( ) ( ) log - Matemática online

matA12
função logarítmica
1.
Indique o valor de:
2
1.1.
log 2 16
1.2.
log 7 49
1.3.
1
log 3  
9
1.5.
log 1000
1.6.
ln e5
1.7.
log10  ln e2
1.9.
log 4 16  log3 1  log8
2.
1.8.
log 2013 2013
1.10. log 1 4  log 3 243  log 216 6
2
1
x
8
3
2
2.2.
log x 8 
log5 1  x   2
2.6.
log x 9  2
1
 2
3
2.10.
log
log 4
2.5.
2.9.
log x
2.3.
log x1 81  2
2.4.
log125 x  
2.7.
log x 0,81  2
2.8.
log 8 2 4  x
2.11.
log 2 x  3
2.12.
log
1
3
1
6
5
5x
1
3
x  2
Resolva cada uma das equações:
ex  2
3.1.
4.
log12 1
Determine o valor de x.
2.1.
3.
1
8
1.4.
3.2.
3x1  5
ln x 2  ln 9
3.3.
3.4.
e x .2 x  3.2 x 1  0
Considere a função f  x   log x representada graficamente na figura:
y
f
x
Os gráficos seguintes representam graficamente as funções:
g  x   log x  2
h  x   log  x  2 
y
A
x
B
i  x   log   x 
y
y
C
x
4.1.
Associe cada gráfico à respetiva função.
4.2.
Indique o domínio de cada uma das funções.
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j  x    log x  1
x
y
D
x
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função logarítmica
5. Considere a função definida por f  x   ln x .
y
A partir do gráfico de f, represente graficamente e indique o domínio
e o contradomínio da função g, definida por:
5.1.
g  x   ln  x  2 
5.2.
g  x   ln x
5.3.
g  x   1  ln x
6.
0
1
log3 x  2
f  x   log 2  x  1
6.2.
f  x 
6.3.
f  x   ln x
6.4.
 x 2  7 x  10 
f  x   ln 

x 3


6.5.
f  x   ln  ln x 
6.6.
1
f  x   log  2
x
6.7.
f  x   1  log 2  x 2  3 x 
6.8.
f  x 
1
1  ln x
Considere a função f  x   e x 1  2 .
7.1.
Mostre que f é injetiva.
7.2.
Caraterize a função inversa de f.
8.
Caraterize a função inversa de cada umas das funções definidas por:
8.1.
f  x 
e 2 x 1
3
8.2.
f  x   3log  2  x 
8.3.
f  x 
1
ln x
8.4.
f  x  1  2x
9.
x
Determine o domínio da função f, definida por:
6.1.
7.
1
1
Escreva cada uma das expressões seguintes na forma de um único logaritmo.
9.1.
log 3 6  log 3 2
9.2.
3  log 2 5
9.3.
log5
 log3
2
9.4.
log1,5 2  log1,5 7
9.5.
 2  ln 5  ln 2
9.6.
1  log 3 4
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10. Sejam a e b números reais positivos tais que a  1 e log a b  2 . Determine o valor de:

11. Mostre que, para a, b 
, as igualdades são verdadeiras.
11.2. eln a ln b 
11.1. 51log5 a  5a
11.3. log a b 
a
11.5. ln
e
log 2 2
1
logb a

 a
10.3. log a 

 b 
1
10.2. log a  
b
10.1. log a  a 2b 
11.4. log
a
b
a
5
1
3
 log a  log b
2
10
b
3
1
 ln a  1
2
12. Resolva as equações.
1
 3e x  2  0
x
e
12.1. 3  log e3 x  0
12.2.
12.3. e x  4e x  5  0
12.4. log  x  1  . 3x x 2  3x   0
13. Resolva as inequações.
1
1
13.1.  
2
x
3
2
1
13.2. 3
x
13.3. log 1  x  1  log 1 2
5
13.5.
x
2
x2
4
1
 
