física capítulo 4

E-books
PCNA
FÍSICA
CAPÍTULO 4
VOL. 4 – APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON
2
FÍSICA CAPÍTULO 4
Sumário
4
APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON
4
Objetivos de aprendizagem: . . . . .
Introdução . . . . . . . . . . . . . . .
Aplicações da primeira lei de newton:
em equilı́brio . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Aplicações da segunda lei de newton:
das partı́culas . . . . . . . . . . . . .
4.5 Forças de contato . . . . . . . . . . .
4.1
4.2
4.3
4.5.1
4.5.2
Força normal . . . . . .
Forças de atrito . . . . .
4.5.2.1 Atrito estático
4.5.2.2 Atrito cinético
4.5.3 Forças de tração . . . .
Massa e peso . . . . . . . . . .
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4.6
4.7 Dinâmica do movimento circular
Principais pontos do capı́tulo . . . . . .
EXERCÍCIOS . . . . . . . . . . . . . .
GABARITO . . . . . . . . . . . . . . .
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .
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4
4
partı́culas
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5
dinâmica
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FÍSICA CAPÍTULO 4
Apresentação
Ao chegar à UFPA, você tem a possibilidade de cursar gratuitamente cursos de nivelamento em Ciências Básicas (Fı́sica,
Quı́mica e Matemática). Assistindo às aulas no próprio ambiente em que cursará sua graduação, isso auxiliará você a adquirir o conhecimento necessário para enfrentar melhor o programa
curricular do seu curso. Então seja Bem-vindo ao Curso de Nivelamento em Fı́sica Elementar do PCNA. Este é o quarto de
uma série de cinco E-books que vão lhe acompanhar durante o
curso, o professor utilizará este material como apoio às suas aulas e é fundamental que você o leia e acompanhe as atividades
propostas.
A série “E-books PCNA-Fı́sica” foi desenvolvida com o propósito de apresentar o conteúdo do curso de Fı́sica Elementar,
fornecendo também ferramentas para facilitar o ensino e a aprendizagem da disciplina Fı́sica Fundamental I que você irá encontrar em breve na sua graduação.
Neste fascı́culo você irá encontrar o conteúdo de Aplicações
das Leis de Newton. É bom lembrar que não se pode aprender
Fı́sica Fundamental I sem alguns pré-requisitos, que muitas das
vezes não valorizamos por acharmos simples e descomplicados,
todavia, atenção e compreensão se fazem necessária.
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4
FÍSICA CAPÍTULO 4
CAPÍTULO 4
4
APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON
4.1
Objetivos de aprendizagem:
• Utilizar a primeira lei de Newton para resolver problemas
referentes às forças que atuam sobre um corpo em equilı́brio.
• Utilizar a segunda lei de Newton para resolver problemas
referentes às forças que atuam sobre um corpo em aceleração.
• Aprender a fórmula empı́rica para forças de atrito estático
e de atrito cinético e como resolver problemas que envolvem
essas forças.
• Solucionar problemas referentes às forças que atuam sobre
um corpo que se move ao longo de uma trajetória circular
com velocidade escalar uniforme.
4.2
Introdução
Vimos no Capitulo 3 que as três leis de Newton do movimento, o fundamento da mecânica clássica, podem ser formuladas
de modo simples. Porém, as aplicações dessas leis em situações
tais como um rebocador rebocando um navio mais pesado do
que ele ou um avião fazendo uma curva acentuada requerem habilidades analı́ticas e técnicas para solução de problemas. Neste
capı́tulo aprofundaremos as habilidades para a solução de problemas que você começou a aprender no capı́tulo anterior.
Começamos com problemas envolvendo o equilı́brio, nos
quais o corpo está ou em repouso ou movendo-se com velocidade
vetorialmente constante. A seguir, generalizamos nossas técnicas
para a solução de problemas que envolvem corpos que não estão
em equilı́brio, para os quais precisamos considerar com exatidão
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FÍSICA CAPÍTULO 4
as relações entre as forças e o movimento. Vamos ensinar como
descrever e analisar as forças de contato entre corpos em repouso
ou quando um corpo desliza sobre uma superfı́cie. Finalmente,
estudaremos o caso importante do movimento circular uniforme,
no qual o corpo de desloca ao longo de uma circunferência com
velocidade escalar constante.
4.3
Aplicações da primeira lei de newton: partı́culas
em equilı́brio
No capı́tulo 3, aprendemos que um corpo está em equilı́brio
quando está em repouso ou em movimento retilı́neo uniforme
em um sistema de referência inercial. Uma lâmpada suspensa,
uma ponte pênsil, um avião voando em linha reta e plana a uma
velocidade escalar constante – são todos exemplos de situações
de equilı́brio. Nesta seção vamos considerar apenas o equilı́brio
de corpos que podem ser modelados como partı́culas, ou seja,
as dimensões dos corpos não são relevantes para os problemas
que estamos resolvendo, isto é, dizer que podemos considerar
todas as forças como sendo aplicadas em um mesmo ponto. O
principio fı́sico essencial é a primeira lei de Newton: quando uma
partı́cula está em repouso ou em movimento retilı́neo uniforme
em um sistema de referencia inercial, a força resultante que atua
sobre ela – isto é, a soma vetorial de todas as forças que atuam
sobre ela – deve ser igual à zero:
X
F~ = 0
(1)
(partı́cula em equilı́brio, forma vetorial)
Normalmente usaremos essa relação utilizando os componentes:
X
Fx = 0;
X
Fy = 0;
X
Fz
(2)
(partı́cula em equilı́brio, forma de componentes)
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FÍSICA CAPÍTULO 4
Esta seção é sobre o uso da primeira lei de Newton para
resolver problemas envolvendo corpos em equilı́brio. Alguns deles
podem parecer complicados, mas o importante é lembrar que
todos esses problemas são resolvidos do mesmo modo.
