Cap. 10 Aula 9
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Nona Edição CAPÍTULO 10 MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS: ESTÁTICA Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Método do Trabalho Virtual Notas de Aula: J. Walt Oler Texas Tech University © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Conteúdo Introdução Trabalho de uma Força Trabalho de um Binário Princípio do Trabalho Virtual Aplicações do Princípio do Trabalho Virtual Máquinas Reais. Eficiência Mecânica Problema Resolvido 10.1 Problema Resolvido 10.2 Problema Resolvido 10.3 Trabalho de uma Força Durante um Deslocamento Finito Energia Potencial Energia Potencial e Equilíbrio Estabilidade do Equilíbrio Problema Resolvidos 10.4 © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 10 - 2 Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Introdução • Princípio dos Trabalhos Virtuais – se uma partícula, um corpo rígido, ou um sistema de corpos rígidos que está em equilíbrio sob a ação de várias forças sofre um deslocamento virtual, o trabalho total efetuado pelas forças externas durante o deslocamento é nulo. • O princípio dos trabalhos virtuais é particularmente eficaz quando aplicado à solução de problemas que envolvem o equilíbrio de máquinas ou mecanismos que consistam em vários elementos ligados entre si. • Se uma partícula, um corpo rígido, ou um sistema de corpos rígidos está em equilíbrio, então a derivada de sua energia potencial em relação a uma variável que define sua posição deve ser zero. • A estabilidade de uma posição de equilíbrio pode ser determinada utilizando-se a segunda derivada da energia potencial em relação a uma variável de posição. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 10 - 3 Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Trabalho de uma Força dU F dr = trabalho da força F correspondente ao deslocamento dr. dU F ds cos 0, dU F ds , dU F ds 2 , dU 0 dU Wdy © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 10 - 4 Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Trabalho de uma Força Forças que não realizam trabalho: • reação em um pino sem atrito quando o corpo suportado gira em torno do pino; • reação em uma superfície sem atrito quando o corpo em contato se move ao longo da superfície; • peso de um corpo cujo centro de gravidade se move horizontalmente; • força de atrito que atua em uma roda que rola sem escorregar. Em certos casos, a soma dos trabalhos realizados por várias forças é igual a zero, por exemplo: • para dois corpos unidos por um pino sem atrito; • para dois blocos unidos por uma corda inextensível; • as forças externas que mantêm unidas as partes de um corpo rígido. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 10 - 5 Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Trabalho de um Binário Qualquer pequeno deslocamento do corpo rígido que leve A e B respectivamente até A’ e B’’ pode ser dividido em duas partes a saber: • translação para A’B’ • rotação de B’ para B” em relação a A’. W F dr1 F dr1 dr2 F dr2 F ds2 F rd M d © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 10 - 6 Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Princípio dos Trabalhos Virtuais • Imaginemos um pequeno deslocamento virtual sofrido por uma partícula submetida à ação de várias forças. • O trabalho virtual correspondente é, U F1 r F2 r F3 r F1 F2 F3 r R r Princípio dos Trabalhos Virtuais: • Se uma partícula está em equilíbrio, o trabalho virtual total realizado pelas forças que atuam sobre ela deve ser zero para qualquer deslocamento virtual. • Se um corpo rígido está em equilíbrio, o trabalho virtual total das forças externas que atuam sobre ele é zero para qualquer deslocamento virtual desse corpo. • Se um sistema corpos rígidos ligados entre si permanece conectado durante o deslocamento virtual, somente o trabalho das forças externas ao sistema precisa ser considerado. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 10 - 7 Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Aplicações do Princípio do Trabalhos Virtual • Desejamos determinar a força exercida pela alavanca sobre o bloco para uma dada força P. • Consideremos o trabalho realizado pelas forças externas para um deslocamento virtual . Apenas as forças P e Q realizam trabalho não nulo. U 0 U Q U P Q xB P yC xB 2l sen xB 2l cos yC l cos yC l sen 0 2Ql cos Pl sen Q 12 P tg • Se o deslocamento virtual é consistente com as restrições impostas pelos apoios e conexões, apenas o trabalho das cargas, das forças aplicadas e das forças de atrito precisa ser considerado. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 10 - 8 Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Máquinas Reais. Eficiência Mecânica eficiência mecânica trabalho produzido trabalho recebido trabalho produzido trabalho recebido 2Ql cos Pl sen 1 cot • Para uma máquina ideal sem atrito, o trabalho produzido é igual ao trabalho recebido. • Quando o efeito do atrito é considerado, o trabalho produzido diminui. U QxB PyC FxB 0 0 2Ql cos Pl sen Pl cos Q 12 Ptg © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 10 - 9 Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 10.1 Determine a intensidade do binário M necessária para se manter o equilíbrio do mecanismo mostrado na figura. SOLUÇÃO: • Aplicando o princípio do trabalho virtual temos: U 0 U M U P 0 M PxD xD 3l cos xD 3l sen 0 M P 3l sen M 3Pl sen © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 10 - 10 Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 10.2 Determine as expressões para e para a tração na mola que correspondem à posição de equilíbrio do mecanismo. O comprimento indeformado da mola é h, e a constante da mola é k. Despreze o peso do mecanismo. SOLUÇÃO: • Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais temos: U U B U F 0 0 PyB FyC y B l sen y B l cos yC 2l sen yC 2l cos F ks k yC h k 2l sen h 0 Pl cos k 2l sen h2l cos P 2kh sen 4kl F 12 P © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 10 - 11 Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 10.3 SOLUÇÃO: • Traçamos um diagrama de corpo livre para a plataforma juntamente com o sistema articulado. Uma mesa de elevação hidráulica é usada para erguer um engradado de 1.000 Kg. A mesa consiste em uma plataforma, dois sistemas articulados idênticos e cilindros hidráulicos. Os elementos EDB e CG têm, cada um, comprimento 2a, e o elemento AD está preso por um pino ao ponto médio de EDB. Determine a força exercida por cada cilindro na elevação do engradado para = 60o, a = 0,70 m, e L = 3,20 m. • Aplicamos o princípio dos trabalhos virtuais para um deslocamento virtual observando que apenas o peso e a força exercida pelo cilindro hidráulico realizam trabalho. U 0 QW QF DH • Considerando a geometria do problema, substituímos os deslocamentos virtuais na expressão acima e a resolvemos para obter a força no cilindro hidráulico. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 10 - 12 Nona Edição Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 10.3 SOLUÇÃO: • Traçamos um diagrama de corpo livre para a plataforma. • Aplicamos o princípio dos trabalhos virtuais para um deslocamento virtual . U 0 QW QFDH 0 12 Wy FDH s • Considerando a geometria do problema, substituímos os deslocamentos virtuais na expressão acima e a resolvemos para obter a força no cilindro hidráulico. y 2a sen y 2a cos s 2 a 2 L2 2aL cos 2ss 2aL sen s 0 12 W 2a cos FDH FDH W © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. s cot L aL sen s aL sen s FDH 5,15 kN 10 - 13
