Sexta Lista - Fontes de Campo Magnético

Sexta Lista - Fontes de Campo Magnético
FGE211 - Fı́sica III
Sumário
~ em um certo
• A Lei de Biot-Savart afirma que o campo magnético dB
~
ponto devido a um elemento de comprimento dl que carrega consigo
uma corrente I e está a uma distância ~r é
µ0 Id~l × r̂
,
4π r2
~ =
dB
onde r = |~r| e µ0 = 4π × 10−7 T · m/A.
• A magnitude do campo magnético produzido por um fio infinito por
onde passa uma corrente I a uma distância r do fio é
B=
µ0 I
.
2πr
• A magnitude da força magnética FB entre dois fios de comprimento l
por onde passam correntes I1 e I2 separados por uma distância r é
FB =
µ0 I1 I2 l
.
2πr
~ · d~l através de
• A Lei de Ampere afirma que a integral de linha de B
um circuito fechado é proporcional a corrente que passa por qualquer
superfı́cie que o circuito encubra:
I
~ · d~l = µ0 IC .
B
C
• O campo magnético dentro de um toróide de N espiras por onde passa
uma corrente I é
µ0 N I
B=
.
2πr
• O campo magnético dentro de um solenóide de comprimento l que tem
N espiras por onde passa uma corrente I é
B = µ0
N
I = µ0 nI,
l
onde n é o número de espiras por unidade de comprimento.
1
Estratégia para resolução de problemas
A Lei de Biot-Savart
A lei de Biot-Savart afirma que o campo magnético em um ponto P a
uma distância r de um elemento de comprimento d~l por onde passa uma
corrente I é
~
~
~ = µ0 Idl × r̂ = µ0 Idl × ~r .
dB
2
4π r
4π r3
Para calcular o campo magnético, os passos abaixo podem ser úteis:
1. Posição da fonte: escolha um sistema de coordenadas apropriado para
escrever o elemento de corrente Id~l e o vetor r~0 que descreve a sua
posição. Em eletromagnetismo é comum usarmos variáveis com uma
linha para descrever a posição das fontes de campo.
2. Posição do ponto: usando o mesmo sistema de coordenadas, ache a
posição do ponto P com relação a origem ~rP .
3. Posição relativa: geometricamente, é trivial de mostrar que ~rP = ~r + r~0 .
Ou seja, a posição relativa entre o elemento de corrente e o ponto P é
~r = ~rP − r~0 . O versor nesta direção se torna então
r̂ =
~r
~rP − r~0
=
.
r
|~rP − r~0 |
4. Ache d~l
5. Calcule o produto vetorial d~l × r̂ ou d~l × ~r.
~ e efetue a integração para achar B.
~
6. Substitua o resultado em dB
A Lei de Ampere
~ · d~l sobre um circuito
A lei de Ampere afirma que a integral de linha de B
fechado é proporcional a corrente total que passa por qualquer superfı́cie que
o circuito encubra:
I
~ · d~l = µ0 IC .
B
C
Os passos abaixos podem ser úteis para calcular campos magnéticos a partir
da lei de Ampere:
1. Desenho um circuito de Ampere a partir de argumentos de simetria.
2. Ache a corrente que passa pelo circuito.
3. Calcule a integral
H
~ · d~l sobre o circuito.
B
~
4. Iguale os termos e ache B.
2
Questões conceituais
1. Compare as semelhanças e diferenças entre a lei de Biot-Savart e a lei
de Coulomb.
2. Se uma corrente passa por uma mola, a mola se comprime ou se expande?
3. Quais argumentos deve se usar para escolher o caminho de integração
ao usar a lei de Ampere?
4. Duas espiras concêntricas de diâmetros diferentes tem correntes constantes. As espiras se atraem ou se repelem?
5. Suponha que três fios paralelos são arranjados de tal forma que, se
olharmos para suas secões transversais, eles correspondem aos cantos
de um triângulo equilátero. É possı́vel fazer uma combinação de correntes tal que (a) todos os três fios se atraiam e (b) todos os três fios
se repilam?
Problemas
1. Campo magnético de um fio finito em um ponto qualquer
Este problema é um pouco mais complicado que os resolvidos em sala
de aula uma vez que argumentos de simetria não podem ser utilizados.
Considere um fio de comprimento L que carrega em si uma corrente
I na direção do eixo dos x como mostra a figura 1. Qual o campo
magnético em um ponto arbitrário do plano x-y? Sugestão: siga exatamente os passos descritos na seção acima. Este problema deve ser
suficiente para entender a essência da lei de Biot-Savart.
Figura 1: Fio finito de comprimento L e corrente I.
2. Campo devido a quatro fios
3
Quatro fios infinitos carregam consigo uma corrente I e estão dispostos
de tal forma que, ao olhar para suas seções transversais, compreendem
os vértices de um quadrado de lado a como mostra a figura 2. As
correntes dos fios A e D apontam para foram da página e a dos fios B
e C para dentro. Qual o campo magnético no centro do quadrado.
Figura 2: Quatro fios dispostos nos vértices de um quadrado de lado a.
3. Corrente passando por um arco
Considere um arco como o mostrado na figura 3 por onde passa uma
corrente I. Calcule o campo magnético no ponto P .
Figura 3: Arco com uma corrente I passando por ele.
4. Fio em forma de ferradura
Um fio infinito por onde passa uma corrente I é dobrado na forma
mostrada na figura 4. Ache o campo magnético no ponto P .
5. Dois fios infinitos
Considere dois fios infinitos alinhados com o eixo dos x e separados
por uma distância 2a como mostra a figura 5.
4
Figura 4: Fio dobrado em forma de ferradura.
Figura 5: Dois fios infinitos.
(a) Esquematize as linhas de campo se olhando em uma vista transversal.
