ⫽ y ⫹ x. Assim, a adição é
comutativa.
(iii) Para todo x ⫽ x, y ⫽ y, z ⫽ z em V,
x ⫹ (y ⫹ z) ⫽ x(yz) ⫽ (xy)z ⫽ (x ⫹ y) ⫹ z.
Dessa forma, a adição é associativa.
(iv) Como 1 ⫹ x ⫽ 1x ⫽ x ⫽ x e x ⫹ 1 ⫽ x1 ⫽ x ⫽ x, o vetor zero 0 é 1 ⫽ 1.
(v) Se definirmos
, então
Portanto, o negativo de um vetor é seu recíproco.
k
(vi) Se k for qualquer escalar e x ⫽ x ⬎ 0 for qualquer vetor, então kx ⫽ x ⬎
0. Conseqüentemente, V está fechado sob multiplicação escalar.
(vii) Se k for qualquer escalar, então
(viii) Para escalares k1 e k2,
(ix) Para escalares k1 e k2,
(x) 1x ⫽ x1 ⫽ x ⫽ x.
Como todos os axiomas da Definição 1.5 foram satisfeitos, concluímos que V é um
espaço vetorial.
❏
A seguir são indicados alguns espaços vetoriais importantes – mencionamos alguns deles anteriormente. As operações de adição vetorial e multiplicação escalar são
as operações usuais associadas com o conjunto.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
O conjunto R de números reais
2
O conjunto R de pares ordenados
O conjunto R3 de triplos ordenados
O conjunto Rn de enuplas ordenadas
O conjunto Pn de polinômios de grau menor ou igual a n
O conjunto P de todos os polinômios
O conjunto de funções reais f definidas por todo o eixo real
O conjunto C[a, b] de funções reais f contínuas no intervalo fechado a ≤ x ≤ b
O conjunto C(⫺⬁,⬁) de funções reais f contínuas por todo o eixo real
O conjunto Cn[a, b] de todas as funções reais f para as quais f, f ¿, f –,..., f (n)
existem e são contínuas no intervalo [a, b]
Subespaço Pode ocorrer de um subconjunto de vetores W de um espaço vetorial
V ser por si só um espaço vetorial.
DEFINIÇÃO 1.6
Subespaço
Se um subconjunto W de um espaço vetorial V for por si só um espaço vetorial sujeito às operações de adição vetorial e multiplicação escalar definidas em V, então
W é denominado um subespaço de V.
53
54
CAPÍTULO 1 Vetores
Todo espaço vetorial V tem ao menos dois subespaços: o próprio V e o subespaço
zero{0}; {0}é um subespaço, pois o vetor zero tem que ser um elemento em todo
espaço vetorial.
Para mostrar que um subconjunto W de um espaço vetorial V é um subespaço, não é necessário demonstrar que todos os dez axiomas da Definição 1.5 são satisfeitos. Como todos os vetores em W estão também em V, esses vetores tem que
satisfazer axiomas tais como (ii) e (iii). Em outras palavras, W herda a maioria das
propriedades de um espaço vetorial a partir de V. Como indica o próximo teorema,
precisamos somente checar os dois axiomas de fechamento para demonstrar que um
subconjunto W é um subespaço de V.
TEOREMA 1.4
Critério para um subespaço
Um subconjunto não-vazio W de um espaço vetorial V é um subconjunto de V se e
somente se W for fechado sob adição vetorial e multiplicação escalar definidas em V:
(i) Se x e y estiverem em W, então x ⫹ y estará em W.
(ii) Se x estiver em W e k for qualquer escalar, então kx estará em W.
Exemplo 3
Um subespaço
Suponha f e g funções reais contínuas definidas por todo o eixo real. Então sabemos
do cálculo que f ⫹ g e kf, para qualquer número real k, são funções contínuas e reais.
A partir disso, podemos concluir que C(⫺⬁,⬁) é um subespaço do espaço vetorial de
funções reais definidas por todo o eixo real.
❏
Exemplo 4
Um subespaço
O conjunto Pn de polinômios de grau menor ou igual a n é um subespaço de C(⫺⬁,⬁),
o conjunto de funções reais contínuas por todo o eixo real.
❏
É sempre uma boa idéia ter visualizações concretas de espaços e subespaços
3
vetoriais. Os subespaços do espaço vetorial R de vetores tridimensionais podem ser
facilmente visualizados pensando-se o vetor como um ponto (a1, a2, a3). Obviamente, {0} e R3 por si só são subespaços; outros subespaços são todas as retas passando
pela origem e todos os planos passando pela origem. As retas e planos tem que
passar através da origem, pois o vetor zero 0 ⫽ (0, 0, 0) tem que ser um elemento
em cada subespaço.
DEFINIÇÃO 1.7
Independência linear
Um conjunto de vetores {x1, x2,..., xn} é dito ser linearmente independente se as
únicas constantes que satisfazem a equação
(3)
forem k1 ⫽ k2 ⫽... ⫽ kn ⫽ 0. Se o conjunto de vetores não for linearmente independente, então ele é dito ser linearmente dependente.
