FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA Lista 6

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA
Lista 6
Data da lista:
Preceptores:
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Coordenador:
09/05/2016
Raul
Matemática
Claudete, Rodrigo
1. Escreva, por extenso, a recíproca e a contrapositiva de
0
Se 2 ∈ N entao 2 ∈ Z.0
2. Em uma determinada cidade cada habitante é ou um contador de verdade ou um contador de mentira.
Passando por essa cidade você encontra dois habitantes, Percival e João.
Ao conversar com Percival ele diz: 'Se eu for um contador de verdade,
então João também é um contador de verdade.'
Considerando a lógica, Percival é um contador de mentira ou um contador de verdade? E João?
3. Reescreva as frases usando quanticadores
(a) Há um número racional maior que 3.
(b) Todos os números naturais são não negativos.
4. Determine o valor lógico, considerando o conjunto dos números reais R
(a) (∃x)(x > 5 ∧ x > 73)
(b) (∀x)(x > 3 → x > 2)
(c) (∀x)(x > 0 → x ≥ x)
5. Transcreva para a linguagem simbólica
(a) Se Alfredo escreve para Maria, ela não irá para outra cidade.
1
(b)
(c)
(d)
(e)
Ou Alfredo escreve para Maria, ou ela irá para outra cidade.
João só irá ao encontro de maria se Alfredo não estiver na cidade.
Se João é vizinho de Maria, então João conhece Maria.
O número de acidentes diminuirá nas cidades se, e somente se,
houver mais policiamento e os motoristas forem mais responsáveis.
(f) Ou Eduardo apresentará uma queixa, ou, se Fernando investigar,
então Geraldo será desclassicado.
6. Transcreva para a linguagem simbólica e verique
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Se x é menor que 4 e maior que 2, então x é igual a 3.
Para todo x sendo número inteiro então 2x é 1.
Existe x sendo número inteiro tal que 2x é 1.
Existe x sendo número inteiro tal que 2x é 2x.
Se x é a + bi ou a − bi então x é real ou complexo.
7. Considera a proposição abaixo e julgue os itens
Se nesse jogo nao ha juiz, entao nao ha jogada f ora da lei.
(a) A negação da proposição é 'Se nesse jogo há juiz, então há jogada
fora da lei'.
(b) A proposição é equivalente a 'Nesse jogo há juiz ou não há jogada
fora da lei.'
8. (Tabela Verdade) Complete a tabela de acordo com o conectivo lógico
P
∼P
P ∧ (∼ P )
P
(a) V
F
P
∼P
P ∨ (∼ P )
V
F
∼P
P ∧ (∼ P )
∼ (P ∧ ∼ P )
(b) V
F
P
∼P
V
F
P
Q
V
(c) V
F
F
V
F
V
F
P ∧Q
P ↔Q
[P ∧ Q → (P ↔ Q)]
2
P ∨ (∼ P ) ∼ (P ∨ ∼ P )
(∼ P →∼ Q)
P
Q
V
(d) V
F
F
V
F
V
F
P
Q
V
(e) V
F
F
V
F
V
F
P
Q
R
V
V
V
(f) V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
P
Q
[(P ∧ Q)∧ ∼ (P ∨ Q)]
V
(g) V
F
F
V
F
V
F
P
Q
R
V
V
V
(h) V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
∼P
∼Q
[P → Q] [∼ P →∼ Q]
[P ∨ Q → R]
(∼ P ∧ P )
P
Q
R
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
(R ↔ Q)
3
[(P → Q) ↔ (∼ P →∼ Q)]
[(P ∧ Q) → (R ↔ Q)]
[(∼ P ∧ P ) → (R ↔ Q)]
9. Sejam p, q, r proposições. Então p ∨ (∼ q) ∨ r é tautologia?
10. Mostre a equivalência entre
P →Q e ∼P ∨Q
11. (Livro Fund) Mostre a equivalência entre
[(P → Q) ∧ (∼ P )] → (∼ Q) e (P → Q) → [(∼ P ) ↔ (∼ Q)]
12. Dados P, Q, R proposições, verique se (P ∧ Q) ∧ R é tautologia.
13. (Lista César) Seja n ∈ N, mostre que 'se n2 é par ou n é par então n é
par', é uma tautologia.
14. (Lista César) Seja n ∈ N, mostre que 'se n2 é par então n2 é par e n é
par', é uma tautologia.
15. (Lista César) Mostre que [P ∧ (∼ P )] → Q é uma tautologia.
16. (Lista César - Livro Fund) No universo dos números inteiros Z, determine o valor-verdade de cada proposição abaixo
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(∀x)(∀y)(x = y)
(∀x)(∃y)(xy = 1)
(∀x)(∃y)(xy = x)
(∀x)(∃y)(∀z)(xy = z)
(∀x)(∀y)(∃z)(xy = z)
4