material suporte para modulo probabilidade

Atas da Conferência Internacional "Experiências e Expectativas do Ensino de
Estatística - Desafios para o Século XXI"
Florianópolis, Santa Catarina, Brasil - 20 a 23 de Setembro de 1999
Artigo selecionado e apresentado
O Prazer de Aprender Probabilidade Através de Jogos:
Descobrindo a Distribuição Binomial
Profa. Dra. Dinara W. Xavier Fernandez
UFRGS - Instituto de Matemática – Departamento de Estatística
Av. Bento Gonçalves 9500 – Porto Alegre- RS CEP 91540-000
[email protected]
Dierê Xavier Fernandez
UFRGS [email protected]
ABSTRACT: It is traumatic for the students that enter in the University to discover the existence of set
domain between the " true " and the " false ", much more notion linked to our daily one. Not to focus
Probability and Statistics at School is a gap that is reflected in the moment that the students are
requested to present a scientific thought, demanding great effort and considerable period to reach
that goals. To find appropriate forms of approaching themes of this nature, at School or University, it
is part of our mission as educators. An interesting proposal consists of organizing games that,
appropriately worked in small groups in classroom, they favor to the development of the scientific
reasoning, building, intuitive and with pleasure, the main concepts of Probability and Statistics. With
this concern, we elaborated the game that is presented in this paper, whose objective is to introduce
the Binomial Distribution.
KEYWORDS: PROBABILITY, GAMES, BINOMIAL
1. INTRODUÇÃO
Numerosos acontecimentos, em nossa vida diária, são envolvidos pelo acaso podendo ser expressos
em linguagem de jogo: a natureza é uma grande jogadora! É evidente que o homem deve levar em
conta todo acontecimento ou incidente futuro, ainda que não saiba absolutamente se ele ocorrerá
ou não. Esta incerteza, nós a exprimimos inserindo, por necessidade, a palavra "provável". Não só o
homem comum percebe os acontecimentos indeterminados: os homens da ciência igualmente
estabeleceram que é necessário, nos fatos de toda natureza, atribuir um significado primordial aos
acontecimentos indeterminados. Os homens da ciência deram tal importância aos acontecimentos
"aleatórios", isto é, não determinísticos, que foram levados a desenvolver um sistema de cálculo
destinado a avaliar estes acontecimentos: o cálculo das probabilidades.
Uma das grandes dificuldades com que se defrontam os alunos de 3º grau refere-se justamente a
falta de desenvolvimento do raciocínio probabilístico, pois, em geral, chegam à Universidade
pensando que entre o "verdadeiro" e o "falso" existe um vazio. Que choque para a maior parte
desses alunos, quando descobrem a existência de um domínio baseado sobre a noção do "talvez" e
que, aliás está muito mais ligada ao nosso cotidiano. Isso ocorre porque ainda são poucas as escolas
de I e II graus que incluem em seu currículo disciplinas onde os conceitos de Probabilidade e
Estatística são trabalhados, o que priva os alunos de uma grande quantidade de idéias novas e
fecundas. Essa lacuna se reflete no momento em que os alunos são solicitados a apresentar um
pensamento científico, já que Probabilidade e Estatística são elementos essenciais, exigindo um
grande esforço e considerável período para atingir esse objetivo.
Alguns livros de Matemática de II grau citam tópicos de Probabilidade e Estatística que raramente
chegam a ser abordados, justamente porque o próprio conteúdo de Matemática é muito extenso, o
professor está sempre pressionado pelo tempo para vencê-lo e tais conteúdos não eram avaliados no
Vestibular. Acrescente-se a isso, que, por estar incluído em compêndios de Matemática, o próprio
professor não está devidamente preparado para desenvolver este conteúdo de forma satisfatória,
tendo em vista sua formação determinística. Com a inclusão desses tópicos no Vestibular da
Universidade Federal do Rio Grande do Sul as Escolas estão começando a se preocupar de forma mais
direta com o desenvolvimento desses conteúdos. O recente Curso de Licenciatura em Estatística,
oferecido pela UFRGS oferecerá pessoal qualificado para atuar a nível de I e II graus, disseminando
conceitos precisos sobre Probabilidade e Estatística. A idéia é que seja dado um enfoque atual,
dinâmico e criativo na forma de abordar os conteúdos.
O ensino tradicional, em que o professor é apenas transmissor de conhecimentos, não favorece ao
desenvolvimento do raciocínio científico.
O professor que é desafiador, pergunta em vez de responder, provoca, desperta o desejo de
aprender no aluno, fortalecendo experiências grupais, favorece naturalmente o desenvolvimento do
raciocínio científico.
O sistema educacional dominante consiste essencialmente em transmitir conteúdos em vez de
ensinar aos alunos a maneira de como aprender. Felizmente, os professores estão percebendo que a
quantidade de informação é tão extensa, que a memorização não é tão importante. É muito mais
importante ser capaz de descobrir os fatos quando se precisa deles e, depois de usá-los, esquecê-los,
mas ser capaz de lembrar como fazer isso.
Uma forma mais imaginativa de ensinar é ligar a aprendizagem a algo alegre, divertido e prazeroso.