4.4
Aplicações da segunda lei de newton: dinâmica
das partı́culas
Agora estamos preparados para discutir problemas de dinâmica.
Nesses problemas, aplicamos a segunda lei de Newton para corpos
sobre os quais a força resultante é diferente de zero e, portanto,
não estão em equilı́brio; mas sim em aceleração. A força resultante sobre o corpo é igual ao produto da massa pela aceleração
do corpo.
X
F~ = m~a
(3)
(partı́cula acelerada, forma vetorial)
Normalmente usaremos essa relação na forma de componentes:
X
X
X
Fx = max ;
Fy = may ;
Fz = maz
(4)
(segunda lei de Newton, forma de componentes)
IMPORTANTE!
Todo corpo que não está em equilı́brio sob a
ação de uma ou mais forças está acelerado, e a
recı́proca é verdadeira. Se o corpo está acelerado é porque há uma força resultante não nula
atuando sobre ele.
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4.5
FÍSICA CAPÍTULO 4
Forças de contato
Em muitas situações, um objeto está em contato com uma
superfı́cie, como, por exemplo, a superfı́cie de uma mesa. Por
conta do contato, há uma força agindo sobre o objeto. Esta seção
discute apenas uma componente desta força, a componente que
atua perpendicularmente à superfı́cie. A próxima seção discute
a componente que atua na direção paralela à superfı́cie. A componente perpendicular é chamada de força normal.
4.5.1
Força normal
Figura 1: Duas forças atuam sobre o bloco, o seu peso P~ e a
força normal F~N exercida pela superfı́cie da mesa.
A Figura 1 mostra um bloco repousado sobre uma mesa
horizontal e identifica as duas forças que agem sobre o bloco, o
peso P~ e a força normal F~N . Para entender como um objeto
inanimado, como o tampo de uma mesa, pode exercer uma força
normal, pense no que ocorre quando você senta sobre um colchão.
Seu peso faz com que as molas no colchão sejam comprimidas.
Em consequência disso, as molas comprimidas exercem em você
uma força para cima (a força normal). De maneira semelhante,
o peso do bloco faz com que “molas atômicas” invisı́veis na superfı́cie da mesa sejam comprimidas, produzindo, assim, uma
força normal sobre o bloco.
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FÍSICA CAPÍTULO 4
A terceira lei de Newton tem um papel importante relacionado com a força normal. Na Figura 1, por exemplo, o bloco
exerce uma força sobre a mesa comprimido-a para baixo. Consistente com a terceira lei, a mesa exerce uma força na mesma
direção, dirigida no sentido oposto, de mesmo módulo sobre o
bloco. Esta força de reação é a força normal. O módulo da força
normal indica o grau de compressão mútua dos dois objetos.
Se um objeto estiver em repouso sobre uma superfı́cie horizontal e não existirem forças atuando na vertical, com exceção do
peso do objeto e da força normal, os módulos destas duas forças
são iguais; ou seja, | F~N |=| P~ |. Esta é a situação mostrada
na Figura 1. O peso deve ser contrabalançado pela força normal
para que o objeto permaneça em repouso sobre a mesa. Se os
módulos destas forças não fossem iguais, haveria uma força resultante sobre o bloco, e o bloco estaria acelerado para cima ou
para baixo, de acordo com a segunda lei de Newton.
Figura 2: (a) A força normal F~N é maior do que o peso da caixa,
pois a caixa está sendo pressionada para baixo com uma força de
11 N. (b) A força normal é menor do que o peso, pois há uma
força de 11 N para cima que sustenta parcialmente a caixa.
Se houver outras forças atuando na direção vertical além
~
de P e F~N , os módulos da força normal e do peso não são mais
iguais. Na Figura 2.a, por exemplo, uma caixa cujo peso é de
15 N está sendo empurrado para baixo contra uma mesa. A
força de compressão possui um módulo de 11 N. Assim, a força
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FÍSICA CAPÍTULO 4
total para baixo exercida sobre a caixa é de 26 N, e deve ser
contrabalançada pela força normal orientada para cima para que
a caixa permaneça em repouso. Nesta situação, então, a força
normal é de 26 N, que é consideravelmente maior do que o peso
da caixa.
A Figura 2.b ilustra uma situação diferente. Neste caso, a
caixa está sendo puxada para cima por uma força de 11 N. A força
resultante que age sobre a caixa devido ao seu peso e a força para
cima é de apenas 4 N. Não é difı́cil imaginar o que aconteceria se a
força aplicada para cima fosse aumentada para 15 N – exatamente
igual ao peso da caixa. Nesta situação, a força normal se anularia.
Na verdade, a mesa poderia ser retirada, já que o bloco estaria
inteiramente sustentando pela força. As situações na Figura 2 são
consistentes com a ideia de que o módulo da força normal indica
o grau de compressão mútua de dois objetos. Evidentemente, a
caixa e a mesa se comprimem mais fortemente na Figura 2.a do
que na Figura 2.b.
4.5.2
Forças de atrito
O atrito é importante em muitos aspectos de nossa vida cotidiana, ou seja, normalmente pensamos o atrito como algo indesejável, mas o atrito é necessário. O óleo no motor de um
automóvel minimiza o atrito entre as partes móveis, porém, não
fosse o atrito entre os pneus do carro e o solo, não poderı́amos
dirigir um carro e nem fazer curvas. O arraste do ar – a força
de atrito exercida pelo ar sobre um corpo que nele se move – faz
aumentar o consumo de combustı́vel de um carro, mas possibilita
o uso de paraquedas. Sem atrito, os pregos pulariam facilmente,
os bulbos das lâmpadas se desenrolariam sem nenhum esforço e
o hóquei no gelo seria impraticável (Figura 3).
