probabilidades - Grupos.com.br

FUNCEC - Fundação Comunitária Educacional e Cultural de João Monlevade
IES – INSTITUTO DE ENSINO SUPERIOR DE JOÃO MONLEVADE
Série: 3º Período.
Tipo:
Curso: ADMNISTRAÇÃO
Semestre: 1º
Ano: 2010
Nº de Questões:
Valor:
Disciplina: ESTATÍSTICA
Professor: César Sato
Assunto: Matéria
Nome:
Turma: ÚNICA
Nº:
Turno: Noite
APOSTILA Nº
Data: Abril 10
PROBABILIDADES
Existem na natureza, dois tipos de fenômenos: determinísticos e aleatórios ou
probabilísticos.
- Fenômenos determinísticos: São aqueles cujos resultados são sempre os mesmos
se repetidos sob as mesmas condições.
Ex: Se jogarmos um objeto várias vezes do mesmo lugar e medirmos a velocidade
da queda, os resultados serão sempre os mesmos.
- Fenômenos aleatórios ou probabilísticos: São aqueles que mesmo repetidos sob
as mesmas condições, os resultados não são previsíveis. As condições iniciais
não garantem o resultado do fenômeno, mas têm um padrão em longo prazo.
Ex: Não é possível predizer se a próxima criança a nascer numa cidade é menino
ou menina, mas sabe-se que ao longo do tempo nascerão meninos e meninas
quase na mesma proporção.
A teoria das probabilidades tem como objetivo o estudo dos fenômenos aleatórios.
Quando jogamos uma moeda, às vezes obtemos cara e outras vezes obtemos coroa. Da
mesma forma, quando lançamos um dado pode dar uma determinada face ou outra
qualquer. Estas ocorrências e outras análogas são determinadas pela chance.
Podemos supor que a chance é a interação de vários fatores que influem de forma
coletiva no resultado de um experimento. No caso do lançamento de um dado, podemos
admitir que as correntes de ar, a força com que ele é jogado, etc, são fatores que podem
ter influência no resultado. Na impossibilidade de controlar esses fatores, ou predizer
como atuarão numa jogada, afetando o resultado, não podemos especificar com precisão
o resultado dessa jogada.
Entretanto, se admitirmos que determinados fatores atuam da mesma forma, ou de modo
análogo, em observações repetidas grande número de vezes, constatamos que existe
uma possibilidade de predição em longo prazo. Concluímos, portanto, que certos
resultados são mais prováveis que outros, o que seria confirmado em um grande número
de observações.
1 – Variáveis Aleatórias
As grandezas que apresentam os mesmos valores no tempo e no espaço, não
importando quem as medem, são chamadas de CONSTANTES.
Ex.: Velocidade da luz, valor de  , etc.
Já, as grandezas que variam ao longo do tempo e espaço, são chamadas VARIÁVEIS.
Ex.: Produção leiteira diária de uma vaca, o consumo de energia elétrica de uma
residência, etc.
Quando uma variável tende a variar seus resultados ou valor de uma observação para
outra em razão de fatores relacionados com a “chance”, é denominada ”VARIÁVEL
ALEATÓRIA”.
Uma V.A. pode ser considerada também como uma função que associe números reais
aos eventos de um espaço amostral. Isso eqüivale a descrever os resultados de um
experimento aleatório com números ao invés de palavras.
Por exemplo, se o experimento for a jogada de uma moeda, temos dois resultados
possíveis – K ou C – que não são numéricos.Porém, se considerarmos a nossa V. A
como o “n.º de caras numa jogada” teremos valores numéricos possíveis 0 e 1.
1.1 - Variável Aleatória Discreta
São as variáveis aleatórias, cujos valores possíveis podem ser contados. Só existem,
praticamente, para valores inteiros.
Ex.: n.º caras na jogada de 3 moedas, sair face ímpar na jogada de um dado, etc.
Obs.: as variáveis aleatórias discretas podem assumir valores fracionários em alguns
casos, como por exemplo:
Suponha que em duas jogadas de um dado tenha saído as faces 4 e 5, se quisermos
saber a média dos dois números que apareceram, temos 4,5. Este resultado deve ser
encarado com cuidado, pois, na realidade, não existe possibilidade de ocorrer a face 4,5.
1.2 - Variável Aleatória Contínua
São as variáveis aleatórias que podem assumir qualquer valor dentro de um determinado
intervalo. Uma variável aleatória contínua tem um número infinito de valores possíveis.
Em outras palavras, não podem ser listados (contados) todos os valores fracionários da
variável.