Aprender é elaborar o mundo. É um trabalho de libertação. O saber tem que ser libertador. Mas
aprender unicamente brincando não é bom. Aprender trabalhando sim, pois a vida nos cobra
trabalho, seriedade.
Tornar simples conceitos complexos é complicado. Ser simples é complicado. Nossa proposta é
apresentar a Probabilidade e a Estatística de uma forma simples, onde os alunos irão construindo os
conceitos paulatinamente, descobrindo o prazer de aprender.
2. METODOLOGIA
Elaboramos um jogo com o objetivo de descobrir a Distribuição Binomial para aplicar em cursos
introdutórios de Estatística a nível de III grau, ou , informalmente em alunos de I e II graus.
Os alunos são organizados em pequenos grupos e orientados no sentido de acompanhar a Ficha com
as instruções, acompanhada de material para a realização do mesmo. O professor circula pelos
grupos avaliando, sugerindo caminhos ou simplesmente observando o direcionamento dos alunos. À
medida em que o aluno segue as ordens da Ficha, vai construindo os conceitos e chega à
generalização de uma forma natural. É o processo inverso do ensino tradicional, onde o professor
apresenta o conceito e o aluno simplesmente o aceita. Nessa proposta, o aluno descobre e constrói
conceitos.
3. MATERIAL
O material distribuído a cada grupo é constituído pelo seguinte kit :
 um cartaz (Fig.1)
 Ficha com as instruções
 conjunto das etiquetas
 uma moeda
O cartaz deve ser confeccionado com a dimensão de, pelo menos, 30 cm2 . Quanto menor a idade
dos alunos, maior deve ser o tamanho do cartaz.
Figura 1: Jogo da Mônica
A Ficha com as instruções apresenta as regras do jogo desenvolvendo o raciocínio probabilístico de
uma forma alegre e natural. Pretende-se conduzir o aluno ao estabelecimento da fórmula da
Distribuição Binomial, no item h da Ficha. Nesta etapa, em geral, é necessária a intervenção do
professor e só deve ser proposta para alunos que tenham maturidade para tal .
Ficha com as Instruções:
Os passeios de Mônica
Material: cartaz, moeda, etiquetas.
Estória: Mônica tem 5 amigos morando a 4 quadras de distância de sua casa. Cada tarde, ela sai para
visitar um deles: Horácio, Cebolinha, Magali, Cascão e Bidu.
Regras do Jogo: Para visitar seus amigos, a cada cruzamento, Mônica joga uma moeda: se der cara,
ela anda uma quadra para Norte; se der coroa, vai para Leste. Assim, cada jogada, é uma quadra de
percurso. Jogue muitas vezes anotando a sequência obtida:
Sequência onde chegou
CCCC Cebolinha ____________________________
____________________________ ____________________________
____________________________ ____________________________
____________________________ ____________________________
____________________________ ____________________________
____________________________ ____________________________
____________________________ ____________________________
____________________________ ____________________________
____________________________ ____________________________
____________________________ ____________________________
____________________________ ____________________________
____________________________ ____________________________
____________________________ ____________________________
____________________________ ____________________________
____________________________ ____________________________
____________________________ ____________________________
Depois de jogar o suficiente, responda:
a. O que é mais provável: chegar à casa de Magali ou de Horácio?
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
b. Quem é pouco provável que Mônica visite?
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
c. De quantas e quais maneiras Mônica pode chegar à casa de:
Horácio _____________________________
Cebolinha _____________________________
Magali _____________________________
Cascão _____________________________
Bidu _____________________________
d. Quantos caminhos existem ao todo? _______
e. Descubra uma relação comum a todos os caminhos que levam a cada um dos amigos:
Horácio _____________________________
Cebolinha _____________________________
Magali _____________________________
Cascão _____________________________
Bidu _____________________________
f. Encontre uma relação entre as etiquetas e as estações do percursos.
g. Complemente a árvore de possibilidades.
h. Estabelece uma fórmula que generalize a relação entre cada amigo e as etiquetas
correspondente.
h.1) Faça:
X = número de "caras" em n lançamentos da moeda.
p = probabilidade em obter "cara" em um único lançamento
No passeio de Mônica p é__________
h.2) Para o primeiro lançamento:
n = 1 X = número de caras em 1 lançamento da moeda = 0;1
No passeio de Mônica p é __________ e q = 1- p é __________.
Quantas maneiras existem de X = 0?________. Ou seja, Cn° = _____.
Então: P(X = 0) = Cn°.p°.qn-o = ________________
Quantas maneiras existem de X=1? ______. Ou seja, Cn1= _____.
Então: P(X = 1) = Cn1.p.qn-1 = ________________
h.3) Para o segundo lançamento:
n = 2 X = número de caras em 2 lançamentos da moeda = 0, 1, 2
Quantas maneiras existem de X = 0?_______. Ou seja, Cn0 = _____.
Então: P(X = 0) = Cn°.p°.qn-0 = ________________
Quantas maneiras existem de X=1? ______. Ou seja, Cn1 = _____.