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FÍSICA CAPÍTULO 4
Figura 3: A prática do hóquei no gelo depende decisivamente do atrito
entre os patins do jogador e o gelo. Quando o atrito é muito elevado,
o jogador se locomove muito lentamente; quando o atrito é muito pequeno, o jogador dificilmente evita sua queda.
O atrito é um fenômeno complexo, não totalmente compreendido, que surge da atração entre as moléculas de duas superfı́cies em contato. A natureza desta atração é eletromagnética
– a mesma da ligação molecular que mantém um objeto coeso.
Esta força atrativa de curto alcance se torna insignificante após
apenas alguns diâmetros moleculares.
Como mostrado na Figura 4, objetos comuns que parecem
lisos, e que sentimos como lisos são ásperos em escala atômica
(microscópica). Isto ocorre mesmo quando as superfı́cies são
muito bem polidas. Quando as superfı́cies entram em contato,
elas se tocam apenas nas saliências, as chamadas asperezas, mostradas na Figura 4. À medida que um bloco desliza sobre um
piso, ligações microscópicas se formam e se rompem, e o numero
total dessas ligações é variável. Alisar as superfı́cies em contato
pode, na verdade, aumentar o atrito, visto que mais moléculas
se tornam aptas a formar ligações; juntar duas superfı́cies lisas
de um mesmo metal pode produzir uma ‘solda a frio’. Os óleos
lubrificantes fazem diminuir o atrito porque uma pelı́cula de óleo
se forma entre as duas superfı́cies (como no caso do pistão e das
paredes do cilindro no motor de um carro), impedido – as de
entrar em contato efetivo.
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FÍSICA CAPÍTULO 4
Figura 4: A área microscópica de contato entre a caixa e o piso é apenas uma pequena fração da área macroscópica da superfı́cie do tampo
da caixa. A área microscópica é proporcional à força normal exercida
entre as superfı́cies. Se a caixa repousa sobre um de seus lados, a área
microscópica aumenta, mas a força por unidade diminui, de forma que
área microscópica de contato não muda. Não importa se a caixa está
de pé ou deitada, a mesma força horizontal F aplicada é necessária para
mantê-la deslizando com rapidez constante (PAUL A. TIPLER, GENE
MOSCA, 2012).
4.5.2.1
Atrito estático
Figura 5: Atrito Estático.
Você aplica uma pequena força horizontal F~ (Figura 5) soPágina | 11
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FÍSICA CAPÍTULO 4
bre uma grande caixa que esta em repouso sobre o piso. A caixa
pode não vir a se mover perceptivelmente, porque a força de
atrito estático fe exercida pelo piso sobre a caixa contrabalança
a força que você aplica. Atrito estático é a força de atrito que
atua quando não existe deslizamento entre as duas superfı́cies
em contato – é a força que evita que a caixa escorregue. A força
de atrito estático, em sentido contraria a força aplicada sobre a
caixa, pode variar em magnitude de zero até um valor máximo
fe máx , dependendo do seu empurrão. Isto é, enquanto você empurra a caixa, a força oposta de atrito estático vai aumentando
para se manter igual em magnitude à força aplicada, até que a
magnitude da força aplicada exceda o valor máximo da força de
atrito fe máx . Dados mostram que fe máx é proporcional à intensidade das forças que pressionam as duas superfı́cies uma contra
outra. Isto é,fe máx é proporcional à magnitude da força normal
excedida por uma superfı́cie sobre a outra:
fe máx = µe FN
(5)
(módulo da força de atrito estático)
Onde a constante de proporcionalidade µe é o coeficiente
de atrito estático. Este coeficiente depende dos materiais de que
são feitas as superfı́cies em contato e das temperaturas das superfı́cies. Se você exerce uma força horizontal com uma magnitude menor ou igual a fe máx sobre a caixa, a força de atrito
estático irá justo contrabalançar esta força horizontal o mı́nimo
que seja maior que fe máx sobre a caixa, então a caixa começará
a deslizar. Assim, podemos escrever a Equação 5 como:
fe máx ≤ µe FN
(6)
A orientação da força de atrito estático é tal que ela se opõe
a tendência de deslizamento da caixa.
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FÍSICA CAPÍTULO 4
IMPORTANTE!
Se a força horizontal que você exerce sobre
uma caixa aponta para esquerda, então a
força de atrito estático aponta para a direita.
A força de atrito estático sempre se opõe à
tendência de deslizamento.
IMPORTANTE!
A Equação 6 é uma desigualdade porque a magnitude da força de atrito estático varia de zero
até fe máx .
IMPORTANTE!
Lembre-se de que a Equação 5 não é uma
equação vetorial porque fe e FN são sempre perpendiculares. Em vez disso, representa
uma relação escalar entre os módulos das duas
forças.
4.5.2.2
Atrito cinético
Se você empurrar a caixa da Figura 5 com suficiente vigor,
ela deslizará sobre o piso. Enquanto ela escorrega, o piso exerce
uma força de atrito cinético fc (também chamado de atrito
dinâmico, ou de deslizamento) que se opõe ao movimento. Para
manter a caixa deslizando com velocidade constante, você deve
exercer uma força sobre a caixa igual em magnitude e oposta em
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FÍSICA CAPÍTULO 4
sentido à força de atrito cinético exercida pelo piso. Assim como
a magnitude da força de atrito estático máxima, a magnitude de
fc da força de atrito cinético é proporcional à magnitude fn da
força normal exercida por uma superfı́cie sobre a outra:
fc = µc FN
(7)
Onde a constante de proporcionalidade µc é o coeficiente
de atrito cinético. Este coeficiente depende dos materiais de
que são feitas as superfı́cies em contato e das temperaturas das
superfı́cies em contato. Diferentemente do atrito estático, a força
de atrito cinético é independente da magnitude da força horizontal aplicada. Experimentos mostram que µc é aproximadamente
constante para uma larga faixa de valores de rapidez.
