LÓGICA = Sistema Formal + Semântica

LÓGICA = Sistema Formal + Semântica
Sistema Formal = Linguagem formal + Mecanismo de inferência
- Linguagem formal : regras bem definidas de formação
da linguagem
- Mecanismo de inferência: regras de manipulação de
fórmulas para obtenção de
novas fórmulas
Semântica
- Define precisamente o significado das fórmulas do sistema formal
LÓGICA PROPOSICIONAL
Sintaxe
Alfabeto
O alfabeto consiste dos seguintes símbolos:
- Símbolos lógicos
(~) negação
(&) conjunção
disjunção
dupla implicação
 () implicação
- Símbolos não lógicos: conjunto infinito de símbolos (sentenciais ou
proposicionais)
Usaremos letras maiúsculas ou palavras da língua portuguesa como símbolos
sentenciais.
- Símbolos de pontuação: """""", """"""
1
Pode-se definir o conjunto de fórmulas da lógica proposicional de diferentes
maneiras:
- Conjunto das fórmulas como um conjunto livremente gerado:
Geradores: f, f, f, f, f.
 f : U  U
f() = ( )
 f : U x U  U
f (,) = (  )
 f : U x U  U
f (, ) = (  )
 f : U x U  U
f (, ) = (  )
 f : U x U  U
f (, ) = (  )
Base: conjunto dos símbolos sentenciais
U : conjunto de expressões (seqüências finitas de símbolos do alfabeto)
Conjunto de fórmulas : conjunto gerado a partir do conjunto dos símbolos
sentenciais por { f, f, f, f, f}.
i.e, as fórmulas da linguagem são obtidas recursivamente usando as
seguintes regras:
1- Todo símbolo sentencial é uma fórmula.
2- Se  é fórmula, então () é uma fórmula.
3- Se  e  são fórmulas, então ( ) é uma fórmula.
4- Se e são fórmulas, então ( ) é uma fórmula.
5- Se  e  são fórmulas, então ( ) é uma fórmula.
6- Se  e  são fórmulas, então ( ) é uma fórmula.
7- nenhuma outra seqüência de símbolos é uma fórmula.
Pode-se mostrar que o conjunto das fórmulas proposicionais é livremente
gerado a partir do conjunto dos símbolos sentenciais por { f, f, f, f, f}.
- Conjunto das fórmulas como uma linguagem livre de contexto:
FORM  (FORM  FORM) | (FORM  FORM) | (FORM  FORM) |
(FORM  FORM) | ( FORM) | AT
AT  P, para cada símbolo sentencial P.
As fórmulas que são símbolos sentencias são denominadas por fórmulas
atômicas.
Para cada fórmula existe uma árvore cuja a raiz é a fórmula e cujas folhas
são os símbolos sentencias que ocorrem na fórmula. Em cada nível da árvore
os nós são as subfórmulas obtidas de fórmulas do nível imediatamente
superior pela aplicação de uma das funções geradoras.
2
(uma subfórmula de uma fórmula  é uma subseqüência da seqüência  que
é uma fórmula, i.e. é uma fórmula ocorrendo na fórmula ).
Exemplo
((A  B)  (( C)  (A  C)))
(A  B)
A
(( C)  (A  C))
B
(A  C)
( C)
C
A
C
.
Exercícios
1) Mostre que qualquer expressão com mais abre parênteses ‘(‘ do que fecha
parênteses ‘)’não é uma fórmula bem formada.
2) Mostre que não há fórmulas bem formadas de tamanho 2, 3 ou 6; mas
existem para qualquer outro tamanho.
Dica: Tome S={k 3/existe fórmula , ||=3k+1} e mostre por indução
matemática que S=N-{0,1,2}.Dê exemplos de fórmulas de tamanho 1,4 5,7 e
8 e mostre que nõa é possível ter fórmulas com tamanho 2, 3 ou 6 .
3) Seja  uma fórmula bem formada. Seja c o número de ocorrências de
conectivos binários (, , , ) em  e seja s o número de ocorrências
de símbolos sentenciais em . (Note que em ((A1  A2)  A1), c = 2 e s
= 3)
Mostre que s = c + 1.
Obs.1: Para simplificar a notação serão usadas as seguintes convenções para
o uso de parênteses:
1- os parênteses mais externos serão omitidos.
2- o símbolo de negação se aplica às menores subfórmulas.
3- os símbolos de conjunção e de disjunção agem em subfórmulas menores
do que os de implicação e de dupla implicação.
3
Exemplos:
Sem convenção
( ((A)B) )
( (A  ( B)) C)
( (A B) ( C) )
(() B) (C D) )
((A B)  (C D) )
Com convenção
A  B
(A  B)C
(A B)C
AB (CD)
(AB) CD
Obs.2: Note que as tabelas verdade de A (B C) e de (A B) C são
diferentes. O uso de parênteses não pode ser omitido nesse caso.
4
Semântica
A semântica vai associar um valor (T ou F) a cada fórmula da
linguagem prposicional. Usando o teroema da recursão vamos ver que esse
valor é unicamente determinado pelos valores associados às letras
sentenciais.
Considere as funções abaixo definidas sobre valores T e F.
a)
E