Então: P(X = 1) = Cn1.p1.qn-1 = ________________
Quantas maneiras existem de X=2? ______. Ou seja, Cn2 = _____.
Então: P(X = 1) = Cn2.p2.qn-2 = ________________
h.4) Para o terceiro lançamento:
h.5) Para o quarto lançamento:
h.6) Fórmula
n!
Onde: Cxn =
-x)!
As etiquetas a seguir, recortadas, são colocadas num envelope e distribuídas juntamente com o
cartaz, Ficha com as Instruções e a moeda
1/2
1/2
1/4
1/4
2/4
1/8
3/8
3/8
1/8
1/16
4/16
6/16
4/16
1/16
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Após a realização do Jogo e preenchimento da Ficha pelos grupos, é importante proceder a uma
discussão em grande grupo para levantar as dificuldades e constatar o alto nível de prazer atingido
pela turma. O entusiasmo que se observa neste tipo de atividade, quando bem conduzida, é imenso.
Sugere-se, num segundo momento, substituir a moeda por outro elemento, de maneira que as
probabilidades para cada passo sejam alteradas. Por exemplo, tomar um dado e definir que, ao jogálo uma vez, se der ‘número 1 ou 2’, Monica anda uma quadra para Norte e se der ‘números 3,4,5 ou
6’ , Monica anda para Leste. Repetir o Jogo verificando o que ocorre e distribuir as etiquetas
correspondentes. Várias outras alterações podem ser propostas de acordo com a criatividade do
professor tendo em vista o objetivo a ser atingido.
5. CONCLUSÕES
Desde o início de nossa carreira, com passagem em várias escolas estaduais de I e II graus da capital e
interior, temos disseminado idéias nesta linha do construtivismo.
Em 1997, utilizamos o jogo aqui apresentado como motivação para 30 professores de Escolas de I e II
Graus de Porto Alegre que participaram do Curso de Aperfeiçoamento em Estatística, , vinculado ao
Programa de Apoio ao Melhoramento do Ensino de Ciências no II Grau / FAPERGS, ministrado no
Instituto de Matemática, Departamento de Estatística, da UFRGS. Os professores elaboraram e
aplicaram Projetos em suas Escolas mostrando grande entusiasmo e criatividade. Ensinar
Probabilidade e Estatística através de jogos é uma poderosa ferramenta educacional para transmitir
esses conceitos a alunos de qualquer nível de ensino.
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BLANDLER, R. Usando sua mente. Sumus editorial, 1987.
ENGEL, A. A short course in probability. 1975
GLAYMAN, M e VARGA, T. Les probabilités à l’école. 1975
GOULART, I. B. Piaget: experiências básicas para utilização pelo professor. Ed. Vozes, 1993.
GROSSI, E. P. Construtivismo Pós-Piagetiano: um novo paradigma sobre aprendizagem. Ed. vozes,
1993
HOFFMAN, J. Avaliação: mito e desafio - uma perspectiva construtivista Educação Realidade, 1993
HOFFMAN, J. Avaliação mediadora: uma proposta prática em construção da pré-escola à
Universidade. Educação Realidade, 1993
KESSEL, T. Piaget. Ed. vozes. 1993.
MORAIS, R. (org) Sala de aula: que espaço é este? Papirus, 1993
PIAGET, J. A formação do símbolo na criança: imitação, jogo e sonho, imagem e representação. Ed.
Guanabara Koogan, 1978
VEIGA, I. P. A. (org) Técnicas de ensino: porque não? Papirus, 1993
WELSER, W. Estudo de Estatística e Probabilidade. 1975
Espaço amostral e eventos questões
Espaço amostral e evento são termos ligados à probabilidade, ciência que estuda as chances de um fenômeno
acontecer. A realização de um experimento repetidas vezes respeitando as mesmas condições, não deve
apresentar os mesmos resultados. É nesse aspecto que a probabilidade conceitua suas regras, demonstrando
os resultados através de números, em forma de porcentagem. Para o cálculo da probabilidade de algo
acontecer, precisamos entender os termos: espaço amostral e evento.
Espaço amostral é o conjunto estabelecido por todos os possíveis resultados de um experimento. Por
exemplo, no lançamento de uma moeda, o espaço amostral é dado por “cara” ou “coroa”. No lançamento de
um dado, o espaço amostral é representado pelas faces enumeradas 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Em um baralho de cartas,
o espaço amostral envolve 52 cartas.
Evento: é um conjunto de resultados do experimento, em termos de conjuntos, é um subconjunto S. em
particular, S e Φ (conjunto vazio) são eventos. S é dito o evento certo e Φ o evento impossível.
Se usarmos as operações com conjuntos, podemos formar novos eventos:
a) A ∩ B → é o evento que ocorre se A ocorreu ou B ocorre ou ambos ocorrem;
b) A ∪ B → evento que ocorre se A e B ocorrerem;
c) Ā → é o evento que ocorre se A não ocorre.
Exemplo: Considere o experimento: jogar duas moedas e observar os resultados:
S = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}
Evento A: ocorrer faces iguais.
Logo A = {(c, c), (k, k)}
Exemplo 2:
Considere o experimento “lançar 2 dados simultaneamente” .