Figura 6: Gráfico da força de atrito.
IMPORTANTE!
O atrito entre o pneu e o piso é aproximadamente o mesmo, seja o pneu largo ou estreito.
O propósito da maior área de contato é diminuir
o aquecimento e o desgaste.
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FÍSICA CAPÍTULO 4
IMPORTANTE!
Os pneus possuem ranhuras não para aumentar
o atrito, mas para deslocar e redirecionar a água
entre a superfı́cie da rodovia e o lado externo
dos pneus. Muitos carros de corrida usam pneus
sem ranhuras, porque correm em dias secos.
A Figura 6 mostra um gráfico da força de atrito exercida
sobre a caixa pelo piso em função da força aplicada. A força de
atrito contrabalança a força aplicada até que a caixa começa a
deslizar, o que ocorre quando a força aplicada excede a µe FN por
uma quantidade infinitesimal. Enquanto a caixa está deslizando,
a força de atrito permanece igual a µc FN . Para quaisquer duas
superfı́cies em contato, µc é menor que µe . Isto significa que
você deve empurrar com mais vigor para fazer com que a caixa
comece a deslizar, do que para mantê-la deslizando com rapidez
constante.
4.5.3
Forças de tração
Forças são frequentemente aplicadas por meio de cabos ou
cordas usados para puxar um objeto. Por exemplo, a Figura 7.a
mostra uma força T~ sendo aplicada à extremidade direita de uma
corda presa a uma caixa. Cada partı́cula na corda, por sua vez,
aplica uma força a sua vizinha. Consequentemente, a força é
aplicada à caixa, como mostra a Figura 7.b.
Em situações como a da Figura 7, dizemos que “a força T~
é aplicada na caixa por causa da tração na corda”, significando
que a tração e a força aplicada à caixa possuem o mesmo módulo.
Entretanto, a palavra “tração” é comumente usada para significar
a tendência de a corda ser esticada. Para ver a relação entre estes
dois usos da palavra “tração”, considere a extremidade esquerda
da corda, que aplica a força T~ à caixa. De acordo com a terceira
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FÍSICA CAPÍTULO 4
Figura 7: (a) A força T~ está sendo aplicada à extremidade direita
de uma corda. (b) a força é transmitida para caixa. (c) Forças são
aplicadas às duas extremidades da corda. Estas forças possuem
mesmos módulos e direções opostas (mesma direção e sentidos
contrários), (CUTNELL & JOHNSON, 2012).
lei de Newton, a caixa aplica uma força de reação à corda. A
força de reação possui o mesmo módulo e mesma direção que
T~ , mas sentido contrário. Em outras palavras, uma força −T~
atua na extremidade esquerda da corda. Desta forma, forças de
mesmo módulo atuam em extremidades opostas da corda, como
na figura 7.c, e tendem esticá-la.
4.6
Massa e peso
O peso de um corpo é uma das forças mais familiares que
a Terra exerce sobre o corpo. (Quando você estiver em outro
planeta, seu peso será a força gravitacional que o planeta exerce
sobre você.) infelizmente, os termos massa e peso em geral são
mal empregados e considerados sinônimos em nossa conversação
cotidiana. É extremamente importante que você saiba a diferença
entre essas duas grandezas fı́sicas.
A massa caracteriza a propriedade da inércia de um corpo.
Por causa de sua massa, a louça fica praticamente em repouso
sobre a mesa quando você puxa repentinamente a toalha. Quanto
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FÍSICA CAPÍTULO 4
maior a massa, maior a força necessária para produzir uma dada
P
aceleração; isso se reflete na segunda lei de Newton, F~ = m~a.
O peso de um corpo, por outro lado, é a força de atração
gravitacional exercida pela Terra sobre o corpo. Massa e peso se
relacionam: um corpo que possui massa grande também possui
peso grande. É difı́cil lançar horizontalmente uma pedra grande
porque ela possui massa grande, e é difı́cil levantá-la porque ela
possui peso grande. Qualquer corpo próximo da superfı́cie da
terra que possua massa de 1 kg deve possuir um peso igual a
9,8 N para que ele tenha a aceleração que observamos quando
o corpo está em queda livre. Generalizando, qualquer corpo de
massa m deve possuir um peso com módulo P dado por:
| P~ |= m. | ~g |
(8)
Logo, o módulo | P~ | do peso de um corpo é diretamente
proporcional à sua massa m. O peso de um corpo é uma força,
uma grandeza vetorial, de modo que podemos escrever a Equação
7 como uma equação vetorial (Figura 8):
Figura 8: A relação entre massa e peso.
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FÍSICA CAPÍTULO 4
P~ = m~g
(9)
Lembre-se de que | ~g | é o módulo de ~g , a aceleração da
gravidade, logo, g é sempre positivo. Portanto, P , dado pela
Equação 8, é o módulo do peso e também é sempre um número
positivo.
IMPORTANTE!
Lembre-se que o peso de um corpo atua eternamente sobre
o corpo, independentemente de ele estar ou não em queda livre. Quando um objeto de 10 kg está em equilı́brio, suspenso
por uma corrente, sua aceleração é igual a zero. Porem, seu
peso, dado pela Equação 9, continua puxando-o para baixo
(Figura 8). Nesse caso, a corrente exerce uma força que puxa
o objeto de baixo para cima. A soma vetorial das forças é
igual a zero, mas o peso ainda atua.
4.7
Dinâmica do movimento circular
Movimentos circulares são muito comuns na natureza. As
palhetas de um ventilador, um CD e o pneu de um carro são
apenas alguns exemplos que fazem parte de nosso cotidiano. De
uma maneira geral podemos afirmar que uma partı́cula está em
movimento circular quando sua trajetória é uma circunferência.