e
T
F
b)
E

e1
T
T
F
F
e2
T
F
T
F
E(e1,e2)
T
F
F
F
c)
E

e1
T
T
F
F
e2
T
F
T
F
E(e1,e2)
T
T
T
F
d)
E 
e1
T
T
F
F
e2
T
F
T
F
E(e1,e2)
T
F
T
T

e)
E
e1
T
T
F
F
e2
T
F
T
F
E(e1,e2)
T
F
F
T
E(e)
F
T
O significado pretendido dos conectivos estará associado às tabelas acima.
Os significados de e  está bem refletido nas tabelas E e Eisto é
dizemos que "" é verdade , se ambos " e  o são", "  é verdade", se
5
" não o for". Já o significado de  é o ou não inclusivo. O significado
pretendido de  pode ser melhor entendido pelo exemplo a seguir:
Suponha que um comprador lê um anúncio no jornal dizendo que ao levar
aquele anúncio o comprador terá um desconto de 10% na compra de
qualquer artigo da loja, isto é: se levar o anúncio, então terá 10% de
desconto. Considere as quatro possibilidades abaixo:
1. o comprador leva o anúncio e recebe o desconto;
2. o comprador não leva o anúncio, mas mesmo assim recebe o desconto;
3. o comprador não leva o anúncio e não recebe o desconto;
4. o comprador leva o anúncio e não recebe o desconto.
Em que circunstâncias o comprador poderia reclamar com o PROCOM por
propaganda enganosa? Claro que sòmente no quarto caso o comprador
poderia alegar que o anúncio era mentiroso.
Assim é o significado pretendido de  : a única maneira em que "
é falso", é quando " fôr verdade" e " fôr falso". De todas as outras formas
possíveis, " é verdade".
Agora,vamos dar esta noção do significado pretendido mais
formalmente. Pelo teorema da recursão, já que o conjunto das fórmulas
proposicionais é livremente gerado a partir das letras sentenciais pelas
funções geradoras f, f, f, f, f, dada uma fórmula e uma atribuição de
valores (T/F) a seus símbolos não lógicos, fica determinado de maneira
única, através da funções E, E, E, E, E, o significado da fórmula (T ou
F). Por exemplo, dada uma função h que associa os valores (T ou F) às letras
proposicionais , o valor h’()=E (h’(),h’()).
Considere a árvore do exemplo anterior. Atribuindo-se o valor T a C e A e o
valor F a B temos:
(T)
((A  B)  (( C)  (A  C)))
(F)
(A  B)
(T)
(T) .
(( C)  (A  C))
(F)
(F)
(T)
6
A
B
( C)
(T)
C
(A  C)
(T)
A
(T)
C
.
Observe que se a fórmula tiver n símbolos sentenciais, existem 2 n
possíveis atribuições de valores para seus símbolos (equivalentemente, 2n
possíveis valores verdade para a fórmula). Todos estes valores podem ser
colocados numa tabela denominada Tabela Verdade.
[Procedimento de decisão?]
Definição
As fórmulas que têm valor T (F) para todas as entradas na sua tabela
são chamadas de tautologias ou válidas (contradições). As demais são
chamadas contingentes.
Exemplos de tautologias e contradições
Tautologias
A A
A A (C D B)
(A B)AB
Contradições
A
A A
Definições
Dadas duas fórmulas  e dizemos que
 implica tautologicamente, se é uma tautologia.
Usaremos a notação  |=  para indicar  implica tautologicamente .
é tautologicamente equivalente a  se  é uma tautologia.
Usaremos a notação eqpara indicar é tautologicamente equivalente a
.
[eqé uma relação de equivalência nas fórmulas do cálculo proposicional ]
3) Dadas as fórmulas 1, 2, 3, ... n e , 1, 2, 3, ... n implicam
tautologicamente , se (1  2  3  ...  n)   é uma tautologia.
Usaremos a notação 1, 2, 3, ... n |=  para indicar n
implica tautologicamente 
7
Exemplos
|=B A
B eqB
{A, B}|=B
B |=B
A |= B
{B,C} |=BC
Proposição
1, 2, 3, ... n implicam tautologicamente , se e só se, sempre que 1, 2,
3, ... n têm valor T, o valor de  também é T.
A proposição acima facilita a tarefa de determinar se um condicional é uma
tautologia sem a construção de sua tabela pois para verificar que 1, 2, 3,
... n não implica tautologicamente em  basta determinar uma linha da
tabela que faça as fórmulas 1, 2, 3, ... n tomarem valor T e  tomar o
valor F.
Por exemplo, para verificar se (A  B)  (A  D)  (B  D) é tautologia
basta verificar se A  B, A  D |= B  D. Neste caso a resposta é não, já
que a atribuição que dá T a B e dá F a A e D, faz A  B e A  D tomarem
o valor T e B  D tomar o valor F.
Exemplo
Queremos determinar se A  B, A  C e C  B implicam
tautologicamente em B.
As entradas da tabela das possíveis atribuições de T/F às letras A, B e C que
devem ser consideradas são aquelas que fazem as fórmulas A  B, A  C
e C  B tomarem o valor T, simultaneamente.
A B C
AB
A  C
CB
T
T
T
T
T
T
T
T
F
T
T
T
F
T
T
T
T
T
F
F
F
T
T
T
Para cada uma dessas entradas temos B tomando o valor T, portanto
resposta positiva.
As seguintes proposições seguem das definições anteriores.
B
T
T
T
T
temos
Proposição
Se é uma tautologia, então |= se e só se  é uma tautologia.
Proposição
8
Se  é uma contradição, então |=  para toda fórmula.
Proposição
Se  é uma tautologia, então  |=  para toda fórmula .
O teorema seguinte permite respondermos afirmativamente a pergunta "é
uma tautologia?", sem termos a necessidade de construir a tabela de verdade
de .
Teorema da tautologia
Seja  uma fórmula cujas letras seqüenciais são P1, P2, ..., Pn. Seja ’
o resultado de substituir cada ocorrência de Pi por uma fórmula i , i = 1..n.
Se  é uma tautologia, então ’ também é uma tautologia.
Demonstração
Seja dada uma atribuição de valores T/F às letras sentenciais de ’.
Para se obter o valor de ’, será necessário obter os valores das subfómulas
i. A partir desses valores a manipulação dos valores T/F que se faz para
obter o valor de ’, é a mesma que se faz quando esses valores de i são
atribuídos a Pi, i=1..n. Como  é tautologia, o valor de  para essa atribuição
é T, portanto o valor de ’ é T também.

