1 ANO MATEMATICA
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APOSTILA 2015
MATEMÁTICA
PROFESSOR: DENYS YOSHIDA
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
1
Sumário
1.Conjuntos...................................................................................................................................5
1.1 Representação de conjuntos...................................................................................................5
1.2 Operações com conjuntos.......................................................................................................6
1.2 Propriedades da intersecção...................................................................................................7
2. Conjuntos numéricos...............................................................................................................10
2.1 Conjunto dos números naturais.............................................................................................10
2.2 Conjunto dos números inteiros..............................................................................................11
2.3 Conjunto dos números racionais..........................................................................................13
2.4 Conjunto dos números irracionais........................................................................................15
2.5 Conjunto dos números reais.................................................................................................17
3.Intervalos numéricos................................................................................................................21
3.1 Notações de um intervalo......................................................................................................21
3.2 Tipos de intervalos................................................................................................................21
3.3 União e intersecção de intervalos.........................................................................................22
4. Relações Binárias entre conjuntos..........................................................................................26
4.1 Representação em um diagrama..........................................................................................26
4.2 Representação no plano cartesiano......................................................................................27
5. Funções...................................................................................................................................27
5.1 Definição................................................................................................................................27
5.2 Domínio, imagem e contra domínio.......................................................................................27
6. Funções do 1º grau.................................................................................................................30
6.1 Definição................................................................................................................................30
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6.2 Representação gráfica..........................................................................................................30
6.3 Raiz de uma função...............................................................................................................31
6.4 Estudo do sinal......................................................................................................................32
6.5 Inequações do 1º grau..........................................................................................................33
6.6 Sistemas de inequações do 1º grau......................................................................................34
6.7 Inequação produto.................................................................................................................35
6.8 Inequação quociente.............................................................................................................36
7. Função do 2º grau...................................................................................................................41
7.1 Gráfico...................................................................................................................................41
7.2 O vértice da parábola............................................................................................................42
7.3 Estudo da variação do sinal..................................................................................................43
7.4 Inequação do 2º grau............................................................................................................44
8. Funções exponenciais.............................................................................................................50
8.1 Equações exponenciais.........................................................................................................50
8.2 Inequações exponenciais......................................................................................................50
8.3 Gráfico da função exponencial..............................................................................................54
8.4 Crescimento e decrescimento..............................................................................................55
9. Logaritmos...............................................................................................................................58
9.1 Definição...............................................................................................................................58
9.2 Condições de existência.......................................................................................................58
9.3 Sistemas de logaritmos.........................................................................................................58
9.4 Propriedades dos logaritmos................................................................................................59
9.5 Mudança de base.................................................................................................................61
9.6 Equações logarítmicas..........................................................................................................61
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9.7 Funções logarítmicas............................................................................................................66
9.8 Crescimento e decrescimento..............................................................................................66
Exercícios de vestibulares...........................................................................................................69
Referências bibliográficas...........................................................................................................98
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1. Conjuntos
Denominamos Conjunto a uma reunião de elementos. É uma definição bem primitiva, e
podemos relacionar essa ideia em diversas situações. O conjunto universo e o conjunto vazio
são tipos especiais de conjuntos. O conjunto vazio não possui elementos e é representado por
ou Ø. Já o conjunto universo possui todos os elementos, de acordo com o que estamos
trabalhando e geralmente é representado pela letra maiúscula U.
1.1 Representação de conjuntos
Sua representação depende basicamente dos dados que se tem e da motivação do uso dos
mesmos, veja abaixo uma demonstração:
Exemplo: O conjunto dos números ímpares maiores que zero e menores que onze. Vejamos a
representação através de seus elementos.
A = {1, 3, 5, 7, 9}
Representação pela propriedade de seus elementos.
A = {x | x é ímpar e 0 < x < 11}, o símbolo da barra ( | ) significa “tal que”.
x tal que x é ímpar e x maior que zero e x menor que 11.
Representação por diagrama
1
5
3
7
9
Assim como podemos somar, subtrair, multiplicar, dividir, potenciar entre outras operações
numéricas podemos também operar conjuntos.
Essas operações recebem nomes diferentes, como: União de conjuntos, Intersecção de
conjuntos, Diferença de conjunto, Conjunto complementar.
Todas essas operações são representadas por símbolos diferentes. Veja a representação de
cada uma delas:
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5
1.2 Operações com conjuntos
União de conjuntos
Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {4, 5, 6}, chamamos união um terceiro conjunto com
todos os elementos de A e B (Sem repetir os elementos comuns)
A representação da união de conjuntos é feita pelo símbolo U. Então,
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Representando a união por meio de diagramas:
Sejam A e B os conjuntos abaixo
A
B
1
2
Então:
3
4
4
5
6
AUB
1
2
3
4
5
6
Intersecção de conjuntos
Quando queremos a intersecção de dois conjuntos é o mesmo que dizer que queremos os
elementos que eles têm em comum.
Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7}, a intersecção é representada pelo
símbolo ∩, então A ∩ B = {5, 6}, pois 5 e 6 são os elementos que pertencem aos dois
conjuntos.
Representando a intersecção por meio de diagramas:
Sejam A e B os conjuntos abaixo
A
B
1
2
3
4
5
6
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
5
6
7
6
A∩B
Então:
1
2
5
3
4
6
7
Se dois conjuntos não têm nenhum elemento comum, a intersecção deles será um conjunto
vazio.
1.3 Propriedades da intersecção
1) A intersecção de um conjunto por ele mesmo é o próprio conjunto: A ∩ A = A
2)
A
propriedade
comutatividade
na
intersecção
de
dois
conjuntos
é:
A ∩ B = B ∩ A.
3) A propriedade associativa na intersecção de conjuntos é:
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Exercícios sobre conjuntos
1- Analise os conjuntos abaixo e diga quais são vazios:
a)
M x / x 0
b)
N x / 0.x 0
c)
d)
e)
O y / 0. y 4
P d / 2 d 0
Q e / 2 e 0
2- Escreva os conjuntos indicados a seguir nomeando seus elementos:
a) A é o conjunto dos números inteiros maiores que 2 e menores que 7.
b) B é o conjunto dos números inteiros positivos menores que 6.
c) C é o conjunto dos números inteiros maiores que 5 e menores que 7.
d) D é o conjunto dos números inteiros maiores que 8 e menores que 2.
3- Representar, usando um diagrama de Venn, o conjunto A dos números naturais primos
menores do que 30.
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4- Sendo A = {0,1,2,3,4}, escreva todos os subconjuntos de A que têm 2 elementos.
5- Dados os conjuntos
a)
A B
b)
B C
c)
AC
d)
A B C
e)
A B
f)
AC
g)
B C
h)
A B C
i)
A B C
A 1,2,3 , B 3,4,5
e C 1,5,6 , efetue as operações:
6- Considere os conjuntos: A={divisores naturais de 30}, B={múltiplos de 6} e C={múltiplos de
3}, calcule:
a)
A B
b)
B C
c)
AC
d)
A B C
e)
A B
f)
AC
g)
B C
h)
A B C
i)
A B C
7- Numa cidade, foi feito um levantamento para saber quantas crianças haviam recebido as
vacinas Sabin e Tríplice. Os resultados obtidos estão na tabela a seguir. Determine o
número de crianças:
a) Abrangidas pela pesquisa
b) Que receberam apenas a Sabin
c) Que receberam apenas uma vacina
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8
Vacina
Número de crianças
Sabin
5428
Tríplice
4346
Sabin e Tríplice
812
Nenhuma
1644
8- (FATEC-SP) O conjunto A tem 20 elementos, A B tem 12 elementos e A B tem 60
elementos. O número de elementos do conjunto B é:
a) 28
b) 36
c) 40
d) 48
e) 52
9- Em uma pesquisa realizada com 112 moradores de uma cidade, obteve-se que 57 pessoas
usavam o sabonete Perfumado, 38 usavam o creme dental Dentinho e 22 usavam o
sabonete Perfumado e o creme dental Dentinho. Quantas pessoas não usavam qualquer
desses dois produtos?
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2. Conjuntos numéricos
A partir da notação de conjunto, chamamos Conjuntos Numéricos, os conjuntos cujos
elementos são números que possuem algumas características em comum. Estudaremos nesse
volume os conjuntos de números: naturais, inteiros, racionais, irracionais e finalmente os
números reais.
2.1 Conjunto dos Números Naturais
A partir da necessidade de contagem de objetos surgiu o conjunto de números naturais, que é
basicamente o conjunto numérico mais intuitivo, assim como qualquer criança sente a
necessidade de contar objetos, as civilizações antigas sentiram a mesma necessidade, e
surgiu a noção intuitiva de números naturais.
São elementos do conjunto dos naturais todos os números inteiros positivos incluindo o zero.
Representado pela letra
maiúscula e seus elementos entre chaves, separados por vírgulas:
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …}
O primeiro elemento desse conjunto é o zero, e o conjunto é ilimitado superiormente, ou seja,
não existe um último número, o conjunto é infinito.
A partir da reta numerada podemos representar geometricamente os conjuntos numéricos,
para representação dos números naturais na reta numérica, escolhemos um ponto de origem
(equivalente ao número zero), fixamos medida unitária e a orientação, geralmente da esquerda
para a direita, e marcamos os números sobre a reta:
1
2
3
4
5
6
7
Alguns subconjuntos importantes são pertencentes aos números reais:
Conjunto dos números naturais não nulos:
N*= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …}
Utilizamos o * (asterisco) à direita do nome do conjunto para excluir de determinado
conjunto o número zero
Conjunto dos números primos:
P= {2, 3,5, 7, 11, 13, ...}
Conjunto dos números pares:
Np= {2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
Conjunto dos números ímpares:
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10
Ni= {2, 3,5, 7, 11, 13, ...}
Propriedades:
Os números naturais apresentam a propriedade do fechamento apenas para a adição e a
multiplicação, ou seja se adicionarmos ou multiplicarmos dois ou mais, quaisquer números
naturais entre si, o resultado será um número natural, por exemplo:
, que é número natural;
que é número natural;
que é número natural;
que é número natural;
Podemos descrever simbolicamente essa propriedade:
e
Com a subtração o caso é diferente, a subtração entre números naturais pode ou não ser um
número natural, por exemplo:
, que é número natural;
Não existe no conjunto dos números naturais, tal número
Então podemos dizer que N não é fechado para a subtração, por esse motivo houve a
necessidade da ampliação desse conjunto, surgindo assim o conjunto dos números inteiros.