Ex.: consumo de combustível de um carro.
2 – Conceitos
Probabilidade: É o estudo dos fenômenos aleatórios ou probabilísticos, isto é, sujeitos às
leis do acaso. São fenômenos, estudados pela estatística, cujos resultados, mesmo
repetidos nas mesmas condições, variam de uma observação para outra. A teoria das
probabilidades busca a explicação desses fenômenos através de um modelo matemático.
“PROBABILIDADE é o número que resulta da divisão do número de casos favoráveis a
um evento pelo número de casos possíveis”.
Espaço amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento
aleatório.
Ex.: no lançamento de um dado a observação da face superior tem o seguinte espaço
amostral:
S = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Evento: É qualquer subconjunto do espaço amostral do experimento.
Ex: no lançamento de um dado.
Espaço amostral S = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Seja E o evento: ocorrer múltiplo de 2
Então E = 2, 4, 6
Existem várias formas de se determinar o número de elementos de um espaço
amostral, tais como:
1) Através da determinação dos possíveis resultados.
Ex.: No lançamento de 3 moedas, temos os seguintes eventos (resultados) possíveis.
CCC
S=
CCK
CKC
KCC
CKK
KCK
KKC
KKK
= 8 eventos
2) Através do número de possibilidades de ocorrência de eventos em um experimento.
Ex: Considere como experimento o lançamento de 3 moedas e 2 ( K e C) os eventos
possíveis em cada lançamento logo, E = 2 e n = 3.
S = En , no nosso exemplo:
S = 23 = 8
E = nº de eventos do experimento
n = nº de experimentos
3) Através do diagrama de árvore.
Ex: no lançamento de 3 moedas (ou lançando-se uma moeda três vezes), tem -se:
1º Lanç.
2º Lanç.
3º Lanç.
C
CCC
K
CCK
C
CKC
K
CKK
C
KCC
K
KCK
C
KKC
K
KKK
C
C
K
S=
C
K
K
4) Através do princípio fundamental da contagem:
Se um acontecimento “A” pode ocorrer de “m” modos distintos e um outro
acontecimento “B” pode ocorrer, independentemente de “A” e de “n” modos, então a
seqüência de acontecimentos (A, B) pode ocorrer de “m x n” modos distintos.
Ex.: No diagrama abaixo, de quantos modos uma pessoa pode ir da cidade “J” à
cidade “M”?
A
B
Trem
Trem
TT
TO
OT
Ônibus
S = OO
Avião
Ônibus
J
=6
AT
AO
L
M
S =m x n x ..........
S=mXn=3X2=6
5) Outra forma de visualizarmos o espaço amostral é através do diagrama de Euler-Venn:
E1
S
Pelo diagrama de Euler-Venn podemos observar:
a) Evento interseção: é aquele formado pelos resultados que pertencem aos eventos
considerados
E1
E2
S
E1  E2
b) Evento, reunião ou união: É aquele formado pelos resultados que pertencem a pelo
menos um dos eventos considerados.
E1
E2
S
E1  E2
c) Evento Complementar: É aquele formado pelos resultados que não pertencem ao
evento considerado.
O evento complementar E1
significa a não ocorrência de E1
E1
E1
S
S
3 - Cálculo das probabilidades
3.1 - Regra Geral:
Uma regra geral que nos fornece uma maneira objetiva de atribuirmos um valor
numérico a uma probabilidade é:
P(E) = Nº de resultados favoráveis (E)
Nº de resultados possíveis (S)
ou, P(E) = E
S
Ex.: No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair número múltiplo de 2.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6
E = {2, 4 e 6} = 3
P(E) = E = 3 = 0,5
S
6
3.2 - Análise Combinatória:
Desempenha um papel muito importante no cálculo das probabilidades. Vários
problemas que consistem na determinação do número de elementos de conjuntos
finitos sujeitos a leis de formação bem definidas, podem ser solucionadas por análise
combinatória.
3.2.1 - Fatorial:
n! = n x (n – 1) x (n – 2) x .... x 3 x 2 x 1
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 7120
12! – 10! = 12 x 11 x 10! – 10!
12! + 10! 12 x 11 x 10! + 10!
10! (12 x 11 x 1 – 1) = 131
10! (12 x 11 x 1 + 1) 133
0! = 1
120! = 120 x 119 x 118! = 120 x 119
118!
118!
3.2.2 - Combinação
A combinação de “n” elementos de “p” formas é usada no cálculo em que a ordem
dos elementos não altera o resultado.