Em R3, os vetores i ⫽ ⟨1, 0, 0⟩, j ⫽ ⟨0, 1, 0⟩ e k ⫽ ⟨0, 0, 1⟩ são linearmente independentes, pois a equação k1i ⫹ k2j ⫹ k3k ⫽ 0 é igual a
Pela igualdade de vetores, (ii) da Definição 1.2, concluímos que k1 ⫽ 0, k2 ⫽ 0 e k3
⫽ 0. Na Definição 1.7, dependência linear significa que existem constantes k1, k2,...,
kn nem todas zero, de modo que k1x1 ⫹ k2x2 ⫹... ⫹ knxn ⫽ 0. Por exemplo, em R3 os
1.6 Espaços Vetoriais
vetores a ⫽ ⟨1,1,1⟩, b ⫽ ⟨2,⫺1,4⟩ e c ⫽ ⟨5,2,7⟩ são linearmente dependentes, pois (3)
é satisfeito quando k1 ⫽ k2 ⫽ 1 e k3 ⫽⫺1:
Observamos que dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles for um
múltiplo constante do outro.
Qualquer vetor em R3 pode ser escrito como uma combinação linear dos
vetores linearmente independentes i, j e k. Na Seção 1.2, dizemos que esses vetores
formam uma base para o sistema de vetores tridimensionais.
Base
DEFINIÇÃO 1.8
Base para um espaço vetorial
Considere um conjunto de vetores B ⫽ {x1, x2,..., xn} em um espaço vetorial V. Se
o conjunto B for linearmente independente e se todo vetor em V puder ser escrito
como uma combinação linear desses vetores, então B é dito ser uma base para V.
Bases padrão Apesar de não sermos capazes de demonstrar isso nesse curso,
todo espaço vetorial possui uma base. O espaço vetorial Pn de todos os polinômios
2
n
de grau menor ou igual a n tem a base {1, x, x ,..., x }, pois qualquer vetor (polinôn
mio) p(x) de grau n ou menor pode ser escrito como a combinação linear p(x) ⫽ cnx
2
⫹... ⫹ c2x ⫹ c1x ⫹ c0. Um espaço vetorial pode ter muitas bases. Mencionamos
3
anteriormente que o conjunto de vetores {i, j, k} é uma base para R . Porém, pode-se
demonstrar que {u1, u2, u3}, onde
é um conjunto linearmente independente (veja o Problema 23 nos Exercícios 1.6) e,
além disso, mesmo o vetor a ⫽ ⟨a1, a2, a3⟩ pode ser escrito como uma combinação
3
linear a ⫽ c1u1 ⫹ c2u2 ⫹ c3u3. Portanto, o conjunto de vetores é outra base para R .
De fato, qualquer conjunto de três vetores linearmente independentes é uma base para
3
aquele espaço. Entretanto, o conjunto {i, j, k} é referido como a base padrão para R .
2
n
A base padrão para o espaço Pn é, obviamente, {1, x, x ,..., x }. Para o espaço vetorial
n
R , a base padrão consiste dos n vetores
(4)
Se B for uma base para um espaço vetorial V, então para todo vetor v em V existem
escalares ci, i ⫽ 1, 2,..., n de modo que
(5)
Os escalares ci, i ⫽ 1, 2,..., n na combinação linear (5) são chamados de coordenadas
n
de v relativas à base B. Em R , a notação da enupla ⟨a1, a2,..., an⟩ para um vetor a significa que números reais a1, a2,..., an são as coordenadas de a relativas à base padrão
com ei’s na ordem exata indicada em (4).
Dimensão Se um espaço vetorial V tem uma base B constituída por n vetores,
então pode-se demonstrar que toda base para aquele espaço tem que conter n vetores.
Isso nos leva à próxima definição.
DEFINIÇÃO 1.9
Dimensão de um espaço vetorial
O número de vetores em uma base B para um espaço vetorial V é dito ser a dimensão do espaço.
Exemplo 5
Dimensões de alguns espaços vetoriais
2
(a) Em concordância com a nossa intuição, as dimensões dos espaços vetoriais R, R ,
3
n
R e R são, respectivamente, 1, 2, 3 e n.
Leia diversas vezes
a última sentença.
55
56
CAPÍTULO 1 Vetores
(b) Como existem n ⫹ 1 vetores na base padrão B ⫽ {1, x, x2,..., xn}, as dimensões do
espaço vetorial Pn de polinômios de grau menor ou igual a n é n ⫹ 1.
(c) Ao espaço vetorial zero {0} é dada consideração especial. Esse espaço contém
somente 0, e como {0} é um conjunto linearmente dependente, ele não é uma
base. Nesse caso, é comum tomarmos o conjunto vazio como a base e definirmos
a dimensão de {0} como zero.
❏
Se a base de um espaço vetorial contiver um número finito de vetores, então
dizemos que o espaço vetorial é de dimensão finita, do contrário é de dimensão
n
infinita. A função espaço C (I) de n vezes funções diferenciáveis contínuas em um
intervalo I é um exemplo de um espaço vetorial de dimensão infinita.
Equações diferenciais lineares
Considere a equação diferencial linear homogê-
nea de ordem n
(6)
em um intervalo I no qual os coeficientes sejam contínuos e an(x) ⫽ 0 para todo x
no intervalo. Uma solução y1 de (6) é necessariamente um vetor no espaço vetorial
n
C (I). Além disso, que se y1 e y2 são soluções de (6), então a soma y1 ⫹ y2 e qualquer
múltiplo constante ky1 são também soluções. Como o conjunto solução é fechado
sob adição e multiplicação escalar, decorre do Teorema 1.4 que o conjunto solução
n
de (6) é um subespaço de C (I). Por conseguinte, o conjunto solução de (6) merece
ser chamado de espaço solução da equação diferencial. Sabemos também que se {y1,
y2,..., yn} são soluções linearmente independentes de (6), então sua solução geral da
equação diferencial é a combinação linear
Relembre que qualquer solução da equação pode ser determinada a partir dessa solução geral pela especialização das constantes c1, c2,..., cn. Portanto, o conjunto de
soluções linearmente independente {y1, y2,..., yn} é uma base para o espaço solução. A
dimensão desse espaço solução é n.
