Ciclo Trigonométrico

Ciclo Trigonométrico
Relacionando lados e ângulos
 Até agora trabalhamos com o conceito de arco
geométrico. A medida de um arco geométrico é
restrita ao intervalo [0, 2].
 A partir de agora vamos atribuir um significado a
medidas de arcos fora daquele intervalo. Passarão
a fazer sentido, então, medidas de arcos menores
que 0 e maiores que 2.
 Para chegar a essa generalização, introduziremos
dois conceitos importante: arco trigonométrico e
ciclo trigonométrico.
Ciclo trigonométrico
b
2º quadrante
A’
–1
1B
O
3º quadrante
1º quadrante
A
1
a
4º quadrante
–1 B’
Ciclo trigonométrico
 No ciclo trigonométrico, o raio é considerado
como unidade de medida.
 Sendo o raio r = 1, o comprimento do ciclo é
C = 2r = 2.1 = 2. Isso significa que
O comprimento de um arco qualquer do ciclo é
numericamente igual à sua medida, em radianos.
 Por isso, vamos deixar de usar, a partir de agora, o
símbolo rad, ao expressar a medida de um arco em
radianos.
Associando números a pontos do ciclo
 A cada número real x, vamos associar a um ponto
do ciclo trigonométrico.
b
B
A’
+
A
O
–
B’
1. Ao número real x = 0,
associamos o ponto
A, origem do ciclo.
2. A um número real x
qualquer associamos
um ponto P, final do
a
percurso sobre o
ciclo.
Origem
3. O ponto P é chamado
de imagem de x no
ciclo trigonométrico.
Exemplos
 Marcar no ciclo trigonométrico, as imagens dos
números inteiros 0, 1 ,2, 3, 4, 5 e 6 e dos
irracionais /2, , 3/2 e 2.
/2
2
B
1
 Os números reais
+
3
 A’
A 0
O
4
2
6
B’
3/2
5
que acabamos de
marcar pertencem à
1ª volta positiva do
ciclo. Corresponde ao
intervalo [0, 2[.
Exemplos
 Marcar no ciclo trigonométrico, as imagens dos
números inteiros –1, –2, –3, –4, –5 e –6 e dos
irracionais –/2, –, –3/2 e –2.
–3/2
B
–4
–5
 Os números reais
–6
–
–3
A –2
O
A’
–
–2
B’
–/2
–1
que acabamos de
marcar pertencem à
1ª volta negativa do
ciclo. Corresponde ao
intervalo [–2, 0[.
Exemplos
 Marcar no ciclo trigonométrico e identificar o
quadrante a que pertence a imagem do real 4/3.
B
4 rad = 4 .180º = 240º
3
3
+
A’
A
O
P
4/3
B’
Exemplos
 Marcar no ciclo trigonométrico e identificar o
quadrante a que pertence a imagem do real –/4.
B
– rad = –1 .180º = –45º
4
4
A’
A
O
P
-/4
B’
–
Exemplos
 Um pentágono regular está inscrito no ciclo
trigonométrico conforme figura. Determine os
números reais que tem como imagem cada
vértice do pentágono.
PB = BQ = QR = RS = SP =
B
P:
Q
A’
P
A
O
R
B’
S
Q:

2

2
–
+
2
5
2
5
2
R: 9 +
10
5
2
S: 13 +
10
5
=
=
=
=

10
9
10
13
10
17
10
2
5
Observação
 Os pontos A, B, A’ e B’ na figura dividem o ciclo
trigonométrico em 4 partes iguais. Cada parte
mede /2 ou 90º. Veja
/2
B
+
 A’
O
A
B’
3/2
0
Observação
 Os pontos A, P, Q, A’, R e S na figura dividem o
ciclo trigonométrico em 6 partes iguais. Cada
parte mede /3 ou 60º. Veja
/3
P
2/3
Q
 A’
O
R
4/3
+
A
S
5/3
0
Observação
 Os oito pontos assinalados na figura dividem o
ciclo trigonométrico em 8 partes iguais. Cada
parte mede /4 ou 45º. Veja
3/4
/2
B
 A’
5/4
P
Q
O
/4
+
A
R
S
B’
3/2
0
7/4
Observação
 Os pontos A, P, Q, A’, R e S na figura dividem o
ciclo trigonométrico em 6 partes iguais. Cada
parte mede /3 ou 60º. Percorrendo o ciclo no
sentido negativo fica:
–7/3
P
–5/3
Q
– A’
O
R
–2/3
A
0
–
S
–/3
Arco trigonométrico
Arco trigonométrico
 Até aqui marcamos no ciclo trigonométrico
imagens de números reais do intervalo [–2, 2[.
São os números da 1ª volta positiva ou da 1ª
volta negativa.
 A localização da imagem de um número real
permite que sejam dadas, no ciclo, tantas voltas
quantas forem necessárias, tanto no sentido
positivo como no negativo.
Cada ponto do ciclo trigonométrico é
imagem de infinitos números reais.
Arco trigonométrico
 A origem A, por exemplo, é imagem de todo
número real que indique um número inteiro de
voltas completas.
B
0, 2, 4, 6, ...
A’
A
O
–2, –4, –6, ...
B’
Os números acima são chamados
de números congruentes.
Arco trigonométrico – caso geral
 Considere que o número real x, 0 ≤ x ≤ 2, tenha
como imagem o ponto P do ciclo.
O Ponto P é imagem de:
B
P
A’
 x
x
 2 + x
A
O
 4 + x
 6 + x
 –2 + x
B’
Expressão geral
dos números
congruentes a x.
 –4 + x
k.2 + x
ou
2k + x
Arco trigonométrico
 Seja x um número real, 0 ≤ x < 2, com imagem
num ponto P do ciclo. Chamamos de Arco
trigonométrico de extremidade P o conjunto de
todos os números reais cuja expressão geral é
2k + x, com k inteiro.
 Cada um dos infinitos números congruentes que
definem
um
arco
determinação do arco.
trigonométrico
é
uma
 Existe uma única determinação x que está na 1ª
volta positiva. Ela é chamada de determinação
principal.
Encontrando a determinação principal
 Conhecendo-se uma das determinações de um
arco trigonométrico, podemos encontrar sua
determinação principal. Com a determinação
principal, podemos raciocinar na primeira volta
positiva, o que facilita a localização da
extremidade do arco.
Exemplos
 Achar a determinação principal de 1910º e
determinar o quadrante de sua extremidade e
escrever
a
expressão
geral
do
arco
trigonométrico.
1910º
360º
110º
5
1910º = 5 . 360º + 110º
k.360º + 110º
90º
P B
A’
180º
110º
O
270º B’
A
0o
Exemplos
 Achar a determinação principal de –2265º,
determinar o quadrante de sua extremidade e
escrever
a
expressão
geral
do
arco
trigonométrico.
B 90º
–2265º
360º
–105º
–6
–2265º = –6.360º – 105º
– 105º + 360º = 255º
A’
255º
O
180º
P
270º B’
k.360º + 255º
A
0o
Exemplos
 Achar a determinação principal de 49/5,
determinar o quadrante de sua extremidade e
escrever
a
expressão
geral
do
arco
trigonométrico.
49/5 = 9,8 
49
5
– 8 =
2k + 9/5.

8 < 49/5 < 10
49 – 40
=
5
9
5

324º, 4º q.
Exemplos
 Achar a determinação principal de –17/3,
determinar o quadrante de sua extremidade e
escrever
a
expressão
geral
do
arco
trigonométrico.
–17/3 = –5,6
–17
3
+ 6 =
2k + /3.
 –6 < –17/3 < –4
–17 + 18
3
=