2.2 Conjunto dos Números Inteiros
Com a limitação do conjunto dos números naturais para a subtração, como vimos essa não é
fechada no conjunto, houve a necessidade de ampliar esse conjunto, surgindo assim o
conjunto dos números inteiros.
São elementos do conjunto dos números, todos os números naturais e seus respectivos
opostos (números negativos), representado pela letra Z, o conjunto dos números inteiros é:
Z= {...,-5, -4, -3, -2, -1, 0 ,1,2 ,3 ,4 ,5 , …}
O conjunto é ilimitado inferiormente e ilimitado superiormente, ou seja, não existe um primeiro
ou um último número inteiro.
Podemos representar também esse conjunto a partir de uma reta numérica:
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11
-3
Alguns subconjuntos importantes são pertencentes aos números inteiros:
Conjunto dos números inteiros não nulos:
Z*= {...,-5, -4, -3, -2, -1,1,2 ,3 ,4 ,5 , …}
Conjunto dos números inteiros não negativos:
= {0, 1,2 ,3 ,4 ,5 , …}
Conjunto dos inteiros positivos:
= {1,2 ,3 ,4 ,5 , …}
Conjunto dos números inteiros não positivos:
= {...,-5, -4, -3, -2, -1,0}
Conjunto dos inteiros Negativos:
= {...,-5, -4, -3, -2, -1}
Propriedades:
Os números inteiros tem como subconjunto os números naturais, note por exemplo, que
o subconjunto
= {0, 1,2 ,3 ,4 ,5 , …} é idêntico ao conjunto N, então podemos
escrever que N
Z, ou o conjunto N está contido no conjunto Z
Da mesma maneira que os números naturais, o conjunto dos números inteiros são fechados
para a adição e para a multiplicação, porém, podemos incluir também o fechamento para a
subtração
, que é número inteiro;
que é número inteiro.
Podemos sintetizar esse conjunto simbolicamente:
e finalmente
No tocante à divisão, podemos definir que a divisão entre dois números naturais, pode ou não
ser um número natural, por exemplo:
, que é número inteiro;
que é número inteiro;
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, de forma que não existe no conjunto de números inteiros um valor que
satisfaça a equação;
Então, podemos concluir que Z não é fechado para a divisão, mas como podemos classificar o
resultado dessas divisões, senão números inteiros?
Assim, foram classificados os números racionais.
2.3 Conjunto dos Números Racionais
Representado pela letra Q, os elementos do conjunto dos números racionais são todos aqueles
números que podem ser expressos na forma de uma fração na qual o numerador e o
denominador são números inteiros, simbolicamente temos:
Ou de maneira genérica:
Q=
A partir da definição de números racionais, podemos definir que um número pertencente ao
conjunto dos números inteiros é racional, observe a demonstração:
Seja qualquer número
substituindo
, e
temos
temos por definição que
Q, como
Q, então,
, podemos afirmar que qualquer
elemento de Z, é também elemento de Q, essa propriedade é válida, pois Z é subconjunto de
Q.
Existem também alguns números de Q, que são representados em maneira de um número
decimal exato ou também de uma dízima periódica, nas próximas linhas verificaremos que em
ambos os casos podemos escrever esses números como uma fração
:
Transformando números decimais finitos em frações
Uma das representações dos elementos do conjunto dos números Racionais, são os números
decimais sendo finitos ou periódicos, temos como, por exemplo, de um número decimal finito
1,32, esse número possui seu equivalente fracionário, ou seja, pode ser escrito como fração.
Para transformar os números decimais em frações, podemos mover a vírgula e dividir por uma
potencia de 10 satisfatória, por exemplo, ainda utilizando o número
, observe que após da
vírgula temos duas casas decimais.
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Então vamos mover a vírgula de forma que não fique nenhuma casa decimal, , nesse caso
devemos movê-la por duas casas decimais e dividir por 102:
, ou ainda simplificando:
.
Observação: o valor da potência de 10 deverá ser igual ao número de casas decimais após a
vírgula.
Transformando dízimas periódicas em frações
Nem sempre uma fração entre dois números inteiros tem como resultado um número decimal
exato, um exemplo é a fração
a essa maneira de escrever chamamos dízima
periódica, sendo essa uma representação numérica, tanto decimal quanto fracionária, onde
existe uma sequência finita de algarismos que se repetem indefinidamente, como por exemplo
0,111111111…, assim como nos números racionais finitos, as dízimas periódicas também
podem ser dadas por meio de fração, por exemplo a dízima que utilizamos acima é dada pela
fração 1/9.
Podemos classificar as dizimas periódicas em simples e compostas, conforme abaixo:
Dízimas periódicas simples: Quando o período aparece logo após à virgula.
Exemplos:
0,1111111… Período: 1
0,1212121212…. Período: 12
Dízimas periódicas compostas: Quando existe uma parte não repetitiva entre a vírgula e a
parte periódica.
Exemplos:
0,833333…. Período: 3 , Parte não periódica: 8
0,277777…. Período: 7 , Parte não periódica: 2
0,98111111…. Período: 1 , Parte não periódica: 98
Geratriz de uma dízima periódica
É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica.
Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.
Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:
Dízima simples
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A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para
denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.
Exemplos:
1. Determine a fração geratriz das dízimas periódicas abaixo
a)
No exemplo dado a parte periódica é composta pelo número 2, que deverá estar no
numerador da dízima periódica, sendo que o seu denominador será dado pelo número 9,
aparecendo apenas uma vez, pois o período é 1, então:
b)
No exemplo acima a parte periódica é composta pelo número 32, que deverá estar no
numerador da dízima periódica, sendo que o seu denominador será dado pelo número 99,
ou seja, o algarismo 9 duas vezes, pois o período é 2, então:
Dízima Composta:
A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma
, sendo a parte não periódica
seguida da parte periódica uma vez, menos a parte não periódica e b é a mesma quantidade
de noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os
algarismos da parte não periódica.
2.4 Conjunto dos números irracionais
Para definirmos números irracionais, vamos relembrar dos números racionais, temos que um
número racional é todo número escrito da forma a/b, com a e b
Z, assim podemos definir um
número irracional como sendo justamente o contrário, ou seja, não é possível escrever um
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número irracional da forma a/b, com a e b
Z a esse conjunto representamos pela letra I. um
exemplo de números irracionais são as dízimas não periódicas, Como por exemplo:
1,456846154674...
1,4142135623730950488016887242097
3,1415926535897932384626433832795... entre outros
Podemos separar os números irracionais em dois grupos os algébricos e os transcendentes, os
números irracionais algébricos são as raízes não exatas de um número, como por exemplo 2,
5, 11, 113 e qualquer outra raiz inexata. Já os números irracionais transcendentes
complementam aqueles irracionais algébricos, sendo os exemplos mais famosos de números
irracionais transcendentes, o número (pi), o número de Euler e, cujos valores aproximados
com duas decimais são respectivamente 3,14 e 2,72.
O número representa a razão do comprimento de qualquer circunferência dividido pelo
diâmetro da mesma circunferência e o número e é a base do sistema de logaritmos
neperianos.
Para identificar os números irracionais, podemos adotar alguns critérios, vamos começar
definindo o que são números irracionais, são números racionais:
Todas as dízimas não periódicas são números irracionais.
Todas as raízes inexatas são números irracionais.
A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número
irracional.
Não são números irracionais:
Todas as dízimas periódicas são números racionais.
Todos os números inteiros são racionais.
Todas as frações ordinárias são números racionais.
Casos especiais
Nesses casos devemos sempre nos atentar a cada caso, pois o resultado entre essas
operações pode ou não ser um número racional:
A diferença de dois números irracionais:
Exemplo:
-
= 0 e 0 é um número racional. Porém, também temos que diferença
entre dois irracionais pode ser irracional, como:
-
.
O quociente de dois números irracionais:
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Exemplo:
:
:
=
=
= 2 e 2 é um número racional. Porém temos também:
que é irracional.
O produto de dois números irracionais pode ser um número racional.
Exemplo:
π
.
=
=4 e 4 é um número racional, porém podemos ter também
que é um número irracional.
2.5 Conjunto dos números reais
A união do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais resulta
num conjunto denominado conjunto R dos números reais.
Sendo assim, todo número Natural, Inteiro, Racional ou Irracional é considerado um número
real.
Propriedades da adição em R
Associativa: (x + y) + z = x + (y + z)
Comutativa: x + y = y + x
Elemento neutro: x + 0 = 0 + x = x
Simétrico Aditivo ou aposto: x + (-x) = (-x) + x = 0
Propriedades de multiplicação em R
Associativa: (x. y). z = x. (y. z) Comutativa: x. y = y. x
Elemento neutro: x. 1 = 1. x = x
Simétrico multiplicativo ou inverso: x. x-1 = x-1. x = 1.
Propriedade distributiva da multiplicação em relação á adição
x. (y + z) = xy + xz.
Os números reais são importantes, pois a partir dele estudamos funções, que são um dos
assuntos mais importantes da matemática elementar.
OBS: Nem todo número é um número real. Alguns números que não são considerados
números reais:
4,
4
1 ,
8 ,
6
10 , entre outros.
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Exercícios sobre conjuntos numéricos
10- Preencha a tabela substituindo os espaços em branco por SIM ou Não:
Número
8
7
-2,05
1,212212221...
6,325325...
-2,333...
2
Natural?
Inteiro?
Racional?
Irracional?
Real?
11- Sendo
a 2 e b 1 , determine o valor numérico das expressões:
a)
y a 2 2.a.b b 2
b)
y (a b) 3 a 3 b 3
12- Assinale as afirmações verdadeiras:
a)
4 7
b)
0 N
c)
0,56789 Q
d)
7R
e)
3,14141414... Q
f)
8R
13- (Fuvest-SP) Calcule:
a)
1 1
10 6
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18
b)
0,2.0,3
3,2 2,0
14- Dados
n 3 e m 3 2 efetue as operações e classifique cada afirmação em verdadeira
ou falsa:
a)
n m é racional.
b)
n.m é irracional.
c)
m 2 é irracional.
d)
m 3 é irracional.
15- Escreva dois números racionais que estejam entre 0 e 1.
16- Escreva dois números racionais que estão entre:
a) 0 e
3
5
b) 1 e
9
4
c)
3 1
e
4 5
17- Transforme os seguintes números decimais em frações:
a) 0,8
b) 1,5
c) 0,65
d) 5,36
e) 0,047
f)
0,5825
18- Determine a fração geratriz das seguintes dizimas periódicas:
a) 0,777....
b) 0,2323...
c) 0,444...