Exemplo 6
Dimensão de um espaço solução
A solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem y– ⫹
25y ⫽ 0 é y ⫽ c1cos 5x ⫹ c2sen 5x. Uma base para o espaço solução é constituída
pelos vetores linearmente independentes {cos 5x, sen 5x}. O espaço solução é
bidimensional.
❏
O conjunto de soluções de uma equação diferencial linear não-homogênea não é
um espaço vetorial. Diversos axiomas de um espaço vetorial não são satisfeitos; principalmente, o conjunto de soluções não contém um vetor zero. Em outras palavras, y
⫽ 0 não é uma solução de uma equação diferencial linear não-homogênea.
Span
Considerando que S representa qualquer conjunto de vetores {x1, x2,..., xn}
em um espaço vetorial V, então o conjunto de todas as combinações lineares dos
vetores x1, x2,..., xn em S,
onde os ki, i ⫽ 1, 2,..., n são escalares, é chamado de span dos vetores e escrito
Span(S) ou Span(x1, x2,..., xn). Deixa-se como um exercício demonstrar que o Span(S)
é um subespaço do espaço vetorial V. Veja o Problema 33 nos Exercícios 1.6. Span(S)
é dito ser um subespaço gerado pelos vetores x1, x2,..., xn. Se V ⫽ Span(S), então dizemos que S é um conjunto de span (ou conjunto gerador) para o espaço vetorial V,
ou que S gera (spans) V. Por exemplo, cada um dos três conjuntos
1.6 Espaços Vetoriais
57
são conjuntos geradores para o espaço vetorial R3. Observe, porém, que os primeiros
dois conjuntos são linearmente dependentes, enquanto o terceiro conjunto é dependente. Com esses novos conceitos, podemos reformular as Definições 1.8 e 1.9 da
seguinte maneira:
Um conjunto S de vetores {x1, x2,..., xn} em um espaço vetorial V é uma base
para V se S for linearmente independente e for um conjunto de span para V. O
número de vetores nesse conjunto de span S é a dimensão do espaço V.
Observações
(i) Suponha que V seja um espaço vetorial real arbitrário. Se existir um produto interno
definido em V, não é necessário que ele se assemelhe ao produto interno padrão ou euclidiano definido em Rn. Representaremos um produto interno que não seja o produto interno euclidiano pelo símbolo (u, v). Veja os Problemas 30, 31 e 38(b) nos Exercícios 1.6.
(ii) Um espaço vetorial V no qual um produto interno foi definido é denominado um
espaço produto interno. Um espaço vetorial V pode ter mais do que um produto
interno definido nele. Por exemplo, um produto interno não-euclidiano definido em
R2 é (u, v) ⫽ u1v1 ⫹ 4u2v2, onde u ⫽ ⟨u1, u2⟩ e v ⫽ ⟨v1, v2⟩. Veja os Problemas 37 e
38(a) nos Exercícios 1.6.
(iii) Grande parte do nosso trabalho nos últimos capítulos desse texto ocorreu em
um espaço vetorial de dimensão infinita. Como tal, precisamos estender a definição
de independência linear de um conjunto finito de vetores S ⫽ {x1, x2,..., xn} dado na
Definição 1.7 para um conjunto infinito:
Um conjunto infinito de vetores S ⫽ {x1, x2,...} é dito ser linearmente independente se todo subconjunto finito do conjunto S for linearmente independente. Se o conjunto S não for linearmente independente, então ele é linearmente dependente.
Notamos que se S contiver um subconjunto linearmente dependente, então todo o
conjunto S é linearmente dependente.
O espaço vetorial P de todos os polinômios tem a base padrão B ⫽ {1, x, x2,...}.
O conjunto infinito B é linearmente independente.
EXERCÍCIOS 1.6
As respostas de problemas ímpares selecionados estão nas páginas 286-287.
Nos Problemas 1-10, determine se o conjunto indicado é um espaço vetorial. Se não for, apresente pelo menos um axioma que
não seja satisfeito. A menos que seja dito o contrário, considere
que a adição vetorial e a multiplicação escalar são as operações
ordinárias definidas no conjunto.
7. O conjunto de números reais, adição definida por x ⫹ y ⫽
x⫺y
8. O conjunto de números complexos a ⫹ bi, onde i2 ⫽⫺1,
adição e multiplicação escalar definidas por
1. O conjunto de vetores ⟨a1, a2⟩, onde a1 ⱖ 0, a2 ⱖ 0
2. O conjunto de vetores ⟨a1, a2⟩, onde a2 ⫽ 3a1 ⫹ 1
3. O conjunto de vetores ⟨a1, a2⟩, multiplicação escalar definida por k⟨a1, a2⟩ ⫽ ⟨ka1, 0⟩
4. O conjunto de vetores ⟨a1, a2⟩, onde a1 ⫹ a2 ⫽ 0
9. O conjunto de números reais
, adição e multipli-
cação escalar definidas por
5. O conjunto de vetores ⟨a1, a2, 0⟩
6. O conjunto de vetores ⟨a1, a2⟩, adição e multiplicação escalar definidas por
10. O conjunto de todos os polinômios de grau 2
58
CAPÍTULO 1 Vetores
Nos Problemas 11-16, determine se o conjunto indicado é ou não
é um subespaço do espaço vetorial C(⫺⬁, ⬁).