Em situações onde o valor numérico da velocidade permanece
constante, dizemos que o corpo descreve um Movimento Circular
Uniforme (MCU).
Quando uma partı́cula se desloca ao longo de uma circunferência com velocidade escalar constante, a aceleração da
partı́cula é sempre orientada para o centro do cı́rculo (perpendicular à velocidade instantânea). O módulo arad da aceleração
é constante, sendo dado em termos da velocidade v e do raio R
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FÍSICA CAPÍTULO 4
por:
v2
(10)
R
O ı́ndice inferior ‘rad’ é um lembrete de que a aceleração da
partı́cula é sempre orientada ao longo da direção radial, para o
centro do cı́rculo e perpendicular à velocidade instantânea. Podemos também representar a aceleração centrı́peta, arad , em
termos do perı́odo T , o tempo necessário para uma revolução:
arad =
T =
2πR
v
(11)
Em termos do perı́odo,arad é dada por:
arad =
4π 2 R
T2
(12)
O movimento circular uniforme, como qualquer movimento
de uma partı́cula, é governado pela segunda lei de Newton. A
aceleração da partı́cula orientada para o centro deve ser produzida por alguma força, ou diversas forças, tais que a soma vetorial
P~
F seja um vetor sempre orientado para o centro do cı́rculo (Figura 9). O módulo da aceleração é constante, logo o módulo da
força resultante F~total também é constante. Caso a força para
dentro deixe de atuar, a partı́cula é expelida para fora do cı́rculo
descrevendo uma linha reta tangente ao cı́rculo (Figura 10).
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FÍSICA CAPÍTULO 4
Figura 9: Em um movimento circular uniforme, tanto a aceleração, como a força resultante são orientadas para o centro do
circulo.
Figura 10: O que acontece quando a força orientada para o centro
deixa de atuar sobre um movimento circular?
2
O módulo da aceleração radial é dado por |arad | = |v|
R ,
~
logo o módulo | Ftotal | da força resultante sobre uma partı́cula
de massa m em um movimento circular uniforme é dado por:
| F~total |= m. | arad |= m.
| v |2
R
(13)
O movimento circular uniforme pode ser produzido por
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FÍSICA CAPÍTULO 4
P~
qualquer conjunto de forças, desde que a força resultante
F
seja sempre orientada para o centro do cı́rculo e possua módulo
constante. Note que o corpo não precisa se mover em torno de
um cı́rculo completo: a Equação 13 é valida para qualquer trajetória que possa ser considerada como parte de um arco circular.
IMPORTANTE!
A força centrı́peta não é uma força real. Este
é meramente um nome que se dá para a
componente da força resultante que aponta
para o centro de curvatura da trajetória. Assim como a força resultante, a força centrı́peta
não está presente em um diagrama de corpo livre. Apenas forças reais pertencem a diagramas
de corpo livre.
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FÍSICA CAPÍTULO 4
Principais pontos do capı́tulo:
• Forma vetorial da Primeira Lei de Newton:
X
F~ = 0
• Forma de componentes da Primeira Lei de Newton:
X
Fx = 0;
X
Fy = 0;
X
Fz
• Forma vetorial da Segunda Lei de Newton:
X
F~ = m~a
• Forma de componentes da Segunda Lei de Newton:
X
Fx = max ;
X
Fy = may ;
X
Fz = maz
• Módulo da Força de Atrito Estático:
fe máx ≤ µe FN
• Módulo da Força de Atrito Cinético:
fc = µc FN
• O movimento circular uniforme é estudado pela Segunda
Lei de Newton, sob a forma:
|F~total | = m.|arad | = m.
|v|2
R
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23
FÍSICA CAPÍTULO 4
EXERCÍCIOS
1. (HALLIDAY & RESNICK, 8a Ed) Em um cabo-deguerra bidimensional, Alex, Charles e Betty puxam horizontalmente um pneu de automóvel nas orientações mostradas na vista superior da figura abaixo. Apesar dos esforços da trinca, o pneu permanece no mesmo lugar. Alex
puxa com a força FA de módulo 220N, Charles puxa com
uma força FC de módulo 170N e Betty puxa com uma força
FB . Qual é o módulo da força FB exercida por Betty?
2. (CUTNELL & JOHNSON, 6a Ed) Um alpinista, durante a travessia entre dois penhascos, faz uma pausa para
descansar. Ele pesa 535N. Como mostrado no desenho, ele
está mais próximo do penhasco da esquerda do que do penhasco da direita, isto faz com que a tração no trecho à
esquerda da alpinista seja diferente da tração no trecho à
sua direita. Determine as trações na corda à esquerda e à
direita da alpinista.
3. (SEARS & ZEMANSKY, 12a Ed) O motor de um
automóvel com peso ‘P’ está suspenso por uma corrente
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FÍSICA CAPÍTULO 4
que está ligada por um anel ‘o’ a duas outras correntes,
uma delas amarrada ao teto e a outra presa na parede. Ache
as tensões nas três correntes em função de ‘P’ e despreze o
peso das correntes e do anel.
4. (MOYSÉS NUSSENZVEIG, 4a Ed) O sistema da figura está em equilı́brio. A distância ‘d’ é de 1 m e o comprimento relaxado de cada uma das duas molas iguais é de
0,5 m. A massa ‘m’ de 1 kg faz descer o ponto ‘P’ de uma
distância h=15 cm e a massa das molas é desprezı́vel. Calcule a constante k das molas.
Dados: K=Força/Deformação da mola
5. (MOYSÉS NUSSENZVEIG, 4a Ed) Um acrobata de
60 kg se equilibra no centro de uma corda bamba de 20m
de comprimento. O centro desceu de 30 cm em relação às
extremidades, presas em suportes fixos. Qual é a tração em
cada metade da corda?