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19
d) 0,545454...
e) 0,12525...
f)
0,04777...
19- Classifique as afirmações abaixo em verdadeira ou falsa:
a) Todo número racional tem uma representação decimal finita.
b) Se a representação decimal infinita de um número é periódica, então esse número é
racional.
c) Os números que possuem representação decimal periódica são irracionais.
d) O produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.
20- Dê cinco exemplos de números que não são reais.
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3. Intervalos numéricos
Chamamos intervalo a um conjunto que contém cada número real entre dois extremos
indicados, e possivelmente os próprios extremos.
3.1 Notações de um intervalo
Geralmente se simboliza um intervalo numérico por meio de colchetes – “[" e "]” – para indicar
que um dos extremos do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses – “(” e “)” – ou,
também, os colchetes invertidos – “]” e “[" para indicar o contrário.
Então, considere que a e b são números reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa
o conjunto dos x ε R, tal que a < x ≤ b. Note que a não faz parte do intervalo.
Representação de um intervalo na reta real
Também podemos representar intervalo na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha
vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha
cheia” para indicar que o ponto extremo pertence.
3.2 Tipos de Intervalos
Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento,
podemos definir seu intervalo como a diferença entre o extremo superior e o extremo inferior,
assim c = b – a. Podemos classificar os intervalos como:
a) Intervalo Fechado de comprimento finito:
[a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}
b) Intervalo
fechado
à
esquerda
e
aberto
à
direita
de
comprimento
finito:
[a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x < b}
c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito
(a,b] = ]a,b] = {x ε R | a < x ≤ b}
d) Intervalo aberto de comprimento finito:
]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a < x < b}
e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:
]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x < b}
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
21
f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:
]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b}
g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:
[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤ x}
h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito:
]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a}
i) Intervalo aberto de comprimento infinito:
]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R
j) Intervalo fechado de comprimento nulo:
Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao
conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.
3.3 União e Intersecção de Intervalos
Como intervalos são conjuntos também podemos realizar as operações de união e intersecção.
Podemos representá-los através de sua representação gráfica, acredita-se que e a maneira
mais fácil de visualizar essas operações. Para tanto utilizaremos um exemplo numérico:
Sejam A = [-1,6] = e B = [3, 9) dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.
AUB
Lembrando das definições de união de conjuntos, incluir em um terceiro diagrama todos os
números de ambos os intervalos, excluindo – se as repetições, para tanto, iremos comparar
duas retas em um sistema único:
Para realizar essa operação, basta fazer paralelamente as retas reais com os dados dos
intervalos, respeitando sua posição de cada valor, e uma terceira reta, também paralela a
essas duas, sobre a terceira reta iremos sobrepor o resultado das duas demais, assim, toda a
área em negrito faz parte da união das retas.
A
1
6
B
3
9
AUB
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
22
1
3
6
9
Assim sendo: A U B = [1,9)
A∩B
Para a intersecção entre intervalos, o procedimento é parecido, porém ao invés de replicarmos
na terceira reta todos os valores, iremos apenas marcar os valores que são comuns às duas
retas:
A
1
6
B
3
9
A∩B
1
3
6
9
Assim sendo: A ∩ B = [3, 6]
Exercícios sobre intervalos numéricos
21- Represente na reta real os seguintes intervalos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
4,0
0,5
3,7
1,2
0,5
8,
,6
10,
22- Escreva os intervalos na forma de subconjuntos de R:
a)
M 0,5
b)
N 3,2
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
23
c)
P 1,4
d)
Q 1,6
e)
K 7,
f)
O ,4
g)
R 2,
h)
S ,5
23- Escreva os subconjuntos de R na notação de intervalos:
a) {x R / x 1}
b) {x R / 2 x 6}
c)
{x R / x 3}
d) {x R / 1 x 4}
e) {x R / 2 x 4}
f)
{x R / 0 x 5}
g) {x R / x 1}
h) {x R / x 5}
24- Escreva, usando as duas formas, os intervalos:
a) aberto de extremos -3 e 7.
b) fechado de extremos 1 e 4.
c) aberto à esquerda de extremos 1 e 3.
d) aberto à direita de extremos -4 e 1.
25- Sendo A o conjunto dos números reais maiores que ou igual a 3 e menores que 8, escreva
esse conjunto nas duas formas possíveis e represente-o na reta real.
26- Dados os intervalos
a)
A B
b)
B C
c)
AC
A 2,4, B 3,5 e C 1,3 , efetue as operações indicadas:
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
24
d)
AC
e)
B C
f)
A B C
g)
A B C
h)
A B C
27- Considerando os intervalos:
M 0,11 , N 3,8 e K 2,7 , efetue as seguintes
operações:
a)
M N
b)
M N
c)
M K
d)
M K
e)
N K
f)
M N K
g)
M N K
h)
M N K
28- Dados
A 4,3 , B 5,5 e E ,1 , determine:
a)
A B
b)
A E
c)
BE
d)
A E
e)
A B E
f)
A B E
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
25
4. Relações Binárias entre conjuntos
Denominamos relação ou relação binária entre dois conjuntos A e B é qualquer subconjunto
de A
B, ao qual chamamos produto cartesiano A por B.
Exemplo:
Sejam os conjuntos A e B:
Obtemos o produto cartesiano de A por B
A = {1,2,3}
B = {4,5,6}
Podemos obter A
B tomando alguns subconjuntos deste conjunto de pares ordenados,
teremos algumas relações de A em B:
R1 = {(1,4)}
R2 = {(1,4),(2,6)}
R3 = {(1,5),(2,6),(3,4)}
R1, R2 e R3 são relações de A em B, pois seus elementos são pares ordenados (x, y),
com x pertencente a A e y pertencente a B.
4.1 Representação em um Diagrama
Outra maneira de representarmos uma relação binária é através de um diagrama de flechas,
por exemplo, a relação R3 vista acima é representada abaixo pelo diagrama de flechas:
A
B
1
4
2
5
3
6
Em R3 = {(1,5),(2,6),(3,4)}, há três setas partindo do conjunto A, chamado de conjunto de
partida e chegando no conjunto B, chamado de conjunto de chegada.
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
26
4.2 Representação no Plano Cartesiano
Outra maneira de representarmos uma relação binária é por
meio do plano cartesiano, para isso basta localizarmos o ponto
referente ao par ordenado dado no plano cartesiano xOy.
Ainda utilizando como exemplo o R3 iremos identificar seus
pontos e marca-los no plano cartesiano, aqui a primeira
coordenada deverá ser identificada no eixo horizontal, também
chamado de abcissas ou eixo x, e o segundo elemento do par
ordenado deverá ser identificado e marcado no eixo vertical,
também chamado de eixo das ordenadas ou eixo y, uma vez
identificados todos os pontos, temos a representação do R3,
conforme imagem ao lado.
5. Funções
5.1 Definição
Sejam A e B dois conjuntos não vazios, é denominada função de A em B, representada por f:
A
B; y = f(x), a toda e qualquer relação binária que associa a cada elemento de A, um
único elemento de B.
De acordo com a relação entre os conjuntos podemos obter inúmeras leis de formação, e
classificar as funções quanto a seu tipo de estudos. Dentre os estudos das funções temos:
função do 1º grau, função do 2º grau, função exponencial, função modular, função
trigonométrica, função logarítmica, função polinomial.
Podemos representar as funções geometricamente, através do plano cartesiano, associando
às funções pares ordenados (x,y), que determinam conjuntos de valores pertencentes à
função.
5.2 Domínio, imagem e contra domínio
Considere um conjunto A, ao qual chamamos de conjunto de saída e um conjunto B,
denominado conjunto de chegada. Ao conjunto A (conjunto de chegada) denominamos de
Domínio. O domínio de uma função também é chamado de campo de definição ou campo de
existência da função, e é representado pela letra D.
Ao conjunto B (conjunto de chegada) denominamos contradomínio. Nem todos os elementos
do contradomínio são necessariamente relacionados com algum elemento do domínio, então,
aos elementos do contradomínio que são associados com os elementos do domínio,
denominamos imagem.
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
27
Exemplo.
Considerando o Domínio A ={1, 2, 3, 4} e Contradomínio B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},
identifique o conjunto imagem para a função relacionada pela lei de formação f(x) = y = 2x (ou
seja, cada elemento do conjunto A deve se associar ao dobro de seu valor em B ).
Podemos resolver essa questão a partir da lei de formação da função, demonstrando a partir
do diagrama, mas antes utilizaremos a lei de formação da função para identificar os elementos
do conjunto imagem:
f(1) = 2 (1) = 2
f(1) = 2 (2) = 4
f(1) = 2 (3) = 6
f(1) = 2 (4) = 8
Assim sendo, o conjunto imagem dessa função será Im = {2, 4, 6, 8}
Representando o sistema acima por meio do diagrama, teremos:
1
1
2
3
4
2
2
3
4
5
6
4
7
6
8
8
9
10
Exercícios sobre função
29- Sendo
A {1,0, } e B {1,3,4} , obtenha AXB e BXA .
30- Dados os conjuntos
A {3,5,6} e B {1,4} , determine o produto cartesiano nos
seguintes casos:
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
28
a)
AXB
b)
BXA
31- Represente no plano cartesiano os produtos cartesianos obtidos no exercício anterior.
32- Considere a função
a)
f (0)
b)
f (2)
c)
f (2)
d)
f (0,5)
e) n tal que
f ( x) 3x 1. Calcule:
f (n) 21
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
29
6. Funções do 1º grau
Considere a situação abaixo:
Felipe vai a um rodízio de pizzas, no qual paga o valor fixo de R$15,00 para consumação,
sendo que a cada refrigerante que ele toma paga R$ 4,00. Ao final do dia Felipe tomou 5
refrigerantes, qual será o valor da conta do restaurante?
Bem, podemos perceber que o valor de R$15,00 deverá ser pago independente da quantidade
de refrigerantes tomados, ou seja, é um valor fixo, agora, a cada refrigerante tomado, Felipe
paga R$ 4,00, como ele tomou 5 refrigerantes, ele deverá pagar R$ 4,00
5= R$ 20,00 mais o
valor de R$15,00, ou seja, R$ 15,00 + 20,00 = R$ 35,00
Agora, caso Felipe tomasse apenas 3 refrigerantes, pagaria quanto?
Os R$ 20,00 continuariam fixos, o que mudaria era o valor pago nos refrigerantes, ou seja, R$
4,00
5= R$ 12,00, então o valor total da conta seria R$ 15,00 + R$ 12,00 = R$ 27,00.