3

60º, 1º q.
Exemplos
 No ciclo trigonométrico da figura os pontos P e Q
são alinhados com o centro O. Para o arco
trigonométrico de extremidade Q, obter, em graus e
radianos, a determinação principal, a expressão
geral e outras duas determinações, uma positiva e
outra negativa.
B
P
A’
O
30º
Q
B’
A
Arcos trigonométricos
notáveis
Arcos trigonométricos notáveis
 Os arcos trigonométricos com extremidades nos
pontos A, B, A’ e B’ merecem uma atenção
especial. Eles são chamados arcos notáveis.
 Vamos analisar a expressão geral desses arcos.
Para isso, usaremos a variável k, ou seja, k  {0,
±1, ±2, ±3, …}.
Arco de extremidade A
B
A’
A
O
B’
 Equivale a um número inteiro de voltas. Como uma
volta equivale a 2 (ou 360º), sua expressão geral
é:
2k
ou
k.360º
Arco de extremidade B
B
A’
A
O
B’
 Equivale a um número inteiro de voltas (2k ou
k.360º) mais 1 quadrante (/2 ou 90º). sua
expressão geral é:
2k + /2
ou
k.360º + 90º
Arco de extremidade A’
B
A’
A
O
B’
 Equivale a um número inteiro de voltas (2k ou
k.360º) mais meia–volta ( ou 180º). sua
expressão geral é:
2k + 
ou
k.360º + 180º
Arco de extremidade B’
B
A’
A
O
B’
 Equivale a um número inteiro de voltas (2k ou
k.360º) mais 3 quadrantes (3/2 ou 270º). sua
expressão geral é:
2k + 3/2
ou
k.360º + 270º
Arco de extremidade A ou A’
B
A’
A
O
B’
 Equivale a um número inteiro de meias–voltas.
Como meia–volta equivale a  (ou 180º). sua
expressão geral é:
k
ou
k.180º
Arco de extremidade B ou B’
B
A’
A
O
B’
 Equivale a um número inteiro de meias–voltas (k
ou k.180º), mais 1 quadrante (/2 ou 90º). sua
expressão geral é:
k + /2
ou
k.180º + 90º
Arco de extremidade A, B, A’ ou B’
B
A’
A
O
B’
 Equivale a um número inteiro de quadrantes. Como
um quadrante equivale a /2 (ou 90º). sua
expressão geral é:
k/2
ou
k.90º
Observação
 Nas expressões gerais dos arcos notáveis, é
importante observar:
 2k (ou k.360º) indica um número inteiro de
voltas (origem A);
 k (ou k.180º) indica um número inteiro de
meias–voltas (pontos A ou A’);
 k/2 (ou k.90º) indica um número inteiro de
quadrantes (pontos A, B, A’ ou B’).
Exemplos
 Localizar,
no
ciclo
trigonométrico,
a(s)
extremidade(s) do(s) arco(s) cuja expressão
geral é 2k – /3.
B
A’
A
O
60º
–
B’ P
 2k indica um número
inteiro de voltas.
 Partimos do ponto A,
percorremos 60º no
sentido negativo.
Exemplos
 Localizar,
no
ciclo
trigonométrico,
a(s)
extremidade(s) do(s) arco(s) cuja expressão
geral é k.90º + 30º.
+
Q B
P
30º
A’
30º
30º
+ R
30º
B’
S
+
A
+
 K.90º
indica
um
número
inteiro
de
quadrantes.
 Partimos dos pontos
A,
B,
A’
e
B’,
percorremos 30º no
sentido positivo.
Exemplos
 Na figura, P e Q estão alinhados com o ponto O.
Obter, em graus e radianos, a expressão geral dos
arcos de extremidades P ou Q.
B
A’
P
70º
O
70º
+
Q
B’
+
A
 Partimos dos pontos A
ou
A’, giramos 70º
(ou 7/18) no sentido
positivo.
 A expressão geral dos
arcos em P ou Q é
k.180º + 70º ou k + 7/18
Seno, co-seno e
tangente de um arco
trigonométrico
Seno, co-seno e tangente no ciclo
 As definições de seno, co-seno e tangente no
triângulo retângulo são restritas aos ângulos
agudos.
 A partir do ciclo trigonométrico e do arco
trigonométrico, podemos ampliar os conceitos de
seno, co-seno e tangente.
Seno, co-seno no ciclo trigonométrico
 No ciclo trigonométrico destacamos o ponto P. Ele é
a extremidade de um arco trigonométrico do 1º
quadrante de medida , com 0º <  < 90º.
sen
B
P()
Q
sen ⍺ =
1
A’

O
M
A
cos
cos ⍺ =
PM
OP
0M
OP
=
=
PM
1
0M
1
= PM
= 0M
 sen  = OQ = ordenada de P
B’
 cos  = OM = abscissa de P
Tangente no ciclo trigonométrico
 No ciclo trigonométrico destacamos o ponto P. Ele é
a extremidade de um arco trigonométrico do 1º
quadrante de medida , com 0º <  < 90º.
tg
T
B
A’
P()
tg ⍺ =
AT
OA
=
AT
1
= AT

O
1
A
 tg  = AT = ordenada de T
B’
Sinais do seno, coseno e tangente
Sinais do seno, co-seno e tangente
 Se x é uma determinação qualquer do arco
trigonométrico, temos as seguintes definições:
sen
 sen x = ordenada de P
1 B
 cos x = abscissa de P
 tg x = ordenada de T
tg
– + + +
A’ –
–1 –
+
O
– –
–1 B’
+
+
–
A
1 cos
Exemplo
 Na figura abaixo, o ponto M é extremidade do
arco trigonométrico de 30º. Determine as
coordenadas de M.
B
M
1/2
M(cos 30º, sen 30º)

