´Algebra Linear 12a Lista de Exercıcios 1) Um plano de R 3 tem

12a Lista de Exercı́cios
Álgebra Linear
1) Um plano de R3 tem equação cartesiana −2x + y + 2z + 7 = 0. Determine:
a) Um vector de comprimento 1 normal ao plano.
b) A intersecção do plano com os eixos coordenados.
c) A distância do plano à origem.
d) O ponto do plano mais próximo da origem.
2) Determine uma equação cartesiana para o plano que passa pelo ponto (1, 2, 1) e é paralelo
ao plano de equação 2x + y − z = 4. Calcule a distância entre os dois planos.
R1
3) No espaço linear C[−1, 1] com o produto interno hf, gi = −1 f g, determine o polinómio
de grau menor ou igual a 2 que melhor aproxima a função f (x) = sen(πx).
4) Determine a solução de quadrados mı́nimos dos sistemas:
a) 3x = 10, 4x = 5
b) x = 1, y = 1, x + y = 0
c) x = 1, x = 3, x = 5
5) Quais das transformações lineares seguintes são Hermitianas e quais são unitárias em
R2 , em relação ao produto interno usual?
a) A simetria em relação à recta y = x/3.
b) A transformação que tem vectores próprios (1, 0) e (1, 1) associados, respectivamente,
aos valores próprios 1 e 2.
c) A transformação que tem vectores próprios (1, 1) e (1, −1) associados, respectivamente, aos valores próprios 1 e 2.
d) A rotação de π/2 em torno da origem no sentido directo.
1 1
e) A transformação que é definida na base canónica pela matriz
.
1 −1
1
1
1
.
f) A transformação que é definida na base canónica pela matriz √2
1 −1
(Nota: Resolva as alı́neas a)–d) sem calcular as matrizes das transformações lineares na
base canónica.)
6) Calcule as matrizes (na base canónica) das transformações lineares das alı́neas a)–d) do
exercı́cio anterior e verifique que obtém a mesma resposta desta forma.
7) Determine um conjunto ortogonal de vectores próprios de A e uma matriz unitária S tal
que S −1 AS seja diagonal.
0 −4
2 −2
a) A =
b) A =
4 0
−2 4




1 0 0
5 0
0
1
c) A = 0 1 1
d) A = 0 6 −2
5
0 1 1
0 −2 9
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12a Lista de Exercı́cios
Álgebra Linear
8) Considere o espaço linear V dos ternos ordenados de números reais com a adição e
multiplicação usuais, e seja S o subespaço de V gerado pelos vectores (1, 0, 0) e (0, 1, 0).
a) Verifique que fica definido um produto interno em V por
hx, yi = 2x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 + x3 y3 ,
onde x = (x1 , x2 , x3 ) e y = (y1 , y2 , y3 ).
b) Determine uma base ortonormal para o subespaço S, com este produto interno.
c) Determine o elemento de S mais próximo do ponto (0, 0, 1), considerando V como
espaço euclidiano com o produto interno de a).
d) Calcule um vector não nulo e ortogonal a S, usando o produto interno de a).
9) Considere a forma quadrática Q(x, y) = x2 + 2xy − y 2 .
a) Indique a matriz simétrica A a que Q está associada.
b) Diga, justificando, se Q é definida positiva.
c) Calcule os valores próprios de A e uma base ortonormal de R2 constituı́da por vectores
próprios de A.
d) Indique uma matriz de mudança de base tal que em termos das coordenadas na nova
base Q seja diagonal e escreva Q nessas coordenadas.
10) Considere a forma quadrática Q(x, y) = x2 + 2xy + 3y 2 .
a) Indique a matriz simétrica A a que Q está associada.
b) Use eliminação de Gauss para obter uma factorização A = U T DU em que U é uma
matriz triangular superior com todas as entradas da diagonal principal iguais a 1.
c) Diga, justificando, se Q é definida positiva.
d) Sem calcular vectores próprios, indique uma matriz de mudança de base tal que em
termos das coordenadas na nova base Q seja diagonal e escreva Q nessas coordenadas.
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