Enfim, para cada número x de refrigerantes tomados, temos um valor diferente ao final da
conta, por isso dizemos que o preço
é uma função de x, e podemos expressar essa
função através da lei matemática:
Que é um caso particular de função polinomial de 1º grau.
6.1 Definição
Definimos função do 1º grau ou função Afim, qualquer função f de IR em IR definida por uma lei
matemática da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a ≠0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente angular da variável x e o
número b é chamado termo constante ou coeficiente linear.
Exemplos de função do primeiro grau:
, com
, com
, com
, com
6.2 Representação Gráfica:
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
30
A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta oblíqua em relação aos eixos
coordenados.
A reta poderá ser crescente, decrescente ou paralela ao eixo , de acordo com a lei de
formação de cada função.
Reta crescente: na reta crescente, o valor da função é diretamente proporcional ao valor da
variável
ou seja, a medida que os valores de
aumentam, o valor da função também
aumenta, uma função de 1º grau tem seu gráfico crescente, tem sempre o coeficiente
.
Reta decrescente: na reta decrescente, o valor da função é inversamente proporcional ao valor
da variável
ou seja, a medida que os valores de
aumentam, o valor da função diminui, uma
função de 1º grau tem seu gráfico crescente, tem sempre o coeficiente
.
Intersecção com os eixos coordenados:
A intersecção de
com o eixo
Então, temos que, o gráfico de
acontece quando
intercepta o eixo
então genericamente, teremos:
no exato valor do coeficiente linear, ou
seja, no valor de b.
6.3 Raiz de uma função
As raízes de uma função são os valores para os quais o gráfico dessa função intercepta com o
eixo das abcissas, para que isso ocorra, o valor do eixo das ordenadas deve ser zero, ou seja,
para identificar as raízes da função, temos que ter
.
Uma função do primeiro grau admite uma única raiz e determiná-la é simplesmente resolver
uma equação do primeiro grau, considerando que
ou seja:
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
31
e
Exemplo: Achar a raiz da função
y 2x 1
2 x 1 0 2 x 1 x
1
2
6.4 Estudo do sinal
Estudar o sinal de qualquer função
é determinar para que valores de
a função tem sinal
positivo ou negativo.
No caso da equação de primeiro grau, devemos levar em consideração o valor da raiz (como
vimos anteriormente)
Função Crescente
y>0
ax + b > 0
x>
y<0
ax + b < 0
x<
Ou seja, o valor de
é positivo se x for maior que a raiz, e o valor de y é negativo se x for
mentor que a raiz.
Função decrescente
y>0
ax + b > 0
x<
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
32
y<0
ax + b < 0
x>
Ou seja, y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x
maiores que a raiz.
Exemplos:
Determine os sinais da função
.
Primeiro passo é determinar a raiz da função, ou seja,
Então, temos uma função crescente (termo
,
>0) e com raiz = -3, logo:
Solução:
6.5 Inequações do 1º grau
São chamadas inequações quaisquer sentenças matemáticas descritas por meio de
desigualdades, as inequações do 1º grau são muito utilizadas para resolução de problemas
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
33
sobre estudo de sinais das equações do 1º grau, abaixo iremos resolver algumas atividades
que podemos aplicar ao nosso estudo.
Exemplos:
Resolva as inequações:
O mordo de resolução é bem semelhante à uma equação do primeiro grau, aqui também
começaremos nosso procedimento pelos parênteses:
Então isolamos os termos que tem a incógnita
, mantendo-o no 1º membro e
desenvolvemos:
6.6 Sistemas de inequações do 1º grau
A resolução de um sistema de inequações pode ser feita a partir do estudo dos sinais de
uma função para cada inequação, separadamente, seguido da determinação da
intersecção dos conjuntos verdade dessas inequações.
Exemplo: Resolva o seguinte sistema:
4 x 4 0
x 1 0
4x 4 0 4 x 4 x 1
x 1 0 x 1
Calculando agora o conjunto solução temos:
Logo
S ,1
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
34
6.7 Inequação Produto
Considerando f(x) e g(x) funções de variável x, do 1º grau, chamamos de inequação
produto uma desigualdade do tipo:
f ( x).g ( x) 0
f ( x).g ( x) 0
f ( x).g ( x) 0
f ( x).g ( x) 0
A resolução de uma inequação produto pode ser feita com o estudo do sinal das funções,
separadamente, seguido da determinação dos sinais do produto de f(x) por g(x) e
posteriormente identificando os valores de x que satisfazem a inequação produto.
Exemplo: Resolva a inequação:
(3x 6).(5x 7) 0
Primeiro fazemos o estudo do sinal de cada função:
3x 6 0 3x 6 x 2
5x 7 0 5x 7 x
7
5
Fazemos o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma função:
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
35
Logo
S {x R / x
7
ou x 2}
5
6.8 Inequação Quociente
Considerando f(x) e g(x) funções de variável x, do 1º grau, chamamos de inequação
produto uma desigualdade do tipo:
f ( x)
0
g ( x)
f ( x)
0
g ( x)
f ( x)
0
g ( x)
f ( x)
0
g ( x)
Na resolução de uma inequação quociente o denominador deve ser diferente de zero e a
regra de sinais é a mesma tanto para produto como para divisão no conjunto dos números
reais.
Exemplo: Resolva a seguinte inequação:
x 1
0.
2x 1
Primeiro fazemos o estudo do sinal de cada função:
x 1 0 x 1
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
36
2x 1 0 2x 1 x
1
2
Fazemos o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma função:
Logo
S x R / 1 x 0,5}
Exercícios sobre função do 1º grau
33- O perímetro P de um quadrado é função linear da medida l de seu lado. Qual a sentença
que define essa função?
34- Para produzir certo produto, uma empresa tem um custo fixo de R$ 1200,00. Além disso,
cada unidade produzida desse produto custa R$ 5,00.
a) Represente o custo C, de x unidades desse produto, como uma função de x.
b) Quantas unidades do produto serão fabricadas em determinado mês, se o custo for de R$
18900,00?
35- Em certa cidade se paga pelo serviço de táxi, em dia útil das 6h às 20h, o valor de R$ 3,20
pela bandeirada mais R$ 1,02 por quilômetro rodado.
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
37
a) Escreva a lei da função que expressa o preço P a pagar em função do quilômetro rodado x.
b) Calcule quantos quilômetros o táxi percorreu se foram pagos R$ 13,20 pelo serviço.
36- Represente no plano cartesiano as seguintes funções do 1º grau:
a)
y 2 x 3
b)
y 3x
c)
y 2x 2
d)
y
x
2
37- Classifique as funções do exercício anterior em crescente, decrescente ou constante.
Justifique suas respostas.
38- Determine o zero das seguintes funções:
a)
y 2x 6
b)
f ( x) 3x 12
c)
y 2x
d)
f ( x)
e)
y
3x 8
2 5
39- Sendo
a)
x 1
2 4
f ( x) 5x 2 , determine:
f (4)
b) o zero da função
40- Estude o sinal das seguintes funções:
a)
f ( x) 4 x 20
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
38
b)
y 2 x 3
c)
f ( x)
d)
y 4 10 x
e)
y
x
9
2
3x 1
2 4
41- Seja
f ( x) (k 1) x 3k . Determine k, de modo que a função seja crescente.
42- Estude os sinais da função em cada caso:
a)
f ( x) 3.( x 2) 5 7 x
b)
f ( x) ( x 1).( x 2) x 2 4 x
43- Dê o conjunto solução das inequações:
a)
2x 6 8
b)
2 x 18 0
c)
10 x 60 20
d)
5x 5 0
e)
x 4
2
2 7
f)
x 7
1
3 6
44- Resolva a inequação 3x 2 x.( x 1) ( x 2) .
2
45- Resolva os seguintes sistemas de inequações do 1º grau:
a)
2 x 1 5
x 3 0
b)
2 x 1 7
x 0,5 0
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
39
c)
x 4 3x 1
2 x 4 0
d)
x 4 2x 1
x 1 0
46- Resolva:
x 1 x 5 4 .
47- Calcule a soma dos números inteiros x que satisfazem
2x 1 x 3 4x .
48- Resolva as inequações produto:
a)
( x 1).( x 2) 0
b)
(4 x 2).( x 1) 0
c)
(3x 3).( x 5) 0
d)
(2 x 1).(5x 10) 0
e)
( x 3) 2 0
49- Resolva a inequação
( x 2).( x 3).(2 x) 0 .
50- Resolva as seguintes inequações quociente:
a)
x 1
0
x
b)
x3
0
x2
c)
2x 1
0
x2
d)
x4
0
x5
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
40
7. Função do 2º Grau
Definimos função do 2º grau ou função quadrática, qualquer função f de IR em IR definida por
uma lei matemática da forma f(x) = ax² + bx+c, onde a, b e c são números reais dados e a ≠0.
Exemplos de funções quadráticas:
;
;
;
7.1 Gráfico
A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola,
que
tem
sua
concavidade
voltada
para
cima
ou
para
baixo.
Construção da Par
Raízes de uma função do 2º grau
Uma função do 2º grau pode interceptar o eixo x em até dois pontos, então assim como a
unção de 1º grau, devemos ter
e desenvolver os valores das raízes reais a partir do
cálculo do discriminante, representado pela letra grega
.
Cálculo das raízes de uma função do segundo grau:
O número de raízes de uma função do 2º grau depende diretamente do valor do discriminante
> 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois
pontos distintos.
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
41
= 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único
ponto.
< 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x.
7.2 O vértice da parábola
Chamamos vértice V de uma parábola os pontos de maior valor em uma parábola com
concavidade voltada para baixo, ou o ponto de menor valor de uma parábola com concavidade
voltada para cima. O ponto V pode tem as coordenadas
.
Construção da Parábola:
Para construirmos uma parábola, utilizaremos as informações obtidas nos passos anteriores,
como suas raízes, concavidade e o ponto do vértice, essa forma de construir gráficos é
denominada “construção através dos pontos notáveis”. Veja o exemplo abaixo:
Construa o gráfico da função
Concavidade: a=1>0, concavidade voltada para cima.
Raízes:
As raízes da função são: x = -1 e x = 2
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
42
Agora vamos calcular o valor do vértice:
Agora, tendo todos esses pontos notáveis, basta marcá-los no gráfico e a partir deles desenhar
a parábola.
7.3 Estudo da Variação do Sinal
Assim como na função do 1º grau, para realizarmos o estudo da variação do sinal de uma
função quadrática precisamos conhecer as suas raízes e também se a parábola tem a sua
concavidade voltada para cima ou para baixo.