A’
30º
O
√3/2
B’
A
M(√3/2, 1/2)
Seno e co-seno dos
arcos notáveis
Seno e co-seno dos arcos notáveis
 No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as
coordenadas dos pontos A, B, A’ e B’, extremidades
dos arcos notáveis.
/2
(–1, 0)A’

O
B(0, 1)
A(1,0)
0 ou 2
3/2 B’(0, –1)
A(1, 0) 
sen 0º = sen 0 = 0
cos 0º = cos 0 = 1
Seno e co-seno dos arcos notáveis
 No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as
coordenadas dos pontos A, B, A’ e B’, extremidades
dos arcos notáveis.
/2
(–1, 0)A’

B(0, 1)
O
A(1,0)
0 ou 2
3/2 B’(0, –1)
B(0, 1) 
sen 90º = sen /2 = 1
cos 90º = cos /2 = 0
Seno e co-seno dos arcos notáveis
 No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as
coordenadas dos pontos A, B, A’ e B’, extremidades
dos arcos notáveis.
/2
(–1, 0)A’

O
B(0, 1)
A(1,0)
0 ou 2
3/2 B’(0, –1)
A’(–1, 0) 
sen 180º = sen  = 0
cos 180º = cos  = –1
Seno e co-seno dos arcos notáveis
 No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as
coordenadas dos pontos A, B, A’ e B’, extremidades
dos arcos notáveis.
/2
(–1, 0)A’

O
B(0, 1)
A(1,0)
0 ou 2
3/2 B’(0, –1)
B’(0, –1) 
sen 270º = sen 3/2 = –1
cos 270º = cos 3/2 = 0
Seno e co-seno dos arcos notáveis
 No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as
coordenadas dos pontos A, B, A’ e B’, extremidades
dos arcos notáveis.
/2
(–1, 0)A’

O
B(0, 1)
A(1,0)
0 ou 2
3/2 B’(0, –1)
A(1, 0) 
sen 360º = sen 2 = 0
cos 360º = cos 2 = 1
Exemplos
 Calcule o valor da expressão
E=
E=
sen 90º . cos 180º + cos 0º . sen 270º
sen 0º + tg 180º . cos 270º + cos 0º
1 . (–1) + 1 . (–1)
0+0.0+1
= –2
Exemplos
 Sendo x = /2, determinar o valor de
E=
cos 2x + 2 sen x
tg 4x – tg x/2
Substituindo x por /2, fica
E=
cos  + 2 sen /2
tg 2 – tg /4
=
–1 + 2.1
0–1
= –1
Exemplos
 Indique os sinais das expressões:
a) E1 = sen 105º.cos 200º.sec 305º.cosec 250º;
b) E2 = sen 1.cos 2. sec 3. cosec 6
sen
105º
sen 105º > 0
B
cos 200º < 0
A’
sec 305º > 0
A
O
cos
cosec 250º < 0
220º
250º
B’
305º
E1 = (+).(–).(+).(–) > 0
Exemplos
 Indique os sinais das expressões:
a) E1 = sen 105º.cos 200º.sec 305º.cosec 250º;
b) E2 = sen 1.cos 2. sec 3. cosec 6
sen
2
B
3
A’
sen 1 > 0
cos 2 < 0
1
sec 3 < 0
A
O
cos
cosec 6 < 0
6
B’
E1 = (+).(–).(–).(–) < 0
Observação
 No ciclo trigonométrico, o seno e o co-seno de um
arco dependem apenas da extremidade dele.
Como conseqüência, números congruentes têm
mesmo seno e mesmo co-seno.
 Se x é a determinação principal de um arco, suas
outras determinações são do tipo k.360º + x (em
graus) ou 2k + x (em radianos). Logo,
sen (2k + x) = sen x
e
cos (2k + x) = cos x
Exemplos
 Calcular sen 15.
15 = 14 + 

15 é congruente a 
7 voltas
B
sen 15 = sen  = 0
A’
15  
A
O
B’
0
Exemplos
 Calcular cos 25/6.
25/6 é congruente a /6
cos 25/6 = cos /6 = √3/2
B
25/6  /6
A’
O
B’
30º
A
0