Exemplo de aplicação do teorema:
(P  Q)  ((Q  (R  S  T))  (P  (R  S  T))) é uma tautologia
porque é uma substituição das letras sentenciais da tautologia
 : (A  B) ( (B  C)  (A  C)).
Observe que o teorema não vale se partimos de uma fórmula  que não é
uma tautologia, isto é não temos garantia de obtermos uma fórmula
contingente a partir da substituição das letras de uma fórmula contingente:
P  Q não é tautologia, mas substituindo P por  Q, obtemos uma
tautologia.
O próximo teorema vai permitir que se façam manipulações simbólicas em
fórmulas sem que se mude o seu significado.
Teorema da substituição
Seja  uma fórmula onde ocorre a subfórmula e’ o resultado de
substituir em uma ou mais ocorrências da subfórmula pela fórmula . Se
9
 for tautologicamente equivalente a  então  é tautologicamente
equivalente a ’.
Demonstração
Por indução na estrutura da fórmula 

Exemplo
Tomando (R  S)  (Q  P), com Q  P temos que
(R  S)  (Q  P) eq (R  S)  ( Q  P)), já que  Q  P eq Q  P.
As definições abaixo estendem os conceitos já vistos para conjuntos de
fórmulas.
Definições
Sejam  um conjunto de fórmulas, v uma atribuição de valores (T/F) às
letras sentenciais e  uma fórmula, diz-se que:
1) v satisfaz se todas as fórmulas que estão em tomam valor T
com a atribuição v
 é satisfatível se existe uma atribuição de valores v que satisfaz 
3) é uma conseqüência de se para toda atribuição de valores v, se
v satisfaz  então v dá valor T a .
(confrontar essa definição com o conceito de implicação tautológica).
Usa-se a notação |=  para indicar queé uma conseqüência de 
Exemplo
{pqr, prs} |= pqs
{pr, p } |= r
Se  é o conjunto vazio, usamos a notação |= Note que neste caso a
definição coincide com a de  ser uma tautologia.
Usa-se a notação |  para indicar que  NÃO É uma conseqüência de .
Exercícios
1) Se    é satisfatível, então  é satisfatível ou  é satisfatível?
2) Se    é tautologia, então  é tautologia ou  é tautologia?
10
Representação do conhecimento usando Lógica proposicional
Os símbolos lógicos podem ser associados a conjunções / palavras do
português:

associado a "não"
 associado a "e"
 associado a "ou "
associado a "se e só se"
 associado a "se .... então"
Assim, dada uma frase em português, pode-se associar uma fórmula
da linguagem do cálculo proposicional, atribuindo símbolos sentenciais às
partes da sentença que não possuem nenhuma conjunção ou palavras que
possam ser associadas aos símbolos lógicos.

Exemplos:
1) Associando-se C a "Está chovendo lá fora "; R a "A rua está molhada";
Q a "está quente aqui dentro" e F a "Está frio lá fora", temos a seguinte
representação simbólica:
C Q para "Está chovendo lá fora e está quente aqui dentro"
C Q para "Está chovendo lá fora mas está quente aqui dentro"
C FQ para "Está chovendo e frio lá fora e está quente aqui dentro"
C F para "Está chovendo lá fora mas não está frio"
C  F ou C F ) para "Nem chove nem faz frio"
CR para "Uma condição suficiente para a rua estar molhada é que esteja
chovendo"
2) Associando-se T a "Um triângulo é isósceles"; L a "Um triângulo tem
dois lados iguais"; P a "Duas retas são paralelas"; I a "Duas retas se
interceptam" e Co a "Duas retas são coincidentes" temos as seguintes
representações simbólicas:
L T para "Um triângulo é isósceles se tem dois lados iguais"
P ( I Co ) para "Uma condição necessária para duas retas serem
paralelas é que elas não se interceptem nem coincidam"
3) Associando-se O a "Oscar vai ser reprovado em lógica"; E a "Oscar
estuda lógica"e Exerc a "Oscar faz exercícios de lógica", temos as seguintes
representações simbólicas:
O E Exerc ) ou E Exerc ) O para "Oscar vai ser reprovado
em lógica a não ser que estude lógica e faça os exercícios de lógica"
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Exercícios: Verificação de satisfatibilidade de conjuntos:
Quebra cabeças lógicos
1. Artur, (A) , Beth, (B), Carlos (C), e Dora(D), tem diferentes profissões:
Advogado (L), Piloto, (P),Veterinário (V), e Professor (T), não
necessariamente nessa ordem. Em cada caso abaixo decida se as condições
são satisfatíveis e se a profissão de cada pessoa pode ser unicamente
determinada.
caso a:
(1)V não é A nem C;
(2)B não é V nem P;
(3)C não é L nem P;
(4)D não é L.
caso b:
(1) V não é A nem C;
(2) B não é P nem T;
(3) C não é L nem P;
(4) D não é V nem P;
(5) L não é B nem D.
2. Quatro amigos, Artur, Beth, Carlos e Dora, são suspeitos de assassinato.
Eles deram os seguintes depoimentos:
Artur: “Se a Beth for culpada, a Dora também é.”
Beth: “Artur é culpado, mas a Dora não.”
Carlos: “Eu não sou culpado, mas Artur ou Dora são culpados.”
Dora: “Se Artur não é culpado, então Carlos é.”
a. Cada depoimento é satisfatível? O conjunto consistindo de todos os
depoimentos é satisfatível?
b. Se todos estiverem falando a verdade, quem é o culpado?
c. Se o(s) culpado(s) mente(m) e o(s) inocente(s) fala(m) verdade, quem é
(são) o(s) culpado(s)?
3. Uma ilha distante, chamada TUFA, é habitada por pessoas de duas raças:
os da raça Tu, que sempre falam a verdade, e os da raça Fa, que sempre
falam mentira. Numa primeira visita à ilha Dr. Livingstone encontrou três
12
nativos, Rau, (R), Simbá, (S) e Tou (T). Cada um deles fez as seguintes
afirmativas:
- Rau: S e T não pertencem à mesma raça.
- Simbá: R é um Tu.
- Tou: R é um Fa.
Dr. Livingstone é capaz de determinar a raça de cada um desses nativos?
Numa outra visita à ilha Tufa, Dr. Livingstone encontrou outros 4 nativos:
Milo (M), Num (N), Oug (O) e Paim (P), que estavam sentados num círculo
como o abaixo:
M
P
O
N
Dr. Livingstone fez a seguinte pergunta a cada um deles: “Você e a pessoa
que está à sua direita pertencem à mesma raça?”, tendo recebido as seguintes
respostas :
- M e N responderam “Sim”
- P e O responderam “Não”.
Dr. Livingstone pode determinar a raça de cada um dos nativos encontrados?