Como vimos no início de nossos estudos sobre funções do 2º grau, a concavidade da parábola
ser voltada para cima ou para baixo está associada ao coeficiente a. Para realizar o estudo do
sinal dessa função temos seis possibilidades:
Função com Duas Raízes Reais e Concavidade Voltada para Cima
Funções com duas raízes reais: como vimos acima, se
então vamos estudar o sinal se a > 0 e a < 0:
Para a > 0:
Para a < 0:
Funções com uma raiz real: sabemos também que, se
y > 0 (x < x ou x > x )
y < 0 x1 < x < x2
1
2
real, então vamos estudar
o sinal se
a > 0 e a < 0:
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
y>0
x1 < x < x2
y<0
(x < x1 ou x > x2)
43
Para a > 0:
Para a < 0:
Funções com nenhuma raiz real: sabemos também que, se
não possui raízes
reais, então vamos estudar o sinal se a > 0 e a < 0:
Para a > 0:
Para a < 0:
7.4 Inequação do segundo grau
As inequações do 2º grau são resolvidas de forma similar à equação do 2º grau. Porém aqui o
resultado não são valores, mas sim intervalos para os quais a função assume valores maiores,
menores ou iguais a zero, assim sendo, vejamos um exemplo para fixação.
Exemplo
1. Resolva a inequação
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
44
Resolução:
Podemos resolver uma inequação do segundo grau, semelhantemente à uma equação
do mesmo tipo, então, vamos resolver inicialmente a equação:
, pelo método resolutivo:
e
Para visualizarmos o sinal da inequação, podemos esboçar parcialmente o gráfico,
anotando suas raízes e verificando, conforme seu comportamento, para que intervalo a
função assume valores maiores ou menores que zero.
Fica fácil observar que, os valores de x subentendidos entre as raízes tem sua imagem menor
que zero, então:
, assim sendo:
Solução:
Exercícios sobre função do 2º grau
51- Sendo f ( x) 3x 7 x 3 , calcule:
2
a)
f (0)
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
45
b)
f (1)
c)
f (4)
d)
f (2)
52- Dadas as funções reais f ( x) x 16 e g ( x) 2 x 4 x 1 , calcule:
2
a)
f (0)
b)
g (0)
c)
f (1)
d)
g (1)
e)
1
f (1) g
2
2
53- Um atleta arremessa um dardo em um campo plano de tal forma que a altura h que o dardo
alcança em cada instante é expressa pela função h(t ) t 8t , em que h é a medida
2
em metros e t em segundos. Após quanto tempo o dardo atingirá o solo?
54- Determine k de modo que o gráfico da função dada por f ( x) x 5 x k 1 passe pelo
2
ponto (-1,2).
55- Determine o máximo ou o mínimo das seguintes funções quadráticas:
a)
y x 2 x
b)
y 6 x 2 12 x
c)
y 20 x 2 300
d)
y x 2 4x 3
e)
y x 2 12 x 10
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
46
f)
y ( x 5) 2
56- Construa o gráfico das funções:
a)
f ( x) x 2
b)
f ( x) x 2
c)
f ( x) x 2 4
d)
y x 2
e)
f ( x) x 2 1
57- Dada a função
y x 2 7 x 12 , determine:
a) O vértice V.
b) As raízes.
c) O “corte” no eixo y.
d) O esboço do gráfico.
58- Determine para quais valores de p as funções têm como gráfico uma parábola com
concavidade voltada para cima:
a)
f ( x) ( p 3) x 2 5x 6
b)
f ( x) (4 p 3) x 2 6
c)
f ( x) (6 p 2) x 2 4
59- Um corpo é lançado do solo e a lei que expressa esse movimento é dada por:
h(s) 80s 8s 2 (h e s em cm). Determine a altura máxima atingida e o alcance
horizontal.
60- (VUNESP) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita
em função do tempo (em segundos) pela expressão: h(t ) 3t 3t , onde
2
h é a altura
atingida em metros.
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
47
a) Em que instante
t o grilo retorna ao solo?
b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo?
61- Em um experimento com certo tipo de moscas verificou-se que, em determinadas
condições, o crescimento do número de moscas é uma função do tempo dada por
n(t ) 8t 2 16t 80 . Qual era a população inicial de moscas? Até que instante a
população de moscas cresceu?
62- Um empresário determinou que o custo de certo produto de sua empresa é função do
número
de
unidades
produzidas
desse
produto.
Essa
função
é
definida
por
C 2510 100n n 2 , em que n é o número de unidades produzidas e C é o custo. Qual
deve ser o número de unidades produzidas para que o custo seja mínimo?
63- Determine os zeros das funções:
a)
f ( x) 3 x 2 6 x 3
b)
f ( x) 6 x 2 12 x
c)
f ( x) 5x 2 20
d)
f ( x) 3 x 2 2 x 5
e)
f ( x) x 2 16
64- Considere a função real f ( x) px 5 x 6 . Determine p para que 3 seja zero da
2
função.
65- Faça o estudo do sinal das funções:
a)
f ( x) 2 x 2 5 x 3
b)
f ( x) x 2 2 x
c)
y 3x 2 10 x 9
d)
f ( x) x 2 x 2
e)
f ( x) x 2 6 x 9
f)
y 5 x 2 3x 7
g)
y x 2 3x 3
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
48
66- Para que valores de x têm-se y > 0?
a)
y x 2 6x 9
b)
y 4 x 2 3x 1
c)
y x 2 x 10
67- Resolva as inequações do 2º grau:
a)
x 2 5x 4 0
b)
2x 2 4x 5 0
c)
8x 2 14 x 6 0
d)
x2 x 6 0
e)
x 2 8x 15 0
68- Para quais valores reais de x têm-se:
a)
x 2 10 x 25 0
b)
2 x 2 3x 1 0
c)
( x 2).( x 3) 0
d)
( x 4).( x 4) 0
e)
x.( x 7) 0
69- (PUCCAMP-SP) No Conjunto R, qual o conjunto verdade de
x 2 2 x 15 0 ?
70- Sendo f ( x) x 4 x 6 , é correto afirmar que:
2
a) A função admite dois zeros reais e distintos.
b) A função é positiva para x maior que 1000.
c) A função é positiva somente para x no intervalo
1,6 .
d) A função é negativa para qualquer valor real.
e) A função é negativa somente para x no intervalo
1,6 .
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
49
8. Funções Exponenciais
Para entendermos os conceitos de funções exponenciais, vamos falar primeiramente de
equações exponenciais, seu entendimento é primordial para entender o conceito de funções
aplicados a esse campo.
8.1 Equações exponenciais
Equações exponenciais são aquelas cujas incógnitas são potencias de um determinado
número
a , ou seja:
ax b
Para resolvermos uma equação exponencial podemos fatorar o termo independente da
equação para igualar as bases, assim podemos dizer que os expoentes são iguais.
Assim sendo, teremos que
a x an m n
b an , como a x b , então, consequentemente:
(a 1 e a 0)
Observe a resolução da equação exponencial a seguir.
Exemplo
1. Resolva as equações exponenciais abaixo:
a)
2x 256
Resolução:
Fatorando 256, temos que: 256 = 28, logo:
2x 256 2x 28 x 8
b)
3x 1 27
Resolução:
Fatorando 27, temos que: 27 = 33, logo:
3x 1 27 3x 1 33 x 1 3 x 2
Para se resolver a inequação exponencial procedemos da mesma forma que a
equação: igualar as bases, e resolver a inequação com os expoentes, porém é
necessário se atentar com o valor da base.
8.2 Inequações exponenciais
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
50
Inequação para 0 < a < 1
Observe que quando a base está entre 0 e 1, conforme aumentam-se os expoentes,
aumentam-se os valores, conforme abaixo:
2 , 2 , 2 , 2 ...
1
2
3
4
Então, ou seja,
é respectivamente igual a
2, 4, 8, 16...
a x an x n , mantém-se o sinal da desigualdade.
Inequação para a < 1
Observe que quando a base é maior que 1, conforme aumentam-se os expoentes,
diminuem-se os valores, conforme abaixo:
1
2
3
4
1 1 1 1
, , , ... é respectivamente igual a
2 2 2 2
0,5 , 0,25 , 0,125, 0,0625...
Então:
a x an x n , ou seja inverte-se o sinal da desigualdade.
Se a <1,
Exemplo
1. Resolva as inequações abaixo
a)
3x 81
Resolução:
Como sabemos
81 34 , então 3x 34 .
Como a base é maior que 1, devemos manter o sinal da desigualdade, assim
sendo:
3 x 34 x 4
x
x
1 1 1
1
b)
9 3 3
3
2
Resolução:
x
x
2
1 1 1
1
3 9 3 3 Como a base é menor que 1, devemos inverter o
sinal da desigualdade, assim sendo:
x
2
1 1
3 3 x 2
Exercícios sobre equações e inequações exponenciais
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
51
71- Resolva as seguintes equações exponenciais:
a)
2 5 x 256
b)
4 x 64
c)
9x
d)
32 x3 3 2
e)
5x 5
f)
25 x 2 1
g)
32 x3 3 2
h)
1
1
2
32
1
3
x
i)
j)
5
3
4x
1
2
3 x 5 27
72- Resolva 10
4 x 3
0,01 .
73- Determine o conjunto verdade das seguintes equações exponenciais:
a)
4x 2x 2 0
b)
2 2 x 6.2 x 8 0
c)
52 x 2.5 x 1 0
d)
9 x 4.3 x 3 0
e)
25 x 30.5 x 125
f)
100 x 11.10 x 10 0
74- Para que valores de x têm-se a igualdade: 3
2x
12.3 x 27 ?
75- Determine os valores reais de x de tal forma que:
4x 4
5
2x
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
52
76- Resolva as inequações em R:
a)
3 x 27
b)
2 x 16
x
1
1
c)
9
3
d)
2
2 x4
2
5
x 1
e)
3 x 1
f)
2
3
1
g)
3
2 x 1
1
2
2 x 1
2
5
10
1
1
3
x4
h)
(0,001) 4 x2 10 x
i)
27
x
1
81
x2
77- Para que valores reais de x são válidas as desigualdades?
a)
8 x 64
b)
49 x1 343
1
c)
5
x 3
1
25
x
d)
1
1
16
4
x
1
1
e)
4
2
3 x 1
4x
78- Resolva 2.8
.
16
x
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
53
8.3 Gráfico da função exponencial
Definimos função exponencial, qualquer função f de
da forma
f ( x ) ax
com
em definida por uma lei matemática
* e a 1.