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FÍSICA CAPÍTULO 4
6. (SEARS & ZEMANSKY, 12a Ed) Um carro de 1130
kg está seguro por um cabo leve, sobre uma rampa muito
lisa (sem atrito), como indicado na figura. O cabo forma
um ângulo de 31,0o sobre a superfı́cie da rampa, e a rampa
ergue-se 25,0o acima da horizontal.
a) Desenhe um diagrama do corpo livre para o carro.
b) Ache a tração no cabo.
c) Com que intensidade a superfı́cie da rampa empurra o
carro?
7. (CUTNELL & JOHNSON, 6a Ed) A viga ‘I’ de aço do
desenho possui um peso de 8,00 kN e está sendo suspensa
com velocidade constante. Qual a tração em cada cabo às
suas extremidades?
8. (HALLIDAY & RESNICK, 8a Ed) A figura abaixo
mostra um arranjo no quais quatro discos estão suspensos
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FÍSICA CAPÍTULO 4
por uma corda. A corda mais comprida, do alto, passa
por uma polia sem atrito e exerce uma força de 98N sobre
a parede à qual está presa. As tensões nas cordas mais
curtas são T1 = 58, 8N T2 = 49N T3 = 9, 8N . Quais as
massas (a) do disco A, (b) do disco B, (c) do disco C e (d)
do disco D?
9. (MOYSÉS NUSSENZVEIG, 4a Ed) No sistema representado na figura, calcule as Tensões nas cordas A e B a
compressão na viga C, desprezando as massas da viga e das
cordas.
10. (MOYSÉS NUSSENZVEIG, 4a Ed) O sistema representado na figura está em equilı́brio. Determine as tensões
nos fios 1, 2 e 3 e o valor do ângulo θ
11. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Se um corpo-padrão
de 1 kg tem uma aceleração de 2,00 m/s2 a 20,0o com o
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FÍSICA CAPÍTULO 4
semieixo positivo, quais são (a) a componente x e (b) a
componente y da força resultante a que o corpo está submetido e (c) qual é a força resultante em termos dos vetores
unitários? (trabalhando vetores no contexto de força).
12. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Duas forças horizontais agem sobre um bloco de madeira de 2 kg que pode
deslizar sem atrito na bancada de uma cozinha, situada em
um plano xy. Uma das forças é F~1 = 3ı̂ + 4̂. Determine
a aceleração do bloco em termos dos vetores unitários se
a outra é: (a) F = −3ı̂ + (−4)̂; (b) F = −3ı̂ + 4̂; (c)
F = 3ı̂ + (−4)̂.(obs.: todas as forças são dadas em Newtons) (trabalhando vetores no contexto de força)
13. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed)Na figura abaixo,
três blocos conectados são puxados para a direita sobre
uma mesa horizontal sem atrito por uma força de módulo
T3 =65N. Se m1 =12kg, m2 =24kg e m3 =31kg, calcule (a)
o módulo da aceleração do sistema, (b) a tração e T1 (c) a
tração T2
14. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) A figura abaixo
mostra dois blocos ligados por uma corda (de massa desprezı́vel) que passa por uma polia sem atrito (também de
massa desprezı́vel). O conjunto é conhecido como máquina
de Atwood. Um bloco de massa m1 =1,3kg; o outro tem
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FÍSICA CAPÍTULO 4
massa m2 =2,8kg. Quais são (a) o módulo da aceleração
dos blocos e (b) a tração na corda?
15. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Um bloco de massa
m1 = 3,70 kg sobre um plano sem atrito inclinado, de ângulo
θ = 30,0o , está preso por uma corda de massa desprezı́vel,
que passa por uma polia de massa e atrito desprezı́veis, a
um outro bloco de massa m2 = 2,30 kg. Quais são (a) o
módulo da aceleração de cada bloco, (b) a orientação da
aceleração do bloco que está pendurado e (c) a tração da
corda?
16. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) A figura abaixo
mostra uma caixa de dinheiro sujo (m1=3 kg) sobre um
plano inclinado sem atrito de ângulo θ1 =30o . A caixa está
ligada por uma corda de massa desprezı́vel a uma caixa
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FÍSICA CAPÍTULO 4
de dinheiro lavado (m2=2 kg) situada sobre um plano sem
atrito de ângulo θ2 =60o . A polia não tem atrito e tem
massa desprezı́vel. Calcule a tração da corda.
17. (MOYSÉS NUSSENZVEIG, 4a Ed) No sistema da
figura, m1 = 20 kg, m2 = 40 kg, m3 = 60 kg. Desprezando
as massas das polias e dos fios e o atrito, calcule a aceleração
do sistema e as tensões nos fios 1, 2, 3.
18. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) A figura abaixo
mostra três blocos ligados por cordas que passam por polias
sem atrito. O bloco B está sobre uma mesa sem atrito. As
massas são mA = 6,00 kg, mB = 8,00 kg e mC = 10,0 kg.
Quando os blocos são liberados qual a tração na corda da
direita?
19. (CUTNELL & JOHNSON, 6a Ed) No desenho, o peso
do bloco sobre a mesa é de 422N e o bloco pendurado tem
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FÍSICA CAPÍTULO 4
peso de 185N. Ignorando todos os efeitos de atrito e supondo que a roldana não possui massa, determine: (a) a
aceleração dos dois blocos e (b) a tração no cabo.
20. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Uma lata de antioxidantes (m1 = 1,0 kg) sobre um plano inclinado sem atrito
esta ligado a uma lata de apresuntado (m2 = 2,0 kg). A
polia tem massa e atrito desprezı́veis. Uma força vertical
para cima de módulo F = 6,0 N atua sobre a lata de apresuntado, que tem uma aceleração para baixo de 5,5 m/s2 .