O espaço amostral será:
E = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) ,
(2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) ,
(3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) ,
(4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) ,
(5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) ,
(6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) } e n(E) = 36.
Considere o evento A: a soma dos pontos é 5.
Então esse evento será representado pelo conjunto
A = { (1,4) , (4,1) , (2,3) , (3,2) }
Eventos mutuamente exclusivos
Eventos mutuamente exclusivos são aqueles que não podem ocorrer simultaneamente. Portanto dois eventos
A e B são mutuamente exclusivos se AB = Φ
Exemplo: Considere o experimento: jogar um dado e observar o resultado.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Sejam os eventos:
A = ocorrer número par e B = ocorrer números impar.
Logo: A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5}
A e B são considerados mutuamente exclusivos pois A ∩ B = Φ
OPERAÇÕES COM EVENTOS
Considerando A e B dois eventos quaisquer de um espaço amostral E, e representando por x um ponto
amostral de E, diremos que:
i) x
A
B
A ou B ocorrer (ou ambos)
ii) x
A
B
A e B ocorrerem simultaneamente
iii) x
=E-A
iv) x
A–B
A não ocorrer
A ocorre, mas B não ocorre
Isto é,
i) A
B = { x E | x A ou x B } (reunião de conjuntos)
ii) A
B = { x E | x A e x B } (intersecção de conjuntos)
iii)
= E - A = { x E | x A } (complementar de A)
iv) A – B = { x E | x A mas x B } (diferença de conjuntos)
Quando acontece A
B = Φ (conjunto vazio), dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
EXEMPLO: Seja E = {1,2,3,4,5,6} o espaço amostral do experimento "tirar uma
bola de uma urna, contendo 6 bolas numeradas de 1 a 6, e
observar o número obtido".
Considerando os eventos A = {1,2} , B = {1,3,5} e C ={2,4,6}, temos que
A
A
B = {1,2,3,5}
B = {1}
= {3,4,5,6}
= {2,4,6}
A – B = {2}
B – A = {3,5}
B
C = Φ , (portanto B e C são mutuamente exclusivos)
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Questões sobre espaço amostral e eventos
1) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade
desta bola ser verde?
Neste exercício o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas, portanto a
probabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12.
Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente podemos
representar a resolução assim:
A probabilidade desta bola ser verde é 5/12
2) O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados. Em cada
quadrado há a indicação de um número, representado por uma certa quantidade de bolinhas, que variam de
nenhuma a seis. O número total de combinações possíveis é de 28 peças. Se pegarmos uma peça qualquer,
qual a probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face?
Chamemos de A o evento da ocorrência de um 3:
Chamemos de A o evento da ocorrência de um 3:
A = { (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3) }
Chamemos de B o evento da ocorrência de um 4:
B = { (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) }
Veja que o elemento (4, 3) integra os dois eventos, logo
Calculando as probabilidades de A, B e da intersecção, temos:
.
Finalmente para o cálculo da probabilidade desejada vamos utilizar a fórmula da probabilidade da união de
dois eventos:
Repare que 13 é o número total de peças que possuem 3 ou 4, desconsiderando-se a ocorrência que se repete
(o (4 ,3) da intersecção dos dois eventos).
A probabilidade de ela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face é 13/28.
3) Alguns amigos estão em uma lanchonete. Sobre a mesa há duas travessas. Em uma delas há 3 pastéis e 5
coxinhas. Na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. Se ao acaso alguém escolher uma destas travessas e também ao
acaso pegar um dos salgados, qual a probabilidade de se ter pegado um pastel?
A probabilidade de escolhermos 1 dentre 2 travessas é igual 1/2.
A probabilidade de escolhermos um pastel na primeira travessa é 3 em 8, ou seja, é 3/8 e como a probabilidade
de escolhermos a primeira travessa é 1/2, temos:
A probabilidade de escolhermos um pastel na segunda travessa é 4 em 6, isto é 4/6 e como a probabilidade de
escolhermos a segunda travessa é igual a 1/2, temos:
Então a probabilidade de escolhermos um pastel é igual a:
A probabilidade de se ter pegado um pastel é 25/48.
4) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a
mesma face para cima?
Através do princípio fundamental da contagem podemos determinar o número total de agrupamentos ao
lançarmos três moedas.
Como cada moeda pode produzir dois resultados distintos, três moedas irão produzir 2 . 2 . 2 resultados
distintos, ou seja, poderão produzir 8 resultados distintos. Este é o nosso espaço amostral.
Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma face
para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa, então a probabilidade será dada por:
A probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima é igual a 1/4, ou 0,25, ou ainda 25%.
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Espaço amostral e evento são termos ligados à probabilidade, ciência que estuda as chances de um fenômeno
acontecer. A realização de um experimento repetidas vezes respeitando as mesmas condições, não deve
apresentar os mesmos resultados. É nesse aspecto que a probabilidade conceitua suas regras, demonstrando
os resultados através de números, em forma de porcentagem. Para o cálculo da probabilidade de algo
acontecer, precisamos entender os termos: espaço amostral e evento.