3
x 1
13.4. log e2  3 x  1  5
5
 1 e x  2  0
13.6. xe x 1  x  0
 1

13.8. log 1   x   0
3
x

e 
13.7. log  x  2   log  x  1  log5
14. Indique o valor de p para o qual se verifica a igualdade log p 16  4 .
(B)
2
(A)
2
15. A expressão simplificada de log a
(A)
1
2
(B)
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
1
2
(C)


ln a e , com a 
(C)
log a e
4
(D)
4
\ 1 é:
(D)
Nenhuma das anteriores
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função logarítmica
16. Na figura estão partes das representações gráficas das
funções f  x   0,005 x 2 g  x   log 2 x .
y
g
Determine:
16.1. lim
x 
f
f
g
0
x
16.2. lim  f  g 
x 
g
x  f
16.3. lim
17. Calcule os seguintes limites:
log 2 x
x  x100
x
x  ln x
17.1. lim
17.4. lim
x 
17.2. lim
ln  5 x 
ex
x  ln x
17.5. lim
x
17.3. lim  x 2  ln x 
x 
17.6. lim
x 

3
x 2  e x

x
 14 
18. A função c  x   145   , x  0 é usada como modelo para calcular o valor de um andar
 15 
num prédio de uma cidade, em milhares de euros, durante 20 anos após a sua compra.
18.1. Determine o valor inicial do andar.
18.2. Qual é a percentagem de desvalorização do andar ao ano?
18.3. Qual o custo do andar 10 anos depois da compra?
19. Admita que às 9 horas foi administrado a um doente um fármaco onde a função
c  x   t  1,052t nos permite avaliação a concentração do medicamento por cada litro de
sangue, nas 24 horas imediatamente a seguir à toma.
Para o tratamento ter o efeito desejado é necessário tomar um 2º fármaco no instante em
que a concentração do primeiro atinge o valor máximo, sendo também necessário garantir
que, após a administração do 2º fármaco, a concentração do 1º por litro de sangue se
mantenha superior a 3,5 mg, durante pelo menos três horas.
Sabe-se que o doente tomou o 2º fármaco às 20 horas e 30 minutos.
Numa composição matemática, explique de forma clara o cumprimento, ou não, por parte
do doente das indicações médicas e se estão reunidas as condições para que o tratamento
tenha o efeito desejado.
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função logarítmica
nt
r

20. A fórmula C  C0 1   permite determinar o capital (C) acumulado ao fim de t anos,
 n
onde C 0 representa o capital inicial investido à taxa anual de r % com capitalização n vezes
por ano.
Quantos anos serão necessários ter no banco 1000 euros para que se obtenham 1500 euros
se a taxa anual nominal for de 12% com capitalizações quadrimestrais?
21. Quanto tempo devemos ter no banco 10000 euros de modo a obtermos o dobro, se
investindo à taxa de 8% com capitalizações semestrais?
22. Numa certa cultura de bactérias, o número de bactérias existentes depois de t horas é dado
pela expressão Q  Q0 .e0,36t , em que Q0 representa o número inicial de bactérias.
22.1. Se inicialmente existirem 750 bactérias, passados 240 minutos quantas bactérias
existirão?
22.2. Quanto tempo é necessário para que 400 bactérias se transformem em 4000000?
22.3. Quanto tempo é necessário para que o número de bactérias duplique, apresente o
resultado arredondado às unidades?
23. Considere a fórmula P  1000 1  e0,3n 
23.1. Exprima n em função de P.
23.2. Calcule n, considerando P  500 .
24. No referencial da figura encontra-se representada a curva de
equação y  ln  x  .  ABCD é um trapézio retângulo, sendo
A  2,0  e B  6,0  .
Mostre que a área do trapézio é ln144 .
25. Numa experiência laboratorial para obter cloreto de sódio, colocou-se numa tina uma certa
quantidade de água do mar e expôs-se a uma fonte de calor.
Após t horas do início da experiência, a quantidade de água, em ml, existente na tina é dada
pela expressão:
 10 
Q  t   103  log 

