1 PotenciaRaizFatorações(Aula01-Top.02

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PotenciaRaizFatorações(Aula01-Top.02-Link 3)
Numa potência para um número real a e um número racional r, a expressão
a indica uma potência de base a e expoente r, e é definida como a seguir:
(a) a 0 = 1 se a  0, a1 = a e a n = a.a.....a se n é inteiro ³ 2;
r
( n fatores)
(b) a  n 
1
se a  0 e n é inteiro  0;
an
1
(c) a n  n a, se a ³ 0 e n é inteiro ³ 2, é um número b ³ 0 tal que b n  a; se n é
inteiro ímpar ³ 3, é um número b < 0 ou b ³ 0 conforme seja a < 0 ou
a ³ 0, tal que b n  a;
(e) a-
m
( )
m
1
(d) a n = a n
m
n
se m é inteiro a > 0;
= 1m se a ¹ 0.
an
Uma potência com o expoente igual a uma fração positiva, de acordo como está
definido em (b) e (c), é chamada de raiz, por exemplo: n a é dita a raiz n-ésima de a
(ou raiz enésima de a); em particular, quando n  2 se usa apenas
(invés de
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) e é chamada de raiz quadrada,
é dita raiz cúbica, etc. Observe que a
0
expressão 0 não está definida como potência nos reais e nem 0 n se n é positivo.
As operações com potências são as seguintes:
(a) a a  a r  s ;
r s
(b)
ar
as
 a r s ;
(d) (ab) r  a r b r ;
s
(c) (a r ) = a rs ;
(e)
 ab 
r

ar
br
.
As propriedades das raízes são as seguintes:
(a)
n
a n b  n ab ;
(b)
n
am =
rn rm
a
;
(c)
mn
a=
mn
a.
Algumas potências de a ± b :
(a) a  b  a 2  2ab  b 2 ;
2
(b) a  b  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3 ;
(c) (a ± b)m = m a m + m a m- 1(± b) + L + m a m- p(± b)p + L + m (± b)m
0
1
p
m
onde m  p! mm!p ! , m!  1.2.3. .( m  1) . m e 0! = 1.
p


3

()
()
()
Algumas fatorações importantes:
(a) a  b 2  (a  b)(a  b);
2


(b) a 3  b3  (a  b) a 2  ab  b2 ;
()
2
(c) a3 + b3 = (a + b) (a 2 - ab + b2);


(d) a n  b n  (a  b) a n1  a n2 b  a n3 b 2 a 2 b n3  ab n2  b n1 ;
(e) a n + bn = a n - (- b)n se n é ímpar;
(f) a - b =
(
(g) a + b =
(3 a + 3 b )(3 a 2 -
a-
b )( a +
b) =
3
(3 a -
3
3
)
ab +
(
3
b) a2 +
3
ab +
3
)
b2 ;
b2 .
Expressões polinomiais são aquelas da forma
a n x n  a n 1x n 1 
 a1x  a 0
onde: n é inteiro  1, x é uma variável, os coeficientes das potências de x e a o são
números reais fixos. Se a n  0, uma equação (polinomial) de grau n é dada por
a n x n  a n 1x n 1 
 a1x  a 0  0;
neste caso, qualquer valor de x que satisfaz a equação é dita uma raiz da equação. O
teorema seguinte é o resultado mais importante sobre raízes de uma equação polinomial
e fatoração de uma expressão polinomial.
Teorema (Fundamental da Álgebra(1)). Se p(x)  a n x n  a n 1x n 1 
 a1x  a 0 onde
a n  0, a n 1, , a1 e a 0 são reais e n é inteiro  1, então existem números
r1 , r2 , , rn (possivelmente
complexos ou com multiplicidades) tal que
p(x)  a n  x  rn  x  rn 1 
 x  r1 . Os números
r1 , r2 , , rn são as raízes da equação
p(x)  0. Se a equação p(x)  0 tem raízes complexas, essas aparecem em pares
conjungados, assim o produto dos fatores correspondentes é um fator de segundo grau
com coeficientes reais.
Observe que o teorema estabelece que: se x  r é uma raiz da equação
a n x n  a n 1x n 1 
 a1x  a 0  0,
então x  r é um fator da expressão a n x n  a n 1x n 1 
expresão é fatorada na forma
a n x n  a n 1x n 1 
 a1x  a 0 , isto é, tal
 a1x  a 0  a n (x  r)p n 1(x)
onde pn 1 (x) é uma expressão polinomial de grau n 1. Isto significa que a n pn 1 (x)
(1)
O alemão Carl Friederich Gauss (1777-1855) conseguiu a primeira demonstração desse teorema,
embora em parte baseando-se em considerações geométricas, publicou em sua tese de doutorado em
1798; porém em 1816, Gauss publicou duas novas demonstrações e outra em 1850; tantas outras
demonstrações sucederam as de Gauss, que hoje existem textos inteiramente dedicados a esse tema.
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é encontrada dividindo a n x n  a n 1x n 1 
tal divisão tem resto igual a zero.
 a1x  a 0 por
x  r, claramente
Alguns resultados também importantes, são os seguintes:
(1) Suponha que uma equação de grau n tem coeficientes inteiros e uma raiz r, se r é
p
inteira então r é um divisor de a 0 e se r = q é racional então p é divisor de a 0
e q é divisor de a n . A recíproca não é verdadeira, desta forma, se r possui tais
propriedades, então apenas possivelmente r é uma raiz da equação, isto significa
que valores de r que satisfazem tais propriedades, devem ser substituídos na
equação para verificar se eles são raízes;
(2) Toda equação de grau n onde n é ímpar, tem pelo menos uma raiz real; isto
significa que toda expressão polinomial de grau n, pode ser fatorada com pelos
menos um fator polinomial de grau um.
(3)
Em particular, a expressão quadrática
x1 e x 2
se
ax 2  bx  c  a  x  x1  x  x 2  ,
ax 2  bx  c  0; onde as raízes são dadas por x 
Quando
a  1,
as raízes
b    x1  x 2  e c  x1x 2 .
x1 e x 2
de
é fatorada na forma
são as raízes da equação
b 
se   b2  4ac  0 .
2a
ax 2  bx  c  0, satisfazem