Cn,p =
n!
p! (n – p)!
n
n!
=
p
p! (n – p)!
Ex.: De quantas formas podemos formar comissões de 3 pessoas a partir de um
grupo de 5? Observe que a ordem das pessoas não interessa, pois, tanto faz sair A, B, e
C, como C, B, e A..
Cn,p =
n!
p! (n – p)!
C5,3 =
5!
= 5 x 4 x 3! = 10
3! (5 – 3)!
3! X 2!
S=
3.2.3 - Arranjo:
A, B, C
A, B, D
A, B, E
A, C, D
A, C, E
A, D, E
B, C, D
B, C, E
B, D, E
C, D, E
= 10
O arranjo de “n” elementos de “p” formas é usado quando a ordem dos elementos
influi no resultado.
An,p =
n!
(n – p)!
Ex.: Quantos números de 2 dígitos, podemos escrever com os números 3, 5 e 6?
Observe que nesse caso, a ordem é importante, pois, 35 é diferente de 53.
An,p =
n!
(n – p)!
A3,2 = 3! = 6
1!
S = {35, 36, 53, 56, 63, 65}
3.2.4 - Permutação:
É um arranjo com a totalidade dos elementos.
Permutação sem repetição
Pn = n!
Ex.: De quantas formas 3 pessoas podem se assentar em 3 cadeiras?
Pn = n!
P3 = 3 x 2 = 6
Permutação com repetição
, , , ..., 
Pn
=
n!
! ! ! .... !
Onde ! ! ! .... ! são os elementos que aparecem mais de uma vez (repetidos).
Ex.: Quantos anagramas podemos escrever com as letras da palavra MOCOCA?
Observe que temos 2 letras C e 2 letras O logo,
Pn,  = P62,2 = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 180
2! 2!
2x2
3.3 - Eventos Mutuamente excludentes e não excludentes
3.3.1- Eventos mutuamente excludentes
Dois ou mais eventos são chamados mutuamente excludentes quando a
ocorrência de um deles exclui a possibilidade de ocorrência dos outros. Não podem
ocorrer os dois simultaneamente. Neste caso, estamos interessados na ocorrência de
um deles.
Ex.: Na retirada de uma carta de um baralho, qual a probabilidade de sair Ás ou
Valete?
Observe que se sair Valete não poderá sair Ás.
Obs.: O baralho tem 4 ases e 4 valetes
V
4
Ás
4
ME
S = 52
A questão neste caso é “OU” e o cálculo da probabilidade é chamada de “REGRA DA
ADIÇÂO”
P (E 1 ou E 2 ou ... ou E n = P (E 1  E 2 ...  E n) = P(E 1) + P(E 2) + ... + P( E n)
Logo, P (Ás ou Valete) = 4 + 4 = 8 = 2 = 0,1538
52 52
52 13
Outro exemplo de eventos ME, é a obtenção da soma 5 ou 7 numa jogada de 2
dados. Se der 5 não é possível dar 7.
3.3.2. Eventos não excludentes:
Dois ou mais eventos são chamados não excludentes quando a ocorrência de um
deles não exclui a possibilidade de ocorrência dos outros. Neste caso, é possível a
ocorrência simultânea de ambos, logo, o cálculo da probabilidade deve levar em
consideração o fato de que “um”, ou “outro”, ou “ambos”, podem ocorrer.
Ás
03
1
Copas
12
Obs.: O baralho tem 4 Ases e 13 cartas de
copas
S = 52
Ás de copas
Ex.: Na retirada de uma carta de um baralho, qual a probabilidade de sair Às ou
sair Copas
P (E1 ou E2) = P (E1  E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1  E2)
Observe que, nesta fórmula estamos retirando a interseção, pois é possível que
uma carta seja simultaneamente Às e Copas, ou seja, os eventos não são excludentes.
Se simplesmente somarmos suas probabilidades individuais aumentaríamos a
probabilidade verdadeira, porque a carta Ás de copas seria contada duas vezes, uma
como Às e outra como Copas. Desta forma, devemos subtrair a interseção, ou seja, a
probabilidade de sair Às e Copas simultaneamente.
Logo, o cálculo da probabilidade de ocorrer Às ou Copas, deve ser:
P(Ás ou Copas) = P(Às – Ás de Copas) + P(Copas) = 3 + 13 = 16 = 4
52 52 52 13
ou,
= P(Às) + P(Copas – Ás de Copas) = 4 + 12 = 16 = 4
52 52 52 13
ou,
=P(Às) + P(Copas) – P(Às  Copas) = 4 + 13 – 4 x 13 = 17 – 1 = 16 = 4
52 52 52 52 52 52 52 13
3.4 - Eventos independentes ( Com reposição):
Chamamos de eventos independentes aqueles cuja ocorrência não influi na
probabilidade de ocorrência do outro.