Espaço amostral é o conjunto estabelecido por todos os possíveis resultados de um experimento. Por
exemplo, no lançamento de uma moeda, o espaço amostral é dado por “cara” ou “coroa”. No lançamento de
um dado, o espaço amostral é representado pelas faces enumeradas 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Em um baralho de cartas,
o espaço amostral envolve 52 cartas.
Evento é a representação de um subconjunto do espaço amostral. Por exemplo, em relação aos espaços
amostrais citados anteriormente, o número de eventos são:
Moeda: dois eventos
Dado: seis eventos
Baralho de cartas: cinquenta e dois eventos
Para determinarmos a probabilidade de algo acontecer, basta realizarmos a divisão entre o número de
eventos favoráveis e o número total de resultados possíveis. Observe:
Vamos determinar a probabilidade de, no lançamento de um dado ocorrer o número 6.
Na face do dado temos exatamente um lado com o número 6. Ao lançarmos o dado, a chance de obtermos o
número indicado é de 1 em 6. Portanto:
No lançamento de uma moeda, a chance de retirarmos cara ou coroa é de 50% em cada.
No baralho de cartas, temos 52 cartas divididas em quatro naipes: copas, espadas, paus e ouro. Dessa forma,
temos 13 cartas de cada naipe. Caso queira retirar uma carta ao acaso, a probabilidade da carta ser de copas é
de 13 em 52, isso corresponde a 25% de chance, pois:
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Espaço amostral: para cada experimento aleatório E, define-se espaço amostral S o conjunto de todos os
possíveis resultados desse experimento.
Exemplos:
Jogar um dado e observar o número da face de cima.
Então; S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Jogar duas moedas e observar o resultado.
Então: S = {(cara, cara), (cara, coroa),(coroa, cara),(coroa, coroa)}
Observe que o conjunto S pode ser finito ou infinito.
Evento: é um conjunto de resultados do experimento, em termos de conjuntos, é um subconjunto S. em
particular, S e Φ (conjunto vazio) são eventos. S é dito o evento certo e Φ o evento impossível.
Se usarmos as operações com conjuntos, podemos formar novos eventos:
a) A ∩ B → é o evento que ocorre se A ocorreu ou B ocorre ou ambos ocorrem;
b) A ∪ B → evento que ocorre se A e B ocorrerem;
c) Ā → é o evento que ocorre se A não ocorre.
Exemplo: Considere o experimento: jogar duas moedas e observar os resultados:
S = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}
Evento A: ocorrer faces iguais.
Logo A = {(c, c), (k, k)}
Eventos mutuamente exclusivos
Eventos mutuamente exclusivos são aqueles que não podem ocorrer simultaneamente. Portanto dois eventos
A e B são mutuamente exclusivos se AB = Φ
Exemplo: Considere o experimento: jogar um dado e observar o resultado.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Sejam os eventos:
A = ocorrer número par e B = ocorrer números impar.
Logo: A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5}
A e B são considerados mutuamente exclusivos pois A ∩ B = Φ
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Exercícios de Probabilidade
1) Um grupo de 4 alunos (Alice, Bernardo, Carolina e Daniel) tem que escolher um líder e um vice-líder para
um debate.
(a) Faça uma lista de todas as possíveis escolhas (use a inicial de cada nome, para facilitar). Organize a sua lista
do seguinte modo: primeiro, escreva todas as possibilidades em que Alice é a presidente, depois, aquelas em
que Bernardo é presidente, e assim por diante.
(b) Conte o número de possíveis escolhas e verifique que o Princípio Multiplicativo fornece a mesma resposta.
2) Um restaurante possui um cardápio que apresenta escolhas de saladas (salada verde, salada russa ou salpicão),
sopas (caldo verde, canja ou de legumes) e pratos principais (bife com fritas, peixe com puré, frango com legumes
ou lasanha).
(a) De quantos modos se pode escolher um prato deste cardápio?
(b) De quantos modos se pode escolher uma refeição completa,
formada por uma salada, uma sopa e um prato principal?
3) Quantos algarismos são escritos ao se escreverem os números inteiros de 1 a 100?
4 ) João e Isabel lançam, cada um, um dado.
(a) Quantas são as possíveis combinações de resultado?
(b) Quantas são as possíveis somas que eles podem obter?
5) Dispomos de 5 cores distintas. De quantos modos podemos colorir os quatro quadrantes de um círculo, cada
quadrante com uma só cor, se quadrantes cuja fronteira é uma linha não podem receber a mesma cor?
6) Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões de múltipla escolha, com 5 alternativas por
questão? Em quantos destes gabaritos a letra A aparece exatamente uma vez? Em quantos a letra A não aparece?
7) De quantos modos 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras em fila?
8) De quantos modos 5 homens e 5 mulheres podem se sentar em 5 bancos de 2 lugares, se em cada banco deve
haver um homem e uma mulher?
9) De quantos modos podemos colocar 2 reis diferentes em casas não adjacentes de um tabuleiro 8£8? E se os reis
fossem iguais?
10) De quantos modos podemos formar uma palavra de 5 letras de um alfabeto de 26 letras, se a letra A deve
figurar na palavra mas não pode ser a primeira letra da palavra? E se a palavra devesse ter letras distintas?