Supondo que não existissem essas restrições, teríamos:
Para a = 1, a função
f ( x ) 1x seria
equivalente a
f ( x ) 1 , que não é uma função
exponencial, mas sim uma função constante.
Para a = 0, teríamos
f ( x ) 0x
que admite
f (0) 00 que é uma indeterminação matemática.
Para a < 0, teríamos que a = -b (ou seja, a é um número negativo) e.
f ( x ) ( b)x , a função
1
admite f ( b ) 2 b . E como sabemos não existe raiz quadrada (ou par) de
2
1
números negativos.
Para construção do gráfico de uma função exponencial vamos atribuir alguns valores a x, e a
partir desse valor, encontrar f(x), identificar esses pontos no plano cartesiano e traçar a curva.
Exemplo:
Para a representação gráfica da função
f ( x ) 2x vamos atribuir os seguintes valores a x: -4, -
2, -1, 0, 1, e 2.
Montando a tabela temos:
x
x
y=2
-6
y = 2-4 = 0,625
-3
y = 2-2 = 0,25
-1
y = 2-1 = 0,5
0
y=2 =1
1
y = 21 = 2
2
y = 22 = 4
0
Preenchemos esses valores no plano cartesiano e traçamos o gráfico, assim teremos:
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
54
8.4 Crescimento e Decrescimento
Podemos classificar a função exponencial quanto ao crescimento e decrescimento, uma função
exponencial é crescente ou decrescente, diferente da função quadrática que assume ambos
comportamentos em uma mesma função, nas funções exponenciais, o comportamento
depende diretamente do valor de sua base.
Função Exponencial Crescente
Se
a função exponencial é crescente, ou seja, conforme x aumenta o valor de f(x)
também aumenta.
Exemplo: Gráfico de f(x) = 2x
Função Exponencial Decrescente
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
55
Se
a função exponencial é decrescente, ou seja, conforme x aumenta, o valor de
f(x) diminui.
Exemplo: Gráfico de f(x) = 0,5x
Exercícios sobre função exponencial
79- Esboce o gráfico e identifique como crescente ou decrescente as funções exponenciais:
a)
1
y
3
b)
y 3x
c)
y 32 x
d)
y 2 x 1
e)
y 22x
f)
1
y
2
g)
y 5x
x
x 3
x
x
1
2
80- (Fuvest-SP) Sejam f ( x) e g ( x) , usando o mesmo par de eixos, esboce
5
3
os gráficos de f(x) e g(x).
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
56
81- Resolva graficamente o sistema de equações:
x y 6
x
y 2
82- Esboce num mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções
f ( x ) 2 x e f ( x) x 3
e verifique quantas soluções tem a equação 2 x 3 .
x
83- Uma função f dada por f ( x) a
x
é tal que seu gráfico passa pelo ponto (1,3). Determine
o valor de a.
84- Para fazer uma experiência, um biólogo colocou 200 bactérias em um meio propício ao seu
desenvolvimento, e observou que a cada hora o número de bactérias dobrava. Escreva a
sentença que define o número de bactérias N em função do tempo t em horas.
85- Asclépio deposita R$ 500,00 na caderneta de poupança e, mensalmente, são creditados
juros de 2% sobre o saldo. Sabendo que a fórmula do montante (capital + rendimento),
após x meses, é M ( x) 500.(1,02) , calcule:
x
a) o montante após um ano.
b) o rendimento no primeiro ano.
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
57
9. Logaritmos
9.1 Definição
Logaritmo é um tópico da matemática que depende diretamente do conhecimento sobre
potenciação e suas propriedades, afinal o logaritmo, é basicamente um expoente.
a x = b ↔ x = loga b
Onde:
a é a base, a
* , a ≥ 1
b é logaritmando, b
* , b ≥ 0
x é o valor do logaritmo
Obs: Sempre que o logaritmo não estiver indicando base, utilizamos a base 10, ou seja: log a =
log10 a.
Exemplos:
1. Resolva os seguintes logaritmos.
a) log28
Solução:
log28 = 3, pois 23 = 8
b) log327
Solução:
log327 = 3, pois 3³ = 27
c) log10100
Solução:
log10100 = 2, pois 10² = 100
9.2 Condições de existência
A base a de um logaritmo não pode ser negativa, não pode ser igual a zero nem igual a um.
O logaritmando b não pode ser negativo e nem igual a zero.
9.3 Sistemas de logaritmos
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
58
Chama-se sistema de logaritmos de base a ( 1
a 0) , o conjunto dos logaritmos de todos os
números reais positivos na base a.
Dois sistemas de logaritmos destacam-se pelo seu importante papel no campo das Ciências,
são eles: sistema de logaritmos decimais e sistema de logaritmos neperianos. No nosso estudo
veremos o sistema de logaritmos decimais.
Sistema de logaritmos decimais
É um sistema de logaritmos no qual se adota a base 10, o que vem simplificar cálculos no
campo da Matemática. Para esse sistema de logaritmos, na notação, iremos omitir a base.
Exemplo:
2
log 10
log 2
9.4 Propriedades dos logaritmos
Assim como as demais operações matemáticas os logaritmos possuem propriedades que
facilitam sua utilização, bem como a realização de operações.
1ª propriedade - Logaritmo de 1 em qualquer base a é 0.
loga1 = 0
loga1 = x
ax = 1 (a0 = 1)
x=0
Exemplo:
Log21 = 0, pois 20 = 1
2ª propriedade - O logaritmo da base, qualquer que seja a base, será 1.
logaa = 1
logaa = x
ax = a
x=1
Exemplo:
Log22 = 1, pois 21 = 2
3ª propriedade - O logaritmo de uma potência de base a é igual ao expoente m.
logaam = m
logaam = x
ax = a m
x=m
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
59
Exemplo:
Log2(22) = 2, pois 22 = 4
4ª propriedade - Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos
também são iguais.
logab = logac
logab = x → ax = b
logac = x → ax = c
b=c
Exemplo:
Log22 = log2c → c = 4
5ª propriedade - A potência de base a e expoente logab é igual a b.
alogab= b
logab = x
x
a =b
Exemplo:
2log24= 4, pois log24=2 e 22=4.
6ª Propriedade - Logaritmo do produto é a soma dos logaritmos.
logc (a . b) = logc a + logc b, sendo a > 0 e b > 0.
Exemplo:
log2 (2 . 3) = log2 2 + log2 3
7ª Propriedade - Logaritmo da divisão é a subtração dos logaritmos
logc (a/ b) = logc a - logc b, sendo a > 0 e b > 0.
Exemplo:
log2 (2 / 3) = log2 2 - log2 3
8ª Propriedade - Inversão de logaritmos
Exemplo:
9ª Propriedade - Mudança de bases de um logaritmo
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
60
Podemos representar um logaritmo de base b como um logaritmo de base a, para isso,
utilizamos o procedimento de mudança de base:
Exemplo:
Sabemos que log216 = 4, resolva, utilizando o algoritmo de mudança de base log 416
Solução:
Utilizando o procedimento de mudança de bases, temos que:
=
9.5 Mudança de Base
Nos casos em que o logaritmo apresentar uma base que não convém, esta poderá ser
substituída por outra.
Considerando-se o logaritmo de um número real e positivo a, numa base b real, positiva e
diferente de 1, faremos a mudança para uma base c, real, positiva e diferente de 1:
Exemplos:
Mudar para base 2 o logaritmo
log 54
log 54 :
log 52 log 52
2
log 42
9.6 Equações logarítmicas
São aquelas que apresentam a incógnita no logaritmando ou na base do logaritmo.
Exemplos:
log( x 2) log( x 3) log 12
log 8x log 22 x 1
Em geral, para resolvermos uma equação logarítmica aplicamos a definição, a propriedade ou
a mudança de base de logaritmos.
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
61
Exemplo: Resolva a equação
C.E:
log xx 6 2 .
x6 0 1 x 0
x2 x 6
x2 x 6 0
25
x1 2
x2 3
S {3}
Exercícios sobre logaritmos
86- Determine, pela definição, o valor de:
a)
log 15
b)
log 5625
c)
log 25
1
5
d)
log 3 27
e)
log 00,,008
2
f)
2
log 512
g)
log 00,,04
2
h)
log 1000
0,1
87- Determine o valor de x em cada um dos casos:
a)
log 8x 3
b)
log x 2 5
c)
log 0x,00016 4
d)
log 0x,5 2
88- Se
log 0,1 x , calcule o valor de x 2 .
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
62
89- Calcule o valor da soma
0, 001
S log 10
log 33 3 log 18 .
90- Obtenha o valor de cada expressão a seguir:
a)
log 93 log 99
b)
log 1 log
2
2
2. log 50, 2
91- O logaritmo de um número na base 8 é
5
. Qual é esse número?
3
92- Determine x para que exista:
a)
log 32 x 1
b)
log 2x x 27
93- Dados os valores log 2 0,30 , log 3 0,47 , log 5 0,69 e log 7 0,84 , determine o
valor de:
a)
log 12
b)
log 49
c)
log 108
d)
log 120
e)
log 200
f)
log 5 7
g)
log 3 2
h)
log 0,03
i)
log 4,8
j)
log 7,5
k)
log 10,5
94- Sabendo que log b 4 , log b 1 , encontre o valor de:
a
c
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
63
a)
log ba.c
a
c
b
b)
log
c)
log ba.c
2
95- Sendo
a)
log 10
3
b)
log 3 5
a log 53 e b log 32 , calcule os logaritmos a seguir em função de a e b:
3
96- Resolva as equações:
a)
log 2x 3 3
b)
log 2 x 5 log x 1
c)
log 4x log 4x 12
d)
log( x 4) log( x 4) log 6 x
e)
log 2x1 log ax 1 1
2
97- Resolva a equação
1 log (212 x ) 3 .
98- Sendo log 2 0,30 ; log 3 0,47 e log 5 0,69 , calcule:
a)
log 50
2
b)
log 64
c)
log 345
d)
log 92
e)
log 2 6
f)
log 8600
99- Considerando
log 5 0,69 e log 3 0,47 , qual é o logaritmo de 5 na base 3?
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
64
100- Calcule
log 84 .
101- Dados log 10 0,3010 e log 5 1,4306 calcule o valor de log 5 .
2
102- Se log 3 x , então
a
a)
2x 2
b)
x2
c)
x2
10
2
2
log 9a é igual a:
2x
e) x
d)
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
65
9.7 Funções Logarítmicas
Denominamos função logarítmica de base a toda função definida pela lei de formação f(x) =
logax, com a > 0 e a ≠ 1. De maneira que seu domínio é representado pelo conjunto dos
números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.