11. Todas as funções f de modo que f(1) ⫽ 0
Em C[0, 2␲], calcule (x, sen x).
12. Todas as funções f de modo que f(0) ⫽ 1
15. Todas as funções diferenciáveis f
31. A norma de um vetor é um espaço produto interno definido
em termos do produto interno. Para o produto interno indicado no Problema 30, a norma de um vetor é definida por
. Em C[0, 2␲], calcule ||x|| e ||sen x||.
16. Todas as funções f da forma f(x) ⫽ c1ex ⫹ c2xex
32. Determine uma base para o espaço solução de
13. Todas as funções não-negativas f
14. Todas as funções f de modo que f(⫺x) ⫽ f(x)
Nos Problemas 17-20, determine se o conjunto indicado é ou não
é um subespaço do espaço vetorial indicado.
17. Polinômios da forma p(x) ⫽ c3x ⫹ c1x; P3
3
33. Seja {x1, x2,..., xn}qualquer conjunto de vetores em um espaço vetorial V. Mostre que Span(x1, x2,..., xn) é um subespaço
de V.
18. Polinômios p que são divisíveis por x – 2; P2
19. Todos os vetores unitários; R3
20. Funções f de modo que
⫽0
21. Em três dimensões, uma reta através da origem pode ser escrita como S ⫽ {(x, y, z)|x ⫽ at, y ⫽ bt, z ⫽ ct, a, b, c números reais}. Com adição e multiplicação escalar igual para os
vetores ⟨x, y, z⟩, mostre que S é um subespaço de R3.
22. Em três dimensões, um plano através da origem pode ser escrito como S ⫽ {(x, y, z)|ax ⫹ by ⫹ cz ⫽ 0, a, b, c números
3
reais}. Mostre que S é um subespaço de R .
23. Os vetores u1 ⫽ ⟨1, 0, 0⟩, u2 ⫽ ⟨1, 1, 0⟩ e u3 ⫽ ⟨1, 1, 1⟩ for3
mam uma base para o espaço vetorial R .
(a) Mostre que u1, u2 e u3 são linearmente independentes.
(b) Escreva o vetor a ⫽ ⟨3,⫺4, 8⟩ como uma combinação
linear de u1, u2 e u3.
24. Os vetores p1(x) ⫽ x ⫹ 1, p2(x) ⫽ x – 1 formam uma base
para o espaço vetorial P1.
(a) Mostre que p1(x) e p2(x) são linearmente independentes.
(b) Escreva o vetor p(x) ⫽ 5x ⫹ 2 como uma combinação
linear de p1(x) e p2(x).
Nos Problemas 25-28, determine se os vetores indicados são linearmente independentes ou linearmente dependentes.
Problemas para discussão
2
3
2
3
34. Discuta: R é um subespaço de R ? R e R são subespaços
de R4?
35. No Problema 9, você deve ter demonstrado que o conjunto
M22 de números reais 2 ⫻ 2
ou matrizes, é um espaço vetorial com adição vetorial e
multiplicação escalar definidas naquele problema. Determine uma base para M22. Qual é a dimensão de M22?
36. Considere um conjunto ortogonal finito de vetores não-zero
{v1, v2,..., vk} em Rn. Discuta: esse conjunto é linearmente
independente ou dependente?
37. Se u, v e w são vetores em um espaço vetorial V, então os
axiomas de um produto interno (u, v) são:
(i)
(ii)
(iii)
k um escalar
se
e
se
25.
(iv)
26.
Mostre que (u, v) ⫽ u1v1 ⫹ 4u2v2, onde u ⫽ ⟨u1, u2⟩ e v ⫽
⟨v1, v2⟩, é um produto interno em R2.
27.
é um vetor em C[0,3]
38. (a) Determine um par de vetores não-zero u e v em R2 que
não seja ortogonal em relação ao produto interno padrão ou euclidiano u · v, mas seja ortogonal em relação
ao produto interno (u, v) no Problema 37.
30. Um espaço vetorial V no qual um produto escalar ou interno
foi definido é chamado um espaço produto interno. Um
produto interno para o espaço vetorial C[a,b] é dado por
(b) Determine um par de funções não-zero f e g em C[0,
2␲] que sejam ortogonais em relação ao produto interno (f, g) indicado no Problema 30.
28.
29. Explique por que
mas não um vetor em C[⫺3,0].
1.7 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
1.7
Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt
Introdução Na Seção 1.6, vimos que um espaço vetorial V pode ter diferentes
bases. Relembrando, as características definidoras de qualquer base B ⫽ {x1, x2,...,
xn} de um espaço vetorial V são:
• o conjunto B é linearmente independente, e
• o conjunto B gera (spans) o espaço.
Nesse contexto, a palavra span significa que todo vetor no espaço pode ser escrito
como uma combinação linear dos vetores x1, x2,..., xn. Por exemplo, todo vetor u em
n
R pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores na base padrão B ⫽ {e1,
e2,..., en}onde
Essa base padrão B ⫽ {e1, e2,..., en} é também um exemplo de uma base ortonormal,
isto é, os ei, i ⫽ 1, 2,..., n são mutuamente ortogonais e vetores unitários, ou seja,
Nessa seção, focaremos bases ortonormais para Rn e examinaremos um procen
dimento no qual poderemos transformar ou converter qualquer base B de R em uma
base ortonormal.