11) As placas dos veículos são formadas por três letras (de um alfabeto de 26) seguidas por 4 algarismos. Quantas
placas poderão ser formadas?
12) Um vagão do metrô tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem
se sentar de frente, 3 preferem se sentar de costas, e os demais não têm preferência. De quantos modos eles
podem se sentar, respeitadas as preferências.
Lista de exercícios
1) Quatro moedas são lançadas e observa-se a seqüência de caras e coroas obtida. Qual o espaço amostral do
experimento.
2) Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três bolas vermelhas (V). Retira-se uma bola ao acaso da urna.
Se for branca, lança-se uma moeda; se for vermelha, ela é devolvida à urna e retira-se outra bola. Dê uma
espaço amostral para o experimento.
3) Três times A, B e C disputam um torneio de futebol. Inicialmente, A joga com B e o vencedor joga com C, e
assim por diante. O torneio termina quando um jogador ganha duas vezes em seguida ou quando são
disputadas, ao todo, quatro partidas. Enumere os resultados do espaço amostral: resultados possíveis do
torneio.
4) Uma moeda e um dado são lançados. Dê o espaço amostral correspondente.
5) Considerando dois eventos I e O de um mesmo espaço amostral S, expresse em termos de operações entre
eventos:
5.1) A ocorre mas O não ocorre;
5.2) Exatamente um dos eventos ocorre;
5.3) Nenhum dos eventos ocorre.
6) Dois dados são lançados. Define-se os eventos: I = soma dos pontos obtidos igual a 9, e O = o ponto do
primeiro dado é maior ou igual a 4. Determine os eventos I e O e ainda os eventos: I O, I O e Ī.
7) Uma urna contém 12 moedas de igual tamanho, sendo 7 douradas e 5 prateadas. O experimento consiste
em retirar, semreposição e ao acaso, duas moedas desta urna. Calcular a probabilidade de que saiam:
7.1) Uma moeda dourada e uma prateada, nesta ordem.
7.2) Uma moeda dourada e uma prateada.
7.3.) Duas moedas douradas.
7.4) Duas moedas de mesma cor.
8) Resolva o exercício sete considerando a retirada das moedas com reposição.
9) Sejam P(O) = 0,3, P(I) = 0,8 e P(O I) = 0,15.
9.1) A e I são mutuamente exclusivos? Justifique.
9.2) Qual a P(Ī)?
9.3) Determine (a) P(O U I) (b) P(O Ī)
(c) P(Ō Ī)
(d) P(Ō I)
10) Suponha que O e I sejam eventos tais que P(O) = x, P(I) = y e P(O I) = z. Exprima cada uma das seguintes
probabilidades em termos de “x”, “y” e “z”.
10.1) P(O U I)
10.2) P(Ō)
10.3) P(Ī)
10.4) P(O / I)
10.5) P(Ō U Ī)
10.6) P(Ō U I)
10.7) P(Ō I) 10.8) P(O Ī) 10.9) P(Ō Ī)
10.10) P(Ō / Ī)
11) Uma amostra de 140 investidores de um banco revelou que 80 investem em poupança, 30 investem no
fundão e 10 investem na poupança e no fundão. Selecionado um destes investidores ao acaso, qual a
probabilidade de que ele tenha investimentos na poupança ou no fundão?
12) A probabilidade de um aluno A resolver uma questão de prova é 0,80, enquanto que a do aluno B é 0,60.
Qual a probabilidade de que a questão seja resolvida se os dois alunos tentarem resolvê-la
independentemente.
13) Um atirador A tem probabilidade de 1/4 de acertar um alvo. Já um atirador B tem probabilidade de 2/5 de
acertar o mesmo alvo. Se ambos atirarem simultaneamente e independentemente, qual a probabilidade
de que:
13.1) Ao menos um deles acerto o alvo e
13.2) Ambos acertem o alvo?
14) Sejam A e B dois eventos mutuamente excludentes. A probabilidade de ocorrência de ao menos um destes
eventos é 0,52 e a probabilidade de A não ocorrer é 0,60. Calcule a probabilidade de B ocorrer?
15) Sejam: P(A) = 0,50; P(B) = 0,40 e P(AUB) = 0,70.
15.1) A e B são eventos mutuamente excludentes? Por que?
15.2) Qual o valor de P(A
15.3) A e B são eventos independentes? Por que?
15.4) Quais os valores de P(A/B) e P(B/A).
16) Uma turma é composta de 9 alunos de Economia, 14 de Administração e 21 de Contábeis. Deseja-se eleger
ao acaso uma comissão de dois alunos dessa turma. Calcule a probabilidade de que esta comissão seja
formada por:
16.1) Alunos só da Economia.
16.2) Um aluno da Economia e outro de outro curso.
16.3) Um aluno da Economia e outro da Contábeis.
16.4) Dois alunos da Administração ou dois da Contábeis.