No lançamento de 2 dados, o resultado de um deles não tem influência sobre o
resultado do outro.
Ex.: Retirando-se 2 cartas de um baralho, Com reposição, qual a probabilidade da 1ª
ser ouros e a 2ª ser de Copas?

Observe que a retirada da 2ª carta será com o baralho completo novamente, pois,
houve reposição da 1ª. Assim, são eventos independentes.

A questão neste caso é “E” e o cálculo da probabilidade é chamado de “REGRA
DA MULTIPLICAÇÃO”.
P(E1 e E2 e ... e En) = P(E1  E2 ...  En) = P(E1) x P(E2) x ... x P(En)
Logo, P(ouros e copas) = P(ouros) x P(copas) = 13 x 13 = 1 x 1 = 1 = 0,0625
52 52 4
4 16
3.5 - Eventos Dependentes ou Condicionados (Sem reposição):
Neste caso, o fato de um certo evento ter ocorrido faz com que modifique a
probabilidade de ocorrência do outro.
Ex.: Retirando-se 2 cartas de um baralho, sem reposição, qual a probabilidade da
1ª ser ouros e a 2ª ser copas.
Observe que, neste caso, na retirada da 2ª carta restarão apenas 51 cartas, pois, não
houve a reposição da 1ª. Assim, a probabilidade da 2ª carta está condicionada à 1ª, ou
seja, não são eventos independentes. O cálculo da probabilidade segue, também, a regra
da multiplicação.
P(E1 e E2) = P(E1  E2) = P(E1) x P(E2/E1)
Sendo P(E2/E1) = Probabilidade de ocorrência de E2 já tendo ocorrido E1.
logo, P(ouros e copas) = P(ouros) x P(copas/ouros) = 13 x 13 = 13 = 0,0637
52 51 204
3.6 - Eventos Complementares
A maior probabilidade é igual a 1, logo, a soma das probabilidades dos eventos é
igual a 1. Desta propriedade podemos concluir que:
P(E1) + P(E2) = 1
P(E2) = 1 – P(E1)
e, P(E1) = 1 – P(E1) sendo P(E1) = Probabilidade de não ocorrer o evento E1.
Ex.: Se a probabilidade de chover em determinado dia é 25%, qual é a
probabilidade de não chover nesta data?
Fazendo E1 = Probabilidade de chover, temos:
P(E1) = 1 – P(E1) = 1 – 0,25 = 0,75
3.7 - Teorema de BAYES
Usado para eventos mutuamente excludentes tais que, E1  E2 ...  En = S, sendo
P(Ei) as probabilidades conhecidas dos vários eventos e B um evento qualquer de
S tal que sejam conhecidas todas as probabilidades condicionais P(B/Ei).
P(Ei/B) =
P(Ei) x P(B/Ei)
___________________________________________________________________________________
_
P(E1) x P(B/E1) + P(E2) x P(B/E2) + ... + P(En) x P(B/En)
Ex.: Três máquinas produzem 50%, 30% e 20% respectivamente. A percentagem
de peças defeituosas produzidas por estas máquinas é 3%, 4% e 5%. Retirandose uma peça aleatória da produção de um dia, constatou-se que ela era
defeituosa, qual a probabilidade desta peça ter sido fabricada pela máquina nº1?
P(M1/D) =
P(M1) x P(D/M1)
=
P(M1) x P(D/M1) + P(M2) x P(D/M2) + P(M3) x P(D/M3)
P(M1) = Produção Máq. 1
P(D/M1) = % de def. máq. 1
P(M1/D) =
P(M2) = Produção Máq. 2
P(D/M2) = % de def. máq. 2
P(M3) = Produção Máq. 3
P(D/M2) = % de def. máq. 2
0,5 x 0,03
= 0,4054
0,5 x 0,03 + 0,3 x 0,04 + 0,2 x 0,05
.Na retirada de uma peça, qual a probabilidade da mesma ser defeituosa?
Fazendo X = peça defeituosa:
P
(X)
= P(M1) x P(X/M1) + P(M2) x P(X/M2) + P(M3) x P(X/M3) = 0,5 x 0,03 + 0,3 x 0,04 + 0,2 x 0,05 = 0,037