Exemplo 1
3
Base ortonormal para R
O conjunto de três vetores
(1)
3
3
é linearmente independente em R . Portanto, B ⫽ {w1, w2, w3} é uma base para R .
3
Utilizando o produto interno padrão ou o produto escalar definidos em R , observamos que
Conseqüentemente, B é uma base ortonormal.
❏
n
Uma base B para R não precisa ser ortogonal, nem os vetores da base precisam
ser vetores unitários. Na verdade, qualquer conjunto linearmente independente de
n
n vetores pode servir como uma base para o espaço vetorial n dimensional R . Por
exemplo, é uma tarefa rápida demonstrar que os vetores
em R3 são linearmente independentes e, portanto, B ⫽ {u1, u2, u3}é base para R3. Note
que B não é uma base ortogonal.
Geralmente, uma base ortonormal para um espaço vetorial V se revela a base
mais conveniente para V. Uma das vantagens que uma base ortonormal tem sobre
n
outras bases para R está na facilidade com a qual podemos obter as coordenadas de
um vetor u relativo àquela base.
59
60
CAPÍTULO 1 Vetores
TEOREMA 1.5
Coordenadas relativas a uma base
ortonormal
Considere B ⫽ { w1, w2,..., wn} sendo uma base ortonormal para R . Se u for qualquer vetor em Rn, então
n
O vetor u está em Rn, e assim é um elemento do conjunto Span(B).
Em outras palavras, existem escalares reais ki, i ⫽ 1, 2,..., n tais que u pode ser escrito
como a combinação linear
Demonstração
Os escalares ki são as coordenadas de u relativas à base B. Essas coordenadas podem ser
obtidas tomando-se o produto escalar de u com cada um dos vetores da base:
(2)
Como B é ortonormal, wi é ortogonal a todos os vetores em B com a exceção do pró2
prio wi. Isto é, wi · wj ⫽ 0, i ⫽ j e wi · wi ⫽ ||wi|| ⫽ 1.Portanto, a partir de (2), obtemos
ki ⫽ (u · wi) para i ⫽ 1, 2,..., n.
Exemplo 2
3
Coordenadas de um vetor em R
Determine as coordenadas do vetor u ⫽ ⟨3,⫺2, 9⟩ relativo à base ortonormal B para
3
R indicada em (1) do Exemplo 1. Escreva u em termos da base B.
Solução A partir do Teorema 1.5, as coordenadas de u relativas à base B em (1)
do Exemplo 1 são simplesmente
Logo, podemos escrever
❏
Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt
O procedimento conhecido como
processo de ortogonalização de Gram-Schmidt é um algoritmo direto para geração de uma base ortogonal B¿ ⫽ {v1, v2,..., vn} a partir de qualquer base dada B ⫽
n
{u1, u2,..., un} para R . Produzimos assim uma base ortonormal B– ⫽ {w1, w2,..., wn}
normalizando os vetores na base ortogonal B¿. A idéia principal no processo de ortogonalização é a projeção vetorial, e portanto sugerimos que você revise esse conceito
na Seção 1.3. Além disso, para obtermos alguma percepção geométrica do processo,
iniciaremos em R2 e R3.
Construindo uma base ortogonal para R
2
O processo de ortogonalização de
Gram-Schmidt para R consiste em uma seqüência de passos; em cada passo construímos um vetor vi que seja ortogonal ao vetor do passo anterior. A transformação de
uma base B ⫽ {u1, u2} para R2 em uma base ortogonal B¿ ⫽ {v1, v2} consiste em dois
passos. Veja a Figura 1.64(a). O primeiro passo é simples: simplesmente escolhemos
um dos vetores em B, por exemplo, u1, e renomeamos esse vetor para v1. A seguir,
n
1.7 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
61
como mostrado na Figura 1.64(b), projetamos o vetor remanescente u2 em B no vetor
. Relembre de
v1 e definimos um segundo vetor como sendo
u2
(12) da Seção 1.3 que
. Conforme visto na Figura 1.64(c), os
vetores
u1
(3)
(a) Vetores u1 e u2 linearmente independentes
são ortogonais. Se você não estiver convencido disso, sugerimos que você verifique a
ortogonalidade de v1 e v2 demonstrando que v1 · v2 ⫽ 0.
Exemplo 3
u2
v1 = u1
Processo de Gram-Schmidt em R2
O conjunto B ⫽ {u1, u2}, onde u1 ⫽ ⟨3,1⟩, u2 ⫽ ⟨1,1⟩, é uma base para R . Transforme
B em uma base ortonormal B– ⫽ {w1, w2}.
projv1u2
2
(b) Projeção de u2 em v1
Escolhemos v1 como u1:v1 ⫽ ⟨3,1⟩.
Logo, a partir da segunda equação em (3), com u2 · v1 ⫽ 4 e v1 · v1 ⫽ 10, obte-
Solução
u2
mos
v2 = u2 – projv u2
1
v1 = u1
projv1u2
O conjunto
zamos normalizando os vetores v1 e v2:
é uma base ortogonal para R2. Finali-
(c) v1 e v2 são ortogonais
Figura 1.64 Os vetores ortogonais v1 e
v2 são definidos em termos de u1 e u2.
y
A base B é apresentada na Figura 1.65(a), e a nova base ortonormal B– ⫽ {w1, w2}
está indicada em colorido na Figura 1.65(b).