Exercícios páginas 46-52 (Rubin).
PROPRIEDADES SINTÁTICAS DE LÓGICA PROPOSICIONAL
Manipulação simbólica de fórmulas para obtenção de fórmulas na
forma normal disjuntiva/conjuntiva
Definição
13
Um literal é uma fórmula atômica ou a negação de uma fórmula atômica.
Dada uma fórmula de lógica proposicional ,
- existe uma fórmula ' equivalente à fórmula  tal que ' é da forma:
n onde i é da formak e j é um literal para j=1...k.
Diz que a fórmula' está na forma normal disjuntiva e é uma forma normal
disjuntiva de 
- existe uma fórmula ' equivalente à fórmula  tal que ' é da forma:
n onde i é da formak e j é um literal para j=1...k.
Diz que a fórmula' está na forma normal conjuntiva e é uma forma normal
conjuntiva de 
Algoritmo para obtenção de fórmulas na forma normal disjuntiva
(conjuntiva)
entrada: 
saída: uma forma normal disjuntiva (conjuntiva) de 
1) Elimine os conectivos  eisto é:
Substitua:
()
por ()

por 
) por 
 por 
até que os conectivos  enão ocorram mais.
( note que pelo teorema da substituição a fórmula resultante é equivalente à

2) Mova para o interior da fórmula, isto é:
Substitua:
 por 
 por 

por 
até que cada ocorrência de  preceda imediatamente uma fórmula atômica.
( note que pelo teorema da substituição a fórmula resultante é equivalente à
fórmula obtida no passo anterior, que por sua vez é equivalente a 
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3)
3a) Obtenha uma forma normal disjuntiva, i.e.
Na fórmula resultante do passo 2 distribua o sobre ousando as
equivalências
(eq ( ()
(eq () (
ou
3b) Obtenha uma forma normal conjuntiva, i.e.
Na fórmula resultante do passo 2 distribua o sobre ousando as
equivalências
(eq ( ()
(eq () (
4) Simplifique (opcional)
Transforme a fórmula resultante do passo anterior em outra mais simples
' tal que ' ainda esteja em forma normal disjuntiva (conjuntiva) e que seja
equivalente a .
( por exemplo
1. elimine todas as ocorrências duplicadas de um literal em uma das
disjunções de ;
2. elimine todas as disjunções que contêm um literal e a sua negação)
Observe que em cada passo do algoritimo a fórmula resultante é equivalente
à fórmula do passo anterior. Logo, por transitividade, a saída do algoritmo é
uma fórmula equivalente à fórmula de entrada.
Sistema Dedutivo (preliminares)
Dado um conjunto de regras de inferência de um sistema dedutivo,
uma prova (derivação, dedução) de  a partir de um conjunto de premissas
 é construida por aplicação repetida de regras de inferência do sistema a
partir de fórmulas de terminando em 
A maneira de representar esta construção pode ser na forma de lista ou de
ávore.
15
Usaremos a notação:  |-- para indicar que existe uma prova de  a
partir de ( 1, 2, 3, ... , n |--  no caso de 1, 2, 3, ... , n}).
Uma refutação num sistema dedutivo é uma prova de uma fórmula
insatisfatível.
Um conjunto de premissas é inconsistente se fôr possivel haver uma
refutação a partir dele. Por exemplo, se |-- , para alguma fórmula 
Um conjunto de premissas  é consistente se não é inconsistente. 
Diz-se que um sistema dedutivo é correto quando  |-- implica em 
|= i.e. o sistema só deduz conseqüências das premissas. Assim, o sistema é
correto pois só deriva o que é esperado, isto é não nos surpreende derivando
uma conclusão que não é conseqüência das premissas.
Diz-se que um sistema dedutivo é completo quando  |= implica em
 |--  i.e. o sistema deduz tudo o que se espera dele: todas as conseqüências
das premissas.
Exercício
Você seria capaz de pensar em um sistema dedutivo completo? e num
sistema dedutivo correto?

Vamos apresentar a seguir 3 sistemas dedutivos para a lógica proposicional.
16