17) Um produtor de parafusos verificou que em uma amostra de 100 parafusos 5 eram defeituosos. Numa
segunda amostra de 200 parafusos ele encontrou 9 defeituosos. Você diria que a probabilidade de o
próximo parafuso a ser produzido ter defeito é 0,05? Ou 0,045? Explique?
18) Se o jogo um da loteria esportiva for marcado na coluna dois, então é possível afirmar que a probabilidade
de acertar este jogo é de 1/3? Por que?
19) Dois números são escolhidos ao acaso e sem reposição, dentre 6 números positivos e 8 negativos, e então
multiplicados. Calcule a probabilidade de que o produto seja positivo.
20) Os lugares de 6 pessoas em uma mesa circular são determinados por sorteio. Qual a probabilidade de
Aristeu e Fariseu se sentem lado a lado?
21) Suponha-se que são retiradas duas bolas, sem reposição, de uma caixa contendo 3 bolas pretas e 5 bolas
vermelhas. Determine:
21.1) Todos os resultados possíveis e suas respectivas probabilidades.
21.2) Todos os resultados possíveis e suas probabilidades supondo a extração com reposição da primeira
bola retirada.
22) Uma caixa contém 4 válvulas defeituosas e 6 perfeitas. Duas válvulas são extraídas juntas. Uma delas é
ensaiada e se verifica ser perfeita. Qual a probabilidade de que a outra válvula também seja perfeita?
23) Um dado é viciado, de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu valor
(por exemplo o ponto 4 é duas vezes mais provável do que o ponto dois). Calcular:
23.1) A probabilidade de sair 5, sabendo-se que o ponto que saiu é ímpar.
23.2) A probabilidade de sair um número par, sabendo que saiu um número maior do que 3.
24) A probabilidade de que dois eventos independentes ocorram são p e q, respectivamente. Qual a
probabilidade de que:
24.1) Nenhum destes eventos ocorra.
(24.2) Pelo menos um destes eventos ocorra
25)
) = 0,18.
26) Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições: salada completa e um prato à base de
carne. 20% dos fregueses do sexo masculino preferem salada; 30% das mulheres escolhem carne; 75% dos
fregueses são homens. Considere os seguintes eventos:
H: o freguês é homem
A: O freguês prefere salada
M: O freguês é mulher
B: O freguês prefere carne
Calcular:
26.1) P(H)
26.2) P(A/H)
26.3) P(B/M)
26.4) P(A
26.5)
26.6) P(M/A)
27) Uma companhia de seguros analisou a freqüência com que 2000 segurados (1000 homens e 1000
mulheres) usaram o hospital. Os resultados estão apresentados na tabela:
Homens
Mulheres
Usaram o hospital
100
150
Não usaram o hospital
900
850
27.1) Qual a probabilidade de que uma pessoa segurada use o hospital?
27.2) O uso do hospital independe do sexo do segurado?
28) As probabilidades de 3 motoristas serem capazes de dirigir até em casa com segurança, depois de beber,
são: 1/3, 1/4 e 1/5. Se decidirem (erradamente) dirigir até em casa, depois de beber numa festa, qual a
probabilidade de todos os 3 motoristas sofrerem acidentes? Qual a probabilidade de que ao menos um
chegue em casa a salvo?
29) Duas lâmpadas queimadas foram misturadas acidentalmente com 6 lâmpadas boas. Se as lâmpadas forem
sendo testadas, uma a uma, até encontrar as duas queimadas, qual é a probabilidade de que a última
defeituosa seja encontrada no quarto teste?
30) Num teste com duas marcas que lhe são apresentadas em ordem aleatória, um experimentador de vinhos
faz três identificações corretas em três tentativas.
30.1) Qual a probabilidade disto ocorrer, se na realidade ele não possui habilidade alguma para distinguir?
30.2) E se a probabilidade de distinguir corretamente é de 90% em cada tentativa?
31) Dados que dois acontecimentos A e B ocorrem independentemente com probabilidades p e q
respectivamente, determine a probabilidade da ocorrência de um e somente um destes acontecimentos.
32) Dois aparelhos de alarme funcionam de forma independente, detectando problemas com probabilidades
de 0,95 e 0,90. Determinar a probabilidade de que dado um problema, este seja detectado por somente
um dos aparelhos.
33) Sejam A e B dois eventos. Suponha q
33.1) Para que valor de “p”, A e B serão mutuamente excludentes?
33.2) Para que valor de “p”, A e B serão independentes?
34) Um aparelho é escolhido ao acaso dentre 10 aparelhos, sendo que destes 6 funcionam sem falhas com
uma probabilidade de 80% e os outros quatro funcionam sem falhas com uma probabilidade de 95%.
Determinar a probabilidade de que o aparelho escolhido funcione sem falhas.
35) Três máquinas A, B e C apresentam respectivamente: 10%, 20% e 30% de defeituosos na sua produção. Se
a três máquinas produzem igual quantidade de peças e retiramos duas peças ao acaso da produção global
qual a probabilidade de que ambas sejam perfeitas?
36) Dentre 5 máquinas existem 3 de maior precisão que garantem um acerto de 95% e as duas restantes
garantem um acerto de 75%. Escolhida uma máquina ao acaso qual a probabilidade de acerto?