❏
No Exemplo 3, estávamos livres para escolher qualquer vetor em B ⫽ {u1, u2}
como o vetor v1. Entretanto, escolhendo v1 ⫽ u2 ⫽ ⟨1, 1⟩ obtemos uma base ortoe
normal diferente, ou seja, B– ⫽ {w1, w2}, onde
. Veja os Problemas 5-8 nos Exercícios 1.7.
u1
1
u2
x
–1
1
2
3
2
3
(a) Base B
y
Considere agora B ⫽ {u1, u2, u3} como
3
uma base para R . Assim, o conjunto B¿ ⫽ {v1, v2, v3}, onde
Construindo uma base ortogonal para R3
w2
1
w1
x
–1
(4)
,
é uma base ortogonal para R3. Novamente, se você não vê isso, calcule então v1 · v2,
v1 · v3 e v2 · v3.
Como os vetores v1 e v2 na lista (4) são ortogonais por construção, o conjunto
{v1, v2} tem que ser linearmente independente (veja o Problema 36 nos Exercícios
1.6). Dessa forma, W2 ⫽ Span(v1, v2) é necessariamente um subespaço bidimensional
1
(b) Base B″
Figura 1.65
3.
As duas bases no Exemplo
62
CAPÍTULO 1 Vetores
3
de R . Agora o vetor
u3
v3
v3
v2
subespaço W2
é um vetor em W2, pois ele é
uma combinação linear de v1 e v2. O vetor x é chamado de projeção ortogonal de u3
. Na Figura 1.66,
no subespaço W2, sendo usualmente representado por
x é o vetor em preto. Observe também que x é a soma de duas projeções. Utilizando
(12) da Seção 1.3, podemos escrever
x
v3 = u1
Figura 1.66 Os vetores v1, v2, v3 (em
colorido) obtidos pelo processo de GramSchmidt.
(5)
A diferença v3 ⫽ u3 – x é ortogonal em relação a x. De fato, v3 é ortogonal em relação
a v1 e v2 e a todo vetor em W2. Esta é precisamente a mesma idéia em (3). Naquele
contexto, v2 ⫽ u2 – x, onde x era a projeção de u2 no subespaço unidimensional W1 ⫽
2
Span(v1) de R . Análogo a (5), temos
(6)
Exemplo 4
Processo de Gram-Schmidt em R3
O conjunto B ⫽ {u1, u2, u3}, onde
é uma base para R3. Transforme B em uma base ortonormal B–.
Escolhemos v1 como u1: v1 ⫽ ⟨1, 1, 1⟩.
Logo, a partir da segunda equação em (4), com u2 · v1 ⫽ 5 e v1 · v1 ⫽ 3, obtemos
Solução
Agora com
(4) resulta em
e
, a terceira equação em
O conjunto
é uma base ortogonal
3
para R . Como no Exemplo 3, finalizamos o trabalho pela normalização de cada vetor em
B¿. Utilizando
e
, temos
3
que uma base ortonormal para R é B– ⫽ {w1, w2, w3}, onde
O conjunto B– é reconhecido como a base ortonormal para R3 examinada no
Exemplo 1.
❏
1.7 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
63
Concluímos essa seção com um teorema que resume o caso mais geral do pron
cesso de Gram-Schmidt para R . O processo de ortogonalização pode ser aplicado em
qualquer conjunto linearmente independente S e, portanto, podemos utilizá-lo para
obter bases ortonormais para subespaços de Rn.
TEOREMA 1.6
Processo de ortogonalização de
Gram-Schmidt
Seja B ⫽ {u1, u2,..., um}, m ≤ n, uma base para um subespaço Wm de Rn. Logo, {v1,
v2,..., vm}, onde
é uma base ortogonal para Wm. Uma base ortonormal para Wm é
Observações
Apesar de termos focado a discussão anterior em Rn, o processo de ortogonalização
descrito em (7) do Teorema 1.6 se aplica a todos os espaços vetoriais V nos quais um
produto interno (u, v) está definido. Nesse caso, substituímos o símbolo Rn em (7)
pelas palavras “um espaço produto interno em V”, e cada símbolo de produto escalar
u · v por (u, v). Veja os Problemas 17 e 18 nos Exercícios 1.7.
EXERCÍCIOS 1.7
As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 287.
Nos Problemas 1 e 2, verifique que a base B para o espaço vetorial indicado é ortonormal. Utilize o Teorema 1.5 para obter as
coordenadas do vetor u relativo à base B. Escreva então u como
uma combinação linear dos vetores da base.
1.
2.
3.
4.
Nos Problemas 5-8, utilize o processo de ortogonalização de
Gram-Schmidt (3) para transformar a base indicada B ⫽ {u1, u2}
para R2 em uma base ortogonal B¿ ⫽ {v1, v2}. Forme então uma
base ortonormal B– ⫽ {w1, w2}.
(a) Primeiro construa B– utilizando v1, u1.
(b) Construa então B– utilizando v1, u2.
Nos Problemas 3 e 4, verifique que a base B para o espaço vetorial indicado é ortogonal. Utilize o Teorema 1.5 como um auxílio
para obter as coordenadas do vetor u relativo à base B. Escreva
então u como uma combinação linear dos vetores da base.