Para construção do gráfico de uma função exponencial vamos atribuir alguns valores a x, e a
partir desse valor, encontrar f(x), identificar esses pontos no plano cartesiano e traçar a curva.
Exemplo:
Para a representação gráfica da função
f ( x ) 2x vamos atribuir os seguintes valores a x: -4, -
2, -1, 0, 1, e 2.
Montando a tabela temos:
x
y = logx
1
y = log (1) = 0
2
y = log (2) =0,30103
3
y = log (3) =0,477121
4
y = log (4) =0,60206
5
y = log (5) =0,69897
Preenchemos esses valores no plano cartesiano e traçamos o gráfico, assim teremos:
9.8 Crescimento e Decrescimento de uma função logarítmica
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
66
Assim como fizemos com as funções exponenciais, podemos classificar a função logaritmica
quanto ao crescimento e decrescimento, em uma função decrescente o comportamento
depende diretamente do valor de sua base.
Se
a função exponencial é crescente, ou seja, conforme x aumenta o valor de f(x)
também aumenta.
Exemplo: Gráfico de f(x) = log2 x
Função Logarítmica Decrescente
Se
a função logarítmica é decrescente, ou seja, conforme x aumenta, o valor de
f(x) diminui.
Exemplo: Gráfico de f(x) = log0,5 x
Exercícios sobre função logarítmica
103- Esboce o gráfico das seguintes funções:
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
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a)
y log 3x
b)
y log 4x
c)
y log 0x,1
d)
y log 0x,51
104- Esboce o gráfico cartesiano das seguintes funções:
a)
y log 3x 1
b)
y log 2x 1
105- Construa num mesmo sistema de eixos os gráficos de
f ( x) 2 x e g ( x) log 2x .
106- Dê o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:
a)
y log 3x
b)
y log 3xx 6
c)
y log 2x 1
d)
y log x 4
e)
y log 4x x 316
2
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
68
Exercícios de vestibulares
Questão 1
(Enem-MEC) Nas últimas eleições presidenciais de um determinado país, onde 9% dos
eleitores votaram em branco e 11% anularam o voto, o vencedor obteve 51% dos votos
válidos. Não são considerados válidos os votos em branco e nulos.
Pode-se afirmar que o vencedor, de fato, obteve de todos os eleitores um percentual de votos
da ordem de:
a) 38%
b) 41%
c) 44%
d) 47%
e) 50%
Questão 2
(Enem-MEC) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus
produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de
um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os
gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e
40 páginas.
Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em
comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4
também estarão em C1.
Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos três
catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a:
a) 135
b) 126
c) 118
d) 114
e) 110
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Questão 3
(ITA-SP) Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}:
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s):
a) Apenas I e III.
b) Apenas II e IV.
c) Apenas II e III.
d) Apenas IV.
e) Todas as afirmações.
Questão 4
(PUC-PR) Uma Universidade está oferecendo três cursos de extensão para a comunidade
externa com a finalidade de melhorar o condicionamento físico de pessoas adultas, sendo eles:
Curso A: Natação.
Curso B: Alongamento.
Curso C: Voleibol.
As inscrições nos cursos se deram de acordo com a tabela seguinte:
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
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Analise as afirmativas seguintes com base nos dados apresentados na tabela.
I. 33 pessoas se inscreveram em pelo menos dois cursos.
II. 52 pessoas não se inscreveram no curso A.
III. 48 pessoas se inscreveram no curso B.
IV. O total de inscritos nos cursos foi de 88 pessoas.
A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é:
a) I e II.
b) I e III.
c) III e IV.
d) I, II e III.
e) II, III e IV.
Questão 5
Questão 6
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
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(UFF-RJ) Observe a imagem:
O histórico desempenho dos atletas brasileiros no PAN-2007 (54 de ouro, 40 de prata e 67 de
bronze, total de 161 medalhas) superou os objetivos traçados pelo Comitê Olímpico Brasileiro
(COB). Embora tenha superado Cuba (59 de ouro, 35 de prata e 41 de bronze, total de 135
medalhas) no total de medalhas, o Brasil terminou os Jogos em terceiro lugar no quadro, atrás
de Cuba (segundo) e Estados Unidos (primeiro lugar, com 237 medalhas).
Adaptado de:
<http://torcida2007.globo.com/torcida2007/noticias/noticias_interna.asp?id=6166>.
Não satisfeita com o terceiro lugar do Brasil na competição, uma professora de matemática
sugeriu que a classificação geral deveria ser feita pelo total de pontos obtido por cada equipe
segundo o seguinte critério: cada medalha de bronze valeria 1 ponto, a medalha de prata q
pontos e a medalha de ouro q2 pontos, sendo q, obviamente, maior que 1. Considere então B o
conjunto que contém todos valores reais possíveis de q tal que, segundo o critério da
professora, o Brasil ficaria na frente de Cuba no PAN-2007. Assim sendo, pode-se afirmar que:
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
72
Questão 7
(UFU-MG) Sejam A, B e C conjuntos de números inteiros, tais que A tem 8 elementos, B tem 4
elementos, C tem 7 elementos e A
elementos que o conjunto D = (A
B
B)
C tem 16 elementos. Então, o número máximo de
(B
C) pode ter é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
Questão 8
Então:
a) apenas I é verdadeira.
b) apenas III é verdadeira.
c) apenas I e III são verdadeiras.
d) apenas IV é verdadeira.
e) todas as afirmações são falsas.
Obs.: denota o conjunto dos números irracionais.
Questão 9
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
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Entre os conjuntos de números naturais a seguir, encontre os pares de conjuntos iguais:
A = conjunto dos pares múltiplos de 3
B = conjunto dos pares múltiplos de 5
C = conjunto dos múltiplos de 6
D = conjunto dos ímpares múltiplos de 3
E = conjunto dos múltiplos de 10
F = conjunto dos que são múltiplos de 3, mas não de 6
Questão 10
Escreva a fração geratriz do decimal 4,3252525...
Questão 11
Numa pesquisa realizada por técnicos da ONG ÁGUALIMPA, foram coletadas amostras do
lago XORORÓ.
Das 340 amostras coletadas, verificou-se que:
• 100 apresentaram a bactéria A;
• 150 apresentaram a bactéria B;
• 120 apresentaram a bactéria C;
• 40 apresentaram as bactérias A e B;
• 25 apresentaram as bactérias A e C;
• 30 apresentaram as bactérias B e C;
• 55 não apresentaram nenhuma das três bactérias.
Determine:
a) Quantas amostras apresentaram as 3 bactérias.
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
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b) Quantas amostras apresentaram pelo menos 2 bactérias.
Questão 12
Represente os seguintes intervalos:
a) [–1,1]
b) [0, 1)
c) (–
, 2]
Questão 13
Se um conjunto A tem 3 elementos e B tem 4 elementos, quantos elementos pode ter a união
entre A e B?
Questão 14
a) 12
b) 17
c) 20
d) 22
e) 24
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
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Questão 15
(PUC-PR) Observe a charge abaixo:
João Xavier/Arquivo da editora
Observando a charge e considerando N = {0, 1, 2, 3, ...} o conjunto dos números naturais,
analise as seguintes afirmações:
I) Para qualquer número natural escolhido, a resposta da moça sempre estará correta.
II) Existe um único número natural que não satisfaz a resposta da moça.
III) Existem dois números naturais que não satisfazem a resposta da moça.
Então, pode-se concluir que:
a) Somente uma afirmação é verdadeira.
b) As afirmações I e III são verdadeiras.
c) As afirmações II e III são verdadeiras.
d) As afirmações I e II são verdadeiras.
e) As afirmações I, II e III são FALSAS.
Questão 16
A planta de uma casa foi desenhada numa escala em que cada 5cm representam 1m.
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
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a) Qual foi a escala utilizada?
b) Se a planta mede 50 cm × 40 cm, quais as medidas do terreno ocupado pela casa?
Questão 17
Ana é uma vendedora que recebe um salário fixo de R$ 500,00 e mais comissões de 10%
sobre o que vende.
a) Complete a tabela para calcular o pagamento dela em função das vendas.
b) Escreva a função afim que representa o ganho dela em função da venda e responda: quanto
ela ganhará se vender R$ 17.000,00? Quanto ela deve vender se quiser ganhar no mínimo R$
3.000,00?
Questão 18
Dada a função f(x) = –2x + 5, calcule os valores de x para os quais:
a) f(x) = 1
b) f(x) = 0
c) f(x) = 5
d) f(x) = –5
Questão 19
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
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Dado os gráficos, escreva a equação da função afim.
Questão 20
Desenhe o gráfico e estude o sinal da função f(x) = –3x + 6.
Questão 21
(ESPM-SP) Considere as funções reais f(x) = (1/2)x ; g(x) = x2 – 2x e h(x) = f[g(x)]. O conjunto
imagem da função h(x) é dado pelo intervalo:
a) ]0; 2]
b) ]–∞ ; –2]
c) ]–∞; 2]
d) [2; +∞[
e) [–2; 2]
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
78
Questão 22
(FGV-SP) O valor da expressão
para x = –1,3 é:
a) 2
b) –2
c) 2,6
d) 1,3
e) –1,3
Questão 23
(FGV-SP) Seja a função f(x) = x2. O valor de f(m + n) – f(m – n) é:
2
a) 2m + 2n
2
b) 2n2
c) 4mn
d) 2m2
e) 0
Questão 24
(PUC-Camp-SP) O gráfico abaixo mostra o comportamento das exportações de algodão em
pluma no Brasil, no período de 1990 a 2001. A partir desse gráfico conclui-se corretamente que
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
79
a exportação de algodão em pluma no Brasil:
a) foi crescente no período de 1994 a 2001.
b) foi decrescente na década de 1990 a 2000.
c) teve seu máximo no período de 1996 a 1998.
d) ultrapassou o total de 60 000 toneladas no período de 1994 a 1996.
e) não ultrapassou a marca anual de 100 000 toneladas no período de 1992 a 2000.