Determine (a) a tração da corda e (b) o ângulo β
21. (MOYSÉS NUSSENZVEIG, 4a Ed) No sistema da
figura, o bloco 1 tem massa 10 Kg e seu coeficiente de atrito
estático com o plano inclinado é 0,5. Entre que valores
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mı́nimo e máximo pode variar a massa m bloco 2 para que
o sistema permaneça em equilı́brio? Desconsidere o atrito
entre o bloco 2 e a parede.
22. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) O bloco B da figura
abaixo pesa 711N. O coeficiente de atrito estático entre o
bloco e a mesa é de 0,25; o ângulo θ é de 30o . Determine
o peso máximo de A para que o sistema permaneça em repouso.
23. HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Os três blocos da
figura abaixo são liberados a partir do repouso. Aceleram
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FÍSICA CAPÍTULO 4
com um módulo de 0,500 m/s2 . O bloco 1 tem massa M, o
bloco 2 tem massa 2M e o bloco três tem massa 2M. Qual
o coeficiente de atrito cinético entre o bloco 2 e a mesa?
24. HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) O bloco A da figura
abaixo Pesa 102N, e o bloco B pesa 32N. Os coeficientes de
atrito entre o bloco A e a rampa são µe =0,56 e µc =0,25. O
ângulo de inclinação da rampa com a horizontal é de 40o .
Suponha que o eixo x é paralelo à rampa, com o sentido
positivo para cima. Em termos de vetores unitários, qual
é a aceleração de A se A está inicialmente (a) em repouso,
(b) subindo a rampa e (c) descendo a rampa?
25. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Um bloco de 3,5kg
é empurrado ao longo de um piso horizontal por uma força
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FÍSICA CAPÍTULO 4
F de módulo 15N que faz um ângulo de 40o com a horizontal
(figura abaixo). O coeficiente de atrito cinético entre o
bloco e o piso é 0,25. Calcule (a) o módulo da força de
atrito que o piso exerce sobre o bloco e (b) o módulo da
aceleração do bloco.
26. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Um bloco de 4,1
kg é empurrado sobre o piso pela aplicação de uma força
horizontal constante de módulo 40N. A figura abaixo mostra a velocidade do bloco v em função do tempo t quando
o bloco se desloca sobre o piso ao longo de um eixo x. A
escala vertical do gráfico é definida por vs=5 m/s. Qual é
o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o piso?
27. (CUTNELL & JOHNSON, 6a Ed) O desenho mostra
um caixote de 25,0 kg que inicialmente está em repouso.
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FÍSICA CAPÍTULO 4
Observe que a vista mostrada é uma vista da parte de cima
do caixote. Duas forças, F1 e F2 são aplicadas ao caixote,
e ele começa a se mover. O coeficiente de atrito cinético
entre o caixote e o piso é µc = 0,35. Determine o módulo e
o sentido (em relação ao eixo +x) da aceleração do caixote.
28. (CUTNELL & JOHNSON, 6a Ed) Um caixote de 225
kg repousa sobre uma superfı́cie que está inclinada de um
ângulo de 20o acima da horizontal. Uma força horizontal
(módulo = 535 N e paralela ao chão, não ao plano inclinado)
é necessária para dar inı́cio ao movimento de descida do
caixote no plano inclinado. Qual o coeficiente de atrito
estático entre o caixote e o plano inclinado?
29. (PAUL A. TIPLER, GENE MOSCA, 6a Ed) Dois
blocos ligados por um cordão como mostra a figura abaixo,
deslizam para baixo sobre um plano inclinado de 10o . O
bloco 1 tem a massa m1 = 0,80 kg e o bloco 2 tem massa
m2 = 0,25 kg. Ademais, os coeficientes de atrito cinético
entre os blocos e o plano são 0,30, para o bloco 1 e 0,20
para o bloco 2. Encontre (a) a magnitude da aceleração
dos blocos e (b) a tração no cordão.
30. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Um caixote de 68
kg é arrastado sobre um piso, puxado por uma corda inclinada 15o acima da horizontal. (a) Se o coeficiente de atrito
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FÍSICA CAPÍTULO 4
estático é 0,50, qual é o valor mı́nimo do módulo da força
para que o caixote comece a se mover? (b) se µc = 0,35,
qual é o módulo da aceleração do caixote?
31. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Suponha que o coeficiente de atrito estático entre a estrada e os pneus de
um carro é 0,60 e não há sustentação negativa. Que velocidade deixa o carro na iminência de derrapar quando faz
uma curva não compensada com 30,5 m de raio?
32. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Qual o menor raio
de uma curva sem compensação (plana) que permite um
ciclista a 29 km/h faça a curva sem derrapar se o coeficiente
de atrito estático* entre os pneus e a pista é de 0,32?
33. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Durante uma corrida de trenós nas Olimpı́adas de Inverno, a equipe jamaicana fez uma curva de 7,6m de raio com uma velocidade de
96,6 km/h. Qual foi a sua aceleração em unidades de g?
34. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Na figura abaixo,
um carro passa com velocidade constante por uma elevação
circular e por uma depressão circular de mesmo raio. No
alto da elevação a força exercida sobre o motorista pelo
assento do carro é zero. A massa do motorista é de 70 kg.
Qual é a força normal exercida pelo motorista no banco
quando ele passa pelo fundo vale?
35. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Um avião está voando em uma circunferência horizontal com uma velocidade de 480 km/h(figura abaixo). Se as asas estão inclinaPágina | 35
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das formando 40o com a horizontal, qual é o raio da circunferência? Suponha que a força necessária para manter
esse avião na trajetória resulte inteiramente de uma “sustentação aerodinâmica” perpendicular à superfı́cie das asas.
36. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Um disco de metal
de massa m=1,5 kg descreve uma circunferência de raio r
= 20 cm sobre uma mesa sem atrito, enquanto permanece
ligado a um cilindro de massa M=2,5 kg, pendurado por
um fio que passa no centro da mesa (figura abaixo). Que
velocidade do disco mantém o cilindro em repouso?
37. HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) As curvas das rodovias costumam ser compensadas (inclinadas) para evitar
que os carros derrapem. Quando a estrada está seca a força
de atrito entre os pneus e o piso pode ser suficiente para evitar derrapagens. Quando a pista está molhada o coeficiente
de atrito diminui e a compensação se torna essencial. A figura abaixo mostra um carro que se move com velocidade
escalar constante de 20 m/s em uma pista circular compensada de raio 190 m. Se a força de atrito é desprezı́vel,
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qual o menor ângulo de inclinação para o qual o carro não
derrapa?
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38. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Uma curva circular compensada de uma rodovia foi planejada para uma
velocidade de 60 km/h. O raio da curva é 200 m. Em
um dia chuvoso, a velocidade dos carros diminui para 40
km/h. Qual é o menor coeficiente de atrito entre os pneus
e a estrada para que os carros façam a curva sem derrapa?
39. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Uma bola de 1,34
kg é ligada por meio de dois fios de massa desprezı́vel, cada
um com comprimento L = 1,70 m, a uma haste vertical
giratória. Os fios estão amarrados à haste a uma distância
d = 1,70 m um do outro e estão esticados. A tração do fio
de cima é 35 N. determine (a) a tração do fio de baixo; (b)
o modulo da força resultante a que esta sujeita a bola; (c) a
velocidade escalar da bola; (d) a direção da força resultante.
40. (MOYSÉS NUSSENZVEIG, 4a Ed) O coeficiente de
atrito estático entre as roupas de uma pessoa e a parede
cilı́ndrica de uma centrı́fuga de parque de diversões de 2 m
de raio é 0,5. Qual é a velocidade mı́nima da centrifuga
para que a pessoa permaneça colada à parede, suspensa
acima do chão?
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FÍSICA CAPÍTULO 4
GABARITO
1o Questão
R: 241N
2o Questão
R: T~e = 918, 57N e T~d = 845, 35N
3o Questão
R: T~1 = P~ , T~2 = 0, 577P~ e T~2 = 1, 155P~
4o Questão
R: k = 775N/m
5o Questão
R: T~ = 9804N
6o Questão
~ = 7224, 38N
R: T~ = 5459, 93N e N
o
7 Questão
R: T~ = 4257N
8o Questão
R: a) 4,0 kg b) 1,0 kg c) 4,0 kg d) 1,0 kg
9o Questão
R: T~a = 980N , T~b = 2677N e T~c = 3279N .
10o Questão
R: T~1 = 1960N , T~2 = 1697, 4N , T~3 = 3394, 8N e θ = 60o
11o Questão
R: a) 1,88 N, b) 0,684 N e c) (1, 88N )ı̂ + (0, 684N )̂
12o Questão
R: a) 0m/s2 , b) (4, 0m/s2 )̂ e c) (3m/s2 )ı̂
13o Questão
R: a) 0, 97m/s2 , b) T~1 = 11, 6N e c) T~2 = 34, 9N
14o Questão
R: a) 3, 59m/s2 ; b) T~ = 17, 4N
15o Questão
R: a) 0, 735m/s2 e c) T~ = 20, 8N
16o Questão
R: T~ = 15, 8N
17o Questão
R: a) 1, 79m/s2 b) T~1 = 134N c) T~2 = 402N d) T~3 = 402N
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18o Questão
R: a) T~ = 81, 67N
19o Questão
R: a) 2, 99m/s2 e b) T~ = 129N
20o Questão
R: a) T~ = 2, 6N e β = 17, 21o
21o Questão
R: a) 3, 54kg < m < 10, 6kg.
22o Questão
R: P~ = 102, 62N
23o Questão
R: 0,37
24o Questão
R: a) 0m/s2 , b) −3, 88m/s2 e c) –1, 03m/s2
25o Questão
R: a) 11 N; b) 0, 14m/s2
26o Questão
R: a) 0,54
27o Questão
R: a) 1, 68m/s2
28o Questão
R: 0,665
29o Questão
R: a) 0, 96m/s2 e b) T~ = 0, 18N
30o Questão
R: a) 304,2 N e b) 1, 29m/s2
31o Questão
R: 13 m/s
32o Questão
R: 20,69 m
33o Questão
R: 9, 7~g
34o Questão
R: 1372 N
35o Questão
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R: 2, 4x103 m
36o Questão
R: 1,81 m/s
37o Questão
R: 12o
38o Questão
R: 0,063
39o Questão
R: a) 8,74 N, b) 37,9 N e c) 6,45 m/s
40o Questão
R: 6,26 m/s
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Edição. Ed. LTC.
• DOCA, R. H.; BISCUOLA, G. J.; BÔAS, N. V. Tópicos de
Fı́sica 1: MECÂNICA. 18a Ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
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• HALLIDAY, D.; RESNICK, R., Fı́sica. v. 1, 4a ed. Rio de
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• HEWITT, P. G. Fı́sica Conceitual. trad. Trieste Freire
Ricci e Maria Helena Gravina. 9a ed. Porto Alegre: Bookman, 2002.
• MARK, R.; Cálculo para Leigos. 2a Edição. Rio de Janeiro
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• NUSSENZVEIG, H.M., Curso de Fı́sica Básica, v. 1, São
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• PAUL, A.T; GENE. M; Fı́sica para Cientistas e Engenheiros. Volume 1 Rio de Janeiro: LTC 2012
• WALKER, J. Fundamentos de Fı́sica-Hlalliday-Resnick. Volume 1 8a . Edição. Rio de Janeiro: LTC Ltda, 1993.
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