(c) Esboce B e cada base B–.
5.
6.
7.
8.
64
CAPÍTULO 1 Vetores
Nos Problemas 9-12, utilize o processo de ortogonalização de
Gram-Schmidt (4) para transformar a base indicada B ⫽ {u1, u2,
u3} para R3 em uma base ortogonal B¿ ⫽ {v1, v2, v3}. Forme então uma base ortonormal B– ⫽ {w1, w2, w3}.
18.
Para o produto interno (p, q) definido em P2 nos Problemas 17 e
18, a norma ||p(x)|| de um polinômio p é definida por
9.
10.
11.
Utilize essa norma nos Problemas 19 e 20.
12.
Nos Problemas 13 e 14, os vetores indicados geram um subespaço W de R3. Aplique o processo de ortogonalização de GramSchmidt para construir uma base ortonormal para o subespaço.
13.
14.
Nos Problemas 15 e 16, os vetores indicados geram um subespaço W de R4. Aplique o processo de ortogonalização de GramSchmidt para construir uma base ortonormal para o subespaço.
15.
19. Construa uma base ortonormal B– a partir de B¿ obtida no
Problema 17.
20. Construa uma base ortonormal B– a partir de B¿ obtida no
Problema 18.
Nos Problemas 21 e 22, seja p(x) ⫽ 9x2 – 6x ⫹ 5 um vetor em
P2. Aplique o Teorema 1.5 e a base ortonormal indicada B– para
obter as coordenadas p(x) relativas a B–. Escreva então p(x) como
uma combinação linear dos vetores da base.
21. B– no Problema 19
22. B– no Problema 20
16.
Nos Problemas 17 e 18, um produto interno definido no espaço
vetorial P2 de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 é
dado por
Problemas para discussão
23. O conjunto de vetores {u1, u2, u3}, onde
é linearmente dependente em R3 pois u3 ⫽⫺2u1 ⫹ 3u2.
Discuta sobre o que se espera quando o processo de GramSchmidt em (4) é aplicado a esses vetores. Realize então o
processo de ortogonalização.
Utilize o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para
transformar a base indicada para P2 em uma base ortogonal B¿.
17.
CAPÍTULO 1 EXERCÍCIOS DE REVISÃO
As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 287.
Responda os Problemas 1-30 sem consultar o texto. Preencha os
espaços em branco ou responda verdadeiro/falso.
1. Os vetores ⟨⫺4,⫺6, 10⟩ e ⟨⫺10,⫺15, 25⟩ são paralelos.
____
2. Em três dimensões, três pontos distintos quaisquer determinam um plano. ____
3. A reta x ⫽ 1 ⫹ 5t, y ⫽ 1 – 2t, z ⫽ 4 ⫹ t e o plano 2x ⫹ 3y –
4z ⫽ 1 são perpendiculares. ____
4. Vetores não-zero a e b são paralelos se a ⫻ b ⫽ 0. ____
5. Se a · b ⬍ 0, o ângulo entre a e b é obtuso. ____
6. Se a for um vetor unitário, então a · a ⫽ 1. ____
12. Se a · b ⫽ 0, os vetores não-zero a e b são ____
13. (⫺k) ⫻ (5j) ⫽ ____
14. i · (i ⫻ j) ⫽ ____
15. ||⫺12i ⫹ 4j ⫹ 6k || ⫽ ____
16.
____
17. Um vetor que seja normal ao plano –6x ⫹ y –7z ⫹ 10 ⫽ 0 é
____
18. O plano x ⫹ 3y – z ⫽ 5 contém o ponto (1,⫺2, ____).
7. O produto vetorial de dois vetores não é comutativo. ____
19. O ponto de interseção da reta x – 1 ⫽ (y ⫹ 2)/3 ⫽ (z ⫹ 1)/2
e o plano x ⫹ 2y – z ⫽ 13 é ____
8. O ponto terminal do vetor a – b está no ponto terminal de a.
____
20. Um vetor unitário que tenha a direção oposta de a ⫽ 4i ⫹
3j – 5k é ____
9. (a ⫻ b) · c ⫽ a · (b ⫻ c) ____
10. Se a, b, c e d forem vetores coplanares não-zero, então (a ⫻
b) ⫻ (c ⫻ d) ⫽ 0. ____
11. A soma de 3i ⫹ 4j ⫹ 5k e 6i – 2j – 3k é ____
e P1 tiver coordenadas (2, 1, 7), então
21. Se
as coordenadas de P2 são ____
22. O ponto central do segmento de reta entre P1(4, 3, 10) e
P2(6,⫺2,⫺5) tem coordenadas ____
Exercícios de Revisão
23. Se ||a|| ⫽ 7,2, ||b|| ⫽ 10 e o ângulo entre a e b for 135 , então
a · b ⫽ ____
o
24. Se a ⫽ ⟨3, 1, 0⟩, b ⫽ ⟨⫺1, 2, 1⟩ e c ⫽ ⟨0,⫺2, 2⟩, então a · (2b
⫹ 4c) ⫽ ____
25. Os pontos x, y e z que interceptam o plano 2x – 3y ⫹ 4z ⫽
24 são, respectivamente, ____
65
47. A água que sai de uma mangueira de incêndio exerce uma
força horizontal F1 de magnitude 200 N. Veja a Figura 1.67.