37) Das peças fornecidas por duas máquinas automáticas 60% e 84%, respectivamente, são de alta qualidade.
A produtividade da primeira máquina é o dobro do que a da segunda máquina. Retirada uma peça ao
acaso de um lote produzido pelas duas máquinas verificou-se que ela era de alta qualidade. Determinar a
probabilidade de que tenha sido produzida pela primeira máquina.
38) Uma caixa contém quatro moedas, uma das quais com duas caras. Uma moeda foi tomada ao acaso e
jogada duas vezes, obtendo-se duas caras. Qual a probabilidade de que seja a moeda com duas caras?
39) Cada objeto manufaturado é examinado com probabilidade 0,55 por um fiscal e com probabilidade 0,45
por outro fiscal. A probabilidade de passar no exame de acordo com os fiscais é de 0,90 e de 0,98
respectivamente. Achar a probabilidade de que um objeto aceito tenha sido examinado pelo segundo
fiscal.
40) Um carro pode parar por defeito elétrico ou mecânico. Se há defeito elétrico o carro para na proporção de
1 para 5 e, se mecânico, 1 para 20. Em 10% das viagens há defeito elétrico e em 20% mecânico, não
ocorrendo mais de um defeito na mesma viagem, igual ou de tipo diferente. Se o carro para, qual a
probabilidade de ser por defeito elétrico?
Resposta:
1) S = { cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk, ckkc, kkcc, ckck, kckc, kcck, kkkc, kkck, kckk, ckkk, kkkk},
2) S = { BC, BK, VB, VV}, onde C = cara e K = coroa.
3) S = { AA, ACC, ACBB, BB, BCC, BCAA, ACBA, BCAB }
4) S = { (c, 1), (c, 2), ..., (c, 6), (k, 1), (k, 2), ..., (k, 6) }, onde c = cara e k = coroa.
5) (5.1) I  Ō = A - O (5.2) (I  Ō)(Ī  O) = I U O – I  O (5.3) Ī  Ō = Ī U Ō
6) I = { (3,6), (4, 5), (5, 4), (6,3)}
B = { (4,1), ..., (4, 6), (5, 1), ..., (5, 6), (6, 1), ..., (6, 6) }
I  O = { (3, 6), (4,1), ..., (4, 6), (5, 1), ..., (5, 6), (6, 1), ..., (6, 6) }
I  O = { (4, 5), (5, 4), (6, 3) }
Ī = São 32 pares excetuando-se os pares de I acima.
7) (7.1) 35/132 = 26,52% (7.2) 70/132 = 53,03% (7.3) 42/132 = 31,82% (7.4) 62/132 = 46,97%
8) (8.1) 35/144 = 24,31% (8.2) 70/144 = 48,61% (8.3) 49/144 = 34,03% (8.4) 74/144 = 51,38%
9) (9.1) Não, pois P(AB)   (9.2) 0,20 (9.3) (a) 0,95 (b) 0,15 (c) 0,05 (d) 0,65
10) (21.1) x + y - z (10.2) 1 - x (10.3) 1 - y (10.4) z/y (10.5) 1 - z (10.6) 1 - x + z (10.7) y - z
10.8) x - z (10.9) 1 - x - y + z (10.10) (1 - x - y + z) / (1 - y)
11) 10/14 = 5/7 = 71,43%
12) 0,92 = 92%
13) (13.1) 11/20 = 55% (13.2) 2/20 = 10%
14) 0,12 = 12%
15) (15.1) Não, pois P(A) + p(B)  P(AUB) (15.2) 0,20 = 20% (15.3) Sim, pois P(AB) = P(A).P(B)
15.4) P(A/B) = 0,50 e P(B/A) = 0,40
16) (16.1) 72/1892 = 3,81% (16.2) 630/1892 = 33,30% (16.3) 378/1892 = 19,98% (16.4) 602/1892 = 31,82%
17) Não...
18) Não...
19) 43/91 = 47,25%
20) 2/5 = 40%
21) (a) Sem reposição (b) Com reposição
Resultados Probabilidades Resultados Probabilidades
PP 6/56 PP 9/64
PV 15/56 PV 15/64
VP 15/56 VP 15/64
VV 20/56 VV 25/64
Total 1 Total 1
22) 5/9 = 55,56%
23) (23.1) 5/9 (23.2) 2/3
24) (24.1) 1- p - q + pq = (1 - p)(1 - q) (24.2) p + q - pq
25) 90%
26) (26.1) 75% (26.2) 20% (26.3) 30% (26.4) 15% (26.5) 92,50% (26.6) 7/13 = 53,85%
27) (27.1) 0,125 (27.2) Há dependência
28) 0,40 = 40% e 0,60 = 60%
29) 3/28 = 10,71%
30) (30.1) 0,125 = 12,50% (30.2) 0,729 = 72,90%
31) p(1 - q) + (1 - p)q
32) 14%
33) (33.1) p = 0,30 (33.2) p = 0,50
34) 86%
35) 64%
36) 87%
37) 10/17 = 58,82%
38) 4/7 = 57,14%
39) 49/104 = 47,12%
40) 2/3 = 66,67%