(b) Ache a distância d com relação ao eixo dos z (posição (0,0,z))
onde o campo magnético é máximo.
6. Lei de Ampere
A aplicação mais simples da lei de Ampere é um fio infinito. Calcular
o campo magnético de vários fios infinitos é uma boa forma de verificar
se você de fato entendeu o significado da lei.
(a) Usando a lei de Ampere, calcule o campo magnético gerado por
um fio infinito pelo qual passa uma corrente I a uma distância r
dele. Tente ser claro com relação a qual caminho você escolheu
e quais argumentos de simetria utilizou. Qual o campo a uma
distância de 10mm do fio se a corrente for 10A?
(b) Oito fios paralelos cortam perpendicularmente a página como
mostra a figura 6. O fio i (i = 1, 2, 3, ..., 8) carrega consigo uma
corrente 2iI0 . Para os fios i = 1 a i = 4 a corrente tem a direção
saindo da página. Para os outros,
a corrente tem a direção enH
~ · d~l para o caminho descrito na
trando na página. Calcule B
figura na direção das flechas. (cuidado com os sinais).
5
Figura 6: Oito fios que entram perpendicularmente na página. Os fios 1
a 4 tem correntes saindo da folha ao passo que os fios 5 a 8 tem corrente
entrando nela. A linha é o caminho pelo qual a lei de Ampere deve ser
aplicada.
(c) É possivel aplicar a lei de Ampere apenas uma vez para calcular o
campo na vizinhança dos oito fios? Como você faria para calcular
o campo em um ponto P qualquer?
7. Campo magnético de uma distribuição de corrente a partir
da lei de Ampere
Considere um cilindro condutor furado no centro como mostra a figura
7. O cilindro é feito de cobre e tem raio interno a e raio externo b.
Uma corrente uniforme I flui pelo cilindro.
Figura 7: Cilindro semi-maciço infinito.
(a) Calcule a magnitude do campo magnético fora do condutor (r >
b).
(b) Calcule o campo magnético, dentro do condutor para r < a.
(c) Calcule o campo magnético na parte interna do condutor (a <
r < b).
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(d) Faça um gráfico do campo magnético de r = 0 até r = 4b. O
campo magnético é contı́nuo em r = a e em r = b? E a sua
derivada?
(e) Suponha agora que um fio bastante fino que carrega uma corrente
I é posto bem no centro deste cilindro. Sem refazer as contas,
faça um gráfico do campo magnético em todo o espaço.
8. Corrente não uniforme
Considere um cilindro condutor infinito de raio R por onde passa uma
corrente não constante de tal forma que a densidade de corrente pode
ser escrita como
J = αr,
onde α é uma constante (vide figura 8). Ache o campo magnético em
todo o espaço.
Figura 8: Fio infinito com densidade de corrente não constante.
9. Cilindro com um buraco
Um cilindro infinito de cobre com raio a tem um buraco fora do seu
centro como mostra a figura 9. O cilindro carrega uma corrente uniforme I. Calcule o campo magnético no ponto P .
10. Solenóide
Um solenóide com 200 espiras tem 25cm de comprimento e 10cm de
diâmetro. Assuma que ele carregue uma corrente I = 300mA e é
suficientemente longo para poder ser considerado um solenóide ideal.
(a) Faça um esquema mostrando a direção com que as espiras foram
enroladas, a corrente e o campo magnético dentro e fora do solenóide. Qual a direção dominante do campo magnético dentro
do solenóide?
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Figura 9: Cilindro maciço com um buraco fora do seu centro.
(b) Ache o campo magnético dentro do solenóide usando a lei de
Ampere.
11. Disco rodando
Um disco circular de raio R com uma densidade uniforme de carga
σ é posto para rodar sobre seu eixo com uma velocidade angular ω.
Mostre que o campo magnético no centro do disco é
1
B = µ0 σωR
2
Dica: considere um anel circular de raio r e espessura dr. Mostre que o
elemento de corrente que passa por esse anel é dl = (ω/2π)dq = ωσrdr.
12. Momento magnético de um elétron orbital
Neste problema quero que estimem o momento de dipolo magnético
associado com o movimento orbital de um elétron em um átomo de
hidrogênio. Para isso vamos usar um modelo semi-clássico. Assuma
que um elétron tem velocidade v e orbita ao redor de um próton (fixo
na origem) como mostra a figura 10. O raio da órbita é r = 0, 53Å.
(a) Há uma força radial centrı́peta para dentro F = me v 2 /r que
é necessária para que o elétron se mova em um cı́rculo devido a
atração Coulombiana. Calcule a velocidade do elétron. (resposta:
2, 18 × 106 m/s)
(b) Qual o perı́odo orbital T do elétron? (resposta: 1, 52 × 10−16 s)
(c) Qual a corrente associada a esse movimento? Pense no elétron
como se estivesse esticado ao redor da circunferência de tal forma
que em um tempo T a carga q que passa por um ponto do cı́rculo
é e. (resposta: 1, 05mA. Enorme!!)
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Figura 10: Esquema semi-clássico de um elétron orbitando um próton.
(d) Qual o momento de dipolo magnético associado a este movimento? Ache a magnitude e a direção. Esta momento é comumente chamado de um Magnetron de Bohr, µB . (resposta:
9, 27 × 10−24 A · m2 na direção do eixo z)
(e) Uma das razões para este modelo ser chamado de semi-clássico
é porque classicamente não há razão para a órbita do elétron ter
o valor fornecido acima. O valor de r é determinado a partir
da mecânica quântica assumindo que o momento angular J do
elétron pode assumir apenas múltiplos inteiros de h/2π onde h =
6, 63×10−34 J/s é a constante de Plank. Qual o momento angular
orbital do elétron em unidades de h/2π?
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