 t 1
25.1. Que quantidade de água se utilizou na experiência?
25.2. Comente a afirmação “Ao fim de duas horas, 50% da água com que se tinha iniciado a
experiência tinha passado ao estado gasoso”.
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função logarítmica
25.3. Considere a função E definida por E  t   1000  Q  t  . No contexto da atividade, o que
representa a função E?
25.4. Determine analiticamente, durante quanto tempo decorreu a experiência, sabendo que
esta termina quando a totalidade da água se evaporar.
26. Sabe-se que a magnitude M de um sismo, na escala de Richter, é dada pela expressão:
M
2
 log E  11,4 , sendo E a energia libertada, em ergs.
3
No dia 17 de agosto de 1999, um sismo na Turquia atingiu grau 7,4 na escala de Richter.
Poucas horas depois do sismo, com metade da amplitude deste, ocorreu um outro sismo em
Lima, capital do Peru.
Enquanto no sismo da Turquia houve cerca de 40 000 mortos, no sismo de Lima não houve
vítimas. Tente justificar este facto, tendo como base a razão entre as energias libertadas
pelos dois sismos.
27. Considere as funções g e h, definidas por:
g  x   1  log 2  x  3 e h  x  
2  e1 x
3
27.1. Caraterize a função inversa de h.
27.2. No referencial da figura está parte da representação
gráfica da função f, inversa de g, e o ponto A, ponto de
interseção do gráfico com o eixo das abcissas.
y
f
Determine:
27.2.1. As coordenadas do ponto A sem recorrer à
função f.
0
A
x
27.2.2. As coordenadas do ponto A através da
expressão que define a função f.
27.3. Resolva, em
, a inequação g  x   3 .
27.4. Estude o sinal da função h.
Bom trabalho!!
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função logarítmica
Soluções
1.
1.1.
1.3.
1.5.
1.7.
4
4
3
3
1.2.
1.4.
1.6.
1.8.
1.9.
1
1.10.
2
0
5
1
10
3
2.
3
4
2.1.

2.3.
8
2.4.
2.5.
24
2.6.
2.7.
0,9
2.8.
2.9.
3
2.10.
500
2.12.
2.11.
3.
3.1.
3.3.
2.2.
ln 2
3,3
3.2.
3.4.
2
1
5
3
1
12
1
3
3
log3 5  1
ln 6
4.
4.1.
g  x  A , h  x  D , i  x  B , j  x  C
4.2.
Dg 

, Dh  2, 
Di 

, Dj 

5.
5.1.
D  2,  , D ' 
5.2.
D

, D' 
5.3.
D

, D' 
6.
6.1.
6.3.
6.5.
6.7.
1, 
1, 
1, 
0,e
7.
7.1.
7.2.
f 1  x   1  ln  x  2 
D f 1  2, 
8.
1  ln  3 x 
8.1.
f 1  x  
8.2.
f 1  x   2  10 3 ; D f 1 
8.3.
f 1  x   e x ; D f 1 
8.4.
f 1  x  
2
; D f 1 

x
1
\ 0
1
log 2  x  1
D f 1  1,  \ 2
9.
9.1.
log 3 12
9.2.
log 2 125
9.3.
log 3 5
9.4.
log1,5 14
9.5.
5 
ln  e2 
2 
9.6.
log 3 12
4
-2
 
10.
10.1.
10.2.
10.3.

3
2
11.
12.
12.1.
12.3.

0
1
0,log 4
12.2.
12.4.
0
0,1
13.
6.2.
6.4.
6.6.
0,  \ 9
2,3  5, 
0,
 3  17   3  17 
,0    3,


2 
 2
 
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6.8.
13.1.
13.2.
13.3.
13.4.
3

 ,  2 


 ,2  2 3    2  2 3,  

 

3, 
 e10  1

,  

 3

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função logarítmica
13.5.
13.6.
13.7.
13.8.
, 1  1, 
,0  1, 
9

 4 ,  


 3  21
3   3  21 3 
,
,



6
3  
6
3 

14.
B
15.
B
16.
16.1.

25.3.
Quantidade de água que se evapora ao
fim de t horas.
25.4.
9 horas
26.
27.
27.1.
h1  x   1  ln  2  3x 
2

Dh1   , 
3

27.2.
27.2.1. 1  log 2 3,0 
16.2.

16.3.
0
27.2.2. 1  log 2 3,0 
27.3.
27.4.
17.
17.1.
17.4.

0
18.
18.1.
18.2.
18.3.
145000€
6,67%
72734€
17.2.
17.5.
0

17.3.
17.6.
0
0
3,1
Positiva: 1  ln 2, 
Negativa: ,1  ln 2
19.
20.
3,43 anos
21.
9 anos
22.
22.1.
22.2.
22.3.
3166 bactérias
26 horas
2 horas
23.
23.1.
n
23.2.
2,31
10 
p 
ln 1 

3  1000 
24.
25.
25.1.
25.2.
1000 ml
Afirmação falsa. Ao fim de duas horas
existia na tinha 523 ml de água,
aproximadamente.
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8/8