Questão 25
(PUC-MG) O domínio da função real f (x) =
é o intervalo [a,b]. O valor de a + b
é igual a:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 5
Questão 26
(Unesp-SP) Seja TC a temperatura em graus Celsius e TF a mesma temperatura em graus
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
80
Fahrenheit. Essas duas escalas de temperatura estão relacionadas pela equação:
9TC = 5TF – 160
Considere agora TK a mesma temperatura na escala Kelvin. As escalas Kelvin e Celsius estão
relacionadas pela equação:
TK = TC + 273
A equação que relaciona as escalas Fahrenheit e Kelvin é:
Questão 27
A regra a seguir fornece a altura h percorrida por um objeto que cai ao ser abandonado do alto
de um prédio.
h(t) = 5 · t2 (h em metros, t em segundos)
Responda:
a) Qual é a variável dependente?
b) Qual é a variável independente?
c) Construa uma tabela que mostre a altura percorrida nos primeiros 5s.
d) Se a altura do prédio é 80m, para que valores de t essa regra pode ser usada?
e) O que acontece para valores de t fora dos limites que você calculou?
Questão 28
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
81
Qual é o valor inicial da função f(x) = –3x + 1?
Questão 29
Resolva a seguinte inequação produto (x–1) · (3–x) · (2x+4) > 0.
Questão 30
Sem fazer o gráfico, estude o sinal das seguintes funções:
a) f(x) = 5x
b) f(x) = –2x + 3
Questão 31
Um comerciante tem um lucro de R$ 500,00 quando vende 30 aparelhos e de R$ 300,00
quando vende 20. Sabendo que o lucro em função do número de aparelhos vendidos é uma
função afim, qual o menor número de aparelhos que ele deve vender para não ter prejuízo?
Questão 32
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
82
(ESPM-SP) O gráfico abaixo representa a função real f(x) = x² + kx + p, com k e p reais.
O valor de p – k é:
a) –12
b) 15
c) 18
d) –18
e) 3
Questão 33
(FGV-RJ) No retângulo ABCD da figura abaixo, AD = 6 m e AB = 4 m, e os pontos M, N, P e Q
dos lados AD, AB, CB e CD, respectivamente, são tais que AM = AN = CP = CQ.
Determine o valor máximo da área do quadrilátero MNPQ.
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
83
Questão 34
(FGV-SP) A soma das raízes da equação
= 0 vale:
Questão 35
(Fuvest-SP) A equação 2x = –3x + 2, com x real:
a) Não tem solução.
b) Tem uma única solução entre 0 e
c) Tem uma única solução entre –
.
e 0.
d) Tem duas soluções, sendo uma positiva e outra negativa.
e) Tem mais de duas soluções.
Questão 36
(Fuvest-SP) Os pontos (0, 0) e (2, 1) estão no gráfico de uma função quadrática f. O mínimo de
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
84
f é assumido no ponto de abscissa x = –
. Logo, o valor de f(1) é:
Questão 37
(Ibmec-SP) O gráfico da função dada pela lei y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é a parábola
esboçada abaixo, que tem vértice no ponto V. A partir do esboço, pode-se concluir que:
a) a > 0, b > 0 e c > 0
b) a > 0, b > 0 e c < 0
c) a > 0, b < 0 e c > 0
d) a > 0, b < 0 e c < 0
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
85
e) a < 0, b < 0 e c < 0
Questão 38
(PUC-MG) A função que relaciona o risco R de morte de um indivíduo com a dose D de
radiação a que ele é submetido é dada por R = 1,5D2 + D. Com relação a um indivíduo que
tenha sido submetido a uma contaminação radioativa, o aumento de R, em porcentagem,
devido a uma variação de D de 1 para 2, é igual a:
a) 80%
b) 130%
c) 179%
d) 220%
Questão 39
Um granjeiro dispõe de 40 m de cerca para fazer um galinheiro. Este deve ser retangular e um
de seus lados deve ser um muro já existente de 25m, como indica o desenho. Quais devem ser
as dimensões do galinheiro para que o granjeiro consiga a maior área possível com a cerca
disponível? Quanto será essa área? Ele utilizará toda a extensão do muro? Calcule quanto
seria a área do galinheiro se o granjeiro utilizasse todo o muro.
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
86
Questão 40
Usando fatoração, encontre os zeros das funções quadráticas a seguir:
Questão 41
Para quais valores de a temos f(x) = x2 – 2ax +2 sempre positiva?
Questão 42
Quais devem ser os valores de m para que a função f(x) = x2 – mx + 1 tenha pelo menos um
zero real?
Questão 43
Quantos pontos em comum tem a parábola y= x2 – x – 6 e a reta y=2x-2? Quais são esses
pontos?
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
87
Questão 44
A área de um triângulo equilátero de lado L é dada pela função
Responda:
a) De que tipo é a função S?
b) Qual a área de um triângulo cujo lado mede 5 cm?
Questão 45
A função L(x) = (–x2+500x) / 40 mostra o lucro de uma empresa em função do número de
peças vendidas. Qual a quantidade mínima e máxima que a empresa deve vender para ter um
lucro maior que R$ 1.000,00?
Sugestão: preencha a tabela abaixo e desenhe o gráfico da função que mostra o lucro e trace a
função constante g(x) = 1000. Veja onde o gráfico da função L(x) fica acima de g(x).
Questão 46
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
88
Resolva a equação exponencial:
4x - 2x = –4–1
Questão 47
Um imóvel teve o seu valor de mercado modelado pela função
onde
éo
valor do imóvel, em reais, t anos após o início da valorização
Determine a variação percentual do valor do imóvel entre 4 e 6 anos.
Questão 48
Existe um tempo para eliminação de remédios do organismo. Muitas vezes esse tempo é
determinado pelo conceito de meia-vida. Nesse caso, a meia-vida de um remédio é o tempo
que o organismo leva para eliminar metade da dose ingerida.
Se um remédio tem meia-vida de 6h, após quanto tempo pode-se esperar que o organismo
esteja com menos de 12,5% da concentração inicial?
Questão 49
O gráfico abaixo representa qual função?
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
89
Questão 50
Resolva a equação exponencial 4
x+1
x
- 3 · 4 = 16.
Questão 51
(UEL-PR) A população do Brasil, em 1900, era de 17 438 434. Em cinquenta anos a população
passou a ser 51 944 397. Em 1970, quando o Brasil ganhou o tricampeonato, e toda a torcida
brasileira cantava “90 milhões em ação”, isto correspondia a 93 139 037 habitantes. Em 2000,
a população já contava com
169 590 693 pessoas.
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
90
A previsão para 2050 é que a população será de 259 800 000 brasileiros.
Fonte: <www.ibge.gov.br/ibgeteen/pesquisas/ demograficas.html>. Acessada em: 20 ago.
2006.
No gráfico seguinte, são apresentados os pontos que representam a população em cada um
destes anos e esses pontos são aproximados por uma função.
Com base na figura, considere as afirmações sobre a função que aproxima esses pontos.
I. A função pode ser a exponencial: y = aebx, com a > 0 e b > 0.
II. A função pode ser a polinomial de grau 3: y = ax3 + bx2 + cx + d, com a > 0.
III. A função pode ser a polinomial de grau 2: y = ax2 + bx + c, com a < 0.
IV. A função pode ser a logarítmica: y = a log(bx), com a < 0 e b > 0.
Estão corretas apenas as afirmativas:
a) I e III.
b) II e IV.
c) I e II.
d) III e IV.
e) I e IV.
Questão 52
(Unesp-SP) Num período de seca, a variação da quantidade de água de certo reservatório é
dada pela função q(t) = q0 · 2(–0,1)t.
Sendo q0 a quantidade inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no
reservatório após t meses, em quantos meses a quantidade de água no reservatório se
reduzirá à metade do que era no início?
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
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a) 5
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
Questão 53
(UPM-SP) Um aparelho celular tem seu preço y desvalorizado exponencialmente em função do
tempo (em meses) t, representado pela equação y = p · qt, com p e q constantes positivas. Se,
na compra, o celular custou R$ 500,00 e, após 4 meses, o seu valor 1/5 do preço pago, 8
meses após a compra, o seu valor será:
a) R$ 25,00
b) R$ 24,00
c) R$ 22,00
d) R$ 28,00
e) R$ 20,00
Questão 54
A soma das raízes da equação
é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
92
Questão 55
Certo remédio, ao ser tomado, leva 1h para atingir sua concentração máxima no sangue. A
seguir, a cada duas horas, sua concentração cai a 2/3 da concentração inicial. Escreva a
função exponencial que dá a concentração de remédio no sangue a partir da primeira hora
após a ingestão. Após quantas horas da ingestão do remédio, a concentração no sangue cai a
aproximadamente 20% da concentração máxima? (sugestão: aproxime 20%=16/81).
Questão 56
Sabendo que log 2 = a e log 3 = b, calcule:
Questão 57
Usando a definição, calcule os logaritmos a seguir:
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
93
Questão 58
(ITA-SP) Considere a equação em x
ax+1 = b1/x,
onde a e b são números reais positivos, tais que lnb = 2 lna > 0. A soma das soluções da
equação é:
a) 0
b) –1
c) 1
d) ln 2
e) 2
Questão 59
Resolva a equação log 2 – log x > log (4 – x)
Questão 60
Sabendo que log 2 = 0,30, log 3=0,48 e log 5 = 0,70, calcule:
a) log 6
b) log 300
c) log 3072
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
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Questão 61
(FGV-SP) Adotando log 2 = 0,301, a melhor aproximação de log 510 representada por uma
fração irredutível de denominador 7 é:
Questão 62
(FGV-SP) Adotando-se os valores log2 = 0,30 e log3 = 0,48, a raiz da equação 5x – 60 vale
aproximadamente:
a) 2,15
b) 2,28
c) 41
d) 2,54
e) 2,67
Questão 63
(FGV-SP) Daqui a t anos, o número de habitantes de uma cidade será N = 40 000 (1,02)t. O
valor de t para que a população dobre em relação à de hoje é:
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
95
Questão 64
(FGV-SP) O valor de x que satisfaz a equação: log (2x + 7) = log2x + log7 é um número:
a) menor que 1/2
b) entre 1/2 e 1
c) entre 1 e 3/2
d) entre 3/2 e 2
e) maior que 2
Questão 65
(Ibmec-SP) Após o lançamento de um novo modelo de carro, uma montadora percebeu que o
comportamento das vendas desse produto pode ser descrita pela função x(t) =
,
em que t é o tempo em anos e x(t) representa a quantidade vendida desde o momento do
lançamento (t = 0), em milhões de unidades. A função que descreve o momento do tempo em
que já foram vendidas x milhões de unidades pode ser representada por:
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
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MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
NICOLAU, Antonio. Matemática de olho no mundo do trabalho. São Paulo: Scipione,
2004.
RUY, José. Matemática Fundamental: Uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2002.
BARRETO, Benigno. Matemática: Aula por aula. São Paulo FTD, 2000.
MATEMÁTICA – 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015
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