Qual é a magnitude da força F3 que um bombeiro tem que
o
exercer para segurar a mangueira com um ângulo de 45 em
relação à horizontal?
26. O ângulo ␪ entre os vetores a ⫽ i ⫹ j e b ⫽ i – k é ____
27. A área de um triângulo com dois lados dados por a ⫽ ⟨1,
3,⫺1⟩ e b ⫽ ⟨2,⫺1, 2⟩ é ____
F2
45°
28. Uma equação do plano que contém (3, 6,⫺2) e com vetor
normal n ⫽ 3i ⫹ k é ____
29. A distância do plano y ⫽⫺5 para o ponto (4,⫺3, 1) é ____
30. Os vetores ⟨1, 3, c⟩ e ⟨⫺2,⫺6, 5⟩ são paralelos para c ⫽
____ e ortogonais para c ⫽ ____
31. Determine um vetor unitário que seja perpendicular tanto a
a ⫽ i ⫹ j como para b ⫽ i – 2j ⫹ k.
32. Obtenha os co-senos direcionais e os ângulos direcionais do
vetor
.
Nos Problemas 33-36, considere a ⫽ ⟨1, 2,⫺2⟩ e b ⫽ ⟨4, 3, 0⟩.
Determine o número ou vetor indicados.
33. compba
34. projab
35. proja(a ⫹ b)
F3
F1 = 200i
Figura 1.67
Mangueira de incêndio no Problema 47.
48. Uma bola uniforme com 50 N de peso está apoiada por dois
planos sem atrito conforme ilustrado na Figura 1.68. Considere a força exercida pelo plano de apoio ᏼ1 sobre a bola
como sendo F1 e a força exercida pelo plano de apoio ᏼ2
sobre a bola como sendo F2. Como a bola é mantida em
equilíbrio, temos que ter w ⫹ F1 ⫹ F2 ⫽ 0, onde w ⫽⫺50j.
Determine as magnitudes das forças F1 e F2. [Sugestão: Assuma que as forças F1 e F2 sejam normais aos planos ᏼ1 e
ᏼ2, respectivamente, e atuem ao longo das retas através do
centro C da bola. Posicione a origem de um sistema de coordenadas de duas dimensões em C.]
36. projb(a⫺b)
37. Seja r o vetor posição de um ponto variável P(x, y, z) no
espaço, e considere a um vetor constante. Determine a superfície descrita por (a) (r – a) · r ⫽ 0 e (b) (r – a) · a ⫽ 0.
C
F1
1
38. Aplique o produto escalar para determinar se os pontos (4,
2,⫺2), (2, 4,⫺3) e (6, 7,⫺5) são vértices de um triângulo reto.
39. Determine equações simétricas para a reta através do ponto
(7, 3,⫺5) que seja paralela a (x – 3)/4 ⫽ (y ⫹ 4)/(⫺2) ⫽ (z
– 9)/6.
40. Determine equações paramétricas para a reta através do
ponto (5,⫺9, 3) que seja perpendicular ao plano 8x ⫹ 3y –
4z ⫽ 13.
F2
2
w
45°
Figura 1.68
30°
Bola apoiada no Problema 48.
49. Determine se o conjunto de vetores ⟨a1, 0, a3⟩ sob adição e
multiplicação escalar definidas por
41. Mostre que as retas x ⫽ 1 – 2t, y ⫽ 3t, z ⫽ 1 ⫹ t e x ⫽ 1 ⫹
2s, y ⫽⫺4 ⫹ s, z ⫽⫺1 ⫹ s se interceptam ortogonalmente.
42. Obtenha uma equação do plano contendo os pontos (0, 0, 0),
(2, 3, 1), (1, 0, 2).
43. Obtenha uma equação do plano contendo as retas x ⫽ t, y ⫽
4t, z ⫽⫺2t e x ⫽ 1 ⫹ t, y ⫽ 1 ⫹ 4t, z ⫽ 3 – 2t.
é um espaço vetorial.
50. Determine se os vetores ⟨1, 1, 2⟩, ⟨0, 2, 3⟩ e ⟨0, 1,⫺1⟩ são
3
linearmente independentes em R .
44. Determine uma equação do plano contendo (1, 7, ⫺1) que
seja perpendicular à reta da interseção de –x ⫹ y – 8z ⫽ 4 e
3x – y ⫹ 2z ⫽ 0.
51. Determine se o conjunto de polinômios em Pn satisfazendo
2
2
a condição d p/dx ⫽ 0 é um subespaço de Pn. Se for, determine uma base para o subespaço.
45. Uma força constante de 10 N na direção de a ⫽ i ⫹ j desloca um bloco em uma superfície sem atrito de P1(4, 1, 0) para
P2(7, 4, 0). Suponha que a distância seja medida em metros.
Determine o trabalho realizado.
52. Relembre que a interseção de dois conjuntos W1 e W2 é o
conjunto de todos os elementos comuns a ambos os conjuntos, e a união de W1 e W2 é o conjunto de elementos que
estão ou em W1, ou em W2. Suponha que W1 e W2 sejam
subespaços de um espaço vetorial V. Prove ou refute, por
exemplificação, as seguintes proposições:
46. No Problema 45, determine o trabalho realizado para mover
o bloco entre os mesmo pontos considerando que outra força
constante de 50 N na direção de b ⫽ i atue simultaneamente
com a força original.
(a) W1 ∩ W2 é um subespaço de V.
(b) W1 ∪ W2 é um subespaço de V.